proporciones
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PROPORCIONES
Una proporción es una igualdad entre dos razones , y aparece frecuentemente en notación fraccionaria.
Por ejemplo:
2 = 6 5 15
Para resolver una proporción, debemos multiplicar cruzado para formar una ecuación. Por ejemplo:
2 = 6 = 5 15
2 · 15 = 6 · 5
30 = 30
Las proporciones expresan igualdades.
Ejemplo:
2 = 8 x 16
Ahora, se multiplica cruzado.
2 · 16 = 8 · x
32 = 8x Se resuelve la ecuación.
32 = 8x 8 8
4 = x El valor que hace cierta la proporción es 4 es decir:
2 = 8 4 16
Aplicación:
Para hacer sorullitos, mi vecina usa: 3 tazas de harina de maíz por 1 taza de líquido ( que contiene agua, azúcar, sal y mantequilla). Si ella quiere hacer 13 tazas de harina, ¿cuánto líquido debe agregarle?
Hagamos una proporción:
harina = harina líquido líquido
3 tazas harina = 13 tazas 1 taza líquido x tazas líquido
x es el valor que busco; en este caso, es el líquido para las 13 tazas de harina.
3 = 13 1 x
Ahora, se multiplica cruzado.
3 · x = 13 · 1 3x = 13
Se resuelve la ecuación para encontrar el valor de x.
3x = 13 3 3
x = 4.3
La x es igual a 4.3 . Por lo tanto, para 13 tazas de harina, se necesitan 4.3 tazas de líquido para poder hacer los sorullitos.
Otra aplicación:
Mi vecina ahora quiere hacer sorullitos, y ya sabemos que ella utiliza 3 tazas de harina por 1 taza de líquido. Ella ya tiene preparado 5.5 tazas de líquido. ¿Cuántas tazas de harina necesita para hacer los sorullitos?
harina = harina líquido líquido
3 tazas harina = x tazas harina 1 taza líquido 5.5 tazas líquido
3 = x 1 5.5
3 · 5.5 = x · 1
16.5 = x
Quiere decir, que para 5.5 tazas de líquido se necesitan 16.5 tazas de harina.
Proporciones utilizando por ciento
% = porción de un número 100 total del número
¿ Cuál es el 12% de 658?
Estamos buscando una porción de 658 .
En esta proporción, hay que ver que 12/100 está dado por 12%. Al otro lado de la proporción, va la proporción y
12 = X 100 658
12 · 658 = 100 ·X
7896 = 100 · X
7896 = 100X 100 100
78.96 = X
porción/total. No sabemos la porción, así que la x va arriba. Abajo va el total, que es 658.
¿ Cual es el 30% de 84?
30 = X 100 84
30 · 84 = 100 · X
2520 = 100X
2520 = 100X 100 100
25.2 = X
Sabemos que el 30% se expresa 30/100. Como estamos buscando la porción de 84, la X va arriba como numerador; y el total, que es 84, va abajo como denominador.
¿ El 3% de que número es 5.4?
3 = 5.4
Tenemos el 3% dado por 3/100. Vemos que 5.4 es una porción de un número que no sabemos.
Así que se está buscando el total. Por eso, la x va abajo, en el denominador.
100 X
3 · X = 5.4 · 100 3X = 540
3X = 540 3 3
X = 180
¿ 85 es qué % de 180?
X = 85 100 180
X · 180 = 85 · 100
180X = 8500
180X = 8500 180 180
X = 47.2
No tenemos el porciento; y la porción es 85 y el total es 180. Así que la x va en la parte izquierda de proporción, arriba.
Problemas de Aplicación:
A. Durante 25 minutos de ver televisión, hay 7 minutos de anuncios comerciales. Si ves 70 minutos de televisión, ¿cuántos minutos de
anuncios verás?
25 minutos T.V. = 70 minutos T. V. 7 min. anuncios x min. anuncios
25 = 70 7 x
25 · x = 70 · 7 25x = 490 (Resolver Ecuación)
25x = 490 25 25
x = 19.6
Por lo tanto, en 70 minutos de ver televisión , hay 19.6 minutos de anuncios comerciales.
