I.P.A.O. Granada EXAMEN ANDALUCA 2000. JARR

I.P.A.O. Profesores Enseanza Secundaria. MATEMTICAS. Curso 2011-12 Jarr-1

PROCEDIMIENTO SELECTIVO PARA EL INGRESO AL CUERPO DE PROFESORES

DE ENSEANZA SECUNDARIA. CONVOCATORIA 2000. MATEMTICAS

EJERCICIO 1: Construir un tringulo conociendo los lados "b" y "c" y la bisectriz

"d" del ngulo que forman. Discusin del problema a resolver.

SOLUCION TRIGONOMTRICA:

La superficie del tringulo ABC es S=bcsen(2)/2 . La bisectriz la divide en dos tringulos de superficies: S1=bdsen()/2 y S2=cdsen()/2

Como S1+S2=S. Se tiene:

y como

sen(2)=2sen()cos() Se tiene que

.

El problema quedar en construir un tringulo conocidos dos lados y el ngulo que

forman (fcil).

Para que se pueda construir dicho tringulo debe existir cos() luego

, la bisectriz es menor que la media armnica

de los lados.

SOLUCIN CON REGLA Y COMPS.

Si suponemos construido el tringulo,

ABC, llevemos sobre la prolongacin

de uno de los lados (el b por ejemplo)

el otro lado. Sea E el punto extremo

de este segmento; el tringulo EAB es

un tringulo issceles (dos lados

iguales a c).

Por lo que los ngulos AEB y ABE son iguales y a su vez iguales a los ngulos

CAD y DAB (es decir ); basta con ver la medida del ngulo EAB en uno y otro tringulo.

De donde los segmentos AD y EB estarn contenidos en rectas paralelas y podemos

aplicar el teorema de Tales, llamando x a la longitud del segmento EB, se tiene:

Construccin: mediante el teorema de Tales construimos con regla y comps la

cuarta proporcional a los segmentos b+c, b y d; una vez determinado el segmento x,

construimos un tringulo issceles de lados c,c y x (ABE); y sobre la prolongacin

de uno de los lados iguales (AE) llevamos un segmento de longitud b (determina el

vrtice C), uniendo los extremos de este segmento (C) y el otro de longitud c (B)

tenemos el tringulo pedido.

Para que se pueda construir el tringulo ABE es necesario que el lado x

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EJERCICIO 2: Una parbola tiene el foco en el punto F(2,2) y es tangente a OX en el

punto P(4,0) y a OY en el punto Q(0, 4). Calcular el volumen engendrado por el

segmento parablico determinado por dicha parbola y la cuerda PQ al girar

alrededor del eje OX.

SOLUCIN:

Se calcula primero la ecuacin de la

parbola. El eje de la parbola es la

bisectriz del primer cuadrante y=x. Como

el segmento PQ es perpendicular al eje de

la parbola y pasa por el foco, la distancia

d(F,P)=p, parmetro de la parbola, y por

tanto la directriz, d, tiene de ecuacin:

y=-x, y el vrtice es V(1,1). Siendo

A(x,y) un punto cualquiera del plano, si

pertenece a la parbola se verifica:

dist(A,F)=dist(A,d)

, elevando al cuadrado y ordenando

y2+2(4+x)y+(x

2-8x+16)=0, resolviendo en y, se tiene:

La rama que interesa es la inferior, luego la ecuacin de la curva es:

La cuerda PQ tiene de ecuacin: y=-x+4.

Como el volumen del solido engendrado al girar la superficie plana , limitada por una curva

y las ordenadas de ella de abscisas x1 y x2, alrededor del eje de OX es (integracin por

discos):

En nuestro caso ser:

. Donde y1 e y2 son las ecuaciones de la

cuerda y de la parbola respectivamente:

Desarrollando, simplificando e integrando queda:

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EJERCICIO 3: Hallar el lugar geomtrico de los puntos medios de las cuerdas de la

elipse b2x

2 + a

2y

2 = a

2b

2, que son vistas desde el centro bajo un ngulo de 90.

SOLUCION:

Sean A y B los extremos de una de esas

cuerdas y P el punto medio del segmento.

