PROBLEMAS GRUPO 1

Problema 1.4

En la estructura magnética mostrada en la figura la densidad de flujo en el entrehierro de la derecha es de 1Wb/m2. El núcleo está hecho de un material cuya curva de imanación viene por.

B= 1.5H1.000+H

B :Teslas; H : A .v /m

La longitud l=10cm y la sección transversal es uniforme y vale 5c m2. Calcular las corrientes I 1e I 2 que pueden circular por las bobinas para que el flujo en el entrehierro izquierdo sea nulo.

SOLUCIÓN:

En la figura siguiente se muestra el circuito equivalente eléctrico:

Como en el núcleo de la derecha tenemos B2=1Tesla:

Entonces tenemos que el valor del campo magnético correspondiente es:

H e 2=B2μ0

= 14 πx 10−7=7.96 x105 Av /m

Hallamos la intensidad de campo magnético en AB y CD mediante:

1=1.5H Fe2

1.000+H Fe2

→ HFe 2=2000 Av /m

Luego hallamos la diferencia de potencial (d.d.p) entre AB y CD;

U AB=UCD=HFe 2lAB=2000 x 0.15=300 Av

Y la d.d.p en el entrehierro de la derecha es;

U BC=H e 2lBC=7.96 x 105 x 10−3=796 Av

Así tenemos que;

U AD=U AB+U BC+U CD=2x 300+796=1396 Av

Luego para que el flujo magnético en el entrehierro de la derecha sea nulo (φ1=0);

F1=U AD →50 I 1=1396→I 1=27.92 A ≈28 A

Y como el flujo en el núcleo del lado izquierdo es nulo, el flujo magnético en el núcleo central será el mismo del núcleo derecho, y como la sección de la estructura magnética es uniforme, entonces:

B=B2=1Tesla ; HFe=H Fe2=2000 Av /m

Luego vemos que;

U EA=2000 x 0.1=200 Av

Finalmente;

F=200 I 2=U AD+U EA=1396+200=1596 Av

→I 2=7.98 A ≈8 A

Problema 1.16

Las inductancias de un dispositivo electromagnético mostrado en la figura P.1.12 son:

Laa=L1+L2cos 2θ ; Lbb=L1−L2 cos2θ ; La2=Lm cosθ

Lb2=Lm senθ ; Lab=L2 sen2θ ;L22=constante

Calcular la expresión del par producido si las corrientes son de la forma:

ia=im coswt ; ib=im senwt ; i2=I2

SOLUCIÓN:

a) El par responde a la expresión matricial siguiente:

T=12

[ ia+ib+ i2 ] ∂∂θ [ Laa Lab La2

Lba Lbb Lb2

L2a L2b L22] [ia

ib

i2]

Al desarrollar tenemos;

T=12

ia2 d Laa

dθ+ 12

ib2 d Lbb

dθ+ 12

i22 d L22

dθ+iaib

d Lab

dθ+ ia i2

d La2

dθ+ibi2

d Lb2

dθ

Las expresiones de las derivadas son:

d Laa

dθ=−2 L2 sen2θ ;

d Lbb

dθ=2L2 sen2θ ;

d L22dθ

=0

d Lab

dθ=2 L2cos 2θ ;

d La2

dθ=−Lm senθ;

d Lb2

dθ=Lm cosθ

Sustituyendo en el par tenemos:

T=12

ia2 [−2L2 sen2θ ]+ 1

2ib2[2L2 sen2θ]+ia ib[2L2 cos2θ]+ia i2 [−Lm senθ ]+ib i2 [Lm cosθ ]

Luego reemplazando la expresión de la corriente:

T=12¿

+[im coswt ]I 2[−Lm senθ ]+[ im senwt ]I 2[Lm cosθ]

Simplificando llegamos a:

T=−L2im2 sen2 (θ−wt )−Lm I2 Im sen(θ−wt )

Finalmente sí denotamos θ=wt+δ, entonces tenemos la expresión siguiente:

T=−L2im2 sen2δ−Lm I 2 Im senδ

Problema 3.4

Un transformador monofásico de 23kVA, 2300/230V, tiene en el devanado de 2300V una resistencia de 2.3Ω y una reactancia de figa de 6.9Ω. La reactancia de fuga del devanado de bajo voltaje es 0.069Ω y su resistencia de 0.023Ω. Determinar:

a) La impedancia equivalente referida al devanado de alto voltaje.b) La impedancia equivalente referida al devanado de bajo voltaje.c) Las impedancias de base de bajo y alto voltaje.d) La reactancia y resistencia unitaria.

