Profesor Fabricio Valdés NietoProfesor Fabricio Valdés NietoMayo del 2007Mayo del 2007

Introducción• Durante mucho tiempo, los artistas y diseñadores se han

preguntado cuál es la más perfecta y armoniosa forma de dividir en dos partes un objeto.

• También se han preguntado cuál es la relación entre las medidas de las partes que constituyen un objeto para que éste sea bello.

• Un objeto lo podemos dividir por la mitad, o haciendo que una parte sea el doble de la otra, o de forma que una parte sea el triple de la otra, o que una sea ¾ de la otra,... en fin, podemos hacer cualquier partición o división de un objeto.

• En la antigüedad clásica, el griego Platón observó una forma de particionar un segmento de forma armónica y agradable a la vista que llamó La Sección 

• Cerca del año 300 A. C, otro griego, Euclides, encontró geométricamente la forma de dividir en dos partes un segmento de forma armónica, o agradable a la vista

• Al segmento particionado le llamó Sección Áurea

Euclides

• Euclides escribió en su libro Los Elementos:

“Para que un segmento sea particionado en Sección Áurea la razón entre el segmento y la parte mayor debe ser igual a la razón entre la parte mayor y la menor”.

Veamos la partición de un segmento de forma armónica, tal como lo hizo Euclides:

Aquí tenemos un segmento AB que ha sido dividido en dos partes: la parte AC y la parte CB (suponemos que AC>CB)

Eculides descubrió que un segmento es dividido en dos partes de forma armónica o agradable a la vista siempre y cuando se cumpla que: la razón entre el segmento y la parte mayor es igual a la razón entre la parte mayor y la menor, es decir:

CB

AC

AC

AB

• Ésta forma de particionar un segmento constituyó la base en la que se fundaba el arte y la arquitectura de los griegos

El Partenón, templo de los dioses griegos

Determinemos el valor de la Razón Áurea

• Toda Razón es una comparación de dos magnitudes mediante su cuociente

• Por lo tanto podemos encontrar el cociente o valor que resulta de dividirlos

• Determinemos el valor de la Razón Áurea mediante Álgebra (resolviendo una ecuación)

• Tenemos un segmento AB cualquiera con AC = a, CB = b, AB = a + b. Donde CB es el segmento menor.

• El segmento debe estar particionado en Razón Áurea, por lo tanto se debe cumplir que:

b

a

a

ba

Por el Teorema Fundamental de las proporciones (multiplicando cruzado) queda,

b

a

a

ba

aabba )(

22 abba

multiplicando y reduciendo,

Nosotros sólo sabemos resolver ecuaciones

con una sola incógnita, por lo tanto digamos

que la incógnita es “b” (suponemos que conocemos “a”)

22 abba

022 abab“pasando” a2 al lado izquierdo de la ecuación,

Aplicando la fórmula para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática, tenemos que:

2

)(14 22 aaab

2

)41(2

aab

operando,

2

52aab

factorizando,

Escribiendo como producto de raíces,

2

)51(

ab

2

)51(

a

b

a pasa dividiendo,

invertimos la razón y queda,

)51(

2

b

a

Tenemos dos soluciones

)51(

2

b

a

ó

)51(

2

b

a)51(

2

b

a

pero veamos bien , es un número irracional mayor que 1 5

por lo tanto:

Es un número Positivo

Es un número Negativo

)51(

2

b

a

)51(

2

b

a

Escogemos el valor positivo de la Razón pues no existen distancias negativas

5El número es aproximadamente 2,236067… luego

...1,618033..)51(

2

b

a

Este valor encontrado para la Razón Áurea se llama (se escribe Phi y se pronuncia Fi)

Se nombró así en honor a Fidias, el arquitecto griego que construyó el Partenón usando la Razón Áurea.

