problemes d'Àlgebra (temes 1-4)

1 Matrius. Determinants. Sistemes d’equacions lineals

1. Calculeu, en el cas en que sigui possible, la matriu suma A + B i la matriu producte AB de lesseguents matrius:

(a) A =

0

@1 0 �12 �1 1

�1 2 0

1

A, B =

0

@�1 1 10 2 11 �1 0

1

A.

(b) A =

0

@1 0 �12 �1 1

�1 2 0

1

A, B =

0

@�1 10 21 �1

1

A.

(c) A =

0

@1 0

�1 �12 0

1

A, B =

0

@�1 10 21 �1

1

A.

(d) A =

0

@1 0

�1 �12 0

1

A, B =

0

@�1 1 10 2 11 �1 0

1

A.

2. Siguin A, B i C matrius quadrades. Digueu si les seguents propietats son certes o no. En casafirmatiu, demostreu-ho. En cas contrari, doneu un contraexemple.

(a) AB = BA.

(b) Si AB = 0, aleshores A = 0 o B = 0.

(c) Si AB = AC, aleshores A = 0 o be B = C.

(d) A2 �B2 = (A+B)(A�B).

(e) (A+B)2 = A2 +B2 + 2AB.

(f) (AB)t = AtBt.

(g) (AB)�1 = B�1A�1.

(h) rang(A+B) = rang(A) + rang(B).

(i) rang(AB) = rang(A) rang(B).

(j) rang(AB) = rang(BA).

(k) rang(�A) = � rang(A), on � es un escalar.

(l) det(A+B) = det(A) + det(B).

(m) det(�A) = � det(A), on � es un escalar.

3. Sigui J la matriu n⇥ n que te tots els seus elements iguals a 1. Per a cada natural k � 1 calculeula matriu Jk.

4. Calculeu el determinant de les seguents matrius:

2 Tema 1 - Matrius. Determinants. Sistemes d’equacions lineals

(a)

0

@7 2 35 �3 23 1 1

1

A,

0

@1 2 71 �3 51 1 3

1

A.

(b)

0

BB@

1 0 �3 �40 0 5 07 0 9 41 2 1 1

1

CCA,

0

BBBB@

1 0 2 7 03 2 �3 6 32 0 1 8 00 0 0 5 0�8 0 8 �9 2

1

CCCCA

(c)

0

BB@

�5 1 �4 11 4 �1 5

�4 1 �8 �13 2 6 2

1

CCA,

0

BB@

1 2 6 �11 0 1 30 3 0 20 1 2 0

1

CCA.

(d)

0

@1 1 1

b+ c a+ c a+ bbc ac ab

1

A,

0

@b+ c a ab a+ c bc c a+ b

1

A.

(e)

0

BBBBB@

1� n 1 · · · 1 11 1� n · · · 1 1...

.... . .

......

1 1 · · · 1� n 11 1 · · · 1 1� n

1

CCCCCA, on la matriu es quadrada d’ordre n.

5. Donades les matrius A =

✓2 31 1

◆, B =

✓5 23 �1

◆i C =

✓�1 21 �1

◆, calculeu el determinant

de C�1ACBA�1.

6. Sigui A = (aij

) la matriu 3⇥ 3 definida per aij

= 2i·j . Calculeu el seu determinant.

7. Sigui A = (C1, C2, C3) una matriu 3 ⇥ 3, on C1, C2, C3 son les seves columnes. Sabent que eldeterminant de la matriu A val 2, calculeu el determinant de la matriu B donada per:

(a) B = (C1 + 2C2, C1, C1 + C2 + C3).

(b) B = (C1 + C2, C1, C1 + C2 + 2C3).

(c) B = (C1 + C2 + C3, C1 + C2, C2 + C3).

8. Sigui A = (C1, C2, C3) una matriu 3⇥ 3, on C1, C2, C3 son les seves columnes. Si A es invertibledemostreu que, aleshores, tambe ho es la matriu B donada per:

(a) B = (C1, C2 + 4C1, C3 + 2C2 + 8C1).

(b) B = (C1, C2 + 9C1, C3 + 3C2 + 27C1).

9. Calculeu el rang de les matrius:0

@5 3 5 21 �3 �2 13 �3 �1 2

1

A,

0

BB@

1 �1 �11 8 91 1 �3 2 55 7 �7 4 211 2 1 �1 3

1

CCA.

10. Calculeu les inverses de les matrius:

(a)

0

@2 2 31 0 05 �1 �1

1

A

(b)

✓1 34 �5

◆

Tema 1 - Matrius. Determinants. Sistemes d’equacions lineals 3

(c)

0

@2 1 11 1 10 7 �1

1

A

(d)

0

@1 5 10 2 01 6 2

1

A

(e)

0

@�2 �1 03 0 10 �1 1

1

A

(f)

0

BB@

1 1 1 11 2 3 �42 3 5 �53 �4 �5 8

1

CCA

11. Resoleu els seguents sistemes per Gauss:

(a)

8<

:

x +y �3z = 42x +y +z = 53x +y +5z = 6

(b)

8<

:

2x �y +z = 7x +2y �5z = 2x �3y +6z = 9

(c)

8>><

>>:

x +2y �z +3t = 82x �y +z �2t = 0x +3y +2z +t = 43x +5y �4z �t = �6

(d)

8<

:

x +y +z +t +u = 1x �y +z �t �u = 2x +y �z +t �u = �1

12. Resoleu els sistemes d’equacions seguents en funcio dels valors del parametre real a:

(a)ax+ 2z = 0ay � z = a

x+ 3y + z = 5

9=

;

(b)2x+ y = 3�x+ 2y = 13x+ 4y = a

9=

;

(c)x+ 2y + z = 02x+ y + az = 0x� 3y � 2z = 1

9=

;

13. Discutiu els seguents sistemes segons els valors dels parametres reals a, b, k i m:

(a)

8<

:

a2x +y +z = 3x +a2y +z = 4� ax +y +a2z = 2 + a2

(b)

8>><

>>:

ax +y +z +t = 1x +ay +z +t = bx +y +az +t = b2

x +y +z +at = b3


(c)

8>><

>>:

x �2y = 3(k +m)x �y = 2(k +m) + 1

mx +ky = m2 � k2 � 6kx +my = k2 �m2 + 6

(d)

8<

:

x +y +(1�m)z = m+ 2(1 +m)x �y +2z = 0

2x �my +3z = m+ 2

14. Resoleu les seguents equacions matricials AX = B, on:

(a) A =

✓1 02 1

◆, B =

✓1 32 1

◆.

(b) A =

0

@1 1

�1 02 �3

1

A, B =

0

@1 �5

�1 32 0

1

A.

(c) A =

0

@1 1

�1 02 �3

1

A, B =

0

@1 �5

�1 32 1

1

A.

(d) A =

0

@1 1 2

�1 0 �12 �3 �1

1

A, B =

0

@1 �5

�1 32 0

1

A.

Solucions

1. (a) A+B =

0

@0 1 02 1 20 1 0

1

A, AB =

0

@�2 2 1�1 �1 11 3 1

1

A.

(b) A+B no es pot calcular, AB =

0

@�2 2�1 �11 3

1

A.

(c) A+B =

0

@0 1

�1 13 �1

1

A, AB no es pot calcular.

(d) No es pot calcular ni A+B ni AB.

2. (a) Fals. Per exemple: A=

✓1 00 0

◆i B=

✓0 10 0

◆.

(b) Fals. Per exemple: A=

✓1 00 0

◆i B=

✓0 00 1

◆.

(c) Fals. Per exemple: A=

✓1 00 0

◆, B=

✓0 00 1

◆i C=

✓0 01 0

◆.

(d) Fals. Per exemple: A=

✓1 00 0

◆i B=

✓0 10 0

◆.

Tema 1 - Matrius. Determinants. Sistemes d’equacions lineals 5

(e) Fals. Per exemple: A=

✓1 00 0

◆i B=

✓0 10 0

◆.

