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Prof. Elba M. Sepúlveda, M. A.Ed., ABD
Contenido
� Las caricaturas de hoy
� Trigonometría básica
� Ley de seno
� Ley de coseno� Ley de coseno
� Ejercicios de aplicación
Las caricaturas de hoy…
Las caricaturas de hoy…
Instrucciones
� Esta presentación muestra como obtener lasecuaciones para contestar problemas de trigonometría.
Puedes leer cada problema y tratar de resolverlo.� Puedes leer cada problema y tratar de resolverlo.
� Luego puedes cotejar tu solución con la respuestademostrada en la próxima página.
� Cualquier duda puedes escribirme a
La trigonometría de los ángulos rectos
� Trigonometría- estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos.triángulos rectángulos.
� Triángulo rectángulo-triángulo que contiene un ángulo recto o de 90°.
Funciones trigonométricas
� sen θ =
� cos θ =
� csc θ =
a
c
b
c
a
c� cos θ =
� tan θ =
� sec θ =
� cot θ =θ
ac
b
c
a
b
c
b
b
a
Ejemplo #1
� Conociendo 2 de estas variables podemos resolver cualquier problema relacionado.Ejemplo # 1. Nos podemos
30°
1
2
� Ejemplo # 1. Nos podemos aprender por lo menos un dato interesante: sen 30°= ½
� Determina la medida del lado b. Usando el teorema de Pitágoras.
b
Resultado #1
30°
1
2
b= √ 3
2 2 2
2 2 2
2 2 22 1
c a b
b c a
b
= += −= −2 2 2
2
2
2 1
4 1
3
3
b
b
b
b
= −= −=
=
� Para un θ de 30° entonces:
30°
1
2
b= √ 3
� Para un θ de 30° entonces:� sen 30° = ½ csc 30° = 2� cos 30° = √ 3/2 sec 30° = 2/ √ 3� tan 30° = 1/ √ 3 cot 30° = √ 3
¿Cuál es el sen de 60° y tan 60°?
� sen 60° =_________
� cos 60°=__________
� tan 60°=__________
� sec 60° =_________
� sen 60° = √ 3/2
� cos 60° = ½
� tan 60° = √ 3
� sec 60° = 2/ √ 3� sec 60° =_________
� csc 60°=__________
� cot 60°=___________
� sec 60° = 2/ √ 3
� csc 60° = 2
� cot 60° = 1/ √ 3
Ejemplo #2: Un triángulo de 45°
� Determina la hipotenusa� c2 = a2 + b2
� c2 = 12 + 12
� c2= 1 + 1 45°
1c
� c2= 1 + 1 � c2 = 2� c= √2� Determina: sen 45°, cos 45°, tan 45°, csc 45°,
sec 45° y cot 45°
1
Ejemplo #3
� Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 37°. El lado adyacente mide 4 m. Determina la longitud del lado opuesto al ángulo dado.longitud del lado opuesto al ángulo dado.
� Determina la hipotenusa37373737°°°°
??
4m
Resultado #3
� tan θ = op/ady� op = ady tanθ� = 4m tan 37� op = 3m
37373737°°°°
??
4m
op = 3m
� cos q = ady/hip� hip = ady/cosθ� = 4m/cos37� hip= 5m
LEY DEL SENO
Ley del seno
� Existen ciertas relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos aunque éstos no sean rectos. Esto
C
éstos no sean rectos. Esto sucede con la ley de los senos.
� Consideremos cualquier triángulo ABC
BA
b a
c
y
M
Ley del seno
� En <AMC �y/b = sen A � y= b sen A
� En <BMC �y/a = sen B � y= a sen B
b sen B = a sen A
� Entonces: C� Entonces:
� b sen A = a sen B
BA
C
b a
c
y
Mb
sen B=
a
sen A
Para cualquier <ABC:
� Ley de los senos:
a
sen A=
b
sen B=
c
sen C Csen A sen B sen C
BA
C
b a
c
y
M
Ejemplo #4
� En este <ABC, A=30°, B=40° y a= 10 m determina b y c
C
BA
b a
c
Resultado #4
a
sen A=
b
sen B=
c
sen C
� b= a sen b/sen a
� = (10m) (sen 40°)/(sen30°)
� = 12.85m
� =13 m
� El lado b mide 13 m
� c= a sen c/sen a
� = (10m) (sen 110°)/(sen30°)
� = 18.79m
� =19 m
� El lado c mide 19 m
LEY DEL COSENO
Ley del coseno
ααααγγγγ
ββββ (x,y)
a c
b
y
x b-xM
� Otra relación entre los lados y los ángulos de cualquier triángulo. Dado un < supongamos que conocemos el tamaño de los lados a y b y la medida de c.
<aMb tiene lados: y, c , b-x
� Usando el teorema de Pitágoras:� c2= y2 + (b – x)2
� = y2 + b2 – 2bx + x2
� c2= (x2 +y2) + b2– 2bx� <gMb tiene lados: x, y, a por lo tanto:
ααααγγγγ
ββββ (x,y)
a c
b
y
x b-x
M
� <gMb tiene lados: x, y, a por lo tanto:� a2 = x2 + y2
� entonces podemos sustituir en la ecuación anterior:� c2= (a2 ) + b2– 2bx� Del <γMb también podemos obtener que � cos γ = x/a � x= a cos γ� sustituyendo: c2= a2 +b2 – 2b(a cos γγγγ)
En resumen:
� Ley del coseno
a2= b2 +c2 – 2bc cos αααα
ααααγγγγ
ββββ (x,y)
a c
b
y
x b-x
M
b2= a2 +c2 – 2ac cos ββββ
a2= b2 +c2 – 2bc cos αααα
c2= a2 +b2 – 2ab cos γγγγ
Ejemplo #5
� En el siguiente triángulo a= 60°, b= 3m y c=4m.
� ¿Cuánto es a?
ββββββββ
ααααγγγγ
a c=4m
b=3m
60°
Resultado #5
� a2= (3m)2 +(4m)2 – 2(3m)(4m) cos 60°� = 9m2 +16m2 – 24m2 (0.5)a= 3.6 m� = 25m2 – 12m2
= 13m2
a2= b2 +c2 – 2bc cos αααα
ββββ� = 13m2
� a= √13 m2 = 3.606 m
a= 3.6 m
ββββ
ααααγγγγ
a c=4m
b=3m
60°
El lado a mide 3.6 m
Ejemplo #6: Resuelve
Resultado #6
� a= c senA /sen C� = (50m) sen 30° / sen110°� = 26.6 m
La distancia es de 27mC
� La distancia es de 27m
BA
b a
c
y
M
� sen B = y/a � sen 40°= y/26.6m� y= (26.6 m) sen 40°� = 17mLa distancia es de 17m