Electromagnetismo INACAP Leonel Morales Venegas

Guía de Ejercicios de ley de Coulomb y Campo Eléctrico 1) Cuatro cargas positivas de 10 nC se ubican en el plano z = 0 en las esquinas

de un cuadrado de 8 cm de lado. Una quinta carga positiva se sitúa en un punto ubicado a 8 cm de distancia de las demás. Calcular la magnitud de la

fuerza total sobre esta quinta carga para = 0.

RESP: 4 x 10-4 N

2) Dos cargas puntuales de Q1 coulombs cada una se encuentran en (0,0, 1) y (0,0,- 1) . Determinar la disposición de las posibles posiciones de una tercera carga Q2 donde Q2 puede tener cualquier valor positivo o negativo, de tal forma que el campo total E = 0 en el punto (0,1,0). ¿Cuál es la disposición si las dos cargas originales son Q1 y –Q1?

RESP: a) y = 1± 21/4 Raíz(|Q2|/Q1) b) y =1 , z = ±21/4 RAIZ(|Q2|/Q1)

3) Cuatro cargas puntuales de 50 nC cada una se ubican en el espacio libre en

los puntos A(1,0,0), B(- 1,0,0), C(0,1,0) y D(0,-1,0). Encontrar la fuerza total sobre la carga que está en A.

RESP: 21,5 x 10-9 N

4) Ocho cargas puntuales idénticas de Q C se ubican en las esquinas de un cubo de arista a, con una carga en el origen y las tres cargas más cercanas en (a,0,0), (0,a,0) y (0,0,a). Encontrar la expresión de la fuerza vectorial total sobre la carga en el punto P(a, a, a), suponiendo que están en el espacio libre.

RESP: |F| = 3.29 q2/(4π 0 a2).

5) Una carga puntual Q1 = 25nC está en el punto P1(4, -2,7) y una carga

Q2 = 60nC está en P2(-3, 4, -2). a) Si = 0.encontrar E en el punto P3(1, 2, 3)

b) ¿En qué punto sobre el eje y Ex = 0?

RESP: a) 4,58aX-0,15aY+5,51aZ b) -6,89 o -22,11

6) Tres cargas puntuales de 5 x 10-9 C están sobre el eje x en x = - 1,0,1 en el espacio libre. a) Encontrar E en x = 5. b) Determinar el valor y ubicación de una única carga puntual equivalente que produciría el mismo campo a grandes distancias. C) Determinar E en x = 5 utilizando la aproximación de b).

RESP: a) E(x = 5) = 5,8 ax V/m. b) x=0 c) E(x = 5) = 5,4 ax V/m

7) Una carga puntual de 2 C está en el espacio libre en A(4, 3, 5). Encontrar E ,

E y EZ en el punto P(8, 12,2)

RESP: 159,7a +27,4a -49,4aZ

8) Un dispositivo para medir cargas consiste de dos pequeñas esferas aisladas de radio a, una de las cuales está fija. La otra se puede desplazar a lo largo

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del eje x y está sujeta a una fuerza restrictiva kx, donde k es la constante del resorte. Las esferas sin carga tienen su centro en x = 0 y x = d; la última está fija. Si las esfera tienen cargas iguales y opuestas de Q coulombs, obtener la expresión para obtener Q en función de x. Determinar la máxima carga que

puede medirse en términos de 0, k y d, y obtener la separación de las

esferas. ¿Qué pasa si se aplica una carga mayor?

RESP: a) Q = 2(d − x)RAIZ(π 0 kx) b) Qmax = 4a RAIZ(π 0 k(d − 2a)) c) No hay otro

movimiento posible, así que nada sucede

9) Una carga puntual de 100 nC está en A(-1,1,3) en e1 espacio libre.

a) Encontrar la ubicación de todos los puntos P(x, y, z) en los que Ex = 500 V/m. b) Encontrar y1 si P(-2, y1, 3) se encuentra en dicho lugar.

