problemas fisica 4º eso (juntos)

Julián Moreno Mestre

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1

Resumen de las fórmulas de cinemática:

2

0 0

1

2r r v t at= + + tavv +=

0 2 2

0 02 ( )v v a r r− = −

m

rv

t

∆=∆

t

va

m ∆∆

= dr

vdt

= 2

2

dv d ra

dt dt= = t

d va

dt=

Ejercicios de cinemática en una dimensión (4º ESO/1º de Bachillerato): 1º Una locomotora eléctrica de juguete se mueve con velocidad constante de 0.35 m/s.

¿Qué espacio recorre en 2 minutos? Sol: 42 m.

2º Un coche sube un puerto de 5 km en 0.24 h y tarda 0.08 h en bajar los 6 km que tiene

el otro lado. ¿Qué velocidad media llevó en el trayecto completo? Sol: 34.4 km/h.

3º Un ciclista se desplaza en línea recta pasando por un punto que dista r1 = 8 m respecto

a la salida en t1 = 2 s, por un punto que dista r2 = 40 m en t2 = 12 s, y por el punto r3 =

80 m a los t3 = 28 s. Si las posiciones están expresadas en metros, calcula las

velocidades medias del ciclista en km/h para:

a) El intervalo de tiempo t2 – t1.

b) El intervalo de tiempo t3 – t1.

Sol: a) 11.5 km/h; b) 9.97 km/h.

4º La luz viaja a 3·108 m/s. El año luz es la distancia recorrida por la luz en un año. El

objeto estelar más cercano a la Tierra está situada a cuantos años luz. ¿A qué distancia

se encuentra? Sol: 3.78·1016

m.

5º Un monocarril recorre los 2 km que separan dos puntos de un recinto ferial con una

velocidad media de 60 km/h. ¿Cuánto tarda? Sol: 2 min.

6º Un chico circula en bicicleta a 15 km/h. En el instante en el que se comienza a contar

tiempos, empieza a frenar deteniéndose tras recorrer 10 m.

a) ¿Con qué aceleración de frenado ha realizado este movimiento?

b) Escribe la ecuación de velocidad de este movimiento.

c) ¿Qué tiempo tarda en parar?

Sol: a) 0.87 m/s2; b) ( ) 4.17 0.87v t t= − ; c) 4.8 s.

7º Por un punto pasa un cuerpo con una velocidad constante de 20 m/s. Dos segundos

mas tarde, parte del mismo punto en la misma dirección y sentido otro cuerpo con

aceleración constante de 2m/s2. Calcular:

a) Tiempo que tarda el segundo cuerpo en alcanzar al primero.

b) ¿A que distancia lo alcanza?

c) Velocidad de cada uno en ese instante.

Sol: a) 21.83 s; b) 476.6m; c) El primero 20 m/s y el segundo 43.66 m/s.

8º La ecuación de un movimiento uniforme es:

( ) 25 5r t t= − m

a) Indica que significado tiene cada uno de los coeficientes de la ecuación.

b) ¿En qué instante pasa el móvil por el origen?

Sol: a) La posición inicial es 25 m del origen y la velocidad inicial –5 m/s; b) 5 s.


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2

9º La ecuación de un movimiento en unidades del SI es:

m628)( ttr −=

a) ¿De qué tipo de movimiento se trata?

b) ¿En qué instante pasa el móvil por el origen de coordenadas?

Sol: a) Movimiento rectilíneo uniforme; b) 4.7 s.

10º Una partícula se mueve en una dimensión siguiendo la ecuación: 2( ) 5 100 220 mr t t t= − + +

Calcula:

a) La velocidad instantánea en función del tiempo.

b) La posición y la velocidad en el instante t = 0 s.

c) Los instantes en que el móvil pasa por el origen.

d) El instante en que el móvil invierte el sentido de su movimiento y la posición

que ocupa en ese momento.

Sol: a) ( ) 10 100 mv t t= − + ; b) 220 m y 100 m/s; c) 22 s y –2 s; d) 10 s y 720 m.

11º Dos vehículos salen a la misma hora de dos puntos que distan entre si 40 km en línea

recta. El vehículo 1 se mueve con v1 = 90 km/h y el vehículo 2 con v2 = 60 km/h.

Calcula el instante y la posición (respecto al punto de partida del vehículo 1) en que se

produce el encuentro:

a) Si los vehículos van en el mismo sentido.

b) Si los vehículos van en sentidos contrarios.

Sol: a) 1.33 h y a 119.7 km; b) 0.267 h y a 24 km.

12º Un coche lleva una velocidad de 72 km/h y se encuentra con un muro a 50 m. Si frena

con una aceleración negativa a 2 m/s2. ¿Se para antes de chocar? Sol: No.

13º Un tren que se desplaza por una vía recta , en el momento en que empezamos a contar

tiempos, lleva una velocidad de 36 km/h. Un observador que va en la cabina de

mandos comprueba que cada 15 s el tren aumenta su velocidad en 18 km/h.

a) Calcula la aceleración del tren.

b) Escribe la ecuación de la velocidad.

c) Calcula su velocidad tras 15 s.

Sol: a) 0.33 m/s2, b) m/s33.010)( ttv += ; c) 15 m/s.

14º Un tren se mueve en línea recta y acelera pasando de 18 km/h a 90 km/h en 2 minutos.

Calcula:

a) La aceleración media del tren.

b) La velocidad media del tren.

c) ¿Qué distancia ha recorrido en esos 2 min?

d) ¿Qué velocidad tiene el tren a los 45 s?

e) Si después de 2 min continúa con movimiento uniforme, ¿qué espacio recorre

en 10 min empezando a contar en el momento en que la velocidad es 18 km/h?

Sol: a) 0.167 m/s2; b) 15.02 m/s; c) 1802.4 m; d) 12.515 m/s; e) 13.8 km.

15º Una pelota choca perpendicularmente contra una pared con velocidad de 10 m/s y

rebota con una velocidad de 6 m/s. Si la duración del choque es de 0.4 s, calcula:

a) La variación de la velocidad en el choque.

b) La aceleración media de la pelota durante el choque.

Sol: a) 16 m/s; b) 40 m/s2.


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3

16º Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Calcula el

tiempo que tarda en llegar al suelo. Sol: 4 s.

17º Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con velocidad inicial de 15 m/s.

Calcula:

a) La altura máxima alcanzada.

b) El tiempo que tarda en alcanzar esa altura.

c) La velocidad con que llega al suelo y el tiempo que tarda en caer.

Sol: a) 11.47 m; b) 1.53 s; c) –15 m/s y tarda 3.06 s.

18º Ana lanza hacia arriba una pelota, que llega hasta la ventana de su casa, situado a 7.4

m del punto de lanzamiento. ¿Con qué velocidad lanzó Ana la pelota y al cabo de

cuanto tiempo vuelve a recuperarla? Sol: 12 m/s; 2.44 s.

19º Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con una velocidad de 200 m/s, al cabo

de 4 s, se lanza otro igual con la misma velocidad. Calcula:

a) La altura a la que se encuentran.

b) El tiempo que tardan en encontrarse.

c) La velocidad de cada cuerpo en el momento en que se encuentran.

Sol: a) 2019 m; b) 18.4 s; c) v1 = – 19.7 m/s y v1 = 19.5 m/s.

20º Se lanzan dos cuerpos verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 400

m/s y con un intervalo de 20 s. Calcula:

a) Tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura.

b) La altura máxima alcanzada.

c) El tiempo que los dos cuerpos tardan en cruzarse y la distancia desde ese punto

de cruce al de lanzamiento.

d) La velocidad de cada cuerpo en el punto de cruce.

Sol: a) 40.8 s; b) 8155 m; c) 50.7 s desde el lanzamiento del primero;

d) El primero con – 97.4 m/s y el segundo con 98.8 m/s.

21º Desde una altura de 80 m se deja caer una piedra. Dos segundos después se lanza otra

desde el suelo en la misma vertical con una velocidad de 50 m/s. Calcular:

a) El tiempo que tardan en encontrarse.

b) La altura a la que se produce el encuentro.

Sol: a) 2.86 s; b) 39.38 m.

22º Desde un globo que se está elevando a 2 m/s se deja caer una piedra cuando el globo

se encuentra a 50 m de altitud. Calcular:

a) ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al suelo?

b) ¿Con qué velocidad llega?

Sol: a) 3.4 s; b) –31.32 m/s.

23º Desde un globo que está ascendiendo a 5 m/s se suelta un saco de lastre en el instante

en que se encuentra a 100 m de altura. Despreciando el rozamiento con el aire, calcula

con qué velocidad chocará el saco contra el suelo. Sol: –45 m/s.

24º Un globo que asciende verticalmente a una velocidad constante de 15 m/s, deja caer

de él un saco, que llega al suelo al cabo de 20 s. Despreciando el rozamiento con el

aire, determina a que altura estaba el globo cuando se dejó caer el saco. Sol: 1662 m.


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4

25º Desde la azotea de un edificio de 120 m de altura se lanza hacia abajo una pequeña

bola que lleva una velocidad inicial de 20 m/s. Calcula:

a) El tiempo que tarda en llegar al suelo.

b) La velocidad que tiene en ese momento.

Sol: a) 3.31 s; b) –52.47 m/s.

26º Desde la azotea de un edificio de 30 m se cae un cuerpo. En el mismo instante y desde

el suelo se lanza, en vertical y hacia arriba, otro cuerpo con una velocidad inicial de

20 m/s. ¿Cuándo y donde se cruzan los dos cuerpos? Sol: Tras 1.5 s y 18.95 m.

27º Se lanza desde el suelo hacia arriba una piedra al mismo tiempo que se deja caer otra

desde una altura de 60 m. ¿Con qué velocidad se debe lanzar la primera para que las

dos lleguen al mismo tiempo al suelo? Sol: 17.1 m/s.

28º Un automóvil está parado en un semáforo. Cuando se enciende la luz verde arranca

con aceleración constante de 2 m/s2. En el momento de arrancar, un camión con

velocidad constante de 54 km/h lo adelanta. Calcula:

a) ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que el coche adelanta al camión?

b) ¿A que distancia del semáforo lo alcanza?

c) ¿Qué velocidad tiene el coche en ese momento?

Sol: a) 15 s; b) 225 m; c) 108 km/h.

29º Imagina que estás situado sobre un puente de una autovía recta. En un instante dado,

pasa por debajo de él un camión a 80 km/h. A los 15 s pasa un coche en el mismo

sentido y a 120 km/h.

a) ¿En qué instante adelanta el coche al camión?

b) ¿En qué posición se produce el adelantamiento?

Sol: a) 45 s; b) 1000 m.

30º Imagina que estás situado sobre un puente de una autovía recta. Divisas dos coches que

circulan en sentido contrario y con velocidades de 90 km/h y 110 km/h. A los 35 s se

cruzan debajo del puente en el que estás. ¿A que distancia estaban al principio?

Sol: 1944.6 m.

31º Un testigo que está en la calle ha visto llegar al suelo una maceta (Que ha caído desde

la ventana de una casa) y ha podido casualmente medir su velocidad de llegada 20.3

m/s mediante una cámara de video. El juez exculpa al vecino del tercer piso al que

habían acusado de imprudencia. ¿En qué se basó? Suponer que hay una altura de 3.5

metros entre piso y piso.

Sol: Una maceta no puede llegar al suelo con esa velocidad desde esa altura.

32º Un coche lleva una velocidad de 70 km/h, frena y para en 8 s. ¿Con qué aceleración

frena? ¿Qué espacio recorre has pararse? Sol: –2.43 m/s2; 77.44 m.

33º Un coche viaja de noche a 72 km/h y de repente encuentra un camión estacionado a

30 m de distancia. Frena con la máxima aceleración negativa de 5 m/s2. Calcular:

a) El tiempo que tarda en detenerse.

b) ¿Choca contra el camión?

Sol: a) 4 s; b) si.


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5

34º Un gamberro ha robado el bolso de una señora. Cuándo el gamberro esta a 20 m de la

señora, un policía que se encontraba despistado justo al lado de la pobre mujer sale en

persecución del caco, si el policía corre a 12 km/h y el gamberro a 10 km/h, ¿Cuánto

tiempo tardará en alcanzarle? Sol: 36 s.

35º En un cruce existe una limitación de velocidad a 40 km/h. Un coche pasa por él a una

velocidad de 72 km/h, que mantiene constante. En ese momento arranca una moto de

la policía en la misma dirección y sentido, alcanzando una velocidad de 108 km/h en

10 s y manteniendo constante esta velocidad. ¿Cuánto tarda la moto en alcanzar al

coche? ¿a que distancia lo alcanza respecto al punto de donde salió? A los 100 m de

alcanzarse se detienen ambos vehículos, ¿cuál ha sido la aceleración de cada uno?

Sol: 15 s y 500 m; automóvil frena con –2 m/s2 y motocicleta con –4.5 m/s

2.

36º Un coche circula a 54 km/h cuando está a 55 m de un semáforo, en este momento frena

porque el semáforo se ha puesto rojo. Si el conductor tarda en comenzar a frenar en 1 s,

¿qué aceleración de frenado debe emplear para pararse? Sol: –2.8 m/s.

37º Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con velocidad v0 = 100 m/s. Medio

segundo después, con la misma arma, se dispara un segundo proyectil en la misma

dirección y con idéntica velocidad. Determinar:

a) La altura a la que se encuentran ambos proyectiles.

b) La velocidad de cada uno al encontrarse.

c) El tiempo transcurrido desde el primer disparo hasta el choque.

Se desprecian los rozamientos. Sol: a) 510 m; b) –2.41 m/s, 2.49 m/s. c) 10.25 s

38º Un automóvil alcanza en línea recta los 100 km/h en 5 s partiendo del reposo.

a) ¿Qué aceleración media ha tenido?

b) ¿Cuánto vale la velocidad media?

c) ¿Qué velocidad tiene a los 2 s de iniciado el movimiento?

d) ¿Qué distancia ha recorrido en ese tiempo?

Sol: a) 5.55 m/s2; b) 13.88 m/s

2; c) 11.1 m/s; d) 69.4 m

39º Una persona observa un objeto que pasa frente a una ventana de 1.5 m, primero de

subida y luego de bajada. Si el tiempo total que ve el objeto es de 0.2 s, hallar a que

altura sube sobre la ventana. Sol: 10.51 m.

40º Un cohete se dispara verticalmente y sube con aceleración de 20 m/s2 durante un

minuto. en ese instante se acaba el combustible y sigue moviéndose como partícula

libre. Calcular:


b) El tiempo que está el cohete en el aire.

Sol: a) 109.5 km; b) 331 s.

41º Un globo se eleva verticalmente con velocidad de 5 m/s y abandona un peso en el

instante en que el globo está a 20 m del suelo. Calcular:

a) La posición y la velocidad del peso al cabo de 1 s de soltar la masa.

b) El tiempo que tarda en llegar al suelo.

c) La velocidad del peso cuando llega al suelo.

Sol: a) 20 m, –4.81 m/s; b) 2.6 s; c) –20.4 m.


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6

42º Un móvil que comienza en línea recta y desde el origen de coordenadas tiene por

ecuación de velocidad:

m/s540)( ttv −=

Determine, en unidades del SI:

a) La velocidad cuando se empieza a cronometrar.

b) El tiempo en que la velocidad es cero.

c) La ecuación de la posición si el móvil inicia su movimiento desde x0 = 0 m.

d) ¿En que instantes el móvil pasa por el origen del sistema de referencia?

e) La velocidad, el desplazamiento y el espacio recorrido en 16 s.

Sol: a) 40 m/s; b) 8 s; c) 2( ) 40 2.5r t t t= − m; d) 0 s y 16 s; e) – 40 m/s, 0 m, 320 m.

43º Cupido lanza una flecha que incide sobre San Valentín produciendo un grito de dolor.

Si Cupido oye este grito exactamente un segundo después de disparar su flecha y la

velocidad media de la flecha es de 40 m/s, ¿qué distancia les separa? Dato: Velocidad

del sonido 340 m/s. Sol: 35.8 m

44º Determinar la profundidad de un pozo seco, cuando al dejar caer una piedra se oye el

golpe de esta con el suelo al cabo de 1 s. Velocidad del sonido 340 m/s. Sol: 4.86 m

45º Desde el borde de una sima se deja caer una piedra con el fin de medir la profundidad.

