cÀlcul de probabilitats problemes (amb problemes resolts)lmontero/lmm_tm/qua_cp_pro.pdf · cÀlcul...

CÀLCUL DE PROBABILITATS

PROBLEMES (Amb Problemes Resolts)

DIPLOMATURA D’ESTADÍSTICA

Lídia Montero Mercadé

Mónica Bécue Bertaut Departament Estadística i Investigació Operativa

Despatx 421

Setembre de 2.004

Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

Pàg. 2 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 3

TAULA DE CONTINGUTS

1. TEMARI DETALLAT DEL CÀLCUL DE PROBABILITATS __________________________ 7

2. DIVISIÓ DE LES HORES LECTIVES______________________________________________ 9

2.1 INTRODUCCIÓ AL SISTEMA D’AVALUACIÓ ___________________________________________ 9

3. PROBLEMES VARIS ___________________________________________________________ 11

3.1 ELS DAUS BLAU I VERMELL _____________________________________________________ 11 3.2 INDEPENDÈNCIA I PROBABILITAT _________________________________________________ 11 3.3 BOLES DE COLORS _____________________________________________________________ 12 3.4 DAUS DE COLORS ______________________________________________________________ 12 3.5 INDEPENDÈNCIA DOS A DOS, INDEPENDÈNCIA MÚTUA________________________________ 12 3.6 UN DE OPOSICIONS _____________________________________________________________ 12 3.7 PARELLS DE NOMBRES ALEATORIS _______________________________________________ 13 3.8 EL DAU DE TRES CARES_________________________________________________________ 13 3.9 EL PARC NATURAL_____________________________________________________________ 13 3.10 UN DE DOS JUGADORS ... _______________________________________________________ 13 3.11 ELS TRES JUGADORS __________________________________________________________ 14 3.12 LA MALÀRIA _________________________________________________________________ 14 3.13 LA MALÀRIA ALTRE COP ______________________________________________________ 15 3.14 LA ROTLLANA DE NENS ________________________________________________________ 15 3.15 EL VENEDOR DE LLIBRES ______________________________________________________ 15 3.16 ELS PRODUCTES FARMACEUTICS_________________________________________________ 16 3.17 UN DE MONEDES TRUCADES_____________________________________________________ 16 3.18 ELS DESPATXOS ______________________________________________________________ 17 3.19 LOTERIA A L’ESCOLA__________________________________________________________ 17 3.20 LA CASETA DE LA FIRA ________________________________________________________ 17 3.21 LA MEMÒRIA D’ACCÉS RÀPID __________________________________________________ 18 3.22 EL GOS DE LA BENZINERA ______________________________________________________ 18 3.23 UNA VARIABLE ALEATÒRIA ESGLAONADA ________________________________________ 18 3.24 EL TALLER DE REPARACIÓ D’ORDINADORS _______________________________________ 19 3.25 UN DE VERIFICACIÓ DE PROPIETATS _____________________________________________ 20 3.26 LES ATURADES D’UNS SISTEMES DE CONTROL _____________________________________ 20 3.27 LES AVARIES D’UN CENTRE DE CÀLCUL __________________________________________ 21 3.28 RECANVIS DE PECES___________________________________________________________ 21 3.29 UN DE DESCRIPTIVA BIVARIANT _________________________________________________ 22 3.30 EL CONCURS DE MÈRITS _______________________________________________________ 22 3.31 LES QÜES AL PEATGE__________________________________________________________ 23 3.32 UNA APLICACIÓ DEL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMIT _______________________________ 23 3.33 UN DE PARELL DE VARIABLES DISCRETES_________________________________________ 23 3.34 UN NOU PARELL DE VARIABLES DISCRETES _______________________________________ 24 3.35 MÉS DE PARELL DE VARIABLES _________________________________________________ 24 3.36 UN PARELL DE VARIABLES UNIFORMES I DISCRETES________________________________ 24 3.37 PARELL DE VARIABLES UNIFORMES I CONTÍNUES __________________________________ 25



3.38 L’ESPERA A CORREUS _________________________________________________________ 25 3.39 LA FINESTRETA D’ATENCIÓ AL PÚBLIC ___________________________________________ 25 3.40 LA TENDA DE PEIXOS __________________________________________________________ 26 3.41 UN VIATGE TRANSATLÀNTIC____________________________________________________ 26 3.42 EL TUB DE RAJOS CATÒDICS____________________________________________________ 26 3.43 VIDA DE DISPOSITIUS ELECTRÒNICS _____________________________________________ 27 3.44 EL CREUAMENT DE TRENS _____________________________________________________ 27 3.45 LA MÀQUINA D’EMPLENAR CARAMELS ___________________________________________ 28 3.46 LA NORMAL TRUNCADA _______________________________________________________ 28 3.47 LES ALÇADES EN MATRIMONIS__________________________________________________ 29 3.48 LES AMPOLLES D’OLI _________________________________________________________ 29 3.49 LES EMPRESES D´ESTUDIS DE MERCAT ___________________________________________ 30 3.50 UN DE PROPIETATS BÀSIQUES ___________________________________________________ 30 3.51 UN ALTRE DE PROPIETATS BÀSIQUES EN UN PARELL DE V.A. __________________________ 31 3.52 LES MALALTIES TROPICALS ____________________________________________________ 31 3.53 PER PENSAR ... _______________________________________________________________ 32

4. INDICACIÓ DE LA RESOLUCIÓ DELS PROBLEMES _____________________________ 33

4.1 ELS DAUS VERMELL I BLAU.______________________________________________________ 33 4.2 INDEPENDÈNCIA I PROBABILITAT._________________________________________________ 34 4.3 BOLES DE COLORS. _____________________________________________________________ 34 4.4 DAUS DE COLORS. ______________________________________________________________ 35 4.5 INDEPENDÈNCIA DOS A DOS; INDEPENDÈNCIA MÚTUA. ________________________________ 35 4.6 UN D’OPOSICIONS. _____________________________________________________________ 36 4.7 PARELLS DE NOMBRES ALEATORIS. _______________________________________________ 37 4.8 EL DAU DE TRES CARES. _________________________________________________________ 37 4.9 EL PARC NATURAL._____________________________________________________________ 38 4.10 UN DE DOS JUGADORS. _________________________________________________________ 38 4.11 ELS TRES JUGADORS. __________________________________________________________ 39 4.12 LA MALÀRIA._________________________________________________________________ 40 4.13 LA MALÀRIA ALTRE COP._______________________________________________________ 40 4.14 LA ROTLLANA DE NENS. ________________________________________________________ 41 4.15 EL VENEDOR DE LLIBRES. ______________________________________________________ 43 4.16 ELS PRODUCTES FARMACÈUTICS. ________________________________________________ 44 4.17 UN DE MONEDES TRUCADES. ____________________________________________________ 45 4.18 ELS DESPATXOS ______________________________________________________________ 47 4.19 LOTERIA A L’ESCOLA. _________________________________________________________ 47 4.20 LA CASETA DE LA FIRA. ________________________________________________________ 48 4.21 LA MEMÒRIA D’ACCÉS RÀPID. ___________________________________________________ 48 4.22 EL GOS DE LA BENZINERA. ______________________________________________________ 49 4.23 UNA VARIABLE ALEATÒRIA ESGLAONADA._________________________________________ 49 4.24 EL TALLER DE REPARACIONS D’ORDINADORS.______________________________________ 50 4.25 UN DE VERIFICACIÓ DE PROPIETATS. _____________________________________________ 51 4.26 LES ATURADES D’UNS SISTEMES DE CONTROL. _____________________________________ 52 4.27 LES AVARIES D’UN CENTRE DE CÀLCUL.___________________________________________ 53 4.28 RECANVIS DE PECES. __________________________________________________________ 53 4.29 UN DE DESCRIPTIVA BIVARIANT. _________________________________________________ 53 4.30 EL CONCURS DE MÈRITS. _______________________________________________________ 53 4.31 LES CUES AL PEATGE. _________________________________________________________ 53 4.32 UNA APLICACIÓ DEL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMIT. ________________________________ 53 4.33 UN PARELL DE VARIABLES DISCRETES.____________________________________________ 53 4.34 UN NOU PARELL DE VARIABLES. _________________________________________________ 55



4.35 MÉS DE PARELLS DE VARIABLES. ________________________________________________ 56 4.36 UN PARELL DE VARIABLES UNIFORMES I DISCRETES. ________________________________ 56 4.37 PARELL DE VARIABLES UNIFORMES I CONTÍNUES.___________________________________ 57 4.38 L’ESPERA A CORREUS. _________________________________________________________ 57 4.39 LA FINESTRETA D’ATENCIÓ AL PÚBLIC. ___________________________________________ 57 4.40 LA TENDA DE PEIXOS.__________________________________________________________ 58 4.41 UN VIATGE INTERNACIONAL.____________________________________________________ 59 4.42 EL TUB DE RAJOS CATÒDICS. ____________________________________________________ 59 4.43 VIDA DE DISPOSITIUS ELECTRÒNICS. _____________________________________________ 60 4.44 EL CREUAMENT DE TRENS. _____________________________________________________ 60 4.45 LA MÀQUINA D’EMPLENAR CARAMELS. ___________________________________________ 61 4.46 LA NORMAL TRUNCADA. _______________________________________________________ 62 4.47 LES ALÇADES EN MATRIMONIS. __________________________________________________ 63 4.48 LES AMPOLLES D’OLI. _________________________________________________________ 63 4.49 LES EMPRESES D’ESTUDI DE MERCAT. ____________________________________________ 65 4.50 UN DE PROPIETATS BÀSIQUES.___________________________________________________ 65 4.51 UN ALTRE DE PROPIETATS BÀSIQUES EN UN PARELL DE V.A. __________________________ 66 4.52 LES MALALTIES TROPICALS. ____________________________________________________ 67

5. TAULES ESTADÍSTIQUES (AUTOR: JOSÉ ANTONIO GONZÁLEZ)_________________ 69

77



1. TEMARI DETALLAT DEL CÀLCUL DE PROBABILITATS

L’orientació del temari posa èmfasi especial en la relació entre els espais de probabilitat i les variables aleatòries (discretes per claredat). Els conceptes fonamentals de variable aleatòria es presenten inicialment en el context discret per facilitar una visió més intuïtiva, per finalment en el Tema 4 presentar la definició general de variable aleatòria, tot relacionant els conceptes generals amb el ja conegut en el context discret. TEMA 1. INTRODUCCIÓ A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Definició de mostra, població, matriu de dades i variable. Classificació de variables. Tècniques d’Estadística Descriptiva Univariant: Indicadors numèrics: clàssics i robustos de tendència central i dispersió. Eines gràfiques: Histogrames, diagrames de barres. Boxplot Tècniques d’Estadística Descriptiva Bivariant. Introducció. TEMA 2. INTRODUCCIÓ A LA TEORIA DE LA PROBABILITAT Introducció i motivacions: concepte d’experiència aleatòria Espais de probabilitat El conjunt de resultats d’una experiència aleatòria

Esdeveniments o successos Definició de probabilitat i propietats Recordatori de combinatòria

Probabilitat condicionada Definició i concepte Independència entre successos Teorema de les probabilitats totals Fórmula de Baies

TEMA 3. VARIABLE ALEATÒRIA DISCRETA Definició i propietats d’una variable aleatòria discreta Funció de probabilitat i funció de distribució Variables aleatòries discretes clàssiques

Llei de Bernoulli Llei Binomial Llei geomètrica

Llei conjunta de 2 variables aleatòries discretes: definició i concepte Distribució conjunta, distribució condicional, distribució marginal

Moments d’una variable aleatòria discreta Esperança i variància: relació amb els estadístics mostrals

Moments de funcions de vàries variables discretes Covariància i coeficient de correlació

Independència i no-correlació



Variables aleatòries discretes clàssiques Llei de Poisson. Relació amb la llei Binomial Llei Binomial negativa

TEMA 4. VARIABLE ALEATÒRIA CONTÍNUA Definició i propietats Funció de distribució i funció densitat de probabilitat: definicions i diferència amb el cas discret Moments en les variables aleatòries contínues Llei conjunta de variables aleatòries contínues Independència Variables aleatòries contínues clàssiques

Llei uniforme Llei de Laplace-Gauss o Normal. Llei exponencial. Relació amb els processos poissonians Distribucions associades a la llei normal: χ 2 de Pearson, T-Student, F-Fisher.

Teorema central del límit



2. DIVISIÓ DE LES HORES LECTIVES

La part teòrica de l’assignatura comporta 3 h/set i es realitza amb el grup complert. La part pràctica de l’assignatura comporta 2h/set de classe per cada subgrup i consta de: • Problemes. Sessions de 2 hores cadascuna durant el quadrimestre. Els estudiants amb ajuda

del professor de pràctiques farà la resolució a classe de problemes de la llista auxiliar de suport a la docència prèviament indicats. La participació mitjançant el lliurament del treball fet a la sessió constituirà la nota de seguiment de l’assignatura i es reflectirà a la nota final de l’assignatura.

• Pràctiques de Laboratori. Disponibilitat de vàries sessions de 2 hores en el quadrimestre per la iniciació en l’aprenentatge del paquet estadístic MINITAB (versió 13 per WINDOWS) en l’entorn de la xarxa de PC’s de l’escola.

Per evitar confusions sobre els continguts, les sessions de pràctiques (2h/set) s’anomenen sessions de problemes i sessions de laboratori atenent als continguts esmentats al paràgrafs anteriors. 2.1 Introducció al sistema d’avaluació

El sistema d’avaluació de l’assignatura de Càlcul de Probabilitats compren tres elements: • Una prova parcial (15%). La nota estarà disponible abans del període d’exàmens del

quadrimestre. • Un examen final del quadrimestre (65%). • L’avaluació del seguiment en les classes de problemes de l’assignatura, a realitzar pel

professor de pràctiques (20%). Aquest element de l’avaluació es publicarà abans de la data de convocatòria per l’examen final.

Resum d’avaluació

ASPECTE % NOTA FINAL NOTA de PROVA PARCIAL 15 NOTA d’EXAMEN FINAL(*) 65 NOTA DE SEGUIMENT 20



3. PROBLEMES VARIS

Els alumnes de l’assignatura disposen del present llibret de Quadern de Càlcul de Probabilitats. Es tindrà en compta la participació a pissarra en la resolució dels problemes. La llista de problemes per suport de docència es troba a continuació en aquest quadern i està constituïda per problemes desenvolupats per professors del departament, bàsicament pels professors R.Nonell, J.A.González i Lídia Montero. Es proposaran amb 1 setmana d’antelació els problemes a resoldre pels alumnes. El pes de la nota de problemes en la nota final de l’assignatura és del: 5%.

3.1 Els Daus Blau i Vermell Es llencen dos daus, un de blau i un de vermell, tot notant X com el número obtingut amb el dau blau i Y com el número obtingut amb el dau vermell. Sigui Ω, l’espai de tots els parells de possibles valors o espai fonamental de l’experiència aleatòria.

• Representeu l’espai Ω mitjançant un diagrama cartesià.

• Representeu sobre el diagrama anterior l’esdeveniment A format per tots els resultats que compleixen x y+ = 8.

• Representeu sobre el diagrama anterior l’esdeveniment B format per tots els resultats que compleixen x y− = 3.

• Representeu sobre el diagrama anterior l’esdeveniment C format per tots els resultats que compleixen 1 2 1 2≤ ≤ ≤ ≤x o y .

• Quin és l’esdeveniment A B C∩ ∩ ? S’aconsella emprar la fórmula de Morgan.

3.2 Independència i Probabilitat

Sigui un espai fonamental Ω, un esdeveniment A i el seu complementari A .

⇒ Considereu una primera probabilitat P, definida per P(A) = 1/3. Demostreu que A i A no són independent per la probabilitat P.

⇒ Considereu una segona probabilitat P´, definida per P'(A) =1. Són els esdeveniments A i A independents per la probabilitat P´?



3.3 Boles De Colors

Es consideren dues bosses S1 i S2, que contenen cadascuna 3 boles vermelles i 7 boles negres. Es fa l’extracció d’una bola de S1 i se la col·loca a S2. Quina és la probabilitat d’extreure una bola vermella de S2 en una extracció posterior?

3.4 Daus De Colors

Una bossa conté 7 daus vermells, 5 daus grocs i 3 daus verds. S’extreuen successivament 3 daus. Quina és la probabilitat que el primer dau sigui vermell, el segon groc i el tercer verd si:

⇒ ... es fa reposició dels daus després de cada extracció?

⇒ ... no es fa reposició dels daus després de cada extracció?

3.5 Independència Dos A Dos, Independència Mútua

Es llencen successivament dos daus equilibrats, tot definint els següents esdeveniments:

• A: El primer número obtingut és senar.

• B: El segon número obtingut és parell.

• C: Els dos números tenen la mateixa paritat.

Demostreu que A i C, A i B i B i C són independents dos a dos, però que A, B i C no són mútuament independents.

3.6 Un de Oposicions

Una persona es presenta a una oposició per entrar a formar part del cos de funcionaris de la Generalitat de Catalunya, com a informàtic. L’oposició consta de 50 temes distribuïts en dos blocs: 20 temes són d’Arquitectura de Computadors (AC) i 30 temes són de Llenguatges i Sistemes d’Informació (LSI). D’aquests 50 temes els candidats hauran de desenvolupar-ne 5. La forma d’escollir aquests 5 temes és: se’n tria un a l’atzar i després els 4 restants s’escullen a l’atzar entre els del bloc que corresponguin al primer tema escollit. El candidat decideix d’estudiar-se només 15 temes a l’atzar, 10 de LSI i 5 de AC. Per aprovar la oposició s’han de desenvolupar bé 4 o més temes (suposem que el candidat desenvolupa bé els temes que s’ha estudiat).

⇒ Quina és la probabilitat d’aprovar l’oposició?

⇒ Si ha aprovat la oposició, quina és la probabilitat que hagin sortit els temes de LSI?



3.7 Parells De Nombres Aleatoris

Un programa d’ordinador produeix parell de números enters a l’atzar compresos entre el 0 i el 9, ambdós inclosos. Suposem que el programa actua com un generador de números aleatoris perfecte, és a dir, es verifiquen les tres hipòtesis següents:

• Independència entre els 2 números que integren un determinat parell.

• Equiprobabilitat de generació de cadascun dels números.

• Independència mútua dels parells de números generats successivament.

S’executa el programa sol·licitant la producció de n parells. Quina és la probabilitat que entre aquests n parells n’hi hagi al menys un parell constituït per dos números idèntics? Calculeu la probabilitat per n=10 i n=50.

3.8 El Dau de Tres Cares Un dau de sis cares té únicament tres valors possibles: 1, 2 i 3, tots ells equiprobables. Es proposa la realització del següent joc:

Llencem un dau, si surt 3 guanyem, si surt 1 o 2 continuem repetint el llançament fins obtenir el resultat de la primera tirada, situació que en dona la victòria, o bé fins a obtenir un valor 3, situació que comporta l’aturada del joc amb pèrdua per la nostra part.

⇒ Calculeu la probabilitat de guanyar.

3.9 El Parc Natural Un parc natural del nostre país està dividit en dues parts iguals per un riu, dites A i B. Els biòlegs han pogut comptabilitzar 10 isards a la part A i 10 isards a la part B. Un biòleg del parc realitza investigacions sobre la conducta d’un dels isards de A, que anomenem X. Per un error dels vigilants, 9 dels isards de A passen a B, però un cop assabentats de l’incident, els vigilants retornen 9 dels isards de B, triats a l’atzar, a la part A. El biòleg no massa satisfet pel desenvolupament dels fets ha de prosseguir les seves investigacions sobre el isard X. En quina de les 2 parts, A o B, és preferible que comenci a buscar el seu isard?