(f) Fals. Per exemple: A=

✓0 10 0

◆i B=

✓0 01 0

◆.

(g) Es cert. Val en tot grup.

(h) Fals. Per exemple: A=

✓1 00 1

◆i B=

✓�1 00 �1

◆.

(i) Fals. Per exemple: A=

✓1 00 0

◆i B=

✓0 00 1

◆.

(j) Fals. Per exemple: A=

✓1 00 0

◆i B=

✓0 01 1

◆.

(k) Fals. Per exemple: A=

✓1 00 1

◆i � = 2.

(l) Fals. Per exemple: A=

✓1 00 1

◆i B=

✓�1 00 �1

◆.

(m) Fals. Per exemple: A=

✓1 00 1

◆i � = 2.

3. Jk = nk�1J .

4. (a) 9, 18.

(b) 320,�60

(c) �264, 22.

(d) (a� b)(a� c)(b� c), 4abc.

(e) 0.

5. El determinant val -11.

6. det(A) = 2103.

7. (a) det(B) = �4.

(b) det(B) = �4.

(c) det(B) = 2.

8. —

9. Ambdues tenen rang dos.

10. (a)

0

@0 1 0�1 17 �31 �12 2

1

A

(b)

✓5

17

3

17

4

17

� 1

17

◆

(c)

0

@1 �1 0� 1

8

1

4

1

8

� 7

8

7

4

� 1

8

1

A

(d)

0

@2 �2 �10 1

2

0�1 � 1

2

1

1

A

(e)

0

@1 1 �1�3 �2 2�3 �2 3

1

A


(f) 1

18

0

BB@

2 16 �6 422 41 �30 �1

�10 �44 30 �24 �13 6 �1

1

CCA

11. (a) Sistema compatible indeterminat. Solucio: x = 1� 4z, y = 3 + 7z.

(b) Sistema incompatible.

(c) Sistema compatible determinat. Solucio: x = 2, y = �1, z = 1, t = 3.

(d) Sistema compatible indeterminat. Solucio: x = 1/2 + u, y = �1/2� u� t, z = 1� u.

12. (a) Per a = 0 es un sistema compatible indeterminat. Per a = �1 sistema incompatible. Per a 6= 0, 1sistema compatible determinat.

(b) Per a = 7 es un sistema compatible determinat. Per a 6= 7 sistema incompatible.

(c) Per a 6= 1

5

es un sistema compatible determinat. Per a = 1

5

sistema incompatible.

13. (a) Si a 6= ±1, aleshores el sistema es compatible determinat.Si a = 1, aleshores el sistema es compatible indeterminat.Si a = �1, aleshores el sistema es incompatible.

(b) Si a 6= 1,�3, aleshores per a tot b el sistema es compatible determinat.Si a = 1 i b = 1, aleshores el sistema es compatible indeterminat.Si a = 1 i b 6= 1, aleshores el sistema es incompatible.Si a = �3 i b = �1, aleshores el sistema es compatible indeterminat.Si a = �3 i b 6= �1, aleshores el sistema es incompatible.

(c) Si k = 6 i m = �6, aleshores el sistema es compatible determinat.En cas contrari, el sistema es incompatible.

(d) Si m 6= 0,±2, aleshores el sistema es compatible determinat.Si m = 0 o m = �2, aleshores el sistema es compatible indeterminat.Si m = 2, aleshores el sistema es incompatible.

14. (a) Te solucio unica X =

✓1 30 �5

◆.

(b) Te solucio unica X =

✓1 �30 �2

◆.

(c) No te solucio.

(d) Te infinites solucions. La solucio general es X =

0

@1� a �3� b�a �2� ba b

1

A, on a, b 2 R.

2 Nombres complexos. Factoritzacio de polinomis

1. Expresseu els seguents nombres complexos en forma binomica:

(a) (1 + j)2 (b) (2 + 3j)(3� 4j) (c)1

j(d)

1

1 + j(e)

1

1 + j+

1

1� j

(f)1 + j

1� 2j(g)

(1 + j)4

(1� j)3+

(1� j)4

(1 + j)3(h) j5 + j16 (i) 1 + j + j2 + j3 (j)

1

2(1 + j)(1 + j�8)

2. Calculeu el modul dels seguents nombres complexos:

(a) 1 + j (b) 3 + 4j (c)1 + j

1� j(d) 1 + j + j2 (e) j7 + j10 (f) 2(1� j) + 3(2 + j)

3. Calculeu el modul i l’argument dels nombres complexos seguents:

(a) 2j (b) �3j (c) �1 (d) 1 (e) �3 +p3 j

(f)1 + jp

2(g) (�1 + j)3 (h) (�1� j)3 (i)

1

1 + j(j)

1

(1 + j)2

4. Expresseu els seguents nombres complexos en forma binomica:

(a) e⇡j/2 (b) 2e�⇡j/2 (c) 3e⇡j (d) �e�⇡j (e) j + e2⇡j

(f) e⇡j/4 (g) e⇡j/4 � e�⇡j/4 (h)1� e⇡j/2

1 + e⇡j/2(i) e5⇡j/6 + e�⇡j/6 (j) e2⇡j/3

5. Sigui z el nombre complex donat per z = (1,�1).

(a) Expresseu z i z�1 en forma binomica, polar, trigonometrica, i exponencial complexa.

(b) Determineu per a quins nombres naturals n el complex zn es un nombre real.

6. Sigui z un complex no nul, i sigui z0 el complex que resulta de multiplicar z per j. Determineu ladiferencia entre els arguments de z i z0.

7. Sigui z1 2 C un nombre complex no nul. Sigui z2 = (1 � j)nz1, on n es un nombre natural.Determineu la diferencia entre els arguments de z1 i de z2 en funcio de n.

8. Determineu els nombres complexos que coincideixen amb la cinquena potencia del seu conjugat.

9. Trobeu els nombres complexos no nuls tals que el seu cub es igual al quadrat del seu conjugat.

10. Calculeu les arrels que s’indiquen:

(a) Les arrels cubiques de j. (b) Les arrels quartes de �1.(c) Les arrels cubiques de �2 + 2j. (d) Les arrels sisenes de �8.

11. Sigui z un nombre complex. Suposem que existeix una arrel quarta w de z de manera que elcomplex (1 + j)w es un nombre real. Determineu l’argument de z.

8 Tema 2 - Nombres complexos. Factoritzacio de polinomis

12. Trobeu els nombres complexos w 2 C solucio de l’equacio ew = z on:

(a) z = 1 (b) z = j (c) z = �p3� j

13. Calculeu el determinant de les seguents matrius:

(a)

0

@1 z2 zz 1 z2

z2 z 1

1

A, on z 2 C es una arrel cubica de la unitat.

(b)

0

@z 1 z1 z 11 1 z2

1

A, on z = cos⇡

4+ j sin

⇡

4.

14. Calculeu la inversa de la matriu:0

@1 1 + 2j 1

2 + j 2 0�j 2� j �1 + j

1

A.

15. Resoleu els seguents sistemes:

(a)

8<

:

x +(1 + 2j)y +z = 0(2 + j)x +2y = 145

�jx +(2� j)y +(�1 + j)z = 0

(b)

8<

:

(�1 + 3j)x �(1 + 3j)y +3z = 2� j5x +5y +2z = j

(2� j)x +(2 + j)y = 0

16. Discutiu el seguent sistema segons els valors del parametre a 2 C:8<

:

a2x +y +z = 3x +a2y +z = 4� ax +y +a2z = 2 + a2

17. Descomponeu els seguents polinomis en factors irreductibles en en R[x] i en C[x]:(a) x3 + 2x2 � 3x� 6 (b) x6 � 8(c) x6 + 6x4 + 9x2 + 4 (d) x4 � x2 + 1

18. Determineu quantes arrels comunes sobre R i sobre C tenen els polinomis p i q, on:

(a) p = x3 � 2, q = x2 + x+ 2.

(b) p = x4 � 1, q = x3 � 3x� 2.

