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Investigacion de operaciones I UNS

Problemas de programacion lineal.

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Problema Nº 1 ( producción)

Una empresa produce 3 tipos de componentes electrónicos, A, B y C, que entran como insumos para otra empresa. Los requerimientos para su fabricación por unidad son: El componente A requiere de 2 unidades del recurso 1 en la estación 1 y 3 unidades del recurso 2 de la estación 2, una unidad del componente B requiere 3 unidades del recurso 1 en la estación 1 y 2 unidades del recurso 2 en la estación 2, el componente C requiere una y cuatro unidades de recursos respectivamente de cada estación. La disponibilidad del recurso 1 es de 50 unidades y del recurso 2 es de 60 unidades.

La utilidad por unidad de componente electrónico tipo A es S/. 7.00 de B es de S/. 5.00 y C de S/. 6.00.Confeccionar el modelo de PL, para este sistema productivo, que determine el número de unidades de componentes A, B, C, a fabricar de modo que la empresa tenga la máxima utilidad.

Solución:

DEFINICIÓN DE VARIABLES:

X1 = N de unidades a fabricar del componente electrónico tipo AX2 = N de unidades a fabricar del componente electrónico tipo BX3 = N de unidades a fabricar del componente electrónico tipo C

Solucion :

Maximizacion :

Z0 = 7 X1 + 5 X2 + 6 X3

s.a.:

2 X1 + 3 X2 + X3 50

3 X1 + 2 X2 + 4 X3 60

X1, X2, X3 0

Problema Nº 2 ( Mezcla)

Página 1


Una empresa de insumos, desea obtener un tipo de aleación especial al menor

costo para ser usado en la fabricación de un elemento de código EK-1200-A de que

forma parte de un producto electrónico. Los insumos utilizados son: Insumo 1 e

insumo 2, los cuales tienen previamente una diseminación previa, los

requerimientos de la aleación es: por lo menos 45 unidades de aluminio, 55

unidades de estaño y 52 unidades de cobre. Un kilo del insumo 1, cuesta $ 5

dólares y proporciona 5 unidades de aluminio, 11 unidades de estaño y 8 unidades

de cobre, un kilo del insumo 2, cuesta $ 8 dólares y proporciona 12 unidades de

aluminio, 6 unidades de estaño y 8 unidades de cobre, formule el modelo de PL.

Solución:

DEFINICIÓN DE VARIABLES:

X1 = N de unidades a fabricar de un elemento de código EK-1200-A tipo AX2 = N de unidades a fabricar de un elemento de código EK-1200-A tipo B

MINIMIZACION :

MIN : Z0 = 5X1 + 8 X2

s.a.:

5X1 + 12 X2 45

11 X1 + 6 X2 55

8 X1 + 8 X2 52

X1, X2, 0

Problema Nº 3 ( Mezcla)

Página 2

s/

8

5

X2

X1

Tipo B

Tipo A

525545

12

cobreestaño

aluminio

8

8

6

115


En “La casa del perno” planea vender paquetes de tuercas y tornillos mezclados,

cada paquete debe pesar por lo menos 2 kilos, tres tamaños de tuercas y sus

respectivos tornillos componen el paquete y la casa del perno lo compra, los

tamaños 1, 2 y 3 en lotes de 200 kilos, y su costo es de $ 20, $ 50 y 15 dólares

respectivamente. Si haciendo que una tuerca y su tornillo, sea una unidad y

deseando conocer los pesos de las unidades del tamaño 1, 2 y 3 que deben

conformar el paquete, y además satisfacer las siguientes condiciones:

a) El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso

total del paquete.

b) El peso de los tamaños 1 y 2 no debe ser mayor a 1.6 kilos.

c) Cualquier tamaño de unidades debe ser al menos el 10 % del peso del

paquete total.

¿Cuál será la composición del paquete de costo mínimo? Confeccionar el modelo de

PL.

Solución.

Variables de Decisión.

X1 = peso de las unidades del tamaño 1 que deben ingresar a formar parte del

paquete


paquete


paquete

Nota: Queremos un paquete de costo mínimo, que satisfaga las condiciones dadas

en el enunciado del problema, entonces debemos conocer el costo de los pesos de

X1, X2 y X3 que ingresan al paquete. Sabemos que se compran en lotes de 200

kilos cada tipo de unidad y conocemos el costo de cada lote; así: 200 kilos del

tamaño 1 cuesta $ 20 dólares, entonces cuanto costará el peso de X1 kilos?. La es

respuesta es (20 X1)/200, con ese criterio calculamos los costos de los dos tamaños

mas.

