procedimiento para obtener gráficas momento-curvatura en vigas de concreto reforzado

Artculo de Divulgacin Vargas y Gonzlez / Ingeniera (9-1) 2005 37- 47

37

Procedimiento para obtener grficas

momento-curvatura en vigas de concreto

reforzado

Gabriel Vargas Marn

1, Javier Gonzlez Alonso

1

Recibido el 25 de febrero de 2005 - Aceptado el 27 de abril de 2005

RESUMEN

Se presenta el procedimiento para obtener varios puntos de la grfica de momento curvatura para una viga con seccin transversal rectangular. Para ilustrar la manera en que el anlisis de estas grficas ayuda a comprender el

comportamiento de elementos de concreto reforzado sometidos a flexin se obtienen las grficas momento curvatura para una misma seccin transversal con tres diferentes reas de acero.

Palabras clave: concreto reforzado, flexin, momento, curvatura.

ABSTRACT

A procedure to obtain several points of the moment-curvature diagram for a rectangular cross-section beam is presented. To illustrate how the analysis of these graphs can help to get better understanding of reinforced concrete

elements behavior, when they are loaded by static bending, moment-curvature graphs for the same section are

obtained with three different steel areas.

Keywords: reinforced concrete, bending, moment, curvature.

1 Profesor de Carrera del Cuerpo Acadmico de Estructuras y Materiales de la FIUADY

Artculo de Divulgacin Vargas y Gonzlez / Ingeniera (9-1) 2005 37- 47

38

Grfica esfuerzo - deformacin unitaria del concreto

0 0.001 0.002 0.003

Deformacin unitaria (

Esfu

erz

o (f'

c)

fc

cu =

Figura 1

INTRODUCCIN

El comportamiento de elementos de concreto

reforzado sometidos a flexin puede comprenderse de manera ms clara mediante el uso de las grficas que

relacionan el momento flexionante resistente en una

seccin con la curvatura correspondiente. Sin

embargo aunque en la mayora de los textos

relacionados con el concreto reforzado se resalta la

importancia de estas grficas, no se presenta el

procedimiento para su obtencin.

Se presenta el procedimiento iterativo para determinar

cuatro puntos relevantes de las grficas momento curvatura de secciones transversales rectangulares de concreto reforzado. La magnitud y la posicin de la

fuerza resultante de compresin en el concreto,

despus de la etapa elstica, se obtienen mediante el

diagrama esfuerzo deformacin unitaria propuesto por Hognestad que considera una curva parablica en

el intervalo 0 c 0.002 y una lnea recta en el intervalo 0.002 c 0.004 y que se presenta en la figura 1. La deformacin mxima til en el concreto

se considera cu = 0.003.

METODOLOGA

En cada uno de los puntos por determinar, el

procedimiento consiste en suponer el valor de la deformacin unitaria para las condiciones estudiadas

y mediante el procedimiento de tanteos, obtener la

profundidad del eje neutro que cumple con las

condiciones del equilibrio de fuerzas. Por razones de

espacio, nicamente se presentan los tanteos que

corresponden a la condicin de equilibrio. Como el

procedimiento para la obtencin de la grfica

momento curvatura es idntico para las tres reas de acero, nicamente se presenta en forma detallada el

desarrollo para la seccin A que corresponde a un

rea de acero de 5.94 cm2. Para las reas de las secciones B y C, se presentan nicamente los

resultados para cada una de las condiciones

consideradas.

Los puntos que se estudiarn para generar la grfica

momento - curvatura de las tres reas de acero,

corresponden a los siguientes estados:

1. inicio del agrietamiento 2. fluencia del acero 3. entre la fluencia del acero y la resistencia

ltima de la seccin 4. resistencia ltima

Vargas y Gonzlez / Ingeniera (9-1) 2005 37-47

39

50.8

cm

45.72

cm

25.4 cm

As

Concreto f'c = 280 kg/cm

Ec = 253,103 kg/cm (tensin y compresin)

e r = 0.00014f r = 35.43 kg/cm

Acero fy = 4,200 kg/cm

Es = 2'038,900 kg/cm

Seccin A: As = 5.94 cm

Seccin B: As = 17.1 cm

Seccin C: As = 30.42 cm (

(3 varillas de 5/8")

(6 varillas de 3/4")

6 varillas de 1")

Figura 2. Seccin transversal2

Para el clculo de la fuerza de compresin en el

concreto despus del comportamiento elstico se

consider un diagrama esfuerzo deformacin unitaria

para el concreto con una rama ascendente parablica y una rama descendente lineal, cuyas ecuaciones son:

(1) 0 para

2f

0

2

00

(2) para 1001fcu00

el coeficiente para calcular el esfuerzo equivalente en

el concreto est dado por:

(3) 0 para 3

1

k

0c

0

c

0

c

1

(4) para

5010050

3

1k

cuc0

c

2

0

0c

c

0

1

la posicin de la fuerza de compresin en el concreto,

referida a la posicin de la fibra ms lejana en

compresin desde el eje neutro, est dada por:

(5) 0 para 12

4k

0c

c0

c0

2

(6) para

50100503

3

50

2

3

12

k

cuc0

2

00c

2

c

0

cc

3

0c

2

c0c

2

0

2

La ecuacin (5) se obtiene dividiendo el momento

esttico (o de primer orden) del rea del diagrama de

esfuerzos comprendida entre el eje de las ordenadas y

un valor de la deformacin unitaria ubicada en la

porcin parablica del diagrama esfuerzo

deformacin del concreto respecto del eje de las

ordenadas, entre la magnitud de dicha rea. La

ecuacin (6) se obtiene de manera similar a la

ecuacin (5) pero corresponde a un valor de la

deformacin unitaria ubicada en la porcin recta de

dicho diagrama. Para todos los casos en estudio se considerar o = 0.002 y cu = 0.003.

2 Las dimensiones de la seccin as como las propiedades de los materiales, se obtuvieron de las notas del curso de

maestra Comportamiento de Estructuras de Concreto, impartido por el Dr. Ramn Padilla Mora en el Instituto de Ingeniera Ssmica de la Universidad de Guadalajara.


40

Obtencin del primer punto.

Punto correspondiente al inicio del agrietamiento para

As = 5.94 cm2 (3 varillas de 5/8).

En la figura 3 se muestran los diagramas de

deformaciones y de esfuerzos en la seccin

transversal:

esfuerzos

(kg/cm)

35.43

fs

45.72

cm50.8

cm

25.4 cm

As = 5.94 cm

deformaciones

0.00014

s

c

Cc = 12,325.5 kg

Tc = 11,141 kg Ts = 1,347.7 kg

17.36

cm

16.51

cm

fuerzas

fc

50.8

cm

19.68

cm

c = 26.04

cm

5.08 cm

eje neutro

Inicio del Agrietamiento

Figura 3

se supone la profundidad del eje neutro como c =

26.04 cm, la deformacin en el concreto

24.76cm

0.00014

26.04cm

c

0.000147

24.76cm

0.0001426.04cm

c

el esfuerzo mximo en el concreto:

cccEf

22c

37.27kg/cm0.000147cm253,103kg/f

la deformacin en el acero:

cm 24.76

0.00014

cm 19.68

s

0.000111

cm 24.76

0.00014 19.68cm

s

el esfuerzo mximo en el acero:

sssEf

22s

kg/cm 226.320.000111 kg/cm 2'038,900f

la fuerza de compresin en el concreto por encima del

eje neutro:

cbf2

1C

cc

kg 12,325.5cm 25.4 cm 26.04 kg/cm 37.272

1C 2

c

y las fuerzas de tensin en el concreto y en el acero

por debajo del mismo eje:

b chf2

1T

rc

kg 11,141cm 25.4 cm 24.76 kg/cm 35.432

1T 2

c

sssfAT

kg 1,344.34kg/cm 226.32 cm 5.94T 22s

como puede observarse, las magnitudes de las fuerzas

de tensin y de compresin son prcticamente

iguales. Los momentos de las fuerzas respecto del eje neutro:

cm 17.36 kg 12,325.5MEN

16.51cm11,414kg cm 16.51 kg 11,141

cmkg 424,168

cm 19.68 1,344.34kg

la curvatura correspondiente:

cm

5.645x10

cm 26.04

0.000147

c

06c


41

Obtencin del segundo punto.