B. Si una docena de huevos cuesta $1.50, ¿cuál será el costo de 100 huevos?
docena huevos = 100 huevos 1.50 x
12 = 100 1.50 x
12 · x = 100 · 1.50 12x = 150 (Resolver Ecuación)
12x = 150 12 12
x = 12.5
Por lo tanto, si una docena de huevos cuesta $1.50, 100 huevos cuesta $12.50.
Ejercicios
Encontrar el número que falta utilizando proporciones.
a) 3 = 1 x 2
b) 2 = x 9 18
c) x = 6 4 8
d) 2 = 4 9 x
Problemas de Aplicación:
1) Juan piensa hacer un bizcocho para una fiesta. Para ello, utiliza 1 taza de agua por 3 tazas de mezcla. El paquete contiene 14.5 tazas. ¿ Cuántas tazas de agua debería usar?
2) Si una docena de empanadillas cuesta $ 6.00 en la compañía Kikuet, cuánto costará 500 empanadillas?
3) Durante 60 minutos de escuchar la radio ,12.5 minutos son anuncios. Si escuchas la radio por 6 horas y 15 minutos , cuántos minutos escuchaste de anuncios?
Proporciones utilizando porciento:
1) ¿ Cuál es el 15% de 60? 2) ¿ 30% de qué es 40%? 3) 25 es qué porciento de 90?
Soluciones:
1) 3 = 1 x 2
3 = 1 x = 2
3 · 2 = 1· x 6 = x x = 6
Se multiplica cruzado Se resuelve
2) 2 = x 9 18
2 = x 9 18
2 · 18 = x · 9 36 = 9x 9 9 x = 4
Se multiplica cruzado Se simplifica
Solución
3) x = 6 4 8
x = 6 4 8 x · 8 = 24 8x = 24 8 8 x = 3
Se multiplica cruzado Se resuelve
Solución
4) 2 = 4 9 x
2 = 4 2 · x = 4 · 9 2x = 36 2 2
Se multiplica crusado Se resuelve
Solución
Aplicaciones :
1) 1 Taza de agua por 3 tazas de mezclas paquete : 14.5 tazas mezclas Tazas de agua = ?
3 tz. mezcla = 14.5 tz. mezcla 1 tz. agua x tz. agua
3 = 14.5 1 x 3 ·x = 14 · 5 3x = 14.5 3 3 x 4.83
Por lo tanto, se necesita 4.83 tazas de agua para las 14.5 tazas de mezcla.
2) Docena Empanadillas - $600 500 Emapanadillas - x
Docena Empanadillas = 500 empanadillas $ 6.00 x
12 = 500 6 x
12x = 500 · 6 12x = 3000 12 12
x = 250 Por tanto, 500 empanadillas valen $250.
3) 12·5 min.anuncios = x 60 min. de radio 6hrs. y 15min. a min
Primero , hay que cambiar las 6 horas y 15 min. a minutos
6 horas = 360 minutos + 15 minutos 375 minutos
12 · 5 = x 60 375 (12.5) (375) = x · 60
4687·5 = 60x 60 60 78 = x
En 6 horas y 15 minutos de escuchar radio , hay aproximadamente 78 minutos ( 1 hora con 18 minutos) de anuncios.
Proporciones utlilizando porciento. 1) ¿ Cuál es el 15% de 60?
15 = x 100 60
(15)(60) = x·100
900 = 100 100 100
9 = x entonces, 9 es el 15% de 60.
2) ¿ 30% de qué es 40? % total-x porción - 40
30 = 40 100 x
30·x = 40.100 30x = 4000 30 30
x = 133·33 Por lo tanto, el 30% d 133·33 es 40.
3) 25 es qué porciento de 90? porción % total
x = 25 100 90 x · 90 = 25 · 100
90x = 2500 90 90
x = 27·78 Por lo tanto, 25 es el 27.78% de 98.