Proporciones geomtricas

Desde que el ser humano ha pisado la Tierra ha creado arte en sus diferentes formas y manifestaciones. En el caso de la arquitectura se ha estudiado, de forma racional o intuitiva, la armona entre los elementos que la componen, desde las construcciones megalticas o ciclpeas hasta los grandes rascacielos neoyorkinos. De esta forma siempre se ha indagado en los modelos que la naturaleza nos ofrece, como smbolo de perfeccin e integracin. Es de ah de donde surgen las proporciones o razones imitadas en gran parte de nuestras construcciones, de las cuales hablaremos ms adelante.

Desde que el ser humano ha pisado la Tierra ha creado arte en sus diferentes formas y manifestaciones. En el caso de la arquitectura se ha estudiado, de forma racional o intuitiva, la armona entre los elementos que la componen, desde las construcciones megalticas o ciclpeas hasta los grandes rascacielos neoyorkinos. De esta forma siempre se ha indagado en los modelos que la naturaleza nos ofrece, como smbolo de perfeccin e integracin. Es de ah de donde surgen las proporciones o razones imitadas en gran parte de nuestras construcciones, de las cuales hablaremos ms adelante.

Desde que el ser humano ha pisado la Tierra ha creado arte en sus diferentes formas y manifestaciones. En el caso de la arquitectura se ha estudiado, de forma racional o intuitiva, la armona entre los elementos que la componen, desde las construcciones megalticas o ciclpeas hasta los grandes rascacielos neoyorkinos. De esta forma siempre se ha indagado en los modelos que la naturaleza nos ofrece, como smbolo de perfeccin e integracin. Es de ah de donde surgen las proporciones o razones imitadas en gran parte de nuestras construcciones, de las cuales hablaremos ms adelante.

Desde que el ser humano ha pisado la Tierra ha creado arte en sus diferentes formas y manifestaciones. En el caso de la arquitectura se ha estudiado, de forma racional o intuitiva, la armona entre los elementos que la componen, desde las construcciones megalticas o ciclpeas hasta los grandes rascacielos neoyorquinos. De esta forma siempre se ha indagado en los modelos que la naturaleza nos ofrece, como smbolo de perfeccin e integracin. Es de ah de donde surgen las proporciones o razones imitadas en gran parte de nuestras construcciones, de las cuales hablaremos ms adelante.

Desde que el ser humano ha pisado la Tierra ha creado arte en sus diferentes formas y manifestaciones. En el caso de la arquitectura se ha estudiado, de forma racional o intuitiva, la armona entre los elementos que la componen, desde las construcciones megalticas o ciclpeas hasta los grandes rascacielos neoyorquinos. De esta forma siempre se ha indagado en los modelos que la naturaleza nos ofrece, como smbolo de perfeccin e integracin. Es de ah de donde surgen las proporciones o razones imitadas en gran parte de nuestras construcciones, de las cuales hablaremos ms adelante.

La proporcin es una relacin matemtica que vincula las partes entre s. Por medio de la proporcin los artistas organizan sus composiciones, otorgndoles unidad y belleza.

Una proporcin es una igualdad entre dos razones. Del tipo: a = c b d a, b, c, d R, b, d 0

Tipos de Proporciones Existen dos tipos de razones principales: - La proporcin racional o esttica - La proporcin irracional o dinmica

Proporciones RacionalesLas proporciones racionales se producen cuando a / b da como resultado un nmero racional positivo. Nombre Igualdad Por ejemplo: a = 7 b 8Cuadrada Dupla Sesquitercia Sesquiltera Pentatercia a =1 b a = 2 b a = 4 b 3 a = 3 b 2 a = 5 b 3

Proporciones Irracionales Las proporciones irracionales se producen cuando a / b da como resultado un valor irracional. Por ejemplo: a = 2 b Diferentes Proporciones Irracionales: -Norma DIN -Razn urea -Proporcin Cordobesa -Nmero de Plata, PI y E -Nmero Plstico

Nmero de Plata Definicin: El nmero de plata o razn plateada es una constante matemtica. La razn plateada ( ) es un nmero irracional definido por la suma de 1 y la raz cuadrada de 2: = 1 + 2 2,4142135.....