Punto correspondiente a la fluencia del acero para As

= 5.94 cm2 (3 varillas de 5/8).



transversal:

deformaciones

45.72

cm50.8

cm

25.4 cm

As = 5.94 cm

y = 0.0021

c

fuerzasesfuerzos

(kg/cm)

fy = 4,200

45.72 - k2c

fc = k1k3f'c

k2c

Tc = 24,948 kg

Cc = 24,857 kg

eje neutro

d = 45.72

cm

c = 12.26

cm

33.46

cm

Fluencia del Acero

Figura 4

se supone la profundidad del eje neutro como c =

12.26 cm, la deformacin mxima en el concreto:

cm 33.46

0.0021

cm 12.26

c

90.00076

cm 33.46

0.0021 12.26cm

c

el coeficiente para calcular el esfuerzo en el concreto:

0

c

0

c

13

1

k

0.335

0.0023

0.000769-1

0.002

0.000769

el esfuerzo en el concreto:

'

c31cfkkf

22 kg/cm 79.73kg/cm 280 0.85 0.335


eje neutro y la fuerza de tensin en el acero por debajo del mismo eje:

cbfCcc

cm 25.4 cm 12.26 kg/cm 79.73 2 kg 24,828

yssfAT

kg 24,948kg/cm 4,200 cm 5.94 22


de tensin y de compresin son prcticamente

iguales.

El coeficiente para determinar la posicin de la fuerza de compresin est dado por:

c0

c0

2 12

4k

0.31020.0007690.00212

0.0007690.0024

la posicin de la fuerza de compresin:

cm 3.80cm 12.26 0.3102ck2

el momento de la fuerza de tensin respecto de la

posicin de la fuerza de compresin:

ckdTM2s

cm 3.8cm 45.72 kg 24,948 cmkg 1'045,820


cm

6.2724x10

cm 12.26

0.000769

c

05

c


42

Obtencin del tercer punto.

Punto entre el inicio de la fluencia y la resistencia

ltima de la seccin para As = 5.94 cm2 (3 varillas de

5/8).



transversal:

c = 0.002

45.72

cm50.8

cm

25.4 cm

As = 5.94 cm

deformaciones

s > y

c = 6.19 cm

esfuerzos

(kg/cm)

fy = 4,200

45.72 - k2 c

fc = k1k3f'c

k2 c

Tc = 24,948 kg

fuerzas

Cc = 24,857 kg eje neutro

45.72

cm

Entre la Fluencia y la Resistencia tima

Figura 5

para una deformacin de 0.002 en el concreto, se

supone la profundidad del eje neutro como c = 6.19

cm. La deformacin en el acero:

cm 6.19

0.002

cm 39.53

s

0.0127

cm 6.19

0.002cm 39.53

s

2

ysyskg/cm 4,200ff0.0127


0.667

0.0023

0.002-1

0.002

0.002

3

1

k

0

c

0

c

1


'

c31cfkkf

22 kg/cm 158.74kg/cm 280 0.85 0.667


eje neutro:

cbfCcc

cm 25.4 cm 6.19 kg/cm 158.74 2kg 24,959


de tensin y de compresin son prcticamente iguales

(de hecho la fuerza de tensin en el acero permanece

constante toda vez que ha alcanzado su esfuerzo de

fluencia).

El coeficiente para determinar la posicin de la fuerza

de compresin est dado por:

c0

c0

212

4k

0.27270.0020.002 12

0.0020.002 4

la posicin de la fuerza de compresin:

cm 1.688cm 6.19 0.2727ck2



ckdTM2s

cm 1.69cm 45.72 kg 24,948 cmkg 1'078,647


cm

3.231x10

6.19cm

0.002

c

04

c


43

Obtencin del cuarto punto.

Punto correspondiente a la resistencia ltima de la

seccin para As = 5.94 cm2 (3 de 5/8)..

En la figura 6, se muestran los diagramas de


transversal.

50.8 cm45.72 cm

As = 5.94 cm

25.4 cm

eje neutro

deformaciones

s > y

c = 5.42 cm

45.72

cm

cu = 0.003

Cc = 24,901 kg

Tc = 24,948 kg

k2 c

45.72 - k2 c

fy = 4,200

esfuerzos

(kg/cm)fuerzas

fc = k1k3f'c

Resistencia ltima

Figura 6

Para una deformacin ltima en el concreto de 0.003,

se supone la profundidad del eje neutro como c = 5.42

cm.

cm 5.42

0.003

cm 40.3

s

0.0223

cm 5.42

0.003 cm 40.3

2

ysyskg/cm 4,200ff0.0223


c

2

0

0c

c

0

1

50 100 50

3

1k

0.002 1000.003 50-

0.003 3

0.002-1

0.760.003

0.00250

2


'

c31cfkkf

22 kg/cm 180.9kg/cm 280 0.85 0.76


eje neutro:

cbfCcc

25.4cm5.42cm180.9kg/cm2

24,901kg


de tensin y de compresin son prcticamente iguales

(de hecho la fuerza de tensin en el acero permanece

constante toda vez que ha alcanzado su esfuerzo de

fluencia).

