proporcionalidad y magnitudes

Institución Educativa el Bosque Guía de Aprendizaje en Casa

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PROPORCIONALIDAD Y MAGNITUDES 1. Momento de exploración

Razón entre dos números: Siempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos. Entonces, razón entre dos números a y b

es el cociente entre b

a

- Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5, ya que 52

10

Proporción numérica Una proporción es una igualdad entre dos razones. Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d. Es decir

Identificación

Número de Guía 2 Ciclo 10° y 11°

Duración: Fecha de inicio: 1 de marzo 2021 - Fecha de finalización: 12 de marzo 2021

Área Integradas

Matemáticas – Tecnología –Física – Economía y política

Articulación con Proyectos Transversales

Competencias a desarrollar

Razonamiento - Explicación de fenómenos - Indagación y argumentación

Situación de Aprendizaje – Pregunta Problematizadora

¿Para qué me sirve hacer conversiones entre diferentes unidades de medida?

Aprendizajes Esperados:

Al finalizar esta guía de trabajo se espera que el estudiante:

Identifique los conceptos de razones y proporciones.

Establezca diferencias entre las proporciones directas e inversas.

Resuelva reglas de tres directas, inversas y compuestas.

Convierta unidades físicas, utilizando regla de tres.

Diferencie diferentes monedas del mundo y la economía de algunos países donde se dan estas

Establezca conversiones entre el peso colombiano y algunas monedas utilizadas en el mundo.

Instrucciones para el Desarrollo:

Apreciado estudiante: la guía está diseñada en cuatro momentos para que se realice en quince días. 1. Momento de exploración: lee la información que presenta esta guía y responde las preguntas de acuerdo con lo que sabes y trata de comprender los nuevos conceptos que se dan. 2. Momento de estructuración y profundización: encuentre una serie de actividades y conceptos que permitirán ayudarte a construir tu propio conocimiento. Antes de iniciar la realización de cada actividad, lee todos con cuidado para saber si necesitas algún material, y así conseguirlo y tenerlo a la mano. Luego de que tengas los materiales, inicia en orden, la realización de cada una de las actividades. 3. Momento de socialización y evaluación: pon a prueba lo que has aprendido al resolver la guía. 4. Momento de autoevaluación. RECUERDA QUE NOS PUEDES HACER LLEGAR TUS DUDAS CON EL DIRECTOR DE GRUPO.


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Se lee “a es a b como c es a d” Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20. Es decir

Propiedad: Ley de extremos y medios.

a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios. Si en una proporción se desconoce alguno de los extremos o medios, podemos determinar el termino desconocido por medio de la ley anterior, por ejemplo:

𝑥

7=

25

5 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥. 5 = 7.25, 𝑎𝑠𝑖 𝑥 =

7.25

5= 25

Proporcionalidad directa Dos cantidades son directamente proporcionales si una de las cantidades aumenta, la otra también. Ejemplo: confites y el precio de estos, entre mas confites compre más dinero tengo que pagar por ellos. Proporcionalidad inversa: Dos cantidades son inversamente proporcionales si una de las cantidades aumenta, la otra disminuye. Ejemplo: hombres haciendo un trabajo y cantidad de tiempo que tardan en realizarlo. Entre más hombres, con igual eficiencia, estén realizando un trabajo, menos tiempo tardaran en hacerlo ACTIVIDAD 1: COMPRENDIENDO PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA. Realiza diez ejemplos de magnitudes que sean directamente proporcionales y diez ejemplos de magnitudes que sean inversamente proporcionales

REGLA DE TRES La regla de tres es un procedimiento que nos permite resolver problemas de proporcionalidad. Las reglas de tres pueden ser: directas, inversas y compuestas.

Regla de tres directa En la regla de tres directa las cantidades que intervienen en el problema son directamente proporcionales. Ejemplo: Si 5 naranjas cuestan $1250, ¿cuánto cuestan 11 naranjas? Solución: Denotemos por x al costo de las 11 naranjas. Los datos del problema los podemos escribir en dos columnas: una correspondiente a las naranjas y la otra correspondiente al precio de las naranjas y en cada fila el número de naranjas y costo respectivo. En este caso las naranjas y su costo están en proporción directa, pues a mayor cantidad de naranjas, más dinero hay que pagar por ellas. La proporción que resulta es:

Y por lo tanto las naranjas cuestan $2750.


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Regla de tres inversa En la regla de tres directa las cantidades que intervienen en el problema son inversamente proporcionales. Ejemplo: Si 4 obreros realizan un trabajo en 10 días, ¿cuánto necesitaran 8 obreros para realizar el mismo trabajo? Solución: Denotemos por x al número de días que necesitan 8 obreros para realizar el trabajo. Los datos del problema los podemos escribir en dos columnas: una correspondiente a los obreros y la otra correspondiente al número de días y en cada la el número de obreros y el respectivo número de días que necesitan para realizar el trabajo.

