Universidad de Costa Rica

Proyecto ExMa

Problemas de Lımites

W. Poveda

I Semestre 2012

Los siguientes ejercicios fueron planteados en diversos examenes en la catedra de MA1001.Se recomienda realizar cada ejercicio y utilizar la sugerencia en caso de no saber que hacery cuando se posea una solucion entonces vea la solucion.

Calcule el valor de los siguientes lımites.

1. limx→8

x− 83√x− 2

2. limx→+∞

(x+ 3√

1− x3)

3. lim

x→π

3

1− 2 cosx

π − 3x

4. limx→−1

x34 − 1

x27 + 1

5. limx→+∞

(√x+ 1−

√x)

6. limx→0

1− cos3 x

4x2

Sugerencias. Uselas solo despues de hacer varios intentos en su propia solucion.

1. Utilice la resta de cubos.

2. Racionalice utilizando suma de cubos.

3. Realice el cambio de variable u = x− π

3.

4. Utilice division sintetica. Trate de visualizar el resultado sin hacer todo el proceso

5. Racionalice utilizando difrencia de cuadrados

6. Multiplique por1 + cos3

1 + cos3 x.Observe que

(1− cos3 x

) (1 + cos3 x

)= 1 − cos6 x. Luego

1− cos6 x =(1− cos2 x

) (1 + cos2 x+ cos4 x

)

1

Problemas de lımites W. Poveda 2

Soluciones

1. limx−→8

x− 83√x− 2

Solucion

Vamos a racionalizar completando la diferencia de cubos

limx−→8

(x− 8)3√x− 2

· ( 3√x)

2+ 2 3√x+ 22

( 3√x)

2+ 2 3√x+ 22

= limx−→8

����(x− 8)(

3√x2 + 2 3

√x+ 4

)����(x− 8)

= limx−→8

(3√x2 + 2 3

√x+ 4

)=

3√

82 + 23√

8 + 4

= 12

2. limx−→+∞

(x+ 3√

1− x3)

SolucionVamos a racionalizar completando la suma de cubos

limx−→∞

(x+ 3√

1− x3)·x2 − x 3

√1− x3 +

(3√

1− x3)2

x2 − x 3√

1− x3 +(

3√

1− x3)2

= limx−→∞

x3 +(

3√

1− x3)3

x2 − x 3√

1− x3 +(

3√

1− x3)2

Note que en el denominador se tiene que

• 3√

1− x3 = 3

√x3(

1

x3 − 1

)

•(

3√

1− x3)2

=3

√(1− x3)

2= 3√

1− 2x3 + x6 = 3

√x6(

1

x6− 2

x3+ 1

)

Ası

= limx−→∞

1

x2 − x 3

√x3(

1

x3− 1

)+ 3

√x6(

1

x6− 2

x3+ 1

)

= limx−→∞

1

x2 − x2 3

√1

x3− 1 + x2 3

√(1

x6− 2

x3+ 1

)

= limx−→∞

1

x2

(1− 3

√1

x3− 1 + 3

√1

x6− 2

x3+ 1

) = 0

Problemas de lımites W. Poveda 3

3. lim

x−→π

3

1− 2 cosx

π − 3x

Solucion

Sea u = x− π

3ası x = u+

π

3; y u −→ 0

Aplicando el cambio de variable:

limu−→0

1− 2 cos(u+

π

3

)π − 3x

= limu−→0

1− 2[cosu · cos

π

3− sennu · sen

π

3

]π − 3u− π

= limu−→0

1− �2

[cosu ·

(1

�2

)− senu ·

(√3

�2

)]−3u

= limu−→0

1− cosu+√

3 senu

−3u

= limu−→0

1− cosu

−3u+ lim

u−→0

√3 senu

−3u

=−1

3lim

u−→0

1− cosu

u+−√

3

3lim

u−→0

senu

u

=−1

3· 0 +

−√

3

3· 1

=−√

3

3

4. limx−→−1

x34 − 1

x27 + 1

SolucionEs un lımite de la forma 0/0Factorizamos x34−1, un factor es (x+ 1), realizamos la division sintetica de la cual resulta:

x34 − 1 = (x+ 1)(x33 − x32 + x31 − x30 + ...+ x4 + x3 + x2 + x− 1

)Factorizamos x27 + 1 ya sea por division sintetica o bien por sumas de cubos

x27 + 1 = (x9)3 + 13

= (x9 + 1)(x18 − x9 + 1)

= (x3 + 1)(x6 − x3 + 1)(x18 − x9 + 1)

= (x+ 1)(x2 − x+ 1)(x6 − x3 + 1)(x18 − x9 + 1)

Problemas de lımites W. Poveda 4

Retomando el lımite tenemos

limx−→−1

����(x+ 1)(x33 − x32 + x31 − x30 + ...+ x4 + x3 + x2 + x− 1)

����(x+ 1)(x2 − x+ 1)(x6 − x3 + 1)(x18 − x9 + 1)=

(−1) · 34

3 · 3 · 3

= −34

27

5. limx−→+∞

√x+ 1−

√x√

x+ 1 +√x

Solucion

limx−→+∞

√x+ 1−

√x√

x+ 1 +√x·√x+ 1 +

√x√

x+ 1 +√x

= limx−→+∞

x+ 1− x(√x+ 1 +

√x)2

= limx−→+∞

1

x+ 1 + 2√x (x+ 1) + x

= limx−→+∞

1

2x+ 1 + 2√x2 + x

= limx−→+∞

1

2x+ 1 + 2 |x|√

1 +1

x

en este caso note que |x| = x

= limx−→+∞

1

2x+ 1 + 2x

√1 +

1

x

= limx−→+∞

1

x

(2 +

1

x+ 2

√1 +

1

x

)= 0

6. limx−→0

1− cos3 x

4x2

Solucion

Iniciamos multiplicando por

(1 + cos3 x

)(1 + cos3 x)

Problemas de lımites W. Poveda 5

limx→0

1− cos3 x

4x2= lim

x→0

(1− cos3 x)(1 + cos3 x)

4x2(1 + cos3 x)

= limx−→0

1− cos6 x

4x2 (1 + cos3 x)

= limx−→0

(1− cos2 x

) (1 + cos2 x+ cos4 x

)4x2 (1 + cos3 x)

Recuerde que 1− cos2 x = sen2 x

= limx−→0

sen2 x(1 + cos2 x+ cos4 x

)4x2 (1 + cos3 x)

= limx−→0

sen2 x

4x2·(1 + cos2 x+ cos4 x

)(1 + cos3 x)

=1

4lim

x−→0

( senx

x

)2·(1 + cos2 x+ cos4 x

)(1 + cos3 x)

=1

4· (1)

2 · 3

2

=3

8