(c) p = x4 � 2x2 + 1, q = x4 + 3x2 + 2.

(d) p = x4 � 5x3 + 4x2 + 3x+ 9, q = x6 � 5x5 + x4 + 5x3 + 23x2 + 17x+ 12.

(e) p = x3 + 7x+ 6, q = x2 � 1.

(f) p = x5 � 6x3 + 6x2 + 7x+ 6, q = x2 + 3x+ 2.

(g) p = x3 + x, q = x3 + ix2 + x+ i.

(h) p = x4 + 2, q = x8 � 4.

19. Trobeu el polinomi real monic de grau mınim p 2 R[x] verificant p(2j) = p(3) = p(1 + 2j) = 0.

20. Determineu a, b 2 R nombres reals de manera que el polinomi x4 + ax2 + b tingui com arrel elnombre complex 1 + j.

Tema 2 - Nombres complexos. Factoritzacio de polinomis 9

21. Determineu a, b 2 R nombres reals no nuls de manera que el polinomi x2 � (ja)x + b tingui unaarrel doble de modul 1.

22. Sigui n � 1 un natural. Determineu per a quins nombres complexos w 2 C el polinomi xn + w te1 + j com arrel.

23. Determineu per a quins naturals n alguna de les arrels del polinomi xn � 1 te el mateix argumentque el complex j.

24. Sigui a > 0 un real. Determineu per a quins naturals n alguna de les arrels del polinomi xn � a teel mateix argument que el nombre complex �ja.

25. Calculeu les arrels dels polinomis que s’obtenen al calcular els determinants de les seguents matrius:

(a)

✓1� x 14 1� x

◆(b)

✓5� x 4 + 3j4� 3j 5 + x

◆

(c)

0

@x+ 4 2j 02j x 0

3 + j x+ 1 x

1

A (d)

0

@x �1 x+ 11 x+ 1 �x1 1 2

1

A

(e)

0

BB@

x+ 4 3 x+ 5 1�3 x+ 4 0 x2 + 10 0 1 x0 0 x 1

1

CCA (f)

0

BB@

x 0 0 1�1 x 0 00 �1 x 00 0 �1 x

1

CCA

Solucions

1. La forma binomica es:

(a) 2j (b) 18 + j (c) �j (d) 1/2� (1/2)j (e) 1(f) �1/5 + (3/5)j (g) 2 (h) 1 + j (i) 0 (j) 1 + j

2. Els seus moduls son:(a)

p2 (b) 5 (c) 1 (d) 1 (e)

p2 (f)

p65

3. (a) El modul de 2j es 2, i el seu argument es ⇡/2.

(b) El modul de �3j es 3, i el seu argument es �⇡/2.

(c) El modul de �1 es 1, i el seu argument es ⇡.

(d) El modul de 1 es 1, i el seu argument es 0.

(e) El modul de �3 +p3 j es 2

p3, i el seu argument es (5⇡)/6.

(f) El modul de (1 + j)/p2 es 1, i el seu argument es ⇡/4.

(g) El modul de (�1 + j)3 es 2p2, i el seu argument es ⇡/4.

(h) El modul de (�1� j)3 es 2p2, i el seu argument es �⇡/4.

(i) El modul de 1/(1 + j) esp2/2, i el seu argument es �⇡/4.

(j) El modul de 1/(1 + j)2 es 1/2, i el seu argument es �⇡/2.

10 Tema 2 - Nombres complexos. Factoritzacio de polinomis

4. La seva forma binomica es:

(a) j (b) �2j (c) �3 (d) 1 (e) 1 + j

(f) (1 + j)/p2 (g)

p2 j (h) �j (i) 0 (j) �1/2 +

p3 j/2

5. Les resposetes son:

(a) z = (1,�1) = 1� j = (p2)

7⇡/4

=p2(cos(7⇡/4) + j sin(7⇡/4)) =

p2e7⇡j/4.

z�1 = (1/2, 1/2) = 1/2 + j/2 = (1/p2)

⇡/4

= (1/p2)(cos(⇡/4) + j sin(⇡/4)) = (1/

p2)e⇡j/4.

(b) Per a n multiple de 4.

6. ⇡/2.

7. 7⇡n/4 modul 2⇡.

8. z = 0, i z = ek⇡j/3 on k = 0, 1, .., 5.

9. Son les arrels cinquenes de la unitat.

10. (a) (p3 + j)/2, (�

p3 + j)/2, �j.

(b) (1 + j)/p2, (�1 + j)/

p2, (�1� j)/

p2, (1� j)/

p2.

(c) 1 + j, (�p3� 1)/2 + (

p3� 1)j/2, (

p3� 1)/2� (

p3 + 1)j/2.

(d) (p6 +

p2j)/2,

p2j,(�

p6 +

p2j)/2, (�

p6�

p2j)/2, �

p2j, (

p6�

p2j)/2.

11. ⇡.

12. (a) 2k⇡j, on k 2 Z.(b) (⇡/2 + 2k⇡)j, on k 2 Z.(c) ln(2) + (�5⇡/6 + 2k⇡)j, on k 2 Z.

13. (a) El determinant val 0.

(b) El determinant val �2j.

14.1

145

0

@2 + 34j 40� 45j �16 + 18j

15� 35j 10 + 25j 25� 10j58� 29j 0 �29� 58j

1

A.

15. (a) Sistema compatible determinat. Solucio: x = 40� 45j, y = 10 + 25j, z = 0.

(b) Sistema compatible determinat. Solucio: x =6 + 13j

10, y =

�14� 3j

10, z = 2� 2j.

16. Si a 6= ±1,±p2 j, aleshores el sistema es compatible determinat.

Si a = 1, aleshores el sistema es compatible indeterminat.Si a = �1,±

p2 j, aleshores el sistema es incompatible.

17. (a) (x+ 2)(x+p3)(x�

p3) en R[x] i en C[x].

(b) (x�p2)(x+

p2)(x2 �

p2x+ 2)(x2 +

p2x+ 2) en R[x].

(x�p2)(x+

p2)(x� ↵)(x� ↵)(x+ ↵)(x+ ↵) en C[x], on ↵ = (

p2 + j

p6)/2.

(c) (x2 + 4)(x2 + 1)2 en en R[x].(x� 2j)(x+ 2j)(x� j)2(x+ j)2 en C[x].

(d) (x2 �p3x+ 1)(x2 +

p3x+ 1) en R[x].

(x� (p3 + j)/2)(x� (

p3� j)/2)(x+ (

p3 + j)/2)(x+ (

p3� j)/2) en C[x].

18. (a) No tenen arrels en comu ni en R ni en C.

(b) Tenen una arrel en comu en R i en C.

(c) No tenen arrels en comu ni en R ni en C.

(d) Te una arrel en comu en R i tres en C.

(e) No tenen arrels en comu ni en R ni en C.

(f) No tenen arrels en comu ni en R ni en C.

(g) No tenen arrels en comu en R, pero tenen dos arrels en comu en C.

Tema 2 - Nombres complexos. Factoritzacio de polinomis 11

(h) No tenen arrels en comu en R, pero tenen quatre arrels en comu en C.

19. p = x5 � 5x4 + 15x3 � 35x2 + 44x� 60.

20. a = 0, b = 4.

21. a = ±2, b = �1.

22. w = �(p2)nen⇡j/4.

23. Per a n multiple de 4.

24. Per a n multiple de 4.

25. (a) Polinomi de grau 2. Arrels simples: -1, 3.

(b) Polinomi de grau 2. Arrels: 0 multiple de multiplicitat 2.

(c) Polinomi de grau 3. Arrels: 0 simple, -2 multiple de multiplicitat 2.

(d) Polinomi de grau 2. Arrels simples: �1/2 +p3j/2, �1/2�

p3j/2.

(e) Polinomi de grau 4. Arrels simples: 1, �1, �4 + 3j, �4� 3j.

(f) Polinomi de grau 4. Arrels simples: les arrels quartes de -1.

