probabilidades y simulaciones asociadas a un …

PROBABILIDADES YSIMULACIONES ASOCIADAS A

UN JUEGO DE BLACKJACK

CARLOS A. RODRIGUEZUniversidad Tecnologica de PereiraMaestrıa en Ensenanza de la MatematicaDireccion: M.Sc. Jose Gerardo Cardona.

Abril de 2013.

INTRODUCCION

La versatilidad de las herramientas matematicas nos permiten en la ac-tualidad, apoyados en la informatica y en otros recursos didacticos, realizarestudios de diversos problemas de nuestro entorno.Cualquiera que fuera el estudio, en la actualidad podemos reducir tiemposde calculo y de procedimientos, incluso tiempo de experimentacion fısica alsimular todas las situaciones que vamos a estudiar.El estudio de los juegos de azar ha llamado la atencion de los matematicosdesde hace varios siglos, convirtiendose en una rama de las matematicas1. Ydicho estudio, se fundamenta generalmente en la teorıa de las probabilidadesaunque no sea de una manera muy simple.Es este el caso del Blackjack, que por su forma un poco compleja de desarro-llarse, resulta un poco complejo de entenderse sin las herramientas necesariaspara el extenso desarrollo de todas las posibles opciones que surgen en eldesarrollo del juego. He aquı la necesidad de recurrir a sistemas de computopara simular diversas partidas que pudieramos tener en el juego, tal comolas presento el matematico Edward Thorp en la decada de 1960. A partirde estas simulaciones, se ha podido deducir la no total dependencia de estejuego al completo azar, debido a ciertas probabilidades condicionales quedeben ser tenidas en cuenta en cada uno de los diferentes juegos posibles.Surge entonces el problema de determinar cuales son todas estas posiblescombinaciones de cartas que se van a obtener en el juego, cuales serıan susprobabilidades y que tanto infieren en cada uno de los procesos que se de-sarrollan en el juego.A partir del inicio del juego, nos encontramos en una situacion en la cualse reparten dos cartas de una baraja de cincuenta y dos, donde los valoresnumericos conservan su valor, las figuras2 toman un valor de diez puntos yel as (A) puede valer uno u once puntos, dependiendo de su conveniencia en

1Teorıa de Juegos.2Jack (J), Queen (Q) y King (K).

i

el juego y debemos llegar maximo a los veintiun puntos con la combinacionde dos o mas de estas cartas. Como no es tan probable obtener este objetivoen la primer mano, entran a hacer parte del juego las probabilidades quenos ayudan a decidir si debemos pedir o no una o mas cartas adicionalespara lograr nuestro objetivo y el estudio de estas probabilidades nos llevapoco a poco hasta el calculo de una permutacion un poco extensa, 52P5, quesupera los trescientos millones de juegos diferentes con los que nos podemosencontrar.Dado que hasta el momento se conocıan solamente las posibilidades diferen-tes y se calculaba la probabilidad de obtener una u otra mano de un posiblejuego como una aplicacion de las tecnicas de conteo de un curso basico deprobabilidad, se presentan en el desarrollo del presente texto cada una detodas las posibles permutaciones que nos podemos encontrar sı jugaramosal blackjack.A partir de cada una de estas posibles combinaciones en cada estado deljuego, es decir, segun la cantidad de cartas que tengamos en nuestras manos,se estudian las probabilidades correspondientes que sustentan teoricamenteque tan viable es solicitar una carta adicional en cada estado del juego sinsuperar los veintiun puntos.Adicionalmente, estos estudios teoricos se ven corroborados con una simu-lacion Montecarlo que nos muestra diferentes manos generadas pseudoaleato-riamente con el uso de una hoja de calculo y que a su vez nos muestra lasfrecuencias absolutas de una corrida de diez mil manos diferentes en lascuales el computador se detiene con dos, tres, cuatro o con cinco cartas.

Indice general

1. EL JUEGO DE BLACKJACK 11.1. Introduccion al Juego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Historia del Conteo de las Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack . . 2

2. TEORIA RELACIONADA CON EL BLACKJACK 912.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.2. Conceptos Previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.3. Definiciones Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.4. Teorıa de Parada Optima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3. SIMULACIONES Y ANALISIS ESTADISTICOS APLICA-DOS AL JUEGO 973.1. Dos Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.2. Tres Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.3. Cuatro Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.4. El Proceso de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.5. Simulacion del Juego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.6. Analisis Comparativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.6.1. Dos Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.6.2. Tres Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.6.3. Cuatro Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.6.4. Cinco Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.7. Parada del Proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4. CONCLUSIONES 115

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Indice de tablas

1.1. Combinaciones Para Dos Cartas. . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Combinaciones Para Tres Cartas. . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Combinaciones Para Cuatro Cartas. . . . . . . . . . . . . . . 331.4. Combinaciones Para Cinco Cartas. . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.1. Probabilidades para dos cartas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.2. Probabilidades para pedir una tercera carta. . . . . . . . . . . 1003.3. Probabilidades para tres cartas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.4. Probabilidades para pedir una cuarta carta. . . . . . . . . . . 1033.5. Probabilidades para cuatro cartas. . . . . . . . . . . . . . . . 1053.6. Probabilidades para pedir una quinta carta. . . . . . . . . . . 1063.7. Comparaciones para dos cartas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.8. Comparaciones para tres cartas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.9. Comparaciones para cuatro cartas. . . . . . . . . . . . . . . . 1123.10. Comparaciones para cinco cartas. . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.11. Parada del Proceso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

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Indice de figuras

3.1. Probabilidades para dos cartas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.2. Probabilidades para pedir una tercera carta. . . . . . . . . . . 993.3. Probabilidades para tres cartas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.4. Probabilidades para pedir una cuarta carta. . . . . . . . . . . 1023.5. Probabilidades para cuatro cartas. . . . . . . . . . . . . . . . 1043.6. Probabilidades para pedir una quinta carta. . . . . . . . . . . 1063.7. Comparacion para dos cartas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.8. Comparacion para tres cartas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.9. Comparacion para cuatro cartas. . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.10. Comparacion para cinco cartas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.11. Parada del proceso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

vii

Capıtulo 1

EL JUEGO DEBLACKJACK

1.1. Introduccion al Juego

La premisa basica del juego de blackjack o 21 como se conoce tambien,consiste en obtener una serie de cartas cuyos valores sumados sean lo mascercanos a veintiun puntos pero sin sobrepasar este valor. El puntaje puedeser igual pero no mayor a este puntaje pues en este caso, el jugador pierde.

Inicialmente, el tallador1 reparte a cada uno de los jugadores un par decartas2 y dependiendo de los puntos obtenidos con las cartas, el jugadorpuede pedir las cartas necesarias, sin exceder de cinco cartas porque en estecaso ganarıa inmediatamente, hasta lograr obtener un puntaje menor o iguala veintiuno.

Los puntos para las cartas numericas equivalen al numero correspondien-te, las comunmente llamadas figuras tienen un valor de diez puntos y el aspuede valer uno u once puntos, dependiendo del criterio del jugador y delvalor que le sea mas conveniente en su mano.

Debido a que el objetivo del proyecto es investigar sobre un problema deparada optima, vamos a estudiar el caso en el cual tenemos un solo jugador

1Dealer: Persona encargada de repartir las cartas a los jugadores.2Una carta se entrega con la cara hacia arriba o descubierta y la otra con la cara haciaabajo o cubierta.

1

1.2. Historia del Conteo de las Cartas Capıtulo 1

que esta recibiendo las cartas de una baraja nueva3. Se asume que la proba-bilidad de obtener cada carta que se requiera en este estudio, corresponde aun evento totalmente aleatorio que solo dependera condicionalmente de lascartas que el jugador tenga en el momento inmediatamente anterior al desolicitar una carta nueva.

1.2. Historia del Conteo de las Cartas

Desde el siglo anterior, ha sido propuesto que el juego del blackjack noes completamente aleatorio y que bajo ciertas tecnicas de conteo de cartas4,un jugador puede estar mas seguro de su posibilidad de ganar si conoce ytiene en cuenta las cartas ya jugadas. En este caso, este conteo es el que seaplica porque en cada paso del procedimiento, vamos a conocer cuales sonlas cartas que se encuentran en juego y cuales son las cartas de la barajaque aun no han sido jugadas.

Es de notar que el conteo de las cartas esta prohibido en los casinos,ası como el uso de dispositivos que permitan el calculo de las probabilidadesmencionadas anteriormente; sin embargo, usaremos estas probabilidades enel presente documento como un estudio matematico del proceso aleatorioque se ve involucrado en el juego de blackjack.

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juegode Blackjack

Al asumir que un jugador se encuentra frente a una baraja nueva5 y quelas cartas se encuentran barajadas, se espera que el hecho de obtener unacarta cualquiera en el inicio del juego es un proceso totalmente aleatorio; yque al solicitar una carta al momento de necesitarla, nos encontramos conuna probabilidad condicional que va a depender solo de las cartas que eljugador tiene en sus manos.

3El jugador empezara con una probabilidad basada en las cincuenta y dos cartas de labaraja.

4Desarrollada y estudiada matematicamente por Edward Thorp y aplicada a los casinospor el famoso jugador Ken Uston.

5Con sus cincuenta y dos cartas.

2

Capıtulo 1 1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

Ahora, al iniciar el juego se van a recibir dos cartas de una baraja de cin-cuenta y dos. Es decir, nos encontraremos con la permutacion 52P2, lo queequivale a dos mil seiscientas cincuenta y dos (2652) opciones de juego dife-rentes. En la siguiente tabla se presenta distribuido segun el puntaje, cuantaspermutaciones se generan dependiendo de los puntos obtenidos, cual es laprobabilidad de obtener cierto puntaje y dado el caso de que se solicitara unacarta, cual serıa la probabilidad de obtener un puntaje menor que veintiuno.

Para realizar este conteo, se requieren tecnicas de conteo basicas, co-mo lo son el principio de multiplicacion y las permutaciones. Por ejemplo,para el calculo de una permutacion que posee dos cartas diferentes, y queninguna de esta carta toma el valor de diez, nos encontramos con una multi-plicacion basica. Para ser mas puntuales, supongamos que vamos a calcularlas permutaciones posibles para obtener un siete y un cuatro; entonces, haycuatro sietes y cuatro cuatros en la baraja y las posibles formas diferentesde obtener esta permutacion son calculadas con la multiplicacion 4× 4× 2.Sı desearamos calcular una probabilidad para una carta repetida, que notome el valor de diez duntos, se realiza la operacion 4×3×2. Para las cartasque toman el valor de diez puntos, como hay diez y seis en la baraja, seusarıa este numero para multiplicarse por un cuatro sı es una carta que notoma el valor de diez o por un quince si es una carta que tambien toma elvalor de diez.

Puntaje Cartas Permutaciones Probabilidad P≤ 212 a-a 12 0,00452489 1

Total 0,004524893 a-2 32 0,01206637 1

Total 0,012066374 a-3 32 0,01206637 14 2-2 12 0,00452489 1

Total 0,016591265 a-4 32 0,01206637 15 2-3 32 0,01206637 1

Total 0,024132746 a-5 32 0,01206637 16 2-4 32 0,01206637 16 3-3 12 0,00452489 1

Total 0,028657637 a-6 32 0,01206637 1

3

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack Capıtulo 1

7 2-5 32 0,01206637 17 3-4 32 0,01206637 1

Total 0,036199118 a-7 32 0,01206637 18 2-6 32 0,01206637 18 3-5 32 0,01206637 18 4-4 12 0,00452489 1

Total 0,0407249 a-8 32 0,01206637 19 2-7 32 0,01206637 19 3-6 32 0,01206637 19 4-5 32 0,01206637 1

Total 0,0482654810 a-9 32 0,01206637 110 2-8 32 0,01206637 110 3-7 32 0,01206637 110 4-6 32 0,01206637 110 5-5 12 0,00452489 1

Total 0,0527903711 a-10 128 0,04826546 Blackjack11 2-9 32 0,01206637 111 3-8 32 0,01206637 111 4-7 32 0,01206637 111 5-6 32 0,01206637 1

Total 0,0965309212 2-10 128 0,04826546 0,712 3-9 32 0,01206637 0,6812 4-8 32 0,01206637 0,6812 5-7 32 0,01206637 0,6812 6-6 12 0,00452489 0,68

Total 0,08898944213 3-10 128 0,04826546 0,6213 4-9 32 0,01206637 0,6213 5-8 32 0,01206637 0,613 6-7 32 0,01206637 0,6

Total 0,08446455514 4-10 128 0,04826546 0,54

4


14 5-9 32 0,01206637 0,5414 6-8 32 0,01206637 0,5414 7-7 12 0,00452489 0,52

Total 0,07692307715 5-10 218 0,04826546 0,4615 6-9 32 0,01206637 0,4615 7-8 32 0,01206637 0,48

Total 0,0723981916 6-10 128 0,04826546 0,416 7-9 32 0,01206637 0,416 8-8 12 0,00452489 0,4

Total 0,06485671217 7-10 128 0,04826546 0,3217 8-9 32 0,01206637 0,32

Total 0,06033182518 8-10 128 0,04826546 0,2418 9-9 12 0,00452489 0,24

Total 0,05279034719 9-10 128 0,04826546 0,16

Total 0,0482654620 10-10 240 0,09049774 0,08

Total 0,09049774Tabla 1.1: Combinaciones Para Dos Cartas.

Ahora, dependiendo de las cartas obtenidas, el jugador deberıa consi-derar el pedir una nueva carta. Para este caso, se presentan las posiblesopciones que podemos obtener al solicitar una tercera carta.Adicionalmente, ponemos las permutaciones, las probabilidades de obtenerun juego dado y la probabilidad de que al pedir otra carta, el puntaje seamenor o igual a veintiuno.Las tecnicas que se usan para este conteo son un poco mas complejas debidoa que han crecido bastante las posibles combinaciones que debemos teneren cuenta. Por ejemplo, si fuesemos a calcular las posibles opciones paraobtener tres cartas diferentes y que ninguna de estas valiera diez puntos, lamultiplicacion serıa 4 × 4 × 4 × 6, y si alguna de estas tomara el valor dediez puntos, deberıamos cambiar un cuatro por un diez y seis. Pero, donde

5


hubiese una carta repetida, al principio de multiplicacion debemos ponerleun producto adicional que tenga en cuenta las tres posiciones diferentes enlas cuales se pueda realizar el arreglo, en este caso, multiplicar por un tres.

Puntaje Cartas Permutaciones Probabilidad P≤ 213 a-a-a 24 0,000181 1

Total 0,0001814 a-a-2 144 0,00108597 1

Total 0,001085975 a-a-3 144 0,00108597 15 a-2-2 144 0,00108597 1

Total 0,002171956 a-a-4 144 0,00108597 16 a-2-3 384 0,00289593 16 2-2-2 24 0,000181 1

Total 0,00416297 a-a-5 144 0,00108597 17 a-2-4 384 0,00289593 17 a-3-3 144 0,00108597 17 2-2-3 144 0,00108597 1

Total 0,006153858 a-a-6 144 0,00108597 18 a-2-5 384 0,00289593 18 a-3-4 384 0,00289593 18 2-2-4 144 0,00108597 18 2-3-3 144 0,00108597 1

Total 0,009049789 a-a-7 144 0,00108597 19 a-2-6 384 0,00289593 19 a-3-5 384 0,00289593 19 a-4-4 144 0,00108597 19 2-2-5 144 0,00108597 19 2-3-4 384 0,00289593 19 3-3-3 24 0,000181 1

Total 0,012126710 a-a-8 144 0,00108597 110 a-2-7 384 0,00289593 110 a-3-6 384 0,00289593 1

6


10 a-4-5 384 0,00289593 110 2-2-6 144 0,00108597 110 2-3-5 384 0,00289593 110 2-4-4 144 0,00108597 110 3-3-4 144 0,00108597 1

Total 0,015927611 a-a-9 144 0,00108597 Blackjack11 a-2-8 384 0,00289593 Blackjack11 a-3-7 384 0,00289593 Blackjack11 a-4-6 384 0,00289593 Blackjack11 a-5-5 144 0,00108597 Blackjack11 2-2-7 144 0,00108597 111 2-3-6 384 0,00289593 111 2-4-5 384 0,00289593 111 3-3-5 144 0,00108597 111 3-4-4 144 0,00108597 1

Total 0,0199095112 a-a-10 576 0,00434389 0,9444444412 a-2-9 384 0,00289593 0,9166666712 a-3-8 384 0,00289593 0,9166666712 a-4-7 384 0,00289593 0,9166666712 a-5-6 384 0,00289593 0,9166666712 2-2-8 144 0,00108597 0,9166666712 2-3-7 384 0,00289593 0,9166666712 2-4-6 384 0,00289593 0,9166666712 2-5-5 144 0,00108597 0,9166666712 3-3-6 144 0,00108597 0,9166666712 3-4-5 384 0,00289593 0,9166666712 4-4-4 24 0,000181 0,91666667

Total 0,028054313 a-2-10 1536 0,01158371 0,937513 a-3-9 384 0,00289593 0,937513 a-4-8 384 0,00289593 0,9062513 a-5-7 384 0,00289593 0,9062513 a-6-6 144 0,00108597 0,9062513 2-2-9 144 0,00108597 0,937513 2-3-8 384 0,00289593 0,90625

7


13 2-4-7 384 0,00289593 0,9062513 2-5-6 384 0,00289593 0,9062513 3-3-7 144 0,00108597 0,9062513 3-4-6 384 0,00289593 0,9062513 3-5-5 144 0,00108597 0,9062513 4-4-5 144 0,00108597 0,90625

Total 0,0372850714 a-3-10 1536 0,01158371 0,5306122414 a-4-9 384 0,00289593 0,5306122414 a-5-8 384 0,00289593 0,5306122414 a-6-7 384 0,00289593 0,5102040814 2-2-10 576 0,00434389 0,5306122414 2-3-9 384 0,00289593 0,5306122414 2-4-8 384 0,00289593 0,5306122414 2-5-7 384 0,00289593 0,5102040814 2-6-6 144 0,00108597 0,5102040814 3-3-8 144 0,00108597 0,5102040814 3-4-7 384 0,00289593 0,5102040814 3-5-6 384 0,00289593 0,5102040814 4-4-6 144 0,00108597 0,5102040814 4-5-5 144 0,00108597 0,51020408

