propósitos potencias y raíz cuadrada · 2015-11-08 · 2 potencias y raíz cuadrada ¿por qué...

Propósitos• Reconocer situaciones reales donde aparecen potencias.

• Recordar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de la unidad.

Previsión de dificultades• A la hora de trabajar con potencias, los alumnos a veces cometen errores como multiplicar la base por el exponente o confundir el cuadrado y el cubo de un número con su doble o su triple. Para evitarlos insista en la relación entre productos de factores iguales y sus correspondientes potencias.

• También puede resultar complejo el trabajo con la expresión polinómica de un número, sobre todo si no se han entendido bien las potencias de base 10 y su cálculo. Fundamente bien ese cálculo y recuerde la descomposición de un número.

• Finalmente, la comprensión del concepto de raíz cuadrada también puede plantear dificultades. Insista en la relación entre el cuadrado de un número y la raíz cuadrada, trabajando ambos de manera simultánea.

Trabajo colectivo sobre la láminaLea la lectura o pida a un alumno que lo haga. Después, pídales que comenten sus impresiones sobre ella y la rapidez de crecimiento de las potencias y trabaje las actividades en común.

1 1 hora: 2 bacterias.

2 horas: 4 bacterias.

3 horas: 8 bacterias.

2 Se han hecho multiplicaciones, podrían expresarse en forma de potencia.

3 Habrá 2 3 16 5 32 bacterias.

4 Habrá 512 bacterias. A las 10 horas habrá ya 2 3 512 5 1.014 bacterias. Serán necesarias 10 horas.

Otras formas de empezar

• Anime a sus alumnos a que piensen situaciones similares a la propuesta en la página inicial en las que sea necesaria la multiplicación de un factor por sí mismo varias veces.

• Pida a los alumnos que aporten ideas para expresar de manera abreviada productos de factores iguales. Deberán también añadir las ventajas e inconvenientes del sistema de expresión que cada uno proponga.

22

2 Potencias y raíz cuadrada

¿Por qué hay tantas bacterias?

En un litro de agua de mar o en un gramo de tierra fértil es posible encontrar hasta mil millones de bacterias. ¿Cómo es posible que haya tantas?

Las bacterias son organismos vivos unicelulares, es decir, están formadas por una sola célula, y se reproducen por división, obteniéndose dos nuevas bacterias iguales a la original cada vez que se dividen.

Normalmente el proceso de división puede tardar una o dos horas, pero algunas bacterias, si las condiciones de temperatura y humedad son buenas, pueden llegar a duplicarse en veinte minutos. ¡A ese ritmo, en doce horas y partiendo de una sola bacteria, superarían en número a la población humana actual!

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34

UNIDAD 2

5 Corresponde a las 6 horas. Coincide el número de horas con el número de veces que se repite el factor 2.

¿Qué sabes ya?Trabaje estas actividades previas para facilitar la resolución de las actividades posteriores con potencias.

1 • Valor:81. Factorqueserepite:3. Vecesqueserepite:4.

• Valor:1.024. Factorqueserepite:4. Vecesqueserepite:5.

• Valor:16. Factorqueserepite:2. Vecesqueserepite:4.


• Valor:1.000. Factorqueserepite:10. Vecesqueserepite:3.


2 Cuadrados:3 3 359.Cuadrados:7 3 7549. Cubos:3 3 3 3 3527. Cubos:5 3 5 3 55125.

Notas

Competencias

• Competencia lingüística. Altrabajarlaspreguntasrelativasalalectura, yenespecialladeExpresiónoral,pidaalosalumnosqueutilicentérminosmatemáticosparaexpresarseyanímelesahacerlodeformaclaraycorrecta.

• Aprender a aprender. Potencieenlosalumnoslasensacióndeprogresoy avance en sus conocimientos. Señale que van a trabajar una operación derivadadelamultiplicación,lapotenciación,yotrarelacionadaconella, laradicación.Ambasestánfundamentadasenconocimientosanteriores.

23

Lee, comprende y razona

1 Si una bacteria se divide cada hora, ¿cuántas bacterias habrá al cabo de 1 hora? ¿Y de 2 horas? ¿Y de 3 horas?

2 ¿Qué operaciones has hecho para responder a la actividad 1? ¿Puedes expresarlas de otra forma?

3 Si a las 4 horas en condiciones óptimas hay 2 3 2 3 2 3 2 5 16 bacterias, ¿cuántas habrá a las 5 horas?

4 ¿Cuántas bacterias habría al cabo de 9 horas? ¿Cuántas horas serían necesarias para que hubiera más de 1.000 bacterias?

5 EXPRESIÓN ORAL. ¿A qué número de horas corresponde el número de bacterias obtenido con la expresión 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2? ¿Cómo lo has averiguado?

2 Calcula cuántos cuadrados o cubos hay.

Productos de factores igualesFactores Producto

7 3 7 3 7 5 343

Factores Producto

10 3 10 3 10 3 10 5 10.000

1 Calcula y escribe en tu cuaderno.

3 3 3 3 3 3 3 5 3 5 3 5

4 3 4 3 4 3 4 3 4 10 3 10 3 10

2 3 2 3 2 3 2 7 3 7

Cuadrados y cubos

TAREA FINAL

Analizar la difusión de una noticia

Al final de la unidad estudiarás cómo se difunde una noticia por Internet.

Antes, trabajarás con las potencias, sus aplicaciones y la raíz cuadrada.

SABER HACER

¿Qué sabes ya?

EJEMPLO

3 3 3 3 3 3 3 5 …Factor que se repite: 3.Veces que se repite: …

4 3 4 5 16Hay 16 cuadrados.

4 3 4 3 4 5 64Hay 64 cubos.

4

4 44

4

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Inteligencia

lingüística

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Propósitos• Escribir productos de factores iguales en forma de potencia.

• Reconocer la base y el exponente de una potencia.

• Leer, escribir y calcular potencias.

Sugerencias didácticasPara explicar. Muestre que en la situación planteada tenemos que hallar sucesivos productos de un mismo factor.

Caracterice las potencias como una forma de expresar productos de factores iguales. Muestre la importancia de no confundir la base y el exponente (a la hora de expresar los productos como potencias) y de calcular correctamente el valor de la potencia (no multiplicar base por exponente). Trabaje la lectura y escritura de potencias haciendo hincapié en el caso especial de cuadrados y cubos. Muestre su relación con los términos geométricos.

Para reforzar. Pida a dos alumnos que digan dos números del 1 al 10. Otro alumno saldrá y escribirá la potencia formada con esos dos números (el primero será la base) y su expresión como producto de factores iguales. Despues, dirá cómo se lee.

Actividades1 • 62; base: 6, exponente: 2.

• 82; base: 8, exponente: 2.







2 • 42; 4 al cuadrado 43; 4 al cubo 46; 4 a la sexta 47; 4 a la séptima

• 52; 5 al cuadrado 53; 5 al cubo 56; 5 a la sexta 57; 5 a la séptima

Otras actividades

• Prepare tarjetas numeradas del 1 al 10, dos tarjetas con cada número. Extraiga dos de ellas y levántelas, una en cada mano. Los alumnos deberán escribir la potencia correspondiente (tomando como base el número de la mano que usted indique), su expresión en forma de producto, su lectura y su valor numérico.

