prof: dr. francisco cubillos m depto ingeniería quimica - usach

Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile

Prof: Dr. Francisco Cubillos M

Depto Ingeniería Quimica - USACH


Capítulo 4 Controladores No Convencionales

Capítulo 1 Introducción al control de procesos

Capítulo 2 Teoría de sistemas dinámicos lineales

Capítulo 3 Sistemas en lazo cerrado

>>>>>> Uso de un simulador<<<<<


Los sistemas lineales son la base para el desarrollo de la teoria de sistemas dinámicos. La razon es que estos sistemas poseen solución analítica por lo que su comportamiento puede ser determinado de manera exacta.

SISTEMAS DINAMICOS LINEALES

Un sistema dinámico lineal esta descrito por la siguiente ODE


La mayoría de los equipos y sistemas utilizados en la industria de procesos presentan características complejas (parámetros variables, variables acopladas, efectos no lineales) por lo que generalmente los modelos son No-lineales sin solución analítica , lo que restringe un análisis general.

Para desarrollar un análisis aproximado se recurre a la técnica de "LINEALIZACION" que consiste en aproximar un modelo complejo en un modelo Lineal que posee solución analítica


VARIABLES DE DESVIACION

Junto con linealizar un sistema es conveniente "referir" su respuesta con respecto a un punto específico de operación, generalmente el punto de linealización Xs

Se definen las variables de desviación de un sistema según

suuu

sXXX

_

;_


Las ventajas es que al expresar el sistema en variables de desviación, el punto del sistema linealizado es (0,0)

0 0u x

_XX


ANÁLISIS EN EL PLANO DE LAPLACE

La transformada de Laplace es un método que transforma una ecuación diferencial en una ecuación algebraica más fácil de resolver.

F(t): una función del tiempo t tal que f(t) = 0 para t<0S:una variable compleja (LAPLACE)

F(s): transformada de Laplace

Se define la Td L según


F(t) F(s) F(t)

La principal ventaja de usar las T de L en el análisis de los sistemas dinámicos es que las ecuaciones diferenciales se transforman en ecuaciones algebraicas, más fáciles de operar desde el punto de vista matemático.

Lic. plano t

Y(t)

Lic. Plano S

Y(s)

http://tsa.imageg.net/graphics/product_images/p970788reg.jpg


LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA G(s)

Sea un sistema dinámico lineal expresado en variables de desviación según :

01

1

0

10

1

tn

n

t

nt

nnn

n

dt

)t(fd....

dt

)t(dfs)t(fs)s(fs

dt

)t(fdL

Si aplicamos T.d.L mediante la transformación de derivada

0 por estar en V.D


Se define a la Función de Transferencia (FT) como el cuociente entre las salidas y las entradas en el plano de Laplace y expresadas como variables de desviación

)()()(

0.... 11

1

0.... 11

1 sGsusY

aSanSanSnan

bSbmSbm

mSbm


Otra forma de escribirla es :

)()()(

))(2)(1(

))(2)(1(sG

susY

npspspsmcscscs

Ci los ceros y pi los polos de la F.T

Observaciones:

•Una F.T se aplica a un sistema lineal en V.D.

•Una F.T es físicamente realizable si nm

•Una F.T relaciona 1 entrada con una salida (SISO)

Y(s)u(s) G(s)


Las Funciones de transferencia son útiles para representar uno o mas procesos interconectados entre si

La base es el "Álgebra de Bloques" que entrega las reglas de interacción, basadas en el principio de los sistemas lineales

Mediante este mecanismo podemos representar sistemas En serie, En Paralelo, con reciclos, con múltiples entradas y salidas, con atrasos.

T0

T3T4


Permitido No Permitido


SISTEMAS EN SERIE

COMBINACION DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

GS(s) GT(s)GT1(s) GV(s)

v(s) F0(s) T1(s) T2(s) TSAL(s)

)()(1)(2)()(

)(

)(0)(0

)(1)(1

)(2)(2

)()(

)(

)(

svGsTGsTGssG sG

sv

sF

sFsT

sTsT

sT

sSALTsG

sv

sSALT

G(s)v(s) TSAL(s)


Notar que los componentes de un lazo de control están conectados en serie.

