profesor: Christian René Antón Antón

                

Objetivos a TratarObjetivos a Tratar

Conjunto de Numero Reales

Definición de Función

Intervalos

Definición de Limite en una Función

Propiedades de Limites

Calculo de Limites

                            

Para adentrarnos en el tema tenemos que saber que son los números reales

Conjunto de los números reales

Está formado por el conjunto de los números enteros, racionales e irracionales, y lo denotaremos como R ; gráficamente el conjunto de los números reales lo podemos representar por una recta en la que fijamos un origen y una unidad, que hace que a cada punto de la recta le corresponda un número real y a cada número real le corresponda un punto de la recta. A esta recta la denominamos la recta real

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

                            

Función :

Es una relación entre los elementos de dos conjuntos, de forma que a determinados elementos del primer conjunto se asocian elementos del segundo conjunto de manera unívoca, es decir que a un elemento del primer conjunto no le podemos asociar más de un elemento del segundo conjunto. A un elemento cualquiera del primer conjunto lo representamos con la letra x, que denominamos variable independiente y al único elemento que le corresponde en el segundo conjunto lo representamos por la letra y, a la que denominamos variable dependiente. A la relación la representamos por la letra   f   y escribimos y = f (x).

                            

En el primer caso a cada valor de x le corresponde un

único valor de y. En el segundo caso, hay valores

de x que no están únicamente determinados

Primer CasoPrimer Caso

Segundo CasoSegundo Caso

                            

Intervalos

Definamos sobre la recta real :

El conjunto [a,b] se llama intervalo cerrado y (a,b) se llama intervalo abierto. En cualquiera de los casos b-a se llama longitud del intervalo.

                            

Ahora podemos pasar al análisis del limite de variables continuas.

Sea f: R R

Diremos que la función f tiende hacia el limite L

Perteneciente a R, cuando x tiende hacia el valor a perteneciente a R y lo anotaremos como:

lim f (x) = L ssi:

x a0< ع , δ > 0 tal que si x – a > δ f (x) – L > ع

lim f (x) = L

x a

                            

Esto nos quiere decir que:

Para todo ع tan pequeño como se quiera mayor que cero, existe un δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y a es menor que δ (x pertenece ] a – δ, δ + a[), se cumple que la distancia entre las imágenes y el limite es menor que ع.

Ejemplo: Demostrar que lim 3x + 5 = 1

x 2

Solución:

Sea 0< ع , por demostrar δ > 0 tal que si x – a > δ

→ 3x + 5 – 11 > ع

                            

3x + 5 – 11 > ع

3x – 6 < ع

3 (x - 2) < ع

3 x – 2 < ع

3 x – 2 < ع

x – 2 < 3/ ع

Luego si 0< ع dado, δ = 0< 3/ع tal que x – a < δ= 3/ع

3 x – 2 < ع

3 (x - 2) < ع

3x – 6 < ع

3x + 5 – 11 < ع f (x) – L < ع

                            

-Si existe lim f (x) = L este es único

x →a

-Si existe lim f (x) = L y lim g (x)= M ( es decir ambos limites existen)

- Entonces:

-lim f (x) + g (x) = lim f (x) + lim g (x)

x → a x → a x → a

lim f (x) – g (x) = lim f (x) – lim g (x)

x → a x → a x →a

                            

lim f (x) g (x) = lim f (x) lim g (x)

x → a x → a x→ a

lim f (x) lim f (x)

x → a g (x) x → a si g (x) = 0 y

lim g (x) lim g (x) = 0

x → a x → a

lim c f (x) = c lim f (x)

x → a x → a

                            

CALCULO DE LIMITESCALCULO DE LIMITES

Suele ocurrir que en el calculo de limites se produzcan algunas “ indeterminaciones” evitables.

Para evitar indeterminaciones se recurre frecuentemente a las factorizaciones, las racionalizaciones y los cambios de variables.

Ejemplos:

1.- Calcular lim x2 – 4 = lim (x - 2) (x + 2)

x → a x – 2 x → 2 (x - 2)

lim x + 2 = 4

x → 2

                            

2.- lim 1/x =1/2

x → 2

3.- lim 2 + x2 – 3 + ex = lim 2 + lim x2 – 3 + lim ex

x→1 x→1 x→1 x→1

lim 2 + lim x2 - 3 + lim ex 2 – 2 + e1

x→1 x→1 x + 2 x→1 3