3.10 Un de Dos Jugadors ...

Dos jugadors, A i B juguen al següent joc:

A tira un dau de sis cares perfectament equilibrat. Si surt 1 o 2 treu una bola d’una urna U1 i si surt 3, 4, 5 o 6, treu una bola d’una altra urna U2. La urna U1 conté 60 boles blanques i 40 boles negres. La urna U2 conté 40 boles blanques i 60 boles negres.

A comunicada al jugador B el color de la bola extreta i aleshores B ha d’endevinar per guanyar de quina urna procedeix, altrament guanya A.

⇒ Dibuixeu l’arbre de probabilitats associat a l’experiència aleatòria.



⇒ Apliqueu el Teorema de Probabilitats Totals per determinar la probabilitat que A extregui una bola blanca. Repetiu els càlculs per una bola negre.

⇒ Quina estratègia seguiríeu en aquest joc si fóssiu el jugador B?

3.11 Els Tres Jugadors

Una urna conté 6 boles blanques i 5 boles negres. Tres jugadors, A, B i C, extreuen una bola sense reposició, en aquest mateix ordre. Les normes del joc indiquen que guanya el primer jugador que treu una bola blanca, en la vinantesa que si en finalitzar l’extracció C no hi hagut un guanyador, els jugadors tornen a començar l’extracció, sense retornar les boles i en el mateix ordre.

⇒ Calculeu les probabilitats respectives de guanyar dels tres jugadors.

3.12 La Malària

La malària, E, mostra dues varietats incompatibles que es solen notar-se com a E1 i E2. Un equip de patòlegs estudia dues síntomes de la malària, dites S1 i S2, per tal de poder millorar la diagnosi de la varietat de malària que pateixen els pacients. Es sap que cap de totes dues síntomes és característica de cap varietat, és a dir, que poden aparèixer les dues síntomes en persones sanes i a l’inrevés, estar una persona malalta i no mostrar-ne cap de les dues.

La recerca mèdica ha mostrat fins el moment:

• prob. de contraure la varietat E1: 0.18

• prob. de contraure la varietat E2: 0.09

• Pels pacients amb la varietat E1:

◊ prob. només síntoma S1: 0.55


◊ prob. totes dues síntomes: 0.25

• Pels pacients amb la varietat E2:




• Per les persones sanes, no malaltes de E:




Quin és el millor indicador per un pacient amb malària de varietat E1:

⇒ Una síntoma, S1 o S2



⇒ Una síntoma, però no l’altra

⇒ Les dues síntomes

⇒ Cap de les dues síntomes ?

3.13 La Malària Altre Cop

Determineu ara quin és el millor indicador per un pacient amb malària de varietat E2:

⇒ Una síntoma, S1 o S2

⇒ Una síntoma, però no l’altra

⇒ Les dues síntomes

⇒ Cap de les dues síntomes ?

3.14 La Rotllana de Nens

Un nens juguen aplegats en tres rotllanes, de manera que inicialment:

• La primera rotllana conté 1 nen i 3 nenes.

• La segona rotllana conté 4 nens i 2 nenes.

• La tercera rotllana conté 5 nens i 5 nenes.

Després d’una estona, un infant (nen o nena) ha passat de la primera rotllana a la segona, un altre de la segona a la tercera i un tercer infant, ha passat de la tercera rotllana a la primera.

⇒ Quina és la probabilitat que s’hagi mantingut la proporció de nens i nenes a totes les rotllanes?

⇒ Quina és la probabilitat en triar un infant a l’atzar de la primera rotllana que sigui nen ?

3.15 El Venedor de Llibres

Un venedor de Grans Enciclopèdies a domicili tria setmanalment el districte de treball, entre tres possibilitats l’Eixampla, Gràcia o les Corts, amb probabilitats respectives de 0.5, 0.25 y 0.25 i independentment de la tria efectuada en setmanes anteriors. Si va a l’Eixampla sap que té un 80% de possibilitats de vendre alguna enciclopèdia, mentre que si va a Gràcia o les Corts, les probabilitats respectives són del 40 i el 60%.

⇒ Quina és la probabilitat que una certa setmana vengui alguna enciclopèdia?



⇒ Quina és la probabilitat d’haver venut alguna enciclopèdia almenys 2 setmanes durant un mes?

⇒ Si tot acabant una setmana el venedor no ha venut res, a quin barri, més probablement, haurà estat treballant aquella setmana? Raoneu amb càlculs precisos.

⇒ Un company d’ofici també tria setmanalment el districte de treball, entre els 3 anteriors, però de manera equiprobable. Quina és la probabilitat que els dos venedors coincideixin al mateix districte almenys un cop durant dues setmanes?

3.16 Els productes farmaceutics

Una fàbrica de productes farmacèutics produeix 1000 unitats diàries dún producte via dos procediments diferents, tant tècnica com econòmicament. El primer procediment és més laboriós, però produeix un 99% d’unitats satisfactòries sobre un 25% del total diari de la producció. El segon procediment produeix el 75% restant de les unitats, però amb un 10% d’unitats defectuoses. Donat el lot de fabricació dún dia qualsevol, s’extrau una unitat a l’atzar. Si la unitat és satisfactòria, quina és la probabilitat que s´hagi fabricat via el segon procediment?

1. Resoldre la qüestió doblement: per arbre de probabilitats i pel Teorema de Bayes, tot indicant clarament els successos implicats i la informació a priori disponible.

2. Amb els mateixos condicionants que l’apartat anterior i fent extraccions amb reposició de 10 unitats, quina és la probabilitat d’obtenir com a màxim l peça defectuosa? Emprar el Teorema de Bayes en la resolució, tot indicant clarament els successos implicats i la informació a priori disponible.

3. Descriure els valors i les lleis de probabilitat de la variable aleatòria discreta X definida com el número de peces defectuoses obtingut en la selecció amb reposició de 2 unitats dún lot diari. Quina és l’esperança matemàtica de X? Determineu clarament els valors de la v.a. X i la partició de Ω induïda.

3.17 Un de monedes trucades

Una bossa conté 100 monedes, 25 d’elles amb una cara per ambdues bandes i les 75 restants perfectament normals (una cara i una creu) i equilibrades. S’extrau una moneda a l’atzar.

1. Quina és la probabilitat de que sigui una moneda trucada si surt cara en 2 llençaments consecutius? Resoldre la qüestió doblement: per arbre de probabilitats i pel Teorema de Bayes, tot indicant clarament els successos implicats i la informació a priori disponible.

2. Amb els mateixos condicionants que l’apartat anterior, quina és la probabilitat de que sigui una moneda trucada si surt cara en 10 llençaments consecutius? Emprar el Teorema de Bayes en la resolució, tot indicant clarament els successos implicats i la informació a priori disponible.

3. Descriure els valors i les lleis de probabilitat de la variable aleatòria discreta X definida com el número de cares obtingut en el llençament consecutiu dues vegades de la moneda triada a l’experiència anterior. Quina és l’esperança matemàtica de X? Determineu clarament els valors de la v.a. X i la partició de Ω induïda.



3.18 Els despatxos

Un edifici de la UPC té nou despatxos. Un professor té probabilitat ½ de tenir el despatx a l’esmentat edifici i, si es troba en l’edifici, té la mateixa probabilitat d’estar en qualsevol dels nou despatxos.

1. Quina és la probabilitat p que el despatx del professor sigui el novè despatx?

2. S’obren inexitosament els vuit primers despatxos. Quina és la probabilitat q que el professor sigui al novè despatx?

3.19 Loteria a l’Escola

En una escola de la nostra universitat s’ha muntat una loteria per tal de finançar un viatge de final de carrera dels alumnes. Els números de la loteria poden ésser de 4 xifres i es venen a 1000 ptes cadascun. La distribució de premis es la següent:

• Un premi gros de 500.000 ptes per un únic número.

• Un premi de 50.000 ptes per tots els números que tinguin una determinada terminació de 3 xifres.

• Un premi de 5.000 ptes per tots els números que tinguin una determinada terminació de 2 xifres.

• La devolució dels diners per tots els números que tinguin una xifra final determinada.

Durant el sorteig es procura que les terminacions no siguin coincidents per tal de no acumular premis. Determineu:

⇒ Quin és l’espai fonamental associat?

⇒ Sigui X la v.a. benefici net per algú que compri un número. Descriure els conjunt de valors i la funció de probabilitat.

⇒ Quin és el benefici net esperat?

3.20 La Caseta de la Fira

El propietari d’una caseta de fira de tir al blanc assegura que per un jugador amb probabilitat de fer blanc p, fer un blanc incrementa la probabilitat de fer-ne un altre seguidament en la meitat de la quantitat que resta per la fiabilitat total (p+(1-p)/2) . Pel contrari, fallar un tret no modifica la probabilitat d’encert en assatjos posteriors. Els jugadors proven dos cops la seva punteria.

⇒ Calculeu la funció de probabilitat de la variable X, número de blancs obtinguts en dos intents.

⇒ Calculeu el número esperat d’encerts per un bon tirador (p=0.8) i per un mal tirador (p=0.2).

⇒ Per què no podem declarar X com a variable binomial ?



3.21 La Memòria d’Accés Ràpid

Un Centre de Càlcul d’un departament de la nostra universitat ha de comprar memòria d’accés ràpid (RAM) per millorar les prestacions del seu ordinador central. El mercat posa a l’abast dos tipus de memòria ràpida, A i B. El temps d’accés de la memòria tipus A és de 50 nanosegons, mentre l’accés per la memòria tipus B, de major capacitat, és de 90 nanosegons. Quan un programa necessita dades primer va a buscar-les a la memòria ràpida, i si no les troba accedeix a memòria convencional (on segur que hi són). La memòria convencional té un temps d’accés de 1.200 nanosegons. Un programa típic dels executats al departament comporta:

⇒ l’accés a memòria convencional un 20% dels cops en instal·lar la RAM tipus A.

⇒ l’accés a memòria convencional un 10% dels cops en instal·lar la RAM tipus B.

Addicionalment, el cost de la RAM tipus B és un 30% superior al cost de la RAM tipus A.

La variable aleatòria que modelitza la mesura de valoració d’una RAM i segons els valors de la qual es prendrà la decisió de compra en favor del tipus A o del B, està definida com el temps d’accés mig d’un programa típic per el preu. Quina serà la decisió que prenguin els responsables del Centre de Càlcul ?

3.22 El Gos de la Benzinera

El dependent d’una benzinera té un gos que l’acompanya durant les seves hores de feina i té observat que el gos creua vàries vegades al dia el carrer on s’ubica la benzinera. Un estadístic client de l’establiment determina que el número de vegades que el gos creua la carretera durant una jornada laboral es pot modelitzar com una variable de Poisson, dita X ~ P (λ), on λ és el número mig de vegades que el gos creua el carrer diàriament. El gos cada matí comença la jornada de la banda de la benzinera, doncs acompanya l’amo des de casa.

Es defineix una nova variable, Y amb els valors:

0. Si el gos és a la banda de la benzinera en completar la jornada

1. Si el gos és a l’altra banda del carrer en completar la jornada.

⇒ Determineu la funció de probabilitat de la variable Y.

⇒ Com s’interpreta el resultat quan λ augmenta indefinidament?

Ajut: Considerar el desenvolupament en sèrie de Taylor de la funció cosinus hiperbòlic.

3.23 Una Variable Aleatòria Esglaonada



Sigui X una variable aleatòria contínua amb una funció de densitat de probabilitat com es mostra en la figura, és a dir, amb valor constant [x0, x01) i valor constant [x01, x02]. L’àrea sota la funció de densitat en el primer bloc és π1 . Calculeu analíticament:

⇒ La funció de densitat de probabilitat de X.

⇒ La funció de distribució de X.

⇒ L’esperança matemàtica de X.

⇒ La variància de X.

Apliqueu els anteriors resultats a una variable X que compleixi: x0 = 0; x01 = 18; x02 = 24;

P(X < x01)=0.6

f x

x 0 x 01 x 02 X

3.24 El Taller de Reparació d’Ordinadors

Es considera un ordinador constituït per una CPU i una RAM. Una gran empresa es proveeix de dos fabricants F1 i F2. F1 aporta el 80% dels ordinadors i F2 el 20% restant. En el temps de posta en marxa es troba que les RAM del fabricant F1 són defectuoses en un 5%, i les CPU en un 2%. Pel fabricant F2, les RAM defectuoses són un 5% i les CPU un altre 5%. Considerem els esdeveniments:

• A: CPU en bon estat.

• B: RAM en bon estat.

⇒ Calculeu les probabilitats P(A), P(B) i P(A ∩ B).

⇒ Quina és la probabilitat que l’ordinador sigui de F2, si funciona després de la posta en marxa?

⇒ Després de la posta en marxa, els ordinadors que s’espatllen són enviats a un taller especialitzat. Se sap que els operaris d’aquest taller han d’atendre una mitjana de 2 ordinadors diaris i com a màxim podrien atendre 5 ordinadors en un dia. Calculeu la probabilitat que es col·lapsi el taller de reparacions un dia qualsevol.

⇒ Quina és la probabilitat que els operaris estiguin una setmana laboral complerta de 5 dies sense feina?



3.25 Un de Verificació de Propietats

Sigui X una variable aleatòria absolutament convergent amb funció de densitat de probabilitat:

f xx si x

altramentX ( ) =

+< <

112

0 3

0

2

⇒ Comproveu que f xX ( ) és efectivament una funció de densitat

⇒ Determineu la funció de distribució de X, F xX ( ) .

⇒ Com és F xX ( ) ? Com ha d’ésser forçosament i quina relació té amb f xX ( ) ?

⇒ Si se sap que X > 1, trobeu la probabilitat que X sigui més gran que 2.

⇒ Calculeu l’esperança i la variància de X.

3.26 Les Aturades d’uns Sistemes de Control

Dos sistemes de control electrònic funcionen independentment amb un cert número d’aturades diàries. Les lleis de probabilitat que segueixen les variables que compten aquestes aturades diàries per cadascun dels sistemes, dites X i X1 2 , són les següents:

X i ( )p xX i1 ( )p xX i2

0 0.07 0.1

1 0.35 0.2

2 0.34 0.5

3 0.24 0.2

⇒ Quina és la probabilitat que el sistema 1 tingui almenys 2 aturades un cert dia?

⇒ Quina és la probabilitat que el número de aturades del sistema 1 sigui menor que el número d’aturades del sistema 2 en un cert dia?

⇒ Quina és la probabilitat que hi hagi una sola aturada en un dia entre els dos sistemes?

⇒ Quina és la probabilitat que el número d’aturades del sistema 1 sigui igual al número d’aturades del sistema 2?

⇒ Existeix un equip de manteniment pels casos d’aturades que pot atendre fins a 5 casos en un dia. Calculeu la probabilitat que aquest equip es col·lapsi un cert dia.



3.27 Les Avaries d’un Centre de Càlcul

Un Centre de Càlcul dóna servei a una Universitat i detecta que hi han dos tipus d’avaries principalment en els terminals gràfics de les sales d’usuaris: tipus A i tipus B, diferents i independents. Se sap que en les sales d’usuaris es donen un promig de 1 avaria tipus B cada dues setmanes i 2 avaries tipus A a la setmana.

⇒ Quina és la probabilitat que durant 3 setmanes no hi hagi cap avaria del tipus A?

⇒ Quina és la probabilitat que durant 4 setmanes hi hagi menys de 3 avaries del tipus B?

⇒ Quina és la probabilitat que durant les 4 darreres setmanes del curs hi hagi exactament 4 avaries en total (tipus A o B)?

⇒ Si en les 10 primeres setmanes del quadrimestre no hi ha hagut cap avaria. Quina és la probabilitat de que acabi el quadrimestre sense cap avaria ? Un quadrimestre són 14 setmanes.

⇒ Les darreres 4 setmanes han produït 3 avaries del mateix tipus. La probabilitat a priori d’ésser de tipus A és 2/3 i de tipus B 1/3. Quina és la probabilitat que les 3 avaries hagin estat totes del tipus A?

⇒ Ara considerem que hi ha 10 sales d’usuaris amb terminals gràfics. Quina és la probabilitat de tenir, una determinada setmana, més de 4 d’aquestes sales amb 3 o més avaries?

⇒ Si la Universitat disposés de 100 sales d’usuaris, amb quina probabilitat hi hauria entre 40 i 60 sales amb 3 o més avaries cada setmana? Quin número de sales d’usuaris caldria tenir de reserva per substituir les que cada setmana esperem que tindrien aquest número d’avaries?

3.28 Recanvis de Peces

Un taller de reparacions ha controlat durant un cert temps les reparacions fetes sobre un determinat tipus de màquina que presenta una avaria simple (1 fallada) o doble (2 fallades). El taller s’ocupa d’anar reparant les fallades i si cal canviar la peça base. Els resultats del control mostren que un 40% de les reparacions eren per una avaria simple sense que calgui el canvi de la peça base, un 30% eren per una avaria simple però que requeria de canviar la peça, i de la resta que eren avaries dobles, n’hi havia igual nombre que havien necessitat el canvi de peça, com sense canvi.

⇒ Quina és la funció de probabilitat de les variables, X: número de fallades i Y: canvi o no de peça i la llei conjunta d’ambdues variables ? És independent el número de fallades i el fet d’haver de canviar la peça?

⇒ Quina és la probabilitat d’haver de canviar la peça base? I la probabilitat d’haver de canviar la peça si se sap hi han hagut 2 fallades?

⇒ Si el taller obté la peça base per una reparació d’un magatzem on hi van 9 tallers més, quina és la probabilitat que més de 5 tallers hi vagin a buscar la peça per canviar, un dia que tots han rebut avís de reparació?



⇒ El taller té una tarifa de preus establerta de 4.000 ptes pel transport, 2.000 ptes per cada fallada i 2.000 ptes més si hi ha hagut finalment canvi de peça. Quin és el valor esperat i la variabilitat del cost total d’una reparació?

⇒ El taller també té calculats uns temps per a solucionar les reparacions: 1 hora pel transport i 20 minuts per cada fallada a solventar (no hi ha temps addicional si ha hagut canvi de peça). Calculeu el valor esperat i la variabilitat del temps total d’una reparació.

⇒ Doneu la funció de probabilitat conjunta del cost total i del temps emprat per les reparacions. Calculeu la probabilitat que una reparació costi 8.000 ptes si han trigat 80 minuts.

3.29 Un de Descriptiva Bivariant

Durant l’any 1.993 es van suïcidar 28.295 persones als Estats Units, on 21.786 eren homes. La via del suïcidi es pot classificar en quatre categories:

I. Per armes de foc.

II. Ingerint productes tòxics.

III.Estrangulament

IV.Altres.

Se sap que 16.600 persones empraren vies de tipus I, 5.617 vies de tipus II i 3.931 vies de tipus III. A més, se sap que dels homes, un 6’688% fan triar altres vies i un 14’79% vies tipus III. De entre tots els qui es van enverinar, un 43’96% foren dones.

⇒ Resumir la informació anterior en una taula de contingència.

⇒ Estudiar la distribució de la via de suïcidi segons el gènere.

⇒ Si disposem de la dada de un suïcidi per via III, què es pot dir del sexe de l’afectat? I si el suïcida fos dóna, quina hauria estat la via més probablement emprada?

⇒ Si suposem que les variables són independents, i assumim que les distribucions marginals són idèntiques, quin és el número esperat de homes suïcidats per vies tipus I ? Quin és el número esperat de dones suïcidades per ingestió de verí?

⇒ Observant els resultats dels anteriors apartats, sembla recolzable la hipòtesi d’independència entre les variables?