Sensor- transductor – controlador

Controlador - conversor – valvula – proceso- variables


SISTEMAS EN PARALELO

G1(s)

G2(s)

u(s) Y(s)

)12)(11(

)1(

)(

)(

ss

sipK

su

sY

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

1.5

time

outp

ut v

aria

ble,

Y’(t

)

0

-2

1

2

3

4

-1


SISTEMAS CON ATRASO

= dead time

)()(

)()( sXesX

tXtX

ins

out

inout


SISTEMAS CON RECICLO

T0

T3T4

GH1(s) GR(s)

GH2(s)

T0(s)

T1(s) T3(s)

T4(s)

T2(s)

)()(

)()(

)(

)(

sGsG

sGsG

sT

sT

HR

HR

2

1

10

4

+

+


PASOS PARA ENCONTRAR LA F.T. DE UN PROCESO

CAMINO TEORICO

•Modelo matemático

•Especificar variables E/S (y,u,d)

•Linealizacion ( si es no lineal)

•Variables de Desviación

• Aplicar T.de L

•Despejar y(s) como función de u(s)

•Identificar las G(s); y(s)/u(s) , y(s)/d(s)


PASOS PARA ENCONTRAR LA F.T. DE UN PROCESO

CAMINO PRACTICO-EXPERIMENTAL

•Seleccionar par de variables entrada salida

• Aislar efecto de otras variables

• Hacer cambio escalón en la entrada a un tiempo dado.

• Registrar la salida (grafico o data historica) hasta nuevo equilibrio.

•Identificar el tipo de FT más adecuada y ajustar los parámetros


T

A

F,To

F,T

Q

En el proceso adjunto, consideramos V cte y el fluido absorbe una cantidad de calor Q, entrando a una temperatura To (que puede variar), Entonces :

G1(s)

G2(s)

To(s)

T(s)

Q(s)


SISTEMAS DE 1º ORDEN

)()()(

tuKtYdt

tdY

K : Ganancia estática, relación E.E. K=(Y/u)s

: Constante de tiempo (t)

La correspondiente Función de transferencia es:

)/

1(* et

AKY(t)

La solución en el tiempo para un escalón de magnitud A es :

)1()()(

SK

susY


0 20 40 60 80 100 120

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

time

t

0 20 40 60 80 100 1200.5

1

1.5

2

time

Máximapendiente“t=0”

Cambio inmediato

Salida Monotonica sin oscilación

Nuevo E E

Y = K u

63% del E E cuando t=

u = Escalón en u

El Estado estacionario se alcanza aproximadamente en t= 5*

Por lo que es una medida directa de la rapidez de respuesta


SISTEMAS DE 2º ORDEN

EstaticaGananciaK

iónAmortiguacdeFactor

naturaloscilaciondePeriodo

tuKtYdt

dY

dt

tdY

)()(22

)(22

)1222()(

)(

SS

K

su

sY

La F de T correspondiente es


Los sistemas de 2º orden son habitualmente determinados por:

•2 sistemas de primer orden en serie

•2 sistemas de primer orden interactuando (acoplados) ej Masa y energía. O con reciclo

• Sistemas basados en fuerzas (B C M)

La solución de un sistema de segundo orden se puede generalizar según :

tseAtseAtY 2211)( Con A1 y A2 Constantes que dependen del tipo de función forzante (u), y s1 y s2 las raíces de la ecuación característica

01222 SS


12

S

Resolviendo la ecuación, las raíces son:

Dependiendo del valor podemos distinguir varios comportamientos:

>1 : s1 y s2 son reales negativos y la solución para Y(t) es exponencial decreciente, por lo que se denomina "Sistema Sobre Amortiguado"

Cuando =1 se denomina "Críticamente Amortiguado"

Ej: 2 sistemas de 1º orden en serie


Si 0 < < 1 : s1 y s2 son raíces imaginarias conjugadas con parte real negativa y la solución para Y(t) es la superposición de una función sinusoidal y una exponencial decreciente por lo que se denomina "Sistema Sub Amortiguado"

21

i

SLas raíces se expresan de la forma

La solución para un escalón unitario

esta dada por:

)/(1

/;21

)]sin(/11[)(

Tan

tteKtY


La oscilación aumenta a medida que --> 0


Caracterización de respuesta Sub-Amortiguada


2exp

1

a

b

21pt

2

22

2exp

1

c a

a b

2

2

1p

a. Overshoot

b. Tiempo 1º maximo

c. Razón de Decaimiento (entre maximos)

d. Período de oscilación


La respuesta sub-amortiguada es característica de los sistemas acoplados o retro-alimentados

Ejemplo, dos sistemas de 1º Orden retroalimentados resultan en un sistema de 2º orden sub-amortiguado

Una regla de control dice que un sistema está controlando bien si responde con razón de decaimiento 1:4


Si =0 El sistema oscila armónicamente ya que la raíz es

puramente imaginaria, s = i/

Si < 0 El sistema posee raíces con parte real positiva lo que incorpora

exponencial positivo en la solución ==> Sistema Inestable

0 1 2 3 4 5 6-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 20 40 60 80 100 120

-40

-20

0

20

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