Desde que se suelta hasta que se oye el impacto con el suelo pasan 4 s. Sabiendo que la

velocidad del sonido es 330 m/s, determina dicha profundidad. Sol: 71.6 m.

46º Se cae una piedra en un pozo tardando 3.5 s en percibirse el sonido del impacto con el

fondo. Calcula su profundidad. Dato: Velocidad del sonido 340 m/s. Sol: 54.6 m.

47º Desde un precipicio se lanza verticalmente hacia abajo una piedra, con una velocidad

de 5 m/s. El sonido (vs = 340 m/s) de la piedra al chocar con el suelo se oye a los 6.5 s

de soltarla. ¿Desde que altura se lanzó? Sol: 200.4 m.

48º Un ciclista circula a 20 km/h por una carretera recta. Se cruza con otro, en la misma

dirección y sentido contrario, que circula a 10 km/h. Indica la velocidad relativa entre

ambos. Sol: 30 km/h.

49º El tiempo de detención se define como la suma del tiempo de reacción de un

conductor más el tiempo de frenado de su vehículo. Un coche marcha a 70 km/h y

debe parar en 60 m. Si el tiempo de reacción del conductor es de 1.5 s, ¿cuál será la

aceleración de frenado? Sol: –6.13 m/s2.

50º Un coche que va a 120 km/h recorre, antes de parar uniformemente sobre una

carretera seca, un mínimo de 112 m. Suponiendo que el tiempo de respuesta del

conductor es de 0.3 s, calcula:

a) La aceleración de frenado del coche.

b) El tiempo total que el coche tarda en detenerse.

Sol: a) –5.4 m/s2; b) 6.5 s.

51º En la propaganda de un coche se indica que tarda 5.5 s en alcanzar los 100 km/h.

Calcula la aceleración del coche y el espacio que recorre en ese tiempo.

Sol: 5.05 m/s2; 76.38 m.


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7

52º En el instante en que un semáforo cambia a luz verde, un automóvil arranca con una

aceleración constante de 2.2 m/s2. En ese momento un camión, que viaja a una

velocidad constante de 9.5 m/s, pasa al automóvil. Calcula:

a) ¿A que distancia del semáforo el automóvil alcanza al camión?

b) ¿Qué velocidad leva el automóvil en ese instante?

Sol: a) 82 m; b) 19 m/s.

53º En la piscina, un chico se deja caer desde un trampolín y llega al agua con una

velocidad de 7.7 m/s.

a) ¿A que altura estaba el trampolín?

b) Al llegar al agua, tarda 1.8 s en perder toda la velocidad. Calcula la

aceleración que ha soportado al entrar en el agua.

Sol: a) 3 m; b) –4.3 m/s2.

54º Expresa en una ecuación de velocidad y de posición el siguiente movimiento: un

móvil que marcha a la velocidad de 7 m/s aumenta su velocidad a razón de 2 m/s y

parte inicialmente a 20 m de nuestra posición. Sol: 2( ) 20 7r t t t= + + y ( ) 7 2v t t= + .

55º Calcula la velocidad inicial de una motocicleta que frena con una aceleración constante

de 8 m/s2, sabiendo que se para a los 3 s de iniciar la frenada. Sol: 24 m/s.

56º En la ecuación de velocidad:

( ) 15 3v t t= − m

Indica el significado de 15 y el de –3.

Sol: 15 representa velocidad inicial y –3 es una aceleración de frenado.

57º Una chica va en bicicleta a una velocidad de 15 km/h, en un momento dado y a 10 m

de ella, se le cruza un niño detrás de una pelota. Calcula:

a) ¿Con qué aceleración debe frenar?

b) ¿Qué tiempo tarda en parar?

c) Escribe la ecuación de la posición respecto de un sistema de referencia cuyo

origen se encuentra en el niño.

Sol: a) 0.87 m/s2; b) 4.8 s; c)

2( ) 10 4.2 0.435r t t t= − + − .

58º Alicia ve el autobús que debe tomar en la parada y sale corriendo para subir a él a 6

m/s. Cuando se encuentra a 10 m del autobús, este arranca con una aceleración

uniforme de 0.5 m/s2. Calcula el tiempo que Alicia tardará en alcanzarlo. Sol: 1.8 s.

59º Un conductor viaja en un vehículo a una velocidad de 54 km/h. El coche que circula

delante se detiene de repente y el conductor tarda 2 s en reaccionar y pisar el freno. A

partir de ese momento, su coche para en 3 s. Halla la aceleración de frenado del

vehículo y la distancia de seguridad que debería llevar para no chocar con el de

delante. Sol: –5 m/s; 52.5 m.

60º Durante una tormenta se ve un relámpago y poco después se oye un trueno. Calcula la

distancia a la que nos encontramos de la zona donde cayó un relámpago si oímos el

trueno a los 30 s. Datos: velocidad del sonido 340 m/s. Sol: 10200 m.

61º Una chica situada entre dos montañas emite un sonido y oye ecos del mismos al cabo

de 4 y 5.5 s. Cual es la distancia entre las dos montañas. Sol: 935 m.


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8

Ejercicios de cinemática en dos dimensiones (1º de Bachillerato): 1º Una persona recorre 30 m hacia el norte en 30 s, después recorre 40 m hacia el este en

35 s y por último recorre 60 m hacia el sur en 50 s. Determina el desplazamiento total.

Sol: 40 m este y 30 m sur.

2º El vector de posición de una partícula viene dado por la ecuación vectorial en función

del tiempo:

( ) (4 , 2 ) mr t t t= +

Halla la posición del móvil en los tiempos 0, 2, 4 y 5 s.

Sol: (0) (0, 2) mr = ; (2) (8, 4) mr = ; (4) (16, 6) mr = ; (5) (20, 7) mr = .

3º La posición de una partícula viene dada por la ecuación:

( ) (5 , 2 , 0) mr t t t= −

Halla el desplazamiento entre 3 y 4 s. Sol: ( 1, 2, 0) mr∆ = − .

4º Un perro se lanza a cruzar un río. Su vector de posición en función del tiempo,

expresado en unidades del SI, viene dado por:

m)5,2()( tttr =

Calcula:

a) Los vectores de posición para t = 1 s y t = 3 s.

b) El desplazamiento en ese intervalo.

c) La velocidad media en ese intervalo y su módulo.

d) La velocidad instantánea a los 3 s y su módulo.

e) La ecuación de la trayectoria.

Sol: a) m)5,2()1( =r , m)15,6()( =tr ; b) m)10,2(=∆r ; c) ( ) m/s5,2=mv ;

m/s4.5== mm vv ; d) m/s)5,2()3( =v ; e) 2/5xy = .

5º Una pelota choca contra una pared con una velocidad m/s)1,73.1(0 −−=v y sale

despedida con una velocidad de m/s)8.0,39.1( −=fv . Si la duración del choque ha

sido de 0.1 s y se desprecia el efecto de la gravedad, halla:

a) La variación de la velocidad en el choque.

b) El módulo de la aceleración de la bola durante el choque.

Sol: a) m/s)2.0,12.3(=∆v ; b) 2m/s)2,2.31(=ma ; 2m/s26.31=ma .

6º Una partícula describe una parábola cuyas ecuaciones paramétricas son:

( ) 200x t t= 2( ) 100 5y t t= −

Determina:

a) La ecuación de la trayectoria.

b) El vector de posición en función del tiempo.

c) El vector velocidad en función del tiempo y su módulo.

d) El vector aceleración.

e) El radio de curvatura de la trayectoria en el instante t = 1 s.

Sol: a) 2100 / 8000y x= − ; b) ( )2( ) 200 ,100 5r t t t= − ; c) ( )200, 10v t= − ;

d) 4010 m.


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9

7º El vector de posición de un móvil en función del tiempo es:

( )2( ) 2 , mr t t t= −

Determina:

a) El desplazamiento efectuado por el móvil entre los instantes t = 1 s y t = 3 s.

b) La velocidad instantánea a los 3 segundos.

c) La aceleración en cualquier instante.

Sol: a) ( )4, 8 mr∆ = − ; b) ( )2, 6 m/sv = − ; c) ( ) 20, 2 m/sa = − .

8º Una jugadora de balonvolea golpea el balón de forma que la ecuación del movimiento

de este es: 2( ) (7 ,1 7 5 )r t t t t= + − m

Calcula:

a) Los vectores de posición en los instantes t = 0 y t = 1 s.

b) El vector de desplazamiento en el primer segundo.

c) La velocidad media en ese intervalo de tiempo y su módulo.

d) La velocidad en el instante t = 1 s y su módulo.

Sol: a) (0) (0,1)r = m, (1) (7, 3)r = m; b) (7, 2)r∆ = m;

c) m (7, 2)v = m/s, m 7.3 m/sv = ; d) (1) (7, 3)v = − m/s, (1) 7.6 m/sv = .

9º La posición de una partícula en el plano viene dada por la ecuación vectorial: 2( ) ( 6, 3)r t t t= − + m

Calcula:

a) La posición de la partícula para t = 2 s y t = 3 s.

b) La velocidad media en ese intervalo.

c) La velocidad instantánea para t = 2 s y su módulo.

Sol: a) (2) ( 2, 5)r = − m, (3) (3, 6)r = m; b) m (5,1)v = m/s;

c) (2) (4, 1)v = m/s, (2) 4.1 m/sv = .

10º La ecuación del movimiento de un móvil, expresadas las magnitudes en el SI, es: 2( ) (4 7,1.5 14)r t t t= − + m

Calcula:

a) La velocidad y su módulo en cualquier instante.

b) La aceleración y su módulo.

c) Las componentes intrínsecas de la aceleración en t = 1 s.

Sol: a) ( ) (4, 3 )v t t= m/s, 2( ) 16 9v t t= + m/s; b) ( ) (0, 3)a t = m/s2,

( ) 3a t = m/s2 ; c) at = 1.8 m/s

2, ac = 2.4 m/s

2.

11º El vector de posición de un barco que cruza un canal de 400 m de anchura es:

( ) (2 , 3 )r t t t= km

El tiempo t está medido en horas y las distancias, en km. Calcula:

a) El tiempo que tarda el barco en cruzar el canal.

b) Las coordenadas de los puntos de salida y llegada.

Sol: a) 0.2 h; b) (0.4, 0.6) km.


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10

12º Calcula la aceleración que lleva un móvil cuya ecuación de velocidad, en unidades

internacionales, es:

( ) (2 2, 4)v t t= + − m/s

Sol: ( ) (2, 0)a t = m/s2.

13º El vector de posición de un barco que cruza un puerto de 1.6 km de anchura es:

( ) (2 , 0.5 0.5)r t t t= − km

El tiempo t está medio en horas. El viaje comienza cuando el reloj del puerto marca

las 12 h y 15 min y termina cuando x = 1.6 km. Calcula las coordenadas de los puntos

de salida y llegada. ¿A qué hora llegó el barco? Sol: 13 h y 3 min.

14º Un proyectil se lanza con una velocidad de 200 m/s formando un ángulo de 30º con la

horizontal. Calcule a los 8 s de su lanzamiento:

a) El vector velocidad y el ángulo que forma ésta con el eje vertical.

b) El vector de posición.

Sol: a) ( )173, 20 m/sv = , 83.4º; b) ( )1384, 480 mr =

15º En un duelo del lejano Oeste un pistolero dispara horizontalmente una bala con

velocidad de 200 m/s desde una altura de 1.25 m. Calcular la distancia mínima entre

los adversarios, para que la presunta víctima no sea alcanzada. Sol: 101 m.

16º Desde una altura de 10 m sobre el suelo, se lanza horizontalmente un objeto con

velocidad de 20 m/s. Determinar:

a) La distancia a la que toca el suelo, medida desde el punto de lanzamiento.

b) El ángulo que forma la trayectoria con el suelo en el momento del impacto.

c) El vector unitario tangente a la trayectoria en el punto en que toca el suelo.

Sol: a) 28.3 m; b) 35.2º; c) (0.82, –0.58).

17º Un avión que vuela a 800 m deja caer una bomba 1000 m antes de sobrevolar el

objetivo y hacer blanco en él. ¿Qué velocidad tiene el avión? Sol: 79.4 m/s.

18º Se lanza una pelota con velocidad v de componentes: vx = 20 m/s y vy = 16 m/s.

Calcular:

a) El tiempo que está subiendo.

b) La altura que alcanza.

c) La distancia a que se debe encontrar otro jugador de la misma talla para

devolver la pelota.

Sol: a) 1.6 s; b) 13 m; c) 65 m.

19º Se dispara un proyectil con velocidad horizontal de 20 m/s desde lo alto de un

acantilado de 100 m de altura. Calcular su alcance máximo. Sol: 89.44 m

20º Con velocidad de 200 m/s y ángulo de lanzamiento de 37º se lanza un proyectil. Se

pide:

a) El alcance máximo que alcanza en la horizontal.

b) Si en la mitad de su camino existe una colina de 800 m de altura, ¿choca con

ella?

Sol: a) 3840 m; b) 724.4 m.


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11

21º El famoso cañón Berta (de la 1ª Guerra Mundial) tenía un alcance máximo (ángulo de

45º) de 100 km. Despreciando la resistencia del aire, calcular:

a) La velocidad del proyectil al salir por la boca del cañón.

b) La altura máxima del proyectil en tiro vertical.

Sol: a) 990 m/s; b) 50 km.

22º Un cañón se ajusta con un ángulo de tiro de 45º. Dispara una bala con una velocidad

de 300 m/s.

a) ¿A que altura llegará la bala?

b) ¿Cuánto tiempo estará en el aire?

c) ¿Cuál es el alcance horizontal?

Sol: a) 2250 m; b) 42.4 s; c) 9000.

23º Un avión de bombardeo baja en picado a una velocidad de 700 km/h, formando un

ángulo de 45º con la horizontal. Cuando está a una altura de 400 m sobre el suelo

suelta una bomba. Calcular:

a) El tiempo que tarda en llegar al suelo.

b) La velocidad con que llega.

c) Distancia horizontal recorrida desde el instante de lanzamiento.

Sol: a) 2.66 s; b) 214 m/s; c) 366 m.

24º Un avión en vuelo horizontal a la altura de 300 m y velocidad 72 m/s desea batir un

barco que se desplaza a 24 m/s en la misma dirección y sentido que el avión.

Determinar a que distancia, desde la vertical del avión, debe soltar la bomba para

lograr el impacto. ¿cuál sería esa distancia si el barco se moviera en sentido contrario

hacia el avión? Sol: 376 m en el mismo sentido y 751 m en el contrario.

25º Un astronauta que está en un planeta extraño descubre que puede saltar una distancia

horizontal máxima de 30 m, si su velocidad inicial es de 9 m/s. ¿Cuál es la aceleración

de la gravedad en este planeta? Sol: 2.7 m/s2.

26º Se dispara un proyectil de tal manera que su alcance horizontal es igual al triple de su

altura máxima. ¿Cuál es el ángulo de lanzamiento? Sol: 53.1º.

27º Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 400 m/s. se quiere dar en un

blanco situado a 2000 m de distancia del cañón y a una altitud de 500 m respecto de la

posición del mismo. ¿Con qué ángulo de elevación se debe efectuar el disparo? Sol:

18.19º

28º Dos coches salen a la vez de un cruce de calles rectas y perpendiculares entre sí, con

velocidades constantes de 82 km/h y 70 km/h, respectivamente. ¿Qué marcará el

cronómetro cuando la distancia entre los dos coches sea de 40 m? Sol: 1.34 s.

29º Una jugadora de golf lanza la pelota con una velocidad de 30 m/s, formando un

ángulo de 40º con la horizontal. Calcula:

a) El tiempo que tarda en llegar al suelo la pelota.

b) La altura máxima alcanzada.

c) El valor de la velocidad con la que la pelota toca el suelo.

Sol: a) 3.93 s; b) 19 m; c) 30 m/s.