Total 0,0434389115 a-4-10 1536 0,01158371 0,4489795915 a-5-9 384 0,00289593 0,4489795915 a-6-8 384 0,00289593 0,4489795915 a-7-7 144 0,00108597 0,4693877615 2-3-10 1536 0,01158371 0,4489795915 2-4-9 384 0,00289593 0,4489795915 2-5-8 384 0,00289593 0,4489795915 2-6-7 384 0,00289593 0,4489795915 3-3-9 144 0,00108597 0,4489795915 3-4-8 384 0,00289593 0,4489795915 3-5-7 384 0,00289593 0,4489795915 3-6-6 144 0,00108597 0,4285714315 4-4-7 144 0,00108597 0,4489795915 4-5-6 384 0,00289593 0,4285714315 5-5-5 24 0,000181 0,42857143

8


Total 0,0508597316 a-5-10 1536 0,01158371 0,3673469416 a-6-9 384 0,00289593 0,387755116 a-7-8 384 0,00289593 0,387755116 2-4-10 1536 0,01158371 0,3673469416 2-5-9 384 0,00289593 0,3673469416 2-6-8 384 0,00289593 0,387755116 2-7-7 144 0,00108597 0,387755116 3-3-10 576 0,00434389 0,3673469416 3-4-9 384 0,00289593 0,3673469416 3-5-8 384 0,00289593 0,3673469416 3-6-7 384 0,00289593 0,387755116 4-4-8 144 0,00108597 0,3673469416 4-5-7 384 0,00289593 0,3673469416 4-6-6 144 0,00108597 0,387755116 5-5-6 144 0,00108597 0,36734694

Total 0,0550226217 a-6-10 1536 0,01158371 0,3061224517 a-7-9 384 0,00289593 0,3061224517 a-8-8 144 0,00108597 0,3061224517 2-5-10 1536 0,01158371 0,3061224517 2-6-9 384 0,00289593 0,3061224517 2-7-8 384 0,00289593 0,3061224517 3-4-10 1536 0,01158371 0,3061224517 3-5-9 384 0,00289593 0,3061224517 3-6-8 384 0,00289593 0,3061224517 3-7-7 144 0,00108597 0,3061224517 4-4-9 144 0,00108597 0,2653061217 4-5-8 384 0,00289593 0,3061224517 4-6-7 384 0,00289593 0,3061224517 5-5-7 144 0,00108597 0,3265306117 5-6-6 144 0,00108597 0,32653061

Total 0,0604524918 a-7-10 1536 0,01158371 0,224489818 a-8-9 384 0,00289593 0,224489818 2-6-10 1536 0,01158371 0,224489818 2-7-9 384 0,00289593 0,2244898

9


18 2-8-8 144 0,00108597 0,224489818 3-5-10 1536 0,01158371 0,224489818 3-6-9 384 0,00289593 0,224489818 3-7-8 384 0,00289593 0,224489818 4-4-10 576 0,00434389 0,2448979618 4-5-9 384 0,00289593 0,2448979618 4-6-8 384 0,00289593 0,2448979618 4-7-7 144 0,00108597 0,2448979618 5-5-8 144 0,00108597 0,2448979618 5-6-7 384 0,00289593 0,2448979618 6-6-6 24 0,000181 0,24489796

Total 0,0628054319 a-8-10 1536 0,01158371 0,1428571419 a-9-9 144 0,00108597 0,1428571419 2-7-10 1536 0,01158371 0,1428571419 2-8-9 384 0,00289593 0,1428571419 3-6-10 1536 0,01158371 0,1632653119 3-7-9 384 0,00289593 0,1632653119 3-8-8 144 0,00108597 0,1632653119 4-5-10 1536 0,01158371 0,1632653119 4-6-9 384 0,00289593 0,1632653119 4-7-8 384 0,00289593 0,1632653119 5-5-9 144 0,00108597 0,1632653119 5-6-8 384 0,00289593 0,1632653119 5-7-7 144 0,00108597 0,1632653119 6-6-7 144 0,00108597 0,16326531

Total 0,0662443420 a-9-10 1536 0,01158371 0,0612244920 2-8-10 1536 0,01158371 0,0816326520 2-9-9 144 0,00108597 0,0816326520 3-7-10 1536 0,01158371 0,0816326520 3-8-9 384 0,00289593 0,0816326520 4-6-10 1536 0,01158371 0,0816326520 4-7-9 384 0,00289593 0,0816326520 4-8-8 144 0,00108597 0,0816326520 5-5-10 576 0,00434389 0,0816326520 5-6-9 384 0,00289593 0,08163265

10


20 5-7-8 384 0,00289593 0,0816326520 6-6-8 144 0,00108597 0,0816326520 6-7-7 144 0,00108597 0,08163265

Total 0,0666063321 a-10-10 2880 0,02171946 Blackjack21 2-9-10 1536 0,01158371 Blackjack21 3-8-10 1536 0,01158371 Blackjack21 3-9-9 144 0,00108597 Blackjack21 4-7-10 1536 0,01158371 Blackjack21 4-8-9 384 0,00289593 Blackjack21 5-6-10 1536 0,01158371 Blackjack21 5-7-9 384 0,00289593 Blackjack21 5-8-8 144 0,00108597 Blackjack21 6-6-9 144 0,00108597 Blackjack21 6-7-8 384 0,00289593 Blackjack21 7-7-7 24 0,000181 Blackjack

Total 0,08018122 2-10-10 2880 0,02171946 022 3-9-10 1536 0,01158371 022 4-8-10 1536 0,01158371 022 4-9-9 144 0,00108597 022 5-7-10 1536 0,01158371 022 5-8-9 384 0,00289593 022 6-6-10 576 0,00434389 022 6-7-9 384 0,00289593 022 6-8-8 144 0,00108597 022 7-7-8 144 0,00108597 0

Total 0,0698642523 3-10-10 2880 0,02171946 023 4-9-10 1536 0,01158371 023 5-8-10 1536 0,01158371 023 5-9-9 144 0,00108597 023 6-7-10 1536 0,01158371 023 6-8-9 384 0,00289593 023 7-7-9 144 0,00108597 023 7-8-8 144 0,00108597 0

Total 0,06262443

11


24 4-10-10 2880 0,02171946 024 5-9-10 1536 0,01158371 024 6-8-10 1536 0,01158371 024 6-9-9 144 0,00108597 024 7-7-10 576 0,00434389 024 7-8-9 384 0,00289593 024 8-8-8 24 0,000181 0

Total 0,0533936725 5-10-10 2880 0,02171946 025 6-9-10 1536 0,01158371 025 7-8-10 1536 0,01158371 025 7-9-9 144 0,00108597 025 8-8-9 144 0,00108597 0

Total 0,0470588226 6-10-10 2880 0,02171946 026 7-9-10 1536 0,01158371 026 8-8-10 576 0,00434389 026 8-9-9 144 0,00108597 0

Total 0,0387330327 7-10-10 2880 0,02171946 027 8-9-10 1536 0,01158371 027 9-9-9 24 0,000181 0

Total 0,0334841628 8-10-10 2880 0,02171946 028 9-9-10 576 0,00434389 0

Total 0,0260633529 9-10-10 2880 0,02171946 0

Total 0,0217194630 10-10-10 3360 0,02533937 0

Total 0,02533937Tabla 1.2: Combinaciones Para Tres Cartas.

Si el puntaje aun es muy bajo, el jugador considerara nuevamente la so-licitud de una nueva carta al dealer. De solicitarla, nos encontrarıamos conlas probabilidades que se muestran a continuacion.Se presentan las permutaciones y las probabilidades correspondientes para

12


que en la solicitud de otra carta adicional, el puntaje sea menor o igual aveintiuno.Nuevamente, el problema del conteo se magnifica debido a las considera-ciones que debemos tomar con mas cartas. Sin embargo, aunque haya quetener mas cosas respecto al orden y al tipo de cartas obtenidas, los calculosse siguen basando en un principio de multiplicacion combinado con una per-mutacion. A diferencia del caso de las tres cartas, en este hay que modificarlos calculos dependiendo del numero de cartas repetidas. Este numero decartas repetidas modifica la permutacion.

Puntaje Cartas Permutaciones Probabilidad P≤ 214 a-a-a-a 24 0,00000369 1

Total 0,000003695 a-a-a-2 384 0,00005910 1

Total 0,000059106 a-a-a-3 384 0,00005910 16 a-a-2-2 864 0,00013298 1

Total 0,000192087 a-a-a-4 384 0,00005910 17 a-a-2-3 2304 0,0003546 17 a-2-2-2 384 0,00005910 1

Total 0,000472808 a-a-a-5 384 0,00005910 18 a-a-2-4 2304 0,0003546 18 a-a-3-3 864 0,00013298 18 a-2-2-3 2304 0,0003546 18 2-2-2-2 24 0,00000369 1

Total 0,000904989 a-a-a-6 384 0,00005910 19 a-a-2-5 2304 0,0003546 19 a-a-3-4 2304 0,0003546 19 a-2-2-4 2304 0,0003546 19 a-2-3-3 2304 0,0003546 19 2-2-2-3 384 0,00005910 1

Total 0,0015366110 a-a-a-7 384 0,00005910 110 a-a-2-6 2304 0,0003546 110 a-a-3-5 2304 0,0003546 1

13


10 a-a-4-4 864 0,00013298 110 a-2-2-5 2304 0,0003546 110 a-2-3-4 6144 0,00094561 110 a-3-3-3 384 0,00005910 110 2-2-2-4 384 0,00005910 110 2-2-3-3 864 0,00013298 1

Total 0,0024526711 a-a-a-8 384 0,00005910 Blackjack11 a-a-2-7 2304 0,0003546 Blackjack11 a-a-3-6 2304 0,0003546 Blackjack11 a-a-4-5 2304 0,0003546 Blackjack11 a-2-2-6 2304 0,0003546 Blackjack11 a-2-3-5 6144 0,00094561 Blackjack11 a-2-4-4 2304 0,0003546 Blackjack11 a-3-3-4 2304 0,0003546 Blackjack11 2-2-2-5 384 0,00005910 111 2-2-3-4 2304 0,0003546 111 2-3-3-3 384 0,00005910 1

Total 0,0036051312 a-a-a-9 384 0,00005910 0,6666666712 a-a-2-8 2304 0,0003546 0,6666666712 a-a-3-7 2304 0,0003546 0,6666666712 a-a-4-6 2304 0,0003546 0,6666666712 a-a-5-5 864 0,00013298 0,6666666712 a-2-2-7 2304 0,0003546 0,6666666712 a-2-3-6 6144 0,00094561 0,6666666712 a-2-4-5 6144 0,00094561 0,6666666712 a-3-3-5 2304 0,0003546 0,6666666712 a-3-4-4 2304 0,0003546 0,6666666712 2-2-2-6 384 0,00005910 0,6666666712 2-2-3-5 2304 0,0003546 0,6666666712 2-2-4-4 864 0,00013298 0,6666666712 2-3-3-4 2304 0,0003546 0,6666666712 3-3-3-3 24 0,00000369 0,66666667

Total 0,0051158913 a-a-a-10 1536 0,0002364 0,6041666713 a-a-2-9 2304 0,0003546 0,60416667

14


13 a-a-3-8 2304 0,0003546 0,5833333313 a-a-4-7 2304 0,0003546 0,5833333313 a-a-5-6 2304 0,0003546 0,5833333313 a-2-2-8 2304 0,0003546 0,5833333313 a-2-3-7 6144 0,00094561 0,5833333313 a-2-4-6 6144 0,00094561 0,5833333313 a-2-5-5 2304 0,0003546 0,5833333313 a-3-3-6 2304 0,0003546 0,5833333313 a-3-4-5 6144 0,00094561 0,5833333313 a-4-4-4 384 0,00005910 0,5833333313 2-2-2-7 384 0,00005910 0,5833333313 2-2-3-6 2304 0,0003546 0,5833333313 2-2-4-5 2304 0,0003546 0,5833333313 2-3-3-5 2304 0,0003546 0,5833333313 2-3-4-4 2304 0,0003546 0,5833333313 3-3-3-4 384 0,00005910 0,58333333

Total 0,0071511714 a-a-2-10 9216 0,00141841 0,5208333314 a-a-3-9 2304 0,0003546 0,5208333314 a-a-4-8 2304 0,0003546 0,5208333314 a-a-5-7 2304 0,0003546 0,514 a-a-6-6 864 0,00013298 0,514 a-2-2-9 2304 0,0003546 0,5208333314 a-2-3-8 6144 0,00094561 0,5208333314 a-2-4-7 6144 0,00094561 0,514 a-2-5-6 6144 0,00094561 0,514 a-3-3-7 2304 0,0003546 0,514 a-3-4-6 6144 0,00094561 0,514 a-3-5-5 2304 0,0003546 0,514 a-4-4-5 2304 0,0003546 0,514 2-2-2-8 384 0,00005910 0,5208333314 2-2-3-7 2304 0,0003546 0,514 2-2-4-6 2304 0,0003546 0,514 2-2-5-5 864 0,00013298 0,514 2-3-3-6 2304 0,0003546 0,514 2-3-4-5 6144 0,00094561 0,514 2-4-4-4 384 0,00005910 0,5

15


14 3-3-3-5 384 0,00005910 0,514 3-3-4-4 864 0,00013298 0,5

Total 0,0102687215 a-a-3-10 9216 0,00141841 0,437515 a-a-4-9 2304 0,0003546 0,437515 a-a-5-8 2304 0,0003546 0,437515 a-a-6-7 2304 0,0003546 0,437515 a-2-2-10 9216 0,00141841 0,437515 a-2-3-9 6144 0,00094561 0,437515 a-2-4-8 6144 0,00094561 0,437515 a-2-5-7 6144 0,00094561 0,437515 a-2-6-6 2304 0,0003546 0,4166666715 a-3-3-8 2304 0,0003546 0,437515 a-3-4-7 6144 0,00094561 0,437515 a-3-5-6 6144 0,00094561 0,4166666715 a-4-4-6 2304 0,0003546 0,4166666715 a-4-5-5 2304 0,0003546 0,4166666715 2-2-2-9 384 0,00005910 0,437515 2-2-3-8 2304 0,0003546 0,437515 2-2-4-7 2304 0,0003546 0,437515 2-2-5-6 2304 0,0003546 0,4166666715 2-3-3-7 2304 0,0003546 0,437515 2-3-4-6 6144 0,00094561 0,4166666715 2-3-5-5 2304 0,0003546 0,4166666715 2-4-4-5 2304 0,0003546 0,4166666715 3-3-3-6 384 0,00005910 0,4166666715 3-3-4-5 2304 0,0003546 0,4166666715 3-4-4-4 384 0,00005910 0,41666667

0,0136522316 a-a-4-10 9216 0,00141841 0,3541666716 a-a-5-9 2304 0,0003546 0,3541666716 a-a-6-8 2304 0,0003546 0,37516 a-a-7-7 864 0,00013298 0,37516 a-2-3-10 24576 0,00378244 0,3541666716 a-2-4-9 6144 0,00094561 0,3541666716 a-2-5-8 6144 0,00094561 0,3541666716 a-2-6-7 6144 0,00094561 0,375

16


16 a-3-3-9 2304 0,0003546 0,3541666716 a-3-4-8 6144 0,00094561 0,3541666716 a-3-5-7 6144 0,00094561 0,3541666716 a-3-6-6 2304 0,0003546 0,37516 a-4-4-7 2304 0,0003546 0,3541666716 a-4-5-6 6144 0,00094561 0,3541666716 a-5-5-5 384 0,00005910 0,3958333316 2-2-2-10 1536 0,0002364 0,3541666716 2-2-3-9 2304 0,0003546 0,3541666716 2-2-4-8 2304 0,0003546 0,3541666716 2-2-5-7 2304 0,0003546 0,3541666716 2-2-6-6 864 0,00013298 0,37516 2-3-3-8 2304 0,0003546 0,3541666716 2-3-4-7 6144 0,00094561 0,3541666716 2-3-5-6 6144 0,00094561 0,3541666716 2-4-4-6 2304 0,0003546 0,3541666716 2-4-5-5 2304 0,0003546 0,3333333316 3-3-3-7 384 0,00005910 0,3541666716 3-3-4-6 2304 0,0003546 0,3541666716 3-3-5-5 864 0,00013298 0,3333333316 3-4-4-5 2304 0,0003546 0,3333333316 4-4-4-4 24 0,00000369 0,33333333

Total 0,0181327917 a-a-5-10 9216 0,00141841 0,2916666717 a-a-6-9 2304 0,0003546 0,2916666717 a-a-7-8 2304 0,0003546 0,2916666717 a-2-4-10 24576 0,00378244 0,2708333317 a-2-5-9 6144 0,00094561 0,2916666717 a-2-6-8 6144 0,00094561 0,2916666717 a-2-7-7 2304 0,0003546 0,2916666717 a-3-3-10 9216 0,00141841 0,2708333317 a-3-4-9 6144 0,00094561 0,2708333317 a-3-5-8 6144 0,00094561 0,2916666717 a-3-6-7 6144 0,00094561 0,2916666717 a-4-4-8 2304 0,0003546 0,2708333317 a-4-5-7 6144 0,00094561 0,2916666717 a-4-6-6 2304 0,0003546 0,29166667

17


17 a-5-5-6 2304 0,0003546 0,312517 2-2-3-10 9216 0,00141841 0,2708333317 2-2-4-9 2304 0,0003546 0,2708333317 2-2-5-8 2304 0,0003546 0,2916666717 2-2-6-7 2304 0,0003546 0,2916666717 2-3-3-9 2304 0,0003546 0,2708333317 2-3-4-8 6144 0,00094561 0,2708333317 2-3-5-7 6144 0,00094561 0,2916666717 2-3-6-6 2304 0,0003546 0,2916666717 2-4-4-7 2304 0,0003546 0,2708333317 2-4-5-6 6144 0,00094561 0,2916666717 2-5-5-5 384 0,00005910 0,312517 3-3-3-8 384 0,00005910 0,2708333317 3-3-4-7 2304 0,0003546 0,2708333317 3-3-5-6 2304 0,0003546 0,2916666717 3-4-4-6 2304 0,0003546 0,2708333317 3-4-5-5 2304 0,0003546 0,2916666717 4-4-4-5 384 0,00005910 0,27083333