3.30 El Concurs de Mèrits

Un concursant ha de realitzar tres proves. La probabilitat de superar cadascuna d’elles és: 1/3 per la primera prova i per les altres dues proves, 1/2 si va superar l’anterior i 1/4 si no va superar-la.

⇒ Sigui X la v.a. número de proves superades. Dibuixar la seva funció de probabilitat i de distribució.



⇒ Si el concursant ha superat dues proves, quina és la probabilitat que no hagi superat la segona ?

⇒ Si el concursant ha superat la tercera prova, tindria la mateixa probabilitat d’haver superat la primera?

⇒ Suposant que qui guanya el concurs té un increment en el seu sou anual funció del número de proves aprovades, i modelitzat per una nova variable aleatòria Y X= 50 2 , en mils de ptes. Quin és l’augment esperat del sou anual?

⇒ Continuant amb l’apartat anterior se suposa que en el cas que no superi una prova ha de pagar les 3/4 parts del que porta guanyat i prenent com a criteri l’augment esperat, l’hi convé concursar a la tercera prova si ha guanyat les dues primeres ?

3.31 Les Qües al Peatge

L’arribada de vehicles al peatge de l’autopista A-16 segueix una llei de Poisson de tassa promig 5 vehicles per hora entre les 3 i 5 h de la matinada dels dies feiners.

⇒ Demostreu que la llei de la variable T, temps entre l’arribada de dos vehicles, segueix una distribució exponencial.

⇒ Calculeu l’esperança i la variància de T.

⇒ Si un cert dia no ha arribat cap vehicle entre les 3h i les 4h de la matinada. Quina és la probabilitat que no arribi cap vehicle entre les 4h i les 5h del mateix dia?

⇒ En una setmana de cinc dies feiners, quina és la distribució de la variable que comptabilitza el número de dies feiners en els que no arriba cap vehicle entre les 3:00 h i 3:30 h de la matinada?

3.32 Una Aplicació del Teorema Central del Límit

Un programa d’ordinador realitzar la suma de 100 números reals prèviament arrodonits a l’enter més proper. Suposem que l’error d’arrodoniment es distribueix uniformement entre -1/2 i 1/2, i que els errors són mútuament independents. Calculeu quin és el rang de valors que pot prendre l’error de la suma amb una probabilitat de 0.99, entenen per error la discrepància entre la suma real sense arrodonir dels valors i la suma calculada pel programa.

3.33 Un de Parell de Variables Discretes

La següent taula conté la funció de probabilitat conjunta del parell de variables X i Y.

Y\X -1 0 1

-1 a 2a 3a



0 2a 4a 6a

1 ab 4a 3ab

⇒ Determineu les esperances de X i Y

⇒ Determinar la llei conjunta del parell (S,M), amb S = ( X+Y ) i M = Màx ( X,Y ). Resumiu la resposta en una taula

⇒ Sota quines condicions les variables X i Y són independents?

3.34 Un Nou Parell de Variables Discretes


Y \ X -1 0 1

-1 0 2a 3a

0 2a 0 a

1 3a a 0

⇒ Determineu a, la llei de X i l’esperança de ( X + Y )

⇒ Són X i Y independents?

⇒ Determineu la llei de Z=(X-Y)

⇒ Determineu la llei de S = Max ( X,Y )

3.35 Més de Parell de Variables


Y vs. X x1 x2 x3 x4

y1 0.02 0.01 0.03 0.04

y2 a 4a 0.05 0.06

y3 0.09 0.05 0.1 0.05

⇒ Calculeu els valors del paràmetre real positiu a. ⇒ Calculeu la funció de probabilitat de la variable X i E(X). ⇒ Calculeu E(X/Y=y1). ⇒ Calculeu E(XY) i COV(X,Y). ⇒ Justifiqueu si X i Y són o no són estadísticament independents.

3.36 Un Parell de Variables Uniformes i Discretes

Siguin dues variables aleatòries independent, X1 i X2 , de llei uniforme sobre A:=0,1,2,3,4,5.



⇒ Determineu la llei de (X1-X2)2

⇒ Determineu la llei de 6X1+X2

3.37 Parell de Variables Uniformes i Contínues

Siguin dues variables aleatòries independents, X1 i X2 , de llei uniforme sobre [0,1]. Determineu la llei de X1+X2, la seva esperança i la seva variància.

3.38 L’Espera a Correus

Una oficina de correus té una finestreta que tracta dues categories d’operacions: reintegraments de diners i trameses de paquets. Es fan dues hipòtesis:

I. Per tot interval de longitud T, en minuts, el número de persones que es presenten a la finestreta per sol·licitar un reintegrament segueix una variable aleatòria de Poisson, dita Xa, de paràmetre aT (a>0).

II. El número de persones que es presenten per trametre paquets es representa mitjançant una variable aleatòria Xb que segueix una llei de Poisson de bT (b>0). Les variables aleatòries Xa i Xb són independents.

⇒ Demostreu que la llei associada al número total de persones que es presenten a la finestreta és una llei de Poisson de paràmetre (a+b)T. Si a=0.4 i b=0.2. Quina és la probabilitat que cap client es presenti entre 10:00h i 10:05h ?

⇒ Els operaris acaben la seva jornada laborat a les 19 hores, i per això l’oficina tanca les seves portes a les 18:45 hores. Se sap que en un cert dia hi ha una cua de n persones arribades entre les 18:35 i les 18:45 hores. Determineu en funció de a, b i n, la llei de la variable aleatòria associada al número de persones de la cua que han vingut per un reintegrament.

3.39 La Finestreta d’Atenció al Públic

En una finestreta d’atenció al públic de mitjana hi arriben dues persones cada minut.

⇒ Quina és la probabilitat que en un minut hi arribin més de dues persones?

⇒ Quina és la probabilitat que en cinc minuts hi arribin menys de 13 persones?

⇒ Quina és la probabilitat que passin cinc minuts sense que hi arribi ningú si ara no hi ha cap persona?

⇒ Quina és la probabilitat que passin cinc minuts sense que hi arribi ningú si ara hi ha una persona?

⇒ Quina és l’esperança del temps d’espera fins que arribi una altra persona quan ara n’hi acaba d’arribar una?



3.40 La Tenda de Peixos

El dependent d’una tenda d’animals domèstics disposa d’una peixera de grans dimensions amb peixos tropicals per a la venda al públic. El dependent enretira de la peixera els peixos que ven amb una petita xarxa on només cap un exemplar; però, cada intent de captura d’un animal no sempre resulta exitòs. El dependent sap:

• En introduir la xarxa a la peixera, el dependent té una probabilitat p=0.6 de capturar un peix.

• Si no es capturen grans quantitats de peixos de la peixera, la probabilitat p pot assumir-se constant al llarg de successius intents.

• L’èxit o fracàs a cada intent és independent del resultat d’intents anteriors.

⇒ Si arriba un client indecís a la tenda per comprar peixos tropicals i li demana els peixos que pugui capturar en 6 intents, quina és la llei de probabilitat de la variable aleatòria, X, número de peixos comprats per un client indecís ? Quin és el número esperat de peixos que s’endurà el client? Quina és la probabilitat que el client s’en vagi sense comprar cap peix?

⇒ Si entra un client decidit que vol comprar 1 peix, quina és la llei de probabilitat de la variable aleatòria, Y, número d’intents necessaris per part del dependent per satisfer la comanda del client?

⇒ Els clients indecisos entren a la tenda segons una llei de Poisson de paràmetre 4 clients per hora i els clients decidits segueixen una altra llei de Poisson, independent de l’anterior i de paràmetre 1 client per hora. Si entre les 10:00 i les 10:15 hores ha entrat un únic client a la botiga que ha comprat un únic peix, quina és la probabilitat que el individu sigui un client indecís?

3.41 Un Viatge Transatlàntic

Un avió surt de Xicago a les 21 hores (hora local), fa una escala tècnica a Islàndia i té anunciada l’arribada a Luxemburg a les 14:30 hores (hora local). La diferència horària entre Xicago i Luxemburg és de 6 hores. La durada del trajecte es pot descomposar en 3 durades a les quals se les pot associar 3 variables aleatòries normals mútuament independents, X, Y i Z:

X: Durada del trajecte Xicago a Islàndia. N1(µ=240,s=25), Y: Durada de l’escala tècnica a Islàndia. N2(µ=45,s=10), Z: Durada del trajecte Islàndia a Luxemburg. N3(µ=420,s=40)

Calculeu la probabilitat que l’hora d’arribada a Luxemburg difereixi de l’hora anunciada (14:30h) en menys de 15 minuts.

3.42 El Tub de Rajos Catòdics

Els tubs de rajos catòdics d’una terminal gràfica tenen una fina malla darrera la superfície visible que s’ha de tensar durant l’ensamblatge. Si es tensa massa, la malla es desgarra, mentre que si no es tensa prou, s’hi formen arrugues. La tensió a la que es sotmet aquesta malla es pot mesurar en



miliVolts (mV) mitjançant un dispositiu electrònic. Actualment, la lectura de la tensió de successius tubs es distribueix segons una llei normal N(µ=275,s=43).

La tensió mínima acceptable per tal que la malla no s’arrugui és de 200 mV. La tensió màxima que suporten aquestes malles sense trencar-se és de 375 mV.

⇒ Calculeu la probabilitat que la malla s’arrugui.

⇒ Si una malla s’ha arrugat, quina és la probabilitat que s’hi hagi aplicat una tensió inferior a 175mV ?

⇒ Quina és la probabilitat que una malla estigui en bones condicions ?

⇒ Quina és la probabilitat que entre 5 tubs almenys 3 d’ells tinguin la malla en bones condicions?

⇒ Sigui X la lectura de tensió en mV i µ = E(X). Quina és la tensió t tal que P t X t( ) .µ µ− ≤ ≤ + = 0 95?

3.43 Vida de Dispositius Electrònics

La vida d’un dispositiu electrònic del tipus A segueix una llei exponencial de mitjana 1000 hores i la vida d’un dispositiu del tipus B segueix una llei normal de mitjana 1000 hores. La vida dels dispositius de tipus A pot considerar-se independent de la vida dels dispositius de tipus B.

⇒ Calculeu la probabilitat que un dispositiu de tipus A duri almenys 1000 hores.

⇒ Quina és la probabilitat que un dispositiu de tipus B duri almenys 60.000 minuts?

⇒ Quin dispositiu escolliríeu?

⇒ Per tal d’augmentar la fiabilitat d’un sistema que requereix d’un dispositiu electrònic es decideix de col·locar en paral·lel un dispositiu tipus A i un altre tipus B. Quina és la probabilitat que el sistema funcioni després de 1.000 hores?

⇒ Quin és el valor de la variància de la vida d’un dispositiu del tipus B si se sap que la probabilitat que duri més de 500 hores és 0.9993.

3.44 El Creuament de Trens

Dos trens de llarg recorregut surten dels seus respectius orígens A i B a les 16:00 hores diàriament. El trajecte entre ambdues estacions és de via única, excepte a l’abaixador C; de manera que els trens efectuen el creuament sense perill. La maniobra de creuament la regula manualment el cap d’estació i se sap que està molt atent fins a les 20:00 hores, moment en que encèn el televisor i minva la seva percepció fins el 50%.

El tren que surt de l’estació A arriba l’abaixador C en promig desprès de 3h 28’54’’, i la durada es distribueix normalment amb desviació tipus de 20 minuts. El tren que surt de l’estació B arriba a l’abaixador C en promig després de 3h27’36’’, i la durada també es distribueix normalment amb una desviació tipus de 20 minuts.



⇒ Definiu quines són les lleis de probabilitat associades a les durades del trajectes dels trens des de l’estació de partida fins C. Quina és la probabilitat que el tren A arribi abans de les 19:00 hores a l’abaixador C? I la probabilitat que el tren B hi arribi abans de les 18:30 hores?

⇒ Quin és el risc que hi hagi un accident?

⇒ Si el recorregut es fa diàriament, quina és la probabilitat que després d’una setmana s’hagi produït algun accident?

⇒ I quina és la probabilitat que després de 200 dies s’hagi produït algun accident?

⇒ Si un dia donat no va haver-hi cap accident, quina és la probabilitat que els trens arribessin després de les 20:00 hores a l’abaixador C?

3.45 La Màquina d’Emplenar Caramels

Una màquina d’emplenar bosses de caramels diposita en cada bossa una quantitat en pes de caramels que pot considerar-se distribuït segons una llei normal, de manera que el 33% de bosses emplenades contenen més de 81.76 g de caramels i només el 0.6% de les bosses contenen un pes de caramels inferior a 69.96 g.

⇒ Quin són els paràmetres que defineixen la variable aleatòria X, quantitat de caramels per bossa (en g)?

⇒ Si es trien 10 bosses a l’atzar, quina és la probabilitat que 5 bosses pesin més de 80 g i 5 bosses menys de 80 g? Justificar la formulació.

⇒ Si es trien 100 bosses a l’atzar, quina és la probabilitat de trobar-ne com a mínim 40 amb un pes superior a 80 g? Justificar la formulació.

3.46 La Normal Truncada

La vida en hores de certs tubs electrònics té per densitat de probabilitat la funció:

f x k e xx

X

x

( ) = ≥<

−2

80000 2000 200

Un aparell de tipus A conté 100 tubs i requereix pel seu funcionament d’almenys 65 tubs actius. Un aparell de tipus B conté 20 aparells tipus A i requereix de més de 10 aparells tipus A actius. Respongueu a les següents preguntes relacionades amb l’anterior enunciat:

⇒ Comproveu que el valor k que fa que l’anterior funció sigui una densitat de probabilitat ben definida és k

FY=

−1

200 2 200π ( ) on FY ( )−200 indica el valor de la funció de distribució

d’una variable aleatòria normal, ( )Y N≈ = =µ σ0 400002, , en el punt y = -200.



⇒ Expresseu la constant k en termes de la funció de distribució de la variable normal, Z, centrada i reduïda, ( )Z N≈ = =µ σ0 12, .

⇒ Calculeu la probabilitat que un tub tingui una vida activa superior a 250 hores.

⇒ Calculeu la probabilitat que un aparell tipus A funcioni almenys 250 hores. En cas de no haver resolt l’apartat anterior, suposeu que té per solució una probabilitat p = 0.7.

⇒ Calculeu en un determinat aparell tipus B, en funcionament actual des de fa més de 250 hores, quin és el nombre màxim d’aparells tipus A que estaran actius amb una probabilitat del 90%?

3.47 Les Alçades en Matrimonis

La distribució conjunta del parell d’alçades en un matrimoni segueix una llei normal bivariant, de manera que l’alçada de les dones té una mitjana de 169.82 cm i una desviació tipus de 5 cm i l’alçada dels marits té una mitjana de 176.5 cm i una desviació tipus de 5.5 cm; la correlació entre ambdues variables és 0.51.

⇒ Quina és la covariància entre les alçades dels marits i les mullers?

⇒ Quina és la probabilitat que una dona sigui més alta que un home, independentment que formin un matrimoni?

⇒ Expressar la probabilitat que tots dos membres d’un matrimoni tinguin una alçada superior als 180 cm, suposant que f x yXY ( , ) nota la funció de densitat conjunta de les alçades dels membres d’un matrimoni.

⇒ Si a un sopar assisteixen 10 matrimonis que constitueixen una mostra aleatòria simple de la població de referència, quina és la probabilitat que el marit sigui més alt que la dona en almenys 8 parelles de les que estan presents al sopar?

3.48 Les Ampolles d’Oli

Una empresa disposa de 3 línies d’envasat automàtic d’ampolles d’oli d’oliva. Els continguts de les ampolles emplenades per la línia A, la B i la C són, respectivament, variables aleatòries y y i yA B C, distribuïdes segons lleis normals de paràmetres:

y cm cmy cm cmy cm cm

A A A

B B B

C C C

µ σµ σµ σ

= == == =

998 151000 0 81001 0 5

3 3

3 3

3 3

.

.

.

Es preparen caixes de dos tipus, C1 i C2, amb 6 ampolles per caixa, de manera que en les caixes de C1 hi han 2 ampolles de la línia A, 3 de la B i 1 de la C, mentre a les caixes C2 hi han 2 ampolles de la línia A i 4 de la C. Una ampolla es considera defectuosa si el seu contingut és inferior a 999 cm cúbics i una caixa és defectuosa si conté alguna ampolla defectuosa.



⇒ Quina és la probabilitat de tenir un contingut total d’oli d’una caixa tipus C2 superior al contingut d’una caixa tipus C1?

⇒ Quin contingut total mínim pot garantir-se per una caixa C1 amb un risc d’error del 2%?

⇒ Si triem a l’atzar 150 ampolles de la línia A, quina és la probabilitat de tenir-ne més de 100 de defectuoses?

⇒ Quina és la probabilitat de tenir entre 10 caixes del tipus C2 triades a l’atzar almenys una de defectuosa?

3.49 Les Empreses d´Estudis de Mercat

Una empresa A que es dedica als estudis de mercat té un volum de facturació mensual distribuit normalment amb un valor mig de 220 kEuros i desviació tipus de 20 kEuros (variable aleatòria X). L’empresa B, que es la competència de l’empresa A en el sector de sondejos sobre nous productes alimentaris, factura en promig mensualment 205 kEuros amb una desviació tipus de 20 kEuros (variable aleatòria Y) i també es pot considerar que la seva facturació mensual segueix una distribució normal.

Els estudis de mercat tenen una demanda estacional i per tant no és d’estranyar que la facturació mensual de les dues empreses estigui correlacionada positivament amb una magnitud de 0,815. L’empresa A està desenvolupant una política agresiva de preus adreçada a l’eliminació de l’empresa B del sector, en un moment en que passa per una crisi directiva notable. Totes dues empreses necessiten de facturar com a mínim 200 kEuros mensuals per cubrir despeses i a més per satisfer els seus accionistes haurien d’obtenir beneficis durant més de 8 mesos l’any..

1. Calculeu la covariància entre les dues variables aleatòries que representen les facturacions mensuals de les dues empreses.

2. Quina és la probabilitat de que durant l’any en curs (12 mesos) els accionistes de l’empresa B acabin insatisfets de la seva inversió? Indicar clarament l’ús fet de les taules.

3. Se sap que l’empresa B ha començat amb mal peu l’any i la política de l’empresa A la perjudica enormement. Quina és la probabilitat que l’empresa B hagi d’arribar al setembre (inclòs) per haver cobert despeses durant 3 mesos?

4. Finalment, quin és el número de mesos que en 10 anys cap esperar que l’empresa B no obtingui beneficis? I quin és el número de mesos màxim que en 10 anys no obté beneficis amb un risc d’equivocar-nos del 5% ?

3.50 Un de Propietats Bàsiques

Sigui X una variable aleatòria contínua que modelitza el temps d’espera a la caixa d’un supermercat (en minuts) i que té per funció distribució:



( )F x

xx x

xx x

x

X =

≤< ≤< ≤< ≤

>

0 005 0 105 1 2

0 25 2 41 4

..

.

1. Dibuixeu la funció de distribució de la variable aleatòria X.

2. Calculeu (justificadament) l’expressió de la funció densitat de probabilitat de la variable aleatòria X. Dibuixeu-la.

3. Si se sap que x > 1, calculeu la probabilitat que x > 3.

4. Calculeu l’esperança matemàtica de la variable aleatòria X.

3.51 Un altre de propietats bàsiques en un parell de v.a.

Siguin X i Y un parell de variables aleatòries discretes amb una funció de probabilitat conjunta

pXY Y=1 Y=2

X = 1 1/4 1/6

X = 2 1/8 1/12

X = 3 a b

• Calculeu els valors dels paràmetres a i b per tal que l’anterior representa una llei de probabilitat conjunta. Sota quines condicions són independents X i Y?