3 Espais vectorials

1. Digueu quines de les seguents proposicions son certes, (per K entenem R o C):

(a) El conjunt {(x, y, z) 2 K3 tals que x+ y + z = 0} es subespai vectorial de K3.

(b) El conjunt {(�+ µ,�, µ) 2 K3 amb �, µ 2 K} es subespai vectorial de K3.

(c) El conjunt {(�+ 2,�, µ) 2 K3 amb �, µ 2 K} es subespai vectorial de K3.

(d) El conjunt {(x1, x2, x1, x2) 2 R4 tals que x1, x2 2 Z} es subespai vectorial de R4.

(e) El conjunt {(x1, x2, x3, x4) 2 K4 tals que x3 + 2x4 = 7} es subespai vectorial de K4.

(f) El conjunt {(x1, . . . , xn

) 2 Rn tals que x1 < x2} es subespai vectorial de Rn.

(g) El conjunt de les solucions d’un sistema compatible Ax = b de m equacions i n incognites ambcoeficients en K, es un subespai vectorial de Kn.

(h) El conjunt

⇢✓a b a+ bb c b+ 2

◆amb a, b, c 2 C

�es un subespai vectorial de M2⇥3(C).

(i) El conjunt {A 2 Mn⇥n

(K) amb Tr(A) = 0} es un subespai vectorial de Mn⇥n

(K).

(j) El conjunt {A 2 Mn⇥n

(K) amb det(A) = 0} es un subespai vectorial de Mn⇥n

(K).

(k) El conjunt {A 2 Mn⇥n

(K) tals que AM = MA}, on M 2 Mn⇥n

(K) es una matriu fixada, esun subespai vectorial de M

n⇥n

(K).

(l) El conjunt dels polinomis reals de grau mes gran que 4 es un subespai vectorial de R[x].(m) El conjunt {p 2 C[x] tals que p(1 + i) = 0} es un subespai vectorial de C[x].

2. En R3 considerem el subespai vectorial U = h(1, 2, 1), (3, 1, 5)i i el subespai vectorial V generatpels vectors (1, 2, 1), (3, 1, 5) i (3,�4, 7). Defineixen U i V el mateix subespai de R3?

3. Considerem el subespai vectorial F = h(2, 1,�1), (8,�5, 1), (1,�4, 2)i de R3. Trobeu una based’aquest subespai i amplieu-la a una base de R3.

4. En R4 considerem el subespai vectorial F generat pels vectors (1, 2, 1, 3) i (2, 0, 3, 2), i el subespaiG generat per (�1, 6,�3, 5), (0, 4,�1, 4) i (3, 2, 1,�1). Comproveu que F ⇢ G, i amplieu una basede F fins a obtenir una base de G.

5. Doneu la dimensio i una base del subespai vectorial definit per F = {(x, y, z) 2 R3 tals quex� y + z = x� 2y = y + z = 0}.

6. Sigui {u1, u2, u3} una base d’un K-espai vectorial E. Considerem els vectors v1 = u1, v2 = au2+u3

i v3 = u1 + u2 + bu3, on a, b 2 K son escalars. Calculeu la base i la dimensio del subespai vectorialgenerat per v1, v2 i v3. Per a quins escalars a, b el conjunt de vectors {v1, v2, v3} es tambe unabase de l’espai E?

7. Considerem, en R4, els vectors v = (10, 1, 6,�2), u1 = (1,�3,�2, 5), u2 = (3,�2,�4, 9), u3 =(4,�7, 2, 3). Pertany v al subespai generat per {u1, u2, u3}? Es {u1, u2, u3} una base d’aquestsubespai? En cas afirmatiu, trobeu la relacio de dependencia en {v, u1, u2, u3}.

Tema 3 - Espais vectorials 13

8. En C3 considerem els subespais F i G, on F = h(0, i, 1), (0, 1, i)i, i on G es el subespai generat per(1� 2i, 1 + 2i, 1) i per (5,�3 + 4i, 1 + 2i). Es cert que C3 = F �G?

9. Determineu per a quins valors del parametre a els subespais vectorials F = {(x, y, z) 2 C3 tals queix+ (1 + i)y = (1� i)x� iy + (1 + ai)z = 0} i G = {(x, y, z) 2 C3 tals que x+ ay + (a+ i)z = 0}de C3 tenen interseccio nul.la.

10. Trobeu a, b 2 R de manera que les matrius A =

✓�3 2�4 1

◆, B =

✓2 31 5

◆i C =

✓9 a

�3 b

◆

siguin linealment dependents. Trobeu la relacio de dependencia.

11. Sigui E = M2⇥2(R). Trobeu una base i la dimensio del subespai vectorial F de E definit per

F =

⇢✓a �bb a

◆amb a, b 2 R

�, i determineu un subespai G ⇢ E de manera que E = F �G.

12. Considerem els subespais F = h(1, 1,�1, 2), (0, 1, 1, 1)i i G = h(1, 2,�3, 2), (1,�1, 0, 1)i de R4.Trobeu les coordenades del vector v = (4, 2, 0, 8) en una base de F +G. Determineu quins vectorsf 2 F i g 2 G compleixen f + g = v. Raoneu perque f i g no son unics.

13. Sigui E el R-espai vectorial de les funcions reals de variable real. Trobeu la dimensio i una basedels subespais vectorials de E generats per les funcions:

(a) eax, xeax.

(b) ex, e�x, coshx.

(c) 1, cos 2x, sin2 x.

(d) eax, xeax, x2eax.

(e) cosx, sinx.

(f) ex cosx, e�x sinx.

14. Sigui B1 = {u1, u2, u3} una base de R3. Comproveu que B2 = {u1, u1 + u2, u1 + u2 + u3} tambees una base de R3. Si un vector te coordenades (a, b, c) en la base B1, quines coordenades te en labase B2?

15. Demostreu que el conjunt de vectors {u1, u2, u3} es una base de C3, i trobeu les components delvector v en aquesta base, on u1, u2, u3, v son:

(a) u1 = (1, 2 + i,�i), u2 = (1 + 2i, 2, 2� i), u3 = (1, 0,�1 + i), v = (�3 + 6i, 3 + 4i, 9� 3i).

(b) u1 = (1, 2i,�i), u2 = (2, 1 + i, 1), u3 = (�1, 1,�i), v = (1, 2, 0).

16. Demostreu que {1 + x3, 2x+ 3x2, 1� x2, x+ 2x2} es una base de R3[x] i trobeu les coordenadesde 1 + 5x+ 10x2 + 2x3 en aquesta base.

17. En R3 considerem les bases B1 = {(2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2)} i B2 = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}.Sigui v 2 R3 un vector amb coordenades (x, y, z) en la base B1, i amb coordenades (x0, y0, z0) enla base B2. Expresseu x, y i z en funcio de x0, y0 i z0.

18. Sigui u, v, w una base de R3. Si les coordenades dels vectors (1, 1, 2), (2, 0, 3) i (1, 1, 0) en aquestabase son, respectivament, (2, 1, 0), (2, 0, 2) i (1, 1,�2), calculeu quins son els vectors u, v i w.

19. En R4 es consideren les famılies de vectors B = {u1, u2, u3, u4} i B0 = {v1, v2, v3, v4}, on u1 =(0, 1, 1, 0), u2 = (�1, 0, 0,�1), u3 = (2, 0, 1, 0), u4 = (0, 0, 1, 1), v1 = 2u1 + u2, v2 = �u1 + u3 + u4,v3 = u2 � 2u3, i v4 = 3u4.

(a) Demostreu que B i B0 son bases de R4.

14 Tema 3 - Espais vectorials

(b) Sigui x 2 R4 el vector que te components (�1, 0, 1, 0) en la base B. Trobeu les seves componentsen la base B0 i en la base canonica de R4.

(c) Sigui e1 el primer vector de la base canonica de R4. Trobeu les coordenades de e1 en la baseB i en la base B0.

