UNIVERSIDAD NACIONAL JOS MARA ARGUEDAS

CURSO ESTADISTICATEMA: PROBABILIDADES

PROBABILIDADESExperimentos y Eventos

Es una medida numrica, en que grado se produce una situacin, tiene un rangoEntre cero 0 y 1

ProbabilidadEs la medida numrica de la posibilidad de que un evento pueda ocurrir.Su valor est entre 0 y 1

CiertoImposible0.51050 %0 %100 %

Experimentos y EventosCul es la probabilidad de obtener una cara, si arrojamos una moneda una vez?

Experimentos y EventosCul es la probabilidad de obtener 1 cara si arrojamos una moneda tres veces?

CSCCCCCSSSSSSCRBOL DEPROBABILIDADES

Experimentos y EventosSi lanzamos 2 dados, cul es la probabilidad de obtener un puntaje de 7?

Experimentos y EventosCul es la probabilidad de sacar un as al sacar un naipe de una baraja?

DefinicionesExperimentoActividad que origina un evento. Proceso de hacer una observacin y obtener un resultado. EventoUno o ms de los posibles resultados de un experimento.Espacio MuestralColeccin de todos los posibles resultados de un experimento.

Lanz. una monedaCara, Sello.Lanz. dos veces una monedasCC, CS, SC, SSSacar una carta (valor)2, 2, ..., A (52)Sacar una carta (color)Roja, NegraLanzar un dado.1, 2, 3, 4, 5, 6Jugar un partidoGanar, Empatar, PerderInspeccionar una parteDefectuoso, Bueno ExperimentoEspacio Muestral

Algunos principios de conteoFrmula de la multiplicacin: si hay m modos de hacer una cosa y n formas de hacer otra, existen m x n formas de hacer ambas.EJEMPLO: Una persona tiene 10 camisas y 8 corbatas. Cuntos conjuntos de camisas /corbatas tiene? (10)(8) = 80.5-37

Enfoques de la probabilidadProbabilidad clsica: se basa en la consideracin de que los resultados de un experimento son igualmente posibles.Utilizando el punto de vista clsico,5-4

Frecuencia Relativa: La probabilidad de que un evento ocurra a largo plazo se determina observando en qu fraccin de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado.5-8Enfoques de la probabilidad

Probabilidad Subjetiva: La probabilidad de que suceda un evento especfico que asigna una persona con base en cualquier informacin disponible.Ejemplos de la probabilidad subjetiva son estimar la probabilidad de que un equipo de ftbol gane el campeonato este ao.5-10Enfoques de la probabilidad

Clases de EventosEventos Mutuamente ExcluyentesDos o ms eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo.A: Reina de Corazones; B: Reina de EspadasLos eventos A y B son mutuamente excluyentes.Eventos No Mutuamente ExcluyentesDos o ms eventos que si pueden ocurrir al mismo tiempo.A: Naipes de Corazones; B: AsLos eventos A y B no son mutuamente excluyentes.El As de Corazones

Mutuamente ExcluyentesEvento AEvento BEspacio Muestral

No Mutuamente Excluyentes

Reglas bsicas de probabilidadSi los eventos son mutuamente excluyentes, la ocurrencia de cualquier evento impide que el otro evento ocurra.5-11

Regla de la AdicinSi dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de sus probabilidades respectivas:P(A o B) = P(A) + P(B)Probabilidad que al lanzar una moneda salga cara o sello.

Regla del complementoLa regla del complemento se utiliza para determinar la probabilidad de un evento, conociendo su probabilidad de No Ocurrencia. Se obtiene restando del nmero 1 la probabilidad de que No ocurra un evento. Si P(A) es la probabilidad del evento A y P(Ac) es el complemento de A, P(A) + P(Ac) = 1P(A) = 1 P(Ac).5-14

Complemento

Regla especial de la adicinSi A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) se calcula con la siguiente frmula:P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)5-18

Regla especial de la AdicinP(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

PROBABILIDADESIndependencia y Dependencia Estadstica

Independencia EstadsticaLa presentacin de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de presentacin de cualquier otro evento.Probabilidad Marginal o IncondicionalProbabilidad ConjuntaProbabilidad CondicionalDependencia estadstica se presenta cuando un evento, influye en el otro eventoPor Ej.. Existe la probabilidad de contraer enfermedad cncer de mamas, con Mayor probabilidad ms de mujeres que en hombres, entonces eln evento de tenerCncer de mamas, depende de ser hombre o mujer, entonces existe dependenciaestadstica

Probabilidad MarginalProbabilidad simple de presentacin de un evento. P(A).Probabilidad de obtener un as.Probabilidad de obtener una carta de corazones.Probabilidad de sacar una cara al lanzar una moneda.