Min : Z0 = (20 X1 )/200 + (50 X2 )/200 + (15 X3 )/200 (La función objetivos)

Sujeto a:

X1 + X2 + X3 2 Restricción del peso mínimo del paquete

X1 + X3 (X1 + X2 + X3) / 2 Restricción de peso conbinado

tamaños 1 y 3

X1 + X2 1.6 Restricción de peso conbinado tamaños 1

y 2

X1 0.10 (X1 + X2 + X3) Restricciones del peso cualquier tamaño debe

ser al

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X2 0.10 (X1 + X2 + X3) el 10 % del peso total del paquete.

X3 0.10 (X1 + X2 + X3)

X1, X2 , X3 0 Restricción de no negatividad

Nota: Este modelo, todavía no es el final, para ello tendría que trabajarse para que

el lado derecho solamente tenga valores.

Problema Nº 4 ( producción: Fabrica de automóviles)

Una fábrica de automóviles puede fabricar 3 piezas de carrocería o importarlas sean las

piezas P1, P2 y P3. Si las piezas son fabricadas en el país, cada una de ellas en su

proceso productivo, pasan por cuatro máquinas: M1, M2, M3 y M4. La siguiente tabla

de las unidades de tiempo requeridas en cada máquina por pieza fabricada.

M1 M2 M3 M4

P1 0.11 0.25 0.39 0.05

P2 0.15 0.93 0.12 0.15

P3 0.17 0.17 0.12 0.25

La demanda total anual de cada una de las piezas es de 20000 unidades (N° de piezas

fabricadas mas N° de piezas importadas); para el proceso productivo se tiene disponible

un máximo de 8760 horas anuales en cada una de las cuatro máquinas. El costo de

producción y de importación de cada pieza está dada en la siguiente tabla.

Costo de producción en el

país por pieza

Costo de importación por

pieza

P1 $ 3.2 $ 2.10

P2 $ 1.85 $ 0.95

P3 $ 5.10 $ 3.75

El gerente general desea que el número de piezas fabricadas de cada tipo en el país sea

mayor que el número de piezas importadas, además desea que el costo total de

importación no exceda el 40% del costo total de producción en el país, bajo estas

condiciones ¿cuántas piezas anuales debes fabricarse en el país, cuantas importarse tal

que, el costo de producción e importación se minimice, cumpliendo todas las

restricciones?.

Solución :

Página 4


V.D.

Xj = N° de piezas a fabricar en el País del tipo Pj (j = 1, 2 y 3)

Yj = N° de piezas a importar al País del tipo Pj (j = 1, 2 y 3)

Min Z0 = 3.2 X1 + 1.85 X2 + 5.10 X3 + 2.1 Y1 + 0.95 Y2 + 3.75 Y3

s.a.:

condición de tiempo:

0.11 X1 + 0.15 X2 + 0.17 X3 8760

0.25 X1 + 0.93 X2 + 0.17 X3 8760

0.39 X1 + 0.12 X2 + 0.12 X3 8760

0.05 X1 + 0.15 X2 + 0.25 X3 8760

condición de demanda total de cada pieza

X1 + Y1 = 12000

X2 + Y2 = 12000

X3 + Y3 = 12000

Condición gerencia N° total de piezas fabricas mayor a N° de piezas importadas de

cada tipo

X1 Y1

X2 Y2

X3 Y3

Condición del costo total de importación menor al 40 % del costo total de

fabricación

2.1 Y1 + 0.95 Y2 + 3.75 Y3 0.40 ( 3.2 X1 +1.85 X2 + 5.1 X3 )

X1, X2, X3, Y1, Y2, Y3 0

Problema Nº 5 ( Inversión en Proyectos)

Una CIA. Dispone de S/. 3 000 000 para distribuirlos el próximo año entre sus tres

sucursales. Debido a compromisos de estabilidad del nivel de empleados y por razones

de inversión mínima, la CIA ha establecido un nivel mínimo de fondos para cada

sucursal, estos fondos mínimos son de S/. 300 000, 500 000 y 800 000 respectivamente.

Debido a la naturaleza de su inversión, la sucursal 2 no puede utilizar en inversión más

de S/. 1 700 000, sin una expansión de capital grande. Cada sucursal tiene la

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oportunidad de dirigir (Administrar) distintos proyectos con los fondos que recibe. Para

cada proyecto se ha establecido una tasa de ganancia (como un % de la inversión). En el

siguiente cuadro se dan los datos respectivos para cada proyecto. Confeccionar el

modelo que determine en su solución la cantidad que cada sucursal debe invertir en sus

respectivos proyectos para obtener la máxima rentabilidad.