SOLUCIÓN:

a) Para hallar la impedancia equivalente referida al primario, como no tenemos los valores del núcleo no lo consideramos en el análisis.

Del ckto tenemos:

Z1=R1+R ' 2+ j( Xd1+X 'd2)

Con R '2=a2R2; X ' d2=a2X d2 ya=2300230

=10

Entonces:

Z1=2.3+102 (0.023 )+ j(6.9+102 (0.069 ))Z1=4.6+ j13.8Ω

b) Para hallar la impedancia equivalente referida al secundario, como no tenemos los valores del núcleo no lo consideramos en el análisis.

Del ckto tenemos:

Z2=R2+R' '1+ j( Xd2+X ' 'd1)

Con R ' '1=R2a2

; X ' ' d1=X d2

a2y a=2300

230=10

Entonces:

Z2=0.023+2.3

102+ j(0.069+ 6.9

102)

Z2=0.046+ j0.138Ω

c) Hallamos las impedancias de base.Sabemos que:

S=V 2

Z→SB=

V B2

ZB

→Z B=V B2

SB

Para el primario:

ZB1=V B12

SB

→Z B1=23002

23000→ZB1=230Ω

Para el secundario:Para el primario:

ZB2=V B22

SB

→Z B2=2302

23000→ZB1=2.3Ω

d) Hallamos la reactancia y resistencia unitaria.

La impedancia unitaria estará dado por:

z ( p .u )= ZZB

Para el primario:

z1 ( p .u )=Z1Z B1

= 4.6230

+ j13.8230

→ z1 ( p .u )=0.02+ j 0.06

Para el secundario:

z2 ( p .u )=Z2Z B2

=0.0462.3

+ j0.1382.3

→ z2 ( p .u )=0.02+ j 0.06

Problema 3.7:

Un transformador monofásico de tipo seco de 5k VA tiene una especificación de 440/220 volts. Los datos de las pruebas de los circuitos corto y abierto son los siguientes.

Prueba de circuito abierto

Vca=220V Ica=1.10A Pca=48.4W

Prueba de corto-circuito

Vcc=22.8V Icc=11.4A Pcc=52.0W

Resolver

a) ¿Cuál es la eficiencia de este transformador a plena carga, con un factor de potencia de 0.8? ¿A media carga con el mismo factor?

b) ¿A que carga tiene este transformador su eficiencia máxima?c) Determinar la resistencia y reactancia unitarias de este transformador.

Solución:

a) Potencia perdida en el vacío = PO = Pca= 48,4W

La corriente de plena carga es:

I 2n=Sn

V 2n

I 2n=5000VA220V

I 2n=22,727 A

El valor de las perdidas en cortocircuito con corriente de plena carga es igual:

PCC ˆ=Pcc .(I 2n

Icc)2

PCC ˆ=52 .( 22,72711,4

)2

PCC ˆ=206,67W

El rendimiento viene dado por:

n=(C) . ( Sn ). (cos∅ )

(C) . ( Sn) . (Co s∅ )+PO+CP2. PCC ˆ

Al reemplazar para valor de carga CP=1con f.d.p = 0.8:

n=(1 ) . (5000 ) .(0.8)

(1 ) . (5000 ) . (0,8 )+48,4+12 .206,67=94%

Al reemplazar para valor de carga CP=1/2con f.d.p = 0.8:

n=(1/2 ) . (5000 ) .(0.8)

(1 /2 ) . (5000 ) . (0,8 )+48,4+(1/2)2 .206,67=95,23%

b) ¿A que carga tiene este transformador su eficiencia máxima?

