proporcionalidad y porcentajes

NIVELACIN MATEMTICA

Manual del Alumno: Proporciones y Porcentajes

INACAP

Ciencias Bsicas

Vicerrectora de Acadmica de Pregrado

2015

2 Nivelacin

PRESENTACIN

Estimado alumno:

Junto con darte la bienvenida a una nueva instancia formativa, te presentamos el manual de nivelacin

matemtica para el alumno Inacapino. ste ser el documento gua de la asignatura de nivelacin

correspondiente y te servir como apoyo paralelo a la asignatura que cursas.

En esta asignatura trabajaremos la resolucin de problemas de manera transversal, desarrollaremos

habilidades para el clculo de proporciones y porcentajes y podrs utilizar la calculadora en toda ocasin.

En esta asignatura revisaremos ejercicios resueltos, te propondremos otros para que realices grupalmente,

otros de manera individual, y te dejaremos notas al margen para que recuerdes los conceptos y

procedimientos ms importantes de la unidad.

Al finalizar esta asignatura, esperamos que puedas establecer tu propia estrategia de resolucin de

problemas utilizando las proporciones y porcentajes y, para lograrlo, trabajaremos mediante la estrategia

metodolgica de la solucin de ejercicios y problemas, donde el docente se transforma en un mediador y

monitor de tu aprendizaje.

3 Nivelacin

PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

Esta asignatura contribuye a que puedas: Resolver situaciones problemticas mediante estrategias matemticas relacionadas con proporcionalidad y porcentajes, explicando su estrategia de resolucin y comunicando sus resultados de manera acorde a la situacin comunicativa e interlocutores.

Materiales: Manual de nivelacin para el alumno. Calculadora. Bibliografa.

Tiempo: 6 horas pedaggicas.

Clase 1

El objetivo de esta clase es que puedas comprender el concepto de razn, as como tambin, el concepto

de proporcionalidad, para que los puedas aplicar en la resolucin de ejercicios y problemas.

A continuacin, te recordaremos los pasos para resolver problemas, con el objetivo de que los trabajes

transversalmente durante todo el mdulo y la asignatura.

Pasos para resolver un problema:

1 Leer y comprender

Leer el enunciado del problema.

Identificar datos y pregunta del problema.

2Proponer y fundament

ar

Proponer una estrategia de resolucin.

Explicar la estrategia y justificarla.

3 Resolver y

comprobar

Resolver el problema aplicando procedimientos matemticos.

Comprobar que el resultado que obtuviste da respuesta al problema

4Comunicar

Comunicar los resultado de manera acorde a la situacin e interlocutores.

4 Nivelacin

Problema resuelto

En una sala de cine, 4 de cada 9 personas tienen a lo ms doce aos. Si en

total hay 252 personas. Cuntas personas mayores de 12 aos hay en la

sala de cine?

Solucin:

1 Paso: Leer y comprender. Cules son los datos del problema? Cul

es la pregunta del problema?

2 Paso: Proponer y fundamentar. Cul ser su estrategia para resolver el

problema? Por qu funcionar su estrategia?

Datos:

4 de cada 9 personas tienen a lo ms 12 aos.

En total hay 252 personas.

Pregunta:

Determinar la cantidad de personas mayores de 12 aos.

Podemos hacer un esquema que permita saber la cantidad de

personas que hay. Por ejemplo, supondremos que las pelotas rojas

son personas que a lo ms tienen 12 aos, y las otras sern

representadas por pelotas azules:

Si seguimos con esta estrategia necesitaramos seguir haciendo

puntitos de colores hasta que logremos un total de 252 personas, lo

que nos llevara mucho tiempo, pero de igual manera estara

correcto. Por lo tanto, matematizaremos nuestra estrategia.

4 de cada 9 personas

tienen a lo ms doce aos.







5 20 15 10 Cantidad de personas

mayores de 12 aos

Mayores de 12 aos

Una razn es una

comparacin entre dos

cantidades por medio de un

cociente.

4 de cada 9 personas se

escribe 4 : 9 , o bien, 4

9 como

razn.

Este enunciado nos da otras

opciones de comparacin:

12

12 =

4

5

12

=

5

9

Qu otras razones se te

ocurren plantear?

En este esquema se aprecian

claramente la cantidad de

personas que hay en la sala de

cine, si vamos aumentando de

9 en 9 el total de personas.

5 Nivelacin

3 Paso: Resolver y comprobar. Resuelvan el problema aplicando su

estrategia. Una vez que lo terminen, verifiquen que el resultado coincide

con las indicaciones del enunciado y da respuesta al problema.

4 Paso: Comunicar. Escribe tu respuesta de acuerdo a la situacin e

interlocutores.

Fjate en lo que tenemos: compararemos la cantidad de personas que

tienen a lo ms 12 aos, con las personas que son mayores de 12

aos, de acuerdo a nuestra representacin anterior:

4

5 =

4 1

5 1

8

10=

4 2

5 2

12

15=

4 3

5 3

16

20=

4 4

5 4

?