20. Considerem les famılies de vectors B1 = {(1,�1, 0), (2, 1, 3)} i B2 = {(1, 5, 6), (1, 2, 3)} de R3.

(a) Demostreu que el subespai vectorial generat per la famılia de vectors B1 coincideix amb elsubespai vectorial que genera la famılia B2.

(b) Sigui F el subespai de l’apartat anterior. Trobeu, en l’espai vectorial F , la matriu de canvi debase de la base B1 a la base B2.

(c) Trobeu les coordenades del vector v = (�5,�7,�12) 2 F en la base B1 i en la base B2.

21. El servei d’espionatge de Sildavia ha aconseguit robar un planol secret del govern de Borduria.En el planol hi apareixen la seu del Ministeri d’Industria de Borduria, la muntanya mes alta delpaıs (el pic de Montalt), i un petit poble anomenat Blackadder. Amb gran desesperacio els espiesveuen, pero, que no hi apareix el seu objectiu: la mundialment famosa fabrica secreta.

Despres d’interceptar i desxifrar missatges per radio dels bordurs els espies sildaus saben que: encert sistema de referencia que te com origen la seu del ministeri, les coordenades del pic de Montaltson (3.5,2.1), les coordenades de la placa gran de Blackadder son (1.9,0.7), i les coordenades de lafabrica secreta son (5,-2.1). Amb aquestes dades, i desconeixent el sistema de referencia empratpels bordurs, els espies sildaus poden localitzar la fabrica en el planol. Com?

Solucions

1. (a) Certa

(b) Certa

(c) Falsa

(d) Falsa

(e) Falsa

(f) Falsa

(g) Certa nomes en el cas homogeni

(h) Falsa

(i) Certa

(j) Falsa

(k) Certa

(l) Falsa

(m) Certa

2. U i V defineixen el mateix subespai vectorial de R3.

3. Una base de F es {(2, 1,�1), (1,�4, 2)} i el vector (0, 0, 1) completa aquesta base a una de R3.

Tema 3 - Espais vectorials 15

4. G = h(1, 2, 1, 3), (2, 0, 3, 2), (3, 2, 1,�1)i.5. Es un subespai de dimensio 1. Una base es (�2,�1, 1).

6. La dimensio val 2 si a, b 2 K son tals que ab = 1 i, en aquest cas, els vectors v1

, v2

determinen una basedel subespai. La dimensio val 3 si a, b 2 K son tals que ab 6= 1 i, en aquest cas, els vectors v

1

, v2

, v3

determinen una base del subespai. Per tant els vectors v1

, v2

, v3

determinen una base de l’espai E si, inomes si, ab 6= 1.

7. Sı, v pertany a aquest subespai. Sı, {u1

, u2

, u3

} es una base del subespai que generen aquests vectors. Lescomponents de v en aquesta base son (�7, 3, 2).

8. Sı

9. F \G = {0} si i nomes si a 6= 1.

10. A, B i C son linealment dependents si i nomes si a = 33 i b = 48. Aleshores: 3A+ 9B � C = 0.

11. Els vectors

✓1 00 1

◆i

✓0 �11 0

◆formen una base de F que te, doncs, dimensio 2. Podem considerar

G =

⌧✓0 01 0

◆,

✓0 00 1

◆�.

12. El vector v te coordenades (2, 2, 2) en la base {(1, 1,�1, 2), (0, 1, 1, 1), (1,�1, 0, 1)} de F + G. Es te quef = (2, 4, 0, 6)� �(2, 1,�3, 3) i g = (2,�2, 0, 2) + �(2, 1,�3, 3) per a tot � 2 R.

13. (a) La dimensio es 2. El conjunt {eax, xeax} es una base.

(b) La dimensio es 2. El conjunt {ex, e�x} es una base.

(c) La dimensio es 2. El conjunt {1, cos 2x} es una base.

(d) La dimensio es 3. El sistema de generadors donat es una base.

(e) La dimensio es 2. El sistema de generadors donat es una base.

(f) La dimensio es 2. El sistema de generadors donat es una base.

14. (a� b, b� c, c).

15. (a) Les components de v en la base u1

, u2

, u3

son (i, 2 + i,�3).

(b) Les components de v en la base u1

, u2

, u3

son ((�4� 7i)/15, (12 + i)/15, (1� i)/3).

16. Les coordenades son (2, 1,�1, 3).

17. x = (x0 � y0 + z0)/2, y = (�x0 + y0 + z0)/2, z = (x0 + y0 � z0)/2.

18. u = (2, 0, 1), v = (�3, 1, 0), w = (�1, 0, 1/2).

19. (a) —

(b) Les components de x en la baseB0 son (0, 1, 0,�1/3) i en la base canonica x te components (2,�1, 0, 0).

(c) e1

= (0,�1/3, 1/3,�1/3)B

= (�1/12,�1/6,�1/4,�1/18)B

0 .

20. (a) —

(b)

✓�1 �12 3

◆.

(c) v = (3,�4)B1 = (1,�6)

B2 .

21. Els espies sildaus han estudiat algebra lineal i dominen perfectament els canvis de base. Les coordenadesde la fabrica son (-4.86,11.59) en la base e

1

= OA, e2

= OB, on O es el ministeri, A es el pic de Montalt,i B es la placa gran de Blackadder.

4 Operadors lineals. Diagonalitzacio

1. Digueu quines de les seguents aplicacions son lineals, (per K entenem R o C):

(a) f : R2 ! R, on f(x, y) = x+ y.

(b) f : R2 ! R, on f(x, y) = xy.

(c) f : R2 ! R2, on f(x, y) = (0, 0).

(d) f : R2 ! R2, on f(x, y) = (7, x+ y).

(e) f : K3 ! K2, on f(x, y, z) = (x+ 3y, x� y + z).

(f) f : K2 ! K3, on f(x, y) = (x+ y, x� y, x+ 2y).

(g) f : K2 ! K2, on f(x, y) = (x+ y + 3, x� y + 3).

(h) f : K3 ! K3, on f(x, y, z) = (x+ y, x+ z, x� y + z2).

(i) f : C2 ! C2, on f(x, y) = (ix, (1 + i)x+ (2 + 3i)y).

(j) f : C3 ! C3, on f(x, y, z) = (ix, |y|, z).

2. Per a cada una de les seguents aplicacions K-lineals f de Kn en Km: doneu la matriu associadaa f en les bases canoniques; digueu si f es injectiva, exhaustiva o bijectiva; calculeu la dimensio iuna base del nucli i de la imatge de f ; i determineu l’aplicacio inversa f�1 en cas que existeixi.

(a) f : R2 ! R2, on f(x, y) = (x+ y,�y).

(b) f : R2 ! R3, on f(x, y) = (x� y, 2x+ 3y, 3x+ 2y).

(c) f : R3 ! R3, on f(x, y, z) = (3x, x� y, 2x+ y + z).

(d) f : C2 ! C2, on f(x, y) = ((1 + i)x+ 2y, x+ (1� i)y).

(e) f : C3 ! C2, on f(x, y, z) = (x+ iy + (1 + i)z, ix� y � (1� i)z).

(f) f : C3 ! C3, on f(x, y, z) = ((1 + 2i)x,�iy, (1� 2i)z).

3. Per a les seguents aplicacions K-lineals f1 i f2, digueu si l’aplicacio composicio f = f2 � f1 esinjectiva, exhaustiva o bijectiva.

(a) f1 : R4 ! R3, f2 : R3 ! R2, on f1(x, y, z, t) = (x+ t, y + t, z + t), f2(x, y, z) = (x+ z, y + z).

(b) f1 : R3 ! R3, f2 : R3 ! R2, on f1(x, y, z) = (x+ y, z, x+ y), f2(x, y, z) = (x+ z, y + z).

(c) f1 : R2 ! R3, f2 : R3 ! R4, on f1(x, y) = (x, x+y, x�y), f2(x, y, z) = (x, x�y, x+y+z, x�z).

(d) f1 : C2 ! C3, f2 : C3 ! C3, on f1(x, y) = (iy,�ix, x+ y), f2(x, y, z) = (x+ z, iy + iz, y + z).