Total 0,0223991118 a-a-6-10 9216 0,00141841 0,2083333318 a-a-7-9 2304 0,0003546 0,2083333318 a-a-8-8 864 0,00013298 0,2083333318 a-2-5-10 24576 0,00378244 0,2083333318 a-2-6-9 6144 0,00094561 0,2083333318 a-2-7-8 6144 0,00094561 0,2083333318 a-3-4-10 24576 0,00378244 0,2083333318 a-3-5-9 6144 0,00094561 0,2083333318 a-3-6-8 6144 0,00094561 0,2083333318 a-3-7-7 2304 0,0003546 0,2083333318 a-4-4-9 2304 0,0003546 0,2291666718 a-4-5-8 6144 0,00094561 0,2291666718 a-4-6-7 6144 0,00094561 0,2291666718 a-5-5-7 2304 0,0003546 0,2291666718 a-5-6-6 2304 0,0003546 0,2291666718 2-2-4-10 9216 0,00141841 0,2083333318 2-2-5-9 2304 0,0003546 0,2083333318 2-2-6-8 2304 0,0003546 0,20833333

18


18 2-2-7-7 864 0,00013298 0,2083333318 2-3-3-10 9216 0,00141841 0,187518 2-3-4-9 6144 0,00094561 0,2083333318 2-3-5-8 6144 0,00094561 0,2083333318 2-3-6-7 6144 0,00094561 0,2083333318 2-4-4-8 2304 0,0003546 0,2291666718 2-4-5-7 6144 0,00094561 0,2291666718 2-4-6-6 2304 0,0003546 0,2291666718 2-5-5-6 2304 0,0003546 0,2291666718 3-3-3-9 384 0,00005910 0,187518 3-3-4-8 2304 0,0003546 0,2083333318 3-3-5-7 2304 0,0003546 0,2083333318 3-3-6-6 864 0,00013298 0,2083333318 3-4-4-7 2304 0,0003546 0,2291666718 3-4-5-6 6144 0,00094561 0,2291666718 3-5-5-5 384 5,9101E-05 0,2291666718 4-4-4-6 384 0,00005910 0,2518 4-4-5-5 864 0,00013298 0,25

Total 0,0275408619 a-a-7-10 9216 0,00141841 0,12519 a-a-8-9 2304 0,0003546 0,12519 a-2-6-10 24576 0,00378244 0,12519 a-2-7-9 6144 0,00094561 0,12519 a-2-8-8 2304 0,0003546 0,12519 a-3-5-10 24576 0,00378244 0,1458333319 a-3-6-9 6144 0,00094561 0,1458333319 a-3-7-8 6144 0,00094561 0,1458333319 a-4-4-10 9216 0,00141841 0,1458333319 a-4-5-9 6144 0,00094561 0,1458333319 a-4-6-8 6144 0,00094561 0,1458333319 a-4-7-7 2304 0,0003546 0,1458333319 a-5-5-8 2304 0,0003546 0,1458333319 a-5-6-7 6144 0,00094561 0,1458333319 a-6-6-6 384 0,00005910 0,1458333319 2-2-5-10 9216 0,00141841 0,12519 2-2-6-9 2304 0,0003546 0,12519 2-2-7-8 2304 0,0003546 0,125

19


19 2-3-4-10 24576 0,00378244 0,1458333319 2-3-5-9 6144 0,00094561 0,1458333319 2-3-6-8 6144 0,00094561 0,1458333319 2-3-7-7 2304 0,0003546 0,1458333319 2-4-4-9 2304 0,0003546 0,1458333319 2-4-5-8 6144 0,00094561 0,1458333319 2-4-6-7 6144 0,00094561 0,1458333319 2-5-5-7 2304 0,0003546 0,1458333319 2-5-6-6 2304 0,0003546 0,1458333319 3-3-3-10 1536 0,0002364 0,1458333319 3-3-4-9 2304 0,0003546 0,1458333319 3-3-5-8 2304 0,0003546 0,1458333319 3-3-6-7 2304 0,0003546 0,1458333319 3-4-4-8 2304 0,0003546 0,1458333319 3-4-5-7 6144 0,00094561 0,1458333319 3-4-6-6 2304 0,0003546 0,1458333319 3-5-5-6 2304 0,0003546 0,1458333319 4-4-4-7 384 0,00005910 0,1458333319 4-4-5-6 2304 0,0003546 0,1458333319 4-5-5-5 384 0,00005910 0,14583333

Total 0,0324462120 a-a-8-10 9216 0,00141841 0,0416666720 a-a-9-9 864 0,00013298 0,0416666720 a-2-7-10 24576 0,00378244 0,0208333320 a-2-8-9 6144 0,00094561 0,0208333320 a-3-6-10 24576 0,00378244 0,0208333320 a-3-7-9 6144 0,00094561 0,0208333320 a-3-8-8 2304 0,0003546 0,0208333320 a-4-5-10 24576 0,00378244 0,0208333320 a-4-6-9 6144 0,00094561 0,0208333320 a-4-7-8 6144 0,00094561 0,0208333320 a-5-5-9 2304 0,0003546 0,0208333320 a-5-6-8 6144 0,00094561 0,0208333320 a-5-7-7 2304 0,0003546 0,0208333320 a-6-6-7 2304 0,0003546 0,0208333320 2-2-6-10 9216 0,00141841 0,0208333320 2-2-7-9 2304 0,0003546 0,02083333

20


20 2-2-8-8 864 0,00013298 0,0208333320 2-3-5-10 24576 0,00378244 0,0208333320 2-3-6-9 6144 0,00094561 0,0208333320 2-3-7-8 6144 0,00094561 0,0208333320 2-4-4-10 9216 0,00141841 0,0208333320 2-4-5-9 6144 0,00094561 0,0208333320 2-4-6-8 6144 0,00094561 0,0208333320 2-4-7-7 2304 0,0003546 0,0208333320 2-5-5-8 2304 0,0003546 0,0208333320 2-5-6-7 6144 0,00094561 0,0208333320 2-6-6-6 384 0,00005910 0,0208333320 3-3-4-10 9216 0,00141841 0,0208333320 3-3-5-9 2304 0,0003546 0,0208333320 3-3-6-8 2304 0,0003546 0,0208333320 3-3-7-7 864 0,00013298 0,0208333320 3-4-4-9 2304 0,0003546 0,0208333320 3-4-5-8 6144 0,00094561 0,0208333320 3-4-6-7 6144 0,00094561 0,0208333320 3-5-5-7 2304 0,0003546 0,0208333320 3-5-6-6 2304 0,0003546 0,0208333320 4-4-4-8 384 0,00005910 0,0208333320 4-4-5-7 2304 0,0003546 0,0208333320 4-4-6-6 864 0,00013298 0,0208333320 4-5-5-6 2304 0,0003546 0,0208333320 5-5-5-5 24 0,00000369 0,02083333

Total 0,0377689521 a-a-9-10 9216 0,00141841 Blackjack21 a-2-8-10 24576 0,00378244 Blackjack21 a-2-9-9 2304 0,0003546 Blackjack21 a-3-7-10 24576 0,00378244 Blackjack21 a-3-8-9 6144 0,00094561 Blackjack21 a-4-6-10 24576 0,00378244 Blackjack21 a-4-7-9 6144 0,00094561 Blackjack21 a-4-8-8 2304 0,0003546 Blackjack21 a-5-5-10 9216 0,00141841 Blackjack21 a-5-6-9 6144 0,00094561 Blackjack21 a-5-7-8 6144 0,00094561 Blackjack

21


21 a-6-6-8 2304 0,0003546 Blackjack21 a-6-7-7 2304 0,0003546 Blackjack21 2-2-7-10 9216 0,00141841 Blackjack21 2-2-8-9 2304 0,0003546 Blackjack21 2-3-6-10 24576 0,00378244 Blackjack21 2-3-7-9 6144 0,00094561 Blackjack21 2-3-8-8 2304 0,0003546 Blackjack21 2-4-5-10 24576 0,00378244 Blackjack21 2-4-6-9 6144 0,00094561 Blackjack21 2-4-7-8 6144 0,00094561 Blackjack21 2-5-5-9 2304 0,0003546 Blackjack21 2-5-6-8 6144 0,00094561 Blackjack21 2-5-7-7 2304 0,0003546 Blackjack21 2-6-6-7 2304 0,0003546 Blackjack21 3-3-5-10 9216 0,00141841 Blackjack21 3-3-6-9 2304 0,0003546 Blackjack21 3-3-7-8 2304 0,0003546 Blackjack21 3-4-4-10 9216 0,00141841 Blackjack21 3-4-5-9 6144 0,00094561 Blackjack21 3-4-6-8 6144 0,00094561 Blackjack21 3-4-7-7 2304 0,0003546 Blackjack21 3-5-5-8 2304 0,0003546 Blackjack21 3-5-6-7 6144 0,00094561 Blackjack21 3-6-6-6 384 0,00005910 Blackjack21 4-4-4-9 384 5,9101E-05 Blackjack21 4-4-5-8 2304 0,0003546 Blackjack21 4-4-6-7 2304 0,0003546 Blackjack21 4-5-5-7 2304 0,0003546 Blackjack21 4-5-6-6 2304 0,0003546 Blackjack21 5-5-5-6 384 0,00005910 Blackjack

Total 0,0426115122 a-a-10-10 17280 0,00265953 022 a-2-9-10 24576 0,00378244 022 a-3-8-10 24576 0,00378244 022 a-3-9-9 2304 0,0003546 022 a-4-7-10 24576 0,00378244 022 a-4-8-9 6144 0,00094561 0

22


22 a-5-6-10 24576 0,00378244 022 a-5-7-9 6144 0,00094561 022 a-5-8-8 2304 0,0003546 022 a-6-6-9 2304 0,0003546 022 a-6-7-8 6144 0,00094561 022 a-7-7-7 384 0,00005910 022 2-2-8-10 9216 0,00141841 022 2-2-9-9 864 0,00013298 022 2-3-7-10 24576 0,00378244 022 2-3-8-9 6144 0,00094561 022 2-4-6-10 24576 0,00378244 022 2-4-7-9 6144 0,00094561 022 2-4-8-8 2304 0,0003546 022 2-5-5-10 9216 0,00141841 022 2-5-6-9 6144 0,00094561 022 2-5-7-8 6144 0,00094561 022 2-6-6-8 2304 0,0003546 022 2-6-7-7 2304 0,0003546 022 3-3-6-10 9216 0,00141841 022 3-3-7-9 2304 0,0003546 022 3-3-8-8 864 0,00013298 022 3-4-5-10 24576 0,00378244 022 3-4-6-9 6144 0,00094561 022 3-4-7-8 6144 0,00094561 022 3-5-5-9 2304 0,0003546 022 3-5-6-8 6144 0,00094561 022 3-5-7-7 2304 0,0003546 022 3-6-6-7 2304 0,0003546 022 4-4-4-10 1536 0,0002364 022 4-4-5-9 2304 0,0003546 022 4-4-6-8 2304 0,0003546 022 4-4-7-7 864 0,00013298 022 4-5-5-8 2304 0,0003546 022 4-5-6-7 6144 0,00094561 022 4-6-6-6 384 0,00005910 022 5-5-5-7 384 0,00005910 022 5-5-6-6 864 0,00013298 0

23


Total 0,0493489723 a-2-10-10 46080 0,00709207 023 a-3-9-10 24576 0,00378244 023 a-4-8-10 24576 0,00378244 023 a-4-9-9 2304 0,0003546 023 a-5-7-10 24576 0,00378244 023 a-5-8-9 6144 0,00094561 023 a-6-6-10 9216 0,00141841 023 a-6-7-9 6144 0,00094561 023 a-6-8-8 2304 0,0003546 023 a-7-7-8 2304 0,0003546 023 2-2-9-10 9216 0,00141841 023 2-3-8-10 24576 0,00378244 023 2-3-9-9 2304 0,0003546 023 2-4-7-10 24576 0,00378244 023 2-4-8-9 6144 0,00094561 023 2-5-6-10 24576 0,00378244 023 2-5-7-9 6144 0,00094561 023 2-5-8-8 2304 0,0003546 023 2-6-6-9 2304 0,0003546 023 2-6-7-8 6144 0,00094561 023 2-7-7-7 384 0,00005910 023 3-3-7-10 9216 0,00141841 023 3-3-8-9 2304 0,0003546 023 3-4-6-10 24576 0,00378244 023 3-4-7-9 6144 0,00094561 023 3-4-8-8 2304 0,0003546 023 3-5-5-10 9216 0,00141841 023 3-5-6-9 6144 0,00094561 023 3-5-7-8 6144 0,00094561 023 3-6-6-8 2304 0,0003546 023 3-6-7-7 2304 0,0003546 023 4-4-5-10 9216 0,00141841 023 4-4-6-9 2304 0,0003546 023 4-4-7-8 2304 0,0003546 023 4-5-5-9 2304 0,0003546 023 4-5-6-8 6144 0,00094561 0

24


23 4-5-7-7 2304 0,0003546 023 4-6-6-7 2304 0,0003546 023 5-5-5-8 384 0,00005910 023 5-5-6-7 2304 0,0003546 023 5-6-6-6 384 0,00005910 0

Total 0,0550226224 a-3-10-10 46080 0,00709207 024 a-4-9-10 24576 0,00378244 024 a-5-8-10 24576 0,00378244 024 a-5-9-9 2304 0,0003546 024 a-6-7-10 24576 0,00378244 024 a-6-8-9 6144 0,00094561 024 a-7-7-9 2304 0,0003546 024 a-7-8-8 2304 0,0003546 024 2-2-10-10 17280 0,00265953 024 2-3-9-10 24576 0,00378244 024 2-4-8-10 24576 0,00378244 024 2-4-9-9 2304 0,0003546 024 2-5-7-10 24576 0,00378244 024 2-5-8-9 6144 0,00094561 024 2-6-6-10 9216 0,00141841 024 2-6-7-9 6144 0,00094561 024 2-6-8-8 2304 0,0003546 024 2-7-7-8 2304 0,0003546 024 3-3-8-10 9216 0,00141841 024 3-3-9-9 864 0,00013298 024 3-4-7-10 24576 0,00378244 024 3-4-8-9 6144 0,00094561 024 3-5-6-10 24576 0,00378244 024 3-5-7-9 6144 0,00094561 024 3-5-8-8 2304 0,0003546 024 3-6-6-9 2304 0,0003546 024 3-6-7-8 6144 0,00094561 024 3-7-7-7 384 5,9101E-05 024 4-4-6-10 9216 0,00141841 024 4-4-7-9 2304 0,0003546 024 4-4-8-8 864 0,00013298 0

25


24 4-5-5-10 9216 0,00141841 024 4-5-6-9 6144 0,00094561 024 4-5-7-8 6144 0,00094561 024 4-6-6-8 2304 0,0003546 024 4-6-7-7 2304 0,0003546 024 5-5-5-9 384 0,00005910 024 5-5-6-8 2304 0,0003546 024 5-5-7-7 864 0,00013298 024 5-6-6-7 2304 0,0003546 024 6-6-6-6 24 0,00000369 0

Total 0,0583802825 a-4-10-10 46080 0,00709207 025 a-5-9-10 24576 0,00378244 025 a-6-8-10 24576 0,00378244 025 a-6-9-9 2304 0,0003546 025 a-7-7-10 9216 0,00141841 025 a-7-8-9 6144 0,00094561 025 a-8-8-8 384 0,00005910 025 2-3-10-10 46080 0,00709207 025 2-4-9-10 24576 0,00378244 025 2-5-8-10 24576 0,00378244 025 2-5-9-9 2304 0,0003546 025 2-6-7-10 24576 0,00378244 025 2-6-8-9 6144 0,00094561 025 2-7-7-9 2304 0,0003546 025 2-7-8-8 2304 0,0003546 025 3-3-9-10 9216 0,00141841 025 3-4-8-10 24576 0,00378244 025 3-4-9-9 2304 0,0003546 025 3-5-7-10 24576 0,00378244 025 3-5-8-9 6144 0,00094561 025 3-6-6-10 9216 0,00141841 025 3-6-7-9 6144 0,00094561 025 3-6-8-8 2304 0,0003546 025 3-7-7-8 2304 0,0003546 025 4-4-7-10 9216 0,00141841 025 4-4-8-9 2304 0,0003546 0

26


25 4-5-6-10 24576 0,00378244 025 4-5-7-9 6144 0,00094561 025 4-5-8-8 2304 0,0003546 025 4-6-6-9 2304 0,0003546 025 4-6-7-8 6144 0,00094561 025 4-7-7-7 384 0,00005910 025 5-5-5-10 1536 0,0002364 025 5-5-6-9 2304 0,0003546 025 5-5-7-8 2304 0,0003546 025 5-6-6-8 2304 0,0003546 025 5-6-7-7 2304 0,0003546 025 6-6-6-7 384 0,00005910 0

Total 0,0611690826 a-5-10-10 46080 0,00709207 026 a-6-9-10 24576 0,00378244 026 a-7-8-10 24576 0,00378244 026 a-7-9-9 2304 0,0003546 026 a-8-8-9 2304 0,0003546 026 2-4-10-10 46080 0,00709207 026 2-5-9-10 24576 0,00378244 026 2-6-8-10 24576 0,00378244 026 2 6-9-9 2304 0,0003546 026 2-7-7-10 9216 0,00141841 026 2-7-8-9 6144 0,00094561 026 2-8-8-8 384 0,00005910 026 3-3-10-10 17280 0,00265953 026 3-4-9-10 24576 0,00378244 026 3-5-8-10 24576 0,00378244 026 3-5-9-9 2304 0,0003546 026 3-6-7-10 24576 0,00378244 026 3-6-8-9 6144 0,00094561 026 3-7-7-9 2304 0,0003546 026 3-7-8-8 2304 0,0003546 026 4-4-8-10 9216 0,00141841 026 4-4-9-9 864 0,00013298 026 4-5-7-10 24576 0,00378244 026 4-5-8-9 6144 0,00094561 0

27


26 4-6-6-10 9216 0,00141841 026 4-6-7-9 6144 0,00094561 026 4-6-8-8 2304 0,0003546 026 4-7-7-8 2304 0,0003546 026 5-5-6-10 9216 0,00141841 026 5-5-7-9 2304 0,0003546 026 5-5-8-8 864 0,00013298 026 5-6-6-9 2304 0,0003546 026 5-6-7-8 6144 0,00094561 026 5-7-7-7 384 0,00005910 026 6-6-6-8 384 0,00005910 026 6-6-7-7 864 0,00013298 0