Un rectngulo cuya relacin de aspecto entre los lados sea igual a la razn plateada se denomina rectngulo plateado

Propiedades:Las potencias inferiores de la razn plateada son:

Ejemplos de la Razn de plata

Nmero(pi.) es la relacin entre la longitud de una circunferencia y su dimetro, en geometra euclidiana. Es un nmero irracional y una de las constantes matemticas ms importantes. Se emplea frecuentemente en matemticas, fsica e ingeniera. El valor numrico de , truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

Nmero PI ( ), 3.14... Aplicado a un archivo escolar

Nmero e La constante matemtica e es uno de los ms importantes nmeros reales.1 Se relaciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo, la derivada de la funcin exponencial f(x) = ex es esa misma funcin. El logaritmo en base e se llama logaritmo natural o neperiano. El nmero e , conocido a veces como nmero de Euler o constante de Napier Est considerado el nmero por excelencia del clculo, as como lo es de la geometra e del anlisis complejo. Su valor aproximado (truncado) es:e 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

Nmero E, 2.71... Aplicado en un asador

Norma DIN La norma DIN 476 del Instituto Alemn de Normalizacin, editada en 1922, trata de los formatos de papel y ha sido adoptada por la mayora de los organismos nacionales de normalizacin europeos. Es una de las proporciones y nmeros ms famosos de la matemtica y de la ciencia pues muchos historiadores sostienen que en dicha proporcin se descubri la existencia de las magnitudes inconmensurables. La demostracin de la irracionalidad de dicho nmero es una de las primeras joyas de la demostracin en matemticas. Se llama raz cuadrada de 2 a la proporcin existente entre la diagonal y el lado del cuadrado. Dicha proporcin se representa por 2 = 1,4142 Dicho nmero es solucin a la ecuacin X^2 = 2

La diagonal del cuadrado

Rectngulo 2

En virtud del teorema de Pitgoras D^2 = 2L^2, D = L 2 y en consecuencia D / L = 2

Una de las particularidades de este rectngulo, que lo convierte especialmente til, reside en la forma simple de generar rectngulos semejantes mediante la divisin en dos partes iguales del lado mayor.

Obtencin de rectngulos 2 mediante biseccin

Como , lo que traducido al lenguaje de las proporciones nos lleva a y en consecuencia ambos rectngulos son semejantes. Esta particularidad se ha usado en el arte y en la industria, por ejemplo en el diseo de la norma DIN del formato de papel. EL formato A0 es uno de estos rectngulos cuyos lados estn en la proporcin 2, en concreto el de superficie 1 metro cuadrado. El formato A1 se genera mediante la divisin por la mitad del formato A0. El nuevo rectngulo as obtenido es semejante al primero y as sucesivamente. Todos estos formatos son pues semejantes.

Ejemplo de Norma DIN

Nmero plsticoEl nmero plstico es un trmino acuado por el arquitecto y monje Benedictino Hans Dom van der Laan, y se refiere a un sistema por l descubierto de proporciones que generan un orden de tipos de magnitudes, que hacen relaciones de extensin plstica entre s, en la consecucin de relaciones entre elementos de un espacio arquitectnico.

El nmero plstico es la nica solucin real de la ecuacin:

y tiene el valor:

el cual es aproximadamente 1,324718. Es el cociente limitador de los trminos sucesivos de la sucesin de Padovan y de la sucesin de Perrin, y lleva la misma relacin que el Nmero ureo hace la sucesin de Fibonacci El nmero de plstico no tiene relacin con el nmero de plata. Son trminos totalmente distintos.

Sucesin de PadovanLa sucesin de Padovan es la secuencia de nmeros enteros P(n) definida por los siguientes valores iniciales P(0) = P(1) = P(2) = 1, y la siguiente relacin de recurrencia P(n) = P(n 2) + P(n 3). Los primeros valores de P(n) son 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37,... La sucesin de Padovan fue nombrada por el matemtico Richard Padovan, quin atribuy su descubrimiento al arquitecto holands Hans van der Laan. En primera instancia fue descrita por el matemtico Ian Stewart en su art culo Mathematical Recreations de la revista Scientific Americanen junio de 1996.