• Escriba en la pizarra los cuadrados de los números 1, 11, 111 y 1.111 12 5 1; 112 5 121; 1112 5 12.321; 1.1112 5 1.234.321. Posteriormente, pida a sus alumnos que intenten descubrir la regla que siguen los cuadrados de esta serie de números, y que a continuación, sin realizar ningún tipo de operación, escriban en sus cuadernos los cuadrados de los números 11.111, 111.111 y 1.111.111.

24

Potencias

1 Expresa cada producto como potencia. Después, escribe su base y su exponente.

6 3 6 5 3 5 3 5 2 3 2 3 2 3 2 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4

8 3 8 7 3 7 3 7 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

2 Forma todas las potencias posibles y escribe cómo se leen.

3 Expresa cada potencia con cifras en tu cuaderno y rodea su exponente.

Nueve al cuadrado 8 elevado a 7

Dos al cubo 3 elevado a 9

Tres a la octava 7 elevado a 8

Seis a la cuarta 10 elevado a 6

Ocho a la sexta 9 elevado a 5

4 Piensa y contesta.

¿Cuál es el valor de una potencia de base 1? ¿Y de una potencia de base 0?

¿Cuál es el valor de una potencia cuyo exponente es 1?

4 5

7 10

2 3

6 7

Bases Exponentes

Raúl tiene cajas de botes de tomate. En cada caja hay 3 filas con 3 botes en cada una. Las cajas están en paquetes de 3 cajas y Raúl tiene 3 paquetes. ¿Cuántos botes tiene?

Número de botes por caja 3 3 3 5 9Número de botes por paquete 3 3 3 3 3 5 27Número de botes en total 3 3 3 3 3 3 3 5 81

Raúl tiene 81 botes de tomate.

Los productos de factores iguales se expresan en forma de potencia. Las potencias están formadas por una base y un exponente.

Potencia

3 3 3 3 3 3 3 5 34

Las potencias anteriores se leen así:

32 3 al cuadrado o 33 3 al cubo o 34 3 a la cuarta o 3 elevado a 2. 3 elevado a 3. 3 elevado a 4.

Una potencia es un producto de factores iguales. El factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite es el exponente.

Exponente: número de veces (4) que se repite el factor.

Base: factor que se repite (3).

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36

UNIDAD 2



3 • 92; exp.: 2. • 87; exp.: 7.

• 23; exp.: 3. • 39; exp.: 9.

• 38; exp.: 8. • 78; exp.: 8.

• 64; exp.: 4. • 106; exp.: 6.

• 86; exp.: 6. • 95; exp.: 5.

4 • El valor de una potencia de base 1 es siempre 1. Si la base es 0, es siempre 0.

• Una potencia de exponente 1 es siempre igual a la base.

5 Cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Cubos: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1.000.

6 • Mayor: 27 (es la de mayor exponente).

• Mayor: 95 (es la de mayor base).

• Mayor: 94 (es la de mayor base).

7 • 94 5 6.561. Hay 6.561 pisos.

• 35 5 243. Tiene 243 socios.

• 29 5 512. Habrá 512 pruebas.

Saber más23 3 24 5 8 3 16 5 128

2314 5 27 5 128

Los resultados son iguales.

22 3 26 5 2216 5 28

Cálculo mental• 1.344 • 1.767 • 2.494

• 1.513 • 1.916 • 2.981

Para restar 1.002 primero se resta 1.000 y después 2.

Para restar 1.003, primero se resta 1.000 y luego 3.

Para restar 3.005 primero se resta 3.000 y después 5.

Para restar 5.006 primero se resta 5.000 y luego 6.

Competencias

• Competencia social y cívica. Al realizar los distintos problemas de la actividad 7 puede suscitar un debate o charla en común sobre los distintos temas que se abordan en ella: la convivencia en los barrios y las comunidades de vecinos, los clubs deportivos, los videojuegos… Pida a los alumnos que aporten sus opiniones sobre ellos y haga hincapié en los valores positivos que deben desarrollar en esas situaciones.

7 Resuelve. Expresa las operaciones que hagas en forma de potencia.

En un barrio hay 9 urbanizaciones. Cada urbanización tiene 9 bloques. En cada bloque hay 9 rellanos. En cada rellano hay 9 pisos. ¿Cuántos pisos hay en todas las urbanizaciones?

Un club de ajedrez fue fundado hace 5 años por 3 amigos. Tuvo éxito y cada año el número de socios era el triple del año anterior. ¿Cuántos socios tiene ahora el club?

En un videojuego el número de pruebas que hay que superar en cada nivel es el doble de las del nivel anterior. Si en el nivel 1 hay dos pruebas, ¿cuántas habrá en el nivel 9?

25

2

5 Calcula el valor del cuadrado y el cubo de los números del 1 al 10.

6 Fíjate bien en las bases y exponentes de las potencias. Sin calcular, compara cada pareja y escribe en tu cuaderno la mayor de ellas.

7 Resuelve. Expresa las operaciones que hagas en forma de potencia.

En un barrio hay 9 urbanizaciones. Cada urbanización tiene 9 bloques. En cada bloque hay 9 rellanos. En cada rellano hay 9 pisos. ¿Cuántos pisos hay en todas las urbanizaciones?

Un club de ajedrez fue fundado hace 5 años por 3 amigos. Tuvo éxito y cada año el número de socios era el triple del año anterior. ¿Cuántos socios tiene ahora el club?

En un videojuego el número de pruebas que hay que superar en cada nivel es el doble de las del nivel anterior. Si en el nivel 1 hay dos pruebas, ¿cuántas habrá en el nivel 9?

Problemas

PRESTA ATENCIÓN

Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados.

Las potencias de exponente 3 se llaman cubos.

Calcula en tu cuaderno:

23 3 24 5 8 3 … 5 …

2314 5 27 5 …

¿Qué observas? ¿A qué crees que será igual 22 3 26?

SABER MÁS

65 95

27 24 94 74

12 22 32 42 52

13 23 33 43 53

Resta 1.001, 2.001, 3.001… a números de cuatro cifras

Cálculo mental

¿Cómo restarías 1.002? ¿Y 1.003? ¿Cómo restarías 3.005? ¿Y 5.006?

2.345 2 1.001 4.768 2 3.001 8.495 2 6.001

3.514 2 2.001 6.917 2 5.001 9.982 2 7.001

3.638 1.638 1.6372 2.000 2 1

2 2.001

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Propósitos• Calcular potencias de base 10.

• Utilizar la relación entre el exponente de una potencia de base 10 y el número de ceros que siguen a la unidad.

• Escribir números utilizando potencias de base 10.

Sugerencias didácticasPara explicar. Deje clara, para las potencias de base 10, la relación entre exponente y número de ceros que siguen a la unidad. Muestre cómo con las potencias de base 10 podemos expresar de forma sencilla números muy grandes. Indique a sus alumnos que muy pronto aprenderán otra utilidad de estas potencias: la expresión polinómica de un número.

Para reforzar. Escriba en la pizarra el producto de un número por una potencia de base 10. Pida a un alumno que salga a la pizarra y escriba el número equivalente.