El coeficiente para determinar la posicin de la fuerza

de compresin est dado por:

2

00c

2

c

0

cc

3

0c

2

c0c

2

0

2

50 100 503

3

50

2

3

12

k

22

3

22

0.002 500.002 0.003 1000.003 503

0.0020.003 0.003

0.0020.0033

50

2

0.003

3

0.002 0.003

12

0.002

0.411k2

la posicin de la fuerza de compresin

cm 2.23cm 5.42 0.411ck2



ckdTM2s

cm 2.23cm 45.72 kg 24,948 cmkg 1'084,989



44

cm

5.535x10

cm 5.42

0.003

c

04

c

Como se mencion con anterioridad, el

procedimiento para determinar los puntos de las

grficas de momento curvatura para las otras dos condiciones de refuerzo, secciones B y C, es similar

al descrito anteriormente, por lo que nicamente se

presentan los resultados correspondientes en las tablas

1 y 2.

COMENTARIOS FINALES Y CONCLUSIONES.

De la comparacin de las curvas momento curvatura (ver Figura 7) para las tres cantidades de

acero descritas al inicio, se pueden obtener las

siguientes conclusiones:

i. Para el rea de acero de 5.94 cm2, que

corresponde a 3 varillas de 5/8 de dimetro, se observa que aun cuando su momento

ltimo es el menor de los tres casos, se

dispone de una gran ductilidad para la

seccin, esto es, se logran alcanzar grandes

deformaciones en ella antes de que se

alcance la resistencia ltima (el porcentaje

de acero de esta seccin est por encima del

valor mnimo y por debajo del valor

mximo, es decir, se trata de una seccin

subreforzada). La seccin presenta una falla

de tipo dctil.

ii. Para el rea de acero de 17.1 cm2, que corresponde a 6 varillas de 3/4" de dimetro,

se observa que se logra un gran aumento en

el valor del momento ltimo, pero se reduce

considerablemente el comportamiento dctil

que se presenta en el caso anterior (el

porcentaje de acero est muy cerca del

porcentaje mximo para una seccin subreforzada). La seccin sigue presentando

una falla de tipo dctil ya que el acero

alcanza su esfuerzo de fluencia antes de que

el concreto llegue al aplastamiento.

iii. Para el rea de acero de 30.42 cm2, que corresponde a 6 varillas de 1 de dimetro, se observa tambin una aumento

considerable en el momento resistente

respecto de los casos anteriores; sin

embargo, la ductilidad es prcticamente nula, esto es, la viga alcanza su resistencia

mxima e inmediatamente despus

sobreviene la falla (el porcentaje de acero

est muy por encima del porcentaje mximo

para una viga subreforzada). La seccin

presenta una falla de tipo frgil.

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

1. Park R., Paulay T., Estructuras de Concreto Reforzado, Limusa, Primera edicin, Mxico 1986. 2. Gonzlez Oscar, Aspectos Fundamentales del Concreto Reforzado, Limusa, Segunda edicin,

Mxico, 1985.

3. Gonzlez, Javier, Apuntes de Estructuras de Concreto, UADY, Mxico, 1993.


45

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035 0.0004 0.00045 0.0005 0.00055 0.0006

Seccin A

Seccin B

Seccin C

Mom

ento

(10

5 , k

g-c

m)

Curvatura (cm-1

)

Figura 7. Grficas Momento Curvatura (M - ) para las secciones A, B y C


46

Tabla 1. Coordenadas de los puntos de la grfica Momento Curvatura (M - ) para la seccin B

Propiedades de la seccin B

b (cm) h (cm) d (cm) f'c (kg/cm2) Ec (kg/cm

2) As(cm

2) Es (kg/cm

2) fy (kg/cm

2) fr (kg/cm

2) r

25.4 50.8 45.72 280 253,103 17.1 2,038,900 4,200 35.43 0.00014

Agrietamiento

c (cm) c = (r*c)/(h-c) fc = Ec*c s = [r*(d-c)]/(h-c) fs = Es*s Cc = (1/2)*fc*b*c Ts = fs*As Tc = (1/2)*fr*(h-c)*b T = Ts + Tc (kg)

(kg/cm2) (kg/cm

2) (kg) (kg) (kg)

27.398 0.000164 41.49 0.000110 223.48 14,435 3,822 10,530 14,352 EQUILIBRIO

Momentos Curvatura

M1 = (Cc)*(2c/3) M2 = (Ts)*(d-c) M3 = (Tc)*[2*(h-c)/3] MT = M1+M2+M3 ( = c/c)

kg-cm (kg-cm) (kg-cm) (kg-cm) (cm-1)

