proporcionalidad
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PROPORCIONALIDAD
La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar la relación entre cantidades.
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, aumenta la otra en la misma proporción.
¿Cómo podemos enseñar de manera práctica esto en la escuela?
Un buen disparador para este tema puede ser la preparación de una receta. Les llevamos a los niños una receta para hacer con motivo del festejo de alguna fecha en particular. Por ejemplo: Vamos a preparar una torta para el día de la madre.
¿Esta receta rinde para cuántas porciones o personas? Pero si para ese día vienen X personas me dará esa torta?
¿Qué cantidad voy a necesitar de cada ingrediente?
Así vamos relacionando y vamos viendo que a medida que va creciendo una magnitud también lo hace la otra, en una relación de equivalencia.
Ahora otro caso de proporcionalidad es cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción.
¿Cómo podemos enseñar de manera práctica esto en la escuela?
Por ejemplo – Utilizando el tema del viaje de fin de año, planteamos el siguiente problema:
Un grupo de alumnos para su viaje de estudios contrata un autobús a precio fijo. Inicialmente iban al viaje 40 alumnos siendo el precio por persona de 90 pesos. Si finalmente hacen el viaje 30 alumnos ¿Cuánto tiene que pagar cada uno?
Resultado: 120 pesos.
El uso de tablas y gráficas es excelente para ordenar, comparar y comprender mejor estas relaciones de proporcionalidad.
En matemáticas, una fracción (del vocablo latín frāctus, fractĭo -ōnis1 , roto, o quebrado) es la expresión de una cantidad dividida entre otra.
tres cuartos más un cuarto
Diversas fracciones pueden tener el mismo valor (llamadas fracciones equivalentes), y el conjunto de todas las fracciones equivalentes
Clasificación de fracciones
Ejemplo de fracción aparente.
Las fracciones se dividen, más que nada, en 3 diferentes tipos de fracciones: propias (cuando el denominador es mayor que el numerador), impropias (cuando el denominador es menor que el numerador) y aparentes (cuando la fracción da como resultado un número entero).
Existen diversas formas para clasificar las fracciones, entre ellas están las siguientes:
Según la relación entre el numerador y el denominador:
o Fracción propia : fracción que tiene su denominador mayor que su numerador: ⅓, ⅜, ¾…
o Fracción impropia : fracción en donde el numerador es mayor que el denominador: 13/6, 18/8, 5/2…
Según la relación entre los denominadores:
o Fracción homogénea : fracciones que tienen el mismo denominador: ¼ y ¾
o Fracción heterogénea : fracciones que tienen diferentes denominadores: ¼ y ⅔
Según la relación entre el numerador y el denominador:
o Fracción reducible : fracción en la que el numerador y el denominador no son primos entre sí y puede ser simplificada: 6/12
o Fracción irreducible : fracción en la que el numerador y el denominador son primos entre sí, y, por tanto, no puede ser simplificada: ½
Otras clasificaciones:
o Fracción unitaria : fracción común de numerador 1.
o Fracción egipcia : sistema de representación de las fracciones en el Antiguo Egipto en el que cada fracción se expresa como suma de fracciones unitarias.
o Fracción aparente o entera: fracción que representa cualquier número perteneciente al conjunto de los enteros: 3/3=1, ¹⅔=4…
o Fracción decimal: fracción cuyo denominador es una potencia de diez. También puede ser una fracción expresada en base 10, en contraposición con las fracciones binarias y demás, que están expresadas en otros sistemas de numeración.
o Fracción mixta: suma de un entero y una fracción propia. Las fracciones mixtas se pueden expresar como fracciones impropias: 3¼
o Una fracción irracional es, dado que todas las fracciones deben poder ser expresadas como fracciones vulgares, una término auto contradictorio. Un número irracional es, por definición, no racional, es decir, no puede ser expresado como una fracción vulgar.
o Una fracción continua es una expresión como ésta:
donde los ai son enteros positivos.
o Fracción compuesta: fracción cuyo numerador o denominador (o los dos) contiene a su vez fracciones.
o Fracción parcial : la que puede usarse para descomponer una función racional.