Actividades1 • 10.000 • 1.000 • 100.000

• 100.000.000 • 1.000.000

• 1.000.000.000

2 • 5 5 • 5 7 • 5 8

• 5 2 • 5 5 • 5 3

• 5 3 • 5 6 • 5 4

3 Un millón 5 106. Un billón 5 1012.

4 • 80 5 8 3 10

• 600 5 6 3 102

• 2.000 5 2 3 103

• 90.000 5 9 3 104

• 400.000 5 4 3 105

• 3.000.000 5 3 3 106

• 640 5 64 3 10

• 2.700 5 27 3 102

• 91.000 5 91 3 103

• 392.000 5 392 3 103

• 4.580.000 5 458 3 104

• 56.300.000 5 563 3 105

5 Paula: 487 3 104; 95 3 102.

Miguel: 521 3 104; 102 3 102.

Otras actividades

• Explique a los alumnos que en ocasiones es muy útil expresar cantidades mediante potencias de base 10. Proporcióneles ejemplos como la masa de la Luna (7 3 1022 kg), el número de estrellas de la Vía Láctea (2 3 1011), la edad del Sol (5 3 109 años), la superficie aproximada de los océanos (4 3 1014 m2), los glóbulos rojos en 1 litro de sangre (5 3 1012 )… Puede ser interesante pedirles que expresen algunos de ellos con todas sus cifras para que aprecien mejor la utilidad de las potencias en estos casos.

26

Potencias de base 10

1 Escribe el valor de cada potencia.

104 103 105 108 106 109

2 Averigua el exponente de cada potencia.

10 5 100.000 10 5 10.000.000 10 5 100.000.000

100 5 10 100.000 5 10 1.000 5 10

10 5 1.000 10 5 1.000.000 10 5 10.000

3 Escribe un millón y un billón como una potencia de base 10.

4 Utiliza potencias de base 10 para escribir cada número.

80 90.000 640 392.000

600 400.000 2.700 4.580.000

2.000 3.000.000 91.000 56.300.000

5 Completa la tabla en tu cuaderno escribiendo los resultados de los análisis de Paula y Miguel utilizando potencias de base 10.

HAZLO ASÍ

54.700 5 547 3 100 5 547 3 102

ResultadosResultados utilizando potencias de base 10

Pau

la Glóbulos rojos 4.870.000

Glóbulos blancos 9.500

Mig

uel Glóbulos rojos 5.210.000

Glóbulos blancos 10.200

En la clase de 6.º A han calculado varias potencias de 10.

101 5 10

102 5 10 3 10 5 100

103 5 10 3 10 3 10 5 1.000

104 5 10 3 10 3 10 3 10 5 10.000

Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.

¡El exponente y el número de ceros

coinciden!

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38

UNIDAD 2

Propósitos• Hallar la expresión polinómica de un número.

• Escribir números a partir de su expresión polinómica.

Sugerencias didácticasPara explicar. Recuerde con los alumnos cómo se realizaba la descomposición de un número en forma de suma. Muestre cómo podemos expresar los sumandos de esa descomposición como el producto de una cifra del número por la potencia de base 10 correspondiente. Señale que cada número tiene una descomposición única y viceversa.

Actividades1 • 1 3 102 1 9 3 10 1 8

• 3 3 103 1 2 3 102 1 4 3 10 1 5

• 4 3 104 1 9 3 103 1 7 3 102 1 1 8 3 10 1 2

• 6 3 104 1 3 3 102 1 4 3 10 1 2

• 8 3 104 1 9 3 103 1 7 3 10 1 1

• 2 3 105 1 9 3 103 1 5 3 102 1 6

• 3 3 106 1 9 3 104 1 8 3 102

• 7 3 107 1 2 3 105 1 5 3 104 1 1 2 3 102 1 3 3 10

• 9 3 108 1 1 3 106 1 6 3 105

2 • 760.825

• 9.305.040

• 2.100.703

• 85.104.609

• 30.020.180

Razonamiento• 4 3 105 < 7 3 105 < 9 3 105

• 6 3 107 < 6 3 108 < 6 3 109

• 9 3 107 1 8 3 106 1 5 3 104 < < 4 3 108

Notas

Otras actividades

• Prepare tarjetas numeradas del 0 al 9, y otras de distinto color en las que aparezcan las potencias 101, 102, 103... hasta 109. Extraiga varias tarjetas numeradas y anote en la pizarra los números en el orden en que han salido. Saque después la misma cantidad de tarjetas con las potencias de base 10 y pida a los alumnos que escriban la expresión polinómica correspondiente. Después indíqueles que escriban el numero asociado.

• También puede sacar tarjetas numeradas y que los alumnos escriban la descomposición polinómica del número formado por las tarjetas.

27

2Expresión polinómica de un número

PRESTA ATENCIÓN

Descompón el número en primer lugar y ten cuidado con los ceros.

1 Escribe en tu cuaderno la expresión polinómica de cada número.

198 60.342 3.090.800

3.245 89.071 70.250.230

49.782 209.506 901.600.000

2 Escribe en tu cuaderno el número correspondiente a cada expresión polinómica.

7 3 105 1 6 3 104 1 8 3 102 1 2 3 10 1 5 700.000 1 … 1 … 1 … 1 … 5 …

9 3 106 1 3 3 105 1 5 3 103 1 4 3 10

2 3 106 1 1 3 105 1 7 3 102 1 3

8 3 107 1 5 3 106 1 1 3 105 1 4 3 103 1 6 3 102 1 9

3 3 107 1 2 3 104 1 102 1 8 3 10

Con las potencias de 10 podemos escribir los números. Esta forma de escribirlos se llama expresión polinómica.

Observa cómo se escribe de esa forma el número 27.069.

Se descompone y se usan las potencias de 10.

27.069 5 20.000 1 7.000 1 60 1 9

27.069 5 2 3 10.000 1 7 3 1.000 1 6 3 10 1 9

27.069 5 2 3 104 1 7 3 103 1 6 3 10 1 9

Ordena de menor a mayor los números de cada grupo. Fíjate bien en las potencias de 10 y los números que las multiplican.

Razonamiento

DM UM C D U

2 7 . 0 6 9

9 3 105 4 3 105 7 3 105

6 3 107 6 3 109 6 3 108

4 3 108 9 3 107 1 8 3 106 1 5 3 104

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39

28

Raíz cuadrada

1 Observa y completa para cada cuadrado en tu cuaderno.

Cada lado tiene … cuadrados.

En total hay … cuadrados.

El cuadrado de … es …

La raíz cuadrada de … es …

2 Halla primero cada cuadrado y después escribe el valor de la raíz.

3 Calcula cada raíz en tu cuaderno y explica por qué tiene ese valor.

• 36 • 25 • 49 • 1 • 16 • 4 • 64 • 9

Juan es repostero y quiere cortar una tarta cuadrada en 25 raciones cuadradas iguales. ¿Cuántas raciones habrá en cada lado de la tarta?

Para hallarlo, hay que buscar el número que multiplicado por sí mismo nos dé 25, es decir, el número cuyo cuadrado es 25.

Ese número es la raíz cuadrada de 25 y se escribe • 25.

3 3 3 5 32 5 9

4 3 4 5 42 5 16

5 3 5 5 52 5 25 • 25 5 5

La raíz cuadrada de 25 es 5.

• 25 5 5 porque 52 5 25.