Total 0,0616271127 a-6-10-10 46080 0,00709207 027 a-7-9-10 24576 0,00378244 027 a-8-8-10 9216 0,00141841 027 a-8-9-9 2304 0,0003546 027 2-5-10-10 46080 0,00709207 027 2-6-9-10 24576 0,00378244 027 2-7-8-10 24576 0,00378244 027 2-7-9-9 2304 0,0003546 027 2-8-8-9 2304 0,0003546 027 3-4-10-10 46080 0,00709207 027 3-5-9-10 24576 0,00378244 027 3-6-8-10 24576 0,00378244 027 3-6-9-9 2304 0,0003546 027 3-7-7-10 9216 0,00141841 027 3-7-8-9 6144 0,00094561 027 3-8-8-8 384 0,00005910 027 4-4-9-10 9216 0,00141841 027 4-5-8-10 24576 0,00378244 027 4-5-9-9 2304 0,0003546 027 4-6-7-10 24576 0,00378244 027 4-6-8-9 6144 0,00094561 027 4-7-7-9 2304 0,0003546 027 4-7-8-8 2304 0,0003546 027 5-5-7-10 9216 0,00141841 0

28


27 5-5-8-9 2304 0,0003546 027 5-6-6-10 9216 0,00141841 027 5-6-7-9 6144 0,00094561 027 5-6-8-8 2304 0,0003546 027 5-7-7-8 2304 0,0003546 027 6-6-6-9 384 0,00005910 027 6-6-7-8 2304 0,0003546 027 6-7-7-7 384 0,00005910 0

Total 0,0617600928 a-7-10-10 46080 0,00709207 028 a-8-9-10 24576 0,00378244 028 a-9-9-9 384 0,00005910 028 2-6-10-10 46080 0,00709207 028 2-7-9-10 24576 0,00378244 028 2-8-8-10 9216 0,00141841 028 2-8-9-9 2304 0,0003546 028 3-5-10-10 46080 0,00709207 028 3-6-9-10 24576 0,00378244 028 3-7-8-10 24576 0,00378244 028 3-7-9-9 2304 0,0003546 028 3-8-8-9 2304 0,0003546 028 4-4-10-10 17280 0,00265953 028 4-5-9-10 24576 0,00378244 028 4-6-8-10 24576 0,00378244 028 4-6-9-9 2304 0,0003546 028 4-7-7-10 9216 0,00141841 028 4-7-8-9 6144 0,00094561 028 4-8-8-8 384 0,00005910 028 5-5-8-10 9216 0,00141841 028 5-5-9-9 864 0,00013298 028 5-6-7-10 24576 0,00378244 028 5-6-8-9 6144 0,00094561 028 5-7-7-9 2304 0,0003546 028 5-7-8-8 2304 0,0003546 028 6-6-6-10 1536 0,0002364 028 6-6-7-9 2304 0,0003546 028 6-6-8-8 864 0,00013298 0

29


28 6-7-7-8 2304 0,0003546 028 7-7-7-7 24 0,00000369 0

Total 0,0600203229 a-8-10-10 46080 0,00709207 029 a-9-9-10 9216 0,00141841 029 2-7-10-10 46080 0,00709207 029 2-8-9-10 24576 0,00378244 029 2-9-9-9 384 0,00005910 029 3-6-10-10 46080 0,00709207 029 3-7-9-10 24576 0,00378244 029 3-8-8-10 9216 0,00141841 029 3-8-9-9 2304 0,0003546 029 4-5-10-10 46080 0,00709207 029 4-6-9-10 24576 0,00378244 029 4-7-8-10 24576 0,00378244 029 4-7-9-9 2304 0,0003546 029 4-8-8-9 2304 0,0003546 029 5-5-9-10 9216 0,00141841 029 5-6-8-10 24576 0,00378244 029 5-6-9-9 2304 0,0003546 029 5-7-7-10 9216 0,00141841 029 5-7-8-9 6144 0,00094561 029 5-8-8-8 384 5,9101E-05 029 6-6-7-10 9216 0,00141841 029 6-6-8-9 2304 0,0003546 029 6-7-7-9 2304 0,0003546 029 6-7-8-8 2304 0,0003546 029 7-7-7-8 384 0,00005910 0

Total 0,0579776530 a-9-10-10 46080 0,00709207 030 2-8-10-10 46080 0,00709207 030 2-9-9-10 9216 0,00141841 030 3-7-10-10 46080 0,00709207 030 3-8-9-10 24576 0,00378244 030 3-9-9-9 384 0,00005910 030 4-6-10-10 46080 0,00709207 030 4-7-9-10 24576 0,00378244 0

30


30 4-8-8-10 9216 0,00141841 030 4-8-9-9 2304 0,0003546 030 5-5-10-10 17280 0,00265953 030 5-6-9-10 24576 0,00378244 030 5-7-8-10 24576 0,00378244 030 5-7-9-9 2304 0,0003546 030 5-8-8-9 2304 0,0003546 030 6-6-8-10 9216 0,00141841 030 6-6-9-9 864 0,00013298 030 6-7-7-10 9216 0,00141841 030 6-7-8-9 6144 0,00094561 030 6-8-8-8 384 0,00005910 030 7-7-7-9 384 0,00005910 030 7-7-8-8 864 0,00013298 0

Total 0,0542838731 a-10-10-10 53760 0,00827408 031 2-9-10-10 46080 0,00709207 031 3-8-10-10 46080 0,00709207 031 3-9-9-10 9216 0,00141841 031 4-7-10-10 46080 0,00709207 031 4-8-9-10 24576 0,00378244 031 4-9-9-9 384 0,00005910 031 5-6-10-10 46080 0,00709207 031 5-7-9-10 24576 0,00378244 031 5-8-8-10 9216 0,00141841 031 5-8-9-9 2304 0,0003546 031 6-6-9-10 9216 0,00141841 031 6-7-8-10 24576 0,00378244 031 6-7-9-9 2304 0,0003546 031 6-8-8-9 2304 0,0003546 031 7-7-7-10 1536 0,0002364 031 7-7-8-9 2304 0,0003546 031 7-8-8-8 384 0,00005910 0

Total 0,0540179132 2-10-10-10 53760 0,00827408 032 3-9-10-10 46080 0,00709207 032 4-8-10-10 46080 0,00709207 0

31


32 4-9-9-10 9216 0,00141841 032 5-7-10-10 46080 0,00709207 032 5-8-9-10 24576 0,00378244 032 5-9-9-9 384 0,00005910 032 6-6-10-10 17280 0,00265953 032 6-7-9-10 24576 0,00378244 032 6-8-8-10 9216 0,00141841 032 6-8-9-9 2304 0,0003546 032 7-7-8-10 9216 0,00141841 032 7-7-9-9 864 0,00013298 032 7-8-8-9 2304 0,0003546 032 8-8-8-8 24 0,00000369 0

Total 0,044934933 3-10-10-10 53760 0,00827408 033 4-9-10-10 46080 0,00709207 033 5-8-10-10 46080 0,00709207 033 5-9-9-10 9216 0,00141841 033 6-7-10-10 46080 0,00709207 033 6-8-9-10 24576 0,00378244 033 6-9-9-9 384 0,00005910 033 7-7-9-10 9216 0,00141841 033 7-8-8-10 9216 0,00141841 033 7-8-9-9 2304 0,0003546 033 8-8-8-9 384 0,00005910 0

Total 0,0380607634 4-10-10-10 53760 0,00827408 034 5-9-10-10 46080 0,00709207 034 6-8-10-10 46080 0,00709207 034 6-9-9-10 9216 0,00141841 034 7-7-10-10 17280 0,00265953 034 7-8-9-10 24576 0,00378244 034 7-9-9-9 384 0,00005910 034 8-8-8-10 1536 0,0002364 034 8-8-9-9 864 0,00013298 0

Total 0,0307470735 5-10-10-10 53760 0,00827408 035 6-9-10-10 46080 0,00709207 0

32


35 7-8-10-10 46080 0,00709207 035 7-9-9-10 9216 0,00141841 035 8-8-9-10 9216 0,00141841 035 8-9-9-9 384 0,00005910 0

Total 0,0253541436 6-10-10-10 53760 0,00827408 036 7-9-10-10 46080 0,00709207 036 8-8-10-10 17280 0,00265953 036 8-9-9-10 9216 0,00141841 036 9-9-9-9 24 0,00000369 0

Total 0,0194477837 7-10-10-10 53760 0,00827408 037 8-9-10-10 46080 0,00709207 037 9-9-9-10 1536 0,0002364 0

Total 0,0156025538 8-10-10-10 53760 0,00827408 038 9-9-10-10 17280 0,00265953 0

Total 0,010933639 9-10-10-10 53760 0,00827408 0

Total 0,0082740840 10-10-10-10 43680 0,00672269 0

Total 0,00672269Tabla 1.3: Combinaciones Para Cuatro Cartas.

Dado el caso de solicitar una nueva carta, el jugador solo debera tenerahora un puntaje menor que veintiuno. Por tener cinco cartas y no superarel puntaje, el jugador gana inmediatamente el juego.A continuacion se muestran todas las posibles permutaciones de cinco cartasque se pueden obtener en el juego. Es valido anotar que estas permutacionespueden servir para futuras investigaciones en juegos de cartas como el Poker.Las posibles permutaciones se basan en el principio de multiplicacion com-binado con las permutaciones, que nuevamente se encuentran dependiendodel numero de cartas repetidas que estemos estudiando para cada una delas combinaciones planteadas.

33


Puntaje Cartas Permutaciones Probabilidad

6 a-a-a-a-2 480 0,00000154Total 0,00000154

7 a-a-a-a-3 480 0,000001547 a-a-a-2-2 2880 0,00000923

Total 0,000010778 a-a-a-a-4 480 0,000001548 a-a-a-2-3 7680 0,000024638 a-a-2-2-2 2880 0,00000923

Total 0,000035409 a-a-a-a-5 480 0,000001549 a-a-a-2-4 7680 0,000024639 a-a-a-3-3 2880 0,000009239 a-a-2-2-3 17280 0,000055419 a-2-2-2-2 480 0,00000154

Total 0,0000923410 a-a-a-a-6 480 0,0000015410 a-a-a-2-5 7680 0,0000246310 a-a-a-3-4 7680 0,0000246310 a-a-2-2-4 17280 0,0000554110 a-a-2-3-3 17280 0,0000554110 a-2-2-2-3 7680 0,00002463

Total 0,0001862311 a-a-a-a-7 480 0,0000015411 a-a-a-2-6 7680 0,0000246311 a-a-a-3-5 7680 0,0000246311 a-a-a-4-4 2880 0,0000092311 a-a-2-2-5 17280 0,0000554111 a-a-2-3-4 46080 0,0001477511 a-a-3-3-3 2880 0,0000092311 a-2-2-2-4 7680 0,0000246311 a-2-2-3-3 17280 0,0000554111 2-2-2-2-3 480 0,00000154

Total 0,0003539912 a-a-a-a-8 480 0,0000015412 a-a-a-2-7 7680 0,0000246312 a-a-a-3-6 7680 0,00002463

34


12 a-a-a-4-5 7680 0,0000246312 a-a-2-2-6 17280 0,0000554112 a-a-2-3-5 46080 0,0001477512 a-a-2-4-4 17280 0,0000554112 a-a-3-3-4 17280 0,0000554112 a-2-2-2-5 7680 0,0000246312 a-2-2-3-4 46080 0,0001477512 a-2-3-3-3 7680 0,0000246312 2-2-2-2-4 480 0,0000015412 2-2-2-3-3 2880 0,00000923

Total 0,0005971613 a-a-a-a-9 480 0,0000015413 a-a-a-2-8 7680 0,0000246313 a-a-a-3-7 7680 0,0000246313 a-a-a-4-6 7680 0,0000246313 a-a-a-5-5 2880 0,0000092313 a-a-2-2-7 17280 0,0000554113 a-a-2-3-6 46080 0,0001477513 a-a-2-4-5 46080 0,0001477513 a-a-3-3-5 17280 0,0000554113 a-a-3-4-4 17280 0,0000554113 a-2-2-2-6 7680 0,0000246313 a-2-2-3-5 46080 0,0001477513 a-2-2-4-4 17280 0,0000554113 a-2-3-3-4 46080 0,0001477513 a-3-3-3-3 480 0,0000015413 2-2-2-2-5 480 0,0000015413 2-2-2-3-4 7680 0,0000246313 2-2-3-3-3 2880 0,00000923

Total 0,0009588514 a-a-a-a-10 1920 0,0000061614 a-a-a-2-9 7680 0,0000246314 a-a-a-3-8 7680 0,0000246314 a-a-a-4-7 7680 0,0000246314 a-a-a-5-6 7680 0,0000246314 a-a-2-2-8 17280 0,0000554114 a-a-2-3-7 46080 0,00014775

35


14 a-a-2-4-6 46080 0,0001477514 a-a-2-5-5 17280 0,0000554114 a-a-3-3-6 17280 0,0000554114 a-a-3-4-5 46080 0,0001477514 a-a-4-4-4 2880 0,0000092314 a-2-2-2-7 7680 0,0000246314 a-2-2-3-6 46080 0,0001477514 a-2-2-4-5 46080 0,0001477514 a-2-3-3-5 46080 0,0001477514 a-2-3-4-4 46080 0,0001477514 a-3-3-3-4 7680 0,0000246314 2-2-2-2-6 480 0,0000015414 2-2-2-3-5 7680 0,0000246314 2-2-2-4-4 2880 0,0000092314 2-2-3-3-4 17280 0,0000554114 2-3-3-3-3 480 0,00000154

Total 0,0014559715 a-a-a-2-10 30720 0,0000985015 a-a-a-3-9 7680 0,0000246315 a-a-a-4-8 7680 0,0000246315 a-a-a-5-7 7680 0,0000246315 a-a-a-6-6 2880 0,0000092315 a-a-2-2-9 17280 0,0000554115 a-a-2-3-8 46080 0,0001477515 a-a-2-4-7 46080 0,0001477515 a-a-2-5-6 46080 0,0001477515 a-a-3-3-7 17280 0,0000554115 a-a-3-4-6 46080 0,0001477515 a-a-3-5-5 17280 0,0000554115 a-a-4-4-5 17280 0,0000554115 a-2-2-2-8 7680 0,0000246315 a-2-2-3-7 46080 0,0001477515 a-2-2-4-6 46080 0,0001477515 a-2-2-5-5 17280 0,0000554115 a-2-3-3-6 46080 0,0001477515 a-2-3-4-5 122880 0,0003940015 a-2-4-4-4 7680 0,00002463

36


15 a-3-3-3-5 7680 0,0000246315 a-3-3-4-4 17280 0,0000554115 2-2-2-2-7 480 0,0000015415 2-2-2-3-6 7680 0,0000246315 2-2-2-4-5 7680 0,0000246315 2-2-3-3-5 17280 0,0000554115 2-2-3-4-4 17280 0,0000554115 2-3-3-3-4 7680 0,00002463

Total 0,0022024216 a-a-a-3-10 30720 0,0000985016 a-a-a-4-9 7680 0,0000246316 a-a-a-5-8 7680 0,0000246316 a-a-a-6-7 7680 0,0000246316 a-a-2-2-10 69120 0,0002216316 a-a-2-3-9 46080 0,0001477516 a-a-2-4-8 46080 0,0001477516 a-a-2-5-7 46080 0,0001477516 a-a-2-6-6 17280 0,0000554116 a-a-3-3-8 17280 0,0000554116 a-a-3-4-7 46080 0,0001477516 a-a-3-5-6 46080 0,0001477516 a-a-4-4-6 17280 0,0000554116 a-a-4-5-5 17280 0,0000554116 a-2-2-2-9 7680 0,0000246316 a-2-2-3-8 46080 0,0001477516 a-2-2-4-7 46080 0,0001477516 a-2-2-5-6 46080 0,0001477516 a-2-3-3-7 46080 0,0001477516 a-2-3-4-6 122880 0,0003940016 a-2-3-5-5 46080 0,0001477516 a-2-4-4-5 46080 0,0001477516 a-3-3-3-6 7680 0,0000246316 a-3-3-4-5 46080 0,0001477516 a-3-4-4-4 7680 0,0000246316 2-2-2-2-8 480 0,0000015416 2-2-2-3-7 7680 0,0000246316 2-2-2-4-6 7680 0,00002463

37


16 2-2-2-5-5 2880 0,0000092316 2-2-3-3-6 17280 0,0000554116 2-2-3-4-5 46080 0,0001477516 2-2-4-4-4 2880 0,0000092316 2-3-3-3-5 7680 0,0000246316 2-3-3-4-4 17280 0,0000554116 3-3-3-3-4 480 0,00000154

Total 0,0032105117 a-a-a-4-10 30720 0,0000985017 a-a-a-5-9 7680 0,0000246317 a-a-a-6-8 7680 0,0000246317 a-a-a-7-7 2880 0,0000092317 a-a-2-3-10 184320 0,0005910117 a-a-2-4-9 46080 0,0001477517 a-a-2-5-8 46080 0,0001477517 a-a-2-6-7 46080 0,0001477517 a-a-3-3-9 17280 0,0000554117 a-a-3-4-8 46080 0,0001477517 a-a-3-5-7 46080 0,0001477517 a-a-3-6-6 17280 0,0000554117 a-a-4-4-7 17280 0,0000554117 a-a-4-5-6 46080 0,0001477517 a-a-5-5-5 2880 0,0000092317 a-2-2-2-10 30720 0,0000985017 a-2-2-3-9 46080 0,0001477517 a-2-2-4-8 46080 0,0001477517 a-2-2-5-7 46080 0,0001477517 a-2-2-6-6 17280 0,0000554117 a-2-3-3-8 46080 0,0001477517 a-2-3-4-7 122880 0,0003940017 a-2-3-5-6 122880 0,0003940017 a-2-4-4-6 46080 0,0001477517 a-2-4-5-5 46080 0,0001477517 a-3-3-3-7 7680 0,0000246317 a-3-3-4-6 46080 0,0001477517 a-3-3-5-5 17280 0,0000554117 a-3-4-4-5 46080 0,00014775