?=

4

5

Entones, debemos encontrar un nmero tal que:

4 + 5 = 252

As, resolvemos la ecuacin:

4 + 5 = 252

9 = 252

=252

9

= 28

Por lo tanto,

?

?=

4

5 =

4 28

5 28=

112

140

En la sala de cine hay 140 personas que son mayores de 12 aos.

Todas las razones que establecimos son

equivalentes. Por lo tanto, debemos

determinar el nmero x por el cual hay

que multiplicar 4 y 5 para obtener la razn

que queremos, tal que la suma de sus

componentes sea 252.

n de personas que tienen a lo ms 12 aos.

n de personas que tienen ms de 12 aos. 9 personas en total

27 personas en total




Recuerda reemplazar el

valor de x donde

corresponde, para obtener el

resultado requerido.

6 Nivelacin

Problema resuelto

Para hacer pan es necesario agregar 6 cucharadas de levadura por cada

3kg de harina. Cuntas cucharadas de levadura se necesitan para 7kg de

harina?

Solucin:

1 Paso: Leer y comprender. Cules son los datos del problema? Cul es

la pregunta del problema?



Datos:

6 cucharadas de levadura por cada 3kg de harina.

x cucharadas de levadura para 7kg de harina.

Pregunta:

Determinar x

Para resolver el problema primero debemos verificar que las variables

sean proporcionales.

Podemos hacernos una pregunta de este tipo:

Si la cantidad de harina aumenta al doble, la levadura tambin

aumentara al doble?

Como la respuesta es afirmativa, entonces, las variables son

proporcionales.

Como las variables son proporcionales, entonces, nuestra estrategia

ser aplicar la regla de tres.

Una proporcin es una

igualdad entre dos razones

equivalentes.

La relacin de

proporcionalidad es directa

siempre que: si una variable

aumenta en una cierta medida,

(al doble, al triple, etc.) la otra

variable tambin lo hace en la

misma medida (al doble, al

triple, etc.).

7 Nivelacin



con las indicaciones del enunciado y da respuesta al problema


interlocutores.

Planteamos la regla de tres:

6

3 =

7

Simplificamos la notacin de la proporcin:

6

3=

7

Y multiplicamos cruzado:

6 7 = 3

42 = 3

42

3=

14 =

Razn con ambas cantidades conocidas Razn con una cantidad a determinar

Se necesitan 14 cucharadas de levadura para hacer pan con 7 kilos de

harina.

Para plantear la regla de tres

debemos identificar las

razones con las que

trabajaremos. Una de ella

debe tener ambas cantidades

conocidas, y la otra debe

tener la cantidad que

queremos conocer.

La propiedad fundamental de

las proporciones es que el

producto de los medios es

igual al producto de los

extremos.

=

y se denominan extremos.

y se denominan medios.

Por eso podemos multiplicar

cruzado.

8 Nivelacin

Problema propuesto grupal

Juan y Pedro aportaron un capital para formar una empresa y

decidieron que sus ganancias seran repartidas de manera proporcional

a sus edades, que son 25 y 35 aos, respectivamente. Si las ganancias, a

la fecha, son $3.336.000. Cunto debera recibir cada uno?

Solucin:



2 Paso: Proponer y fundamentar. Cul ser su estrategia para resolver

el problema? Por qu funcionar su estrategia?

9 Nivelacin




4 Paso: Comunicar. Cuntale a tus compaeros del curso o a tu

profesor(a) cul es la respuesta al problema.

10 Nivelacin


Un automvil recorre 30 kilmetros en 20 minutos. Cuntos kilmetros

recorrer en 42 minutos manteniendo la misma velocidad? Cuntos

kilmetros recorrer en 55 minutos, manteniendo la misma velocidad?

Solucin:

1 Paso: Leer y comprender. Cules son los datos del problema? Cul es

la pregunta del problema?



11 Nivelacin






12 Nivelacin

Problemas propuestos individuales:

Para cada uno de estos ejercicios, debes realizar los pasos que ya has

aprendido y entrenado en esta clase.

Utiliza las tcnicas de subrayado y/o anotaciones al margen para que

puedas ir anotando los conceptos importantes, frmulas o dudas que tengas

al respecto.

1. En un comercial de televisin, se dice que 4 de cada 5 pediatras

encuestados recomiendan usar una cierta marca de jarabe para la tos. Si se

encuestaron 120 pediatras, Cuntos recomendaron el jarabe?

2. Un grupo de 14 amigos deciden asistir a una fiesta. Saben que por 3

personas se cancelan $6.450 Cunto deberan cancelar por 14 amigos,

sabiendo que les mantienen el precio por unidad?

3. En dos das, tres personas arman 24 computadores. Cuntos

computadores armarn ocho personas en la misma cantidad de das?

4. Se quiere regalar un CD de msica a los 40 alumnos de un curso. Si 16

CD tienen un v alor de $77.280. Cunto dinero es necesario para pagar 40

CDs?

5. Un 750 cc de leche da, como promedio, 150grs de nata y 250grs de

mantequilla. Cunta nata se obtiene con 40 litros de leche? Cuntos litros

de leche se necesitan para tener 3,5 kilos de mantequilla?