En cada lado de la tarta habrá 5 raciones.

La raíz cuadrada de un número es otro número que, elevado al cuadrado, es igual al primero.

32 • 9 92 • 8172 • 49 102 • 10082 • 64

EJEMPLO • 36 5 … porque 62 es …


¿Qué número tiene como raíz cuadrada 0? ¿Y 1?

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Propósitos• Relacionar cuadrado y raíz cuadrada de un número.

• Calcular raíces cuadradas sencillas.

• Resolver problemas aplicando el cálculo de cuadrados o raíces cuadradas.

Sugerencias didácticasPara explicar. Comente con sus alumnos el ejemplo propuesto. Caracterice la raíz cuadrada como la operación inversa a hallar el cuadrado y muestre que la raíz es siempre menor que el número, mientras que el cuadrado no lo es. Señale que no todos los números tienen raíz cuadrada exacta, solo aquellos que se obtienen al calcular el cuadrado de los números naturales.

Para reforzar. Pida a varios alumnos que salgan a la pizarra y calculen el cuadrado de varios números. Después, obtenga en común la raíz de esos cuadrados, dejando clara la relación entre raíz y cuadrado. Pídales que la verbalicen: «La raíz de … es … porque el cuadrado de … es …».

Actividades1 • Cada lado tiene 2 cuadrados.

En total hay 4 cuadrados. El cuadrado de 2 es 4. La raíz cuadrada de 4 es 2.

• Cada lado tiene 6 cuadrados. En total hay 36 cuadrados. El cuadrado de 6 es 36. La raíz cuadrada de 36 es 6.

• Cada lado tiene 4 cuadrados. En total hay 16 cuadrados. El cuadrado de 4 es 16. La raíz cuadrada de 16 es 4.

2 • 32 5 9; • 9 5 3

• 72 5 49; • 49 5 7

• 92 5 81; • 81 5 9

• 82 5 64; • 64 5 8

• 102 5 100; • 100 5 10

3 • • 36 5 6 porque 62 5 36.

• • 25 5 5 porque 52 5 25.

Otras actividades

• Agrupe a los alumnos por parejas. Pídales que preparen 20 tarjetas iguales y que rotulen en ellas estos números (uno en cada tarjeta): 32, 25, 4, 3, • 25, 7, 9, 64, 72, 16, 8, • 16, 42, • 9, 5, • 64, 49, 82, 52 y • 49. Tras mezclar las tarjetas y colocarlas en un montón, uno de los alumnos de la pareja sacara dos tarjetas al azar; si representan el mismo número, se quedara con ellas, y si no, las mezclara otra vez en el montón, pasando el turno al otro jugador. La partida finalizará cuando ya no queden tarjetas.

40

29

2

¿Cuántos números naturales tienen su raíz cuadrada comprendida entre 7 y 8?

SABER MÁS

6 Resuelve. Piensa bien antes de calcular.

Pilar y su abuelo juegan a los barcos dibujando un tablero cuadrado con 100 casillas cuadradas iguales. ¿Cuántas filas de casillas tiene el tablero?

David ha embaldosado una cocina cuadrada con baldosas también cuadradas e iguales. En cada lado de la cocina ha puesto 9 baldosas. ¿Cuántas baldosas ha puesto David en total?

En una fábrica envasan bombones en cajas cuadradas con igual número de bombones por fila y por columna. Tienen 60 bombones para envasar. ¿Cuántas filas tendrá la caja que usarán? ¿Cuántos bombones quedarán sin envasar?

El tablero de ajedrez es un cuadrado con 64 casillas cuadradas iguales. ¿Cuántas casillas tiene cada fila?

5 Calcula entre qué dos números consecutivos está la raíz cuadrada de cada número.

Problemas

HAZLO ASÍ

• 20 Probamos con distintos cuadrados hasta encontrar los dos entre los que está el número 20.

62 5 36; 36 . 2052 5 25; 25 . 20 42 , 20 , 52

42 5 16; 16 , 20

La raíz cuadrada de 20 es mayor que 4 y menor que 5.

4 , • 20 , 5

Resta 999, 1.999, 2.999… a números de cuatro cifras

Cálculo mental

¿Cómo restarías 998? ¿Y 996? ¿Cómo restarías 2.997? ¿Y 4.995?

2.345 2 999 5.062 2 2.999 7.694 2 4.999

4.582 2 1.999 6.457 2 3.999 8.138 2 6.999

• 10 • 24 • 75 • 45 • 50 • 90

3.718 2.718 2.7192 1.000 1 1

2 999

ES0000000001166 454649_U02_17986.indd 29 02/02/2015 12:25:33

UNIDAD 2

• • 49 5 7 porque 72 5 49.

• • 1 5 1 porque 12 5 1.

• • 16 5 4 porque 42 5 16.

• • 4 5 2 porque 22 5 4.

• • 64 5 8 porque 82 5 64.

• • 9 5 3 porque 32 5 9.

4 La raíz de 0 es 0. La raíz de 1 es 1.

5 • 3 , • 10 , 4

• 4 , • 24 , 5

• 8 , • 75 , 9

• 6 , • 45 , 7

• 7 , • 50 , 8

• 9 , • 90 , 10

6 • • 100 5 10 El tablero tiene 10 filas.

• 92 5 81 Ha puesto 81 baldosas.

• 7 , • 60 , 8; 60 2 49 5 11 La caja tendrá 7 filas. Quedarán 11 bombones sin envasar.

• • 64 5 8 Cada fila tiene 8 casillas.

Saber más72 5 49 y 82 5 64. Cualquier número entre 49 y 64 (50, 51, …, 63) cumple esa condición. Son 14 números.

Cálculo mental• 1.346 • 2.063 • 2.695

• 2.583 • 2.458 • 1.139

Para restar 998 primero se resta 1.000 y luego se suma 2. Para restar 996, primero se resta 1.000 y luego se suma 4.

Para restar 2.997 primero se resta 3.000 y luego se suma 3. Para restar 4.995 primero se resta 5.000 y luego se suma 5.

Notas

Otras actividades

• Escriba en la pizarra los números del 1 al 10, y debajo, sus cuadrados (12, 22, 32, …, 92, 102). Pida a un alumno que diga un número del 1 al 100. Uno de sus compañeros deberá decir si tiene raíz cuadrada exacta o no. Después, otro dirá el valor de la raíz cuadrada de ese número (si es exacta, qué numero es, y si es entera, entre qué dos números está comprendida). Vaya escribiendo en la pizarra las distintas raíces y muestre cómo entre cada dos números podemos encontrar las raíces de varios números.

41

30

1 Escribe qué se averigua con cada grupo de cálculos.

En el restaurante tienen registrados los datos de dos años. Escribe qué se halla con cada grupo de cálculos y la solución.

Solución: Entre 2013 y 2014 los ingresos por desayunos crecieron 4.000 €.

Escribe en tu cuaderno qué se halla con los otros cálculos.

A. 3 3 2.200 5 6.6002 3 1.300 5 2.6006.600 2 2.600 5 4.000

A. 3 3 2.200 5 6.600 Calcula los ingresos por desayunos en 2014.2 3 1.300 5 2.600 Calcula los ingresos por desayunos en 2013.6.600 2 2.600 5 4.000 Halla el crecimiento de los ingresos por desayunos.