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12

30º Un astronauta impulsa en la Luna una pelota de golf con una velocidad de 30 m/s. Si

la velocidad forma con la horizontal un ángulo de 45º. Calcula el tiempo que tarda en

caer y el alcance máximo. Dato: Gravedad lunar 1.63 m/s2. Sol: 549 m.

31º Desde lo alto de un acantilado de 50 m sobre el mar se lanza con una velocidad de 15

m/s, formando un ángulo de 60º con la horizontal.

a) ¿Qué tiempo tarda la piedra en llegar al agua?

b) ¿A qué distancia llega la piedra?

Sol: a) 4.8 s; b) 36 m.

32º Un antenista está trabajando en el tejado de un edificio que forma un ángulo de 30º

con la horizontal. Se le cae un martillo, que resbala y, al llegar al extremo del tejado,

queda en libertad con una velocidad de 10 m/s. La altura de edificio es de 60 m.

Calcula:


b) La distancia de la fachada a la que caerá el martillo.

c) El tiempo que tarda en llegar al suelo y la velocidad en ese momento.

Sol: a) 2 260 0.577 6.55·10y x x−= − − ; b) 26.2 m; d) 3.03 s.

33º Una avioneta vuela horizontalmente a 100 m de altura sobre el suelo. Si, cuando su

velocidad es de 180 km/h, deja caer un paquete, calcula, prescindiendo del rozamiento

con el aire:

a) La ecuación de la trayectoria del paquete.

b) El punto donde toca con el suelo (suponiendo que es horizontal).

c) El tiempo que tarda en caer.

d) La velocidad del paquete a los 2 s de la caída.

Sol: a)3 2100 1.96·10y x−= − ; b) (226, 0) m; c) 4.51 s; d) (50, –19.6) m/s, 53.7 m/s.

34º Se quiere cruzar un río de 70 m de ancho en una barca. La velocidad de la corriente es

de 2 m/s y la de la barca es de 5 m/s.

a) ¿Qué ángulo debe formar la dirección de la velocidad de la barca respecto a la

velocidad de la corriente del rio para llegar al punto de enfrente al punto de

partida?

b) ¿Qué tiempo tarda en llegar?

Sol: a) 113.6º; b) 15.3 s.

35º Un piragüista se dispone a cruzar un canal de 50 m de ancho, cuyas aguas se mueven

a 1 m/s. La piragua lleva una velocidad horizontal de 2.25 m/s y una dirección

perpendicular a la de las aguas del canal.

a) Calcula la velocidad total del piragüista.

b) ¿Qué tiempo tarda en cruzar el canal?

Sol: a) 2.46 m/s; b) 22.2 s.

36º Un avión que vuela con rumbo SN a una velocidad constante de 400 km/h se ve

sometido a un viento constante de dirección OE que sopla a 20 km/h. ¿Qué rumbo

tomará el avión? Sol: 87.14º respecto a la recta OE.


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13

37º Un remero a bordo de su piragua se dispone a cruzar un río de 240 m de ancho, cuyas

aguas se mueven a 6 m/s. El remero consigue que la piragua lleve una velocidad

constante de 8 m/s remando en dirección perpendicular a la de la corriente. Halla:

a) El tiempo que tarda en cruzar el río.

b) La velocidad resultante con que cruza el río.

c) El punto de la otra orilla en el que llega el remero, referido a la perpendicular

del punto de salida.

Sol: a) 30 s; b) 10 m/s; c) (180, 240) m.

38º Un chico y una chica se encuentran frente a frente en cada una de las orillas de un

canal de 3 m de ancho, como se muestra en la figura. La chica pone en marcha, sobre

el agua, una barca teledirigida que consigue mantener una velocidad constante de 0.5

m/s. Si la velocidad de la corriente del agua es de 0.25 m/s, calcula:

a) ¿En qué dirección, respecto a la perpendicular a las orillas del canal, debe ser

colocada la barca para que le llegue directamente a la mano al chico?

b) ¿Qué tiempo tarda la barca en cruzar el canal?

Sol: a) 30º; b) 6.9 s.

39º Una pelota rueda por un tejado inclinado de 30º respecto a la horizontal y, al llegar a

su extremo, a 30 m de altura, queda en libertad con una velocidad de 9 m/s.

a) Calcula la ecuación de la trayectoria.

b) Si la anchura de la calle a la que vierte el tejado es de 30 m, ¿llegará

directamente al suelo o chocará antes en la pared opuesta?

c) ¿Qué tiempo tarda en llegar al suelo?

d) ¿Cuál es la velocidad en ese momento?

Sol: a) 230 0.58 0.081y x x= − − ; b) 16.1 m; c) 2.05 s; d) 25.8 m/s.

40º Se realiza un lanzamiento oblicuo en la superficie de la Luna con una velocidad de 50

m/s que forma un ángulo de 20º con la horizontal. Calcula la altura máxima y la

distancia alcanzada Sol: 987 m.

41º Se lanza un objeto con una velocidad inicial tal que sus componentes son:

v0x = 60 m/s v0x = 80 m/s

Calcula:


b) El alcance máximo.

Sol: a) 325.9 m; b) 984 m.

42º Desde una altura de 10 m se lanza una piedra con velocidad v0 = 12 m/s formando un

ángulo de –20º con la horizontal. Calcula:


b) La posición de la piedra al segundo del lanzamiento.

c) El tiempo que tarda en impactar con el suelo.

d) El alcance máximo.

e) La velocidad en el momento de llegar al suelo.

Sol: a) 210 0.36 0.039y x x= − − ; b) (1) (11.3, 0.99)r = m; c) 1.07 s; d) 12.05 m;

e) 18.45 m/s.


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14

43º Un chico intenta lanzar una piedra por encima de un muro. El chico está a 6 m de la

valla y la altura de esta es de 3 m. Si se lanza con un ángulo de 60º, calcula la

velocidad con que debe impulsarla para pasar por encima del muro. Sol: 9.78 m/s.

44º Una jugadora de baloncesto situada a 8 m de la canasta se levanta y lanza el balón

desde una altura de 2.25 m con un ángulo de 45º sobre la horizontal.

a) ¿Con qué velocidad debe realizar el lanzamiento para encestar, si el aro está

situado en el punto (8, 3) m?

b) ¿Qué tiempo tarda el balón en llegar a la canasta?

Sol: a) 9.4 m/s; b) 1.2 s.

45º Un jardinero quiere regar la copa de un árbol situada a 5 m de altura. Para ello dirige

el agua, que sale a 15 m/s de la manguera, cuya boca está situada a 1 m del suelo, con

un ángulo de 60º. ¿A qué distancia de la vertical de la copa del árbol se debe situar?

Sol: 17.14 m.

46º Una lanzadora de jabalina realiza un lanzamiento oblicuo de 50º respecto a la

horizontal, a una altura, en el momento de soltar la jabalina, de 1.85 m. Si el tiempo

que tarda la jabalina en clavarse en el suelo es de 3.5 s, halla:

a) La velocidad con la que se realizó el lanzamiento.

b) El tiempo que se tarda en alcanzar la altura máxima.

c) La altura máxima que alcanza la jabalina.

Sol: a) 21.8 m/s; b) 1.7 s; c) 16 m.

47º En las fiestas de un pueblo, desde una carroza que se mueve con una velocidad

constante de 1.5 m/s, lanzan caramelos en la dirección y el sentido del movimiento, con

una velocidad de 10 m/s y un ángulo de 40º desde una altura de 3 m. Calcula, respecto

de un observador situado en el suelo de la calle:

a) La ecuación de la trayectoria de los caramelos.

b) El tiempo que tardan en llegar al suelo.

Sol: a) 23 0.696 0.058y x x= + − ; b) 1.7 s.

48º Un pastor lanza una piedra con una honda y alcanza un objetivo que está a 250 m en

la horizontal del lugar del lanzamiento. Si el ángulo de salida fue de 45º, calcula la

velocidad de lanzamiento. Halla también la altura máxima alcanzada y el tiempo de

vuelo. Sol: v0 = 49.5 m/s; tv = 7.2 s y hmax = 62.4 m.

49º En un salto, una pulga ha cubierto una distancia horizontal de 50 cm. Suponiendo que

haya efectuado el salto con la inclinación óptima para lograr la distancia máxima,

¿con qué velocidad impulsa su salto? Sol: 2.21 m/s.

50º Desde un avión, en vuelo horizontal a 150 m de altura, se suelta un paquete cuando

lleva una velocidad de 125 m/s.

a) ¿Qué tiempo tarda el paquete en llegar al suelo?

b) ¿Dónde cae, visto desde un observador en tierra?

c) ¿Dónde cae respecto al piloto del avión?

d) Calcula el vector velocidad del paquete a los 3 s de soltarlo.

Sol: a) 5.53 s; b) 690.9 m; c) Respecto al piloto cae en vertical; d) (125, –29.4) m/s.


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15

51º Se lanza horizontalmente una flecha con un arco desde 1.2 m sobre el suelo. La flecha

toca el suelo a 10 m. ¿Con qué velocidad ha salido si se supone nulo el rozamiento

con el aire? Sol: 20.2 m/s.

52º Indica a que altura debe volar un avión con velocidad 70 m/s si quiere dejar caer un

paquete que alcance una distancia máxima de 150 m. Sol: 22.5 m.

53º Desde una motocicleta que lleva una velocidad constante de 6 m/s, se cae un móvil

desde 1.3 m de altura. ¿Con qué velocidad llega al suelo? Sol: 7.9 m/s.

Formulas de la cinemática de rotación:

200 2

1tt αωθθ ++= tαωω +=

0 )(2

020

2 θθαωω −=− r

va

c

2

=

1 2T

f

πω

= = 1

2f

T

ωπ

= = r Rθ= v Rω= a Rα=

Movimiento circular uniforme (4º ESO y 1º de Bachillerato): 1º Calcular el periodo de rotación de la tierra sobre si misma expresado en segundos,

calcular su velocidad angular, y calcular su velocidad lineal si su radio es de 6370 km.

Sol: T = 86400 s, ω = 7.27·10–5

rad/s, v = 463.24 m/s.

2º Una persona está situada y quieta sobre el ecuador de terrestre. Sabiendo que en el

ecuador la persona gira con el ismo con una velocidad de 1667.7 km/h, ¿Qué

aceleración centrípeta tiene? Sol: 0.34 m/s2.

3º Un coche enra en una curva circular con una velocidad constante igual a 72 km/h.

Mientras está en la curva, la aceleración centrípeta sobre el coche es de 4 m/s2.

¿Cuanto vale el radio de la curva? Sol: 100 m.

4º Un planeta describe una orbita circular alrededor de una estrella, se sabe que tarda un

3 años en dar una vuelta completa. ¿Cuál es el periodo de dicho planeta? ¿Cuánto vale

la velocidad angular? ¿Cuánto vale la frecuencia?

Sol: T = 94608000 s, ω = 6.64·10–8

rad/s, f = 1.06·10 –8

s–1

.

5º Una rueda de 0.5 m de diámetro gira a razón de 30 rpm, ¿Cuál es su velocidad angular

y su velocidad lineal? ¿Cuál es su periodo? ¿Cuál es su frecuencia?

Sol: ω = 3.14 rad/s, v = 0.79 m/s, T = 2 s, f = 0.5 s–1

.

6º La rueda de un vehículo recorre un trayecto de 145 m en un minuto, si la rueda parte

del reposo y su radio es de 0.75 m, ¿Cuál es su velocidad angular al final del trayecto?

¿y su aceleración angular? ¿Cuantas vueltas ha dado?

Sol: ω = 6.42 rad/s, α = 0.107 rad/s2, 30.65 vueltas.

7º

La velocidad angular de un volante disminuye uniformemente de 900 a 800 vueltas

por minuto en 5 s. Calcular:

a) La aceleración angular del movimiento.

b) El número de vueltas que da en esos 5 s.

c) El tiempo que tarda en detenerse, a partir de ese instante.

Sol: a) α = –2.1 rad/s2; b) 70.8 vueltas; c) 40 s.

8º La distancia entre la Tierra y la Luna es 385000 km. La Luna tarda 28 días en dar la


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16

vuelta a la Tierra. Con estos datos, calcula:

a) La velocidad angular de la Luna.

b) Su velocidad lineal.

c) Su aceleración.

d) Su periodo y su frecuencia.

Sol: a) ω = 2.6·10–6

rad/s; b) v = 999.93 m/s; c) ac = 2.597·10–3

m/s2;

d) T = 2.42·106 s, f = 4.13·10

–7 s

–1.

9º

Una rueda de 1 metro de diámetro inicia su movimiento con una velocidad inicial de

30 m/s. La rueda se detiene al cabo de un minuto. Determinar:

a) La velocidad angular al iniciarse el movimiento.

b) La aceleración angular.

c) El numero de vueltas descritas hasta detenerse.

Sol: a) ω = 60 rad/s; b) α = 1 rad/s2; c) 286.5 vueltas.

10º La velocidad lineal de una rueda de radio desconocido es de 40 m/s y su frecuencia es

de 3.183 s-1

. Determinar el radio y la velocidad angular de esta rueda.

Sol: 2 m y 20 rad/s.

11º

El planeta Júpiter tiene un periodo de revolución de 9 horas y 50 minutos y un radio

de 71400 km. Calcula:

a) La velocidad angular del planeta

b) La velocidad lineal de un punto del ecuador

c) La aceleración normal de dicho punto.

Sol: a) 1.775·10–4

rad/s; b) 12673 m/s; c) 2.25 m/s2.

12º Calcula la aceleración centrípeta de un punto del aspa de un ventilador situado a 0.15

m del eje cuando gira a 1800 rpm. Sol: 5324.4 m/s.

13º Una rueda de 0.5 m de radio gira con una velocidad constante de 200 rpm. Calcula la

velocidad y la aceleración de un punto de la periferia. Sol: 10.5 m/s, 219 m/s2.

14º Dejamos en el borde de un disco de 20 cm de radio un céntimo de euro. La ecuación

que describe el recorrido tangencial de la moneda es:

0.5r t= m

Calcula:

a) La velocidad de la moneda.

b) La aceleración centrípeta de la moneda.

Sol: a) 0.5 m/s; b) 1.25 m/s2.

15º Un piloto de Fórmula 1 traza con su coche una curva circular de 100 m de radio a 234

km/h. Calcula la aceleración centrípeta que adquiere. Sol: 42.25 m/s2.

16º Un reloj analógico tiene tres agujas: la de las horas (0.7 cm), la de los minutos (1.1

cm) y la de los segundos (1.3 cm). Calcula:

a) La velocidad angular de cada aguja.

b) La velocidad lineal del extremo de cada aguja, en cm/s.

Sol: a) ωh = 1.45·10–4

rad/s, ωm = 1.75·10–3

rad/s, ωs = 0.1 rad/s;

b) ωh = 1.015·10–4

cm/s, ωm = 1.92·10–3

cm/s, ωs = 0.13 cm/s.


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17

17º Una lavadora cuyo tambor tiene un radio de 25 cm, centrifuga a 600 rpm. Halla:

a) La velocidad angular en rad/s.

b) La aceleración centrípeta de la ropa que se pega al tambor durante el

centrifugado.

Sol: a) 62.83 rad/s; b) 987 m/s2.

18º En una competición universitaria un lanzador de martillo ha alcanzado la distancia de

65.1 m. Suponiendo que la bola sale con un ángulo de 45º, calcula la velocidad de

lanzamiento y la aceleración centrípeta a que estaba sometida la bola en el momento de

ser lanzada, si el radio de la circunferencia descrita medía 1.15 m.

Sol: 25.3 m/s y 555 m/s2.


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1

Ejercicios de dinámica, fuerzas (4º de ESO/ 1º Bachillerato): 1º Calcular la masa de un cuerpo que al recibir una fuerza de 20 N adquiere una

aceleración de 5 m/s2. Sol: 4 kg.

2º Calcular la masa de un cuerpo que aumenta su velocidad en 1,8 km/h en cada segundo

cuando se le aplica una fuerza de 600N. Sol: 1200 kg.

3º Una fuerza tiene de módulo 4 N y forma un ángulo con el eje positivo x de 30º. Calcula

las componentes cartesianas. Sol: N)2,5.3(=F .