Como el tringulo OAB es rectngulo en O,

y P es el punto medio de la hipotenusa, se

verificar que:

Llamando a las coordenadas respectivas . Se tiene que A(x+u,y+v),

B(x-u,y-v); Estas coordenadas, de A y B, verificarn las ecuaciones de la elipse y con la

condicin de ortogonalidad se obtiene el sistema:

Se trata de eliminar los parmetros u y v. Sumando y restando las dos primeras ecuaciones:

de la segunda y tercera se tiene

sustituyendo en la primera ecuacin y simplificando se obtiene la

ecuacin final:

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EJERCICIO 4: Resolver las siguientes cuestiones de divisibilidad:

a) En una batalla en la que participaron entre 10.000 y 11.000 soldados, resultaron

muertos165

23 y heridos

143

35 del total respectivamente. Hallar cuantos soldados resultaron

ilesos.

b) Hallar el nmero N = 2a 5

b sabiendo que la suma de sus divisores es 961.

SOLUCION:

Apartado a): Sea n , el nmero de soldados participantes, resultaron ilesos:

, como el resultado debe ser un nmero natural, y 1321 y

2145 son primos entre s, esto implica que n sea un mltiplo de 2145, y como

10000

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EJERCICIO 5: Hallar la longitud de la sombra que sobre el plano horizontal arroja un

poste de 4 m. de altura a las tres de la tarde del da de equinoccio de primavera en un

punto A de la tierra de 30 de latitud norte.

SOLUCIN: Supongamos que el poste se encuentra situado en el meridiano 0. Al

medioda los rayos del sol inciden perpendicularmente sobre el punto situado en la

interseccin del ecuador y el meridiano 0. Suponemos que a las tres de la tarde los

rayos del sol inciden perpendicularmente sobre el punto situado en el ecuador y el

meridiano 45. (3603/24)

Consideramos un sistema de

referencia de origen el Centro de la

tierra (supuesta esfrica) eje OZ el de

la tierra, OY el determinado por el

origen el punto de interseccin del

ecuador y el meridiano 0, eje OX el

deter minado por el origen el punto de

interseccin del ecuador y el

meridiano 90.

Para estos ejes, los vectores unitarios

con la direccin del poste y la del sol

son respectivamente:

,

El coseno del ngulo, , que forman es:

, este ngulo es el complementario del

de elevacin del sol a la hora y lugar indicado. De donde

.

Si h es la longitud del poste clavado verticalmente se tiene quela longitud de la sombra es:

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EJERCICIO 6: En una circunferencia se escogen al azar tres puntos. Calcula la

probabilidad de que los tres puntos estn situados en un mismo arco de 90.

SOLUCIN:

Como los puntos A, B y C pueden caer

en cualquier lugar de la circunferencia,

tomemos uno de ellos (por ejemplo el A)

como origen de referencia, y se

considera los giros en sentido horario

positivos, sean b y c la medida de los

arcos de B y C respectivamente.

Los otros puntos pueden caer, con la

misma probabilidad, en cualquier lugar,

es decir en cualquier arco de 0 a 360,

por lo que se trata de una funcin

bivariante uniforme.

Para facilitar el clculo se representa en

el plano las situaciones posibles

[0,360][0,360] , y las favorables al suceso pedido.

Si los dos puntos B y C caen en el primer cuadrante, es decir (b,c)[0,90][0,90] ser una

situacin favorable, lo mismo si caen en el cuarto cuadrante (b,c) [270,360][270,360].

Si B pertenece al primer cuadrante y C al cuarto, b[0,90] y c[270,360], estarn en un

mismo arco de 90 si: b+(360-c)90 cb+270.

Similarmente si C pertenece al primer cuadrante y B al cuarto, c[0,90] y b[270,360],

estarn en un mismo arco de 90 si: c+(360-b)90 cb-270.

En cualquier otra situacin el arco determinado por los tres puntos ser mayor de 90.

El rea de la superficie determinada por las cuatro regiones anteriores es 3/16 del rea total

del dominio de las situaciones posibles.

La probabilidad pedida es: 3/16.