RESP: a) (X+1)=0,56[(x+1)2+(y-1)2 +(Z-3)2]1,5 b) 1,69 o 0,31

10) Una carga de prueba positiva se utiliza para obtener el campo que produce una carga puntual positiva Q en P(a, b, c). Si la carga de prueba se coloca en el origen, la fuerza sobre ella se presenta en la dirección 0,5ax -0,5 Raíz(3)ay, y cuando la carga de prueba se desplaza al punto (1,0,0), la fuerza está en la dirección 0,6ax – 0,8ay. Encontrar a, b y c.

RESP: P(a, b, c) = (−3,344; 5,793; 0)

11) Una carga Q0 que está en el origen genera un campo cuyo valor EZ = 1 kV/m

en el punto P(-2, 1, -1). a) Encontrar Q0. Encontrar E en M(1, 6, 5) en b) coordenadas cartesianas; c) coordenadas cilíndricas; d) coordenadas esféricas.

RESP: a) -1,63 C b) -30,11aX-180,63aY-150,53aZ c) -183,12a -150,53aZ d) -237,1 ar

12) En una determinada región del espacio hay electrones moviéndose

aleatoriamente. En cualquier intervalo de 1 s, la probabilidad de encontrar un electrón en una subregión de volumen 10-15 m3 es 0,27. ¿Qué densidad volumétrica de carga debe asignársele a esa subregión para dicho intervalo?

RESP: ρv = −43.3 μC/m3

13) Una densidad volumétrica de carga uniforme de 0,2 C/m3 está en una concha

esférica que se extiende de r = 3 cm a r = 5 cm, Si , v = 0 en cualquier otra

parte, encontrar: a) la carga total presente en la concha, y b) el valor de r1 si la mitad de la carga total está en la región 3 cm < r < r1.

RESP: a) 82,1 pC b) 4,24 cm

14) En un sistema de coordenadas cilíndricas la densidad de carga varía en función del radio de acuerdo con ρv = ρ0 /(ρ

2 + a2)2 C/m3. ¿a que distancia del eje z se encuentra la mitad de la carga total?

RESP: ρ = a.

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15) Un volumen esférico de 2 m de radio tiene una densidad volumétrica de carga de 1015C/m3. a) ¿Cuál es la carga total encerrada en el volumen esférico? b) Suponer que una región de gran tamaño contiene una de estas pequeñas esferas en cada esquina de un enrejado cúbico de 3 mm de lado y que no hay cargas entre las esferas, ¿Cuál es la densidad volumétrica de carga en dicha región?

RESP: a)3,35 x 10-2 C b) 10 x 106 C/m3

16) Una densidad de carga está dada por ρv = ρ0 r/a C/m3 en una región del espacio Libre donde ρ0 y a son constantes. Encontrar la carga total dentro: a)

la esfera, r a; b) el cono, r a, 0 0,1 ; c ) la región, r a,

0 0,1 , 0 0,2

RESP: a) Qa = πρ0a3 b) Qb = 0,024πρ0a

3 c) Qc = 0,0024πρ0a

3

17) Una carga Lineal uniforme de 16 nC/m se ubica a lo largo de la línea definida

par y = -2, z = 5. Si = 0 a) encontrar E en P (1,2,3) .b ) Encontrar E en ese

punto sobre el plano z = 0 donde la dirección de E está dada por (1/3)ay - (2/3)aZ.

RESP: a) 57,5aY-28,8aZ V/m b) 23aY-46aZ

18) Una carga lineal uniforme e infinita ρL = 2 nC/m se ubica a lo largo del eje x en

el espacio libre a la vez que cargas puntuales de 8 nC se localizan en (0,0,1) y (0,0,-1). a) Encontrar E en (2,3,-4). b) ¿a qué valor se debe modificar, ρL para provocar que E sea cero en (0,0,3)?

RESP: a) Etot = 2,0 ax + 7,3 ay – 9,4 az V/m b) ρL = −3.75 nC/m

19) Una carga lineal uniforme de 2 C/m esta sobre el eje z. Encontrar E en el punto P(1, 2, 3) en coordenadas cartesianas si la carga está entre:

a)- < z < ; b) -4 z 4.