Probabilidad ConjuntaProbabilidad de que dos o ms eventos independientes se presenten juntos o en sucesin. P(AB) o P(A,B) o P(AyB).Probabilidad de sacar un as de corazones.Probabilidad de obtener tres caras al lanzar una moneda tres veces.

5-23

Regla especial de multiplicacinLa regla especial de multiplicacin requiere que dos eventos A y B sean independientes.P(A y B) = P(A B)= P(A) * P(B). 5-24Se multiplican las probabilidades de cada evento, se obtiene la probabilidadConjunta.

P(A1 y B2)P(A1)TotalEvento Tabla de ContingenciaP(A2 y B1)P(A1 y B1)EventoTotal1Probabilidad ConjuntaProbabilidad Marginal (Simple)A1A2B1B2 P(B1) P(B2)P(A2 y B2)P(A2)

Tabla de ContingenciaNegroColorTipoRojoTotalAs224No As242448Total262652La probabilidad conjunta de sacar un as de color rojo es2/52= 1/26

Tabla de ContingenciaNegroColorTipoRojoTotalAs1/261/262/26No As6/136/1312/13Total13/2613/2626/26

Escoger un artculoCul es la Probabilidad?P (A) = 6/10P (D) = 5/10P (C y B) = 1/10P (A o D) =9/10P (B y D) = 3/10A: Artculos en idioma espaolB: Artculos en idioma ingls.C: Artculos sobre estadstica.D: Artculos sobre gestin.

Evento

Evento

C

D

Total

A

4

2

6

B

1

3

4

Total

5

5

10

SolucinLas probabilidades son:P (A) = 6/10P (D) = 5/10P (C y B) = 1/10P (A o D) = 9/10P (B y D) = 3/10

Evento

Evento

C

D

Total

A

4

2

6

B

1

3

4

Total

5

5

10

Probabilidad CondicionalProbabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que otro evento ya ocurri. P(A|B). Probabilidad de A dado B.En el caso de eventos independientes, como el evento B no influye en el evento A: P(A|B) = P(A)(Sirve para demostrar A y B son independientes)

5-27En este caso, la prob. De B,No me interesa

Dependencia EstadsticaCuando la probabilidad de que se presente algn evento depende o se ve afectada por la presentacin de algn otro evento.Probabilidad CondicionalProbabilidad ConjuntaProbabilidad Marginal

Color: CGrises: GPuntos: PRayas: R

P(P|C) = 3/4P(P,C) = 3/10 P(C) = 4/10Probabilidad Condicional

P(R|C) = 1/4P(R,C) = 1/10P(C) = 4/10

P(P|G) = 2/6 = 1/3P(P,G) = 2/10P(G) = 6/10

P(G|P) = 2/5P(G,P) = 2/10P(P) = 5/10

P(C|R) = 1/5P(C,R) = 1/10P(R) = 5/10

Probabilidad Condicional(Dependencia Estadstica)Donde la probabilidad conjunta es igual, pero no la prob. condicional

Probabilidad Conjunta(Dependencia Estadstica)

P(C,R) = P(C|R)*P(R) = 1/5 * 5/10 = 1/10P(C,P) = P(C|P)*P(P) = 3/5 * 5/10 = 3/10

Probabilidad Marginal(Dependencia Estadstica)Suma de las probabilidades de TODOS los eventos CONJUNTOS en los que se presenta el evento sencillo.P(C,R) = P(C|R)*P(R) = 1/5 * 5/10 = 1/10P(C,P) = P(C|P)*P(P) = 3/5 * 5/10 = 3/10P(C) = P(C,R) + P(C,P) = 1/10 + 3/10 = 4/10

EjercicioCul es la probabilidad?P (A|D) =P (C|B) = 1/4Son C y B independientes?A: Artculos en idioma espaolB: Artculos en idioma ingls.C: Artculos sobre estadstica.D: Artculos sobre gestin.

Evento

Evento

C

D

Total

A

4

2

6

B

1

3

4

Total

5

5

10

Evento

Evento

C

D

Total

A

4

2

6

B

1

3

4

Total

5

5

10

Tipos de ProbabilidadesCondiciones deDependencia EstadsticaCondiciones deIndependencia EstadsticaTipos deProbabilidadSmboloMarginal P ( A ) P ( A ) P (ABi)Condicional P ( A|B ) P ( A ) P (A,B) / P ( B )Conjunta P ( A,B ) P ( A ) x P (B) P (A | B) x P (B )

Teorema de BayesRevisin de ProbabilidadesPosibilidadesa prioriInformacinNuevaTeorema de BayesPosibilidadesposteriores

Teorema de BayesEn un pueblo alejado, 5% de la poblacin padece una enfermedad originaria de dicho lugar. A priori podemos afirmar que la probabilidad de que una persona seleccionada al azar padezca la enfermedad es 5%, y de que no la padezca es 95%.Existe una prueba de diagnstico para detectar la enfermedad. Si una persona tiene la enfermedad, la prueba sale positiva en 90% de los casos. La estadstica muestra adems que en 15% de los casos, a pesar de que la persona no padeca la enfermedad, la prueba sali positiva.Si escogemos a una persona, y al hacerle la prueba de diagnstico, sta sale positiva, Cul es la probabilidad de que la persona tenga realmente la enfermedad?