(e) f1 : C2 ! C3, f2 : C3 ! C2, on f1(x, y) = (x, ix+ y, iy), f2(x, y, z) = (x+ iy, y + iz).

(f) f1 : C2 ! C3, f2 : C3 ! C2, on f1(x, y) = (x+ 3y, y, y), f2(x, y, z) = (x� y � z, y � z).

4. Demostreu que f2 = f , on f es l’endomorfisme de R2 definit per f(x, y) = (x/2 + y, x/4 + y/2).

Tema 4 - Operadors lineals. Diagonalitzacio 17

5. Siguin f1 i f2 els endomorfismes de R3 definits per f1(x, y, z) = (x+ y+2z, 2x+ y+ z, x+2y+ z) if2(x, y, z) = (2y+ z, x+3y+ z, x+ y). Donar bases del nucli i de la imatge de f1� f2. Existeixenvectors no nuls v 2 R3 tals que f1(v) = f2(v)? En cas afirmatiu, determineu-los.

6. Considerem, per a cada valor del parametre real a 2 R, l’endomorfisme fa

de R3 definit perfa

(x, y, z) = ((a � 2)x � y + 2z, 2x + (1 � a)y + (a + 1)z, ax � 3y + 2az). Per a quins valors delparametre a l’endomorfimsme f

a

es un epimorfisme, un monomorfisme o un isomorfisme?

7. Sigui a 2 R. Considerem l’aplicacio lineal fa

: R3 ! R3, on fa

(x, y, z) = (ax� z, x+ y + z, 2y).

(a) Trobeu la dimensio i una base del nucli i de la imatge de fa

segons els valors de a. Per a quinsvalors a 2 R l’endomorfisme f

a

es un monomorfisme, un epimorfisme o un isomorfisme?

(b) Siguin S, S0 ⇢ R3 els subespais vectorials definits per S = {(x, y, z) 2 R3 tals que 2x+y+z = 0}i S0 = h(1,�1, 2), (�1,�1, 6)i. Determineu els valors de a per als quals f

a

(S) = S0.

8. Es considera, en R3, l’endomorfisme fa

definit per fa

(x, y, z) = (x + az, ay + x, z + ay), on a esun parametre real.

(a) Trobeu la dimensio i una base del nucli i de la imatge de fa

segons els valors de a. Per a quinsvalors a 2 R l’endomorfisme f

a

es un monomorfisme, un epimorfisme o un isomorfisme?

(b) Sigui F el subespai de R3 definit per F = {(x, y, z) 2 R3 tals que x + y + z = 0}. Per aquins valors de a es te que dim f

a

(F ) = 1? Quan fa

(F ) = F? Quan fa

(F ) + F = R3? Quanfa

(F )� F = R3?

9. Sigui f l’endomorfisme de R3 donat per f(x, y, z) = (x � y + z, 0, x � z). Demostreu que elsvectors v1 = (1, 1, 1), v2 = (1,�2, 3), v3 = (2, 0,�1) determinen una base de R3, i trobeu la matriuassociada a f en aquesta base. Determineu un vector w 2 R3 tal que f(w) = 14v1 + 7v2 � 4v3.

10. Sigui f l’endomorfisme de C3 donat per f(x, y, z) = (8x � 9y + 25z, 2y � 5z,�2x + 3y � 8z).Demostreu que els vectors v1 = (�1+3i, 5, 2� i), v2 = (�1� 3i, 5, 2+ i), v3 = (3, 2, 0) determinenuna base de C3, i trobeu la matriu associada a f en aquesta base. Calculeu f(�iv1 + iv2 +

12v3).

11. Sigui {u1, u2, u3} una base de R3. Sigui f l’endomorfisme de R3 donat per f(u1) = u1 + u2 + u3,f(u2) = 2u1 � u3, f(u3) = f(u1 � u2). Comproveu que els vectors v1 = u1 � u2, v2 = u2 + u3,v3 = 2u1 � u3 determinen una base de R3, i doneu la matriu associada a f en aquesta base.

12. Sigui {u1, u2, u3} una base de C3. Sigui f un C-endomorfisme de C3 del qual sabem que f(u1) =u1 + u2, que f(u3) = iu1, i que Ker f = hu1 + u2i. Comproveu que els vectors v1 = u1 + u3,v2 = (1+ i)u1 + u2, v3 = iu1 + iu2 determinen una base de C3, i doneu la matriu associada a f enaquesta base.

13. Siguin E3 i E4 dos K-espais vectorials de dimensions 3 i 4 respectivament. Sigui {v1, v2, v3} unabase de E3, i sigui {e1, e2, e3, e4} una base de E4.

(a) Trobeu la dimensio i una base del nucli i de la imatge de l’aplicacio lineal f : E4 ! E3 definidaper f(e1) = v1 + 2v2 + v3, f(e2) = v2 + v3, f(e3) = v1 + v2, f(e4) = v1 � v2.

(b) Comproveu que els vectors u1 = e1+e4, u2 = e1+e3, u3 = e1+e2, u4 = e1�e2�e3 determinenuna base de E4, i que els vectors w1 = f(u1), w2 = f(u2), w3 = f(u3) determinen una base deE3. Doneu la matriu associada a f en aquestes bases.

14. Trobeu la matriu en base canonica d’un endomorfisme de R2 que a cada punt del pla li fa corre-spondre el seu simetric respecte la recta y = ax. Per fer-ho frobeu primer dos punts dels qualssigui facil trobar les seves imatges.

15. Trobeu els valors i vectors propis de les seguents matrius. Digueu quines d’elles son diagonalitzablesi, si ho son, determineu una base on la matriu tingui forma diagonal.

18 Tema 4 - Operadors lineals. Diagonalitzacio

(a)

✓1 �10 2

◆

(b)

✓1 �11 1

◆

(c)

0

@2 0 0

�3 �1 33 3 �1

1

A

(d)

0

@�2 4 5�3 5 50 0 1

1

A

(e)

0

@�2 20 40 �3 0

�1 7 2

1

A

(f)

0

@2 �2 11 3 10 1 2

1

A

(g)

0

@0 2 0

�1 0 10 �2 0

1

A

(h)

0

@�16 + i 35 �24

0 i 012 �26 18 + i

1

A

(i)

0

BB@

0 �4 0 �10 2 0 00 0 0 04 8 �12 4

1

CCA

16. Determineu els valors dels parametres per als quals les seguents matrius son diagonalitzables i, enaquest cas, doneu la seva forma diagonal.

(a)

✓cos a � sin asin a cos a

◆

(b)

0

@1 0 0a 1 0b c 2

1

A

(c)

0

@5 0 00 �1 b3 0 a

1

A

(d)

0

@3 0 �11 4 a1 0 5

1

A

(e)

0

@�2a+ 3 �4a+ 5 4a� 9

0 �1 0�a+ 1 �2a+ 2 2a� 3

1

A

(f)

0

@�2a+ 3 3a� 3 �8a� b+ 10�2a+ 2 3a� 2 �8a+ 2b+ 7

0 0 b

1

A


17. Trobeu una matriu A 2 M3⇥3(R) que tingui vectors propis (1, 2,�1), (1, 0, 1) i (0, 1,�2) ambvalors propis �2, 1 i 2 respectivament.

18. Sabent que (1, 1, 0), (�1, 0, 2) i (0, 1,�1) son vectors propis de la matriu

0

@a 1 pb 2 qc �1 r

1

A, deter-

mineu a, b, c, p, q, r i els valors propis de la matriu.

19. Considerem l’endomorfisme fa,b

de R3 definit per fa,b

(x, y, z) = (x + ay + bz, 3y, bx + z). Deter-mineu per a quins valors dels parametres reals a, b 2 R l’endomorfisme f

a,b

es diagonalitzable i te,exactament, dos valors propis diferents.