4º Dadas las fuerzas )8,3(1 −=F N y )5,4(2 −=F N. Calcula su suma y halla el módulo

de la suma. Sol: )3,1(S −−=F N.

5º El peso de un cuerpo en la Tierra es de 400 N. ¿Cuánto pesará ese cuerpo en la Tierra?

Datos: gluna = 1.63 m/s2. Sol: 2408 N.

6º Dos cuerpos de igual masa caen desde 1 km de altura al suelo lunar y al suelo terrestre,

respectivamente. Si no se tiene en cuenta el rozamiento en la atmósfera terrestre, ¿en qué

relación se encuentran las velocidades al llegar al suelo? ¿Influye en la masa?

Sol: vT = 2.45·vL. No influyen las masas.

7º El peso de un cuerpo en la Tierra, donde g = 9.81 m/s2, es 800 N. ¿Cuál es su masa y el

peso en la superficie de Júpiter? Dato: gJ = 25.1 m/s2. Sol: 81.5 kg, 2047 N.

8º Halla la fuerza necesaria para detener en 8 s con deceleración constante:

a) Un camión de 3000 kg que marcha a la velocidad de 80 km/h por una carretera

recta y horizontal.

b) Una pelota de 0.5 kg que va con una velocidad de las mismas características que

el camión del apartado anterior.

Sol: a) –8333 N; b) –1.4 N.

9º Un coche de 500 kg, que se mueve con velocidad constante de 120 km/h entra en una

curva circular de 80 m de radio.

a) ¿Qué tipo de aceleración lleva?

b) ¿Qué fuerza habrá que ejercer sobre el coche para que no se salga de la curva?

c) ¿Quién ejerce esta fuerza sobre el coche?

Sol: a) Centrípeta; b) 6931 N; c) El suelo mediante la fuerza de rozamiento.

10º A un cuerpo de 20 kg le aplicamos una fuerza de 98 N. Halla la aceleración del cuerpo.

¿Qué velocidad tendrá a los 5 s? Sol: 24.5 m/s2.

11º ¿Con qué fuerza hay que impulsar un cohete de 300 t, para que suba con aceleración de

11 m/s2? Sol: 6.24·10

6 N.

12º ¿Durante cuanto tiempo ha actuado una fuerza de 60 N inclinada 60º respecto a la

horizontal, sobre una masa de 40 kg situada en una superficie horizontal y sin

rozamiento, para que alcance una velocidad de10 m/s? Sol: 13.3 s.


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2

13º Un coche de 650 kg es capaz de adquirir una velocidad de 100 km/h en 8 s desde el

reposo. Calcula cuál será la fuerza total que actúa sobre él en la dirección del

movimiento para conseguir este resultado. Sol: 2256 N.

14º Un elevador de 2000 kg de masa, sube con una aceleración de 1 m/s2. ¿Cuál es la

tensión del cable que lo soporta? Sol: 22000 N

15º Una lámpara cuelga del techo de un ascensor que sube con una aceleración de 1.35 m/s2.

Si la tensión de la cuerda que sujeta la lámpara es de 72 N.

a) ¿Cuál es la masa de la lámpara?

b) ¿Cuál será la tensión de la cuerda si el ascensor subiera frenando con la misma

aceleración?

Sol: a) 6.5 kg; b) 54.9 N.

16º Se arrastra un cuerpo de 25 kg por una mesa horizontal, sin rozamiento, con una fuerza

de 70 N que forma un ángulo de 60º con la mesa.

a) ¿Con qué aceleración se mueve el cuerpo?

b) ¿Qué tiempo tardará en alcanzar una velocidad de 2 m/s, suponiendo que parte

del reposo?

Sol: a) 1.4 m/s2; b) 1.4 s.

17º Un vehículo de 800 kg asciende por una pendiente que forma un ángulo de 15º con la

horizontal, recorriendo 32 m sobre el plano en 5 s. Suponiendo despreciable el

rozamiento, calcular la aceleración del vehículo y la fuerza que ejerce el motor.

Sol: 2.56 m/s2 y 4077 N

18º Se arrastra un cuerpo de 8 kg por una mesa horizontal, sin rozamiento, con una fuerza de

32 N que forma un ángulo de 60º con la mesa.


b) Si en el instante de aplicar la fuerza se movía con una velocidad de 3 m/s, ¿qué

velocidad habrá alcanzado a los 5 s?

Sol: a) 2 m/s2; b) 13 m/s.

19º Se arrastra un cuerpo de 45 kg por una mesa horizontal por la acción de una fuerza de

170 N que forma un ángulo de 60º con la mesa. Si el coeficiente de rozamiento es 0.23,

calcular:


b) ¿Qué tiempo tardará en alcanzar una velocidad de 6 m/s, suponiendo que parte

del reposo?

Sol: a) 0.38 m/s2; b) 15.8 s.

20º Calcula el coeficiente de rozamiento cinético para que un cuerpo descienda por un plano

inclinado 45 a velocidad constante. Sol: 1.

21º Se arrastra un cuerpo de 36 kg por una mesa horizontal con una fuerza de 100 N

paralela a la mesa. Si el coeficiente de rozamiento es de 0.2, calcular:


b) ¿Qué tiempo tardará en alcanzar una velocidad de 1.3 m/s, suponiendo que parte

del reposo?

Sol: a) 0.81 m/s2; b) 1.6 s.


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3

22º Un cuerpo de masa m = 10 kg esta apoyado sobre una superficie horizontal sin

rozamiento. Una persona tira del bloque con una soga fija al bloque, en dirección

horizontal, con una fuerza de 20 N. Calcular la aceleración del bloque, suponiendo

despreciable la masa de la soga, y nulo el rozamiento con el suelo. Sol: 2 m/s2.

23º Dejamos caer una bola de 2 kg de masa y la Tierra la atrae con una fuerza (Peso de la

bola) de 19.62 N.

a) Con qué aceleración cae la bola.

b) Si la masa de la Tierra es de 5.97·1024

kg. ¿Qué aceleración adquiere la Tierra?

Sol: a) 9.81 m/s2; b) 3.29·10

–24 m/s

2.

24º Tenemos dos muelles de igual longitud, pero de constantes k1 = 20 N/m y k2 = 20 N/m,

respectivamente. ¿Qué fuerza hay que realizar para alargar cada uno 10 cm? Sol: 2 N.

25º Un muelle de constante k = 9 N/m se estira 3 m, ¿Calcular la fuerza a la que está

sometido el muelle? Sol: 27 N.

26º El resorte de un dinamómetro de laboratorio se ha alargado 11.7 cm a tope de escala,

que es 2 N. ¿Cuál es la constante del resorte con el que ha sido fabricado ese

dinamómetro? ¿Cuánto se alargará al aplicarle la fuerza de 0.4 N?

Sol: 17.1 N/m, 2.3 cm.

27º Un muelle de longitud 20 cm tiene una constante elástica de 6 N/m.

a) ¿Qué intensidad tiene una fuerza que produce un alargamiento igual a su

longitud inicial?

b) ¿A qué alargamiento da lugar una fuerza de 0.28 N?

c) ¿Qué longitud tendría el muelle del apartado anterior?

Sol: a) 1.2 N; b) 4.7 cm; c) 24.7 cm.

28º Un dinamómetro se alarga 4 cm a tope de escala, que es 1 N. ¿Cuál es su constante de

recuperación y cuanto marca si se alarga 2.5 cm? Sol: 25 N/m, 0.625 N.

29º Un muelle horizontal de longitud l0 se comprime aplicando una fuerza de 50 N, hasta

que su longitud es de 15 cm. Si le aplicamos una fuerza de 100 N, su longitud queda

reducida a 5 cm.

a) ¿Cuál es la longitud inicial del muelle?

b) ¿Cuánto vale su constante?

Sol: a) 0.25 cm; b) 500 N/m.

30º Un resorte de 30 cm se alarga 5 cm al aplicarle una fuerza de 2.5 N. Calcula la constante

y la longitud del resorte cuando se le aplica otra fuerza de 4 N. Sol: 50 N/m, 38 cm.

31º Que velocidad tendrá un tren, que partió del reposo, si sobre el actuó una fuerza de 104 N

durante 4 minutos. Su masa es 5·104 kg. Sol: 48 m/s.

32º Una bala de 50 g y velocidad 200 m/s penetra 10 cm en una pared. Suponiendo una

deceleración uniforme. Hallar:

a) El tiempo que tarda en penetrar la pared

b) La fuerza constante que le opone la pared.

Sol: 2·105 m·s

–2, 1·10

–3 s y 1·10

4 N.


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4

33º Un ciclista marcha a 15 km/h y choca de frente contra un vehículo aparcado. La

duración del choque es de 0.3 s. Si el ciclista más la bicicleta tienen una masa de 92 kg

¿Qué fuerza se ejerce durante el choque? ¿Hacia donde y con qué velocidad será

desplazado el ciclista? Sol: 1288 N, 15 km/h.

34º Una fuerza de 20 N actúa sobre un cuerpo de masa 5 g durante 10 s, el cual inicia su

movimiento desde el reposo. ¿Qué espacio recorrerá el cuerpo en ese tiempo? Tomar

gravedad 10 m/s2. Sol: 200 km.

35º Sobre una bala de 10 kg, introducida en un cañón, actúa la pólvora con una fuerza de

105 N. Hallar:

a) La aceleración.

b) El tiempo que tarda en recorrer los 2 m de longitud del cañón y la velocidad de

salida.

Sol: a) 10000 m·s–2

; b) 0.02 s y 200 m·s–1

.

36º Una pelota de 300 g llega perpendicularmente a la pared de un frontón con una

velocidad de 15 m/s y sale rebotada en la misma dirección a 10 m/s. Si la fuerza ejercida

por la pared sobre la pelota es de 150 N, calcula el tiempo de contacto entre la pelota y

la pared. Sol: 0.05 s.

37º Se quiere subir un cuerpo de 200 kg por un plano inclinado 30º con la horizontal. Si el

coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo y el plano es 0,5 calcular:

a) El valor de la fuerza de rozamiento.

b) La fuerza que debería aplicarse al cuerpo para que ascendiera por el plano a

velocidad constante.

Sol: a) 848.7 N; b) 1828.7 N

38º Si un automóvil describe una curva de 50 m de radio, ¿cuál debe ser el mínimo valor del

coeficiente de rozamiento por deslizamiento entre las ruedas y el suelo para que el

vehículo pueda tomar la curva a 90 km/h? Sol: 1.27.

39º Un camión de 13000 kg toma una curva de 200 m de radio a una velocidad de 50 km/h.

Suponiendo que no hay peralte, indicar la fuerza de rozamiento de las ruedas sobre el

asfalto para mantener el movimiento circular. ¿Qué valor tendrá la aceleración normal?

Sol: 12539 N y 0.96 m/s2.

40º Si un hombre de 60 kg se pesara en una pequeña báscula de baño, colocada sobre el

suelo de un ascensor que desciende con movimiento uniformemente acelerado de

aceleración 0.4 m/s2, ¿qué marcaría la báscula? Expresar el resultado en kp. ¿Cuál sería

la respuesta si el ascensor descendiera con una velocidad constante de 2m/s?

Sol: 57.55 kp; 60 kp.

41º Calcular la fuerza que ejerce sobre el suelo una persona de 90 kg que está en un

ascensor, en los siguientes casos:

a) sube con velocidad constante de 3 m·s–1

.

b) está parado.

c) baja con una aceleración constante de 1 m·s–2

.

d) baja con velocidad constante de 3 m·s–1

.

Sol: a) 882 N; b) 882 N; c) 792 N; d) 882 N.


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5

42º Damos una patada a un balón parado con una fuerza media de 500 N. El balón, después

de recibir el golpe, sale lanzado con un ángulo de 45º con la horizontal y vuelve a tocar

tierra a la distancia de 40 m. Calcula el tiempo que dura el golpe dado al balón, cuya

masa es de 0.42 kg. Desprecia en todo momento el rozamiento del aire. Sol: 1.66·10–2

s.

43º Arianne es el cohete espacial europeo. En el despegue, los dos motores propulsores

laterales producen una fuerza de 6713 kN cada uno. Si suponemos que la masa, 725 t, se

mantiene constante durante los 5 primeros segundos, calcula la velocidad que adquiere

el cohete en ese tiempo, expresada en km/h. Sol: 156.8 km/h.

44º Dos masas unidas por un hilo inextensible y sin peso cuelgan de los extremos de una

polea de masa despreciable. En ausencia de rozamientos y despreciando los efectos

debidos a la rotación de la polea, calcula la aceleración si las dos masas son de 2 y 5 kg,

respectivamente, así como la tensión de la cuerda.

Sol: 4.2 m/s–2

; 28 N.

45º Se ata una bola al extremo de una cuerda de 50 cm de longitud

y se hace girar en el aire con una velocidad de módulo

constante. Si la cuerda forma un ángulo α= 30º con la vertical,

calcula el módulo de la velocidad de la bola y el tiempo que

tarda en dar una vuelta completa. Sol: 20.8 m/s

46º Determinar la aceleración en los siguientes sistemas:

a)

b)

c)

d)

Sol: a) 2m/s0=a ; b) 2m/s6=a ; c) 2m/s625.0=a ; d) 2m/s0=a ;

47º Una masa de 300 g gira en un círculo horizontal de

60 cm sobre una mesa sin rozamiento a velocidad

constante de una vuelta por segundo. La masa está

unida mediante una cuerda que pasa por un pequeño

orificio de la mesa a otra masa m. ¿Cuál debe ser el

valor de m para que el sistema se mantenga en

equilibrio? Sol: 0.72 kg.


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6

48º Determinar cuanto se estiran los muelles de los dibujos:

a)

b)

Sol: a) m6/500=x ; b) m100=x

49º Sea el sistema del siguiente dibujo:

Las masas valen m1 = 50 kg, m2 = 75 kg y m3 = 100 kg y hay un coeficiente de

rozamiento entre la segunda masa y el cuerpo de valor 0.25. Calcula la aceleración del

sistema y las tensiones. Sol: a = 1.36 m/s2; T1 = 559 N y T2 = 845 N.

50º Dos bloques de masas m y m2 están conectados por una cuerda y sometidos

respectivamente a dos fuerzas, 1F y 2F ,opuestas con la misma dirección tal y como

indica el dibujo. Determinar la tensión de la cuerda.

Sol: 3/)2( 12 FFT +=

51º Calcule la aceleración en el siguiente sistema considerando que 1 3 5 7m m m m> > > .

Expresar el resultado en función de las masas y la gravedad. No hay rozamientos.

Sol: 1 3 5 7

1 2 3 4 5 6 7

m m m ma g

m m m m m m m

+ − −=

+ + + + + +


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7

52º Sobre un bloque B de masa M , que puede deslizar sobre el

plano de la figura, se apoya el bloque A de masa Mm < , que

puede deslizar a su vez sobre aquel.

Ambos cuerpos están unidos por un hilo inextensible, que pasa

por una polea fija sin rozamiento. Si µ es el coeficiente de

rozamiento entre todas las superficies, hallen:

a) El valor mínimo de α en función de M, m y µ

b) La relación que debe existir entre las masas de los dos

bloques para que el movimiento comience cuando

º45=α , si µ = 0.2.

Sol: a) tan ( 3 ) /( )M m M mα µ= + − ; b) mM 2= .

53º Dos bloques iguales, de masas 20kg cada uno, están unidos entre sí por una cuerda y se

mantienen sobre un plano inclinado (de ángulo 30º) y sin fricción sujetos por medio de

una segunda cuerda a una pared en la parte superior del plano. ¿Que tensión hay en cada

cuerda? Sol: 100 N y 200 N

54º Dos masas de 3 y 7 kg están unidas mediante una cuerda. Con otra cuerda se tira de la

masa de 7 kg en sentido vertical ascendente con una fuerza de 400 N ¿Qué aceleración

adquiere el sistema? ¿Qué tensión tiene la cuerda que une las dos masas?

Sol: 30.2 m/s2 y 280 N.