• Dibuixeu la funció de distribució de la variable aleatòria X.

• Si se sap que X = 2 , calculeu la probabilitat que Y =1.

• Calculeu l’esperança matemàtica de la variable aleatòria Y, en general i sota condició díndependència.

3.52 Les Malalties Tropicals Tot continuant amb la malaltia tropical, els experts tenen constància que en Sud-est Asiàtic, X: la incidència de la malaltia (casos/mil hab), té una mitjana de 2 casos/mil hab i té una distribució normal ( )N µ σ, 2 .

1. Quina és la desviació tipus σ de la variable aleatòria X, sabent que ( )E X 2 4 01= . ?

2. Quina és la probabilitat díncidència entre 1.98 i 2.02 casos/mil hab ? Quina és la probabilitat díncidència superior a 2.2 casos/mil hab?



3. En els poblats amb incidència entre 1.98 casos/mil hab i 2.02 casos/mil hab es planeja fer un estudi de detall. Quina és la probabilitat de disposar de com a mínim 5 poblats adequats per l’estudi de detall en una subàrea geogràfica de fàcil accés que conté 10 poblats? I en una àrea més extensa que conté 100 poblats?

4. L’objectiu de la OMS (Organització Mundial de la Salut) consisteix en reduir la probabilitat dúna incidència superior als 2.02 casos/mil hab a un 25%. Per això és necessari de millorar les condicions sanitàries, tot uniformitzant láccès a l’aigua potable, és a dir, reduint la variància de la v.a. X. Quin és el valor màxim de la variància que es correspon amb lóbjectiu descrit?

3.53 Per Pensar ...

Raoneu què han de complir forçosament dos esdeveniments d’un espai de probabilitat que siguin alhora incompatibles i independents.



4. INDICACIÓ DE LA RESOLUCIÓ DELS PROBLEMES

4.1 Els daus vermell i blau.

X : Dau blau

Y : Dau vermell

a) b) X+Y≥8

c) X-Y≥3 d) 1≤X≤2 o 1≤Y≤2

e) A B C ?∩ ∩

A B C ) = A B C ) = A B C∩ ∩ ∩ ∪ ∪ ∪( (

1 2 3 4 5 6 X

1

2

3

4

5

6

Y

1 2 3 4 5 6 X

1

2

3

4

5

6

Y

1 2 3 4 5 6 X

1

2

3

4

5

6

Y

1 2 3 5 6 4 X

1

2

3

4

5

6

Y



A B C X 8 Y X Y 3 1 X 2 1 Y 2∪ ∪ = ≥ − ∪ ≥ + ∪ ≤ ≤ ∪ ≤ ≤

A∪B∪C és:

I per tant, A B C∪ ∪ = ( , ),( , ),( , )3 3 3 4 4 3

4.2 Independència i probabilitat.

a) Sigui P(A)=1/3

A i A són independents si P(A A) = P(A) P(A)∩ ⋅

ts.independensón no 2/90 2/3=1/3-1=P(A)-1=)AP( 1/3P(A)

0)P()AP(A⇒≠⇒

⇒==∅=∩

b) Sigui P(A)=1

ts.independensón 00 0=1-1=P(A)-1=)AP( 1P(A)

0)P()AP(A⇒≡⇒

⇒==∅=∩

4.3 Boles de colors.

Definim l’esdeveniment: A= V a S2

3V

7N

S1 0.3

0.7

V2

V1

N1

V2

N2

N2

4/11

7/11

3/11

8/11

3V

7N

S2

1 2 3 5 6 4 X

1

2

3

4

5

6

Y



P(A) P(V V ) P(N V ) P(V ) P VV P(N ) P V

N1 2 1 2 12

11

2

1= ∩ + ∩ = ⋅

+ ⋅

=

= × + × = + = =0 3 411 0 7 3

1112

1121

1133

11 0 3. . . . . .

4.4 Daus de colors.

Tenim 7R (vermells), 5A (grocs) i 3V(verds). ⇒ en total tenim 15 daus.

a) P(R A V ) P(R ) P(A ) P(V ) 715

515

315

0.03111 2 3 1 2 3∩ ∩ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

son independents

↓

b) P(R A V ) P(R ) P A VR P(R ) P A

R P VR A1 2 3 1

2 3

11

2

1

3

1 2∩ ∩ = ⋅ ∩

= ⋅

⋅ ∩

=

= ⋅ ⋅ = =715

514

313

126

0 0384615.

4.5 Independència dos a dos; independència mútua.

Siguin els següents esdeveniments:

• A= 1r. número senar

• B= 2r. número parell

• C= números amb la mateixa paritat

P(A C) els dos senars 336

936

14

P(A) 1836

12

P(C) 1836

12

A i C independents.

2

∩ = = = =

= =

= =

⇒

P(A B) 936

14

P(A) 12

P(B) 12

A i B independents.

∩ = =

=

=

⇒



P(B C) els dos parells 336

936

14

P(B) 1836

12

P(C) 1836

12

B i C independents.

2

∩ = = = =

= =

= =

⇒

P(A B C) P(A) P(B) P(C) ?

P(A) P(B) P(C) = 12

P(A B C) = P( ) = 0 1

80 no mutuament independents. 3

∩ ∩ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ =

∩ ∩ ∅

⇒ ≠ ⇒

18

4.6 Un d’oposicions.

El conjunt de resultats és Ω = “conjunt de 5 temes del mateix bloc (AC/LSI) que poden sortir”

Considerem els esdeveniments :

• A= “aprovar l’oposició”

• LSI= “surten els temes de LSI”

• AC= “surten els temes de AC”

Clarament Ω= LSI ∪ AC

a) P(A) P(A LSI) P(A AC) P(A LSI) P(LSI) P(A AC) P(AC)= ∩ + ∩ = ⋅ + ⋅

on P(AC) 20 50 2 / 5P(LSI) 30 50 3 / 5

= == =

donat que només depèn de l’elecció del primer tema.

Ara cal trobar la P(A/LSI) i P(A/AC):

• P(A/LSI) = P(dels 5 temes escollits de LSI, 4 són dels estudiats pel candidat) + P(dels 5 temes escollits de LSI, tots ells han estat estudiats pel candidat) =

=

104

201

305

105305

210 20 252142506

0 03124

⋅

+

=× +

= .

• P(A/AC) = P(dels 5 temes escollits de AC, 4 són dels estudiats pel candidat) + P(dels 5 temes escollits de AC, tots ells han estat estudiats pel candidat) =



=

54

151

205

55205

5 15 115504

0 004901

⋅

+

=× +

= .

Finalment tenim que: P(A) 0.03124 3 / 5 0.004901 2 / 5 0.0207047= ⋅ + ⋅ =

b) Directament aplicant la fórmula de Bayes:

P(LSI / A) P(A / LSI) P(LSI)P(A)

0.03124 3 / 50.0207047

0.905=⋅

=⋅

=

4.7 Parells de nombres aleatoris.

Ω=(i,j) tals que i=0..9, j=0..9 aleshores #Ω=100

Considerem n parells i tenim Ωn.

Casos possibles → 102n

Definim els successos A: Almenys un parell igual

Bi : El parell i és igual

( )P(A) = 1- P(cap parell igual) = 1 P(B ... B )P(B ) 10

100110 P(B ) 1 1

109

10P(A) 1 1 1

101 n

i i

n− ∩ ∩= = ⇒ = − =

⇒ = − −

Calculem per: n = 10 0,6513n = 50 0,9948

4.8 El dau de tres cares.

Definim l’esdeveniment A: guanyar i ens preguntem quant val P(A).

Si surt un 3 → guanyes

sinó repetir fins obtenir el resultat de la primera tirada → guanyes

si surt un 3 → perdem

Ω=3 , 12i 1 , 12i 3 , 21i 2 , 21i 3

A 3 A 12 1 tq. i 0 A 21 2 tq. i 0

A A A A1

2i

3i

1 2 3

== ≥

= ≥

⇒ = ∪ ∪



P(A) 13

13

13

13

... 13

13

13

... 13

16

16

23

2 3 4

successio geometrica de rao 1/3

2 3 4

= +

+

+

+

+

+

+

+

= + + =1 24444 34444

a a1 r

1 / 91 1 / 3

1 / 6nn k

k

=

∞

∑ =−

=−

=

4.9 El parc natural.

Fem el següent diagrama d’arbre:

Sigui C l’esdeveniment C : el cérvol X està a A al final

P(A)=P(X no surt de A) + P(X surt i el retornen)=1/10+9/19*9/10=100/190

4.10 Un de dos jugadors.

U1 = (60B,40N) U2 = (40B,60N)

a) L’arbre de probabilitats és:

B

A

B

A

9/10

1/10

10/19

9/19 →

→

1,2

3,4,5,6

B (U1 ) 12/60=P(ω1 )

N (U1 ) 8/60=P(ω2 )

B (U2 ) 16/60=P(ω3 )

N (U2 ) 24/60=P(ω4 )

2/6

4/6

6/10

4/10

4/10

6/10



b) Calculem les dues probabilitats:

6028

104

64

106

62

UBP)P(UU

BP)P(U)UP(B)UP(BP(B)2

21

121 =⋅+⋅=

⋅+

⋅=∩+∩=

6032

106

64

104

62

UNP)P(UU

NP)P(U)UP(N)UP(NP(N)2

21

121 =⋅+⋅=

⋅+

⋅=∩+∩=

c) Tenim 4 possibles estratègies, calculem la probabilitat de cada una:

P UB

P(B U )P(B)

P(U ) P BU

P(B)12 6028 60

1228

37

1 11

1

=

∩=

⋅

= = =

P UB P U

B1 1

= −

=1 4

7

P UN

P(N U )P(N)

P(U ) P NU

P(N)8 60

32 608

3214

1 11

1

=

∩=

⋅

= = =

P UN P U

N1 1

= −

=1 3

4

Per tant, si la bola és blanca direm urna 2negra direm urna 2

4.11 Els tres jugadors.

Definim els esdeveniments:

Aij : guanyar el jugador i en l’instant j i=1..3

Ai : guanyar el jugador i

P(A ) 61111 =

P(A ) P(A A ) P(A ) P(A ) 611

511

410

39

68

13221 11 12 11 12= ∪ = + = + ⋅ ⋅ ⋅ =

P(A ) P(A A ) P(A ) P(A ) 610

511

410

39

28

272 21 22 21 22= ∪ = + = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

511

67

P(A ) P(A A ) P(A ) P(A ) 69

511

410

39

28

191543 31 32 31 32= ∪ = + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

511

410

17

66

Per tant, el jugador amb més possibilitats de guanyar és el primer.



4.12 La malària.

• Un símptoma:

P(S1)= ( ) ( )P S1E1 P(E1) P S1

E2 P(E2) P S1E1 E2

P E1E2

⋅ + ⋅ +∩

⋅

=

=(0.55+0.25)·0.18+(0.14+0.32)·0.09+(0.06+0.03)·0.73=0.2511

P(S2)=(0.25+0.12)·0.18+(0.32+0.42)·0.09+(0.03+0.08)·0.73=0.2135

• Els dos símptomes:

P(S1∩S2)=0.25·0.18+0.32·0.09+0.03·0.73=0.0957

• Algun símptoma:

P(S1∪S2)=P(S1)+P(S2)-P(S1∩S2)=0.3689

• Un símptoma però no l’altre:

P(S1∩S2 )=P(S1∪S2)-P(S2)=0.1554

P(S2∩ S1 )=P(S1∪S2)-P(S1)=0.1178

• Cap símptoma:

P( S )=1-P(S1∪S2)=0.634

• ( ) ( )P E1

S1P(E1 S1)

P(S1)

P S1E1 P(E1)

P(S1)0.8 0.180.2511

0.5735=∩

=⋅

=⋅

=

• ( )P E1S2

0.37 0.180.2511

=⋅

= 0 3119.

• P E1S1 S2

0.55 0.180.1554∩

=

⋅= 0 6371.

• P E1S1 S2

0.12 0.180.1178∩

=

⋅= 01834.

• ( )P E1S S2

0.25 0.180.09571 0 4702∩ =

⋅= .

• P E1S

0.08 0.180.6311

=

⋅= 0 0228.

• ( )P E1S S2

(0.55+ 0.25+ 0.12) 0.180.36891 0 4489∪ =

⋅= .

4.13 La malària altre cop.

• Un símptoma:

P(S1)= ( ) ( )P S1E1 P(E1) P S1

E2 P(E2) P S1E1 E2

P E1E2

⋅ + ⋅ +∩

⋅

=0.2511



P(S2)=(0.25+0.12)·0.18+(0.32+0.42)·0.09+(0.03+0.08)·0.73=0.2135

• Els dos símptomes:

P(S1∩S2)=0.25·0.18+0.32·0.09+0.03·0.73=0.0957

• Algun símptoma:

P(S1∪S2)=P(S1)+P(S2)-P(S1∩S2)=0.3689

• Un símptoma però no l’altre:

P(S1∩S2 )=P(S1∪S2)-P(S2)=0.1554

P(S2∩ S1 )=P(S1∪S2)-P(S1)=0.1178

• Cap símptoma:

P( S )=1-P(S1∪S2)=0.634

• ( ) ( )P E2

S1P S1

E2 P(E2)

P(S1)0.46 0.09

0.25110.1649=

⋅=

⋅=

• ( ) ( )P E2

S2P S2

E2 P(E2)

P(S2)0.74 0.09

0.2135=

⋅=

⋅= 0 3119.

• P E2S1 S2

P S1 S2E2 P(E2)

P(S1 S2)0.14 0.09

0.1554∩

=

∩

⋅

∩=

⋅= 0 08108.

• P E2S1 S2

P S1 S2E2 P(E2)

P(S1 S2)0.42 0.09

0.1178∩

=

∩

⋅

∩=

⋅= 0 3209.

• ( )P E2S S2

0.32 0.090.09571 0 30094∩ =

⋅= .

• P E2S

P SE2 P(E2)

P(S)0.12 0.09

0.634

=

⋅

=⋅

= 0 01703.

• ( ) ( )P E2

S S2P S1 S2

E2 P(E2)

P(S1 S2)0.88 0.09

0.36891 0 2147∪ =∪ ⋅

∪=

⋅= .

4.14 La rotllana de nens.

Sigui X: nen i Y: nena. Tenim (1X,3Y),(4X,2Y),(5X,5Y)



a) B0 : mantenir proporcions dels sexes

B0 = w1 ,w8 → P(B ) 14

57

611

34

37

6110 = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 0 2727.

b) Sigui A : Treure nen

Definim B1 = w2 ,w4, B2 = w3 ,w6, B3 = w5 ,w7 aleshores Ω = B0 ∪B1 ∪B2 ∪B3

12013.0116

72

41

115

72

41)( 1 =⋅⋅+⋅⋅=BP

P(B ) 14

27

511

34

47

5112 = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 0 2273.

P(B ) 34

47

611

34

37

5113 = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 0 3799.

P(A) P AB P(B ) P A

B P(B ) P AB P(B ) P A

B P(B )0

01

12

23

3=

⋅ +

⋅ +

⋅ +

⋅ =

31495.03799.0212273.0

4112013.002727.0

41

=⋅+⋅+⋅+⋅=

X

Y

Y

X

Y

X

X

Y X

Y

X

Y

X

Y

1/4

3/4

5/7

2/7

4/7

3/7

6/11

5/11

5/11

6/11

6/11

5/11

5/11

6/11

w1

w2 w3

w4

w5

w6

w7

w8

(1,3)(4,2)(5,5)

(0,4)(4,2)(6,4)

(1,3)(5,1)(4,6)

(0,4)(5,1)(5,5)

(2,2)(3,3)(5,5)

(1,3)(3,3)(6,4)

(2,2)(4,2)(4,6)

(1,3)(4,2)(5,5)



4.15 El venedor de llibres.

V : vendre

NV : no vendre

E : Eixampla

G : Gràcia

C : Les Corts

a) P(V)?

P(V)=P(V/E)P(E)+P(V/G)P(G)+P(V/C)P(C)=0.8*0.5+0.4*0.25+0.6*0.25=0.65

b) S: número de setmanes en què ha venut algun llibre aquest mes. ≈ B(4, 0.65)

P(S≥2)=1 P(S 1) 1 f (0) f (1) 1 0.35 4 0.65 0.35 0.8735187S S4 3− ≤ = − − = − − ⋅ ⋅ =

c) Recordem que P( / NV) P(NV / )P( )P(NV)

• =• •

1) P(E / NV) P(NV / E)P(E)P(NV)

= =⋅

=0 2 05

0 350 2857. .

..

2) P(G / NV) P(NV / G)P(G)P(NV)

= =⋅

=0 6 0 25

0 350 4286. .

..

3) P(C / NV) P(NV / C)P(C)P(NV)

= =⋅

=0 4 0 25

0 350 2857. .

..

Notem que la suma de les tres probabilitats suma 1.

A la vista dels resultats, és més probable que hagi anat a Gràcia.

Eixample

Gràcia

Les Corts

Vendre

No vendre

Vendre

No vendre

Vendre

No vendre

0.5

0.25

0.25

0.8

0.2

0.4

0.6

0.6

0.4



d)

Definim C: coincidir en un districte

Coincidir almenys un cop durant dues setmanes = A = CCCCCC ∪∪

P(A)=1-P( CC)=1-P( C)·P( C) (per independència entre setmanes)

C = E1·E2 ∪ G1·G2 ∪ C1·C2 (disjunts)

P(C) = P(E1·E2) + P(G1·G2) + P(C1·C2) = P(E1)·P(E2) + P(G1)·P(G2) + P(C1)·P(C2) =

= 1/6+1/12+1/12=1/3

P(A)=1-(1-1/3)(1-1/3)=5/9

4.16 Els productes farmacèutics.

a) Definim els següents esdeveniments:

P1 : Fabricació via procediment 1

P2 : Fabricació via procediment 2

D : Peça defectuosa

Hem de calcular P P2D

Fem-ho per arbre:

P P2D

P(P2 D)P(D)

0.6750.9225

0.732

=

∩= =

P(D) P( w ,w ) 0.25 0.99 0.75 0.9 0.92252 4= = ⋅ + ⋅ =

P(P2 D) P( w ) 0.75 0.9 0.6754∩ = = ⋅ =

Per Bayes:

0.25

0.75

D

P1

P2

D

D

D

0.01

0.99

0.1

0.9

w1

w2

w3

w4

E1

G1

C1 0.25

0.25

0.5

E2

G2

C2 1/3

1/3

1/3



P P2D

P DP2 P(P2)

P DP1 P(P1) P D

P2 P(P2)

=

⋅

⋅ +

⋅

=⋅

⋅ + ⋅=

0 9 0 750 25 0 99 0 75 0 9

0 732. .. . . .

.

A priori:

P DP1 0.99 P D

P2 0.9 P(P1) = 0.25 P(P2) = 0.75

=

=

b) Sigui A: Extreure com a màxim 1 peça defectuosa entre 10.

A0 : Treure cap peça defectuosa

A1 : Treure 1 peça defectuosa

Di : Treure una peça defectuosa en i-èssima posició i la resta de les 10 peces no defectuoses.

P(A)=P(A0)+P(A1)

P(A0)=P( D)10 =0.922510 =0.446

P(A ) P(D D ... D ) 10 P(D ) 10 (1 P(D)) P(D) 10 0.0775 0.9225 0.37511 2 10 i 9= ∪ ∪ ∪ = ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ =

P(A)=0.446+0.375=0.821

c) X : v.a. número de peces defectuoses en 2 extraccions amb reposició.

