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S E P RE M A T ARITMÉTICA – Academia
Prof: José Malpartida R. www.sepremat.blogspot.com
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Llamamos así a todo conjunto de números ordenados, de tal manera que, cada uno de ellos (exceptuando al Primero) se obtiene incrementando a su inmediato anterior en una cantidad constante a la cual llamamos; RAZÓN de la progresión aritmética.
Ejemplos:
En general; dada la siguiente progresión aritmética de razón “r”.
t1; t2; t3; t4; t5;...…..; tk;…………; tn.
Donde : t1 : 1er término tk : Término de lugar “K” tn : Último término to : Término anterior al 1er término
To = t1 – r .
n: Número de términos.
Además: r = t2 – t1 = t3 – t2 = t4 – t3 =.... = tn – tn - 1 .
r4trttr3trttr2trtt
rtt:queobservaseLuego
145134123
12
Generalizando: r)1k(tt 1k .
También: tn = t1 + (n – 1) r Efectuando: tn = t1 + nr – r tn – t1 + r = nr Ahora se despeja “n” y le damos la forma apropiada.
De (I):
ÚLTIMOTÉRMINO ANTERIOR AL1 Tér mino#ter minos
RAZÓN
De II:
ÚLTIMOTÉRMINO ANTERIOR AL1 Tér mino#ter minos 1
RAZÓN
Ejemplo: calcular el vigésimo noveno término y el
número total de términos en:
5; 13; 21; 29;…..; 637 Resolución.- Nótese que la progresión aritmética propuesta es
de razón 8 donde el primer término es 5; y el último es 637 y el término anterior al primero es:
5 – 8 = -3 Ahora si aplicamos la fórmula para hallar el término
29.
.229t
82858)129(5t
29
29
Ahora para hallar el # de términos usamos:
80osmintérde#
8
640
8
)3(637osmintérde#
EJERCICIOS
01) Calcular el trigésimo segundo término de la siguiente progresión aritmética: de 50 términos: 10;….. ; 304
Rpta: 02) Una progresión aritmética empieza en 111;
termina en 514 y tiene 3a términos. Entonces el valor de “a” es:
Rpta:
12; 19; 26; 33; .....; 425+7 +7 +7
*
7; 16; 25; 34; ......; 223+9 +9 +9
*
35; 32; 29; 26; .....; 5-3 -3 -3
*
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE RAZÓN 7)
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE RAZÓN 9)
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE RAZÓN -3)
n= t - t + 1 r
n 1
n= t - (t - r) = t - t
r rn 1 n o ...........(I)
n= t - t - r = - t1 + 1
r r rn 1 ......(II)t n 1
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03) Indicar el décimo quinto término de la siguiente progresión aritmética: 16n; 27n; 40n;…..
Rpta: 04) Cuantos términos tiene la siguiente progresión
aritmética? 12n; 17n; 24n; 31n;…..; 620n. Rpta: 05) ¿En un sistema de numeración; los numerales:
479; 698 y 907; están en progresión aritmética. Rpta: 06) ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A:
cb1;....;ac;ab;84 sabiendo que: b +c – 1= a?
Rpta: 07) determinar el # de términos de la siguiente P.A.
q3n1nn 3)2n(1;....;98;ba;ab
Rpta: 08) En la P.A: 38;…; 87;..; 220; la cantidad de términos
que hay entre 87 y 220 es el triple de la cantidad de términos existentes entre 38 y 87. Hallar la cantidad total de términos.
Rpta: 09) ¿Cuántos numerales de 3 cifras del sistema de
numeración senario, se escribe con 4 cifras al ser convertidas al sistema cuaternario?
Rpta:
10) Dada la siguiente serie: ;.....;aαa4;a8 28;2930 ( =
diez) Calcular la máxima cantidad de términos si a < 10
Rpta:
TAREA
01) Sea a y b los últimos términos de cada serie S1 y
S2 respectivamente: S1:13; 18; 23; 26;…
(53 términos) S2: 2; 11; 20; 29;…
(48 términos) Hallar: b – a a) 152 b) 153 c) 154 d) 151 e) 150 02) Si la diferencia de los términos de lugar 73 y 58
de una progresión aritmética es 90. El décimo quinto término es 104. Calcular el vigésimo término.
a) 166 b) 194 c) 186 d) 144 e) 134 03) Señalar cuantos términos tiene la siguiente
progresión aritmética: abc...;;ac;ab;78
Además: a + b + c = 19
a) 151 b) 152 c) 153 d) 154 e) 155
04) Calcular a + b + n en la siguiente P.A.
;.....b4;1)1a(;5a;3a nnnn
a) 12 b) 15 c) 17 d) 18 e) 19 05) En la siguiente P.A; que consta de 33 términos
determinar la suma del primer y último término.
;.....9a3;7a3 Si la suma de
cifras del último término es 7.
a) 779 b) 778 c) 900 d) 850 e) 770
06) ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A.?
