Matemàtiques II

1

PROBLEMES OPTIMITZACIÓ

ACTIVITATS PROPOSADES. SOLUCIONS

PàginA 289

Exercici 2.- De tots els triangles rectangles amb uns catets que sumen 10 cm, troba les dimensions d’aquell l’àrea del qual és màxima.

La funció a optimitzar és contínua i derivable en el seu domini, per tant, el màxim absolut el trobem entre els relatius, aleshores busquem els punts que anul·len la derivada primera.

5 0102 02

102)(' 210)('

xxxxAxxxA

A

A’ 0 + 5 – 10

El màxim absolut està en x = 5 A(5) = (10 – 5) · 5 /2 = 25/2 = 12,5 cm2 .

Així concloem: l’àrea és màxima si els catets del triangle rectangle són iguals i mesuren 5 cm; el valor de l’àrea serà 12,5 cm2 .

Exercici 3.- Entre tots els rectangles de perímetre 12 m, quin té la diagonal més xicoteta?

La funció que permet calcular la diagonal és contínua i derivable en el seu domini, per tant, el mínm absolut el trobem entre els relatius, aleshores busquem els punts que anul·len la derivada primera.

3 062 06

62)(' 6 2

2)1(62)('2222

xx

xx

xxdxx

xxxd

Pensem que el denominador no pot ser zero (sempre és positiu), per aquest motiu, per estudiar el signe de la derivada, només tindrem en compte el valor x = 3.

d

d ‘ 0 – 3 + 6

Volem optimitzar la funció àrea:

210)( xxxA

D =0, 10 ,

busquem que aquesta àrea siga màxima.

xyyxyxP 6 6 1222 12

Apliquem Pitàgores per calcular la diagonal del quadrat, aquesta definirà la funció que volem que siga mínima:

226)( xxxd D =0, 6

Matemàtiques II

2

El mínim absolut es troba en x = 3 2332336)3( 222 d m

Podem concloure que el rectangle de perímetre 12 que té la diagonal més menuda és el quadrat de

costat 3 m i, la diagonal mesura 23 m.

Exercici 4.- Determina les dimensions que ha de tindre un recipient cilíndric de volum igual a 6,28 litres perquè es puga construir amb la menor quantitat possible de llanda.

Per utilitzar la menor quantitat de llanda, l’àrea total ha de se mínima, aleshores, la funció a minimitzar quedarà en funció del radi:

,0 56,12 2)(

28,6 2)(

28,6 2)( 28,6 2)(

2

3

2

3

2

Dr

rrA

rrrA

rrrrA

rrrrA

Aquesta funció és contínua i derivable en el seu domini, el mínim absolut estarà entre els relatius.

1 056,12 4 056,12 4)(' 56,12 4)(' 32

3

2

rrr

rrAr

rrA

El valor que anul·la el denominador és zero (0 D),

A

– + A’ 0 1

Si ens fixem,en estudiar la monotonia, la tendència de la funció a + és +. També es pot estudiar a

partir de la funció:

23

r 2

28,6 2

xxlíí

rrlíí . Aleshores, es gasta la mínima quantitat

de llautó quan 1 r 214,328,6 h

Conclusió: les dimensions del cilindre són aproximadament, el radi 1 dm i l’altura 2 dm.

L’àrea total del cilindre ve donada per:

hrrhrrAtotal 2 2 2 2

El volum del cilindre és calcula:

22

28,6 28,6 r

hhrV