P(D)=0.0775

P([X = 2 = 0.0775 = 0.006

P([X = 0 = 0.9225 = 0.851P([X = 1 = 0.0775 0.9225 + 0.9225 0.0775 = 0.143

verifica p (x ) 1

2

2X i

xi

]

]] ⋅ ⋅

=∑)

)

[ ]E X p (x ) 0 p (0) 1 p (1) 2 p (2) 0.143 2 0.006 0.155X ix

X X Xi

= = ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ =∑

4.17 Un de monedes trucades.

(75E , 25C) on E : moneda equilibrada i C : moneda 2 cares.

a) Sigui A : Moneda trucada i B : surt (C,C) en 2 llançaments consecutius.

• Fent-ho per Bayes:

( ) ( ) ( )P A 0 25 P A 0 75

P CA 1 P X

A 0

P CA

0 5 P XA

0 5

a priori tambe P B

A 1 P BA 0

P BA

1 / 4 P BA

3 / 4

( ) . ( ) .

. .

= =

= =

=

=

=

=

=

=

( ) ( )( )

P AB

P BA P(A)

P BA P(A) P B

AP(A)

11

47

0.57141

4

14

14

34

14

716

=⋅

⋅ +

⋅

=⋅

⋅ + ⋅= = =



• Fent-ho amb arbre:

A B w P(A B) 1 / 41∪ = → ∪ =

B w ,w P(B) 1 / 4 3 / 16 7 / 161 2= → = + =

( )P AB

P(A B)P(B)

1 / 47 / 16

47

=∩

= =

b) Sigui A : Moneda trucada i B : surt (C,...,C) en 10 llançaments consecutius.

A priori:

( ) ( ) ( )( ) ( )

P AB

P BA P(A)

P(B)

P BA P(A)

P BA P(A) P B

AP(A)

11

2 32

0.9971

4

14

12

10 34

10

12=⋅

=⋅

⋅ +

⋅

=⋅

⋅ + ⋅=

+=

A

A

C C

C

X

C

X

C

X

w1

w2

w3

w4

w5

0.75

0.25 1 1

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

P(wi )

0.25

3/16

3/16

3/16

3/16



Sí

No

1/2

1/2

1/9

1/9

C1

C2

C9

4.18 Els despatxos

A : Està en el despatx 9

B : No està en els 8 primers despatxos (A∩B = A)

a) P(A)=P(Sí)·P(C9)=1/2·1/9=1/18

b) ( )P AB

P(A B)P(B)

110

118

1018

=∩

= = P(B) 12

19

12

1018

= ⋅ + =

4.19 Loteria a l’escola. a) Ω = números de 4 xifres ω : succés elemental P(ω)=10-4

b) X : v.a.”benefici net per algú que compri un número” Xi : x0 500.000-1.000 = 499000 x1 50.000-1.000 = 49000 x2 5.000-1.000 = 4000 x3 1.000-1.000 = 0 x4 0-1.000 = -1000 PX ( )x0 = 10-4

PX ( )x1 = 1010000

10= -3

PX ( )x2 = 10-2 PX ( )x3 = 10-1 PX ( )x4 = 1-10-4 -10-3 -10-2 -10-1 = 1-0.1111 = 0.9999 c) Benefici net : esperança X E[X] = x xi i⋅ =∑ PX

i

( ) 499000·10-4 +49000·10-3 +4000·10-2 -1000·0.9999 =

= 49.9+49+40-999.9 = -750



4.20 La caseta de la Fira. X : Número de blancs obtinguts quan prob. encert inicial és p. 1º tir 2º tir . X 0 ( )1 2− p 0 0 1 ( )1− p p 1

0 ( )12

− p p 1

1

1 ( )12

+ p p 2

2

12

)1()1ºencert º2encert ( pppP +=

−+=

2

12

11)1ºencert 2º errrada( ppP −=

+−=

X PX ( )xi p=0.8 p=0.2 0 ( )1 2− p 0.22 =0.04 0.82 =0.64

1 32

1( )− p p 32

0 8 0 2 0 24. . .⋅ = 32

0 2 0 8 0 24. . .⋅ =

2 12

1( )+ p p 12

18 0 8 0 72. . .⋅ = 12

12 0 2 012⋅ ⋅ =. . .

X no és una binomial perquè no es pot considerar com la repetició de 2 experiències de Bernoulli, doncs la probabilitat d’encert no és constant en les 2 experiències. Si p=0.8 E[X]=1.68 blancs Si p=0.2 E[X]=0.48 blancs

4.21 La memòria d’accés ràpid. A cache (50 ns) B cache (90 ns) cache+ ( 50 + cache+ ( 90 + RAM 120 ns) RAM 1200 ns) Cost “X” Cost “1,3·X” TA: temps accés amb cache A TB: temps accés amb cache B E[TA] = 50·0.8+1250·0.2 = 240 ns E[TB] = 90·0.9+1290·0.1 = 210 ns Coeficient cost de A = 240·X Coeficient cost de B = 210·1.3·X = 273·X Per tant, la cache que interessa és la B.

0,8

0,2

0,9

0,1

1-p

p

1-p

p

12− p

12+ p



4.22 El gos de la benzinera. Sigui X : Nombre de vegades en un dia que el gos creua el carrer ⇒ X ~ P (λ)

Y:Y Gos a la benzineraY Altrament

==

01

P(Y=0) = P(X parell) = P(X=0)+P(X=2)+... P(Y=1) = P(X senar) = P(X=1)+ P(X=3)+...

P(X parell)= P ii

e e e e ei

ii

( )( )!

cosh ( )X = e-

= = =+

=+− −

− −

=

∞

=

∞

∑∑ 22 2

12

2 2

00

λ λλ λ λλ λ λ

Y PY (yi)

0 12

2+ −e λ

Si λ → ∞

(Y = 0) =(Y = 1) =

12

12

PP

1 12

2− −e λ

4.23 Una variable aleatòria esglaonada.

Π1 Π2

f x

x 0 x 01 x 02 X

P( X<x01 ) = Π1 P( x01 <X< x02) = Π2 on Π1 +Π2 =1 Per a cada rectangle:

≤≤−

<≤−

=

altrament 0

xx xx

xx xx

)( 02010102

2

010001

1

X x

x

xf π

π

F xf d x x

f d x x

X

x

Xx

xX ( )( ) ( )

( )=

−− ≤

+ =−

≤

≥

∫

∫

si x < x

= x x

x x < x

+x x

( - x ) x < x

1 si x x

0

101

x

0 01

12

0101 01 02

02

0

00

1 0

0

01

µ µπ

π µ µ ππ



E[X] = π π1 1

21

2( ) ( )x x x x01 0 02 01+ +

−+

V(X) = ππ

1

21 2

121

12( ) ( )x x x x

01 002 01−

+−

−

Cas x x x 0 01 02

1= = = =0 18 24 0 6, , , .π :

[ ]E X = ⋅ +−

⋅ = + =0 62

12 1 0 62

42 3 6 8 4 12. ( ) . ( ) . .

( )V X = ⋅ + ⋅ =0 612

18 0 412

6 17 42 2. ( ) . .

4.24 El taller de reparacions d’ordinadors.

Computador 1 CPU +

1 RAM

F1→ 80% computadors F1 RAM defectuoses 5%CPU defectuoses 2%

F2→ 20% computadors F2 RAM defectuoses 5%CPU defectuoses 5%

Sigui A: “CPU en bon estat” Sigui B: “RAM en bon estat” 0,98 CPU RAM CPU F1 0,98 CPU 0,05 RAM CPU 0,95 CPU RAM CPU F2 CPU RAM CPU O bé més simple: CPU F1 CPU CPU F2 CPU

0,95

0,95

0,95

0,05

0,05

0,05

0,05

0,8

0,2

0,98

0,95

0,02

0,05

0,8

0,2

0,95



a) P(A)=0.8·0.98+0.2·0.95=0.974 P(B)=0.8·0.95+0.2·0.95=0.95 P(A ∩ B)=0.8·0.95·0.98+0.2·0.95·0.95=0.9253 b)

i) (F1 / A ?

(F1 / A (F1 A(A

ii) (F2 / Funciona) ? F = "computador funciona" = CPU, RAM

(F2 / F) = (F2 F)(F)

P

P PP

P

P PP

)

) ))

. ..

.

..

. . .. . . . . .

.

=∩

=⋅

−= =

∩=

⋅ ⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=

0 3 0 021 0 974

0 0160 026

0 615

0 2 0 95 0 9508 0 95 0 98 0 2 0 95 0 95

0195

c) X Taller ∼ ℘ ℘ = = − = 2 (( ) )!

2 λ λ λX xx

eTaller

x

P X P XTaller Taller ( (

Taules

> = − ≤ = − =

↑

5 1 5 1 0 983 0 017) ) . .

d) Tentre reparacions ∼ Exp(2) λ=2 f x eT

xentre reparacions

( ) = −λ λ

] ]P T e dt e e e eentret t t( reparacions > = = − =− = + =− − +∞

∞− +∞ − −∫5 0

55

25

10 10) λ λ λ

4.25 Un de verificació de propietats.

f xx si x

altramentX ( ) =

+< <

112

0 3

0

2

a f t dt

t t

X) ( )

)

?

(1 + dt = 112

+ t 0

3 3

=

= +

=

−∞

∞

∫

∫

1

12 31

123 27

31

2

0

3

b) F xX ( ) ?

f t dt t dt t t x xX

xxx

( ) ( ) = + = +

= +

∫∫

−∞

112

1 112 3

112 3

23

0

3

0



c) ( )P PP X

PP

X > X > (X > 2) X 2)(X 1)

2 11

11

1 21 1

112

83

112

13

=>

=− ≤− ≤

=− +− +( )

( ( )( )

d) [ ]E X = ⋅ = + = +

= +

=−∞

∞

∫ ∫t f t dt t t dt t tX ( ) ( )1

121

12 2 41

1292

814

9948

32 4

0

3

0

3

4.26 Les aturades d’uns sistemes de control. a) Probabilitat que el sistema 1 tingui almenys 2 aturades en un cert dia. P(X1 ≥2) = P(X1 =2) ∪ P(X1 =3) = P(X1 =2)+P(X1 =3) = 0.34+0.24 = 0.58 ↑ P(A∪B)=P(A)+P(B) (successos disjunts) Com que són sistemes independents (⇒ variables independents) podem trobar la funció de probabilitat conjunta. ⇓ P x x P x P xX X X X1 2 1 21 2 1 2, ( , ) ( ) ( )= ⋅ 0 1 2 3 0 0.007 0.014 0.035 0.014 1 0.035 0.07 0.175 0.07 2 0.034 0.068 0.17 0.068 3 0.024 0.048 0.12 0.048 b) Probabilitat ( nº parades s1 < nº parades s2 ) P(X1 <X2) = P(X1 <1,X2 =1)∪P(X1 <2,X2 =2)∪P(X1 <3,X2 =3)= ↓ P(A∪B)=P(A)+P(B) (successos disjunts) =P(X1 =0, X2 =1)+P(X1 =0,X2 =2)+P(X1 =1, X2 =2)+P(X1 =0, X2 =3)+P(X1 =1, X2 =3)+ +P(X1 =2, X2 =3)=(per independència dels successos)= =P(X1 =0)·P(X2 =1)+ P(X1 =0)·P(X2 =2)+ P(X1 =1)·P(X2 =2)+ P(X1 =0)·P(X2 =3)+ +P(X1 =1)·P(X2 =3)+ P(X1 =2)·P(X2 =3)= =0.07·0.2+0.07·0.5+0.35·0.5+0.07·0.2+0.35·0.2+0.34·0.2=0.376 c) Probabilitat d’una parada entre els dos sistemes. P(X1 +X2 =1)=P(X1 =0,X2 =1)+P(X1 =1,X2 =0) = P PX X X X1 2 1 2

0 1 1 0, ,( , ) ( , )+ =0.014+0.035=0.049 d) Probabilitat d’igual número de parades. P(X1 =X2 )= P(X1 =0, X2 =0)+P(X1 =1, X2 =1)+P(X1 =2, X2 =2)+P(X1 =3,X2 =3)= = P PX X X X1 2 1 2

0 0 11, ,( , ) ( , )+ + P PX X X X1 2 1 22 2 3 3, ,( , ) ( , )+ = 0.007+0.07+0.17+0.048=0.295

e) Probabilitat de col·lapse ⇒ més de cinc parades P(X1 + X2 >5) = P(X1 =3, X2 =3)= PX X1 2

3 3, ( , ) = 0,048

X1 X2



4.27 Les avaries d’un centre de càlcul. Exercici pel lector.

4.28 Recanvis de peces. Exercici pel lector.

4.29 Un de descriptiva bivariant. Exercici pel lector.

4.30 El concurs de mèrits. Exercici pel lector.

4.31 Les cues al peatge. Exercici pel lector.

4.32 Una aplicació del teorema central del límit. ei ∼ [ ]U −1

21

2, i=1,..,100 independents.

Se eii

==∑

1

100

on

[ ]

( )

E

V

e

e u du u

i

i

=

= =

= + =

−−

∫

0

31

241

241

122

3

12

12

12

12

Aproximem Se per ( )ℵ =0 2 10012,σ pel Teorema Central del Límit.

X∼ ( )325,0 ℵ : error aproximar suma de 100 números.

( ) ( ) ( ) ( )

( )

P k k F k F k F k F k

F k

P z

X X X X

X

- X

= 0.995

X

≤ ≤ = = − − = ⋅ − = ⋅

− = ⇒

⇒

≤ =

0 99 2 1 2 1 0 99

0 995

253

253

. .

.

Busquem z’ tal que ( )P zZ si Z ≤ =' .0 995 ∼ℵ ⇒ ⇒ × (0,1) ' = 2.575 = = 'z k k z25

3

253

4.33 Un parell de variables discretes.

Y\X -1 0 1 -1 a 2a 3a 6a 0 2a 4a 6a 12a



1 ab 4a 3ab 4a+4ab 3a+ab 10a 9a+3ab 1

Condicions: 6 12 4 4 1a a a ab+ + + = → 22a + 4ab = 1 → a b( )22 4 1+ = i 0,0 ≥≥ ba

Si per exemple, a=1/100 → 5.194

22254

2241

422-1= =−=−=

aaab .

a) [ ] ( )E Y

y

= ⋅ = − × + + × − = − + − = −∑ y P y a a a a ai Y ii

1 6 0 1 1 18 6 1 18 1 24( )

[ ] ( ) E X x

= ⋅ = − + + + + = − − + + = + =

= + − = + − = −

∑ x P x a ab a ab a ab a ab a ab

a a a a a

i X i

a

i

1 3 0 1 9 3 3 9 3 6 2

6 2 6 11 514

224

12

12

( ) ( )

( )

b)

X Y S=X+Y M=Sup(X+Y) PXY(xi,yi) -1 -1 -2 -1 a -1 0 -1 0 2a -1 1 0 1 ab 0 -1 -1 0 2a 0 0 0 0 4a 0 1 1 1 4a 1 -1 0 1 3a 1 0 1 1 6a 1 1 2 1 3ab

S PS (si ) -2 a -1 4a 0 ab+4a+3a=7a+ab 1 10a 2 3ab=(3-66a)/4

S M (xi,yi ) P s mi iSM ( , ) -2 -1 (-1,-1) a -2 0 - 0 -2 1 - 0

M PM (mi )

-1 a

0 8a

1 1-9a



-1 -1 - 0 -1 0 (-1,0),(0,-1) 4a -1 1 - 0 0 -1 - 0 0 0 (0,0) 4a 0 1 (-1,1),(1,-1) 3a+ab 1 -1 - 0 1 0 - 0 1 1 (0,1),(1,0) 10a 2 -1 - - 2 0 - - 2 1 (1,1) 3ab

22a+4ab=1 si b a= −14

228

-1 0 1

-2 a 0 0 -1 0 4a 0 0 0 4a 3a+ab 1 0 0 10a 2 0 0 3ab

c) Quan són independents? Si b=2 a=1/30 les files i les columnes són múltiples entre sí.

-1 0 1 -1 1 30 2 30 3 30 6 30 0 2 30 4 30 6 30 12 30 1 2 30 4 30 6 30 12 30 5 30 10 30 15 30

4.34 Un nou parell de variables.

-1 0 1 -1 0 2a 3a 5a 0 2a 0 a 3a 1 3a a 0 4a 5a 3a 4a 12a=1

Condició: 12a = 1 → a = 1 12 X Y S=X+Y M=Max(X,Y

) PX+Y(xi,yi) X-Y

-1 -1 -2 -1 0 0 -1 0 -1 0 2a -1 -1 1 0 1 3a -2

S

Y

M

X

Y X



0 -1 -1 0 2a 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 a -1 1 -1 0 1 3a 2 1 0 1 1 a 1 1 1 2 1 0 0

Una forma abreujada d’escriure aquesta taula és:

X+Y PX+Y -2 0 -1 4a 0 6a 1 2a 2 0

[ ] E X = [ ] E Y = − + = −5

124

12112

[ ] E X + Y = [ ] E X + [ ] E Y = −16 = 0·212

2·1126·112

6·0124·10·2 ++++−−

b) X i Y són independents? PXY (-1,-1)=0 PX (-1)=5a PY (-1)=5a però 25a2 ≠ 0 ⇒ no independents. c) Distribució Z = X-Y

Z=X-Y PZ -2 3a -1 3a 0 0 1 3a 2 3a

d) Distribució D = max(X,Y):

D PD -1 0 0 4a 1 8a

4.35 Més de parells de variables. Exercici pel lector.

4.36 Un parell de variables uniformes i discretes.

P x P xX i X i 1 X i( ) ( ) , ,2,3,4,= = =1

61

6 0 1 52

Variables aleatòries uniformes i independents.



a) Z = −( )x x1 22 té valors : 0,1,22,32,42,52 i aplicarem :

nº casos favorablesnº casos possibles

Z (fer-ho a mà) 0 6/36 1 10/36 4 8/36 9 6/36 16 4/36 25 2/36

b) Es pot fer a mà. S=6X+Y Si=0,...,35 P(S=w)=1/36

4.37 Parell de variables uniformes i contínues.

4.38 L’espera a correus. X X X nº de persones en l' interval T.a b= + = a) Les hipòtesis d’independència i procés poissonà impliquen que: X ∼℘ +(( ) )a b T

P a b e ea b(!

....( )Cap client en 5 minuts) = (5( + )) 0

05 3− + −=

Z: v.a. clients en 5 minuts ∼ ℘(5(a+b))=℘(3) si a=0.4 i b=0.2. W: Persones que han vingut per un reintegrament entre les 18.35h. i les 18.45h. (en 10 min) W∼℘(aT)=℘(10a) n = nA+ nB ( n persones total = nA per reintegrament + nB per enviar )

nA ∼ B( n, PA ) on PA : probabilitat que sigui una persona de reintegrament: PA = aa b+

nB ∼ B( n, PB ) on PB = ba b+

4.39 La finestreta d’atenció al públic.

1

1 0

Resolució a classe a criteri del professor.

[ ]X X no es uniforme en 0,21 2+



X = v.a. que compta persones per minut. → X∼℘(2).

a) P( X > 2 ) = 1-P( X ≤ 2 ) = 1 1 0 6767 0 323322

− = − =−

=∑ e 2

k!

k

k 0

. .

b) Y = v.a. que compta persones en cinc minuts. → Y ∼℘(10).

P( Y < 13 ) = P( Y ≤ 12 ) = ek

k

k

−

=

=∑ 10

0

12 10 0!

,7916

c) Ara no hi ha cap persona. El temps d’espera fins que arribi una persona segueix la llei exponencial amb paràmetre 2. → T ∼ exp(2).