38


17 a-4-4-4-4 480 0,0000015417 2-2-2-2-9 480 0,0000015417 2-2-2-3-8 7680 0,0000246317 2-2-2-4-7 7680 0,0000246317 2-2-2-5-6 7680 0,0000246317 2-2-3-3-7 17280 0,0000554117 2-2-3-4-6 46080 0,0001477517 2-2-3-5-5 17280 0,0000554117 2-2-4-4-5 17280 0,0000554117 2-3-3-3-6 7680 0,0000246317 2-3-3-4-5 46080 0,0001477517 2-3-4-4-4 7680 0,0000246317 3-3-3-3-5 480 0,0000015417 3-3-3-4-4 2880 0,00000923

Total 0,0046126118 a-a-a-5-10 30720 0,0000985018 a-a-a-6-9 7680 0,0000246318 a-a-a-7-8 7680 0,0000246318 a-a-2-4-10 184320 0,0005910118 a-a-2-5-9 46080 0,0001477518 a-a-2-6-8 46080 0,0001477518 a-a-2-7-7 17280 0,0000554118 a-a-3-3-10 69120 0,0002216318 a-a-3-4-9 46080 0,0001477518 a-a-3-5-8 46080 0,0001477518 a-a-3-6-7 46080 0,0001477518 a-a-4-4-8 17280 0,0000554118 a-a-4-5-7 46080 0,0001477518 a-a-4-6-6 17280 0,0000554118 a-a-5-5-6 17280 0,0000554118 a-2-2-3-10 184320 0,0005910118 a-2-2-4-9 46080 0,0001477518 a-2-2-5-8 46080 0,0001477518 a-2-2-6-7 46080 0,0001477518 a-2-3-3-9 46080 0,0001477518 a-2-3-4-8 122880 0,0003940018 a-2-3-5-7 122880 0,00039400

39


18 a-2-3-6-6 46080 0,0001477518 a-2-4-4-7 46080 0,0001477518 a-2-4-5-6 122880 0,0003940018 a-2-5-5-5 7680 0,0000246318 a-3-3-3-8 7680 0,0000246318 a-3-3-4-7 46080 0,0001477518 a-3-3-5-6 46080 0,0001477518 a-3-4-4-6 46080 0,0001477518 a-3-4-5-5 46080 0,0001477518 a-4-4-4-5 7680 0,0000246318 2-2-2-2-10 1920 0,0000061618 2-2-2-3-9 7680 0,0000246318 2-2-2-4-8 7680 0,0000246318 2-2-2-5-7 7680 0,0000246318 2-2-2-6-6 2880 0,0000092318 2-2-3-3-8 17280 0,0000554118 2-2-3-4-7 46080 0,0001477518 2-2-3-5-6 46080 0,0001477518 2-2-4-4-6 17280 0,0000554118 2-2-4-5-5 17280 0,0000554118 2-3-3-3-7 7680 0,0000246318 2-3-3-4-6 46080 0,0001477518 2-3-3-5-5 17280 0,0000554118 2-3-4-4-5 46080 0,0001477518 2-4-4-4-4 480 0,0000015418 3-3-3-3-6 480 0,0000015418 3-3-3-4-5 7680 0,0000246318 3-3-4-4-4 2880 0,00000923

Total 0,0063563919 a-a-a-6-10 30720 0,0000985019 a-a-a-7-9 7680 0,0000246319 a-a-a-8-8 2880 0,0000092319 a-a-2-5-10 184320 0,0005910119 a-a-2-6-9 46080 0,0001477519 a-a-2-7-8 46080 0,0001477519 a-a-3-4-10 184320 0,0005910119 a-a-3-5-9 46080 0,00014775

40


19 a-a-3-6-8 46080 0,0001477519 a-a-3-7-7 17280 0,0000554119 a-a-4-4-9 17280 0,0000554119 a-a-4-5-8 46080 0,0001477519 a-a-4-6-7 46080 0,0001477519 a-a-5-5-7 17280 0,0000554119 a-a-5-6-6 17280 0,0000554119 a-2-2-4-10 184320 0,0005910119 a-2-2-5-9 46080 0,0001477519 a-2-2-6-8 46080 0,0001477519 a-2-2-7-7 17280 0,0000554119 a-2-3-3-10 184320 0,0005910119 a-2-3-4-9 122880 0,0003940019 a-2-3-5-8 122880 0,0003940019 a-2-3-6-7 122880 0,0003940019 a-2-4-4-8 46080 0,0001477519 a-2-4-5-7 122880 0,0003940019 a-2-4-6-6 46080 0,0001477519 a-2-5-5-6 46080 0,0001477519 a-3-3-3-9 7680 0,0000246319 a-3-3-4-8 46080 0,0001477519 a-3-3-5-7 46080 0,0001477519 a-3-3-6-6 17280 0,0000554119 a-3-4-4-7 46080 0,0001477519 a-3-4-5-6 122880 0,0003940019 a-3-5-5-5 7680 0,0000246319 a-4-4-4-6 7680 0,0000246319 a-4-4-5-5 17280 0,0000554119 2-2-2-3-10 30720 0,0000985019 2-2-2-4-9 7680 0,0000246319 2-2-2-5-8 7680 0,0000246319 2-2-2-6-7 7680 0,0000246319 2-2-3-3-9 17280 0,0000554119 2-2-3-4-8 46080 0,0001477519 2-2-3-5-7 46080 0,0001477519 2-2-3-6-6 17280 0,0000554119 2-2-4-4-7 17280 0,00005541

41


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42


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43


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44


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45


21 3-3-4-4-7 17280 0,0000554121 3-3-4-5-6 46080 0,0001477521 3-3-5-5-5 2880 0,0000092321 3-4-4-4-6 7680 0,0000246321 3-4-4-5-5 17280 0,0000554121 4-4-4-4-5 480 0,00000154

Total 0,0141241122 a-a-a-9-10 30720 0,0000985022 a-a-2-8-10 184320 0,0005910122 a-a-2-9-9 17280 0,0000554122 a-a-3-7-10 184320 0,0005910122 a-a-3-8-9 46080 0,0001477522 a-a-4-6-10 184320 0,0005910122 a-a-4-7-9 46080 0,0001477522 a-a-4-8-8 17280 0,0000554122 a-a-5-5-10 69120 0,0002216322 a-a-5-6-9 46080 0,0001477522 a-a-5-7-8 46080 0,0001477522 a-a-6-6-8 17280 0,0000554122 a-a-6-7-7 17280 0,0000554122 a-2-2-7-10 184320 0,0005910122 a-2-2-8-9 46080 0,0001477522 a-2-3-6-10 491520 0,0015760222 a-2-3-7-9 122880 0,0003940022 a-2-3-8-8 46080 0,0001477522 a-2-4-5-10 491520 0,0015760222 a-2-4-6-9 122880 0,0003940022 a-2-4-7-8 122880 0,0003940022 a-2-5-5-9 46080 0,0001477522 a-2-5-6-8 122880 0,0003940022 a-2-5-7-7 46080 0,0001477522 a-2-6-6-7 46080 0,0001477522 a-3-3-5-10 184320 0,0005910122 a-3-3-6-9 46080 0,0001477522 a-3-3-7-8 46080 0,0001477522 a-3-4-4-10 184320 0,0005910122 a-3-4-5-9 122880 0,00039400

46


22 a-3-4-6-8 122880 0,0003940022 a-3-4-7-7 46080 0,0001477522 a-3-5-5-8 46080 0,0001477522 a-3-5-6-7 122880 0,0003940022 a-3-6-6-6 7680 0,0000246322 a-4-4-4-9 7680 0,0000246322 a-4-4-5-8 46080 0,0001477522 a-4-4-6-7 46080 0,0001477522 a-4-5-5-7 46080 0,0001477522 a-4-5-6-6 46080 0,0001477522 a-5-5-5-6 7680 0,0000246322 2-2-2-6-10 30720 0,0000985022 2-2-2-7-9 7680 0,0000246322 2-2-2-8-8 2880 0,0000092322 2-2-3-5-10 184320 0,0005910122 2-2-3-6-9 46080 0,0001477522 2-2-3-7-8 46080 0,0001477522 2-2-4-4-10 69120 0,0002216322 2-2-4-5-9 46080 0,0001477522 2-2-4-6-8 46080 0,0001477522 2-2-4-7-7 17280 0,0000554122 2-2-5-5-8 17280 0,0000554122 2-2-5-6-7 46080 0,0001477522 2-2-6-6-6 2880 0,0000092322 2-3-3-4-10 184320 0,0005910122 2-3-3-5-9 46080 0,0001477522 2-3-3-6-8 46080 0,0001477522 2-3-3-7-7 17280 0,0000554122 2-3-4-4-9 46080 0,0001477522 2-3-4-5-8 122880 0,0003940022 2-3-4-6-7 122880 0,0003940022 2-3-5-5-7 46080 0,0001477522 2-3-5-6-6 46080 0,0001477522 2-4-4-4-8 7680 0,0000246322 2-4-4-5-7 46080 0,0001477522 2-4-4-6-6 17280 0,0000554122 2-4-5-5-6 46080 0,00014775

47


22 2-5-5-5-5 480 0,0000015422 3-3-3-3-10 1920 0,0000061622 3-3-3-4-9 7680 0,0000246322 3-3-3-5-8 7680 0,0000246322 3-3-3-6-7 7680 0,0000246322 3 -3-4-4-8 17280 0,0000554122 3-3-4-5-7 46080 0,0001477522 3-3-4-6-6 17280 0,0000554122 3-3-5-5-6 17280 0,0000554122 3-4-4-4-7 7680 0,0000246322 3-4-4-5-6 46080 0,0001477522 3-4-5-5-5 7680 0,0000246322 4-4-4-4-6 480 0,0000015422 4-4-4-5-5 2880 0,00000923

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48


23 a-2-6-6-8 46080 0,0001477523 a-2-6-7-7 46080 0,0001477523 a-3-3-6-10 184320 0,0005910123 a-3-3-7-9 46080 0,0001477523 a-3-3-8-8 17280 0,0000554123 a-3-4-5-10 491520 0,0015760223 a-3-4-6-9 122880 0,0003940023 a-3-4-7-8 122880 0,0003940023 a-3-5-5-9 46080 0,0001477523 a-3-5-6-8 122880 0,0003940023 a-3-5-7-7 46080 0,0001477523 a-3-6-6-7 46080 0,0001477523 a-4-4-4-10 30720 0,0000985023 a-4-4-5-9 46080 0,0001477523 a-4-4-6-8 46080 0,0001477523 a-4-4-7-7 17280 0,0000554123 a-4-5-5-8 46080 0,0001477523 a-4-5-6-7 122880 0,0003940023 a-4-6-6-6 7680 0,0000246323 a-5-5-5-7 7680 0,0000246323 a-5-5-6-6 17280 0,0000554123 2-2-2-7-10 30720 0,0000985023 2-2-2-8-9 7680 0,0000246323 2-2-3-6-10 184320 0,0005910123 2-2-3-7-9 46080 0,0001477523 2-2-3-8-8 17280 0,0000554123 2-2-4-5-10 184320 0,0005910123 2-2-4-6-9 46080 0,0001477523 2-2-4-7-8 46080 0,0001477523 2-2-5-5-9 17280 0,0000554123 2-2-5-6-8 46080 0,0001477523 2-2-5-7-7 17280 0,0000554123 2-2-6-6-7 17280 0,0000554123 2-3-3-5-10 184320 0,0005910123 2-3-3-6-9 46080 0,0001477523 2-3-3-7-8 46080 0,0001477523 2-3-4-4-10 184320 0,00059101

49


23 2-3-4-5-9 122880 0,0003940023 2-3-4-6-8 122880 0,0003940023 2-3-4-7-7 46080 0,0001477523 2-3-5-5-8 46080 0,0001477523 2-3-5-6-7 122880 0,0003940023 2-3-6-6-6 7680 0,0000246323 2-4-4-4-9 7680 0,0000246323 2-4-4-5-8 46080 0,0001477523 2-4-4-6-7 46080 0,0001477523 2-4-5-5-7 46080 0,0001477523 2-4-5-6-6 46080 0,0001477523 2-5-5-5-6 7680 0,0000246323 3-3-3-4-10 30720 0,0000985023 3-3-3-5-9 7680 0,0000246323 3-3-3-6-8 7680 0,0000246323 3-3-3-7-7 2880 0,0000092323 3-3-4-4-9 17280 0,0000554123 3-3-4-5-8 46080 0,0001477523 3-3-4-6-7 46080 0,0001477523 3-3-5-5-7 17280 0,0000554123 3-3-5-6-6 17280 0,0000554123 3-4-4-4-8 7680 0,0000246323 3-4-4-5-7 46080 0,0001477523 3-4-4-6-6 17280 0,0000554123 3-4-5-5-6 46080 0,0001477523 3-5-5-5-5 480 0,0000015423 4-4-4-4-7 480 0,0000015423 4-4-4-5-6 7680 0,0000246323 4-4-5-5-5 2880 0,00000923

Total 0,0214362724 a-a-2-10-10 345600 0,0011081424 a-a-3-9-10 184320 0,0005910124 a-a-4-8-10 184320 0,0005910124 a-a-4-9-9 17280 0,0000554124 a-a-5-7-10 184320 0,0005910124 a-a-5-8-9 46080 0,0001477524 a-a-6-6-10 69120 0,00022163

50


24 a-a-6-7-9 46080 0,0001477524 a-a-6-8-8 17280 0,0000554124 a-a-7-7-8 17280 0,0000554124 a-2-2-9-10 184320 0,0005910124 a-2-3-8-10 491520 0,0015760224 a-2-3-9-9 46080 0,0001477524 a-2-4-7-10 491520 0,0015760224 a-2-4-8-9 122880 0,0003940024 a-2-5-6-10 491520 0,0015760224 a-2-5-7-9 122880 0,0003940024 a-2-5-8-8 46080 0,0001477524 a-2-6-6-9 46080 0,0001477524 a-2-6-7-8 122880 0,0003940024 a-2-7-7-7 7680 0,0000246324 a-3-3-7-10 184320 0,0005910124 a-3-3-8-9 46080 0,0001477524 a-3-4-6-10 491520 0,0015760224 a-3-4-7-9 122880 0,0003940024 a-3-4-8-8 46080 0,0001477524 a-3-5-5-10 184320 0,0005910124 a-3-5-6-9 122880 0,0003940024 a-3-5-7-8 122880 0,0003940024 a-3-6-6-8 46080 0,0001477524 a-3-6-7-7 46080 0,0001477524 a-4-4-5-10 184320 0,0005910124 a-4-4-6-9 46080 0,0001477524 a-4-4-7-8 46080 0,0001477524 a-4-5-5-9 46080 0,0001477524 a-4-5-6-8 122880 0,0003940024 a-4-5-7-7 46080 0,0001477524 a-4-6-6-7 46080 0,0001477524 a-5-5-5-8 7680 0,0000246324 a-5-5-6-7 46080 0,0001477524 a-5-6-6-6 7680 0,0000246324 2-2-2-8-10 30720 0,0000985024 2-2-2-9-9 2880 0,0000092324 2-2-3-7-10 184320 0,00059101

51


24 2-2-3-8-9 46080 0,0001477524 2-2-4-6-10 184320 0,0005910124 2-2-4-7-9 46080 0,0001477524 2-2-4-8-8 17280 0,0000554124 2-2-5-5-10 69120 0,0002216324 2-2-5-6-9 46080 0,0001477524 2-2-5-7-8 46080 0,0001477524 2-2-6-6-8 17280 0,0000554124 2-2-6-7-7 17280 0,0000554124 2-3-3-6-10 184320 0,0005910124 2-3-3-7-9 46080 0,0001477524 2-3-3-8-8 17280 0,0000554124 2-3-4-5-10 491520 0,0015760224 2-3-4-6-9 122880 0,0003940024 2-3-4-7-8 122880 0,0003940024 2-3-5-5-9 46080 0,0001477524 2-3-5-6-8 122880 0,0003940024 2-3-5-7-7 46080 0,0001477524 2-3-6-6-7 46080 0,0001477524 2-4-4-4-10 30720 0,0000985024 2-4-4-5-9 46080 0,0001477524 2-4-4-6-8 46080 0,0001477524 2-4-4-7-7 17280 0,0000554124 2-4-5-5-8 46080 0,0001477524 2-4-5-6-7 122880 0,0003940024 2-4-6-6-6 7680 0,0000246324 2-5-5-5-7 7680 0,0000246324 2-5-5-6-6 17280 0,0000554124 3-3-3-5-10 30720 0,0000985024 3-3-3-6-9 7680 0,0000246324 3-3-3-7-8 7680 0,0000246324 3-3-4-4-10 69120 0,0002216324 3-3-4-5-9 46080 0,0001477524 3-3-4-6-8 46080 0,0001477524 3-3-4-7-7 17280 0,0000554124 3-3-5-5-8 17280 0,0000554124 3-3-5-6-7 46080 0,00014775

52


24 3-3-6-6-6 2880 0,0000092324 3-4-4-4-9 7680 0,0000246324 3-4-4-5-8 46080 0,0001477524 3-4-4-6-7 46080 0,0001477524 3-4-5-5-7 46080 0,0001477524 3-4-5-6-6 46080 0,0001477524 3-5-5-5-6 7680 0,0000246324 4-4-4-4-8 480 0,0000015424 4-4-4-5-7 7680 0,0000246324 4-4-4-6-6 2880 0,0000092324 4-4-5-5-6 17280 0,0000554124 4-5-5-5-5 480 0,00000154

Total 0,0260104025 a-a-3-10-10 345600 0,0011081425 a-a-4-9-10 184320 0,0005910125 a-a-5-8-10 184320 0,0005910125 a-a-5-9-9 17280 0,0000554125 a-a-6-7-10 184320 0,0005910125 a-a-6-8-9 46080 0,0001477525 a-a-7-7-9 17280 0,0000554125 a-a-7-8-8 17280 0,0000554125 a-2-2-10-10 345600 0,0011081425 a-2-3-9-10 491520 0,0015760225 a-2-4-8-10 491520 0,0015760225 a-2-4-9-9 46080 0,0001477525 a-2-5-7-10 491520 0,0015760225 a-2-5-8-9 122880 0,0003940025 a-2-6-6-10 184320 0,0005910125 a-2-6-7-9 122880 0,0003940025 a-2-6-8-8 46080 0,0001477525 a-2-7-7-8 46080 0,0001477525 a-3-3-8-10 184320 0,0005910125 a-3-3-9-9 17280 0,0000554125 a-3-4-7-10 491520 0,0015760225 a-3-4-8-9 122880 0,0003940025 a-3-5-6-10 491520 0,0015760225 a-3-5-7-9 122880 0,00039400