SUCURSAL PROYECTO TASA DE GANANCIA LIMITE SUPERIOR DE

LA INVERSIÓN ( S/.)

1

1

2

3

5 %

6 %

7 %

600 000

500 000

900 000

2

4

5

6

5 %

8 %

9 %

700 000

1 000 000

400 000

37

8

10 %

6 %

600 000

300 000

Solución:

V. D.

Sea Xij = cantidad que invierte sucursal i (i= 1, 2, 3) en el proyecto j (j= 1,

2, …, 8)

F.O. se expresara como la maximización de los retornos de inversión.

Max Zo = 0.05 X11 + 0.06 X12 + 0.07 X13 + 0.05 X24 + 0.08 X25 + 0.09 X26 +

0.1 X37 + 0.06 X38

s.a.

Cantidad disponible

( X11 + X12 + X13) + ( X24 + X25 + X26) + X37 + X38 ≤ 3 000 000

Fondos mínimos a invertir en cada sucursal

X11 + X12 + X13 ≥ 300 000 sucursal 1

X24 + X25 + X26 ≥ 500 000 sucursal 2

X37 + X38 ≥ 800 000 sucursal 3

Fondos máximos a invertir la sucursal 2

X24 + X25 + X26 ≤ 1 700 000

Limites superiores de inversión por proyecto en cada sucursal

X11 ≤ 600 000

X12 ≤ 500 000

X13 ≤ 900 000

X24 ≤ 700 000

X25 ≤ 1 000 000

X26 ≤ 400 000

Página 6


X37 ≤ 600 000

X38 ≤ 300 000

Xij ≥ 0 i = 1, 2, 3

j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

Ejemplo Nº 6 ( Mezcla)

En el siguiente esquema se representa la composición (unidades/libra) de 2

fertilizantes, el fertilizante A y el fertilizante B, con los que se desea preparar o

combinar una mezcla que cumpla con los requerimientos mínimos de ciertos

componentes.

¿ Qué cantidad debe comprarse de A y B para minimizar el costo total de la

mezcla?

¿ Cuál será el costo mínimo?

¿ Que componente se encuentra disponible en cantidad superior a la mínima y

por cuanto?

COMPONENTE comp. en unidades/Lb de

tipo de fertilizantes

Requerimiento

mínimo

A B

Nitrato (N) 10 5 300

Fosfato (P 2O 5) 6

4

10

5

250

Potasio (K 2O) 100

Precio S/. libra 5 8

Solucion.

* Definición de Variables

X1 : numero de libras a comprar del fertilizante tipo A.

X2 : numero de libras a comprar del fertilizante tipo B.

Función Objetivo

Página 7

- N = 5 u

- P2 O 5 = 10 u

- K2 O = 5 u

- N = 10 u

- P2 O 5 = 6 u

- K2 O = 4 u

¿Cuántas libras del tipo B?

Mezcla Total

Resultante

N ≥ 300

FertilizanteB = 1 Lb

FertilizanteA = 1 Lb

¿Cuántas libras del tipo A?


Min Z0 = 5 X1 + 8 X2

s.a.:

10X1 + 5 X2 300 Restricción de nitrato (1)

6 X1 + 10 X2 250 Restricción de Fósforo (2)

4X1 + 5 X2 100 Restricción de Potasio (3)

X1 , X2 0 Restricción de no negatividad

Ejemplo Nº 8 (minerales)

Se va a mezclar minerales procesados de 4 minas diferentes para fabricar bandas de un

nuevo producto. Un tractor oruga de tamaño medio E – 6 diseñado especialmente para

competir en el mercado nacional, los análisis han demostrado que para producir una

banda con las especificaciones necesarias de tensión; la mezcla debe tener 3 elementos

básicos denominados como: A, B, C. En particular cada tonelada de mezcla debe

contener por lo menos 5 libras del elemento básico A; por lo menos 10 libras del

elemento básico B y al menos 30 libras del elemento básico C.

El mineral de cada una de las minas contiene los tres elementos básicos pero en

diferentes proporciones. Establecidas en la siguiente tabla:

Elemento

Básico

Minas Requerimientos

Mínimos

A 10 3 8 2 Por lo menos 5 lb

B 90 150 75 175 Por lo menos 10 lb

C 45 25 20 37 Por lo menos 30lb

Los minerales de cada mina tienen diferentes costos dados en la siguiente tabla:

Mina Costo/

Tonelada

1 800

2 400

3 600

4 500

Confeccionar el modelo para obtener la mezcla optima que brinde el costo total

mínimo:

Página 8Costo/

800

A

N de TNs de mineralde c/mina

B C

491X1

Disponibilidad de Elementos básicos/TN


Xj = Cantidad de mineral extraído en la mira j.