P( T > 5 ) = 2 2 10

5

⋅ =− −∞

∫ e dt et

d) Ara hi ha una persona. Igualment el temps d’espera fins que arribi una altra persona segueix la llei exponencial amb paràmetre 2. Per tant, la solució, com a l’apartat anterior, és e−10 . e) El temps d’espera igualment segueix una llei exponencial amb paràmetre 2.

Esperança : t e dtt⋅ =−

−∞

∞

∫ 2 2 ½ minuts.

4.40 La tenda de peixos. a) X nº peixos en 6 intents 1 : ∼ B(6 , p=0.6)

[ ]E X1 36= ⋅ =n p .

0041.04.0)6.01(6.006

)0()0X( 660 1 1

==−⋅⋅

=== XPP

b) X2 : nº d’intents fins aconseguir un peix ∼ G(0.6) (llei geomètrica de paràmetre p=0.6)

[ ]E X 2 16= .)

c) 4 clients per hora dels indecisos ∼℘(1) per 1

4 d’hora. 1 client per hora dels segurs ∼℘(0.25) per 1

4 d’hora. De les 10 a 10:15 → client ha comprat 1 peix. A: client indecís B: comprar un peix

( ) ( )P

P P

PA

B

BA A

B=

⋅= =

( )

( ).

..0 0296

0 23013

( ) ( ) ( )P P P P P( ) ( ) . .B BA A B

A A= + ⋅ = ⋅ + ⋅ =0 037 1 0 2345

15

A priori : P( ) ) /A P(A= =4 5 1 5



( ) ( )P P PBA X

B

A= = =

⋅ ⋅ = =( ) . ( . ) .1

5161

0 6 0 4 0 037 1

4.41 Un viatge internacional. Xicago : 21h. (17h 30min - 6h) Luxemburg : 14h 30min (8h 30 min a Xicago) Per tant el vol dura 11h 30min = 690 min. perquè hi ha 6 hores de desplaçament horari. X: Xicago-Islàndia ℵ1 (240,252 ) Y: Islàndia-Islàndia ℵ2 (45,102 ) Z: Islàndia-Luxemburg ℵ3 (420,402 ) D=X+Y+Z D = + + =240 45 420 705 Var(D) Var(X) Var(Y) Var(Z) 25 10 40 625 100 1600 23252 2 2= + + = + + = + + =

( ) ( ) ( )

P P P

P P P

(690 15 D 690 15) (675 D 705) 675 7052325

Z 705 7052325

Z Z Z

− ≤ ≤ + = ≤ ≤ =−

≤ ≤−

=

= − ≤ ≤ = − ≥ = − + ≤ = − + =0 622 0 0 5 0 622 0 5 1 0 622 0 5 0 7324 0 2324. . . . . . . .

4.42 El tub de rajos catòdics. X∼N (275,432) mín=200 → s’arruga màx=375 → es trenca a) Probabilitat que s’arrugui

P P Z Z( ) ( . ) ( . ) . .X Z< = <−

= − = − = − =200 200 27543

1744 1 1744 1 0 959 0 041φ φ

b) ( )P PP

PP

X X X XX

XX

< < =< ∩ <

<=

<<

=175 200 175 200200

175200

( )( )

( )( )

=<

−

<−

= =P

P

Z

Z

175 27543

200 27543

0 01020 041

0 2487..

.

c) P(200<X<375) = P(X<375) − P(X<200) = 0.989 − 0.041 = 0.948 d) Y : Nº de tubs bons ⇒ Y∼B(5,p) amb p=0.948 P P P P P B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , . )Y Y Y Y Y ≥ = = + = + = = − ≤ = −3 3 4 5 1 2 1 2 5 0 948 B(n-k-1 , 5 , 1-p)



o si Z : Nº tubs defectuosos ⇒ Z∼B(5,1-p) P(Z ≤ 2) = B(2,5,0.052) = 0.9988

e) X∼N (275, 432 ) ⇒= ==

µσ

27543

E X( )

Busquem t tal que P (µ-t ≤ X ≤ µ+t ) = 0.95 • De manera directa per propietats de la normal: (µ+2σ) ⇒ 95% t= 2σ=2×43=86 • P t X t P X t P X t( ) ( ) ( )275 275 275 275− ≤ ≤ + = ≤ + − ≤ − =

=+ −

−− −

=

−−

=

− −

=φ φ φ φ φ φZ Z Z Z Z Zt t t t t t275 275

43275 275

43 43 43 431

43

= ⋅

− = ⇒

= = → = ⇒243

1 0 9543

1952

0 975 196φ φZ Zt t. . . . t

43 Taules

⇒ ⋅ t = 1.96 43 = 84.28

4.43 Vida de dispositius electrònics. Exercici pel lector.

4.44 El creuament de trens. a) DA : durada recorregut A → C DB : durada recorregut B → C DA ∼ ℵ( 208.9 , 202 ) DB ∼ ℵ( 207.6 , 202 )

Doncs, 3h 28min 54seg 208.9 min 3h 27min 36seg 207.6 min

→→

( ) ( ) ( )P P P P(D ) Z . Z ZA A A A≤ = ≤

−

= ≤ − = − ≤ = −+

=

=

180 180 208 920

1445 1 1445 10 9251 0 9265

20 0742

. .. .

.

( ) ( )P P P P(D 150) Z 150 209.620

Z ZB B B b≤ = ≤−

= ≤ − = − ≤ = − =2 88 1 2 88 1 0 9980 0 002. . . .

b) R: succés existència d’accident en un dia A: Tren A arriba passades les 20h. B: Tren B arriba passades les 20h. C: Cap d’estació despistat després de les 20h. R=A∩B∩C P(R)=P(A)·P(B)·P(C)=0.06·0.05·0.5=0.0015

( ) ( )

( )

(A) = (D ) Z 240 208.920

Z ZA A A AP P P P P≥ = ≥−

= ≥ = − ≤ =

= −+

=

240 1555 1 1555

10 9394 0 9406

20 06

. .

. ..



( ) ( )

( )

(B) = (D ) Z Z Z

10.9495 0.9505

20.05

B B B BP P P P P≥ = ≥−

= ≥ = − ≤ =

= −+

=

240 240 207 620

162 1 162. . .

P(C)=0.5 c) X: nº d’accidents en una setmana X∼B(7,0.0015) A: S’ha produït algun accident.

( )P P P(A) (X 0) 1 (X 0) 170

. (0.9985) 1 0.9895 0.01050 7= > = − = = −

⋅ = − =0 0015

d) X: Nº d’accidents en 200 dies. X∼B( 200 , 0.0015 ) A: S’ha produït algun accident. X∼B( 200 , 0.0015 ) ⇒ npq=200·0.0015·0.9985=0.29955<5 ⇒ Aproximació per Poisson amb λ=np=200·0.0015=0.3 ⇒ X∼℘(0.3)

P P P e(A) (X 0) 1 (X 0)= > = − = = − = − =−1 0 30

1 0 741 0 2590

0 3.!

. ..

e) C: No hi ha accident un dia determinat. A: Tren A arriba passades les 20h. B: Tren B arriba passades les 20h.

( )P PP

A BC

(A B C)(C)

0.00150.9985

0.0015022∩ =∩ ∩

= =

P(C) 1 0.0015 0.9985 per l' apartat b)= − = P(A B C) 0.0015∩ ∩ =

4.45 La màquina d’emplenar caramels. a) FZ (z1 )=0.006 Taules

1 Z 1 z 2.51 ( z ) 0.994 → = − − =F FZ (z2 )=1-0.33=0.67 Taules

2 z → = 0 44.

Es planteja el següent sistema: 0 44 8176

2 51 69 96

. .

. .

=−

− =−

⇒

µσ

µσ

µσ

= 80= 4

b) P(X > 80) = 0.5 = p on p: probabilitat de triar un paquet a l’atzar que pesi més de 80 grams. Y: Nombre de bosses amb més de 80 gr. entre 10 bosses. Y∼B(10 , 0.5)

P(Y=5)=105

0 5 1 0 5 0 24605 10 5

⋅ ⋅ − =−. ( . ) .

c) Y1 = nombre amb més de 80 gr. entre 100 bosses. Y∼B(100 , 0.5)



P P(Y 40) (Y on Y1 2 2≥ ≅ ≥ 40) ∼ℵ(µ,σ2 ) on µ

σ= = ⋅ =

= − = ⋅ ⋅ =

npnp p

100 0 5 501 100 0 5 0 5 252

.( ) . .

doncs np(1-p)=25>5 i aprox. Poisson no val.

P P P P P(Y 40) 1 (Y 40) = 1 Z 40 5025

1 (Z 2) (Z 2) 0.97722 2≥ = − ≤ − ≤−

= − ≤ − = ≤ =

4.46 La normal truncada. a) X : Nombre d’hores de funcionament d’un tub.

f xx

Ke xX

200x2

80000( ) =

<≥

−

0 200

f x f t dt KX X( ) ( ) . es f.d.p. si i aixo determina -

=∞

∞

∫ 1

( )f t dt Ke dt K AX ( ) = = ⋅ =−

∞

−∞

∞

∫∫1

2t -0200

2

200

1

Estudiem A comparant amb F yY ( ) on Y ∼ ℵ(0,2002 )

lim F y f t dt f t dt f t dt B Cy Y Y Y Y→+∞

∞

−∞−∞

∞

= = = + =∫∫∫( ) ( ) ( ) ( ) + 200

200

1

Estudiem C: ( )C f t dt e dt A F

BF

F F

Y Y Z

Z Z

t

= = = = − = −−

=

= − = −

− −∞∞

∫∫ ( ) ( )

( ) ( )

1200 2

1200 2

1 200 1 200 0200

1 1 1

12

0200

2

200200 π π 124 34

Per tant: A F F

K A F

Z y

Z

= ⋅ − = ⋅ −

= =⋅ −

200 2 1 200 2 2001 1

200 2 1

π π

π

( ) ( )

( )

b) Sigui X com abans. P(X>250)?

( ) ( )

( ) ( )( )

P P X

P K e dt K e dt

K F F K F F

F FF

t t

Y Y Z Z

Z Z

Z

( ) ( ) .

( )

( ) ( ) ( . ) ( )

( . ) ( )( ) .

X

X

> = − ≤ =

≤ = = ⋅

=

= ⋅ − = ⋅ ⋅ − =

= −− =

− − − −

∫ ∫∞

250 1 250 0 665

250 200 2 1200 2

200 2 250 200 200 2 125 1

125 11 0 335

12

0200

21

20

200

2

200

250

200

ππ

π π

c) T : nombre de tubs actius en un aparell A després de 250 h. Al ser tubs independents i de la mateixa vida mitjana ⇒ Procés de Bernoulli ⇒ T∼Β (100,0.665) A : Funciona aparell A després de 250 h. P(A)=P(T≥65) inviable el càlcul per les taules. T∼Β (100,0.665) que podem aproximar per una ℵ(µ,σ2) amb µ=66.5 i σ2=22.28 doncs npq>5. Per tant, tenim T∼ℵ(66.5,4.722)



P P P P FZ( ) ( ) ( ) ..

( . ) .A T T Z= ≥ = − ≤ = − ≤−

= =65 1 65 1 65 6654 72

0 318 0 6255

d) W: nombre aparells A actius després de 250 h. W∼Β(20,0.6255)

A priori sabem W>10 i es demana P KWW (< 0.1)>

>

=$ .10 01 amb $K màxim.

P K P KP

P KP

K

K

WW

WW

WW

(20 , 20 - (20 , 9 , 0.375)

(20 , 20 - (20 , 3 ; (20 , 4 (> 0.082)

Taules : 20 - K - 1 3

K = 16.

>>

=

>>

=− ≤− ≤

=−

=

− == =

≈

⇒

$ ( $ )( )

( $ )( )

$ , . ) .

$ , . ) ., . ) . , . ) .

$

$

10 1011 10

1 0 375 01

1 0 375 0 0820 375 0 0302 0 375 0 084

BB

BB B

4.47 Les alçades en matrimonis. rX (X, Y) Alçada matrimoni.

X (176.5,5.5 )Y (169.82,5 )

2

2=≈ℵ≈ℵ

ρ=0.51

a) cov(X,Y)?

ρτ τ

ρ τ τ=⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =cov( , ) . . .X Y

X YX Y cov(X, Y) = 0 51 55 5 14 025

b) W=Y-X no parella ⇒ W∼ℵ(µ,σ2) amb µ

σ= − = −

= + =

169 82 176 5 6 6855 5 7 432 2 2 2

. . .. .

P(W>0)=P Z Z>+

= > = − ≤ = − =0 6 68

7 430899 1 0 90 1 08159 0184.

.( . ) ( . ) . .P P Z

↑ Taules.

c) V representa una parella, tindrà µ=-6.68,σ2=7.432-2·14.025=27.1549. Sigui p=P(V<0)=0.9 (taules). Llavors si U és el nombre de marits més alts que la seva mullera, tenim U~B(10, p) i llavors ( ) 93.08 =≥UP

4.48 Les ampolles d’oli. a) C1 ∼ ℵ(µ1 ,σ 1

2 ) C2 ∼ ℵ(µ2 ,σ 22 )

Ci : contingut total d’oli d’una caixa tipus Ci Observem yA , yB , yC són mútuament independents.



( )( ) 3

2232

B2A

22

31

232C

2B

2B

2B

2A

2A

21

3CA2

3CBA1

cm 345.2 cm 5.542

cm 583.2 cm 67.6

cm 600042

cm 5997100110003998232

=→=+=

=→=+++++=

=+=

=+×+×=++=

σσσσ

σσσσσσσσ

µµµ

µµµµ

Demanem on ),(D CC=Don 0)>D()0CC()CC( 2121212 σµNPPP ≈⇒−=>−=>

cm

= 3.489 cm

3

3

µ µ µ

σ σ σ σ

= − =

= + = →

2 1

212

22

312 17.

P P P P( ).

( . ) ( . ) .D Z Z Z> = >−

= > − = < =0 0 33 489

0 8599 0 8599 0 8051

b) Cerquem m tal que P(C1<m)=0.02

P m P m P m P m( ). . .

.C Z Z Z15997

2 5835997

2 5831 5997

2 5830 02< = <

−

= >−

= − <−

=

Per tant: P Z m P Z z<−

= ⇒ < = =5997

2 5830 98 0 98 2 0550.. ( ) . . z tal que i per taules z0 0

z m m0 2 055 59972 583

599169= =−

→ =..

. cm3

c) Una ampolla d’A és defectuosa amb probabilitat pA. Sigui X: v.a. nombre d’ampolles A defectuoses entre 150 → X∼B(150, pA) Cerquem P(X>100)=P(X ≥ 101)

p P P PA Ay Z Z= < = <−

= < = ≅( ).

( ) . .999 999 99815

0 7454 0 7523

Aleshores X∼B(150,0.75) Aproximació normal pel càlcul doncs pA >0.01,pA<0.99

Xnp p

' ( , )( ) .

≈ℵ×

= − = →

µ σµ

σ σ2

2 1 28125 on

= np = 150 0.75 = 112.5 = 5.303

988.0)26.2Z(303.5

5.1125.100Z1)5.100'(1)5.100'( =<=

−

<−=≤−=≥ PPXPXP

d) C2 és defectuosa si alguna de les 2 ampolles A ho és o alguna de les 4 de C ho és. XA : nombre ampolles A defectuoses entre 2 XA ∼B(2, pA) XB : nombre ampolles C defectuoses entre 4 XB ∼B(4, pC) P(C2 defectuosa)= P P P P P( ) ( ) ( ) ( ) ( )X o X X X X XA C A C A C> > = > + > − > >0 0 0 0 0 0 De l’apartat c) tenim que pA=0.75, mirem ara pC.

pC = P P P( ).

( )y Z ZC < = <−

= < − ≅999 999 10010 5

4 0

P P P( ( ) ( ) . . .C defectuosa) = X X p2 A A> = − = = −

⋅ ⋅ = =0 1 0 1

20

0 75 0 25 0 93750 2

X∼B(10,p) on X : caixes C2 defectuoses entre 10 P(X>0)=1-P(X=0)=1.0



4.49 Les empreses d’estudi de mercat. a) cov(X, Y) = (X, Y) V(X)V(Y)ρ ⋅ = × × =0 815 20 20 326. b) Sigui D : accionistes insatisfets en un any. U:Nombre de mesos amb benefici ∼B(12 , p = P(Y≥200))

P P P P( ) ( ) ( . ) .Y Y Z Z≥ = − ≤ = − ≤−

= ≤ =200 1 200 1 200 20520

0 25 0 5927

3=k 12,=n 0.4,=p :Taules 7747.02253.01

)4.0 ,12 ,3(1)4013.0,12,1812(1)5927.0 ,12 ,8()8U()D(↑=−=

=−=−−−==≤= BBBPP

c) Sigui V : Nombre de mesos fins assolir beneficis durant 3 V∼Bin. Negativa amb p=P(Y≥200)=0.5987 r=3

025.000418.02146.0284013.05927.028

1319

)9V( 63393 =××=×⋅

=⋅⋅

−−

== −qpP

d) 10 anys → 120 mesos W : nombre mesos sense beneficis∼B(120,p=0.4013) p=P(Y<200)=1-0.5987=0.4013 E[W] = np = 120·0.4013 = 48.156 mesos sense beneficis. Trobar k tal que P(W>k)=0.05

P P P P( ) ( ) ( ) ..

.

)

W k W k W' k Z k

W B(120,0.4013) s' aproxima per W' (48.156,5.4 on npq2

W'2

> = − ≤ = − ≤ = − ≤−

=

↓

≈ ≈ℵ =

1 1 1 481654

0 05

σ

z tal que (Z 2) = 0.95 zk k = 57 mesos maxim.

0 0P ≤ → =−

= ⇒

1654816

5 4165

..

..

4.50 Un de propietats bàsiques. a)

FX(x)

X

1/2

1

0 1 2 3 4



b) Per derivació immediata tenim : f xdF x

dxf xx

XX( )

( )( )= ⇒ =

≤≤≤≤

x0.5 0 < x 10 1< x 20.25 2 < x 40 x > 4

0 0

c) ( )P PP

PP

PP

XX

X X > 1)X

XX

XX

>> =

> ∩>

=>>

=− ≤− ≤

=31

31

31

1 31 1

(( )

( )( )

( )( )

=−−

=−−

= =1 31 1

1 0 751 0 5

0 250 5

0 5FF

X

X

( )( )

..

..