Cop=√ PO

PCC ˆCop=√ 48,4

206,67Cop=0,484

c) Determinar la resistencia y reactancia unitarias de este transformador.

De los datos del ensayo de vacío Vca=220V Ica=1,10A Pca=48,4W

48,4 = 220 * 1,1 * cos∅

Entonces: cos∅=0,2 Sen∅=0.98De donde se deducen los valores de corriente:

Ife = 1.1 A * 0.2 = 0.22 AIu = 1.1 A * 0.98 = 1.078 A

Por consiguiente los parámetros de la rama paralela del circuito equivalente reducido al primario son:

Rfe = 2200.22

= 1000 Ω

Xu = 2201.078

= 204.082 Ω

Rfe + jXu = 1000+ j204.082 Ω

Resistencia unitaria = 1000+ j 204.0821020.612

= 0.98 + j0.2 Ω

De los datos de ensayo de corto circuito Vcc=22.8V Icc=11.4A Pcc=52.0W

Previamente deben pasarse los datos medidos en este ensayo al lado primario:

m = 440220

= 2 V1CC = m* V2cc = 2* 22.8 = 45.6 V

I1cc = I 2cc

m = 11.42

= 5.7 A

Pcorto = 52 W

A partir de los datos anteriores, ya reducidos al primario, se puede escribir:

52 = 45.6 * 5.7 * cos∅

Entonces: cos∅ = 0.2 Sen∅=0.98

Lo que da lugar a una impedancia de cortocircuito reducida al primario de valor:

Zcc = 45.65.7

= 8 Ω

La resistencia y reactancia de cortocircuito del transformador reducida al primario es:

Rcc = 8*0.2 = 1.6 ΩXcc = 8*0.98 = 7.84 Ω

Rcc +j Xcc = 1.6 + j7.84 Ω

Resistencia unitaria = 1.6+ j 7.84

8 = 0.2 + j0.98 Ω

Se efectua pruebas de circuito abierto y corto de un transformador trifásico de 500 kVA, 2300-460 V, 60 Hz, on los siguientes resultados:

Prueba se circulto abierto: prueba en corto circuito:

Vca=460 V Vcc=161 V

Ica=40.0 A Icc=125 A

Pca=3000 W Pcc=2500 W

a) Determinar la resistencia unitaria, Req pu ,la reactancia unitaria, Xeq pu

b) Determinar la fracción de carga completa, para la cual el transformador tiene su máxima eficiencia.

SOLUCION:

a)

en vacio:

Vo=2300 V →Eo=2300V

IL=40 A → IF=40

√3=23.09 A

Po=3000

Para calcular la pérdida en el núcleo

Po=3Eo . IF cos∅ ;

cos∅= 30003 x2300 x 23.09

=0.018829 ; senØ=1-cos2Ø → senØ=0.9996

Ø=88.921°

Las dos componentes de la corriente en vacioIFE=I F cos∅=23.09 x 0.018829=0.4347

I u=IF sen∅=23.09 x0.9996=23.0807

Eo=RFE x I FE→ RFE=Eo

IFE

= 23000.4347

=5291Ω

Eo=Xu . I u

Xu=Eo

I u

= 230023.09

=99.6102

En corto circuito:

Pcc=3 Ecc I cc cos∅ cc

cos∅ cc=2500

3 x161 x125=0.0414 →Øcc=87.6272 senØcc=0.9982

Ecc .cos∅ cc=Rcc . I cc → Rcc=Ecc .cos∅ cc

I cc

→ Rcc=161 x0.0414

125=0.0533Ω

Ecc . sen∅ cc=Xcc . I cc → X cc=Ecc . sen∅ cc

I cc

→ Xcc=161x 0.9982

125=1.2856Ω

b)

Maxima eficiencia

C=√ Po

Pcc

=√ 30002500=1.0954

La potency aparente de maximo rendimiento

C=Sηmax

Sn

→Sηmax=C .Sn=1.0954 x 500kVA=547.7 kVA

Si el facto de potencia es l unidad, la potencia activa de máximo rendimiento es:

Pηmax=Sηmax.cosØ=547.7x1=547.7kW

Calculando el rendimiento maximo cuando el factor de potencia es 1:

ηmax=Pηmax

Pηmax+2 Po

.100%

ηmax=547.7 kVA

547.7kVA+2 x3000x100 → ηmax=98.91%

PROBLEMAS ADICIONALES

Problema

El rendimiento máximo de un transformador monofásico de 500 kVA, 3300/500V, 50 Hz, es del 97% y ocurre para los 3/4 de la plena carga con f.d.p unidad. Se observa en un ensayo de cortocircuito que son necesarios 300V aplicados al primario para que circule en ese estado la corriente asignada por el transformador. Calcular la caída relativa de tensión a plena carga con f.d.p 0.8 inductivo.

Solución:

Se tiene que:

Cop=√ PO

PCC

Entonces

PO=(COP)2 .PCC

El rendimiento viene dado por:

n=(COP ) . ( S2n ) .(cos∅ )

(COP ) . (S2n ) . (cos∅ )+PO+COP2 .PCC

n=(COP ) . (S2n ) .(cos∅ )

(COP ) . (S2n ) . (cos∅ )+2 PO

Reemplazando valores y calculando PO :

0.97=(3 /4 ) . (500 ) .(1)

(3/4 ) . (500 ) . (1 )+2PO

PO=5.8kW

Calculando PCC :

5.8kW =(3/4)2 .PCC

PCC=10.31kW

La corriente asignada es:

I 1n=Sn

V 1n

Entonces:

I 1n=500kVA3300V

La potencia de cortocircuito es:

PCC=(I 1n)2 .RCC

La resistencia de cortocircuito es:

RCC = 0.45 Ω

Se necesitan 330 V aplicados al primario, se calcula la impedancia:

ZCC=330V151.51 A

=2.178Ω

La reactancia será:

XCC=2.13Ω

Calculando las caídas relativas en la resistencia y reactancia:

ERCC=

( RCC ) . ( I 1n )V 1n

=2.067%

EX CC=

( XCC ) . ( I 1n )V 1n

=9.78%

Y la caída relativa del trafo será:

EC=C .(ERCC.Cosφ+ EXCC

.Cosφ) = (2.067).(0.8) + (9.78).(0.6) = 7.522 %

Problema

Calcular los rendimientos de un transformador de 100 kVA para media carga, plena carga y 5/4 de la plena carga, con f.d.p: a) unidad, b) 0.8. Las pérdidas en el cobre a plena carga son de 1000 W.

Solución:

Las pérdidas son:

PO=1kW=PFe

PCC=1kW=PCu

La fórmula del rendimiento es:

n=(C ) . ( Sn ) .(cos∅ )

(C ) . ( Sn ) . (cos∅ )+PO+C2 .PCC

Al reemplazar para cada valor de carga con f.d.p la unidad:

Media carga

n=(1/2 ) . (100 ) .(1)

(5 /4 ) . (100 ) . (1 )+1+(1/2)2 .(1)=97.56%

5/4 de la plena carga:

n=(5/ 4 ) . (100 ) .(1)

(5 /4 ) . (100 ) . (1 )+1+(5/ 4)2 .(1)=97.99%

Plena carga:

n=(1 ) . (100 ) .(1)

(1 ) . (100 ) . (1 )+1+(1)2 .(1)=98.04%

Ahora se hace los mismos cálculos pero con f.d.p de 0.8:

Media carga

n=(12 ). (100 ) .(0.8)

(5 /4 ) . (100 ) . (1 )+1+(1/2)2 .(1)=97.56%

5/4 de la plena carga:

n=( 54 ). (100 ) .(0.8)

(5 /4 ) . (100 ) . (1 )+1+(5/ 4)2.(1)=97.50%

Plena carga:

n=(1 ) . (100 ) .(0.8)

(1 ) . (100 ) . (1 )+1+(1)2 .(1)=96.97%