6. Para preparar 2 docenas y media de galletas, la receta pide 300 grs de

harina. Cuntas galletas se pueden hacer con 470 gramos de harina?

Si no alcanzas a realizar

estos ejercicios en la

clase, puedes hacerlos en

tu casa, como tarea, y

aclarar tus dudas la

prxima clase.

13 Nivelacin

Clase 2

El objetivo de esta clase es que puedas comprender el concepto de porcentaje, para calcular porcentajes

aplicando la regla de tres para resolver situaciones problemticas, comunicando sus resultados de acuerdo a

la situacin.

Problema resuelto

Un comerciante ofrece a un cliente, venderle un producto con un 15% de

descuento. Si el precio normal del producto es $23.600 Cunto debera

pagar el cliente si aplicamos el descuento al producto?

Solucin:





Datos:

Precio normal: 23.600

Descuento del 15%

Pregunta:

Determinar el precio de venta del producto, si aplicamos el

descuento.

Aplicaremos la regla de tres.

Esta regla funciona perfecto para calcular porcentajes, puesto que la

relacin entre las variables es de proporcionalidad.

14 Nivelacin





interlocutores.

Para aplicar la regla de tres para ejercicios de porcentajes, debemos

comprender la situacin y la pregunta que debemos responder.

Para esto, rellenaremos la siguiente tabla:

Cantidades (precio) Porcentajes

$23.600 100%

x 15%

Una vez que tenemos identificados los datos, podemos multiplicar

cruzado.

Cantidades (precio) Porcentajes

$23.600 100%

x 15%

23.600 15 = 100

354.000 = 100

354.000

100=

3.540 =

Ahora ya sabemos que el descuento es $3.540. Ahora calculamos el

precio final de venta.

Precio final de venta = 23.600 3.540 = $20.060.

El cliente debera pagar 20.060 por el producto con descuento.

El 100% es el precio

completo

El 15% es el descuento, que

hay que determinar.

Aplicamos la regla de tres

Resolvemos la ecuacin

Restamos para calcular el

precio final.

15 Nivelacin


Determine cul es el precio que un vendedor debe poner a un artculo

que a l le cuesta $12.000, para poder ofrecerlo con un descuento del

20% sobre el precio sealado y, todava, ganar en la operacin, un 25%

sobre el precio de venta.

Solucin:



2 Paso: Proponer y fundamentar. Cul ser su estrategia para resolver

el problema? Por qu funcionar su estrategia?

16 Nivelacin






17 Nivelacin


Una persona compra un objeto en $80.000 y lo vende con un 10% de

ganancia. En seguida, el objeto se vuelve a vender, pero ahora con un

10% de perdida. Qu porcentaje se perdi o se gan en la transaccin?

Solucin:





18 Nivelacin






19 Nivelacin

Problemas propuestos individuales:

Para cada uno de estos ejercicios, debes realizar los pasos que ya has

aprendido y entrenado en esta clase.

Utiliza las tcnicas de subrayado y/o anotaciones al margen para que

puedas ir anotando los conceptos importantes, frmulas o dudas que tengas

al respecto.

1. Ximena gan $453.000 durante este mes y pag $31.710 a su fondo de

salud. Qu porcentaje de su sueldo va al fondo de salud?

2. En un instituto de educacin superior, para fomentar la asistencia a

clases, deciden premiar a los alumnos que tenga menos de un 2% de

asistencia. Durante el periodo de clases, hubo 88 das y Paulina fue 84 das.

Podr postular al precio Paulina?

3. Camila tiene un seguro de 2.350 UF por su casa. Esa cantidad es el 80%

del valor de su casa. Cunto vale la casa?

4. Jaime aporta con el 30% de su sueldo a los gastos de su casa. Si el aporte

de Jaime es $231.000. Cul es el sueldo de Jaime?

5. En Chile, 3.968.000 hombres tienen trabajo estable, pero esto equivale al

64% de la fuerza laboral del pas. Cul es el total de personas que forman

la fuerza laboral del pas?

6. En el mes de enero del 2012, el Senado aprob la ley que aumenta las

penas a las personas que manejan un automvil bajo la influencia del

alcohol. De los 38 senadores, 30 votaron a favor y 2 votaron en contra.

Qu porcentaje de los senadores no votaron?

7. En el censo 2002, la poblacin de Santiago era 5.928.590 personas, que

representan el 35,9% de la poblacin de Chile. La poblacin de

Latinoamrica es 577.200.000 habitantes. Qu porcentaje de habitantes de

Latinoamrica son chilenos?

Si no alcanzas a realizar

estos ejercicios en la

clase, puedes hacerlos en

tu casa, como tarea, y

aclarar tus dudas la

prxima clase.

20 Nivelacin

Clase 3

El objetivo de esta clase es que aclares tus ltimas dudas y resuelvas el taller de evaluacin de manera grupal. Aqu, dejamos un espacio para que puedas escribir tus dudas y preguntrselas a tu profesor.

proporcionalidad y porcentajes

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