55º Tres cuerpos de masas iguales de 10 kg, unidos por cuerdas, son sometidos a una fuerza

de 25 N. Si no existe rozamiento, ¿cuál será la tensión de dichas cuerdas?

Sol: 16.7 N y 8.3 N.

56º Calcular la aceleración y las tensiones del sistema en función de los valores de las masas

y de la fuerza.

Resolver otra vez el problema considerando ahora que existe un coeficiente de

rozamiento µ común a todas las masas. Dato: Se supone que la fuerza consigue arrastrar

a las masas.

Sol: Sin rozamiento

4321

F

mmmma

+++=

4321

4321

)F(

mmmm

mmmT

+++

++=

4321

432

)F(

mmmm

mmT

+++

+=

4321

43

F

mmmm

mT

+++=

Con rozamiento lo único que cambia es la aceleración:

gmmmm

a µ−+++

=4321

F


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8

57º El cuerpo de la figura tiene una masa de 10 kg. Calcula el módulo de la aceleración

sabiendo que los módulos de las fuerzas son:

F1 = 50 N F2 = 75 N F3 = 20 N F4 = 100 N

Sol: 2.33 m/s

2.

58º El cuerpo de la figura tiene una masa de 10 kg. Calcula el módulo de la aceleración

sabiendo que los módulos de las fuerzas son:

F1 = 50 N F2 = 75 N F3 = 20 N F4 = 100 N.

Sol: 2 m/s

2.

59º Determinar las tensiones y masas desconocidas de los sistemas en equilibrio que se

representan a continuación:

a)

b)

c)

Sol: a) N60T1 = , N52T2 = , kg3.5=m ; b) N2.46T1 = , N2.46T2 = , kg71.4=m ;

c) N34TT 31 == , N9.58T2 = , kg46.3=m

60º Un cuerpo de 20 kg es abandonado encima de un plano inclinado 30°. Si el coeficiente

de rozamiento estático es 0,3 y el dinámico 0,2, investigar si se deslizará, y en caso

afirmativo, calcular la aceleración de bajada. Sol: Sí; 3.2 m/s2.

61º Se sitúa un cuerpo de 50 kg sobre un plano inclinado 30° ¿descenderá por dicho plano?.

Sobre el mismo cuerpo se aplica una fuerza, hacia arriba, paralela al plano, ¿qué valor

debe tener dicha fuerza para que suba con MRUA de 4 m en 4 s? Datos: Coeficiente de

rozamiento estático 0.40 y dinámico 0.25. Sol: Si: 163.91 N.

62º Una esfera de 200 kg se encuentra entre un plano inclinado y una pared.

Determinar el valor de las fuerzas de contacto que realiza la bolita sobre el

plano inclinado y la pared. Sol: Npared = 2000 N; Nplano = 2828.4 N.

Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836

Ejercicios de termodinámica (4º de ESO/1º de Bachillerato): 1º A una sartén de acero de 300 g de masa se le aumenta la energía interna en 200 J:

a) ¿Qué aumento de temperatura se produce? b) Si su temperatura inicial es de 25 ºC, ¿Cuál será la temperatura final?

Dato: Calor específico del acero 450 J/kg·K. Sol: a) 1.48 ºC; b) 26.48 ºC.

2º ¿Cuanto aumenta la energía interna de 500 g de agua si se aumenta su temperatura de 50 ºC a 60 ºC? Sol: 20900 J.

3º Un cubito de hielo de 30 g de masa se encuentra a –5 ºC. Calcula la energía que hay que comunicar para que se pase al estado líquido. Datos: Hielo Lf = 334.4 J/g. ce = 2.13 J/g·K. Sol: 10351.8 J.

4º Se pone en contacto 500 g de agua a 10 ºC con 500 g de hierro a 90º C. Calcula la temperatura a la que se produce el equilibrio térmico. Datos: Hierro ce = 0.489 J/g·K. Sol: 18.38 ºC.

5º Se quiere fundir 1 kg de hielo a 0 ºC echando agua a 60 ºC. ¿Qué cantidad de agua se necesita? Datos: Hielo Lf = 334.4 J/g. Sol: 1333.3 g.

6º ¿Qué energía desprenden al aire 10 g de vapor de agua que se condensan en una ventana? Datos: Vapor Le = 2257 J/g Sol: 22570 J

7º ¿Cuánto calor hay que transferir para fundir una barra de hierro de masa 10 kg que se encuentra a 0 ºC? Datos: Temperatura de fusión del hierro 1535 ºC, Lf = 25.080 J/g, ce = 0.489 J/g·K.Sol: 7756950 J

8º En un experimento se suministran 5820 J de energía en forma de calor y esto eleva la temperatura de un bloque de aluminio 30 ºC. Si la masa del bloque de aluminio es de 200 g, ¿cuál es el valor del calor específico del aluminio? Sol: 1.03 J/g·K.

9º A una mezcla formada por 30 g de agua y 60 g de alcohol (ce = 2.45 J/g·K) a 45 ºC le echamos 90 g de glicerina (ce = 2.43 J/g·K) a 10 ºC y esperamos hasta que alcance el equilibrio térmico. Calcula:

a) La temperatura final de la mezcla. b) La cantidad de calor cedido por cada una de las sustancias.

Sol: a) 29.41 ºC; b) El agua –1955 J, el alcohol –2292 J y 4247 J la glicerina.

10º Ponemos en contacto 1 kg de agua a 60 ºC con 200 g de hielo (Lf = 334.4 J/g. ce = 2.13 J/g·K) a –10 ºC. Calcula la temperatura final de la mezcla. Sol: 35.82 ºC.


11º Una esfera maciza de latón cuyo radio a 0 ºC es de 5 cm se calienta hasta los 150 ºC. Calcula su aumento de volumen sabiendo que el coeficiente de dilatación lineal del latón es 1.9·10–6 K–1. Sol: 0.099 cm3.

12º La longitud de una barra de hierro a 0 ºC es de 1 m. Calcula la longitud de la barra a 100 ºC si el coeficiente de dilatación lineal es 1.2·10–5 K–1. Sol: 1.0012 m

13º Una varilla de cobre (α = 1.8·10–5 K–1) tiene 1 m de longitud a 0 ºC. Establece a quetemperatura deberá calentarse para que su longitud sea de 1.02 m. Sol: 1111 ºC.

14º Un sistema termodinámico recibe una cantidad de calor de 100 cal y realiza un trabajo de 200 J. ¿Cuál fue la variación de energía interna del sistema? Sol: 218 J.

15º Un sistema termodinámico cede una cantidad de calor de 2000 J, realizándose un trabajo contra el sistema de 3000 J. ¿Cuál fue la variación de energía interna del sistema? Sol: 1000 J.

Motores térmicos y entropía: El rendimiento de un motor cualquiera se calcula como:

1 2

1 1

Q QWQ Q

η −= =

Siendo Q1 el calor transferido por un foco caliente a temperatura T1, Q2 el calor transferido a temperatura T2 y W el trabajo realizado por el motor. En los siguientes ejercicios supondremos (salvo que se diga lo contrario) que todos los motores son ideales y producen el rendimiento máximo posible descrito por el motor ideal de Carnot, que cumple la expresión de rendimiento:

1 2 1 2

1 1 1

Q Q T TWQ Q T

η − −= = =

Solo el motor de Carnot cumple esta igualdad con las temperaturas. Para los cálculos de entropías utilizaremos la expresión de la misma en procesos isotermos:

QST

∆ =

Un motor de Carnot no producirá cambios en la entropía del universo. Ejercicios de motores térmicos y entropía: 16º Disponemos de un motor que trabaja entre dos focos, del primero obtiene 32000 J

y cede al segundo 18000 J. Calcula el trabajo obtenido por dicho motor y su rendimiento. Sol: 14000, 43.75 %.

17º El rendimiento de un motor es del 40% y al foco frío que se encuentra a 300 K le cede 20000 J. Calcula:

a) La temperatura del foco caliente. b) La cantidad de energía que extrae del foco caliente. c) El trabajo que es capaz de realizar dicho motor. d) La entropía perdida o ganada por cada foco, así como la variación de

entropía del universo. Sol: a) 500 K; b) 33333 J; c) 13333 J; d) –66.7 J/K, +66.7 J/K y 0 J/K el universo.


18º El rendimiento de una máquina térmica es del 60%. Del foco caliente toma una cantidad de energía en forma de calor de 15400 J y desprende otra cantidad al foco frío que está a una temperatura de 200 K.

a) Calcula la cantidad de calor que cede al foco frío. b) Calcula el trabajo realizado por la máquina. c) ¿A que temperatura se encuentra el foco caliente? d) La entropía ganada o perdida por cada foco así como la variación de

entropía del universo. Sol: a) 6160 J; b) 9240 J; c) 500 K; d) – 30.8 J/K, 30.8 J/K y 0 J/K del universo.

19º Un motor no ideal obtiene 5000 J de un foco a 500 K de temperatura y transfiere 3000 J a un foco de 200 K de temperatura. Determinar:

a) El rendimiento del motor. b) El trabajo obtenido. c) El cambio de entropía en los focos y en el universo.

Sol: a) 40%; b) 2000 J; c) –10 J/K, 15 J/K y 5 J/K del universo.

Julián Moreno Mestre www.juliweb.es

1

Ejercicio de cálculos de trabajo: 1º Una bomba hidráulica llena un depósito de 500 L situado a 6 m de altura. ¿Qué trabajo

ha realizado? Sol: 2.94·105 J.

2º Determinar el trabajo realizado por una fuerza de 20 N, y con 60º sobre la horizontal, aplicada sobre un cuerpo que se desplaza horizontalmente unos 10 m. Sol: 100 J.

3º ¿Qué trabajo realiza una grúa para elevar un bloque de cemento de 800 kg desde el suelo hasta 15 m de altura? Sol: 117600 J.

4º Se arrastra por el suelo con velocidad constante un cajón de 50 kg. Calcula el trabajo que se realiza en un desplazamiento de 10 m si:

a) No existen rozamientos. b) El coeficiente de rozamiento es 0.4?

Sol: a) 0 J; b) 1960 J.

5º Se quiere subir un cubo de 1 kg de masa con 20 litros de agua desde los 15 metros de profundidad de un pozo. Calcular el trabajo que hay que realizar para subir el cubo hasta 1 m de altura por encima del suelo. Sol: 3360 J.

6º Un caballo tira de un carro con una fuerza de 5000 N con 30º sobre la horizontal. Si la masa del carro es 250 kg y no existen rozamientos. ¿Qué trabajo realizó durante 5 s? Sol: 9.37 J.

7º Un obrero tira de un bloque con una fuerza de 200 N y formando un ángulo de 30º con la horizontal. Calcula el trabajo si consigue arrastrar 20 m el bloque. Sol: 3464.1 J.

8º Se lanza un bloque de piedra de 10 kg por una rampa de 30º de inclinación con coeficiente de rozamiento µ = 0.1 alcanzado este unos 20 m de altura. Determinar el trabajo realizado por:

a) La fuerza de rozamiento. b) La fuerza de la gravedad. c) La fuerza tangencial.

Sol: a) – 346.4 J; b) –2000 J; c) –2000 J.

9º Un proyectil de 15 g sale por el cañón de un fusil de 75 cm de longitud con velocidad de 100 m/s. Responda:

a) ¿A qué aceleración estuvo sometido el proyectil dentro del cañón? b) ¿Qué fuerza actuó sobre él? c) ¿Qué trabajo realizó esa fuerza?

Sol: a) 6667 m/s2; b) 100 N; c) 75 J.

10º Una vagoneta de masa 200 kg sube ahora una pendiente elevándose verticalmente 2 m en 10 m de recorrido.

a) ¿Qué ángulo de inclinación tiene la rampa? b) ¿Qué fuerza hay que hacer para que suba la vagoneta a velocidad constante si

no existe rozamiento? c) Halla el trabajo que se desarrolla para subir la vagoneta.

Sol: a) 11.53º; b) 391.8 N; c) 3920 J.


2

11º Un cuerpo de 5 kg desliza por un plano horizontal con velocidad constante. El coeficiente de rozamiento del cuerpo contra el plano es 0.5. ¿Qué trabajo realiza la fuerza aplicada al cuerpo en un recorrido de 10 m? Sol: 245 J.

12º Se empuja horizontalmente una caja de 20 kg con una velocidad constante, recorriendo 8 m en una superficie horizontal, que representa un rozamiento al deslizamiento de coeficiente 0.25.

a) ¿Qué trabajo realiza la fuerza que aplica sobre la caja? b) ¿Cuál es el trabajo total sobre la caja?

Sol: a) 68.7 N; b) 550 J.

13º Una caja de 5 kg se deja en un plano de 60º. Determina el trabajo realizado por: a) La fuerza tangencial. b) La fuerza de rozamiento.

Coeficiente de rozamiento 0.35. Sol: WFt = 42.5 J; WFr = –17.2 J.

14º Una bola de 100 g unida al extremo de una cuerda de 60 cm de longitud gira en círculo sobre una mesa horizontal dando 1 rps. Debido al rozamiento, la bola reduce su velocidad a 0.5 rps en un minuto. Calcula el trabajo realizado en este tiempo por la tensión, el peso y la fuerza de rozamiento. Sol: 0, 0, 0.533 J.

15º Calcular el trabajo necesario para: a) Elevar un objeto de 20 kg hasta 20 m de altura. b) Para mover 100 m un bloque de 100 kg, por un suelo con coeficiente de

rozamiento 0.2 entre bloque y suelo. c) Para alargar 20m un muelle de k = 10 N/m. (Integrales)

Sol: a) 4000 J; b) 20000 J; c) 2000 J.

16º Determinar el trabajo producido por: a) Una fuerza ( )1, 2, 3 NF = sobre el desplazamiento (3, 2,1) mr∆ = .

b) Una fuerza ( )1,1, 2 NF = − − sobre el desplazamiento (1, 1,1) mr∆ = − . Sol: a) 10 J; b) –4 J.

17º (Solo bachillerato) Calcular el trabajo realizado por la fuerza ),,(),,( zyxzyxF = para las siguientes trayectorias:

a) ( ) ( , , )r t t t t= 0 1t≤ ≤ b) ( ) (cos , sin , 0)r t t t= 0 2t π≤ ≤ c) 2 3( ) ( , 3 , 2 )r t t t t= 1 1t− ≤ ≤

Sol: a) 3/2; b) 0; c) 24/7.

18º (Solo bachillerato) Una partícula se encuentra sometida a la fuerza: ( , , ) (3 6 , 14 , 20 )F x y z x y yz xy= + −

Calcular el trabajo realizado por dicha fuerza cuando la partícula se traslada desde el punto (0,0,0) al punto A(1,1,1) a lo largo de las trayectorias siguientes:

a) La curva 2 3( ) ( , , )r t t t t= b) A lo largo de la línea ( ) ( , , )r t t t t=

¿Es conservativo el campo de fuerzas? Sol: a) 8.1; b) 6.5; No es conservativo ya que el trabajo depende del camino.


3

Ejercicios de energía cinética: 1º ¿Que energía cinética tiene un coche de masa 1 t que se mueve a 90 km/h? Sol: 312.5 kJ.

2º Una bala de 15 g posee una velocidad de 1.2 km/s.

a) ¿Cuál es su energía cinética? b) Si la velocidad se reduce a la mitad, ¿cuál será su energía cinética? c) ¿Y si la velocidad se duplica?

Sol: a) 10800 J; b) 2700 J; d) 43200 J.

3º Determinar la energía cinética en julios de: a) Una pelota de béisbol de 0.145 kg que lleva una velocidad de 45 m/s. b) Un corredor de 60 kg que recorre 2 km en 9 minutos a un ritmo constante.

Sol: a) 146.8 J; b) 411.5 J.

4º Un corredor, con una masa de 55 kg, realiza una carrera la velocidad de 30 km/h, ¿cuál es su energía cinética? Sol: 1894 J.

5º Un motor de 1200 kg arranca y alcanza una velocidad de 108 km/h en 300 m. Calcula, en julios, el aumento de energía cinética y la fuerza total que actúa sobre la moto. Sol: 5.4·104 J y 1800 N.