263,658 70,019 164,282 497,959 5.98239E-06

Fluencia

c (cm) c = (y*c)/(d-c) k1 fc = k1*0.85*f'c s = y fs = fy Cc = fc*c*b Ts = As*fy k2

(kg/cm2) (kg/cm

2) (kg) (kg)

19.996 0.001632 0.5941 141.40 0.0021 4,200 71,819 71,820 0.3645 EQUILIBRIO

Momentos Curvatura

M1 = (Cc)*[c-(k2*c)] M2 = (Ts)*(d-c) MT = M1 + M2 ( = c/c)

kg-cm (kg-cm) (kg-cm) (cm-1)

912,669 1,847,498 2,760,167 8.16358E-05

Punto entre la fluencia y la resistencia ltima

c (cm) c k1 fc = k1*0.85*f'c s = [c*(d-c)]/c fs = fy Cc = fc*c*b Ts = As*fy k2

(kg/cm2) (kg/cm

2) (kg) (kg)

17.82 0.002 0.6667 158.67 0.0031 4,200 71,817 71,820 0.3750 EQUILIBRIO

Momentos Curvatura



799,862 2,003,778 2,803,640 0.000112

Resitencia ltima

c (cm) c = cu k1 fc = k1*0.85*f'c s = [c*(d-c)]/c fs = fy Cc = fc*c*b Ts = As*fy k2

(kg/cm2) (kg/cm

2) (kg) (kg)

15.83 0.003 0.7507 178.67 29.89 4,200 71,839 71,820 0.4112 EQUILIBRIO

Momentos Curvatura



669,596 2,146,700 2,816,296 0.000190


47

Tabla 2. Coordenadas de los puntos de la grfica Momento Curvatura (M - ) para la seccin C Propiedades de la seccin

b (cm) h (cm) d (cm) f'c (kg/cm2) Ec (kg/cm

2) As(cm

2) Es (kg/cm

2) fy (kg/cm

2) fr (kg/cm

2) r

25.4 50.8 45.72 280 253,103 30.42 2,038,900 4,200 35.43 0.00014

Agrietamiento

c (cm) c = (r*c)/(h-c) fc = Ec*c s = [r*(d-c)]/(h-c) fs = Es*s Cc = (1/2)*fc*b*c Ts = fs*As Tc = (1/2)*fr*(h-c)*b T = Ts + Tc (kg)

(kg/cm2) (kg/cm

2) (kg) (kg) (kg)

28.64 0.000181 45.80 0.000108 220.01 16,657 6,693 9,971 16,664 EQUILIBRIO

Momentos Curvatura

M1 = (Cc)*(2c/3) M2 = (Ts)*(d-c) M3 = (Tc)*[2*(h-c)/3] MT = M1+M2+M3 ( = c/c)

kg-cm (kg-cm) (kg-cm) (kg-cm) (cm-1)

318,044 114,311 147,307 579,662 6.31769E-06

Punto entre el agrietamiento y la resistencia ltima

c (cm) c = (y*c)/(d-c) k1 fc = k1*0.85*f'c s = [c*(d-c)]/c fs = fy Cc = fc*c*b Ts = As*fy k2

(kg/cm2) (kg/cm

2) (kg) (kg)

22.3 0.000210 0.1013 24.12 0.000220547 449.67 13,659 13,679 0.3274 EQUILIBRIO

Momentos Curvatura



204,863 320,364 525,226 9.41704E-06

Segundo punto entre el agrietamiento y la resistencia ltima

c (cm) c k1 fc = k1*0.85*f'c s = [c*(d-c)]/c fs = fy Cc = fc*c*b Ts = As*fy k2

(kg/cm2) (kg/cm

2) (kg) (kg)

25.16 0.002 0.6667 158.67 0.0016 3332.25628 101,398 101,367 0.2727 EQUILIBRIO

Momentos Curvatura



1,855,402 2,084,110 3,939,512 0.000079

Resitencia ltima

c (cm) c = cu k1 fc = k1*0.85*f'c s = [c*(d-c)]/c fs = fy Cc = fc*c*b Ts = As*fy k2

(kg/cm2) (kg/cm

2) (kg) (kg)

27.3 0.003 0.7611 181.14 0.0020 4127.092088 125,609 125,546 0.4112 EQUILIBRIO

Momentos Curvatura



2,019,099 2,312,560 4,331,659 0.000110

procedimiento para obtener gráficas momento-curvatura en vigas de concreto reforzado

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