20. Sigui a 2 C, i sigui fa

2 EndC(C3) l’endomorfisme definit per fa

(x, y, z) = (2y, a2x + az,�2ay).Per a quins valors del parametre a el subespai vectorial F = {(x, y, z) 2 C3 tals que x+ z = 0} esun subespai invariant per f

a

?

21. Sigui a 2 R, i sigui fa

l’endomorfisme de R3 definit per fa

(x, y, z) = (x+ay+az,�x+y�z, x+2z).

(a) Determineu els valors de a per als quals l’endomorfisme fa

es diagonalitzable. Per a aquestsvalors del parametre a doneu una base respecte de la qual la matriu tingui forma diagonal.

(b) Siguin f i g els endomorfismes de R3 definits per f(x, y, z) = (x+y+z, 2x+5y+2z,�2x�5y�2z), i per g(x, y, z) = (�2y � 2z, 0, 2y + 2z). Determineu una base {v1, v2, v3} de R3 respectede la qual les matrius associades als endomorfismes f i g siguin diagonalitzables.

(c) Sigui F = {(x, y, z) 2 R3 tals que x+ 2y + 3z = 0}. Determineu els valors del parametre reala per als quals el subespai F es invariant per l’endomorfisme f

a

.

22. Sigui {u1, u2, u3, u4, u5} una base d’un R-espai vectorial E. Sigui f 2 EndR(E) l’endomorfismedefinit per f(u1) = �2u1 � u2, f(u2) = u1, f(u3) = �3u1 � u2 � 6u3 � 2u5, f(u4) = �5u1 +2u2 +9u3 � 2u4 + 4u5, f(u5) = �11u1 + 3u2 + 18u3 � 2u4 + 7u5. Determineu F1 i F2 dos subespaisvectorials de E de dimensio � 2, invariants per f , i tals que E = F1 � F2.

23. Aplicant el Primer Teorema de Descomposicio, determineu una forma diagonal per blocs de lesseguents matrius i doneu, tambe, una base associada.

(a)

0

@3 2 40 1 0

�2 0 �3

1

A

(b)

0

@�2 20 40 �3 0

�1 7 2

1

A

(c)

0

@2 �2 11 3 10 1 2

1

A

(d)

0

@0 2 0

�1 0 10 �2 0

1

A

(e)

0

@�16 + i 35 �24

0 i 012 �26 18 + i

1

A

(f)

0

BB@

0 �4 0 �10 2 0 00 0 0 04 8 �12 4

1

CCA


24. Aplicant el teorema de Cayley-Hamilton calculeu A�1, A4 i p(A), on p = x3 � 4x2 + 3x, i on A esla matriu:

(a)

✓2 11 2

◆

(b)

✓1 2

�1 0

◆

(c)

0

@�2 4 5�3 5 50 0 1

1

A

(d)

0

@2 0 0

�3 �1 33 3 �1

1

A

Solucions

1. (a) Lineal.

(b) No lineal.

(c) Lineal.

(d) No lineal.

(e) Lineal.

(f) Lineal.

(g) No lineal.

(h) No lineal.

(i) Lineal.

(j) No lineal.

2. (a) Matriu:

✓1 10 �1

◆. Es isomorfisme amb inversa f�1(x, y) = (x+ y,�y).

(b) Matriu:

0

@1 �12 33 2

1

A. Es monomorfisme, pero no es epimorfisme. La imatge te dimensio 2 i una base

es {(1, 2, 3), (�1, 3, 2)}.

(c) Matriu:

0

@3 0 01 �1 02 1 1

1

A. Es isomorfisme amb inversa f�1(x, y, z) = (x/3, x/3� y,�x+ y + z).

(d) Matriu:

✓1 + i 21 1� i

◆. No es monomorfisme, ni epimorfisme, ni isomorfisme. El nucli te dimensio

1 i una base es {(�1 + i, 1)}. La imatge te dimensio 1 i una base es {(1 + i, 1)}.

(e) Matriu:

✓1 i 1 + ii �1 �1 + i

◆. No es monomorfisme, ni epimorfisme, ni isomorfisme. El nucli te

dimensio 2 i una base es {(�i, 1, 0), (�1� i, 0, 1)}. La imatge te dimensio 1 i una base es {(1, i)}.


(f) Matriu:

0

@1 + 2i 0 0

0 �i 00 0 1� 2i

1

A. Es isomorfisme i f�1(x, y, z) = ((1� 2i)x/5, iy, (1 + 2i)z/5).

3. (a) No es monomorfisme. Es epimorfisme. No es isomorfisme.

(b) No es monomorfisme. Es epimorfisme. No es isomorfisme.

(c) Es monomorfisme. No es epimorfisme. No es isomorfisme.

(d) Es monomorfisme. No es epimorfisme. No es isomorfisme.

(e) Es monomorfisme. Es epimorfisme. Es isomorfisme.

(f) No es monomorfisme. No es epimorfisme. No es isomorfisme.

4. —

5. {v 2 R3 tals que f1

(v) = f2

(v)} = h(�2,�1, 1)i.6. L’endomorfisme f

a

es bijectiu si i nomes si a 6= �1, 3. Si a = �1, 3, aleshores fa

no es ni epimorfisme nimonomorfisme.

7. (a) Si a 6= �1, aleshores f es un automorfisme. Si a = �1, aleshores rang f�1

= 2. En aquest cas el nuclies el subespai generat pel vector (1, 0,�1), i la imatge es el subespai generat pels vectors (0, 1, 2) i(�1, 1, 0).

(b) fa

(S) 6= S0 per a qualsevol valor de a.

8. (a) Si a = 0, aleshores dim Im fa

= 2 i dimKer fa

= 1, amb {(0, 1, 0)} base del nucli i amb {(1, 1, 0),(0, 0, 1)} base de la imatge. Si a = �1, aleshores dim Im f

a

= 2 i dimKer fa

= 1, amb {(1, 1, 1)}base del nucli i amb {(1, 1, 0), (0,�1,�1)} base de la imatge. En aquest cas no es monomorfisme,ni epimorfisme, ni isomorfisme. Si a 6= 0, �1, aleshores dim Im f

a

= 3 i dimKer fa

= 0. Per tant:Ker f

a

= {0} no te base; Im fa

= R3 amb base la base canonica de R3; i, en aquest cas, fa

esautomorfisme.

(b) Per a cap valor de a. Si i nomes si a = 1. Si i nomes si a 6= 1. Per a cap valor de a.

9.1

13

0

@2 4 141 2 75 36 �4

1

A, w = (26, 0,�13).

10.

0

@i 0 00 �i 00 0 2

1

A, f(�iv1

+ iv2

+ 1

2

v3

) = (1, 12, 4).

11.1

3

0

@1 1 14 4 4

�2 1 4

1

A.

12.

0

@0 0 01 0 00 1 0

1

A.

13. (a) dim Im f = 3, Im f = E3

, dimKer f = 1, Ker f = he1

� e2

� e3

i.

(b)

0

@1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

1

A.

14. 1

1+a

2

✓1� a2 2a2a a2 � 1

◆

15. (a) Els valors propis son 1 i 2. Els vectors propis de valor propi 1 son h(1, 0)i, i els de valor propi 2 sonh(�1, 1)i. La matriu es R-diagonalitzable i C-diagonalitzable. Te forma diagonal Diag(1, 2) respectede la base {(1, 0), (�1, 1)}.

(b) No te valors propis reals. No te vectors propis reals. No es R-diagonalitzable.Sobre C els valors propis son 1 + i i 1 � i. Els vectors propis de valor propi 1 + i son h(1,�i)i, i elsde valor propi 1� i son h(1, i)i. La matriu es C-diagonalitzable. Te forma diagonal Diag(1 + i, 1� i)respecte de la base {(1,�i), (1, i)}.


(c) Els valors propis son 2 i �4. Els vectors propis de valor propi 2 son h(1, 0, 1), (0, 1, 1)i, i els de valorpropi �4 son h(0, 1,�1)i. La matriu es R-diagonalitzable i C-diagonalitzable. Te forma diagonalDiag(2, 2,�4) respecte de la base {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 1,�1)}.