Nmero de PerrinEn matemticas, los nmeros de Perrin estn definidos por la relacin de recurrencia P(0) = 3, P(1) = 0, P(2) = 2,

y P(n) = P(n 2) + P(n 3) si n > 2.

La serie comienza 3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39...

Considrese n para la cual n divide P(n). El resultado es = 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... o sea, 1 seguido de nmeros primos. Ha sido probado que para todos los primos p, p divide P(p). Lo contrario no es cierto. Dichos numeros compuestos n son llamados Pseudoprimos de Perrin, siendo el menor 271441 = 521.

Proporcin Cordobesa En unas pruebas realizadas en 1951 en la Diputacin de Crdoba, se realiz un test a estudiantes de arquitectura en que se peda que dibujaran el rectngulo ideal, dando a priori una mayor puntuacin a quien racional o instintivamente dibujara el ureo. Se detect que la mayora haba trazado uno, menos esbelto que el armnico, con la proporcin aproximada de 1,3. El hecho era suficientemente significativo para ser investigado. La repeticin del test con personas nacidas o residentes en Crdoba conduca reiteradamente a esa proporcin. La frecuencia de la proporcin 1,3 desbord la debida al clculo de probabilidades. Bien poda suceder que si bien el hombre ideal de Da Vinci debera ser de proporciones divinas, el hombre cordobs es segn sus propias caractersticas, humano. Se observa esta proporcin, la de 1,3, como una constante en la arquitectura cordobesa.

Histricamente, la proporcin urea ha sido considerada la ms perfecta, la divina, mientras que la cordobesa ha pasado por ser la ms parecida a la humana.

Mientras que la proporcin urea es la existente entre el lado y el radio del decgono, la cuadrada es la misma relacin referida al hexgono y que la raz de dos es la resultante del cuadrado, la proporcin cordobesa es la relacin entre el radio de un octgono regular y su lado:

Razn ureaEl nmero ureo es la relacin o proporcin que guardan entre s dos segmentos de rectas. Fue descubierto en la antigedad, y puede encontrarse no solo en figuras geomtricas, sino tambin en la naturaleza. A menudo se le atribuye un carcter esttico especial a los objetos que contienen este nmero, y es posible encontrar esta relacin en diversas obras de la arquitectura u el arte. Hay nmeros que han intrigado a la humanidad desde hace siglos. Valores como PI o e, suelen aparecer como resultado de las ms dispares ecuaciones o en las proporciones de diferentes objetos naturales. El nmero ureo, a menudo llamado nmero dorado, tambin posee muchas propiedades interesantes y aparece en los sitios ms dispares.

El primero en hacer un estudio formal sobre el nmero ureo fue Euclides, unos tres siglos antes de Cristo, en su obra Los Elementos. Euclides defini su valor diciendo que "una lnea recta est dividida en el extremo y su proporcional cuando la lnea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor." En otras palabras, dos nmeros positivos a y b estn en razn urea si y slo si

El valor de esta relacin es un nmero que, como tambin demostr Euclides, no puede ser descrito como la razn de dos nmeros enteros (es decir, es irracional y posee infinitos decimales) cuyo su valor aproximado es 1,6180339887498...

Este nmero tambin aparece con mucha frecuencia en el arte y la arquitectura. Por algn motivo, las figuras que estn "proporcionadas" segn el nmero ureo nos resultan ms agradables. Aunque recientes investigaciones revelan que no hay ninguna prueba que conecte esta proporcin con la esttica griega, lo cierto es que a lo largo de la historia se ha utilizado para "embellecer" muchas obras. Por ejemplo, el uso de la seccin urea puede encontrarse en las principales obras de Leonardo Da Vinci. De hecho, en su estudio de la figura humana, plasmado en el Hombre de Vitruvio, puede verse cmo todas las partes del cuerpo humano guardan relacin con la seccin urea. Obviamente, Leonardo no fue el nico en utilizar esta proporcin en su obra. Miguel ngel, por ejemplo, hizo uso del nmero ureo en la impresionante escultura El David, desde la posicin del ombligo con respecto a la altura, hasta la colocacin de las articulaciones de los dedos.