Est enfermoNO est enfermo0.050.95Prueba PositivaPrueba NegativaPrueba PositivaPrueba Negativa0.900.100.150.85P(E)P(no E)P(P|E)P(N|E)P(P|noE)P(N|noE)P(E,P)=0.05x0.90=0.0450P(E,N)=0.05x0.10=0.0050P(noE,P)=0.95x0.15=0.1425P(noE,N)=0.95x0.85=0.8075 0.0450 +0.14250.1875

Teorema de BayesUna manufacturera recibe embarques de piezas de dos proveedores. El 65% de las piezas adquiridas provienen del proveedor 1 y el 35% restante del proveedor 2. Segn la estadstica existente, de las 100 ltimas piezas recibidas del proveedor 1, 98 estuvieron buenas y 2 estuvieron malas. En el caso del proveedor 2, 95 piezas de 100 estuvieron buenas y 5 fueron malas. Suponga que una de las piezas recibidas de los dos proveedores est mala, cul es la probabilidad que provenga del proveedor 1? Cul es la probabilidad que provenga del proveedor 2?

Proveedor 1Proveedor 20.650.35BuenaMalaBuenaMala0.980.020.950.05P(1)P(2)P(B|1)P(M|1)P(B|2)P(M|2)P(1,B)=0.65x0.98=0.6370P(1,M)=0.65x0.02=0.0130P(2,B)=0.35x0.95=0.3325P(2,M)=0.35x0.05=0.0175 0.0130 +0.01750.0305

Tabla de Excel

Hoja1

Pr. MarginalPr. CondicionalPr. Conjunta

EventoP(Evento)P(Mala|Evento)P(Evento,Mala)

Proveedor 10.650.020.0130P(1,Mala)

Proveedor 20.350.050.0175P(2,Mala)

0.0305P(Mala)

P(1|M)0.4262

P(2|M)0.5738

Hoja1 (2)

Pr. MarginalPr. CondicionalPr. CondicionalPr. CondicionalPr. Conjunta

EventoP(Evento)P(B/Evento)P(B/Evento)P(B/Evento)P(Evento,BBB)

Calibrada0.700.900.900.900.5103P(Calibrada, BBB)

No Calibrada0.300.400.400.400.0192P(No Calibrada, BBB)

0.5295P(BBB)

P(Calibrada/BBB)0.9637

P(No Calibrada/BBB)0.0363

1

Hoja2

Hoja3

Teorema de BayesEn una fbrica existe una mquina que produce automticamente engranajes. Si la mquina est correctamente calibrada producir 90% de piezas buenas. Si est mal calibrada producir slo 40% de piezas buenas. La experiencia pasada indica que el 70% de los trabajos de calibracin dan buenos resultados. Luego de un trabajo de mantenimiento, la mquina produce 3 engranajes buenos, como las primeras tres piezas.Se desea conocer la probabilidad revisada que la calibracin halla sido buena?

CalibradaNo CalibradaBuenaBuenaBuenaBuenaBuenaBuena0.900.300.900.900.400.400.40MalaMalaMala0.100.100.100.600.600.60MalaMalaMala0.70P(C)P(NC)P(B|C)P(BB|C)P(BBB|C)P(C,BBB)=0.70x(0.90)3=0.5103P(NC,BBB)=0.30x(0.40)3=0.0192 0.5103 +0.01920.5295

Tabla de Excel

Hoja1

Pr. MarginalPr. CondicionalPr. Conjunta

EventoP(Evento)P(Mala|Evento)P(Evento,Mala)

Proveedor 10.650.020.0130P(1,Mala)

Proveedor 20.350.050.0175P(2,Mala)

0.0305P(Mala)

P(1|M)0.4262

P(2|M)0.5738

Hoja1 (2)

Pr. MarginalPr. CondicionalPr. CondicionalPr. Conjunta

EventoP(Evento)P(B|Evento)P(BBB|Evento)P(Evento,BBB)

Calibrada0.700.900.72900.5103P(Calibrada, BBB)

No Calibrada0.300.400.06400.0192P(No Calibrada, BBB)

0.5295P(BBB)

P(Calibrada|BBB)0.9637

P(No Calibrada|BBB)0.0363

1

Hoja2

Hoja3

GRACIAS

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