C. 10 3 2.000 5 20.00011 3 1.500 5 16.50020.000 2 16.500 5 3.500

B. 10 3 2.000 5 20.00011 3 1.500 5 16.50020.000 1 16.500 5 36.500

D. 1.600 2 1.500 5 10014 2 12 5 2100 3 2 5 200

Explicar qué se ha calculado

Solución de problemas

A. 250 1 200 1 50 5 500

B. 200 2 170 5 3030 3 2 5 60

C. 250 2 190 5 6050 2 30 5 2060 2 20 5 40

D. 250 1 200 1 50 5 500190 1 170 1 30 5 390500 2 390 5 110

Habitacionesdel hotel

Habitacionesocupadas

HOTEL REMANSO

2013 2014

Desayuno 2 3

Comida 10 11

Cena 12 14

Precio en eurosDesayunos Comidas Cenas

2.000

1.600

1.200

800

400

2013 2014

1.300

2.200

1.500 1.600

2.000

1.500

250 individuales

190 individuales

50 triples

30 triples

200 dobles

170 dobles

N.º

de

serv

icio

s

Año0

ES0000000001166 454649_U02_17986.indd 30 02/02/2015 12:25:35

Propósitos• Explicar qué se halla con un grupo de cálculos dados.

Sugerencias didácticasPara explicar. Trabaje en común el ejemplo resuelto, mostrando cómo localizar, en la tabla o en el gráfico, los datos que aparecen en cada cálculo y su significado. En el caso de varios cálculos consecutivos, indique la utilidad de ir anotando qué se halla con cada uno de los cálculos individuales para comprender mejor el significado del cálculo final. Si lo estima necesario, trabaje en común el caso B, guiando a los alumnos cuando sea necesario.

Actividades1 A. Halla el número total

de habitaciones que tiene el hotel.

B. Halla el número de personas que podrían alojarse en las habitaciones dobles libres.

C. Halla cuántas habitaciones individuales libres hay más que habitaciones triples libres.

D. Halla el número total de habitaciones libres.

Notas

Otras actividades

• Divida la clase en grupos y pida a cada grupo que intente escribir, para los gráficos y la tabla de la actividad 1, o bien para los gráficos de la actividad 2, un nuevo cálculo o grupo de cálculos. Deberán anotar los cálculos en un papel, y en otro, qué se halla con ellos. Los grupos se intercambiarán los papeles con los cálculos y cada grupo escribirá, debajo de los cálculos recibidos, qué se halla con ellos. Más tarde, el grupo inicial comprobará si la pregunta planteada es correcta. Comente algunos de los casos en común, aclarando las posibles discrepancias entre grupos.

42

1 ¿Cuál fue la diferencia de ingresos del año 2010 al 2013?

2 Cada socio paga al año una cuota de 150 €. El resto de ingresos del club se obtienen con la cuota que se paga en los torneos deportivos. ¿Cuántos ingresos por torneos se obtuvieron en 2013 más que en 2012?

3 Del año 2010 al 2013, ¿cuántos socios mujeres más que hombres tuvo el club? ¿Cuánto dinero obtuvo en total por ellos?

4 ¿Entre qué dos años aumentaron más los ingresos del club? ¿Entre qué dos años aumentó el número de socios hombres?

5 INVENTA. Escribe y resuelve un problema en el que uses algunos de los datos de los gráficos de arriba.

31

2

1 ¿Cuál fue la diferencia de ingresos del año 2010 al 2013?

2 Cada socio paga al año una cuota de 150 €. El resto de ingresos del club se obtienen con la cuota que se paga en los torneos deportivos. ¿Cuántos ingresos por torneos se obtuvieron en 2013 más que en 2012?

3 Del año 2010 al 2013, ¿cuántos socios mujeres más que hombres tuvo el club? ¿Cuánto dinero obtuvo en total por ellos?

4 ¿Entre qué dos años aumentaron más los ingresos del club? ¿Entre qué dos años aumentó el número de socios hombres?

5 INVENTA. Escribe y resuelve un problema en el que uses algunos de los datos de los gráficos de arriba.

Para celebrar el aniversario del club deportivo han repartido un folleto con informaciones de los últimos años.

En un gráfico han puesto los ingresos en euros obtenidos cada año y en otro, los socios que han tenido cada año.

¿Cuántos socios hubo en el año 2011 más que en el año 2010?

Buscamos los datos en el gráfico de barras.

Socios en 2010: 120 1 140 5 260

Socios en 2011: 220 1 200 5 420

Diferencia de socios: 420 2 260 5 160

Buscar datos en varios gráficos

Busca los datos necesarios en los gráficos y resuelve en tu cuaderno.

Solución: Hubo 160 socios más.

Ingresos en euros por año del club deportivo

80.00078.00076.00074.00072.00070.00068.00066.00064.000

2010 2011 2012 2013

N.º de socios cada año

Hombres Mujeres

240220200180160140120100

80604020

02010 2011 2012 2013

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UNIDAD 2

Propósitos • Buscar los datos necesarios para resolver problemas en un texto y/o un gráfico dados.

Sugerencias didácticasPara explicar. Formule a los alumnos preguntas sencillas y pídales que digan de qué fuente (texto o gráfico) han obtenido la información para resolverlas. Por ejemplo: ¿Cuántos participantes adultos hubo el martes? ¿Cuántas actividades son para niños o adultos?

Actividades1 3 3 (8 2 3) 5 15

Han sacado 15 tiques.

2 25 1 15 5 40 Hubo 40 participantes. 10 3 6 2 5 5 55 El coste de un bono es 55 €. 55 1 (40 2 10) 3 6 5 235 Se recaudaron 235 €.

3 70 2 45 5 25; 25 3 6 5 150 Se recaudaron 150 € más.

4 (5 1 1) 3 6 5 36 36 5 3 3 10 1 6 Han sacado 3 bonos y 6 tiques. 3 3 (10 3 6 2 5) 1 6 3 6 5 201 Han costado 201 €.

5 R. L.

Notas

Competencias

• Iniciativa y emprendimiento. Las actividades de invención de problemas permiten un desarrollo adecuado de esta competencia. Indique a los alumnos que deben planificarse, organizar la información, redactar correctamente el problema, exponerlo adecuadamente a sus compañeros y, después, evaluar la respuesta que han dado.

Inteligencia

intrapersonal

43

32

1 VOCABULARIO. Contesta y escribe un ejemplo.

¿Qué es una potencia?

¿Qué indica la base de una potencia? ¿Y el exponente?

¿Cómo se llaman las potencias de exponente 2? ¿Y las de exponente 3?

2 Expresa cada producto en forma de potencia y escribe cómo se lee.

7 3 7 3 7

5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5

10 3 10 3 10 3 10

6 3 6

8 3 8 3 8 3 8 3 8

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 Indica cuál es la base y el exponente de cada potencia y calcula su valor.

75 106 94 36

28 110 112 109

4 Escribe 3 términos más de cada serie. Después, expresa cada término en forma de potencia.

3 2 2, 4, 8, … 21, 22, 23, …

3 3 3, 9, 27, … 31, 32, 33, …

5 Escribe con cifras y calcula.

Ocho al cubo.