Solución :

Min : Z0 = 800 X1 + 400 X2 + 600 X3 + 500 X4

s.a.:

10 X1 + 3 X2 + 8 X3 + 2 X4 5

90 X1 + 150 X2 + 75 X3 + 175 X4 10

45 X1 + 25 X2 + 20 X3 + 37 X4 30

X1 , X2 , X3 , X4 0

Ejemplo Nº 9 (Refinería)

Una empresa de refinería compra 2 tipos de insumos petróleo base 1 y petróleo base 2,

el costo por barril de estos tipos de petróleo son de S/.22 y S/.18 respectivamente. De

cada tipo de petróleo se producen por barril las siguientes cantidades de combustible A,

Página 9


combustible B y combustible C. Durante el proceso de refinamiento se pierde el 6% y el

10% de insumo base. La refinería tiene un contrato para entregar por lo menos 980

barriles del combustible A, por lo menos 410 barriles del combustible B y por lo menos

260 barriles de combustible C.

Petróleo Combustible A Combustible B Combustible C Perdidas

durante el

proceso

P. Base 1

P. Base 2

0.39

0.31

0.19

0.38

0.36

0.21

0.06

0.10

Formule el modelo de programación lineal para encontrar el numero de barriles base de

cada tipo de petróleo que satisfaga la demanda a un costo mínimo.

Solución :

Definición de Variables:

X1 = Numero de barriles a comprar del combustible base 1.

X2 = Numero de barriles a comprar del combustible base 2.

Min : Z0 = 22 X1 + 18 X2

s.a.:

0.39 X1 + 0.31 X2 980 . . . requerim. de comb. A

0.19 X1 + 0.38 X2 410 . . . requerim. de comb. B

0.36 X1 + 0.21 X2 260 . . . requerim. de comb. C

X1 , X2 0

Ejemplo Nº 9 ( Fabrica de automóviles)

Una fabrica de automóviles puede fabricar 3 piezas de carrocería o importarlas sean las

piezas P – 1, P – 2, P – 3. Si las piezas son fabricadas en el país pueden producirse cada

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una en 4 maquinas herramientas, denominadas M – 1, M – 2, M – 3, M – 4. La siguiente

tabla de las unidades de tiempo requeridas en cada maquina por pieza fabricada.

M - 1 M - 2 M - 3 M - 4

P1 0.11 0.25 0.39 0.05

P2 0.15 0.93 0.12 0.15

P3 0.17 0.17 0.12 0.25

La demanda anual de cada una delas piezas es de 20000 unidades; no se dispone mas de

8760 horas anuales disponibles en cada una de las maquinas. El costo de producción y

de importación de cada pieza esta dada en la siguiente tabla.

Costo de producción del

país por pieza

Costo de importación por

pieza

P1 US $ 2.10

P2 US $ 0.95

P3 US $ 3.75

El gerente general desea que el numero de piezas fabricadas en el país sea mayor que el

numero de piezas importadas, además desea que el costo total de importación no exceda

el 40% del costo total de producción en el país, bajo estas condiciones ¿cuántas piezas

anuales debes fabricarse en el país, cuantas importarse tal que el costo de producción e

importación se minimice, cumpliendo todas las restricciones?.

Solución :

Fabrica de automóviles :

- Fabrica Xi piezas

- Importa Yi piezas

Min Z0 = 4.25 X1 + 3.80 X2 + 5.20 X3 + 2.1 Y1 + 0.95 Y2 + 3.75 Y3

s.a.:

condición de tiempo:

0.11 X1 + 0.15 X2 + 0.17 X3 8760

0.25 X1 + 0.93 X2 + 0.17 X3 8760

0.39 X1 + 0.12 X2 + 0.12 X3 8760

Página 11


0.05 X1 + 0.15 X2 + 0.25 X3 8760

condición de demanda :

X1 + Y1 = 20000

X2 + Y2 = 20000

X3 + Y3 = 20000

Condición gerencia

X1 Y1

X2 Y2

X3 Y3

2.1 Y1 + 0.95 Y2 + 3.75 Y3 0.40 ( 4.25 X1 + 3.8 X2 + 5.2 X3 )

X1 , X2 , X3 , Y1 , Y2 , Y3 0

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problemas presentar de ope2..docx

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