53


25 a-3-5-8-8 46080 0,0001477525 a-3-6-6-9 46080 0,0001477525 a-3-6-7-8 122880 0,0003940025 a-3-7-7-7 7680 0,0000246325 a-4-4-6-10 184320 0,0005910125 a-4-4-7-9 46080 0,0001477525 a-4-4-8-8 17280 0,0000554125 a-4-5-5-10 184320 0,0005910125 a-4-5-6-9 122880 0,0003940025 a-4-5-7-8 122880 0,0003940025 a-4-6-6-8 46080 0,0001477525 a-4-6-7-7 46080 0,0001477525 a-5-5-5-9 7680 0,0000246325 a-5-5-6-8 46080 0,0001477525 a-5-5-7-7 17280 0,0000554125 a-5-6-6-7 46080 0,0001477525 a-6-6-6-6 480 0,0000015425 2-2-2-9-10 30720 0,0000985025 2-2-3-8-10 184320 0,0005910125 2-2-3-9-9 17280 0,0000554125 2-2-4-7-10 184320 0,0005910125 2-2-4-8-9 46080 0,0001477525 2-2-5-6-10 184320 0,0005910125 2-2-5-7-9 46080 0,0001477525 2-2-5-8-8 17280 0,0000554125 2-2-6-6-9 17280 0,0000554125 2-2-6-7-8 46080 0,0001477525 2-2-7-7-7 2880 0,0000092325 2-3-3-7-10 184320 0,0005910125 2-3-3-8-9 46080 0,0001477525 2-3-4-6-10 491520 0,0015760225 2-3-4-7-9 122880 0,0003940025 2-3-4-8-8 46080 0,0001477525 2-3-5-5-10 184320 0,0005910125 2-3-5-6-9 122880 0,0003940025 2-3-5-7-8 122880 0,0003940025 2-3-6-6-8 46080 0,00014775

54


25 2-3-6-7-7 46080 0,0001477525 2-4-4-5-10 184320 0,0005910125 2-4-4-6-9 46080 0,0001477525 2-4-4-7-8 46080 0,0001477525 2-4-5-5-9 46080 0,0001477525 2-4-5-6-8 122880 0,0003940025 2-4-5-7-7 46080 0,0001477525 2-4-6-6-7 46080 0,0001477525 2-5-5-5-8 7680 0,0000246325 2-5-5-6-7 46080 0,0001477525 2-5-6-6-6 7680 0,0000246325 3-3-3-6-10 30720 0,0000985025 3-3-3-7-9 7680 0,0000246325 3-3-3-8-8 2880 0,0000092325 3-3-4-5-10 184320 0,0005910125 3-3-4-6-9 46080 0,0001477525 3-3-4-7-8 46080 0,0001477525 3-3-5-5-9 17280 0,0000554125 3-3-5-6-8 46080 0,0001477525 3-3-5-7-7 17280 0,0000554125 3-3-6-6-7 17280 0,0000554125 3-4-4-4-10 30720 0,0000985025 3-4-4-5-9 46080 0,0001477525 3-4-4-6-8 46080 0,0001477525 3-4-4-7-7 17280 0,0000554125 3-4-5-5-8 46080 0,0001477525 3-4-5-6-7 122880 0,0003940025 3-4-6-6-6 7680 0,0000246325 3-5-5-5-7 7680 0,0000246325 3-5-5-6-6 17280 0,0000554125 4-4-4-4-9 480 0,0000015425 4-4-4-5-8 7680 0,0000246325 4-4-4-6-7 7680 0,0000246325 4-4-5-5-7 17280 0,0000554125 4-4-5-6-6 17280 0,0000554125 4-5-5-5-6 7680 0,00002463

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55


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56


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57


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58


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59


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60


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61


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30 3-5-7-7-8 46080 0,0001477530 3-6-6-6-9 7680 0,0000246330 3-6-6-7-8 46080 0,0001477530 3-6-7-7-7 7680 0,0000246330 4-4-4-8-10 30720 0,0000985030 4-4-4-9-9 2880 0,0000092330 4-4-5-7-10 184320 0,0005910130 4-4-5-8-9 46080 0,0001477530 4-4-6-6-10 69120 0,0002216330 4-4-6-7-9 46080 0,0001477530 4-4-6-8-8 17280 0,0000554130 4-4-7-7-8 17280 0,0000554130 4-5-5-6-10 184320 0,0005910130 4-5-5-7-9 46080 0,0001477530 4-5-5-8-8 17280 0,0000554130 4-5-6-6-9 46080 0,0001477530 4-5-6-7-8 122880 0,0003940030 4-5-7-7-7 7680 0,0000246330 4-6-6-6-8 7680 0,0000246330 4-6-6-7-7 17280 0,0000554130 5-5-5-5-10 1920 0,0000061630 5-5-5-6-9 7680 0,0000246330 5-5-5-7-8 7680 0,0000246330 5-5-6-6-8 17280 0,0000554130 5-5-6-7-7 17280 0,0000554130 5-6-6-6-7 7680 0,00002463

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69


31 a-5-5-10-10 345600 0,0011081431 a-5-6-9-10 491520 0,0015760231 a-5-7-8-10 491520 0,0015760231 a-5-7-9-9 46080 0,0001477531 a-5-8-8-9 46080 0,0001477531 a-6-6-8-10 184320 0,0005910131 a-6-6-9-9 17280 0,0000554131 a-6-7-7-10 184320 0,0005910131 a-6-7-8-9 122880 0,0003940031 a-6-8-8-8 7680 0,0000246331 a-7-7-7-9 7680 0,0000246331 a-7-7-8-8 17280 0,0000554131 2-2-7-10-10 345600 0,0011081431 2-2-8-9-10 184320 0,0005910131 2-2-9-9-9 2880 0,0000092331 2-3-6-10-10 921600 0,0029550331 2-3-7-9-10 491520 0,0015760231 2-3-8-8-10 184320 0,0005910131 2-3-8-9-9 46080 0,0001477531 2-4-5-10-10 921600 0,0029550331 2-4-6-9-10 491520 0,0015760231 2-4-7-8-10 491520 0,0015760231 2-4-7-9-9 46080 0,0001477531 2-4-8-8-9 46080 0,0001477531 2-5-5-9-10 184320 0,0005910131 2-5-6-8-10 491520 0,0015760231 2-5-6-9-9 46080 0,0001477531 2-5-7-7-10 184320 0,0005910131 2-5-7-8-9 122880 0,0003940031 2-5-8-8-8 7680 0,0000246331 2-6-6-7-10 184320 0,0005910131 2-6-6-8-9 46080 0,0001477531 2-6-7-7-9 46080 0,0001477531 2-6-7-8-8 46080 0,0001477531 2-7-7-7-8 7680 0,0000246331 3-3-5-10-10 345600 0,0011081431 3-3-6-9-10 184320 0,00059101

70


31 3-3-7-8-10 184320 0,0005910131 3-3-7-9-9 17280 0,0000554131 3-3-8-8-9 17280 0,0000554131 3-4-4-10-10 345600 0,0011081431 3-4-5-9-10 491520 0,0015760231 3-4-6-8-10 491520 0,0015760231 3-4-6-9-9 46080 0,0001477531 3-4-7-7-10 184320 0,0005910131 3-4-7-8-9 122880 0,0003940031 3-4-8-8-8 7680 0,0000246331 3-5-5-8-10 184320 0,0005910131 3-5-5-9-9 17280 0,0000554131 3-5-6-7-10 491520 0,0015760231 3-5-6-8-9 122880 0,0003940031 3-5-7-7-9 46080 0,0001477531 3-5-7-8-8 46080 0,0001477531 3-6-6-6-10 30720 0,0000985031 3-6-6-7-9 46080 0,0001477531 3-6-6-8-8 17280 0,0000554131 3-6-7-7-8 46080 0,0001477531 3-7-7-7-7 480 0,0000015431 4-4-4-9-10 30720 0,0000985031 4-4-5-8-10 184320 0,0005910131 4-4-5-9-9 17280 0,0000554131 4-4-6-7-10 184320 0,0005910131 4-4-6-8-9 46080 0,0001477531 4-4-7-7-9 17280 0,0000554131 4-4-7-8-8 17280 0,0000554131 4-5-5-7-10 184320 0,0005910131 4-5-5-8-9 46080 0,0001477531 4-5-6-6-10 184320 0,0005910131 4-5-6-7-9 122880 0,0003940031 4-5-6-8-8 46080 0,0001477531 4-5-7-7-8 46080 0,0001477531 4-6-6-6-9 7680 0,0000246331 4-6-6-7-8 46080 0,0001477531 4-6-7-7-7 7680 0,00002463

71


31 5-5-5-6-10 30720 0,0000985031 5-5-5-7-9 7680 0,0000246331 5-5-5-8-8 2880 0,0000092331 5-5-6-6-9 17280 0,0000554131 5-5-6-7-8 46080 0,0001477531 5-5-7-7-7 2880 0,0000092331 5-6-6-6-8 7680 0,0000246331 5-6-6-7-7 17280 0,0000554131 6-6-6-6-7 480 0,00000154

Total 0,0539538932 a-a-10-10-10 403200 0,0012928232 a-2-9-10-10 921600 0,0029550332 a-3-8-10-10 921600 0,0029550332 a-3-9-9-10 184320 0,0005910132 a-4-7-10-10 921600 0,0029550332 a-4-8-9-10 491520 0,0015760232 a-4-9-9-9 7680 0,0000246332 a-5-6-10-10 921600 0,0029550332 a-5-7-9-10 491520 0,0015760232 a-5-8-8-10 184320 0,0005910132 a-5-8-9-9 46080 0,0001477532 a-6-6-9-10 184320 0,0005910132 a-6-7-8-10 491520 0,0015760232 a-6-7-9-9 46080 0,0001477532 a-6-8-8-9 46080 0,0001477532 a-7-7-7-10 30720 0,0000985032 a-7-7-8-9 46080 0,0001477532 a-7-8-8-8 7680 0,0000246332 2-2-8-10-10 345600 0,0011081432 2-2-9-9-10 69120 0,0002216332 2-3-7-10-10 921600 0,0029550332 2-3-8-9-10 491520 0,0015760232 2-3-9-9-9 7680 0,0000246332 2-4-6-10-10 921600 0,0029550332 2-4-7-9-10 491520 0,0015760232 2-4-8-8-10 184320 0,0005910132 2-4-8-9-9 46080 0,00014775

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32 2-5-5-10-10 345600 0,0011081432 2-5-6-9-10 491520 0,0015760232 2-5-7-8-10 491520 0,0015760232 2-5-7-9-9 46080 0,0001477532 2-5-8-8-9 46080 0,0001477532 2-6-6-8-10 184320 0,0005910132 2-6-6-9-9 17280 0,0000554132 2-6-7-7-10 184320 0,0005910132 2-6-7-8-9 122880 0,0003940032 2-6-8-8-8 7680 0,0000246332 2-7-7-7-9 7680 0,0000246332 2-7-7-8-8 17280 0,0000554132 3-3-6-10-10 345600 0,0011081432 3-3-7-9-10 184320 0,0005910132 3-3-8-8-10 69120 0,0002216332 3-3-8-9-9 17280 0,0000554132 3-4-5-10-10 921600 0,0029550332 3-4-6-9-10 491520 0,0015760232 3-4-7-8-10 491520 0,0015760232 3-4-7-9-9 46080 0,0001477532 3-4-8-8-9 46080 0,0001477532 3-5-5-9-10 184320 0,0005910132 3-5-6-8-10 491520 0,0015760232 3-5-6-9-9 46080 0,0001477532 3-5-7-7-10 184320 0,0005910132 3-5-7-8-9 122880 0,0003940032 3-5-8-8-8 7680 0,0000246332 3-6-6-7-10 184320 0,0005910132 3-6-6-8-9 46080 0,0001477532 3-6-7-7-9 46080 0,0001477532 3-6-7-8-8 46080 0,0001477532 3-7-7-7-8 7680 0,0000246332 4-4-4-10-10 57600 0,0001846932 4-4-5-9-10 184320 0,0005910132 4-4-6-8-10 184320 0,0005910132 4-4-6-9-9 17280 0,0000554132 4-4-7-7-10 69120 0,00022163

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32 4-4-7-8-9 46080 0,0001477532 4-4-8-8-8 2880 0,0000092332 4-5-5-8-10 184320 0,0005910132 4-5-5-9-9 17280 0,0000554132 4-5-6-7-10 491520 0,0015760232 4-5-6-8-9 122880 0,0003940032 4-5-7-7-9 46080 0,0001477532 4-5-7-8-8 46080 0,0001477532 4-6-6-6-10 30720 0,0000985032 4-6-6-7-9 46080 0,0001477532 4-6-6-8-8 17280 0,0000554132 4-6-7-7-8 46080 0,0001477532 4-7-7-7-7 480 0,0000015432 5-5-5-7-10 30720 0,0000985032 5-5-5-8-9 7680 0,0000246332 5-5-6-6-10 69120 0,0002216332 5-5-6-7-9 46080 0,0001477532 5-5-6-8-8 17280 0,0000554132 5-5-7-7-8 17280 0,0000554132 5-6-6-6-9 7680 0,0000246332 5-6-6-7-8 46080 0,0001477532 5-6-7-7-7 7680 0,0000246332 6-6-6-6-8 480 0,0000015432 6-6-6-7-7 2880 0,00000923

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74


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75


33 3-7-7-7-9 7680 0,0000246333 3-7-7-8-8 17280 0,0000554133 4-4-5-10-10 345600 0,0011081433 4-4-6-9-10 184320 0,0005910133 4-4-7-8-10 184320 0,0005910133 4-4-7-9-9 17280 0,0000554133 4-4-8-8-9 17280 0,0000554133 4-5-5-9-10 184320 0,0005910133 4-5-6-8-10 491520 0,0015760233 4-5-6-9-9 46080 0,0001477533 4-5-7-7-10 184320 0,0005910133 4-5-7-8-9 122880 0,0003940033 4-5-8-8-8 7680 0,0000246333 4-6-6-7-10 184320 0,0005910133 4-6-6-8-9 46080 0,0001477533 4-6-7-7-9 46080 0,0001477533 4-6-7-8-8 46080 0,0001477533 4-7-7-7-8 7680 0,0000246333 5-5-5-8-10 30720 0,0000985033 5-5-5-9-9 2880 0,0000092333 5-5-6-7-10 184320 0,0005910133 5-5-6-8-9 46080 0,0001477533 5-5-7-7-9 17280 0,0000554133 5-5-7-8-8 17280 0,0000554133 5-6-6-6-10 30720 0,0000985033 5-6-6-7-9 46080 0,0001477533 5-6-6-8-8 17280 0,0000554133 5-6-7-7-8 46080 0,0001477533 5-7-7-7-7 480 0,0000015433 6-6-6-6-9 480 0,0000015433 6-6-6-7-8 7680 0,0000246333 6-6-7-7-7 2880 0,00000923

Total 0,0574337434 a-3-10-10-10 1075200 0,0034475334 a-4 9-10-10 921600 0,0029550334 a-5-8-10-10 921600 0,0029550334 a-5-9-9-10 184320 0,00059101

76


34 a-6-7-10-10 921600 0,0029550334 a-6-8-9-10 491520 0,0015760234 a-6-9-9-9 7680 0,0000246334 a-7-7-9-10 184320 0,0005910134 a-7-8-8-10 184320 0,0005910134 a-7-8-9-9 46080 0,0001477534 a-8-8-8-9 7680 0,0000246334 2-2-10-10-10 403200 0,0012928234 2-3-9-10-10 921600 0,0029550334 2-4-8-10-10 921600 0,0029550334 2-4-9-9-10 184320 0,0005910134 2-5-7-10-10 921600 0,0029550334 2-5-8-9-10 491520 0,0015760234 2-5-9-9-9 7680 0,0000246334 2-6-6-10-10 345600 0,0011081434 2-6-7-9-10 491520 0,0015760234 2-6-8-8-10 184320 0,0005910134 2-6-8-9-9 46080 0,0001477534 2-7-7-8-10 184320 0,0005910134 2-7-7-9-9 17280 0,0000554134 2-7-8-8-9 46080 0,0001477534 2-8-8-8-8 480 0,0000015434 3-3-8-10-10 345600 0,0011081434 3-3-9-9-10 69120 0,0002216334 3-4-7-10-10 921600 0,0029550334 3-4-8-9-10 491520 0,0015760234 3-4-9-9-9 7680 0,0000246334 3-5-6-10-10 921600 0,0029550334 3-5-7-9-10 491520 0,0015760234 3-5-8-8-10 184320 0,0005910134 3-5-8-9-9 46080 0,0001477534 3-6-6-9-10 184320 0,0005910134 3-6-7-8-10 491520 0,0015760234 3-6-7-9-9 46080 0,0001477534 3-6-8-8-9 46080 0,0001477534 3-7-7-7-10 30720 0,0000985034 3-7-7-8-9 46080 0,00014775

77


34 3-7-8-8-8 7680 0,0000246334 4-4-6-10-10 345600 0,0011081434 4-4-7-9-10 184320 0,0005910134 4-4-8-8-10 69120 0,0002216334 4-4-8-9-9 17280 0,0000554134 4-5-5-10-10 345600 0,0011081434 4-5-6-9-10 491520 0,0015760234 4-5-7-8-10 491520 0,0015760234 4-5-7-9-9 46080 0,0001477534 4-5-8-8-9 46080 0,0001477534 4-6-6-8-10 184320 0,0005910134 4-6-6-9-9 17280 0,0000554134 4-6-7-7-10 184320 0,0005910134 4-6-7-8-9 122880 0,0003940034 4-6-8-8-8 7680 0,0000246334 4-7-7-7-9 7680 0,0000246334 4-7-7-8-8 17280 0,0000554134 5-5-5-9-10 30720 0,0000985034 5-5-6-8-10 184320 0,0005910134 5-5-6-9-9 17280 0,0000554134 5-5-7-7-10 69120 0,0002216334 5-5-7-8-9 46080 0,0001477534 5-5-8-8-8 2880 0,0000092334 5-6-6-7-10 184320 0,0005910134 5-6-6-8-9 46080 0,0001477534 5-6-7-7-9 46080 0,0001477534 5-6-7-8-8 46080 0,0001477534 5-7-7-7-8 7680 0,0000246334 6-6-6-6-10 1920 0,0000061634 6-6-6-7-9 7680 0,0000246334 6-6-6-8-8 2880 0,0000092334 6-6-7-7-8 17280 0,0000554134 6-7-7-7-7 480 0,00000154