Dos a la séptima.

Nueve al cuadrado.

Cuatro elevado a 5.

Diez elevado a 6.

Uno elevado a 7.

6 Compara en tu cuaderno.

26 256 105 10 3 5

729 37 43 12

10.000 107 132 150

ACTIVIDADES

7 Piensa y contesta. Ayúdate con algún ejemplo si lo necesitas.

Si dos potencias tienen el mismo exponente y distintas bases, ¿cuál de las dos potencias es mayor?

Si dos potencias tienen la misma base y distintos exponentes, ¿cuál de las dos potencias es menor?

8 Expresa cada número utilizando una potencia de base 10.

100.000 Diez millones

1.000.000 Cien millones

300 29.000

70.000 170.200

4.000 5.047.000

9 Escribe la expresión polinómica de cada número.

3.567 7.010.045

15.094 30.608.001

607.108 204.600.070

10 Escribe el número.

8 3 105 1 3 3 102 1 7 3 10 1 4

2 3 106 1 9 3 104 1 3 3 102

3 3 107 1 1 3 105 1 9 3 103 1 8 3 10

1 3 109 1 4 3 108 1 6 3 106 1 3 3 105

11 Calcula si puedes cada raíz. Si no puedes, halla entre qué dos números está comprendida.

• 16 • 34 • 100 • 80

• 14 • 81 • 49 • 25

• 25 • 1 • 62 • 36


¿Cuál es el mayor número cuya raíz cuadrada está comprendida entre 6 y 7? ¿Y el menor?

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Propósitos• Repasar los contenidos básicos de la unidad.

• Aplicar las Matemáticas en distintos contextos.

Actividades1 • R. M. Una forma de expresar

una multiplicación de factores iguales.

• Base: factor que se repite. Exponente: número de veces que se repite ese factor.

• Base 2: cuadrados. Base 3: cubos.

2 • 73 • 85

• 57 • 28

• 104 • 39

• 62

3 • Base: 7; exp.: 5; 16.807

• Base: 2; exp.: 8; 256

• Base: 10; exp.: 6; 1.000.000

• Base: 1; exp.: 10; 1

• Base: 9; exp.: 4; 6.561

• Base: 11; exp.: 2; 121

• Base: 3; exp.: 6; 729

• Base: 10; exp.: 9; 1.000.000.000

4 • 16, 32, 64; 24, 25, 26

• 81, 243, 729; 34, 35, 36

5 • 83; 512 • 45; 1.024

• 27; 128 • 106; 1.000.000

• 92; 81 • 17; 1

6 • , • .

• , • .

• , • .

7 • Es mayor la potencia de base mayor (97 . 37).

• Es menor la potencia de exponente menor (52 , 57).

8 • 105 • 107

• 106 • 108

• 3 3 102 • 29 3 103

• 7 3 104 • 1.702 3 102

• 4 3 103 • 5.047 3 103

9 • 3 3 103 1 5 3 102 1 6 3 10 1 7

• 1 3 104 1 5 3 103 1 9 3 10 1 4

Otras actividades

• Proponga actividades en las que se trabajen simultáneamente las potencias, las raíces y la comparación de números. Pueden ser similares a las siguientes.

93 84 103 103

23 • 36 103 1 3 3 102 1 8 3 10 104

• Pida a los alumnos que completen los huecos en las siguientes desigualdades.

3 , 23 42 . 4 • , 2

44

15 Piensa y resuelve.

Una familia se está mudando de casa. Los operarios de la mudanza han embalado todas las cosas en cajas de cartón con forma de cubo.

Si colocan juntas las cajas del salón y de la cocina formando un cuadrado, ¿cuántas cajas habrá en el lado de ese cuadrado? ¿Y si juntan las del salón y las habitaciones? ¿Y si juntan todas las cajas?

Si deciden juntar todas las cajas y apilarlas formando un cubo, ¿cuántas cajas de altura tendrá el cubo?

33


Manuel parte un tablero en 4 trozos iguales. Después, cada uno de ellos lo parte en otros 4 y así sucesivamente. ¿Cuántos trozos tendrá después de cinco veces?

1.º 2.º 3.º

Rita ha hecho un puzle cuadrado con 81 piezas cuadradas iguales. ¿Cuántas piezas ha puesto en cada lado del puzle? ¿Cuántas habría puesto si el puzle tuviera 17 piezas menos?

14 Resuelve.

En una tienda venden hojas cuadradas para guardar sellos.

Hay hojas de estos tipos:2 Hojas con 5 huecos en cada lado.2 Hojas con 6 huecos en cada lado.

Paloma tiene 30 sellos, Lola 36 y Sonia 23. ¿Qué tipo de hoja comprará cada una? ¿Cuántas hojas comprarán? ¿Completarán todas?

En el ajedrez participan 32 piezas. Al acabar una partida todas las piezas que quedaban llenaban un cuadrado de 3 casillas de lado. ¿Cuántas piezas fueron eliminadas en la partida?

15 Piensa y resuelve.

Una familia se está mudando de casa. Los operarios de la mudanza han embalado todas las cosas en cajas de cartón con forma de cubo.

Si colocan juntas las cajas del salón y de la cocina formando un cuadrado, ¿cuántas cajas habrá en el lado de ese cuadrado? ¿Y si juntan las del salón y las habitaciones? ¿Y si juntan todas las cajas?

Si deciden juntar todas las cajas y apilarlas formando un cubo, ¿cuántas cajas de altura tendrá el cubo?

2

16 La raíz cuadrada de la raíz cuadrada de un número es 2. ¿Cuál es ese número?

Demuestra tu talento

Problemas

Cajas obtenidas

Salón: 21 cajas.

Cocina: 15 cajas.

Habitaciones: 28 cajas.

ES0000000001166 454649_U02_17986.indd 33 06/02/2015 7:51:06

UNIDAD 2

• 6 3 105 1 7 3 103 1 1 3 102 1 8

• 7 3 106 1 1 3 104 1 4 3 10 1 5

• 3 3 107 1 6 3 105 1 8 3 103 1 1

• 2 3 108 1 4 3 106 1 6 3 105 1 1 7 3 10

10 • 80.374 • 30.109.080

• 2.090.300 • 1.406.300.000

11 • • 16 5 4

• 3 , • 14 , 4

• • 25 5 5

• 5 , • 34 , 6

• • 81 5 9

• • 1 5 1

• • 100 5 10

• • 49 5 7

• 7 , • 62 , 8

• 8 , • 80 , 9

• • 25 5 5

• • 36 5 6

12 Mayor: 48. Menor: 37.

13 • 44 5 256. Tendrá 256 trozos.

• • 81 5 9. Ha puesto 9 piezas. • 64 5 8. Habría puesto 8 piezas en cada lado.

14 • Paloma: 1 hoja con 6 huecos por lado. Le sobrarán 6 huecos. Lola: 1 hoja con 6 huecos por lado. No le sobran huecos. Sonia: 1 hoja con 5 huecos por lado. Le sobrarán 2 huecos.

• 32 2 32 5 23 Fueron eliminadas 23 piezas.

15 • 21 1 15 5 36; • 36 5 6 Habrá 6 cajas por lado.

• 21 1 28 5 49; • 49 5 7 Habrá 7 cajas por lado.