(d) Els valors propis son 1 i 2. Els vectors propis de valor propi 1 son h(5, 0, 3), (0, 5,�4)i, i els devalor propi 2 son h(1, 1, 0)i. La matriu es R-diagonalitzable i C-diagonalitzable. Te forma diagonalDiag(1, 1, 2) respecte de la base {(5, 0, 3), (0, 5,�4), (1, 1, 0)}.

(e) Els valors propis son 0 i �3. Els vectors propis de valor propi 0 son h(2, 0, 1)i, i els de valor propi �3son h(�8, 1,�3)i. La matriu no es ni R-diagonalitzable ni C-diagonalitzable.

(f) En R te un unic valor propi: 3. Els vectors propis de valor propi 3 son h(�1, 1, 1)i. La matriu no esR-diagonalitzable.En C els valors propis son 3, 2+ i, 2� i. Els vectors propis de valor propi 3 son h(�1, 1, 1)i, els de valorpropi 2+i son h(�2�i, i, 1)i, i els de valor propi 2�i son h(�2+i,�i, 1)i. La matriu esC-diagonalitzablei te forma diagonal Diag(3, 2 + i, 2� i) respecte de la base {(�1, 1, 1), (�2� i, i, 1), (�2 + i,�i, 1)}.

(g) En R te un unic valor propi: 0. Els vectors propis de valor propi 0 son h(1, 0, 1)i. La matriu no esR-diagonalitzable.En C te valors propis 0, 2i, �2i. Els vectors propis de valor propi 0 son h(1, 0, 1)i, els de valor propi2i son h(1, i,�1)i, i els de �2i son h(1,�i,�1)i. La matriu es C-diagonalitzable i te forma diagonalDiag(0, 2i,�2i) respecte de la base {(1, 0, 1), (1, i,�1), (1,�i,�1)}.

(h) Te dos valors propis i, 2 + i. Els vectors propis de valor propi i son h(�3, 0, 2)i, i els de valor propi2 + i son h(�4, 0, 3)i. La matriu no es C-diagonalitzable.

(i) Els valors propis son 0 i 2. Els vectors propis de valor propi 0 son h(3, 0, 1, 0)i, i els de valor propi 2son h(1, 0, 0,�2), (0, 1, 0,�4)i. La matriu no es ni R-diagonalitzable ni C-diagonalitzable.

16. (a) En R diagonalitza si i nomes si a = k⇡ amb k 2 Z. En aquest cas, te forma diagonal Diag(±1,±1).En C diagonalitza per a tot valor del parametre a 2 R. Te forma diagonal Diag(cos a+ i sin a, cos a�i sin a).

(b) Si a = 0, aleshores la matriu es diagonalitzable per a tot valor de b i c. La seva forma diagonal esDiag(1, 1, 2).Si a 6= 0, aleshores la matriu no es diagonalitzable.

(c) Si a 6= �1, 5, aleshores la matriu es diagonalitzable per a tot valor de b. La seva forma diagonal esDiag(�1, 5, a).Si a = 5, aleshores la matriu no es diagonalitzable.Si a = �1 i b = 0, aleshores la matriu es diagonalitzable. La seva forma diagonal es Diag(�1,�1, 5).Si a = �1 i b 6= 0, aleshores la matriu no es diagonalitzable.

(d) Mai es diagonalitzable.

(e) Si a > 0, aleshores es R-diagonalitzable i C-diagonalitzable. En aquest cas te forma diagonalDiag(�1,+

pa,�

pa).

Si a = 0, aleshores no es ni R-diagonalitzable ni C-diagonalitzable.Si a < 0, aleshores es C-diagonalitzable pero no es R-diagonalitzable. Sobre C te forma diagonalDiag(�1,+i

p�a,�i

p�a).

(f) Diagonalitza si i nomes si a 6= b. En aquest cas, te forma diagonal Diag(1, a, b).

17. Es la matriu

0

@5/2 �3 �3/2

4 �6 �4�7/2 5 9/2

1

A.

18. a = 2, b = c = 1, p = 1, q = r = 1/2, i els valors propis de (1, 1, 0), (�1, 0, 2), (0, 1,�1) son 3, 0, 3/2respectivament.

19. Per a b = 0 i a 2 R arbitrari. Per a b = 2 i a = 0. Per a b = �2 i a = 0.

20. a = 1.

21. (a) L’endomorfisme es diagonalitzable si i nomes si a = 0. En aquest cas els valors propis son 1 i 2,els vectors propis de valor propi 1 son h(1, 0,�1), (0, 1, 0)i, i els de valor propi 2 son h(0, 1,�1)i.L’endomorfisme te forma diagonal Diag(1, 1, 2) en la base (1, 0,�1), (0, 1, 0), (0, 1,�1).


(b) En la base v1

= (�1, 0, 1), v2

= (1,�1, 1), v3

= (0,�1, 1) els endomorfismes f i g son diagonalitzables.En aquesta base f te forma diagonal Diag(0, 1, 3) i g te forma diagonal Diag(2, 0, 0).

(c) a = 2.

22. F1

= Ker f2 = h�u1

+ 19u2

+ 3u3

� 2u4

+ 2u5

, �18u1

� 29u2

+ u3

+ u4

i.F2

= Ker(f + Id)2 = hu1

, u2

, �2u4

+ u5

i.

23. (a) Matriu

0

@1 1 00 1 00 0 �1

1

A en la base (4, 0,�2), (1, 1, 0), (1, 0,�1).

(b) Matriu

0

@�3 0 00 0 10 0 0

1

A en la base (�8, 1,�3), (�2, 0,�1), (1, 0, 0).

(c) Sobre C te matriu

0

@3 0 00 2 + i 00 0 2� i

1

A en la base (�1, 1, 1), (�2� i, i, 1), (�2 + i,�i, 1).

Sobre R te matriu

0

@3 0 00 0 �50 1 4

1

A en la base (�1, 1, 1), (1,�1, 0), (4,�2,�1).

(d) Sobre C te matriu

0

@0 0 00 2i 00 0 �2i

1

A en la base (1, 0, 1), (1, i,�1), (1,�i,�1).

Sobre R te matriu

0

@0 0 00 0 �20 2 0

1

A en la base (1, 0, 1), (�1, 0, 1), (0, 1, 0).

(e) Matriu

0

@i 1 00 i 00 0 2 + i

1

A en la base (3, 0,�2), (2, 1, 0), (�4, 0, 3).

(f) Matriu

0

BB@

0 0 0 00 2 1 00 0 2 00 0 0 2

1

CCA en la base (3, 0, 1, 0), (�2, 0, 0, 4), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0,�4).

24. (a) A�1 = � 1

3

(A� 4 Id) =

✓2/3 �1/3

�1/3 2/3

◆.

A4 = 40A� 39 Id =

✓41 4040 41

◆.

p(A) = 0.

(b) A�1 = 1

2

(�A+ Id) =

✓0 �1

1/2 1/2

◆.

A4 = �3A+ 2 Id =

✓�1 �63 2

◆.

p(A) = �2A+ 6 Id =

✓4 �42 6

◆.

(c) A�1 = 1

2

(A2 � 4A+ 5 Id) =

0

@5/2 �2 �5/23/2 �1 �5/2

0 0 1

1

A.

A4 = 11A2 � 18A+ 8 Id =

0

@�44 60 75�45 61 75

0 0 1

1

A.

p(A) = �2A+ 2 Id =

0

@6 �8 �106 �8 �100 0 0

1

A.


(d) A�1 = 1

16

(�A2 + 12 Id) =

0

@1/2 0 0

�3/8 1/8 3/83/8 3/8 1/8

1

A.

A4 = 12A2 � 16A =

0

@16 0 0

120 136 �120�120 �120 136

1

A.

p(A) = �4A2 + 15A� 16 Id =

0

@�2 0 0

�69 �71 6969 69 �71

1

A.

problemes d'Àlgebra (temes 1-4)

Documents