Total 0,0568627535 a-4-10-10-10 1075200 0,0034475335 a-5-9-10-10 921600 0,0029550335 a-6-8-10-10 921600 0,00295503

78


35 a-6-9-9-10 184320 0,0005910135 a-7-7-10-10 345600 0,0011081435 a-7-8-9-10 491520 0,0015760235 a-7-9-9-9 7680 0,0000246335 a-8-8-8-10 30720 0,0000985035 a-8-8-9-9 17280 0,0000554135 2-3-10-10-10 1075200 0,0034475335 2-4-9-10-10 921600 0,0029550335 2-5-8-10-10 921600 0,0029550335 2-5-9-9-10 184320 0,0005910135 2-6-7-10-10 921600 0,0029550335 2-6-8-9-10 491520 0,0015760235 2-6-9-9-9 7680 0,0000246335 2-7-7-9-10 184320 0,0005910135 2-7-8-8-10 184320 0,0005910135 2-7-8-9-9 46080 0,0001477535 2-8-8-8-9 7680 0,0000246335 3-3-9-10-10 345600 0,0011081435 3-4-8-10-10 921600 0,0029550335 3-4-9-9-10 184320 0,0005910135 3-5-7-10-10 921600 0,0029550335 3-5-8-9-10 491520 0,0015760235 3-5-9-9-9 7680 0,0000246335 3-6-6-10-10 345600 0,0011081435 3-6-7-9-10 491520 0,0015760235 3-6-8-8-10 184320 0,0005910135 3-6-8-9-9 46080 0,0001477535 3-7-7-8-10 184320 0,0005910135 3-7-7-9-9 17280 0,0000554135 3-7-8-8-9 46080 0,0001477535 3-8-8-8-8 480 0,0000015435 4-4-7-10-10 345600 0,0011081435 4-4-8-9-10 184320 0,0005910135 4-4-9-9-9 2880 0,0000092335 4-5-6-10-10 921600 0,0029550335 4-5-7-9-10 491520 0,0015760235 4-5-8-8-10 184320 0,00059101

79


35 4-5-8-9-9 46080 0,0001477535 4-6-6-9-10 184320 0,0005910135 4-6-7-8-10 491520 0,0015760235 4-6-7-9-9 46080 0,0001477535 4-6-8-8-9 46080 0,0001477535 4-7-7-7-10 30720 0,0000985035 4-7-7-8-9 46080 0,0001477535 4-7-8-8-8 7680 0,0000246335 5-5-5-10-10 57600 0,0001846935 5-5-6-9-10 184320 0,0005910135 5-5-7-8-10 184320 0,0005910135 5-5-7-9-9 17280 0,0000554135 5-5-8-8-9 17280 0,0000554135 5-6-6-8-10 184320 0,0005910135 5-6-6-9-9 17280 0,0000554135 5-6-7-7-10 184320 0,0005910135 5-6-7-8-9 122880 0,0003940035 5-6-8-8-8 7680 0,0000246335 5-7-7-7-9 7680 0,0000246335 5-7-7-8-8 17280 0,0000554135 6-6-6-7-10 30720 0,0000985035 6-6-6-8-9 7680 0,0000246335 6-6-7-7-9 17280 0,0000554135 6-6-7-8-8 17280 0,0000554135 6-7-7-7-8 7680 0,00002463

Total 0,0552821136 a-5-10-10-10 1075200 0,0034475336 a-6-9-10-10 921600 0,0029550336 a-7-8-10-10 921600 0,0029550336 a-7-9-9-10 184320 0,0005910136 a-8-8-9-10 184320 0,0005910136 a-8-9-9-9 7680 0,0000246336 2-4-10-10-10 1075200 0,0034475336 2-5-9-10-10 921600 0,0029550336 2-6-8-10-10 921600 0,0029550336 2-6-9-9-10 184320 0,0005910136 2-7-7-10-10 345600 0,00110814

80


36 2-7-8-9-10 491520 0,0015760236 2-7-9-9-9 7680 0,0000246336 2-8-8-8-10 30720 0,0000985036 2-8-8-9-9 17280 0,0000554136 3-3-10-10-10 403200 0,0012928236 3-4-9-10-10 921600 0,0029550336 3-5-8-10-10 921600 0,0029550336 3-5-9-9-10 184320 0,0005910136 3-6-7-10-10 921600 0,0029550336 3-6-8-9-10 491520 0,0015760236 3-6-9-9-9 7680 0,0000246336 3-7-7-9-10 184320 0,0005910136 3-7-8-8-10 184320 0,0005910136 3-7-8-9-9 46080 0,0001477536 3-8-8-8-9 7680 0,0000246336 4-4-8-10-10 345600 0,0011081436 4-4-9-9-10 69120 0,0002216336 4-5-7-10-10 921600 0,0029550336 4-5-8-9-10 491520 0,0015760236 4-5-9-9-9 7680 0,0000246336 4-6-6-10-10 345600 0,0011081436 4-6-7-9-10 491520 0,0015760236 4-6-8-8-10 184320 0,0005910136 4-6-8-9-9 46080 0,0001477536 4-7-7-8-10 184320 0,0005910136 4-7-7-9-9 17280 0,0000554136 4-7-8-8-9 46080 0,0001477536 4-8-8-8-8 480 0,0000015436 5-5-6-10-10 345600 0,0011081436 5-5-7-9-10 184320 0,0005910136 5-5-8-8-10 69120 0,0002216336 5-5-8-9-9 17280 0,0000554136 5-6-6-9-10 184320 0,0005910136 5-6-7-8-10 491520 0,0015760236 5-6-7-9-9 46080 0,0001477536 5-6-8-8-9 46080 0,0001477536 5-7-7-7-10 30720 0,00009850

81


36 5-7-7-8-9 46080 0,0001477536 5-7-8-8-8 7680 0,0000246336 6-6-6-8-10 30720 0,0000985036 6-6-6-9-9 2880 0,0000092336 6-6-7-7-10 69120 0,0002216336 6-6-7-8-9 46080 0,0001477536 6-6-8-8-8 2880 0,0000092336 6-7-7-7-9 7680 0,0000246336 6-7-7-8-8 17280 0,0000554136 7-7-7-7-8 480 0,00000154

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82


37 4-7-7-9-10 184320 0,0005910137 4-7-8-8-10 184320 0,0005910137 4-7-8-9-9 46080 0,0001477537 4-8-8-8-9 7680 0,0000246337 5-5-7-10-10 345600 0,0011081437 5-5-8-9-10 184320 0,0005910137 5-5-9-9-9 2880 0,0000092337 5-6-6-10-10 345600 0,0011081437 5-6-7-9-10 491520 0,0015760237 5-6-8-8-10 184320 0,0005910137 5-6-8-9-9 46080 0,0001477537 5-7-7-8-10 184320 0,0005910137 5-7-7-9-9 17280 0,0000554137 5-7-8-8-9 46080 0,0001477537 5-8-8-8-8 480 0,0000015437 6-6-6-9-10 30720 0,0000985037 6-6-7-8-10 184320 0,0005910137 6-6-7-9-9 17280 0,0000554137 6-6-8-8-9 17280 0,0000554137 6-7-7-7-10 30720 0,0000985037 6-7-7-8-9 46080 0,0001477537 6-7-8-8-8 7680 0,0000246337 7-7-7-7-9 480 0,0000015437 7-7-7-8-8 2880 0,00000923

Total 0,0490519338 a-7-10-10-10 1075200 0,0034475338 a-8-9-10-10 921600 0,0029550338 a-9-9-9-10 30720 0,0000985038 2-6-10-10-10 1075200 0,0034475338 2-7-9-10-10 921600 0,0029550338 2-8-8-10-10 345600 0,0011081438 2-8-9-9-10 184320 0,0005910138 2-9-9-9-9 480 0,0000015438 3-5-10-10-10 1075200 0,0034475338 3-6-9-10-10 921600 0,0029550338 3-7-8-10-10 921600 0,0029550338 3-7-9-9-10 184320 0,00059101

83


38 3-8-8-9-10 184320 0,0005910138 3-8-9-9-9 7680 0,0000246338 4-4-10-10-10 403200 0,0012928238 4-5-9-10-10 921600 0,0029550338 4-6-8-10-10 921600 0,0029550338 4-6-9-9-10 184320 0,0005910138 4-7-7-10-10 345600 0,0011081438 4-7-8-9-10 491520 0,0015760238 4-7-9-9-9 7680 0,0000246338 4-8-8-8-10 30720 0,0000985038 4-8-8-9-9 17280 0,0000554138 5-5-8-10-10 345600 0,0011081438 5-5-9-9-10 69120 0,0002216338 5-6-7-10-10 921600 0,0029550338 5-6-8-9-10 491520 0,0015760238 5-6-9-9-9 7680 0,0000246338 5-7-7-9-10 184320 0,0005910138 5-7-8-8-10 184320 0,0005910138 5-7-8-9-9 46080 0,0001477538 5-8-8-8-9 7680 0,0000246338 6-6-6-10-10 57600 0,0001846938 6-6-7-9-10 184320 0,0005910138 6-6-8-8-10 69120 0,0002216338 6-6-8-9-9 17280 0,0000554138 6-7-7-8-10 184320 0,0005910138 6-7-7-9-9 17280 0,0000554138 6-7-8-8-9 46080 0,0001477538 6-8-8-8-8 480 0,0000015438 7-7-7-7-10 1920 0,0000061638 7-7-7-8-9 7680 0,0000246338 7-7-8-8-8 2880 0,00000923

Total 0,0449533739 a-8-10-10-10 1075200 0,0034475339 a-9-9-10-10 345600 0,0011081439 2-7-10-10-10 1075200 0,0034475339 2-8-9-10-10 921600 0,0029550339 2-9-9-9-10 30720 0,00009850

84


39 3-6-10-10-10 1075200 0,0034475339 3-7-9-10-10 921600 0,0029550339 3-8-8-10-10 345600 0,0011081439 3-8-9-9-10 184320 0,0005910139 3-9-9-9-9 480 0,0000015439 4-5-10-10-10 1075200 0,0034475339 4-6-9-10-10 921600 0,0029550339 4-7-8-10-10 921600 0,0029550339 4-7-9-9-10 184320 0,0005910139 4-8-8-9-10 184320 0,0005910139 4-8-9-9-9 7680 0,0000246339 5-5-9-10-10 345600 0,0011081439 5-6-8-10-10 921600 0,0029550339 5-6-9-9-10 184320 0,0005910139 5-7-7-10-10 345600 0,0011081439 5-7-8-9-10 491520 0,0015760239 5-7-9-9-9 7680 0,0000246339 5-8-8-8-10 30720 0,0000985039 5-8-8-9-9 17280 0,0000554139 6-6-7-10-10 345600 0,0011081439 6-6-8-9-10 184320 0,0005910139 6-6-9-9-9 2880 0,0000092339 6-7-7-9-10 184320 0,0005910139 6-7-8-8-10 184320 0,0005910139 6-7-8-9-9 46080 0,0001477539 6-8-8-8-9 7680 0,0000246339 7-7-7-8-10 30720 0,0000985039 7-7-7-9-9 2880 0,0000092339 7-7-8-8-9 17280 0,0000554139 7-8-8-8-8 480 0,00000154

Total 0,0404685040 a-9-10-10-10 1075200 0,0034475340 2-8-10-10-10 1075200 0,0034475340 2-9-9-10-10 345600 0,0011081440 3-7-10-10-10 1075200 0,0034475340 3-8-9-10-10 921600 0,0029550340 3-9-9-9-10 30720 0,00009850

85


40 4-6-10-10-10 1075200 0,0034475340 4-7-9-10-10 921600 0,0029550340 4-8-8-10-10 345600 0,0011081440 4-8-9-9-10 184320 0,0005910140 4-9-9-9-9 480 0,0000015440 5-5-10-10-10 403200 0,0012928240 5-6-9-10-10 921600 0,0029550340 5-7-8-10-10 921600 0,0029550340 5-7-9-9-10 184320 0,0005910140 5-8-8-9-10 184320 0,0005910140 5-8-9-9-9 7680 0,0000246340 6-6-8-10-10 345600 0,0011081440 6-6-9-9-10 69120 0,0002216340 6-7-7-10-10 345600 0,0011081440 6-7-8-9-10 491520 0,0015760240 6-7-9-9-9 7680 0,0000246340 6-8-8-8-10 30720 0,0000985040 6-8-8-9-9 17280 0,0000554140 7-7-7-9-10 30720 0,0000985040 7-7-8-8-10 69120 0,0002216340 7-7-8-9-9 17280 0,0000554140 7-8-8-8-9 7680 0,00002463

Total 0,0356096341 a-10-10-10-10 873600 0,0028011241 2-9-10-10-10 1075200 0,0034475341 3-8-10-10-10 1075200 0,0034475341 3-9-9-10-10 345600 0,0011081441 4-7-10-10-10 1075200 0,0034475341 4-8-9-10-10 921600 0,0029550341 4-9-9-9-10 30720 0,0000985041 5-6-10-10-10 1075200 0,0034475341 5-7-9-10-10 921600 0,0029550341 5-8-8-10-10 345600 0,0011081441 5-8-9-9-10 184320 0,0005910141 5-9-9-9-9 480 0,0000015441 6-6-9-10-10 345600 0,0011081441 6-7-8-10-10 921600 0,00295503

86


41 6-7-9-9-10 184320 0,0005910141 6-8-8-9-10 184320 0,0005910141 6-8-9-9-9 7680 0,0000246341 7-7-7-10-10 57600 0,0001846941 7-7-8-9-10 184320 0,0005910141 7-7-9-9-9 2880 0,0000092341 7-8-8-8-10 30720 0,0000985041 7-8-8-9-9 17280 0,0000554141 8-8-8-8-9 480 0,00000154

Total 0,0316188042 2-10-10-10-10 873600 0,0028011242 3-9-10-10-10 1075200 0,0034475342 4-8-10-10-10 1075200 0,0034475342 4-9-9-10-10 345600 0,0011081442 5-7-10-10-10 1075200 0,0034475342 5-8-9-10-10 921600 0,0029550342 5-9-9-9-10 30720 0,0000985042 6-6-10-10-10 403200 0,0012928242 6-7-9-10-10 921600 0,0029550342 6-8-8-10-10 345600 0,0011081442 6-8-9-9-10 184320 0,0005910142 6-9-9-9-9 480 0,0000015442 7-7-8-10-10 345600 0,0011081442 7-7-9-9-10 69120 0,0002216342 7-8-8-9-10 184320 0,0005910142 7-8-9-9-9 7680 0,0000246342 8-8-8-8-10 1920 0,0000061642 8-8-8-9-9 2880 0,00000923

Total 0,0252147043 3-10-10-10-10 873600 0,0028011243 4-9-10-10-10 1075200 0,0034475343 5-8-10-10-10 1075200 0,0034475343 5-9-9-10-10 345600 0,0011081443 6-7-10-10-10 1075200 0,0034475343 6-8-9-10-10 921600 0,0029550343 6-9-9-9-10 30720 0,0000985043 7-7-9-10-10 345600 0,00110814

87


43 7-8-8-10-10 345600 0,0011081443 7-8-9-9-10 184320 0,0005910143 7-9-9-9-9 480 0,0000015443 8-8-8-9-10 30720 0,0000985043 8-8-9-9-9 2880 0,00000923

Total 0,0202219344 4-10-10-10-10 873600 0,0028011244 5-9-10-10-10 1075200 0,0034475344 6-8-10-10-10 1075200 0,0034475344 6-9-9-10-10 345600 0,0011081444 7-7-10-10-10 403200 0,0012928244 7-8-9-10-10 921600 0,0029550344 7-9-9-9-10 30720 0,0000985044 8-8-8-10-10 57600 0,0001846944 8-8-9-9-10 69120 0,0002216344 8-9-9-9-9 480 0,00000154

Total 0,0155585345 5-10-10-10-10 873600 0,0028011245 6-9-10-10-10 1075200 0,0034475345 7-8-10-10-10 1075200 0,0034475345 7-9-9-10-10 345600 0,0011081445 8-8-9-10-10 345600 0,0011081445 8-9-9-9-10 30720 0,00009850

Total 0,0120109646 7-9-10-10-10 1075200 0,0034475346 8-8-10-10-10 403200 0,0012928246 8-9-9-10-10 345600 0,0011081446 9-9-9-9-10 1920 0,00000616

Total 0,0058546547 7-10-10-10-10 873600 0,0028011247 8-9-10-10-10 1075200 0,0034475347 9-9-9-10-10 57600 0,00018469

Total 0,0064333448 8-10-10-10-10 873600 0,0028011248 9-9-10-10-10 403200 0,00129282

Total 0,0040939549 9-10-10-10-10 873600 0,00280112

88


Total 0,0028011250 10-10-10-10-10 524160 0,00168067

Total 0,00168067Tabla 1.4: Combinaciones Para Cinco Cartas.

89


90

Capıtulo 2

TEORIA RELACIONADACON EL BLACKJACK

2.1. Introduccion

El juego de Blackjack ha llamado la atencion de muchos matematicosdebido a la simplicidad de sus reglas y su componente aleatorio que ha per-mitido estudios de simulacion bastante conocidos a nivel mundial. Dichosestudios que datan desde hace mas de medio siglo han abierto las posibi-lidades a intentar encontrar nuevos medios para el estudio del juego y lasventajas que puede tener el jugador que maneja a priori los estados y lasprobabilidades relacionadas en su desarrollo.

A continuacion haremos un tratado de la teorıa relacionada con el juegoy las herramientas que necesitaremos en nuestro estudio respecto a las pro-babilidades en un problema de parada optima aplicada al juego de blackjack

2.2. Conceptos Previos

Se asume que el lector posee conocimientos basicos respecto a la teorıade las probabilidades, distribuciones de variables aleatorias discretas y con-tinuas, valor esperado y varianza, entre otras. De lo contrario, es recomenda-do una lectura previa de estos conceptos debido a que seran frecuentementemencionados y aplicados en las secciones posteriores.