• 21 1 15 1 28 5 64; • 64 5 8 Habrá 8 cajas por lado.

• 4 3 4 3 4 5 64 El cubo tendrá 4 cajas de altura.

Demuestra tu talento16 El número es (22)2 5 16.

Competencias

• Competencia social y cívica. En la actividad 15 se plantea una situación próxima a los alumnos: una mudanza. Suscite un debate con los alumnos sobre temas relacionados con ella: qué les gusta de sus casas, qué piensan sobre las mudanzas, en qué tareas podría colaborar un niño a la hora de mudarse… Haga hincapié en la importancia de ser miembros activos y colaboradores en sus familias.

45

34

Analizar la difusión de una noticia

Una revista científica ha publicado una investigación acerca de cómo se propagan las noticias. Se ha analizado cómo un pequeño grupo de personas pueden influir en el resto. Cuando se realiza una campaña publicitaria o alguien quiere difundir una noticia, Internet puede llegar a ser una herramienta muy útil.

SABER HACER

1 Calcula y contesta.

Si el primer mensaje se envía hoy, ¿cuántos mensajes se enviarán mañana? ¿Y dentro de dos días? ¿Y dentro de cuatro días?

¿Cómo podrías saber el número de mensajes enviados el quinto día a partir de los enviados el cuarto día? ¿Cuántos serán?

¿Cuántas personas conocerían en total la noticia el sexto día? ¿Y el séptimo día?

Si la noticia se considera importante durante 10 días y todas las personas mandan sus 4 mensajes, ¿cuántos mensajes se enviarán el décimo día?

2 TRABAJO COOPERATIVO. Resuelve con tu compañero y contestad.

Responded a las cuestiones de la actividad 1 suponiendo que cada persona envía el mensaje a otras 10 personas. ¿Se difunde la noticia mucho más rápido?

Veamos un ejemplo. Imagina que recibes un correo electrónico en el que te cuentan un descubrimiento científico. En cuanto lo recibes se lo envías a cuatro amigos.

Cada uno de ellos al día siguiente se lo envía a otros cuatro, y así sucesivamente.

CORREO GOODMAIL

De: SaraAsunto: Nueva especie de bacteriasHe leído que hay bacterias que pueden vivir en los volcanes submarinos. ¡Increíble!

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Propósitos• Desarrollar la competencia matemática resolviendo problemas reales.

• Repasar contenidos clave.

Actividades pág. 341 • Mañana: 4 mensajes.

2 días: 16 mensajes. 4 días: 256 mensajes.

• Multiplicando por 4. Serán 256 mensajes.

• Sexto día: 1.024 mensajes. Séptimo día: 4.096 mensajes.

• Décimo día: 49 mensajes 5 5 262.144 mensajes.

2 • Mañana: 10 mensajes. 2 días: 100 mensajes. 4 días: 10.000 mensajes.

• Multiplicando por 10. Serán 10.000 mensajes.

• Sexto día: 100.000 mensajes. Séptimo día: 1.000.000 de mensajes.

• Décimo día: 109 mensajes 5 5 1.000.000.000 de mensajes. La noticia se difunde a mucha mayor velocidad.

Actividades pág. 351 • Cinco millones cincuenta mil

seis.

• Noventa y ocho millones ciento cincuenta mil doscientos tres.

• Ciento veinte millones ocho mil novecientos.

• Tres millones ochocientos mil setenta.

• Sesenta millones doscientos un mil ochocientos cuatro.

• Setecientos seis millones noventa y nueve mil cuatrocientos setenta.

2 • 10.000.006. 1 D. de millón 1 1 6 U.

• 987.654.321. 9 C. de millón 1 1 8 D. de millón 1 7 U. de millón 1 6 CM 1 5 DM 1

1 4 UM 1 3 C 1 2 D 1 1 U

Desarrollo de la competencia matemática

• En esta página se ofrece a los alumnos un contexto real, muy próximo a ellos, en el que aplicar los conocimientos de la unidad. Esto les ayudará a desarrollar su competencia matemática. El trabajo cooperativo de la actividad 2, con sus procesos asociados de planificación, exposición y comentario final, incide también en ese desarrollo.

Inteligencia

interpersonal

46

35

REPASO ACUMULATIVO

1 Escribe cómo se lee cada número.

5.050.006 3.800.070

98.150.203 60.201.804

120.008.900 706.099.470

2 Escribe cada número y halla su descomposición.

El menor número par de ocho cifras que acaba en 6.

El mayor número impar de nueve cifras con todas sus cifras distintas.

El mayor número de siete cifras cuya cifra 8 vale 800.000 U.

3 Completa cada hueco en tu cuaderno.

89.789.898 , 0.000.000

12.310.006 . 12.3 9.187

208. 04 , 208. 00 , 208.200

99 .989 . 998.991 . 998.99

4 Calcula.

275.286 1 199.999 189 3 406

670.140 1 85.718 375 3 850

719.084 2 535.801 4.587 : 59

903.104 2 67.909 75.087 : 264

5 Escribe cada expresión y calcula.

Suma 3 a 9 y divide el resultado entre 2.

Multiplica 8 por la diferencia de 15 y 7.

Multiplica 8 por 7 y resta 15 al resultado.

Divide 24 entre la suma de 2 y 6.

Divide 24 entre 2 y luego suma 4.

6 Calcula.

5 3 4 2 6 3 3 9 2 (9 2 3 3 2)

20 2 (4 1 2) 3 3 6 1 2 3 8 2 11

6 3 3 2 5 1 1 8 2 (5 2 3) 2 2

3 2 9 : 3 1 2 10 : (6 2 1) 2 1

9 Luis tiene 11 años. Su madre tiene el triple de años que él y su abuelo muchos más. La suma de las edades de los tres es 99 años. ¿Cuántos años tiene su abuelo?

10 Para pagar una cena, un grupo de 5 amigos pone 30 € cada uno. Les devuelven 3 billetes de 10 € y dejan 5 € de propina. ¿Cuánto dinero han gastado en total?

11 De los 510 alumnos de un colegio, la mitad son chicos y de ellos un tercio comen en casa. ¿Cuántos chicos del colegio comen en casa?

12 En una tienda han comprado 20 lavadoras a 350 € cada una y han subido su precio 35 €. ¿Cuántas lavadoras, como mínimo, tienen que vender para no perder dinero? ¿Qué beneficio podrán obtener como máximo?

7 En la caja de una tienda hay 18 billetes de 20 € y 7 de 10 €. Un cliente paga un jersey de 40 € con un billete de 50 €. ¿Cuánto dinero habrá en la caja después de esa venta?

8 Mónica envasó su cosecha de 800 kg de manzanas en bolsas de 5 kg. Después, guardó la mitad de las bolsas en cajas de 40 kg cada una. ¿Cuántas cajas obtuvo Mónica?

Problemas

2

ES0000000001166 454649_U02_17986.indd 35 02/02/2015 12:25:44

UNIDAD 2

• 9.899.999. 9 U. de millón 1 1 8 CM 1 9 DM 1 9 UM 1 1 9 C 1 9 D 1 9 U.