92n1nn )1n(64;...;88;bc;ab
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
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PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Se dice que un conjunto de # se encuentran en progresión geométrica; cuando cada uno de estos puede obtenerse de la multiplicación a el anterior por una misma cantidad constante llamada razón o cociente de la progresión. Clases: 1) Creciente: (razón >1); Ejem: 2; 6; 8; 54. Razón = 3 2) Decreciente: ( 0 < razón < 1)
Ejem: 64; 32; 16 y 8 Razón = 2
1
3) Alternada u oscilante: Ejem: 2; -4; 6; -16; Razón = -2 TERMINACIONES: t1 : 1er Término tn : Término general. n : # términos r : razón Sn : Suma de los “n” primeros términos. SL : Suma limite Pn : producto de los “n” primeros términos. FORMULAS DE P.G.
1) .........t
t
t
tq
2
3
1
2
2) 1n1 qTtn
Ejemplo: 415
617 qtt;qtt
pnpn qtt:generalEn
3)
.1q
)1qtS
n1
n
Ejemplo: 2 + 4 + 6 + 16 +…… + 256 Se observa: t1 = 2; n = 8; q = 2
51012
)12(2S
8
4) n
n1n ttP
En el ejemplo anterior:
36
88
2
2x2P
5) q1
tS 1
1q1n
Ejemplo: Calcular: ....27
16
9
8
3
42S
Nos piden:
32q;n
....27
16
9
8
3
42S
63/1
2
3/21
2S
b) Interpolacion: Formar una P.G con los datos siguientes:
b;...........;a
"m"
1ma
bq
Ejemplo: Interpolar 4 medios geométricos, entre 3 y 729.
729;..........;3
.medios4
Si: .729;293;81;27;9;3;314
3
729q
EJERCICIOS
01) Si: (x + 2); (x +14); (x + 50) están en P.G.
Hallar:
4xX
1i
2
2
XE
Rpta:
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02) En una P.G de términos positivos se observa
que cada término es igual a la suma de los 2
términos siguientes.
¿Cuál es la razón de la progresión?
Rpta:
03) Si el 2do
y el 6to
término de una P.G. son m y n;
respectivamente. ¿Cuál es el 4to término?
Rpta:
04) Una P.A creciente es tal que los términos 3ero
,
9no
, 27avo
están en P.G. calcular las razones de
la progresión sabiendo que la suma de dichos 3
números (términos) en P.G. es 78.
Rpta:
05) En una P.G. que posee 51 términos se conoce
que el vigésimo término es 128 y el término
décimo 1/8. Hallar el término central.
Rpta:
06) Si se interpolan 4 medios geométricos entre
160y 5. hallar la suma de los 2 últimos términos
de la progresión geométrica formada.
Rpta:
07) Sea el sistema:
10zy340zyx2
Donde:
x; y; z son 3 términos consecutivos de una
Progresión geométrica creciente; hallar: xy/z
Rpta:
08) Se tiene una P.G. de 3 términos cuya suma es
15 y el producto 45. La razón adopta de forma.
2
21b1br
1k2aa
Hallar el valor de: kba
Rpta:
09) En una P.G. iguala 486. de 1er
término 2;
término de lugar: (n) -3 y ultimo 13122; hallar
la razón y el número de términos. Dar como
respuesta el término que ocupa el 6to lugar.
Rpta:
10) Una P.G. de razón 2; es tal que admite 5n
términos; siendo la suma de la n primeros (8)40
y la suma de los “n” últimos (16)40
. Calcular el
número de términos.
Rpta:
TAREA
01) Si el 4to y 8
avo término de una P.G. son m y n;
respectivamente. ¿Cuál es el 6to término?
a) 22 nm b) mn
c) nm d) 22 nm
e) N.A
02) En una P.G. que posee 51 términos se conoce
el término vigésimo es 128 y el término décimo
1/8. Hallar el término central.
a) 210
b) 211
c) 212
d) 213
e) 214
03) En la siguiente progresión de razón q: t1; t2;
t3;….; se conocen los términos:
t m - n = a t m + n = b.
Hallar tm
a) b b) a
c) a d) a
b
e) ba
04) Si (x + 2) ; (x + 8) ; (x + 26) están en P.G.
Hallar: 1x32 x3x21
a) 36 b) 27
c) 81 d) 4
e) 256
05) En: kd
c
c
b
b
a Sabiendo que “K” y “a” z
+
Hallar el valor de “c”; sabiendo que:
a + b + c + d = 16
a) 36 b) 72
c) 64 d) 26
e) 96
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06) Una P.G. de razón 2; es tal que admite 5n
términos; siendo la suma de los n primeros
(6)40
y la suma de los “n” últimos (16)40
.
Calcular: el número de términos.
a) 80 b) 78
c) 60 d) 50
e) 40
07) Si: 2 2
x y 8
x y 32
Hallar x3 +y
3 + z
3 sabiendo que Z es el 3er
término de la P.G: x, y, z
a) 48 b) 36
c) 72 d) 51
e) N.A.
08) Interpolar 4 medios geométricos entre 3 y 729.
729;..........;3
.medios4 y dar el valor del 4
to término.
a) 27 b) 81
c) 9 d) 53
e) N.A.