En este caso el número de obreros y los días están en proporción inversa, pues a mayor cantidad de obreros, menos días se requieren para que realicen el trabajo. Por tratarse de una proporción inversa, la regla nos dice que con las cantidades de las columnas debemos formar razones y construir una

proporción en la que solo una (cualquiera) de las razones este invertida respecto a la tabla:

y por tanto 8 obreros realizan el trabajo en la mitad del tiempo, 5 días. En esta proporción la razón invertida es la que corresponde a la columna correspondiente a los días. Regla de tres compuesta La regla de tres compuesta involucra varias relaciones de proporcionalidad que pueden ser directas o inversas. Ejemplo: Si 20 trabajadores construyen 4 km de carretera en 30 días, ¿cuantos días necesitaran 5 trabajadores para construir 6 km de carretera? Solución: En este problema las cantidades involucradas son de tres tipos: número de trabajadores, número de días y numero de kilómetros. Denotemos por x a la incógnita del problema, es decir, al número de días que necesitan 5 trabajadores para construir los 6 km de carretera. Los datos del problema los podemos escribir en tres columnas: una para cada tipo de cantidad involucrada y en cada la el número de obreros y su respectivo número de días y kilómetros.

El problema involucra dos reglas de tres simples que resultan de las proporciones formadas al comparar la columna que contiene la incógnita x (los días) con cada una de las otras dos columnas, como a continuación se explica. Estas reglas de tres combinadas nos permitirán encontrar la solución.

1. La primera regla de tres resulta al comparar la columna que contiene la incógnita con la primera columna que contiene el número de trabajadores. En este caso el número de días y el número de

trabajadores se encuentran en proporción inversa, pues entre menos trabajadores, mas días se requieren para realizar la obra. Por tratarse de una proporción inversa, la proporción que resulta es:

2. La segunda regla de tres resulta al comparar nuevamente la columna que contiene la incógnita

pero ahora con la tercera columna que contiene los kilómetros. En este caso el número de días y el número de kilómetros se encuentran en proporción directa, pues a mayor número de días, mayor es el número de kilómetros construidos. La regla dice que elegimos la razón de la proporción que no


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contiene a la incógnita x, es decir 5/20, y la multiplicamos por la razón 4/6 (sin invertir por hacer parte de una proporción directa), para formar la siguiente proporción y despejar la x:

Los 5 trabajadores necesitan entonces 180 d��as para construir 6 km de carretera. CONVERSION DE UNIDADES DE MEDIDAS. (REGLA DE TRES).

En la guía 1 hablamos del concepto de medida y las unidades fundamentales en el SI, resumidas en:

Pero estas no son las únicas unidades que hay para estas magnitudes, por ejemplo, si vamos a medir un escritorio en vez de utilizar el metro como unidad podemos utilizar centímetros; o si vamos a medir una calle en vez de utilizar metros podemos hacerlo con kilómetros. Estas unidades son llamadas submúltiplos y múltiplos de la unidad fundamental. En las siguientes tablas se muestran los múltiplos y submúltiplos

Por ejemplo si tomamos como unidad fundamental el metro, un múltiplo es el el hectómetro (hm) y un submúltiplo el centímetro (cm) Ahora, nos interesa hacer la conversión de unidades, es decir, queremos saber si tengo 26 metros a cuantos centímetros y a cuantos kilómetros equivalen estos metros. En esta guía de trabajo vamos a realizar esta conversión por medio de regla de tres. Notemos que una conversión de unidades es una regla de tres simple y directa, puesto que por ejemplo entre mas metros tenga, entonces mas kilómetros tendré. Ejemplo: Convertir 26 metros a:

Centímetros

Kilómetros Solución: Para ambas conversiones podemos partir de la equivalencia dada en las tablas de múltiplos y submúltiplos

1𝑐𝑚 = 10−2𝑚 esta equivalencia la tomamos de la tabla de submúltiplo. Cabe notar que las unidades involucradas son metros y centímetros. Planteando la regla de tres obtenemos:

1

𝑥=

10−2

26 → 𝑥 =

26.1

10−2=

26

10−2= 26. 102 = 2600


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Por lo tanto, 26m equivale a 2600 cm

1𝑘𝑚 = 102𝑚 esta equivalencia la tomamos de la tabla de submúltiplo. Cabe notar que las unidades involucradas son metros y kilómetros. Planteando la regla de tres obtenemos:

1

𝑥=

102

26 → 𝑥 =

26.1

102=

26

102= 26. 10−2 = 0,26

Por lo tanto, 26m equivale a 0,25 km

2. Momento de estructuración y profundización ACTIVIDAD 2: APLICANDO REGLA DE TRES En los siguientes problemas, escribe: las magnitudes que hay involucradas, que tipo de regla de tres es (directa, inversa, compuesta) y resuelve lo pedido. NOTA: todos los procedimientos empleados para llegar a cada respuesta deben quedar escritos en la solución

1) En un día de trabajo de 8 horas, un obrero ha hecho 10 cajas. ¿Cuántas horas tardará en hacer 25 de esas mismas cajas?

2) Si para pintar 180 m2 se necesitan 24 kg de pintura. ¿cuántos kg se necesitarán para pintar una superficie rectangular de 12 m de largo por 10 m de ancho?