3 • 5 9 • 5 0, 5 1

• 5 0 • 5 9, 5 0

4 • 475.285 • 76.734

• 755.858 • 318.750

• 183.283 • c 5 77, r 5 44

• 835.195 • c 5 284, r 5 111

5 • (3 1 9) : 2 5 6

• 8 3 (15 2 7) 5 64

• 8 3 7 2 15 5 41

• 24 : (2 1 6) 5 3

• 24 : 2 1 4 5 16

6 • 2 • 6

• 2 • 11

• 14 • 4

• 2 • 1

7 18 3 20 1 7 3 10 5 430

430 1 40 5 470

Habrá 470 €.

8 800 : 5 5 160 160 : 2 5 80; 80 3 5 5 400 400 : 40 5 10. Obtuvo 10 cajas.

9 11 3 3 5 33 99 2 (11 1 33) 5 55 Su abuelo tiene 55 años.

10 5 3 30 2 3 3 10 1 5 5 125 Han gastado 125 €.

11 510 : 2 5 255 255 : 3 5 85 Comen en casa 85 chicos del colegio.

12 20 3 350 5 7.000

7.000 : 385 F c 5 18, r 5 70

Deben vender como mínimo 19 lavadoras.

20 3 35 5 700. El beneficio máximo es 700 €.

Notas

Repaso en común

• Dividaalosalumnosdesuclaseengrupos.Cadaunodeellosrealizaraunmuralsobrelosdiferentesaspectostrabajadosenlaunidad:potencias,potenciasdebase10,expresiónpolinómicadeunnúmeroyraízcuadrada.Encadaunodeloscuatromuralesdeberánaparecerconclaridad losconceptosyprocedimientosestudiadosconejemplosquelosilustren, yalgunaactividadpropuestayresueltaparaexponeralresto deloscompañeros.Cadagrupoexplicaráalaclaseunodeloscuatromurales,elqueustedestimemáspertinente.Aprovechepararesolverposiblesdudasodificultadesquesepresenten.

47

36

1 Observa el gráfico anterior y contesta.

¿Qué día hubo más llamadas? ¿Qué día hubo menos correos?

¿Cuántas llamadas y correos hubo el martes?

¿Qué días aumentaron los correos respecto al día anterior?

¿Qué día disminuyeron las llamadas respecto al día anterior?

2 El veterinario ha representado el peso en kilos de dos perros durante varios años. Observa el gráfico y contesta.

Patricia trabaja en una oficina y ha representado en el gráfico el número de correos y llamadas que tuvo cada día de la semana pasada.

Interpretar gráficos lineales de dos características

Tratamiento de la información

Llamadas Correos

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

22201816141210

86420

El viernes tuvo 18 llamadas y 10 correos.

El número de llamadas aumentó del jueves al viernes.

¿Qué perro pesaba más en 2010?

¿En qué año pesó más cada perro?

¿En qué años disminuyó el peso de cada perro respecto al año anterior?

¿En qué año fue mayor la diferencia de peso entre Trisky y Roco?

Pes

o e

n kg

Trisky Roco

1820

18 1816

2422

2422

20

2004 2006 2008 2010 2012

26

22

18

14

10

6

20

Año

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Interpretar gráficos lineales de dos característicasPropósitos• Interpretar gráficos lineales de dos características.

Sugerencias didácticasPara explicar. Muestre que el gráfico está formado por dos gráficos lineales, uno para cada característica. Con él se puede analizar la evolución de cada una de las características y a la vez comparar los valores de las dos en cada momento, permitiendo así un análisis individual de cada variable y un análisis comparativo de las dos.

Actividades1 • Más llamadas: martes.

Menos correos: viernes.

• Llamadas: 20. Correos: 12.

• El jueves.

• El miércoles y el jueves.

2 • Pesaba más Roco.

• Trisky: 2006, 2008 y 2012. Roco: 2004, 2010.

• Trisky: 2010. Roco: 2006, 2012.

• 2012 (6 kilos).

Notas

Otras actividades

• Pida a los alumnos que busquen en diferentes fuentes (libros de texto de otras asignaturas, enciclopedias, revistas, Internet…) distintos gráficos lineales de dos características para analizarlos en clase. Deberán aportar la fuente de la que procede cada uno.

• También puede agruparlos en pequeños grupos y dar a cada grupo una tabla de datos para que los representen en un gráfico. Deberán determinar por sí mismos la escala de representación. Haga una puesta en común y compare las distintas representaciones hechas (puede dar la misma tabla o tablas diferentes a cada grupo).

48

37

2

1 Copia y completa el gráfico de arriba en tu cuaderno. Después, contesta.

¿En qué meses gastó más mermelada de fresa que en el mes anterior?

¿En qué meses gastó menos mermelada de ciruela que en el mes anterior?

¿En qué mes gastó más mermelada de ciruela que de fresa?

2 Haz en tu cuaderno una tabla con los refrescos de cada sabor vendidos por Pablo cada día. Después, copia el gráfico y represéntalos en él.

Pablo ha anotado en la tabla los botes de mermelada de cada clase que gastó cada mes en su nuevo restaurante.

Representar gráficos lineales de dos características

Lunes Vendió 27 refrescos de cola y 21 de limón.

Martes De cada sabor vendió 3 refrescos menos que el lunes.

Miércoles Vendió 27 refrescos de cola y 6 menos de limón.

Jueves Vendió 15 de limón y 6 más de cola.

Viernes Vendió 27 refrescos de cola y 15 menos de limón.

Fresa Ciruela

Enero 8 10

Febrero 12 6

Marzo 14 18

Abril 18 10

Mayo 16 12

¿Qué día vendió menos refrescos de cola? ¿Y más de limón?

¿En qué días vendió más refrescos de limón que el día anterior?

¿Qué días vendió más refrescos de cola que de limón?

E F M A My

N.º

de

bo

tes

Fresa Ciruela

18

14

10

6

20

Mes

L M X J V

27

21

15

9

30

N.º

de

refr

esco

s

Cola Limón

ES0000000001166 454649_U02_17986.indd 37 02/02/2015 12:25:49

UNIDAD 2

Propósitos• Representar gráficos lineales de dos características.

Sugerencias didácticasPara explicar. Indique a los alumnos la importancia de situar correctamente los puntos de cada una de las características y después unirlos para obtener un gráfico correcto. Muestre la utilidad de los gráficos para poder analizar la evolución de manera más sencilla e intuitiva que con la tabla.

Actividades1 • Febrero, marzo, abril.

• Febrero, abril.

• Enero, marzo.

2 Cola Limón

L 27 21

M 24 18

X 27 21

J 15 21

V 27 12

• Menos de cola: jueves. Más de limón: lunes, miércoles y jueves.

• Miércoles.

• Lunes, martes, miércoles y viernes.

Notas

Competencias

• Competencia digital. Las actividades de interpretación y representación de datos en gráficos lineales de dos características son un contexto en el que es posible, y puede resultar interesante, la aplicación de las TIC. Con distintos programas de representación de gráficos puede tanto aportar gráficos a los alumnos para que los interpreten, como realizar con ellos representaciones. También puede realizar análisis sobre la importancia de las escalas en los ejes a la hora de las representaciones de gráficos.

Inteligencia

espacial

27

21

15

9

30

L M X J V

49

propósitos potencias y raíz cuadrada · 2015-11-08 · 2 potencias y raíz cuadrada ¿por qué...

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