.

d) E X( ) ( ) . .= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =−∞

+∞ +∞

−∞∫ ∫ ∫ ∫∫∫t f t dt t dt t dt dt t dt dtX 0 0 5 0 0 25 0

1

2

2

4

40

10

= ⋅

+ ⋅

=05

20 25

2175

2

0

1 2

2

4

. . .t t

4.51 Un altre de propietats bàsiques en un parell de v.a. a) P a b a a

jiXY i j

58

38

38(x , y ) b = 0= ⇒ + + = ⇒ − ⇒ ≤ ≤∑∑ 1 1

X,Y són independents? Depèn de a i b : P a P P aabXY X Y( , ) ( ) ( )3 1 3 1 9

643

8= = ⋅ = + ⇒

==

940

320

PXY ( , ) Y=1 Y=2

X=1 1/4 1/6 X=2 1/8 1/12 X=3 9/40 3/20

b)

PX(xi) PY(yj) 3/5 2/5

5/12 15/60=1/4 10/60=1/6

5/24 15/120=1/8 10/120=1/12

3/8 9/40 6/40=3/20

0 1 2 3 4

1/4

1/2 1 fX(x)

x



xi PX(xi) FX(xi) 1 5/12 5/12 2 5/24 5/8 3 3/8 1

c) ( )P PP

PPXY

X

YX

Y XX

== =

= ==

= = =12

1 22

2 12

35

18

524

( , )( )

( , )( )

d) ( )E Y( ) ( )= ⋅ = + + − = −=

∑ y P y a a aj Y jj

38

58

138

1

2

2

En cas de ser independents : a =9/40 ⇒ E(Y)=7/5=1.4

4.52 Les malalties tropicals. a) Var X E X E X = 0.1( ) ( ) ( ) . . .= − = − = = ⇒2 2 2 24 01 2 0 01 01 σ b) P P P P P( . . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )1 98 2 02 2 02 1 98 0 2 0 2≤ ≤ = ≤ − ≤ = ≤ − ≤ − =X X X Z Z = ⋅ ≤ − =2 0 2 1 01586P( . ) .Z

0228.09772.01)2Z(1)2.2X(1)2.2X( =−=≤−=≤−=> PPP c) Usem que p=P(1.98 ≤ X ≤ 2.02)=0.1586 • X1 ∼ B(10,p=0.15) X1 : nombre de poblats entre 10 amb X∈(1.98,2.02) P P B( ) ( ) ( , , . ) . .X X 1 15 1 4 1 4 10 015 1 0 9901 0 0099≥ = − ≤ = − = − = • X2 ∼ B(100, p=0.16) X2 : nombre de poblats entre 100 amb X∈(1.98,2.02)

Xnp

npq22

2 23 67' ( , )

.≈ℵ

×= =

µ σµ

σ on

= = 100 0.16 = 16

P P P P( ) ( ) ( . ) ( ) .'X X Z Z2'

2 5 1 5 1 2 997 3 0 998≥ = − ≤ = − ≤ − = ≤ = d) Objectiu: P(X>2.02)=0.25 reduint σ2 de X

P P P P( . ) ( . ) . . . .X X Z Z> = − ≤ = − ≤

= ⇒ ≤

=2 02 1 2 02 1 0 02 0 25 0 02 0 75σ σ

1 2 3

5/12 5/8

1 FX(x)

x



z P z0 0 0 75 0 68 0 02 0 0294 0 000865 tal que Z es z = 0.020.68

02( ) . . . . .≤ = = = ⇒ = ⇒ =

σσ σ



5. TAULES ESTADÍSTIQUES (AUTOR: JOSÉ ANTONIO GONZÁLEZ)



( ) knkx

kpp

kn

pnxB −

=−

= ∑ )1(,;

0

TABLA A

Función de distribución BINOMIAL

P

N X 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

2 0 0,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0,2500 1 0,9975 0,9900 0,9775 0,9600 0,9375 0,9100 0,8775 0,8400 0,7975 0,7500

3 0 0,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,1250 1 0,9928 0,9720 0,9393 0,8960 0,8438 0,7840 0,7183 0,6480 0,5748 0,5000 2 0,9999 0,9990 0,9966 0,9920 0,9844 0,9730 0,9571 0,9360 0,9089 0,8750

4 0 0,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0,0625 1 0,9860 0,9477 0,8905 0,8192 0,7383 0,6517 0,5630 0,4752 0,3910 0,3125 2 0,9995 0,9963 0,9880 0,9728 0,9492 0,9163 0,8735 0,8208 0,7585 0,6875 3 1,0000 0,9999 0,9995 0,9984 0,9961 0,9919 0,9850 0,9744 0,9590 0,9375

5 0 0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1160 0,0778 0,0503 0,0313 1 0,9774 0,9185 0,8352 0,7373 0,6328 0,5282 0,4284 0,3370 0,2562 0,1875 2 0,9988 0,9914 0,9734 0,9421 0,8965 0,8369 0,7648 0,6826 0,5931 0,5000 3 1,0000 0,9995 0,9978 0,9933 0,9844 0,9692 0,9460 0,9130 0,8688 0,8125 4 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0,9976 0,9947 0,9898 0,9815 0,9688

6 0 0,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277 0,0156 1 0,9672 0,8857 0,7765 0,6554 0,5339 0,4202 0,3191 0,2333 0,1636 0,1094 2 0,9978 0,9842 0,9527 0,9011 0,8306 0,7443 0,6471 0,5443 0,4415 0,3438 3 0,9999 0,9987 0,9941 0,9830 0,9624 0,9295 0,8826 0,8208 0,7447 0,6563 4 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9954 0,9891 0,9777 0,9590 0,9308 0,8906 5 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9982 0,9959 0,9917 0,9844

7 0 0,6983 0,4783 0,3206 0,2097 0,1335 0,0824 0,0490 0,0280 0,0152 0,0078 1 0,9556 0,8503 0,7166 0,5767 0,4449 0,3294 0,2338 0,1586 0,1024 0,0625 2 0,9962 0,9743 0,9262 0,8520 0,7564 0,6471 0,5323 0,4199 0,3164 0,2266 3 0,9998 0,9973 0,9879 0,9667 0,9294 0,8740 0,8002 0,7102 0,6083 0,5000 4 1,0000 0,9998 0,9988 0,9953 0,9871 0,9712 0,9444 0,9037 0,8471 0,7734 5 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9962 0,9910 0,9812 0,9643 0,9375 6 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9994 0,9984 0,9963 0,9922

8 0 0,6634 0,4305 0,2725 0,1678 0,1001 0,0576 0,0319 0,0168 0,0084 0,0039 1 0,9428 0,8131 0,6572 0,5033 0,3671 0,2553 0,1691 0,1064 0,0632 0,0352 2 0,9942 0,9619 0,8948 0,7969 0,6785 0,5518 0,4278 0,3154 0,2201 0,1445 3 0,9996 0,9950 0,9786 0,9437 0,8862 0,8059 0,7064 0,5941 0,4770 0,3633 4 1,0000 0,9996 0,9971 0,9896 0,9727 0,9420 0,8939 0,8263 0,7396 0,6367 5 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9958 0,9887 0,9747 0,9502 0,9115 0,8555 6 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9964 0,9915 0,9819 0,9648 7 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9983 0,9961

9 0 0,6302 0,3874 0,2316 0,1342 0,0751 0,0404 0,0207 0,0101 0,0046 0,0020 1 0,9288 0,7748 0,5995 0,4362 0,3003 0,1960 0,1211 0,0705 0,0385 0,0195 2 0,9916 0,9470 0,8591 0,7382 0,6007 0,4628 0,3373 0,2318 0,1495 0,0898 3 0,9994 0,9917 0,9661 0,9144 0,8343 0,7297 0,6089 0,4826 0,3614 0,2539 4 1,0000 0,9991 0,9944 0,9804 0,9511 0,9012 0,8283 0,7334 0,6214 0,5000 5 1,0000 0,9999 0,9994 0,9969 0,9900 0,9747 0,9464 0,9006 0,8342 0,7461




3.1 P

N X 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

6 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9957 0,9888 0,9750 0,9502 0,9102

7 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9986 0,9962 0,9909 0,9805

8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,9980

10 0 0,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0563 0,0282 0,0135 0,0060 0,0025 0,0010

1 0,9139 0,7361 0,5443 0,3758 0,2440 0,1493 0,0860 0,0464 0,0233 0,0107

2 0,9885 0,9298 0,8202 0,6778 0,5256 0,3828 0,2616 0,1673 0,0996 0,0547

3 0,9990 0,9872 0,9500 0,8791 0,7759 0,6496 0,5138 0,3823 0,2660 0,1719

4 0,9999 0,9984 0,9901 0,9672 0,9219 0,8497 0,7515 0,6331 0,5044 0,3770

5 1,0000 0,9999 0,9986 0,9936 0,9803 0,9527 0,9051 0,8338 0,7384 0,6230

6 1,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9965 0,9894 0,9740 0,9452 0,8980 0,8281

7 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9952 0,9877 0,9726 0,9453

8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9983 0,9955 0,9893

9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990

11 0 0,5688 0,3138 0,1673 0,0859 0,0422 0,0198 0,0088 0,0036 0,0014 0,0005

1 0,8981 0,6974 0,4922 0,3221 0,1971 0,1130 0,0606 0,0302 0,0139 0,0059

2 0,9848 0,9104 0,7788 0,6174 0,4552 0,3127 0,2001 0,1189 0,0652 0,0327

3 0,9984 0,9815 0,9306 0,8389 0,7133 0,5696 0,4256 0,2963 0,1911 0,1133

4 0,9999 0,9972 0,9841 0,9496 0,8854 0,7897 0,6683 0,5328 0,3971 0,2744

5 1,0000 0,9997 0,9973 0,9883 0,9657 0,9218 0,8513 0,7535 0,6331 0,5000

6 1,0000 1,0000 0,9997 0,9980 0,9924 0,9784 0,9499 0,9006 0,8262 0,7256

7 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9957 0,9878 0,9707 0,9390 0,8867

8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9980 0,9941 0,9852 0,9673

9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9993 0,9978 0,9941

10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9995

12 0 0,5404 0,2824 0,1422 0,0687 0,0317 0,0138 0,0057 0,0022 0,0008 0,0002

1 0,8816 0,6590 0,4435 0,2749 0,1584 0,0850 0,0424 0,0196 0,0083 0,0032

2 0,9804 0,8891 0,7358 0,5583 0,3907 0,2528 0,1513 0,0834 0,0421 0,0193

3 0,9978 0,9744 0,9078 0,7946 0,6488 0,4925 0,3467 0,2253 0,1345 0,0730

4 0,9998 0,9957 0,9761 0,9274 0,8424 0,7237 0,5833 0,4382 0,3044 0,1938

5 1,0000 0,9995 0,9954 0,9806 0,9456 0,8822 0,7873 0,6652 0,5269 0,3872

6 1,0000 0,9999 0,9993 0,9961 0,9857 0,9614 0,9154 0,8418 0,7393 0,6128

7 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9972 0,9905 0,9745 0,9427 0,8883 0,8062

8 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9983 0,9944 0,9847 0,9644 0,9270



9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9992 0,9972 0,9921 0,9807

10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9989 0,9968

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998

13 0 0,5133 0,2542 0,1209 0,0550 0,0238 0,0097 0,0037 0,0013 0,0004 0,0001

1 0,8646 0,6213 0,3983 0,2336 0,1267 0,0637 0,0296 0,0126 0,0049 0,0017

2 0,9755 0,8661 0,6920 0,5017 0,3326 0,2025 0,1132 0,0579 0,0269 0,0112

3 0,9969 0,9658 0,8820 0,7473 0,5843 0,4206 0,2783 0,1686 0,0929 0,0461

4 0,9997 0,9935 0,9658 0,9009 0,7940 0,6543 0,5005 0,3530 0,2279 0,1334

5 1,0000 0,9991 0,9925 0,9700 0,9198 0,8346 0,7159 0,5744 0,4268 0,2905

6 1,0000 0,9999 0,9987 0,9930 0,9757 0,9376 0,8705 0,7712 0,6437 0,5000




N X 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

7 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9944 0,9818 0,9538 0,9023 0,8212 0,7095

8 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9990 0,9960 0,9874 0,9679 0,9302 0,8666

9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9975 0,9922 0,9797 0,9539

10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9987 0,9959 0,9888

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9983

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999

14 0 0,4877 0,2288 0,1028 0,0440 0,0178 0,0068 0,0024 0,0008 0,0002 0,0001

1 0,8470 0,5846 0,3567 0,1979 0,1010 0,0475 0,0205 0,0081 0,0029 0,0009

2 0,9699 0,8416 0,6479 0,4481 0,2811 0,1608 0,0839 0,0398 0,0170 0,0065

3 0,9958 0,9559 0,8535 0,6982 0,5213 0,3552 0,2205 0,1243 0,0632 0,0287

4 0,9996 0,9908 0,9533 0,8702 0,7415 0,5842 0,4227 0,2793 0,1672 0,0898

5 1,0000 0,9985 0,9885 0,9561 0,8883 0,7805 0,6405 0,4859 0,3373 0,2120

6 1,0000 0,9998 0,9978 0,9884 0,9617 0,9067 0,8164 0,6925 0,5461 0,3953

7 1,0000 1,0000 0,9997 0,9976 0,9897 0,9685 0,9247 0,8499 0,7414 0,6047

8 1,0000 1,0000 1,0000 0,9996 0,9978 0,9917 0,9757 0,9417 0,8811 0,7880

9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9983 0,9940 0,9825 0,9574 0,9102

10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9989 0,9961 0,9886 0,9713

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9978 0,9935

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9991

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999

15 0 0,4633 0,2059 0,0874 0,0352 0,0134 0,0047 0,0016 0,0005 0,0001 0,0000

1 0,8290 0,5490 0,3186 0,1671 0,0802 0,0353 0,0142 0,0052 0,0017 0,0005

2 0,9638 0,8159 0,6042 0,3980 0,2361 0,1268 0,0617 0,0271 0,0107 0,0037

3 0,9945 0,9444 0,8227 0,6482 0,4613 0,2969 0,1727 0,0905 0,0424 0,0176

4 0,9994 0,9873 0,9383 0,8358 0,6865 0,5155 0,3519 0,2173 0,1204 0,0592

5 0,9999 0,9978 0,9832 0,9389 0,8516 0,7216 0,5643 0,4032 0,2608 0,1509

6 1,0000 0,9997 0,9964 0,9819 0,9434 0,8689 0,7548 0,6098 0,4522 0,3036

7 1,0000 1,0000 0,9994 0,9958 0,9827 0,9500 0,8868 0,7869 0,6535 0,5000

8 1,0000 1,0000 0,9999 0,9992 0,9958 0,9848 0,9578 0,9050 0,8182 0,6964

9 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9992 0,9963 0,9876 0,9662 0,9231 0,8491

10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9972 0,9907 0,9745 0,9408

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9981 0,9937 0,9824

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9989 0,9963

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995



14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

16 0 0,4401 0,1853 0,0743 0,0281 0,0100 0,0033 0,0010 0,0003 0,0001 0,0000

1 0,8108 0,5147 0,2839 0,1407 0,0635 0,0261 0,0098 0,0033 0,0010 0,0003

2 0,9571 0,7892 0,5614 0,3518 0,1971 0,0994 0,0451 0,0183 0,0066 0,0021

3 0,9930 0,9316 0,7899 0,5981 0,4050 0,2459 0,1339 0,0651 0,0281 0,0106

4 0,9991 0,9830 0,9209 0,7982 0,6302 0,4499 0,2892 0,1666 0,0853 0,0384

5 0,9999 0,9967 0,9765 0,9183 0,8103 0,6598 0,4900 0,3288 0,1976 0,1051

6 1,0000 0,9995 0,9944 0,9733 0,9204 0,8247 0,6881 0,5272 0,3660 0,2272

7 1,0000 0,9999 0,9989 0,9930 0,9729 0,9256 0,8406 0,7161 0,5629 0,4018

8 1,0000 1,0000 0,9998 0,9985 0,9925 0,9743 0,9329 0,8577 0,7441 0,5982




p

N X 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

9 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9984 0,9929 0,9771 0,9417 0,8759 0,7728

10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9984 0,9938 0,9809 0,9514 0,8949

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9951 0,9851 0,9616

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9991 0,9965 0,9894

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9979

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

17 0 0,4181 0,1668 0,0631 0,0225 0,0075 0,0023 0,0007 0,0002 0,0000 0,0000

1 0,7922 0,4818 0,2525 0,1182 0,0501 0,0193 0,0067 0,0021 0,0006 0,0001

2 0,9497 0,7618 0,5198 0,3096 0,1637 0,0774 0,0327 0,0123 0,0041 0,0012

3 0,9912 0,9174 0,7556 0,5489 0,3530 0,2019 0,1028 0,0464 0,0184 0,0064

4 0,9988 0,9779 0,9013 0,7582 0,5739 0,3887 0,2348 0,1260 0,0596 0,0245

5 0,9999 0,9953 0,9681 0,8943 0,7653 0,5968 0,4197 0,2639 0,1471 0,0717

6 1,0000 0,9992 0,9917 0,9623 0,8929 0,7752 0,6188 0,4478 0,2902 0,1662

7 1,0000 0,9999 0,9983 0,9891 0,9598 0,8954 0,7872 0,6405 0,4743 0,3145

8 1,0000 1,0000 0,9997 0,9974 0,9876 0,9597 0,9006 0,8011 0,6626 0,5000

9 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9969 0,9873 0,9617 0,9081 0,8166 0,6855

10 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9968 0,9880 0,9652 0,9174 0,8338

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9970 0,9894 0,9699 0,9283

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9975 0,9914 0,9755

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9981 0,9936

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9988

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999

16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

18 0 0,3972 0,1501 0,0536 0,0180 0,0056 0,0016 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000

1 0,7735 0,4503 0,2241 0,0991 0,0395 0,0142 0,0046 0,0013 0,0003 0,0001

2 0,9419 0,7338 0,4797 0,2713 0,1353 0,0600 0,0236 0,0082 0,0025 0,0007

3 0,9891 0,9018 0,7202 0,5010 0,3057 0,1646 0,0783 0,0328 0,0120 0,0038

4 0,9985 0,9718 0,8794 0,7164 0,5187 0,3327 0,1886 0,0942 0,0411 0,0154

5 0,9998 0,9936 0,9581 0,8671 0,7175 0,5344 0,3550 0,2088 0,1077 0,0481

6 1,0000 0,9988 0,9882 0,9487 0,8610 0,7217 0,5491 0,3743 0,2258 0,1189

7 1,0000 0,9998 0,9973 0,9837 0,9431 0,8593 0,7283 0,5634 0,3915 0,2403

8 1,0000 1,0000 0,9995 0,9957 0,9807 0,9404 0,8609 0,7368 0,5778 0,4073



9 1,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9946 0,9790 0,9403 0,8653 0,7473 0,5927

10 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9939 0,9788 0,9424 0,8720 0,7597

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9986 0,9938 0,9797 0,9463 0,8811

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9986 0,9942 0,9817 0,9519

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9951 0,9846

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9990 0,9962

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993

16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999

17 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000




p

N X 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

19 0 0,3774 0,1351 0,0456 0,0144 0,0042 0,0011 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000

1 0,7547 0,4203 0,1985 0,0829 0,0310 0,0104 0,0031 0,0008 0,0002 0,0000

2 0,9335 0,7054 0,4413 0,2369 0,1113 0,0462 0,0170 0,0055 0,0015 0,0004

3 0,9868 0,8850 0,6841 0,4551 0,2631 0,1332 0,0591 0,0230 0,0077 0,0022

4 0,9980 0,9648 0,8556 0,6733 0,4654 0,2822 0,1500 0,0696 0,0280 0,0096

5 0,9998 0,9914 0,9463 0,8369 0,6678 0,4739 0,2968 0,1629 0,0777 0,0318

6 1,0000 0,9983 0,9837 0,9324 0,8251 0,6655 0,4812 0,3081 0,1727 0,0835

7 1,0000 0,9997 0,9959 0,9767 0,9225 0,8180 0,6656 0,4878 0,3169 0,1796

8 1,0000 1,0000 0,9992 0,9933 0,9713 0,9161 0,8145 0,6675 0,4940 0,3238

9 1,0000 1,0000 0,9999 0,9984 0,9911 0,9674 0,9125 0,8139 0,6710 0,5000

10 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9977 0,9895 0,9653 0,9115 0,8159 0,6762

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9972 0,9886 0,9648 0,9129 0,8204

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9969 0,9884 0,9658 0,9165

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9969 0,9891 0,9682

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9972 0,9904

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9978

16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996

17 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

18 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

19 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

20 0 0,3585 0,1216 0,0388 0,0115 0,0032 0,0008 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,7358 0,3917 0,1756 0,0692 0,0243 0,0076 0,0021 0,0005 0,0001 0,0000