o Fracción como razón: Sirve a la pregunta ¿en qué relación están?, ya que pone de manifiesto la relación que mantienen un par de números que pueden provenir de una comparación.
tres cuartos más un cuarto
Diversas fracciones pueden tener el mismo valor (llamadas fracciones equivalentes), y el conjunto de todas las fracciones equivalentes
El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes iguales, como cuando hablamos, por ejemplo, de un cuarto de hora, de la mitad de un pastel, o de las dos terceras partes de un depósito de gasolina. Tres cuartos de hora no son, evidentemente, la misma cosa que las tres cuartas partes de un pastel, pero se “calculan” de la misma manera: dividiendo la totalidad (una hora, o el pastel) en cuatro partes iguales y tomando luego tres de esas partes. Por esta razón, en ambos casos, se habla de dividir dicha unidad (una hora, un pastel, etc.) en 4 partes iguales y tomar luego 3 de dichas partes.
Una fracción se representa matemáticamente por números que están escritos uno sobre otro y que se hallan separados por una línea recta horizontal llamada raya fraccionaria.
La fracción está formada por dos términos: el numerador y el denominador. El numerador es el número que está sobre la raya fraccionaria y el denominador es el que está bajo la raya fraccionaria.
TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN
aNumerador
— -
bDenominador
El Numerador indica el número de partes iguales que se han tomado o considerado de un entero. El Denominador indica el número de partes iguales en que se ha dividido un entero.
Por ejemplo, la fracción 3 / 4 (se lee tres cuartos) tiene como numerador al 3 y como denominador al 4. El 3 significa que se han considerado 3 partes de un total de 4 partes en que se dividió el entero o el todo.
La fracción 1 / 7 (se lee un séptimo) tiene como numerador al 1 y como denominador al 7. El numerador indica que se ha considerado 1 parte de un total de 7 (el denominador indica que el entero se dividió en 7 partes iguales).
Ejemplos:
Hay 8 partes de las cuales se han pintado 5, por lo tanto, la fracción que representa matemáticamente este dibujo es 5 / 8 (se lee cinco octavos).
Hay 3 partes pintadas de un total de 5. Esto se representa como 3 / 5 (se lee tres quintos)
Debes tener presente que existen distintas posibilidades para representar gráficamente una fracción, es decir, se puede representar con distintos dibujos; lo importante es tener siempre presente el concepto de fracción.
Por ejemplo, la fracción 5 / 8, que ya vimos arriba, está representada a continuación de otras dos formas distintas:
Hay 5 partes pintadas de un total de 8 partes. Esto se representa como 5 / 8 (se lee cinco octavos)
Hay 5 partes pintadas de un total de 8 partes. Esto se representa como 5 / 8 (se lee cinco octavos)
Otros ejemplos:
Hay 1 parte pintada de un total de 2 partes. Esto se representa como 1 / 2 (se lee un medio)
Hay 5 partes pintadas de un total de 6 partes. Esto se representa como 5 / 6 (se lee cinco sextos)
Números fraccionarios
En grados anteriores los alumnos anteriores los alumnos aprendieron a encontrar el resultado de un reparto haciendo o representando el reparto. Se trata de que logren anticipar que la fracción que resulta de dividir en unidades o en partes.
Esto puede pensarse de las siguientes maneras:
Suponer que la división se hace unidad por unidad por ejemplo: si en el reparto de 4 pasteles entre 5 se repartieron los pasteles uno por uno, de cada pastel le tocara cada quien 1/5 por lo tanto de los 4 pasteles tocan 4/5.
Al resolver varios problemas de reparto manteniendo constante el divisor ( un pastel entre 5 niños, 2 pasteles entre 5 niños, 3 pasteles entre 5 niños, etc. )esto permite observar que conforme el dividendo ( número de pasteles) pasa de 1,2,3,4,etc, al resultado ocurre lo mismo. Esto ayuda a establecer también que el reparto como 4 pasteles entre 5 niños, debe tocar a cada quien 4 veces lo que le tocaría el reparto fuera de un solo pastel, por lo que 4 pasteles entre 5 niños es igual a 4 veces 1/5