3) Para hacer 96 m2 de un cierto género se necesitan 30 kg de lana; ¿cuántos kg se necesitarán para tejer una pieza de 0,90 m de ancho por 45 m de largo?

4) Un automóvil recorre 50 km en 1 h 32 m. ¿en qué tiempo recorrerá 30 km? 5) Doce obreros han hecho la mitad de un trabajo en 18 horas. A esa altura de la obra 4 obreros

abandonan el trabajo. ¿Cuántas horas tardan en terminarlo los obreros que quedan? 6) Un ganadero tiene 36 ovejas y alimento para ellas por el término de 28 días. Con 20 ovejas más, sin

disminuir la ración diaria y sin agregar forraje ¿durante cuántos días podrá alimentarlas? 7) Un comerciante compró 33 kg de yerba a razón de $62 el kg. ¿Cuántos kg de $66 podría haber

comprado con esa misma suma de dinero? 8) Un trabajo puede ser realizado por 80 obreros en 42 días. Si el plazo para terminarlo es de 30 días.

¿Cuántos obreros deberán aumentarse? 9) A razón de 70 km/h un automovilista emplea 2 hs 30 min para recorrer cierta distancia. ¿Qué tiempo

empleará para recorrer la misma distancia a razón de 45 k/h? 10) Una familia compuesta de 6 personas consume en 2 días 3 kg de pan. ¿Cuántos kg de pan serán

consumidos en 5 días, estando dos personas ausentes? 11) Se han pagado $144 000 a 24 obreros que han trabajado 8 días de 8 horas diarias. ¿Cuánto se

abonará en las mismas condiciones, a 15 obreros que deben trabajar 12 días a razón de 9 horas por día?

12) Un ciclista marchando a 12 km por hora recorre en varias etapas un camino empleando 9 días a razón de 7 horas por día. ¿A qué velocidad tendrá que ir si desea emplear sólo 6 días a razón de 9 horas diarias?

13) Una pileta se llenó en 3 días dejando abiertas 2 canillas que arrojan 20 litros por hora, durante 6 horas diarias. ¿Cuántos días se precisarán para llenar la misma pileta si se dejan abiertas, durante 5 horas diarias, 4 canillas que arrojan 18 l por hora?

14) Si 24 obreros pueden finalizar un trabajo en 46 días trabajando 7 horas diarias. ¿Cuántos días emplearán si se aumenta en un 75% el número de obreros y trabajan 8 horas diarias?

15) Un socio que ha colocado $7000 durante 5 meses, ha ganado $1200. ¿Cuál es el capital de un segundo socio que ganó $4200, si lo colocó durante 7 meses?

16) Cuatro máquinas que fabrican latas para envase, trabajando 6 horas diarias, han hecho 43200 envases en 5 días. Se detiene una de las máquinas, cuando faltan hacer 21600 envases, que deben


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ser entregados a los 2 días. ¿Cuántas horas diarias deben trabajar las máquinas que quedan para cumplir el pedido?

17) Se necesitan 3 bobinas de papel de 350 kg cada una para imprimir 5000 ejemplares del primer tomo de una obra. ¿Cuántas bobinas de 504 kg de papel de igual calidad y ancho que el anterior se necesitarán para imprimir 8000 ejemplares del segundo tomo de esa obra, sabiendo que el número de páginas de éste es igual a los seis quintos del número de páginas del primer tomo?

3. Momento de socialización y evaluación ACTIVIDAD 3: CONVERSION DE UNIDADES FÍSICAS. Convierte a la unidad pedida, escribiendo todos los pasos para llegar a la respuesta: a. 35km a m b. 128m a dam c. 78m a cm d. 5 m a dm e. 7hm a m f. 89cm a m

g. 7kg a g h. 678 hg a kg i. 456cg a kg j. 75kg a mg k. 12kg a cg l. 178 kg a dg

m. 7s a ms n. 345cs a s o. 67s a ds p. 8 ks a s q. 89s a das r. 8s a ks

ACTIVIDAD 4: MONEDAS DEL MUNDO Investiga 12 monedas diferentes del mundo, de tal modo que seis de ellas puedan trabajarse como múltiplos del peso colombiano, y las otras seis como submúltiplos. Construye la tabla de conversión respecto al peso colombiano. Escribe algún país en el que se usa dicha moneda y describe brevemente en que está basada la economía de dicho país

4. Momento de autoevaluación

Después de realizar las actividades y ejercicios propuestos en la guía de aprendizaje, responder las siguientes preguntas consiente y responsablemente:

¿Qué aprendí durando el desarrollo de la guía de aprendizaje en Casa?

¿Qué dificultades encontré en el desarrollo de la guía de aprendizaje en Casa?

¿Qué debo mejorar para desarrollar las futuras guías de aprendizaje en Casa? Referencias

Sematica. Universidad de Antioquia. Grado decimo.

Hipertexto física 1. Editorial Santillana

http://logistica.fime.uanl.mx/miguel/multiplos-submultiplos.html

proporcionalidad y magnitudes

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