6º Una partícula de 3 kg se mueve con velocidad de 5 m/s cuando x = 0 m. Esta partícula se encuentra sometida a una única fuerza que varía con x como se indica en el gráfico.

a) ¿Cuál es su energía cinética en x = 0 m? b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza cuando la

partícula se desplaza desde x = 0 m hasta x = 6 m? c) ¿Cuál es la velocidad de la partícula en x = 6 m?

¿Y en x = 3 m? Sol: a) 37.5 J; b) 40 J; c) 7.18 m/s, 5.9 m/s.

7º Una bala de 15 g que va a 450 m/s atraviesa un tablón de madera de 7 cm de espesor.

Suponiendo que el tablón opone una fuerza resistente de 1800 N. a) ¿Qué energía cinética tiene la bala antes de penetrar en el tablón? b) ¿Cuál es el trabajo resistente? c) ¿Con que velocidad sale la bala del tablón?

Sol: a) 1518.75 J; b) 126 J; c) 430.9 m/s.

8º Una caja de 5 kg se deja en un plano de 60º con coeficiente de rozamiento 0.35. Calcula la energía cinética a los 2 m de recorrido. Sol: Ec = 67.8 J.

9º Un alumno compite en una carrera con su amiga. Al principio ambos tienen la misma energía cinética, pero el alumno observa que su amiga le está venciendo. Incrementando la velocidad un 25 % el corre a la misma velocidad que ella. Si la masa del joven es de 85 kg, ¿Cuál es la masa de la muchacha? Sol: 54.4 kg.

10º ¿Qué trabajo realiza una grúa para elevar un bloque de cemento de 800 kg desde el suelo hasta 15 m de altura, sabiendo que el bloque se encuentra inicialmente en reposo y al final su velocidad es de 2 m/s? Sol: 119200 J.


4

Ejercicios de energía potencial: 1º Calcular la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de 2 kg situado en:

a) Una montaña de 1000 m de altura. b) Un pozo a 100 m de profundidad.

Sol: a) 19600 J; b) –1960 J.

2º Un hombre de 80 kg asciende por una escalera de 6 m de altura. ¿Cuál es el incremento de energía potencial? Sol: 4704 J.

3º Calcular el cambio de la energía potencial de un paracaidista de 75 kg que se tira desde una altura de 4 km hasta que abre su paracaídas a 1.5 km de altura. Sol: –1.84·106 J.

4º ¿A qué altura debe elevarse un cuerpo para incrementar su energía potencial en una cantidad igual a la energía que tendría si se moviese a 40 km/h? Sol: 6.3 m.

5º Se lanza un bloque de 500 gramos con velocidad de 4 m/s por una pista horizontal de 3 m de longitud con coeficiente de rozamiento 0.2 hasta un muelle de constante elástica 40 N/m. Si al llegar al resorte ya no hay rozamiento, determinar cuanto se comprimirá el resorte. Sol: 22 cm.

6º El motor eléctrico de un montacargas consume una energía de 175 kJ para elevar hasta una altura de 20 m una cabina cargada, cuya masa total es de 500 kg. Calcula la energía útil, la energía perdida y el rendimiento expresado en tanto por ciento. Sol: 100 kJ, 75 kJ, 57.14%.

7º Una bomba eleva 2000 litros de agua, por una tubería, hasta un depósito situado a 30 m de altura. Calcula la energía que consumirá el motor si el rendimiento de la instalación es el 60 %. Sol: 1000 kJ.

8º ¿Calcula la relación entre las energías potenciales elásticas de un muelle de constante 6·103 N/m cuando sus elongaciones son x1 = 2 cm y x2 = 8 cm? Sol: Ep(x1) = 16·Ep(x2).

9º ¿A qué altura debe elevarse un cuerpo para incrementar su energía potencial en una cantidad igual a la energía que tendría si se moviese a 40 km/h? Sol: 6.3 m.


5

Principio de conservación de la energía mecánica: 1º Un plano inclinado tiene 15 m de largo y 10 m de base. Un cuerpo de 800 g de masa

resbala desde arriba con una velocidad inicial 1.5 m/s. ¿Cuál es su energía cinética y su velocidad al final del plano? Sol: 88.55 J; 14.8 m/s.

2º Una caja de 10 kg de masa se desliza por un plano inclinado de 45º con la horizontal sin rozamiento. Halla le energía cinética cuando ha recorrido 4 m, si la velocidad inicial es de 5 m/s, y halla el trabajo realizado en el descenso. Sol: Ec = 402.5 J y W = 277.5 J.

3º Una lanzadera espacial de juguete consta de un resorte de constante 80 N/m. Su

longitud se reduce en 10 cm al montarla para el lanzamiento. Responda: a) ¿Qué energía potencial tiene el resorte en esa situación? b) Si toda la energía potencial elástica se transforma en cinética, ¿con qué

velocidad saldrá el cohete, cuya masa es de 5 g? c) ¿Qué altura alcanzaría un cohete de 20 g si convierte toda la energía cinética

en potencial? Sol: a) 0.4 J; b) 12.6 m; c) 2 m.

4º Un cuerpo de 1 kg se mueve con velocidad constante hacia arriba por una pendiente de 30º y 1 m de longitud, mediante una fuerza aplicada paralelamente al plano. El coeficiente de rozamiento es 0.3. Calcula:

a) ¿Qué trabajo se realiza para aumentar la energía potencial gravitatoria? b) ¿Qué trabajo se realiza contra la fuerza de rozamiento? c) ¿Con qué energía cinética llegará al suelo si el cuerpo se deja deslizar desde la

parte mas alta del plano? Sol: a) 4.9 J; b) 2.54 J; c) 2.36 J.

5º En la Luna (g = 1.63 N/kg) se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto de 400 g a una velocidad de 20 m/s. Determina:

a) La altura máxima alcanzada y la energía potencial en ese punto. b) Las energías potencial y cinética a los 50 m del suelo.

Sol: a) 123 m, 80 J; b) Ep =32.6 J, Em = 47.4 J.

6º Se lanza un bloque hacia la parte superior de un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal con una velocidad de 15 m/s. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento es igual a 0,4. Calcúlese:

a) La velocidad del bloque cuando vuelve al punto de partida. b) El tiempo que invierte en ascender y descender por el plano.

Sol: a) 6.39 m/s; b) 6.05 s.

7º Un bloque de 67 kg de masa es lanzado a una rampa de 30º de inclinación a la velocidad de 5 m/s. Si en el rozamiento se pierde el 10% de la energía, ¿qué espacio recorrerá en la rampa? Sol: 2.3 m.

8º Se empuja un coche con una fuerza de 1000 N, que le hace recorrer 10 m. Al final del recorrido lleva una velocidad de 3 m/s. Si la masa del coche es 600 kg. a) ¿Qué trabajo habéis realizado? b) ¿Qué energía cinética tiene el automóvil al final? c) ¿Cuál es la energía perdida? ¿En qué se ha transformado? Sol: a) 100 kJ; b) 5.4 kJ; c) 94.6 kJ, ha sido transferida en forma de calor.


6

9º Un montacargas eleva 200 kg de masa al ático de una vivienda de 60 m de altura. a) ¿Qué energía potencial adquiere dicho cuerpo? b) Sí ese cuerpo se cayese de nuevo a la calle y suponiendo que no hay

rozamiento con el aire, ¿Qué energía cinética tiene al llegar al suelo? c) ¿Que velocidad tendría al llegar al suelo Sol: a) 120 kJ; b) 120 kJ; c) 34.64 m/s.

10º Una vagoneta de 50 kg se mueve por una montaña. Inicialmente se encuentra en un punto A con velocidad 5 m/s y a una altura de 3 m, al cabo de un rato, se encuentra en un punto B con velocidad de 3.2 m/s y altura 2 m. Calcular:

a) La variación que experimenta la energía potencial y cinética, desde A hasta B. b) La variación de la energía mecánica. c) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.

Si a partir de B desaparece el rozamiento, cual sería la altura máxima que podría alcanzar la vagoneta. Sol: a) –500 J, –369 J; b) –869 J; c) –869 J; 2.51 m.

11º En una montaña rusa, la altura de uno de los picos es hA = 15 m y la del siguiente es de hB = 10 m. Cuando un vagón pasa por el primero, la velocidad que lleva es vA = 5 m/s. Si la masa del vagón más la de los pasajeros es de 500 kg, calcula:

a) La velocidad del vagón al pasar por el segundo pico en el caso de que no haya rozamientos.

b) Si la velocidad real con la que pasa por el segundo pico es vB = 8 m/s, ¿Cuánto vale el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento?

Sol: a) 11.1 m/s; b) –14775 J.

12º Se coloca una bolita de masa 0.25kg en lo alto de la rampa del siguiente dibujo:

La altura de la rampa es de 50 m, la bolita una vez superada la rampa, a unos pocos metros se encuentra con un looping circular de radio 10 m. Calcular la energía cinética, potencial y mecánica y en los puntos, A, B, C y D. En el punto C calcular la fuerza centrífuga de la pelota. Sol: 25 JpDE = ; 100 JcDE = ; 75 JcCE = ; 0 JcA pBE E= = ;

50 JpCE = ; 125 JpA cB mA mB mC mDE E E E E E= = = = = = .

13º Se lanza un bloque de 1 kg de hielo a la velocidad de 10 m/s por una rampa helada y de pendiente 30º de inclinación hacia arriba. Si el rozamiento es nulo, determina:

a) La energía mecánica. b) El espacio recorrido por el bloque antes de detenerse. c) Las energías potencial y cinética cuando ha recorrido 8 m.

Sol: a) 50 J; b) 10.2 m; c) Ec = 39.2 J, Ep = 10.8 J.

14º Un muelle, de constante elástica 50 N/m, se comprime una longitud de 5 cm. Al soltarlo empuja una bolita de 10 g de masa. ¿Con qué velocidad saldrá despedida? Sol: 3.54 m/s.


7

15º Situado sobre una mesa se encuentra un objeto de 2.5 kg sujeto a un muelle de constante 300 N/m. El muelle se estira 15 cm y se suelta. Si entre el objeto y la mesa existe un rozamiento de coeficiente 0.25, ¿qué velocidad lleva el objeto cuando pasa por la posición x = 0 cm? Sol: 1.29 m/s.

16º Un cuerpo de masa 1.4 kg se conecta a un muelle de constante elástica 15 N/m y el sistema oscila tal como se indica en la figura. La amplitud del movimiento es de 2 cm. Calcula:

a) La energía total del sistema. b) Las energías potencial elástica y cinética cuando el desplazamiento del cuerpo

es 1.3 cm respecto a la posición de equilibrio. c) La máxima velocidad del cuerpo.

Sol: a) 3·10–3 J; b) Ek = 1.27·10–3 J, Ec = 1.73·10–3 J; c) 0.065 m/s.

17º Un cuerpo que se desliza por una superficie horizontal tiene en un momento dado una velocidad de 10 m/s. Si la masa del cuerpo es de 2 kg y el coeficiente de rozamiento es 0.2, calcula:

a) La fuerza de rozamiento. b) El trabajo de esa fuerza. c) El espacio recorrido por el cuerpo hasta detenerse desde el momento indicado.

Sol: a) 3.92 N; b) –100 J; c) 25.5 m.

18º Se lanza verticalmente hacia arriba un objeto de 0.5 kg con una energía cinética de 25 J. Calcula:

a) La altura alcanzada si no hay rozamiento del aire. b) La energía potencial máxima. c) La energía potencial cuando la velocidad es 1/5 de la velocidad inicial.

Sol: a) 5.1 m; b) 25 J; c) 24 J.

19º Dos masas de 6 kg y 20 kg están sujetas por los extremos de una cuerda ligera que pasa por una polea sin rozamientos. La masa de 6 kg apoya directamente en el suelo y la de 20 kg está a 2 m sobre él. Si se deja el sistema en libertad, ¿con qué velocidad llegará al suelo la masa de 20 kg? Utilícese únicamente razonamientos energéticos. Sol: 4.6 m/s.

20º Una masa de 10 kg está sobre una mesa horizontal, con coeficiente de rozamiento 0.25, y está unida por medio de una cuerda ligera que pasa por una polea sin rozamiento a otra masa de 8 kg que cuelga verticalmente. Deducir la velocidad del conjunto cuando la masa de 8 kg desciende 4 m. Usar solo razonamientos energéticos. Sol: 4.9 m/s.

21º Un bloque de 50 kg sube una distancia de 6 m por la superficie de un plano inclinado 37º respecto a la horizontal, aplicándole una fuerza de 490 N paralela al plano. El coeficiente de rozamiento es 0.2. Calcular:

a) El trabajo realizado por la fuerza aplicada. b) El aumento de energía cinética del bloque. c) El aumento de energía potencial del bloque. d) El trabajo realizado contra la fuerza de rozamiento. ¿En qué se convierte ese

trabajo? Sol: 2940 J; b) 70.11 J; c) 1769.3 J; 469.6 J.


8

Problemas de potencia: 1º La fuerza A realiza un trabajo de 5 J en 10 s. La fuerza B realiza un trabajo de 3 J es 5 s.

¿Cuál de las dos fuerzas suministra mayor potencia? Sol: La fuerza B.

2º Determina la potencia de un motor de una escalera mecánica de unos grandes almacenes, si es capaz de elevar hasta una altura de 5 m a 60 personas en 1 minuto. Supón que la masa media de una persona es 60 kg. Sol: 3000 W.

3º ¿Qué potencia tiene una grúa que eleva un cargamento de 1000 kg de ladrillos a una altura de 20 m en medio minuto? Sol: 6533 W.

4º Un pequeño motor mueve un ascensor que eleva una carga de ladrillos de peso 800 N a una altura de 10 m en 20 s. ¿Cuál es la potencia media que debe suministrar el motor? Sol: 400 W.

5º Determina la energía consumida por una bombilla de 100 W cuando ha estado encendida dos horas. Sol: 720 kJ.

6º Hallar la potencia desarrollada por un hombre que arrastra un cuerpo de 100 kg a una velocidad de 1 m/s, ejerciendo una fuerza que forma un ángulo de 20º con la horizontal y sabiendo que el coeficiente de rozamiento es igual a 0.9. Sol. 882.9 W.

7º Una moto de 200 kg arranca y en 10 s alcanza una velocidad de 120 km/h. Calcula el aumento de energía cinética. Si, debido al rozamiento, se ha perdido el equivalente al 25% de la energía cinética, calcula la potencia media del vehículo. Sol: 1.11·105 J; 13.9 kW.

8º Un coche de 1700 kg es capaz de pasar de 0 a 100 km/h en 11 s. ¿Qué potencia media se necesita para ello? Expresa el resultado en caballos de vapor. Dato: 1 CV = 746 W. Sol: 81.12 CV.

9º La bomba hidráulica de un pozo tiene una potencia máxima de 10 kW. Si se quiere expulsar un caudal de 60 m3/h. ¿Hasta que altura puede expulsar ese caudal? Sol: 61.2 m.

10º Un piano de 200 kg es elevado en un montacargas de masa 1000 kg a una velocidad constante de 0.2 m/s. ¿Cuál es la potencia desarrollada por el motor del montacargas? Sol: 2548 W.

11º Calcula el trabajo realizado por una persona que arrastra un saco de 40 kg a lo largo de 20 m ejerciendo una fuerza de 80 N para luego levantarlo hasta un camión cuya plataforma está a 80 cm del suelo. El coeficiente de rozamiento con el suelo vale 0.2. ¿Cuál es la potencia promedio desarrollada si el proceso duró un minuto? Sol: 345.6 J; 576 W.

12º Una empresa eléctrica factura a razón de 0.09 € el kWh. ¿Cuánto nos costará mantener encendida una bombilla de 100 W durante 24 h? ¿En qué porcentaje reduciremos el coste si la sustituimos por una bombilla equivalente de 25 W de consumo? Sol: 0.22 €; se reduce en un 77.27 %.


9

13º Un motor de 16 CV eleva un montacargas de 500 kg a 50 m de altura en 25 s. Calcular:a) La potencia útil desarrollada. b) El rendimiento del motor.

Dato: 1 CV = 746 W. Sol: a) 9800 W; b) 83.2 %.