La arquitectura no es ajena a este valor matemtico. La relacin entre las partes, el techo y las columnas del Partenn de Atenas, tambin se relacionan mediante el nmero ureo. Muchos productos de consumo masivo se disean siguiendo esta relacin, ya que resultan ms agradables o cmodos. Las tarjetas de crdito o las cajas de cigarrillos poseen dimensiones que mantienen esta proporcin. El nmero ureo puede encontrarse por todas partes, y a menudo ni siquiera somos conscientes de que est all. Pero en general, cuando algo nos resulta atractivo, esconde entre sus partes esta relacin.

El rectngulo ureoDibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vrtices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectngulo.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectngulo vale por lo que la proporcin entre los dos lados es (nuestro nmero de oro).

Ejemplo de Razn urea

Razn urea en la naturaleza

Sucesin de FibonacciEl nmero ureo tambin est "emparentado" con la serie de Fibonacci. Si llamamos Fn al ensimo nmero de Fibonacci y Fn+1 al siguiente, podemos ver que a medida que n se hace ms grande, la razn entre Fn+1 y Fn oscila, siendo alternativamente menor y mayor que la razn urea. Esto lo relaciona de una forma muy especial con la naturaleza, ya que la serie de Fibonacci aparece continuamente en la estructura de los seres vivos. El nmero ureo, por ejemplo, relaciona la cantidad de abejas macho y abejas hembras que hay en una colmena, o la disposicin de los ptalos de las flores. De hecho, el papel que juega el nmero ureo en la botnica es tan grande que se lo conoce como "Ley de Ludwig". Quizs uno de los ejemplos ms conocidos sea la relacin que existe en la distancia entre las espiras del interior espiralado de los caracoles. En realidad, casi todas las espirales que aparecen en la naturaleza, como en el caso del girasol o las pias de los pinos poseen esta relacin urea, ya que su nmero generalmente es un trmino de la sucesin de Fibonacci.

Serie de Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584, Los nmeros de Fibonacci definidos por las ecuaciones quedan

Esto produce los nmeros

y as sucesivamente de manera infinita.

QUE ES EL MODULOR El Modulor pretende ser un sistema de medidas superior a los mayoritarios existentes (El Pie-pulgada y el Mtrico decimal), que permita al mundo moderno superar la barrera econmica y cultural que supone coexistir con dos sistemas, como si de dos planetas se tratase. Entre sus principales objetivos se encuentra la normalizacin, la prefabricacin y la industrializacin. Por ejemplo, lo que se construya en EE.UU, debe ser compatible con lo que se construya en Europa. Este nuevo sistema debera ser antropomtrico, matemtico y armnico y por lo tanto basado en la medida de un hombre de 1,83 metros de altura, que con el brazo en alto alcanzara aproximadamente 2,20 metros

- El Modulor es un sistema armnico de medidas y no de cifras. Por ello est construido en base a la medida del hombre, a la seccin urea y a las series de Fibonacci. - En el sistema mtrico existen infinitas medidas; en el Modulor muy pocas. Es de la combinacin de las mismas de donde resulta la riqueza del sistema.4 - El mtodo ha de ser visual, las medidas deben verse para ser adecuadamente escogidas. - stas son traducibles directamente a los dos sistemas imperantes; as 1,83 metros son 6 pies. - Las medidas del Modulor deberan salir de la combinacin de elementos bsicos e inherentes a la estructura del hombre y a la del Universo: La medida del hombre La seccin urea El doble cuadrado El ngulo recto Las series de Fibonacci y sus posibilidades combinatorias

Como grfico resumen de los valores del Modulor, que se pueden considerar caractersticamente adscritos a la estatura humana, LC, elabor el siguiente que acompaa a toda cinta del Modulor: