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S E P RE M A T ARITMÉTICA – Academia

Prof: José Malpartida R. www.sepremat.blogspot.com

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Llamamos así a todo conjunto de números ordenados, de tal manera que, cada uno de ellos (exceptuando al Primero) se obtiene incrementando a su inmediato anterior en una cantidad constante a la cual llamamos; RAZÓN de la progresión aritmética.

Ejemplos:

En general; dada la siguiente progresión aritmética de razón “r”.

t1; t2; t3; t4; t5;...…..; tk;…………; tn.

Donde : t1 : 1er término tk : Término de lugar “K” tn : Último término to : Término anterior al 1er término

To = t1 – r .

n: Número de términos.

Además: r = t2 – t1 = t3 – t2 = t4 – t3 =.... = tn – tn - 1 .

r4trttr3trttr2trtt

rtt:queobservaseLuego

145134123

12

Generalizando: r)1k(tt 1k .

También: tn = t1 + (n – 1) r Efectuando: tn = t1 + nr – r tn – t1 + r = nr Ahora se despeja “n” y le damos la forma apropiada.

De (I):

ÚLTIMOTÉRMINO ANTERIOR AL1 Tér mino#ter minos

RAZÓN

De II:

ÚLTIMOTÉRMINO ANTERIOR AL1 Tér mino#ter minos 1

RAZÓN

Ejemplo: calcular el vigésimo noveno término y el

número total de términos en:

5; 13; 21; 29;…..; 637 Resolución.- Nótese que la progresión aritmética propuesta es

de razón 8 donde el primer término es 5; y el último es 637 y el término anterior al primero es:

5 – 8 = -3 Ahora si aplicamos la fórmula para hallar el término

29.

.229t

82858)129(5t

29

29

Ahora para hallar el # de términos usamos:

80osmintérde#

8

640

8

)3(637osmintérde#

EJERCICIOS

01) Calcular el trigésimo segundo término de la siguiente progresión aritmética: de 50 términos: 10;….. ; 304

Rpta: 02) Una progresión aritmética empieza en 111;

termina en 514 y tiene 3a términos. Entonces el valor de “a” es:

Rpta:

12; 19; 26; 33; .....; 425+7 +7 +7

*

7; 16; 25; 34; ......; 223+9 +9 +9

*

35; 32; 29; 26; .....; 5-3 -3 -3

*

(PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE RAZÓN 7)

(PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE RAZÓN 9)

(PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE RAZÓN -3)

n= t - t + 1 r

n 1

n= t - (t - r) = t - t

r rn 1 n o ...........(I)

n= t - t - r = - t1 + 1

r r rn 1 ......(II)t n 1



03) Indicar el décimo quinto término de la siguiente progresión aritmética: 16n; 27n; 40n;…..

Rpta: 04) Cuantos términos tiene la siguiente progresión

aritmética? 12n; 17n; 24n; 31n;…..; 620n. Rpta: 05) ¿En un sistema de numeración; los numerales:

479; 698 y 907; están en progresión aritmética. Rpta: 06) ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A:

cb1;....;ac;ab;84 sabiendo que: b +c – 1= a?

Rpta: 07) determinar el # de términos de la siguiente P.A.

q3n1nn 3)2n(1;....;98;ba;ab

Rpta: 08) En la P.A: 38;…; 87;..; 220; la cantidad de términos

que hay entre 87 y 220 es el triple de la cantidad de términos existentes entre 38 y 87. Hallar la cantidad total de términos.

Rpta: 09) ¿Cuántos numerales de 3 cifras del sistema de

numeración senario, se escribe con 4 cifras al ser convertidas al sistema cuaternario?

Rpta:

10) Dada la siguiente serie: ;.....;aαa4;a8 28;2930 ( =

diez) Calcular la máxima cantidad de términos si a < 10

Rpta:

TAREA

01) Sea a y b los últimos términos de cada serie S1 y

S2 respectivamente: S1:13; 18; 23; 26;…

(53 términos) S2: 2; 11; 20; 29;…

(48 términos) Hallar: b – a a) 152 b) 153 c) 154 d) 151 e) 150 02) Si la diferencia de los términos de lugar 73 y 58

de una progresión aritmética es 90. El décimo quinto término es 104. Calcular el vigésimo término.

a) 166 b) 194 c) 186 d) 144 e) 134 03) Señalar cuantos términos tiene la siguiente

progresión aritmética: abc...;;ac;ab;78

Además: a + b + c = 19

a) 151 b) 152 c) 153 d) 154 e) 155

04) Calcular a + b + n en la siguiente P.A.

;.....b4;1)1a(;5a;3a nnnn

a) 12 b) 15 c) 17 d) 18 e) 19 05) En la siguiente P.A; que consta de 33 términos

determinar la suma del primer y último término.

;.....9a3;7a3 Si la suma de

cifras del último término es 7.

a) 779 b) 778 c) 900 d) 850 e) 770

06) ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A.?

92n1nn )1n(64;...;88;bc;ab

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20



PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Se dice que un conjunto de # se encuentran en progresión geométrica; cuando cada uno de estos puede obtenerse de la multiplicación a el anterior por una misma cantidad constante llamada razón o cociente de la progresión. Clases: 1) Creciente: (razón >1); Ejem: 2; 6; 8; 54. Razón = 3 2) Decreciente: ( 0 < razón < 1)

Ejem: 64; 32; 16 y 8 Razón = 2

1

3) Alternada u oscilante: Ejem: 2; -4; 6; -16; Razón = -2 TERMINACIONES: t1 : 1er Término tn : Término general. n : # términos r : razón Sn : Suma de los “n” primeros términos. SL : Suma limite Pn : producto de los “n” primeros términos. FORMULAS DE P.G.

1) .........t

t

t

tq

2

3

1

2

2) 1n1 qTtn

Ejemplo: 415

617 qtt;qtt

pnpn qtt:generalEn

3)

.1q

)1qtS

n1

n

Ejemplo: 2 + 4 + 6 + 16 +…… + 256 Se observa: t1 = 2; n = 8; q = 2

51012

)12(2S

8

4) n

n1n ttP

En el ejemplo anterior:

36

88

2

2x2P

5) q1

tS 1

1q1n

Ejemplo: Calcular: ....27

16

9

8

3

42S

Nos piden:

32q;n

....27

16

9

8

3

42S

63/1

2

3/21

2S

b) Interpolacion: Formar una P.G con los datos siguientes:

b;...........;a

"m"

1ma

bq

Ejemplo: Interpolar 4 medios geométricos, entre 3 y 729.

729;..........;3

.medios4

Si: .729;293;81;27;9;3;314

3

729q

EJERCICIOS

01) Si: (x + 2); (x +14); (x + 50) están en P.G.

Hallar:

4xX

1i

2

2

XE

Rpta:



02) En una P.G de términos positivos se observa

que cada término es igual a la suma de los 2

términos siguientes.

¿Cuál es la razón de la progresión?

Rpta:

03) Si el 2do

y el 6to

término de una P.G. son m y n;

respectivamente. ¿Cuál es el 4to término?

Rpta:

04) Una P.A creciente es tal que los términos 3ero

,

9no

, 27avo

están en P.G. calcular las razones de

la progresión sabiendo que la suma de dichos 3

números (términos) en P.G. es 78.

Rpta:

05) En una P.G. que posee 51 términos se conoce

que el vigésimo término es 128 y el término

décimo 1/8. Hallar el término central.

Rpta:

06) Si se interpolan 4 medios geométricos entre

160y 5. hallar la suma de los 2 últimos términos

de la progresión geométrica formada.

Rpta:

07) Sea el sistema:

10zy340zyx2

Donde:

x; y; z son 3 términos consecutivos de una

Progresión geométrica creciente; hallar: xy/z

Rpta:

08) Se tiene una P.G. de 3 términos cuya suma es

15 y el producto 45. La razón adopta de forma.

2

21b1br

1k2aa

Hallar el valor de: kba

Rpta:

09) En una P.G. iguala 486. de 1er

término 2;

término de lugar: (n) -3 y ultimo 13122; hallar

la razón y el número de términos. Dar como

respuesta el término que ocupa el 6to lugar.

Rpta:

10) Una P.G. de razón 2; es tal que admite 5n

términos; siendo la suma de la n primeros (8)40

y la suma de los “n” últimos (16)40

. Calcular el

número de términos.

Rpta:

TAREA

01) Si el 4to y 8

avo término de una P.G. son m y n;

respectivamente. ¿Cuál es el 6to término?

a) 22 nm b) mn

c) nm d) 22 nm

e) N.A

02) En una P.G. que posee 51 términos se conoce

el término vigésimo es 128 y el término décimo

1/8. Hallar el término central.

a) 210

b) 211

c) 212

d) 213

e) 214

03) En la siguiente progresión de razón q: t1; t2;

t3;….; se conocen los términos:

t m - n = a t m + n = b.

Hallar tm

a) b b) a

c) a d) a

b

e) ba

04) Si (x + 2) ; (x + 8) ; (x + 26) están en P.G.

Hallar: 1x32 x3x21

a) 36 b) 27

c) 81 d) 4

e) 256

05) En: kd

c

c

b

b

a Sabiendo que “K” y “a” z

+

Hallar el valor de “c”; sabiendo que:

a + b + c + d = 16

a) 36 b) 72

c) 64 d) 26

e) 96



06) Una P.G. de razón 2; es tal que admite 5n

términos; siendo la suma de los n primeros

(6)40

y la suma de los “n” últimos (16)40

.

Calcular: el número de términos.

a) 80 b) 78

c) 60 d) 50

e) 40

07) Si: 2 2

x y 8

x y 32

Hallar x3 +y

3 + z

3 sabiendo que Z es el 3er

término de la P.G: x, y, z

a) 48 b) 36

c) 72 d) 51

e) N.A.

08) Interpolar 4 medios geométricos entre 3 y 729.

729;..........;3

.medios4 y dar el valor del 4

to término.

a) 27 b) 81

c) 9 d) 53

e) N.A.

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