14º Un coche de 1500 kg arranca, y en 20 s adquiere la velocidad de 90 km/h. ¿Qué fuerza promedio hubo de hacer el motor?¿Cuál es su potencia? Sol: 1875 N, 46.9 kW.

15º Un coche de 1.5 t arranca en una carretera horizontal sobre la que hay un rozamiento constante de 125 N. Se observa que el coche alcanza una velocidad de 144 km/h en un recorrido de 1000 m. ¿Qué trabajo realizó el motor en ese recorrido?¿Cuál fue su potencia media? Sol: 1.325·106 J; 26.5 W.

16º Un motor de 16 CV eleva un montacargas de 500 kg a 50 m de altura tardando 25 s. ¿Cuál es su rendimiento? Dato: 1 CV = 746 W. Sol: 88.3 %.

17º Un motor de 30 CV eleva un montacargas de 1000 kg a 30 m de altura en 30 s. Calcula el rendimiento del motor. Sol: 44.44 %.

18º Un móvil de 1 t de masa lleva una velocidad constante de 108 km/h a lo largo de una carretera que presenta una pendiente del 2 % (entiéndase: 2 m de desnivel por cada 100 m recorridos). ¿Qué potencia desarrolla el motor? Sol: 5880 W.

19º Una fuerza constante de 15 N actúa durante 12 s sobre un cuerpo cuya masa es de 2.5 kg. El cuerpo tiene una velocidad inicial 1.5 m/s en la misma dirección y sentido de la fuerza. Calcula:

a) La energía cinética final. b) La potencia desarrollada.

Sol: a) 6752.8 J; b) 562.5 W. Ejercicios conservación de la cantidad de movimiento en una dimensión:

1º La ecuación del movimiento de un cuerpo de 2 kg, expresada en unidades internacionales, es:

223)( tttx += a) El momento lineal en los instantes t1 = 3 s y t2 = 5 s. b) La fuerza neta que actúa sobre él en ese intervalo de tiempo.

Sol: a) p(3) = 30 kg·m/s, p(5) = 46 kg·m/s; b) 8 N.

2º Cuando una bola de 200 g se mueve con una velocidad de 1 m/s, se le aplica una fuerza de 0.8 N durante 0.5 s en el mismo sentido que el desplazamiento. Calcula la aceleración y la variación del momento lineal. Sol: 4 m/s2 y 0.4 kg·m/s.

3º Un balón de baloncesto de 0.6 kg llega al suelo con una velocidad vertical de 4.5 m/s y comienza a subir con una velocidad, también vertical, de 4 m/s. Calcula:

a) El momento lineal antes del bote. b) El momento lineal después del bote. c) La variación del momento lineal de la pelota al botar en el suelo.

Sol: a) – 2.7 kg·m/s; b) 2.4 kg·m/s; c) 5.1 kg·m/s.

4º Un cuerpo de 1 kg cae desde 10 m de altura sin velocidad inicial. ¿Ha variado su momento lineal en el momento que toca el suelo? ¿En cuanto? Sol: 14 kg·m/s.


10

6º Una pelota de 100 g choca perpendicularmente contra un frontón cuando su velocidad es de 30 m/s, rebotando con la misma velocidad en un tiempo de 0.02 s. Calcula:

a) La variación del momento lineal. b) La fuerza media de la pelota contra el frontón.

Sol: a) 6 kg·m/s; b) 300 N.

7º Calcula la velocidad de retroceso de un cañón de una tonelada al disparar una granada de 10 kg con una velocidad de 500 m/s. Sol: –5.05 m/s.

8º Un cañón de 2 t dispara horizontalmente un proyectil de 12 kg con una velocidad de 225 m/s. Calcula la velocidad de retroceso del cañón y la variación de su momento lineal. Sol: 1.35 m/s, –2700 kg·m/s.

9º Un camión de 10 t avanza a una velocidad de 70 km/h y choca contra un coche de 1.8 t que está en reposo. Después del choque, el camión arrastra al coche en la misma dirección de su movimiento. ¿Con qué velocidad se mueven los dos vehículos tras el choque? Sol: 16.4 m/s.

10º Sobre un cuerpo de 10 kg de masa actúa una fuerza constante de 15 N en la dirección del movimiento. Si la velocidad inicial del cuerpo es de 3 m/s:

a) ¿Cuál será su velocidad al cabo de 5 s? b) ¿Cuánto valen sus momentos lineales inicial y final?

Sol: a) 10.5 m/s; b) 30 kg·m/s y 105 kg·m/s.

11º Un átomo de radio de número másico 224 UMA está en reposo, se desintegra espontáneamente emitiendo una partícula alfa (las partículas alfa son núcleos de helio de 4 UMA) con una velocidad de 105m/s. ¿Cuál es la velocidad y el sentido del movimiento que adquiere el núcleo residual? Sol: 1818.2 m/s.

12º Una persona de 80 kg se encuentra de pie sobre una superficie helada, pudiendo suponerse nulo el rozamiento. En cierto instante, lanza horizontalmente una pelota de 100 g con una velocidad de 25 m/s. Calcula la dirección y la velocidad con qué empezará a moverse esa persona. Sol: –31.25·10–2 m/s, dirección horizontal.

13º Un hombre de 70 kg sentado sobre una barquilla de 60 kg dispara su fusil de 3 kg. Si la velocidad de salida de la bala, que pesa 60 g es de 600 m/s, ¿con qué velocidad retrocede la barquilla? Sol: –0.27 m/s.

14º Hay futbolistas capaces de impulsar un balón parado hasta alcanzar la velocidad de 120 km/h. Si el balón de fútbol tiene una masa de 360 g y la patada tiene una duración de 6·10–3 s, determina la variación de la cantidad de movimiento del balón y la fuerza media durante la patada. Sol: 12 kg·m/s y 2000 N.

15º A un coche de juguete de 500 g de masa que se mueve con una velocidad de 0.5 m/s, se le impulsa en el sentido del movimiento durante 3 s aplicándole una fuerza constante de 3 N. Calcula:

a) El impulso comunicado. b) La variación de su momento lineal. c) La nueva velocidad del coche.

Sol: a) 9 N·s; b) 9 kg·m/s; c) 18.5 m/s.


11

16º Envisat es uno de los satélites lanzados por la Agencia Espacial Europea para estudiar el medioambiente a escala global. Para cambiar o modificar su órbita utiliza un sistema de expulsión de gases. El módulo de propulsión proporciona una velocidad de salida de gases de unos 3 km/s. Queremos incrementar la velocidad del Envisat (de masa 8 t) en 0.35 m/s, ¿cuánta masa de hidracina se necesitará? Sol: 0.93 kg.

17º Un satélite de 10 t, en reposo respecto a la Tierra, debe modificar su órbita. Para eso, dispone de propulsores que emiten 1 kg de gas cada segundo a 3.5 km/s. Halla:

a) El impulso del satélite en una ignición de 3 s. b) La velocidad con qué se moverá el satélite respecto a la Tierra al finalizar la

ignición. Sol: a) 10500 kg·m/s; b) –1.05 m/s.

18º Miguel se encuentra en un lago helado y realiza 20 disparos en 4 s con un fusil de fogueo. Si Miguel con su equipo tiene una masa de 80 kg y cada proyectil tiene una masa de 40 g, calcula, sabiendo que la velocidad de los proyectiles es de 400 m/s:

a) El impulso experimentado por Miguel. b) La velocidad con que es impulsado. c) La fuerza media.

Sol: a) –320 N; b) 4.04 m/s; c) –80 N.

19º Un tren de 5000 toneladas circula por una vía con velocidad de 30m/s, unos cuantos metros más adelante hay un tren más pequeño de 2500 toneladas y en reposo. Calcular la velocidad de cada tren, así como si circularan unidos o separados si:

a) Se produce un choque elástico b) Se produce un choque perfectamente inelástico

Sol: a) 10 m/s; b) 20 m/s, 40 m/s.

20º Dos bloques de masas respectivas 20 y 10 kg se mueven en la misma dirección, pero en sentido opuesto, con velocidades de 15 y 5 m/s, respectivamente. Calcular sus velocidades si:

a) Se produce un choque elástico. b) Se produce un choque inelástico y el bloque de masa 20 kg se mueve con

velocidad de 5 m/s. c) Se produce un choque perfectamente inelástico.

Sol: a) 1.67 m/s y 21.67 m/s; b) 5 m/s y 15 m/s; c) 8.33 m/s.

21º Una bala de 5 gramos lleva una velocidad de 400 m/s, choca y se empotra contra un bloque de madera de 5 kg, suspendido formando un péndulo. Determinar la altura a que se elevará el bloque después del impacto y la fuerza resistente de la madera a la penetración si la bala penetró 12 cm. Sol: 8.1·10 –3 m y 660 N.

Ejercicios de conservación de la cantidad de movimiento en 2 dimensiones:

1º Lanzamos una pelota de 300 g de masa, de forma que describe un movimiento parabólico cuya ecuación, expresada en unidades internaciones es:

)905.4105.0,32.17()( 2ttttr −+= Calcula:

a) El momento lineal de la pelota en los instantes t1 = 0.5 s y t2 = 1.5 s. b) La fuerza neta que actúa sobre él en ese intervalo de tiempo.

Sol: a) )53.1,2.5(1 =p kg·m/s y )53.1,2.5(2 −=p kg·m/s; b) )95.2,0( −=F N.


12

2º Dos coches de 700 kg y 850 kg circulan por calles perpendiculares a 50 km/h y 80 km/h, respectivamente. ¿Cuál será la velocidad de los vehículos juntos después del choque? ¿En qué dirección se moverán tras el choque? Sol: 49.2 km/h.

3º Una bola que se mueve a 5 m/s choca contra otra bola igual en reposo. Después del choque, la primera bola sale formando un ángulo de 30º con la dirección que llevaba y la segunda bola se mueve formando un ángulo de –60º con la dirección inicial de la primera. Calcula el modulo de las velocidades finales de ambas bolas. Sol: 4.3 y 2.5 m/s.

4º Dos bolas iguales chocan frontalmente con velocidades de 4.2 m/s y 2.8 m/s. Después del choque, la primera bola se mueve en una dirección que forma 15º con su dirección inicial, y la segunda bola, en una dirección que forma 210º con la dirección inicial de la primera. Calcula los módulos de las velocidades finales de ambas. Sol: 2.7 y 1.4 m/s.

5º Dos bolas de billar de masas iguales chocan frontalmente con velocidades de 4.48 m/s y 2.32 m/s. Después del choque, la primera bola se mueve en una dirección que forma 60º con su dirección inicial, y la segunda bola, en una dirección que forma –20º con la dirección inicial de la primera. Calcular la velocidad final de ambas. Sol: 0.75 m/s; 1.9 m/s.

6º Un objeto de 4 kg de masa, inicialmente en reposo, estalla en tres fragmentos de masas 2 kg, 1 kg, y 1 kg. El fragmento de 2 kg sale con velocidad de 600 m/s y los otros dos formando 30º y –45º con relación al primero. Determinar sus velocidades. Sol: 878 m·s–1 y 621 m·s–1.

7º Una roca explota en tres pedazos, dos de los cuales, de masas m1 = 15 kg y m2 = 10 kg, salen en ángulo recto con velocidades v1 = 10 m/s y v2 = 20 m/s. El tercer fragmento sale con velocidad de v3 = 50 m/s. Determina la masa del tercer fragmento y el ángulo que forma su velocidad con la dirección que toma el fragmento m1. Sol: 5 kg; 233.1º.

8º En una mesa de billar, una de las bolas, de 0.2 kg, se impulsa hacia la banda con una velocidad de 0.7 m/s, formando un ángulo de 30º con la banda. Rebota, saliendo con un ángulo de 15º y con velocidad de 0.2 m/s. Halla:

a) Los momentos lineales de la bola antes y después del choque. b) La variación del momento lineal de la bola. c) La fuerza media durante el choque con la banda si la interacción duró 0.13 s.

Sol: a) pi = 0.14 kg·m/s y pf = 0.04; b) 0.1 kg·m/s; c) 0.88 N.

9º Un cohete que se desplaza en línea recta y con una velocidad uniforme de 2000 km/h, sufre una explosión, dividiéndose en dos partes. Una de ellas, de 2/5 de la masa total, se mueve formando un ángulo de 30º por encima de la horizontal y con una velocidad de 1000 km/h. Calcula la velocidad y la dirección del segundo fragmento. Sol: – 6.9º; 2776 km/h.

10º Una bola que se mueve por un plano horizontal con velocidad de 5 m/s choca con otra bola igual en reposo. Si el choque es elástico y como consecuencia del impacto una de las bolas se desvía 30º. Determinar las velocidades de las bolas después del choque. Sol: 2.5 m·s–1 y 4.33 m·s–1.

Ejercicio nº 1.-

Los planetas del sistema solar, en su movimiento alrededor del Sol describen órbitas:

a) Elípticas.b) Circulares.c) Parabólicas.d) Al menos dos de las respuestas anteriores son correctas.

Justifica tu respuesta.

Solución:

Kepler comprobó, a partir de las observaciones de Tycho Brahe, que la trayectoria de un planeta alrededor del Sol es elíptica, aunque se trata de una elipse cuya excentricidad es muy pequeña, hasta el punto de que puede parecer una circunferencia.

Ejercicio nº 2.-

El plano que definen el Sol y la órbita que describe la Tierra alrededor de él se denomina:

a) Plano solar.b) Plano orbital.c) Plano singular.d) Eclíptica.e) Perihelio.

Solución:

El plano que contiene la órbita de la Tierra en su movimiento alrededor del Sol es el plano de la eclíptica.

Ejercicio nº 3.-

Basándonos en la segunda ley de Kepler, podemos afirmar que, en su movimiento alrededor del Sol, la Tierra posee una velocidad:

a) Constante.b) Nula.c) Mayor, cuanto más lejos está del Sol.d) Menor, cuanto más lejos está del Sol.

Solución:

La segunda ley de Kepler afirma que un planeta barre, en su movimiento alrededor del Sol,

áreas iguales en tiempos iguales.

De acuerdo con la figura, cuando el planeta está más cerca del Sol debe moverse a mayor velocidad, para recorrer la distancia AB en el mismo tiempo que recorre la distancia CD en el otro extremo de la trayectoria. De ese modo, las dos áreas pueden llegar a ser iguales, como afirma la segunda ley de Kepler.

Ejercicio nº 4.-

Teniendo en cuenta que la distancia Venus-Sol es 0,723 U.A., un año de Venus, medido en años terrestres, equivale a:

a) 0,143 b) 0,615 c) 0,723d) 0,954 e) 1,134

Dato: 1 U.A. = 1 unidad astronómica = Distancia Tierra-Sol

Solución:

La expresión de la tercera ley de Kepler es:

cte2

3

=T

R

siendo: R = distancia del planeta al Sol.

T = período del planeta (tiempo que tarda en dar una vuelta completa al Sol).

Para resolver el ejercicio, tomamos como patrón la Tierra. De ese modo, RT = 1 (1 U.A., que es la distancia Tierra-Sol) y TT = 1 año terrestre.

Como conocemos la distancia Venus-Sol, medida en unidades astronómicas, obtenemos al sustituir todos los datos:

2

3

2

3

Venus

SolVenus

Tierra

SolTierra

T

d

T

d −− =

Despejando el período de traslación de Venus, resulta:

terrestresaños615,011

)723,0( 2

3

32

3

3

=⋅=⋅=−

−Tierra

SolTierra

SolVenusVenus T

d

dT

Ejercicio nº 5.-

La Tierra describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Se llama perihelio a la posición en la que la Tierra está más cerca del Sol y afelio a la posición en que está más alejada del Sol. ¿En qué posición será mayor la cantidad de movimiento de la Tierra?

a) Afelio.b) Perihelio.c) Igual en ambos.

Solución:

La segunda ley de Kepler afirma que un planeta, en su movimiento alrededor del Sol, barre áreas iguales en tiempos iguales.

De acuerdo con la figura, cuando el planeta está más cerca del Sol debe moverse a mayor velocidad, para recorrer la distancia AB en el mismo tiempo que recorre la distancia CD en el otro extremo de la trayectoria. De ese modo, las dos áreas pueden llegar a ser iguales, como afirma la segunda ley de Kepler.