El Hermano pequeño• Hemos visto que, si determinamos la razón

entre el lado mayor “b” y el menor “a” obtenemos el número de oro Phi. Ahora, también es posible hacer lo inverso: determinar la razón que existe entre el menor y el mayor:   

a

b

• A ese valor se le llama phi (en minúsculas), y es el inverso multiplicativo del número de oro (su hermano pequeño).

• Sorprendentemente, lo único que diferencia a ambos números es la parte entera: Phi es 1,618... y phi es 0,618...

• ¡El resto de los decimales son los mismos!• Phi es el UNICO número real que cumple esta

característica, además de otras muy interesantes.

¿Dónde encontramos la Razón Áurea?

La razón entre la distancia del ombligo a los pies y la distancia de la cabeza al ombligo es , así como también la razón entre la altura de un hombre y la distancia del ombligo a los pies

El Hombre de Vitrubio-Leonardo Da Vinci-

En los cuerpos y rostros de actrices,actores y cantantes famosos

6908,14,96

163

... piesaombligodist

estatura 6666,112

20

...

.arg

ojosamentondist

caraol

625,14

5,6

...

...

narizabocadist

bocaamentondist

• Conocemos el Valor de la Razón Áurea• Ya construimos un Segmento Áureo (o Sección

Áurea)• Pero también podemos construir cualquier figura

geométrica en que sus lados guarden dicha relación• Usando algunos conocimientos de geometría

podemos construir el más sencillo de todos, el Rectángulo Áureo (¡ESTE ES UN DESAFÍO!)

Construcción de un Rectángulo Áureo

• Un Rectángulo Áureo es simplemente aquel en que la razón entre su lado mayor y su lado menor es

a

b

b

a

¿Dónde podemos encontrar Rectángulos Áureos?

Generalmente, las tarjetas de crédito,los carnet de identidad y pases escolares tienen forma de rectángulo áureo, es decir la razón entre su lado mayor y menor es

En la vida cotidiana:

También asemejan a rectángulos áureos los televisores de pantalla ancha, las postales y las fotografías

La Gioconda-Leonardo Da Vinci-

Sección Áurea-Piet Mondrian-

Dos de las composiciones en rojo, amarillo y azul del pintor Piet Mondrian

En las obras de muchos otros artistas del Renacimiento se han buscado relaciones áureas.

Sir Theodore Cook (s XIX) describió una

escala simple de divisiones áureas

aplicable a la figura humana, que encaja sorprendentemente bien en las obras de

algunos pintores, como Boticelli.

El Nacimiento de Venus-Boticelli-

Hay otros casos de obras pictóricas en los que aparece el uso del Rectángulo Áureo como medio de distribución espacial (forma de componer un cuadro):

En “El Martirio de San Bartolomé”, de Ribera, es evidente la división del espacio en base a rectángulos áureos verticales y horizontales: el objeto principal se ubica en el cuadrado central

En “La Carta”, de Vermeer, la ubicación del elemento principal está en el cruce de las divisiones áureas:

El PartenónPara los griegos, la Razón Áurea constituyó la base del diseño de monumentos y construcciones en honor a sus dioses

El Partenón, templo de losdioses griegos

En la fachada del Partenón se puede inscribir un rectángulo áureo

En Monumentos:

La Espiral Mirabilis (Maravillosa) o Espiral Áurea

• Es un curva que surge de dibujar arcos de circunferencia en el interior de los sucesivos cuadrados que se obtienen al construir sucesivos rectángulos áureos

¿Dónde encontramos la Espiral Mirabilis?

En el Arte:

"Semitaza gigante volando con anexo inexplicable de cinco metros

de longitud“-Salvador Dalí-

Observa cómo la espiral áurea se ajusta a los elementos importantes de la pintura

En la Naturaleza:

La concha del cefalópodo marino Nautilus

Comentario Final

Como ejercicio de observación te propongo que te fijes en todo lo que nos rodea y compruebes, que el número áureo está presente en todas partes.

Si algo nos llama la atención por su belleza, tal vez el número de oro esté en la fuente de diseño