RESP: a) 7,2aX +14,4aY kV/m b) 4,9aX +9,8aY+4,9aZ kV/m

20) La porción del eje z para el que Izl < 2 conlleva una densidad de carga lineal no uniforme de 10 Izl nC/m y ρL =0 en cualquier otro lugar. Determinar E en el espacio libre en: a) (0,0,4); b) (0,4,0).

RESP: a) E(0,0,4)= 34,0 az V/m b) E(0,4,0)= 18,98 ay V/m

21) Dos cargas lineales uniformes del mismo valor con , L = 75 nC/m están ubicadas en el espacio libre en x = 0, y = 0,4 m. ¿Qué fuerza por unidad de longitud ejerce cada una de las cargas lineales sobre la otra?

RESP: 126aY N/m

22) Dos laminas de cargas uniformes idénticas tienen el valor S = 100 nC/m2 y están ubicadas en el espacio libre en z = ± 2,0 cm. ¿Cual es la fuerza por unidad de área que una hoja ejerce sobre la otra?

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RESP: F =−5.6 × 10−4

az N/m2.

23) Dada la densidad de carga de superficie s = 2 C/m2, en la región p < 0,2 m,

z= 0, y tiene el valor de cero en cualquier otro punto, encontrar E en:

a) PA( =0, z= 0,5): b) PB( =0, z= -0,5).

RESP: a) 8,1 kV/m b) -8,1 kV/m

24) Para el caso del disco cargado del problema 23, demostrar que: a) el campo a lo largo del eje z se reduce al correspondiente de una lámina de carga infinita para valores pequeños de z; b) el campo en el eje z se reduce al correspondiente de una carga puntual para valores grandes de z.

RESP: a) Ez.=ρs / 2 0 b) Ez= π(0,2)2ρs / 4π 0 z

2

25) Encontrar el valor de E en el origen si la distribuciones de carga siguientes están presentes en el espacio libre: carga puntual, 12 nC en P(2,0,6); densidad de carga lineal uniforme, 3 nC/m, en x = -2, y = 3; densidad de carga uniforme, 0,2 nC/m2 en x = 2.

RESP: -3,9aX-12,4aY-2,5aZ V/m

26) Un dipolo eléctrico consta de dos cargas puntuales de la misma magnitud pero

con signos contrarios ±Q a una distancia d entre sí. Cuando las cargas se encuentran sobre el eje z en los puntos z = ± d/2 (estando la carga positiva en la posición positiva z). el campo eléctrico en coordenadas esféricas está dado

par: E(r, ) = [Qd/(4 r3)][2cos ar + sen a ], donde r >> d. Determinar las

expresiones de la fuerza vectorial en un punto de carga utilizando coordenadas cartesianas: a) en (0,0,z); b) en (0,y,0)

RESP: a) F(0,0,z) = qQd / 4π z3 az N b) F(0,y,0) = -qQd / 4π y

3 az N

27) Dado el campo electrice E = (4x – 2y)ax, - (2x + 4y) ay, encontrar: a) la

ecuación de la línea que pasa por el punto P(2, 3, -4); b) un vector unitario que especifique la dirección de E en Q(3, -2,5).

RESP: a) y2-x2=4xy-19 b) 0,99aX+0,12aY

28) Un campo está definido por E = 2zx2 ax + 2z(x2 + 1)az. Encontrar la ecuación

de lo línea que pasa por el punto (1,3,-1)

RESP: z2 = x2 + 2ln(x).

29) Si E = 20e-5y(cos5x ax - sen5x ay), encontrar: a) |E| en P ( /6; 0,1; 2); b) un

vector unitario en la dirección de E en P; c) la ecuación de la línea que pasa por P.

RESP: a) 12,2 b) -0,87aX-0,50aY c) y=(1/5)ln(cos(5x))+0,13

30) Para campos que no cambian con respecto a z en coordenadas cilíndricas, las

ecuaciones de las líneas se obtienen resolviendo la ecuación diferencial

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E /E = d /( d ). Encontrar la ecuación de la línea que pasa por el punto

(2,30°,0) y por el campo E = cos 2 a - sen 2 a .

RESP: ρ2 = 2 Raíz(3)/ sin 2 .