Como su masa no varía, en el perihelio la Tierra tiene mayor cantidad de movimiento. La respuesta correcta es, por tanto, la b).

Ejercicio nº 6.-

Calcula, en valor absoluto, la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre un cuerpo situado a 12 000 km del centro del planeta, si la masa de este cuerpo es 3·106 kg. Considera ambas masas puntuales.

Datos: Masa de la Tierra = 6·1024 kgG = 6,7·10–11 U.I.

Solución:

Al sustituir los datos que conocemos en la expresión que proporciona la fuerza que ejercen entre sí dos masas, debido a la acción de la gravedad, resulta:

N10375,8)1012(

103106107,6 6

26

62411

2⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= −

r

mMGF

Ejercicio nº 7.-

En una zona del espacio existe un campo gravitatorio cuya intensidad es 0,2 N/kg. Calcula la fuerza que actúa sobre una masa de 1 t situada en dicho zona. Expresa el resultado en newton.

Solución:

La fuerza que actúa sobre una masa, m, situada en un punto de un campo gravitatorio en el que la intensidad del mismo es g, viene dada por la expresión:

gmF

⋅=

Por tanto, el módulo de la fuerza será, en este caso:

N2002,00001 =⋅=F

Ejercicio nº 8.-

En cierta zona del espacio existe un campo gravitatorio de intensidad desconocida. Sin embargo, se sabe que la fuerza que actúa sobre una masa de 1 t, debida a dicho campo, es 500 N. ¿Cuál es el valor del campo gravitatorio en la zona? Expresa el resultado en unidades S.I.

Solución:

La fuerza que actúa sobre una masa, m, situada en un punto de un campo gravitatorio en el que la intensidad del mismo es g, viene dada por la expresión:

gmF

⋅=

Por tanto, el módulo del vector intensidad del campo gravitatorio será en este caso:

1kgN5,00001

500 −⋅===m

Fg

Ejercicio nº 9.-

Entre las siguientes gráficas, señala la que muestra cómo varía la fuerza gravitatoria ejercida entre dos masas, en función de la distancia.

Solución:

La expresión que permite calcular la fuerza gravitatoria ejercida entre dos masas, M y m, separadas una distancia r, es:

rur

mMGF

⋅⋅⋅−=

2

Si las masas, M y m, no varían, la expresión que permite calcular la fuerza depende solo de la distancia entre masas, de la forma:

rur

kF

⋅−=

2

Esta ecuación es la de una hipérbola situada en el cuarto cuadrante que tiende asintóticamente a 0 cuando r aumenta, como muestra la figura a).

Ejercicio nº 10.-

Dos masas, M y m, están separadas una distancia R. Si se alejan una distancia 2·R, el módulo de la fuerza gravitatoria que actúa entre ellas:

a) Disminuye 4 veces.b) Disminuye 2 veces.c) No varía.d) Aumenta 2 veces.e) Aumenta 4 veces.

Solución:

:es , fuerza, la de módulo el , distancia una separadas están masas las Cuando FR

2R

mMGF

⋅⋅=

:resulta , fuerza, la de módulo el duplica, se distancia esta Cuando F

2)2('

R

mMGF

⋅⋅⋅=

Dividiendo una por otra, resulta:

4

1

)2(

'2

2

=⋅

=R

R

F

F

FF ⋅=4

1'

Como vemos, el módulo de la fuerza se reduce a la cuarta parte. La respuesta correcta es la a).

c

Solución:

La expresión que permite calcular el potencial gravitatorio es:

r

MGVg ⋅−=

Por tanto, en el caso que nos ocupa:

1

6

2211 kgJ800495

1010

104,7107,6 −− ⋅−=

⋅⋅⋅⋅−=⋅−=

r

MGVg

Una vez conocido el potencial gravitatorio en ese punto, resulta sencillo calcular la energía potencial:

J109,247800495500 6⋅−=⋅−=⋅= gp VmE

Ejercicio nº 12.-

Una sonda espacial se lanza desde la superficie de la Tierra, con la intención de que escape del campo gravitatorio terrestre. Calcula la velocidad con que debe lanzarse la sonda. Expresa la velocidad en unidades S.I., con dos cifras decimales.

Datos: Radio de la Tierra = 6 370 kmMasa de la Tierra = 5,98·1024 kgG = 6,67·10–11 unidades S.I.

Solución:

La expresión que permite calcular la energía total de un satélite en órbita es:

R

mMGvmE total

⋅⋅−⋅⋅= 2

2

1

En esta expresión, R es el radio de la Tierra, ya que es desde la superficie del planeta desde donde lanzamos el cuerpo.

Para que la sonda escape al campo gravitatorio, su energía total ha de ser, al menos, nula. Ello indicará que su energía cinética es suficiente para “vencer” el campo gravitatorio terrestre. Por tanto:

02

1 2 =⋅⋅−⋅⋅=R

mMGvmE total

Despejando la velocidad, resulta:

11

3

2411

skm2,11~sm19111103706

1098,51067,622 −−−

⋅−⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=R

MGv

Ejercicio nº 13.-

Se lanza un cuerpo de 500 g de masa verticalmente hacia arriba, con una velocidad de 10 m/s. Calcula la altura máxima a que llegará el cuerpo. Considera despreciable el rozamiento del cuerpo con el aire y sitúa el origen de potenciales en el punto de lanzamiento.

Considera g = 10 m/s2.

Solución:

Al no existir rozamiento, la energía mecánica del sistema se conserva.

Inicialmente, la energía mecánica del sistema es:

J445,02

1

2

1 22 =⋅⋅=⋅⋅= vmEci

J00102 =⋅⋅=⋅⋅= hgmE pi

J404 =+=mecánicaE

Cuando la bola llega al punto más alto del plano, su energía mecánica sigue siendo de 4 joule debido, precisamente, a la ausencia de rozamiento. Ten en cuenta, además, que en el punto más alto de la trayectoria la velocidad de la bola es nula. Por tanto:

pfmecánica

pf

cf

pfcfmecánica

EEhhgmE

vmE

EEE

=→

⋅⋅=⋅⋅=

=⋅⋅=⋅⋅=

+=

105,0

J005,02

1

2

1 2

Igualando la expresión de la energía potencial al valor de la energía mecánica, podemos despejar la altura:

pfmecánica EE =h⋅⋅= 105,04

m8,05

4 ==h

Ejercicio nº 14.-

La masa del planeta Júpiter es, aproximadamente, 318 veces la de la Tierra y su diámetro es 11 veces mayor. Calcula el peso en ese planeta de un astronauta cuyo peso en la Tierra es 750 N.

Solución:

La fuerza con que cada planeta atrae al astronauta situado en su superficie, es:

2planeta

planeta

R

mMGPesoF

⋅⋅==

Teniendo presente lo anterior, si relacionamos los pesos del astronauta en cada planeta, resulta:

2

2

Júpiter

Júpiter

Tierra

Tierra

Júpiter

Tierra

R

MG

R

MG

F

F

⋅

⋅=

En esta expresión podemos sustituir los valores que conocemos, obteniendo, de ese modo, el peso del astronauta en Júpiter:

N971175011

1318

2

2

2

2

2

=⋅

⋅=⋅⋅=→

→

=⋅

Tierra

Júpiter

Tierra

Tierra

JúpiterJúpiter

JúpiterTierra

Tierra

Tierra

Júpiter

Júpiter

FR

R

M

MF

FF

R

M

R

M

Ejercicio nº 15.-

Calcula la distancia a que se encuentra el punto en la línea recta que une la Tierra con la Luna en el que la fuerza gravitatoria resultante sobre un objeto de 10 kg de masa es nula. ¿Qué valor toma la energía potencial gravitatoria del objeto de 10 kg cuando lo situamos en ese punto? La masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna, siendo esta de 7,34 · 1022 kg, y la distancia que las separa es 3,84 · 108 m.

Supón que el sistema físico Tierra-objeto-Luna está aislado de cualquier otro cuerpo del universo.

Solución:

En primer lugar, debemos tener en cuenta que el dato de la masa del cuerpo es inútil, ya que buscar un punto donde la fuerza se anule es lo mismo que buscar un punto en el cual el campo gravitatorio se anule. Se trata, pues, de encontrar un punto, en la dirección Tierra-Luna, en el cual el campo gravitatorio sea nulo.

En primer lugar, calculamos el campo gravitatorio creado por cada cuerpo. Tomaremos como eje OX positivo la línea Tierra-Luna, en el sentido Tierra a Luna. El origen del eje será el centro de la Tierra. De este modo;

TLL

T ux

MGg

⋅

⋅⋅−=

2

81

TLL

L uxL

MGg

⋅

−⋅+=

2)(

Si aplicamos el principio de superposición y sustituimos:

[ ]11084,3(

181282 TLLLT u

xxMGgg

⋅

−⋅

−⋅⋅−=+

Al igualar a cero la expresión [ 1 ], obtenemos una ecuación de segundo grado cuya incógnita es la distancia, X, respecto al centro de la Tierra, a la cual el campo gravitatorio se anula:

010194,1101022,680 1910222 =⋅+⋅⋅−⋅ xx

m. 1041,3 :ser resulta distancia La 8⋅=x

La energía potencial en ese punto, para el cuerpo de 10 kg, se calcula por medio de la expresión:

VmE p ⋅=

El potencial en cualquier punto de la recta, V, será la suma algebraica de los potenciales creados por cada una de las masas:

−

+⋅

⋅−=+=)(

81

xL

M

x

MGVVV LL

LT

:obtiene se m, 1041,3 punto el para doSustituyen 8⋅=x

LT VVV +=

15

8

22

8

2211 kgJ1077,12

10)41,384,3(

1034,7

1041,3

1034,7811067,6 −− ⋅⋅−=

⋅−

⋅+⋅

⋅⋅⋅⋅−=V

siendo la energía potencial:

J1077,12 6⋅−=⋅= VmE p

Ejercicio nº 16.-

Un satélite orbita alrededor de la Tierra, a 5 000 km de la superficie. Calcula la velocidad con que se mueve en su órbita.

Datos: Radio de la Tierra = 6 370 kmMasa de la Tierra = 5,98 · 1024 kgG = 6,67 · 10–11 U.I.

Solución:

La fuerza centrípeta que hace que el satélite gire es, precisamente, la fuerza gravitatoria:

r

vm

r

mMGF

2

2⋅=⋅⋅=

Si despejamos en esta expresión la velocidad del satélite, resulta al sustituir:

1

3

2411

sm923510)00053706(

1098,51067,6 −−

⋅=⋅+⋅⋅⋅=⋅=

r

MGv

Ejercicio nº 17.-

Un satélite de 30 toneladas orbita alrededor de la Tierra, a 5 000 km de la superficie. Calcula la energía total que posee el satélite.

Datos: Radio de la Tierra = 6 370 kmMasa de la Tierra = 5,98 · 1024 kgG = 6,67 · 10–11 U.I.

Solución:

La expresión que permite calcular la energía total de un satélite en órbita es:

r

mMGvmE total

⋅⋅−⋅⋅= 2

2

1

Teniendo en cuenta que la fuerza centrípeta que hace que el satélite gire es la fuerza gravitatoria, la velocidad con que se mueve el satélite debe ser:

r

vm

r

mMGF

2

2⋅=⋅⋅=

r

MGv

⋅=

Sustituyendo esta última expresión en la que proporciona la energía, resulta:

=⋅⋅−⋅⋅⋅=r

mMG

r

MGmET 2

1

r

mMGET

⋅⋅⋅−=2

1

Al sustituir en esta expresión los datos que conocemos, obtenemos para la energía:

J1026,510)00053706(

10301098,51067,6

2

1

2

1 11

3

32411 ⋅−=

⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅−= −

r

mMGE p

Ejercicio nº 18.-

Calcula la velocidad angular de rotación con que debe girar un satélite artificial alrededor de la Tierra, para que lo haga en una órbita cuyo radio sea doble que el radio de la Tierra.

Datos: Radio de la Tierra = 6 370 kmg = 9,8 m/s2

Solución:

La fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite es, precisamente, la fuerza centrípeta que lo hace girar:

TierraTierra R

vm

R

mMGF

⋅⋅=

⋅⋅⋅=

2)2(

2

2

Por tanto, la velocidad con que se mueve es:

TierraR

MGv

⋅⋅=

2

En este ejercicio no nos proporcionan ni la constante G, ni la masa de la Tierra. Sin embargo, debemos recordar que, en la superficie de la Tierra, el satélite sería atraído con una fuerza igual a su peso. Ello nos permite escribir la siguiente relación:

gmR

mMGF

Tierra

⋅=⋅⋅=2

2TierraRgMG ⋅=⋅

Al sustituir en esta expresión los datos que conocemos, obtenemos para la energía:

J1026,510)00053706(

10301098,51067,6

2

1

2

1 11

3

32411 ⋅−=

⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅−= −

r

mMGE p

Sustituyendo ahora el producto G·M en la expresión de la velocidad, resulta:

22

2 gR

R

gRv Tierra

Tierra

Tierra ⋅=

⋅⋅

=

Teniendo ahora en cuenta la expresión que permite calcular la velocidad angular, podemos obtenerla al sustituir toda la información que tenemos:

14

3srad1039,4

1037068

8,9

8

822

2

−− ⋅⋅=⋅⋅

=⋅

=ω

⋅=

⋅

⋅

=⋅

=ω→=ω

⋅ω=

Tierra

TierraTierra

Tierra

Tierra

R

g

R

g

R

gR

R

v

R

v

Rv

Ejercicio nº 19.-

El período orbital de la Luna es de 28 días terrestres y el radio de su órbita, supuesta circular, vale 384 000 km. Con esos datos, calcula la masa terrestre, sabiendo que el valor de la constante de gravitación universal es: G = 6,67·10–11 U.I.

Solución:

Considerando las masas de la Tierra y de la Luna puntuales, y suponiendo que la Luna orbita en una trayectoria circular alrededor de la Tierra debido a la acción del campo gravitatorio, podemos escribir la siguiente relación:

LunaTierraLuna

LunaTierra

LunaTierra

R

vm

R

mMG

−−

⋅=⋅

⋅2

2

La velocidad la podemos obtener de la relación que existe entre esta magnitud y el período de revolución:

T

Rv LunaTierra−⋅π⋅

=2

Sustituyendo la velocidad por su valor y despejando la masa en la primera ecuación, resulta:

2

324

TG

RM LunaTierra

Tierra ⋅⋅π⋅

= −

Sustituyendo ahora los datos que facilita el enunciado, obtenemos el siguiente resultado:

kg1073,5)60032428(1067,6

)10000384(4 24

211

332

⋅=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅π⋅=

−TierraM

Ejercicio nº 20.-

Se desea mandar al espacio un satélite de 100 kg de masa para que describa una órbita cuyo radio sea 1,5 veces el radio de la Tierra. Calcula la energía que hemos de comunicar al satélite para ponerlo en órbita.

Datos: Radio de la Tierra = 6 370 kmG = 6,67 · 10–11 U.I.Masa de la Tierra = 5,98 · 1024 kg

Solución:

La energía que comunicamos al satélite es el trabajo que tenemos que realizar para ponerlo en órbita, en la posición que nos indican. Será, por tanto, la diferencia entre la energía total que posee en la superficie de la Tierra y la que tendrá en el espacio, cuando se encuentre en órbita.

La energía del satélite en la superficie de la Tierra es:

TierraR

mMGE

⋅⋅−=1

Cuando se encuentra en órbita, su energía total es:

TierraR

mMG

r

mMGE

⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅−=

5,12

1

2

12

Por tanto, el trabajo que hemos de comunicar al satélite para ponerlo en órbita (despreciando rozamientos) será:

T

TierraTierra

R

mMGW

R

mMG

R

mMGEEW

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅+⋅

⋅⋅⋅−=−=

3

2

5,12

112

Sustituyendo los datos que proporciona el enunciado, resulta ahora:

J1025,1103706

1001098,51067,62 10

3

2411

⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=−

W

De la editorial Anaya

problemas fisica 4º eso (juntos)

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