2 0,9245 0,6769 0,4049 0,2061 0,0913 0,0355 0,0121 0,0036 0,0009 0,0002

3 0,9841 0,8670 0,6477 0,4114 0,2252 0,1071 0,0444 0,0160 0,0049 0,0013

4 0,9974 0,9568 0,8298 0,6296 0,4148 0,2375 0,1182 0,0510 0,0189 0,0059

5 0,9997 0,9887 0,9327 0,8042 0,6172 0,4164 0,2454 0,1256 0,0553 0,0207

6 1,0000 0,9976 0,9781 0,9133 0,7858 0,6080 0,4166 0,2500 0,1299 0,0577

7 1,0000 0,9996 0,9941 0,9679 0,8982 0,7723 0,6010 0,4159 0,2520 0,1316

8 1,0000 0,9999 0,9987 0,9900 0,9591 0,8867 0,7624 0,5956 0,4143 0,2517

9 1,0000 1,0000 0,9998 0,9974 0,9861 0,9520 0,8782 0,7553 0,5914 0,4119

10 1,0000 1,0000 1,0000 0,9994 0,9961 0,9829 0,9468 0,8725 0,7507 0,5881

11 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9949 0,9804 0,9435 0,8692 0,7483

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9987 0,9940 0,9790 0,9420 0,8684

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9985 0,9935 0,9786 0,9423

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9984 0,9936 0,9793



15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9985 0,9941

16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987

17 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998

18 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

19 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000



( ) ∑=

−=x

k

k

kexF

0 !; λλ λ

TABLA B

Función de distribución de POISSON

x

λ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,02 0,980 1,000

0,04 0,961 0,999 1,000

0,06 0,942 0,998 1,000

0,08 0,923 0,997 1,000

0,1 0,905 0,995 1,000

0,15 0,861 0,990 0,999 1,000

0,2 0,819 0,982 0,999 1,000

0,25 0,779 0,974 0,998 1,000

0,3 0,741 0,963 0,996 1,000

0,35 0,705 0,951 0,994 1,000

0,4 0,670 0,938 0,992 0,999 1,000

0,45 0,638 0,925 0,989 0,999 1,000

0,5 0,607 0,910 0,986 0,998 1,000

0,55 0,577 0,894 0,982 0,998 1,000

0,6 0,549 0,878 0,977 0,997 1,000

0,65 0,522 0,861 0,972 0,996 0,999 1,000

0,7 0,497 0,844 0,966 0,994 0,999 1,000

0,75 0,472 0,827 0,959 0,993 0,999 1,000

0,8 0,449 0,809 0,953 0,991 0,999 1,000

0,85 0,427 0,791 0,945 0,989 0,998 1,000

0,9 0,407 0,772 0,937 0,987 0,998 1,000

0,95 0,387 0,754 0,929 0,984 0,997 1,000

1 0,368 0,736 0,920 0,981 0,996 0,999 1,000

1,1 0,333 0,699 0,900 0,974 0,995 0,999 1,000

1,2 0,301 0,663 0,879 0,966 0,992 0,998 1,000

1,3 0,273 0,627 0,857 0,957 0,989 0,998 1,000

1,4 0,247 0,592 0,833 0,946 0,986 0,997 0,999 1,000

1,5 0,223 0,558 0,809 0,934 0,981 0,996 0,999 1,000



1,6 0,202 0,525 0,783 0,921 0,976 0,994 0,999 1,000

1,7 0,183 0,493 0,757 0,907 0,970 0,992 0,998 1,000

1,8 0,165 0,463 0,731 0,891 0,964 0,990 0,997 0,999 1,000

1,9 0,150 0,434 0,704 0,875 0,956 0,987 0,997 0,999 1,000

2 0,135 0,406 0,677 0,857 0,947 0,983 0,995 0,999 1,000

2,2 0,111 0,355 0,623 0,819 0,928 0,975 0,993 0,998 1,000

2,4 0,091 0,308 0,570 0,779 0,904 0,964 0,988 0,997 0,999 1,000

2,6 0,074 0,267 0,518 0,736 0,877 0,951 0,983 0,995 0,999 1,000

2,8 0,061 0,231 0,469 0,692 0,848 0,935 0,976 0,992 0,998 0,999

3 0,050 0,199 0,423 0,647 0,815 0,916 0,966 0,988 0,996 0,999




x

λ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3,2 0,041 0,171 0,380 0,603 0,781 0,895 0,955 0,983 0,994 0,998

3,4 0,033 0,147 0,340 0,558 0,744 0,871 0,942 0,977 0,992 0,997

3,6 0,027 0,126 0,303 0,515 0,706 0,844 0,927 0,969 0,988 0,996

3,8 0,022 0,107 0,269 0,473 0,668 0,816 0,909 0,960 0,984 0,994

4 0,018 0,092 0,238 0,433 0,629 0,785 0,889 0,949 0,979 0,992

4,2 0,015 0,078 0,210 0,395 0,590 0,753 0,867 0,936 0,972 0,989

4,4 0,012 0,066 0,185 0,359 0,551 0,720 0,844 0,921 0,964 0,985

4,6 0,010 0,056 0,163 0,326 0,513 0,686 0,818 0,905 0,955 0,980

4,8 0,008 0,048 0,143 0,294 0,476 0,651 0,791 0,887 0,944 0,975

5 0,007 0,040 0,125 0,265 0,440 0,616 0,762 0,867 0,932 0,968

5,2 0,006 0,034 0,109 0,238 0,406 0,581 0,732 0,845 0,918 0,960

5,4 0,005 0,029 0,095 0,213 0,373 0,546 0,702 0,822 0,903 0,951

5,6 0,004 0,024 0,082 0,191 0,342 0,512 0,670 0,797 0,886 0,941

5,8 0,003 0,021 0,072 0,170 0,313 0,478 0,638 0,771 0,867 0,929

6 0,002 0,017 0,062 0,151 0,285 0,446 0,606 0,744 0,847 0,916

10 11 12 13 14 15 16

2,8 1,000

3 1,000

3,2 1,000

3,4 0,999 1,000

3,6 0,999 1,000

3,8 0,998 0,999 1,000

4 0,997 0,999 1,000

4,2 0,996 0,999 1,000

4,4 0,994 0,998 0,999 1,000

4,6 0,992 0,997 0,999 1,000

4,8 0,990 0,996 0,999 1,000

5 0,986 0,995 0,998 0,999 1,000

5,2 0,982 0,993 0,997 0,999 1,000

5,4 0,977 0,990 0,996 0,999 1,000



5,6 0,972 0,988 0,995 0,998 0,999 1,000

5,8 0,965 0,984 0,993 0,997 0,999 1,000

6 0,957 0,980 0,991 0,996 0,999 0,999 1,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

6,2 0,002 0,015 0,054 0,134 0,259 0,414 0,574 0,716 0,826 0,902

6,4 0,002 0,012 0,046 0,119 0,235 0,384 0,542 0,687 0,803 0,886

6,6 0,001 0,010 0,040 0,105 0,213 0,355 0,511 0,658 0,780 0,869

6,8 0,001 0,009 0,034 0,093 0,192 0,327 0,480 0,628 0,755 0,850

7 0,001 0,007 0,030 0,082 0,173 0,301 0,450 0,599 0,729 0,830




x

λ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

7,2 0,001 0,006 0,025 0,072 0,156 0,276 0,420 0,569 0,703 0,810

7,4 0,001 0,005 0,022 0,063 0,140 0,253 0,392 0,539 0,676 0,788

7,6 0,001 0,004 0,019 0,055 0,125 0,231 0,365 0,510 0,648 0,765

7,8 0,000 0,004 0,016 0,048 0,112 0,210 0,338 0,481 0,620 0,741

8 0,000 0,003 0,014 0,042 0,100 0,191 0,313 0,453 0,593 0,717

8,5 0,000 0,002 0,009 0,030 0,074 0,150 0,256 0,386 0,523 0,653

9 0,000 0,001 0,006 0,021 0,055 0,116 0,207 0,324 0,456 0,587

9,5 0,000 0,001 0,004 0,015 0,040 0,089 0,165 0,269 0,392 0,522

10 0,000 0,000 0,003 0,010 0,029 0,067 0,130 0,220 0,333 0,458

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

6,2 0,949 0,975 0,989 0,995 0,998 0,999 1,000

6,4 0,939 0,969 0,986 0,994 0,997 0,999 1,000

6,6 0,927 0,963 0,982 0,992 0,997 0,999 0,999 1,000

6,8 0,915 0,955 0,978 0,990 0,996 0,998 0,999 1,000

7 0,901 0,947 0,973 0,987 0,994 0,998 0,999 1,000

7,2 0,887 0,937 0,967 0,984 0,993 0,997 0,999 1,000

7,4 0,871 0,926 0,961 0,980 0,991 0,996 0,998 0,999 1,000

7,6 0,854 0,915 0,954 0,976 0,989 0,995 0,998 0,999 1,000

7,8 0,835 0,902 0,945 0,971 0,986 0,993 0,997 0,999 1,000

8 0,816 0,888 0,936 0,966 0,983 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000

8,5 0,763 0,849 0,909 0,949 0,973 0,986 0,993 0,997 0,999 0,999

9 0,706 0,803 0,876 0,926 0,959 0,978 0,989 0,995 0,998 0,999

9,5 0,645 0,752 0,836 0,898 0,940 0,967 0,982 0,991 0,996 0,998

10 0,583 0,697 0,792 0,864 0,917 0,951 0,973 0,986 0,993 0,997

20 21 22

8,5 1,000

9 1,000



9,5 0,999 1,000

10 0,998 0,999 1,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10,5 0,000 0,000 0,002 0,007 0,021 0,050 0,102 0,179 0,279 0,397

11 0,000 0,000 0,001 0,005 0,015 0,038 0,079 0,143 0,232 0,341

11,5 0,000 0,000 0,001 0,003 0,011 0,028 0,060 0,114 0,191 0,289

12 0,000 0,000 0,001 0,002 0,008 0,020 0,046 0,090 0,155 0,242

12,5 0,000 0,000 0,000 0,002 0,005 0,015 0,035 0,070 0,125 0,201




x

λ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

13 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,011 0,026 0,054 0,100 0,166

13,5 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,008 0,019 0,041 0,079 0,135

14 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,006 0,014 0,032 0,062 0,109

14,5 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,010 0,024 0,048 0,088

15 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,008 0,018 0,037 0,070

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

10,5 0,521 0,639 0,742 0,825 0,888 0,932 0,960 0,978 0,988 0,994

11 0,460 0,579 0,689 0,781 0,854 0,907 0,944 0,968 0,982 0,991

11,5 0,402 0,520 0,633 0,733 0,815 0,878 0,924 0,954 0,974 0,986

12 0,347 0,462 0,576 0,682 0,772 0,844 0,899 0,937 0,963 0,979

12,5 0,297 0,406 0,519 0,628 0,725 0,806 0,869 0,916 0,948 0,969

13 0,252 0,353 0,463 0,573 0,675 0,764 0,835 0,890 0,930 0,957

13,5 0,211 0,304 0,409 0,518 0,623 0,718 0,798 0,861 0,908 0,942

14 0,176 0,260 0,358 0,464 0,570 0,669 0,756 0,827 0,883 0,923

14,5 0,145 0,220 0,311 0,413 0,518 0,619 0,711 0,790 0,853 0,901

15 0,118 0,185 0,268 0,363 0,466 0,568 0,664 0,749 0,819 0,875

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

10,5 0,997 0,999 0,999 1,000

11 0,995 0,998 0,999 1,000

11,5 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000

12 0,988 0,994 0,997 0,999 0,999 1,000

12,5 0,983 0,991 0,995 0,998 0,999 0,999 1,000

13 0,975 0,986 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000

13,5 0,965 0,980 0,989 0,994 0,997 0,998 0,999 1,000

14 0,952 0,971 0,983 0,991 0,995 0,997 0,999 0,999 1,000

14,5 0,936 0,960 0,976 0,986 0,992 0,996 0,998 0,999 0,999 1,000

15 0,917 0,947 0,967 0,981 0,989 0,994 0,997 0,998 0,999 1,000

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13



16 0,000 0,001 0,004 0,010 0,022 0,043 0,077 0,127 0,193 0,275

17 0,000 0,001 0,002 0,005 0,013 0,026 0,049 0,085 0,135 0,201

18 0,000 0,000 0,001 0,003 0,007 0,015 0,030 0,055 0,092 0,143

19 0,000 0,000 0,001 0,002 0,004 0,009 0,018 0,035 0,061 0,098

20 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,005 0,011 0,021 0,039 0,066

21 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,006 0,013 0,025 0,043

22 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,004 0,008 0,015 0,028

23 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,004 0,009 0,017

24 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,005 0,011

25 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,003 0,006




x

λ 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

16 0,368 0,467 0,566 0,659 0,742 0,812 0,868 0,911 0,942 0,963

17 0,281 0,371 0,468 0,564 0,655 0,736 0,805 0,861 0,905 0,937

18 0,208 0,287 0,375 0,469 0,562 0,651 0,731 0,799 0,855 0,899

19 0,150 0,215 0,292 0,378 0,469 0,561 0,647 0,725 0,793 0,849

20 0,105 0,157 0,221 0,297 0,381 0,470 0,559 0,644 0,721 0,787

21 0,072 0,111 0,163 0,227 0,302 0,384 0,471 0,558 0,640 0,716

22 0,048 0,077 0,117 0,169 0,232 0,306 0,387 0,472 0,556 0,637

23 0,031 0,052 0,082 0,123 0,175 0,238 0,310 0,389 0,472 0,555

24 0,020 0,034 0,056 0,087 0,128 0,180 0,243 0,314 0,392 0,473

25 0,012 0,022 0,038 0,060 0,092 0,134 0,185 0,247 0,318 0,394

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

16 0,978 0,987 0,993 0,996 0,998 0,999 0,999 1,000

17 0,959 0,975 0,985 0,991 0,995 0,997 0,999 0,999 1,000

18 0,932 0,955 0,972 0,983 0,990 0,994 0,997 0,998 0,999 1,000

19 0,893 0,927 0,951 0,969 0,980 0,988 0,993 0,996 0,998 0,999

20 0,843 0,888 0,922 0,948 0,966 0,978 0,987 0,992 0,995 0,997

21 0,782 0,838 0,883 0,917 0,944 0,963 0,976 0,985 0,991 0,994

22 0,712 0,777 0,832 0,877 0,913 0,940 0,959 0,973 0,983 0,989

23 0,635 0,708 0,772 0,827 0,873 0,908 0,936 0,956 0,971 0,981

24 0,554 0,632 0,704 0,768 0,823 0,868 0,904 0,932 0,953 0,969

25 0,473 0,553 0,629 0,700 0,763 0,818 0,863 0,900 0,929 0,950

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

19 0,999 1,000

20 0,999 0,999 1,000

21 0,997 0,998 0,999 0,999 1,000

22 0,994 0,996 0,998 0,999 0,999 1,000

23 0,988 0,993 0,996 0,997 0,999 0,999 1,000

24 0,979 0,987 0,992 0,995 0,997 0,998 0,999 0,999 1,000

25 0,966 0,978 0,985 0,991 0,994 0,997 0,998 0,999 0,999 1,000



TABLA C

Áreas acumuladas de la

distribución NORMAL ESTANDARIZADA

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

cÀlcul de probabilitats problemes (amb problemes resolts)lmontero/lmm_tm/qua_cp_pro.pdf · cÀlcul...

Documents

Departament de Física i Química - blocs.xtec.catblocs.xtec.cat/mmestr25/files/2013/08/Problemes-resolts-enllac-12.pdf · El producte de les càrregues iòniques del dos compostos

MEMRIA ACTIVITATS REALITZADES AL 2006 - ieec.cat · Un dels problemes no resolts de l’estructura galàctica és la naturalesa i distribució de la matèria fosca a l’halo galàctic

Algebra Lineal Problemes Resolts

Exercicis resolts ampliació unitat 2

Administració d'Empreses. Problemes Resolts

Exàmens resolts de fonaments físics de les estructures...CiT 2 Exàmens resolts de FFE 2.Elmomentmínimdelsistema. 3.EltorçordelsistemaenelvèrtexA. 4.Raonarsiéspossibleequilibrarelsistemaafegint-liunaúnicaforça

DOSSIER - Barcanova · 2020. 4. 6. · 3 ESO DOSSIER Mat t qu e es m ... baix mitjà alt Destacats en color. Exercicis i problemes resolts Definicions i proce-diments principals

problemes d'electrònica resolts pas a pas i explicats en detall

Problemes Resolts (Receptors)

Problemes resolts de probabilitat i inferència aplicats a les ciències socialsSapientia 95

Òptica I Problemes resolts - CORE

CÀLCUL DE PROBABILITATS EXÀMENS D’ALTRES ANYS · cistella de bàsquet amb les següents probabilitats d’encertar el tir: 1. Pel primer tir ¼. 2. Pels altres dos tirs ½ si

PROBLEMES RESOLTS DE COMPONENTS I CIRCUITS …diposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/34344/1/CCE PROBLEMES RESOLTS.pdf · Components i circuits electrònics Col·lecció de Problemes

Problemes i Exercicis Resolts

Exercicis resolts Àlgebra lineal_1998-2010

Llista de Prob Resolts

5. PROBLEMES D’ESTADÍSTICA I · PDF file5. PROBLEMES D’ESTADÍSTICA I PROBABILITATS 5.1. Introducció Són molt variats els problemes d’aquesta naturalesa que es poden presentar

CÀLCUL DE PROBABILITATS EXÀMENS D’ALTRES ANYSlmontero/lmm_tm/Qua_cp_exa.pdf · 2004. 7. 27. · 9 1.2 CURS 98-99 Q1 EXAMEN PARCIAL DE CÀLCUL DE PROBABILITATS (Data: 2/11/98 17:30

EXERCICIS MECÀNICA PAU resolts

Probabilitats. Problemes i Més Problemes ( Text Editable )

Col.lecció de problemes resolts d’Investigació Operativa ...jcastro/teaching_docs/prob_iod_2_2000.pdf · iv Col.lecció de problemes resolts d’Investigació Operativa Determinista

120 exercicis resolts de comptabilitat financera superior

Fonaments de Programació --- Problemes resolts · 2013. 12. 17. · 127 Fonaments de programació. Problemes resolts en C ++ Franch - Marco Moliner o - Petit - Xhafa 9-788483-018828

Col.lecció de problemes resolts d’Optimitzaciójcastro/teaching_docs/llibre_problemes_URV.pdf · resta d’exercicis de la part de modelització són problemes clàssics que

Problemes resolts de Fonaments Matemàtics 1 · 2020-06-03 · Problemes resolts de Fonaments Matemàtics 1 Lali Barrière [email protected] Curs 2003-2004 1 Complexos 1.1. Calculeu

PROBLEMES RESOLTS DE COMPONENTS I CIRCUITS … · Components i circuits electrònics Col·lecció de Problemes resolts J. López, J. Sieiro 2/73 Facultat de Física, UB 2010 Problema

Exercicis Resolts i Teoria Catala

Problemes dEAEIA

Col.lecció de problemes resolts de Programació Estocàsticajcastro/teaching_docs/prob_prog_est.pdf · tribució triangular d’extrems 0:9x i 1:1x, i mitjana x. 2 Propietats

Probabilitats Intro 2014

problemes ANOVA 2009 resolts

Cce Problemes Resolts

Exercicis resolts investigació Operativa Tema 2 Llista (II)

Problemes MèDics

Exercicis resolts i comentats de Fonaments Matemàtics