91

2.3. Definiciones Basicas Capıtulo 2

2.3. Definiciones Basicas

Definicion 1 Variables Independientes

Sea (Ω,F , P ) un espacio de probabilidad.

Los eventos Ai, con i = 1, 2, . . . , n, son independientes sı y solosı para cualquier subconjunto i1, i2, . . . , ik de 1, 2, . . . , n,

P (Ai1 ∩Ai2 ∩ . . . ∩Aik) = P (Ai1) P (Ai2) . . . P (Aik)

Las colecciones Ci ⊂ F , i ∈ I se dicen independientes sı y solo sı loseventos en cualquier colecion de la forma Ai ∈ Ci : i ∈ I son inde-pendientes.

Los vectores aleatorios Xi : i ∈ I, se dicen independientes sı y solosı σ(Xi) : i ∈ I son independientes.

En pocas palabras, un par de variables independientes son dos variablesque no influyen una en la otra, como el experimento de lanzar un dado yuna moneda, la moneda no influira en el puntaje obtenido en el dado y eldado no influira en el lado de la moneda que caiga.

Definicion 2 Probabilidad Condicional

En probabilidad elemental, se define la probabilidad de que ocurra un eventoB dado un evento A, es definido como:

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B)

Para las variables que no son independientes, la ocurrencia de un eventoinfluira en la ocurrencia del otro. En el juego de blackjack por ejemplo, laprobabilidad de recibir un as puede variar dependiendo de la cantidad deases que ya hacen parte de nuestro juego.

Definicion 3 Esperanza Condicional

sea X una variable aleatoria integrable en (Ω,F , P ).

Sea A un campo sub-σ de F . La esperanza condicional de X dado A,denotado como E(X|A), es la unica variable aleatoria que satisface lassiguientes condiciones:

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Capıtulo 2 2.3. Definiciones Basicas

1. E(X|A) es medible desde (Ω,A) hasta (R,B)

2.∫A E(X|A) dP =

∫A X dP para cualquier A ∈ A.

Sea B ∈ F . La probabilidad condicional de B dado A es definida comoP (B|A) = E(IB|A).

Sı Y es medible desde (Ω,F , P ) hasta (Λ,G), la esperanza condicionalde X dado Y esta definda como: E(X|Y ) = E[X|σ(Y )].

Definicion 4 Filtracion

Una filtracion Fnn∈N en un espacio de probabilidad (Ω,F , P ) es una suce-sion de sub-σ-algebras de F monotona creciente. Se puede definir de formamas general con un conjunto indizado, pero no es de interes para el presentetrabajo.

Definicion 5 Proceso Estocastico

Sucesion de variables aleatorias que evolucionan en funcion de una variable,usualmente el tiempo.El experimento con el que trabajamos en el presente proyecto es un procesoaleatorio pues cada evento de obtener una carta es una variable aleatoria.

Definicion 6 Proceso Estocastico Adaptado

Dada una sucesion de variables aleatorias Xnn∈N definidas en el mismoespacio (Ω,F , P ) y dada una filtracion Fnn∈N. Diremos que Xnn∈Nes un proceso estocastico adaptado a la filtracion si se cumple que Xn esFn-medible, ∀n ∈ N.

Definicion 7 Proceso Browniano

El proceso estocastico B(t), t ≥ 0 es un movimiento Browniano convarianza σ2, sı:

B(0) = 0.

Tiene incrementos independientes.

∀s < t, B(t)−B(s) N(0, σ2(t− s)).

Las trayectorias del proceso t → Bt son funciones continuas.

93

2.3. Definiciones Basicas Capıtulo 2

Definicion 8 Proceso de Poisson

Un proceso de Poisson con tasa λ ≥ 0, es un proceso de contar en tiempocontinuo N(t), t ≥ 0, donde Nt es una coleccion de variables aleatorias ycumplen:

N(0) = 0.

Sı s < t, entonces Ns ≤ Nt.

∀n > 0 y 0 < t1 < t2 < . . . < tn, las variables aleatorias Nt1 , Nt2 −Nt1 , . . . , Ntn −Ntn−1 son independientes.

∀h > 0 y t ∈ R+, Nh y Nt−h −Nt tienen la misma distribucion.

P (N(h) = 1) = λh + o(h).

P (N(h) ≥ 2) = o(h)

Donde o(h) es una funcion tal que lımh→0

o(h)h

.

Definicion 9 Proceso Martingala.

Decimos que M0,M1, . . . es una martingala sı:

1. E|Mn| < ∞.

2. Para cualquier sucesion de posibles valores m0,m1, ldots,mn,

E(Mn+1 −Mn|M0 = m0,M1 = m1, . . . , Mn = mn) = 0).

Lo que implica que la ganancia neta esperada luego del turno siguiente escero, esto es, el juego es justo.

Definicion 10 Filtracion Generada por un Proceso

Si tenemos una sucesion de variables aleatorias Xnn∈N en (Ω,F , P ) yconsideramos Fnn∈N donde Fn es la mınima sub-σ-algebra de F quehace medibles a Xi : i = 1, 2, 3, . . . , n, tenemos naturalmente, un proce-so estocastico adaptado. A la filtracion Fnn∈N se le denomina filtraciongenerada por el proceso Xnn∈N.

94

Capıtulo 2 2.4. Teorıa de Parada Optima

2.4. Teorıa de Parada Optima

Las definiciones citadas a continuacion, nos permitiran comprender losprocesos de Markov relacionados al estudio basados en la parada optima deun proceso.

Definicion 11 Tiempo de Parada

Un tiempo de parada respecto a una filtracion Fnn∈N es una funcionT : Ω → N tal que, para todo natural n, el conjunto ω : T (Ω) = n esmedible con respecto a Fn y P (T < ∞) = 1.

Definicion 12 Estado del proceso en un Tiempo n

Sea un proceso Xnn∈N en (Ω,F , P ), Fnn∈N una filtracion y T un tiempode parada; entonces:

XT :=∑

n∈NXn IT=n

En el experimento estudiado, se definen los estados con la cantidad decartas que posee el jugador.

Definicion 13 Clase C

Sea (Ω,F , P ) un espacio de probabilidad, Xnn∈N una sucesion de variablesaleatorias en dicho espacio y Fnn∈N una filtracion; se define la clase Ccomo la clase de los tiempos de parada tales que:

E(X−T ) < ∞

Dado el caso en que las variables sean no negativas, la clase serıa la de todoslos tiempo de parada en el espacio. En nuestro caso, el proceso es de claseC debido a que las variables que miden nuestro puntajes son no negativas.

Definicion 14 Caso Monotono

Dados un espacio de probabilidad (Ω,F , P ), una filtracion Fnn∈N y unproceso adaptado Xnn∈N a la filtracion; consideramos los conjuntos An

definidos como:

An := ω : E(Xn+1|Fn)(ω) ≤ Xn(ω).

95

2.4. Teorıa de Parada Optima Capıtulo 2

Un caso monotono se presenta cuando:

Ai ⊆ Ai+1 (i = 1, 2, 3, . . .)

y tambien∞⋃

i=1

Ai = Ω.

El proceso estudiado en el juego de blackjack es un caso monotono pues encada estado del proceso, las cartas que el jugador posee son un superconjuntode las cartas contenidas en los estados anteriores.

96

Capıtulo 3

SIMULACIONES YANALISIS ESTADISTICOSAPLICADOS AL JUEGO

3.1. Dos Cartas

En el primer paso del juego, el dealer reparte un par de cartas al jugador.En este instante del juego no es posible sobrepasar los veintiun puntos; sinembargo, la idea es quedar lo suficientemente cerca de este puntaje como seaposible debido a que el dealer tambien se repartira unas cartas para intentarsobrepasar al jugador.A continuacion se presenta una distribucion de probabilidades de obtenerun puntaje especıfico en esta primer tirada de las cartas.Podemos observar que sobre los doce puntos obtenidos en el juego, encon-tramos las probabilidades mas grandes. Sin embargo, obtener un juego entredoce y diez y seis puntos no es una mano muy confiable. De hecho, se es-pera en los fundamentos del juego, que un jugador se detenga si obtiene unpuntaje mayor o igual a diez y siete pues este serıa un valor que usualmentees difıcil de superar por parte del dealer.

Adicionalmente, podemos notar que tenemos un 69 % de probabilidadde obtener un juego mayor o igual a doce puntos y una probabilidad de30 % de obtener un puntaje mayor o igual a diez y siete. Y no sobra decirque la probabilidad de obtener un puntaje mayor a 21 con las dos cartas esimposible.

97

3.1. Dos Cartas Capıtulo 3

Figura 3.1: Probabilidades para dos cartas.

Puntaje f.d.p. f.d.a.2 0,00452489 0,004524893 0,01206637 0,016591254 0,01659125 0,03318255 0,02413273 0,057315236 0,02865762 0,085972857 0,0361991 0,122171958 0,04072398 0,162895939 0,04826546 0,2111613910 0,05279035 0,2639517311 0,04826546 0,3122171912 0,08898944 0,4012066413 0,08446456 0,4856711914 0,07692308 0,5625942715 0,07239819 0,6349924616 0,06485671 0,6998491717 0,06033183 0,76018118 0,05279035 0,8129713419 0,04826546 0,861236820 0,09049774 0,95173454Blackjack 0,04826546 1

Tabla 3.1: Probabilidades para dos cartas.

98

Capıtulo 3 3.1. Dos Cartas

A partir de estas probabilidades y de cada valor obtenido, presentamosa continuacion las probabilidades que estan involucradas a partir de losresultados anteriores para solicitar una carta adicional. Se muestran las pro-babilidades de obtener un valor menor o igual a 21 puntos cuando tenemosun puntaje dado.

Figura 3.2: Probabilidades para pedir una tercera carta.

Puntaje Probabilidad2 13 14 15 16 17 18 19 110 111 112 0,6813 0,614 0,5215 0,4616 0,417 0,32

99

3.2. Tres Cartas Capıtulo 3

18 0,2419 0,1620 0,08

Tabla 3.2: Probabilidades para pedir una tercera carta.

3.2. Tres Cartas

Dado el caso en que se haya escogido la opcion de solicitar una cartaadicional, nos encontramos ahora con un juego de tres cartas. La distribucionde probabilidad para esta opcion nos lleva a las siguientes conclusiones:

La probabilidad de obtener un puntaje menor o igual a 21 es de 62%.

Hay mas de una tercera parte de probabilidad de perder el juego porexceder el maximo puntaje permitido.

Hay una tercera parte de probabilidad de obtener un buen juego, ma-yor a diez y siete puntos y sin excederse.

A continuacion se presentan la grafica y la tabla de distribuciones asocia-da al juego con tres cartas. Es de notar lo mucho que sobresale la frecuenciaasociada al evento de obtener 21 puntos con las tres cartas. Esto se debe a lacantidad de posibilidades diferentes de combinar estos 21 puntos y tambiena los valores asociados a los once puntos que poseen al menos un as. Estascombinaciones se toman en cuenta en este conteo y tambien en la simulacioncomo un valor de 21 (por la versatilidad de puntos que puede tomar el as,uno u once segun lo considere conveniente quien desarrolla el juego). En eldesarrollo real del juego, al tener once puntos y entre estas cartas un as,debe hacerse valer esta carta por once puntos en vez de por un punto, yası ganar inmediatamente el juego.La simulacion se encuentra programada para decidir automaticamente quevalor tomara el as para no exceder los 21 puntos. Estos detalles se tratarana fondo en una seccion posterior de este capıtulo que trata a fondo la simu-lacion generada.

100

Capıtulo 3 3.2. Tres Cartas

Figura 3.3: Probabilidades para tres cartas.

Puntaje f.d.p. f.d.a.3 0,000181 0,0001814 0,00108597 0,001266975 0,00217195 0,003438916 0,0041629 0,007601817 0,00615385 0,013755668 0,00904977 0,022805439 0,0121267 0,0349321310 0,0159276 0,0508597311 0,00904977 0,059909512 0,0280543 0,087963813 0,03728507 0,1252488714 0,04343891 0,1686877815 0,05085973 0,2195475116 0,05502262 0,2745701417 0,06045249 0,3350226218 0,06280543 0,3978280519 0,06624434 0,464072420 0,06660633 0,5306787321 0,09104072 0,6217194622 0,06986425 0,6915837123 0,06262443 0,7542081424 0,05339367 0,80760181

101

3.2. Tres Cartas Capıtulo 3

25 0,04705882 0,8546606326 0,03873303 0,8933936727 0,03348416 0,9268778328 0,02606335 0,9529411829 0,02171946 0,9746606330 0,02533937 1

Tabla 3.3: Probabilidades para tres cartas.

Si en este proceso se hubiera obtenido un puntaje menor a 21, las pro-babilidades que debemos esperar al solicitar una carta adicional y que elpuntaje total sea menor o igual a 21 puntos son las siguientes:

Figura 3.4: Probabilidades para pedir una cuarta carta.

Puntaje Probabilidad3 14 15 16 17 18 19 110 111 1

102

Capıtulo 3 3.3. Cuatro Cartas

12 0,9166666713 0,9062514 0,5102040815 0,4285714316 0,3673469417 0,3061224518 0,224489819 0,1428571420 0,06122449

Tabla 3.4: Probabilidades para pedir una cuarta carta.

3.3. Cuatro Cartas

Si en el proceso anterior se ha obtenido un puntaje menor que 21 puntosy se solicita una carta adicional, nos encontramos con un juego de cuatrocartas. De este juego podemos notar lo siguiente:

Hay un 61 % de probabilidad de obtener un puntaje que es mayor a21; es decir, de perder el juego.

Hay menos de un cinco por ciento de probabilidad de obtener un juegoentre diez y siete y veintiun puntos.

La distribucion parece normalizarse con estos valores. De hecho, unaprueba de Kolmogorov presenta resultados favorables respecto a lanormalidad. (Sig: 0,066. Kolmogorov-Smirnov). Sin embargo, esta dis-tribucion presenta un valor estimado para la media que supera losvalores del juego (E(X)=26,18); es decir, el valor esperado excede elpuntaje que un jugador puede tener en el blackjack. Por esto, se puedeesperar basados en el teorema central del lımite que en este estado deljuego, el jugador exceda los veintiun puntos y pierda la partida.

Se nota una tendencia leve hacia el lado izquierdo de la distribucion.Esta tendencia es explicada por la cantidad de cartas a las que se lesasocia el valor de diez puntos (diez y seis de las cincuenta y dos). Dehecho, aunque no era tan simple de visualizar en los graficos anteriores,vamos a tener unas probabilidades mayores asociadas siempre a unacombinacion de mas alto puntaje.

103

3.3. Cuatro Cartas Capıtulo 3

Figura 3.5: Probabilidades para cuatro cartas.

Puntaje f.d.p. f.d.a.4 0,00000369 0,000003695 0,00005910 0,000062796 0,000192077 0,000254877 0,00047280 0,000727688 0,00090498 0,001632659 0,00153661 0,0031692710 0,00245267 0,0056219411 0,00047280 0,0060947512 0,00511589 0,0112106413 0,007151168 0,0183618114 0,010268723 0,0286305315 0,01365223 0,0422827616 0,018132792 0,0604155517 0,022399113 0,0828146618 0,027540862 0,1103555319 0,032446209 0,1428017420 0,037768954 0,1805706921 0,045743836 0,2263145322 0,04934897 0,275663523 0,055022624 0,3306861224 0,058380275 0,3890664

104

Capıtulo 3 3.3. Cuatro Cartas

25 0,061169083 0,4502354826 0,061627112 0,5118625927 0,061760089 0,5736226828 0,060020316 0,63364329 0,057977653 0,6916206530 0,054283867 0,7459045231 0,054017915 0,7999224332 0,044934897 0,8448573333 0,038060763 0,8829180934 0,030747068 0,9136651635 0,025354142 0,939019336 0,019447779 0,9584670837 0,015602549 0,9740696338 0,010933604 0,9850032339 0,008274079 0,9932773140 0,006722689 1

Tabla 3.5: Probabilidades para cuatro cartas.

Es de anotar que los puntajes mayores o iguales a 31 puntos hacen soloparte del conteo, pero que es imposible llegar a ellos a partir del juego sinhaber llegado o superado los 21 puntos en el procedimiento inmediatamenteanterior.

Ahora, en este punto del juego, las probabilidades de solicitar una nue-va carta disminuye notoriamente debido a que para que en este momentoobtengamos un puntaje menor a 21 es muy baja y esta combinacion debeformarse con cartas que poseen un puntaje bajo. Adicionalmente, para noexceder los 21 puntos, necesitarıamos una carta que tenga un valor bajo.Si tenemos un juego con cartas bajas, es muy poco probable que obtenga-mos una nueva carta que posea un valor bajo tambien. Estas probabilidadespueden encontrarse en las tablas relacionadas en el primer capıtulo. Allı seencontrara la probabilidad de obtener cualquier combinacion de cartas siestamos en un punto del juego donde contamos con dos, tres, cuatro o cincocartas.

Puntaje Probabilidad4 15 1

105

3.3. Cuatro Cartas Capıtulo 3

6 17 18 19 110 111 112 0,6666666713 0,5833333314 0,515 0,4166666716 0,3541666717 0,2708333318 0,187519 0,12520 0,02083333

Tabla 3.6: Probabilidades para pedir una quinta carta.

Figura 3.6: Probabilidades para pedir una quinta carta.

106

Capıtulo 3 3.4. El Proceso de Markov

3.4. El Proceso de Markov

Mediante estos valores obtenidos, podemos generar una polıtica de con-trol para el proceso de Markov que estara determinado en cuatro tiempos: eltiempo inicial en el cual el jugador recibe las dos cartas, un segundo tiemposi el jugador solicita una tercera carta, un tercer tiempo cuando el jugadorsolicita una cuarta carta y un cuarto tiempo que serıa la finalizacion deljuego al solicitar la quinta carta.Al iniciar el proceso y recibir las dos primeras cartas, debemos considerarla variable X0 que definira el puntaje obtenido con las dos primeras cartas;esto es: X0 = 2, 3, 4, . . . , 21.Se asume que deberıa pedirse una carta adicional si X0 ≤ 17, lo cual esconsiderado un juego debil. Dado que hay una probabilidad de 0, 7 de quesuceda esto con la variable en este estado, podrıa esperarse que tuvieramosque pedir una tercera carta. De hecho, el valor esperado de X0 es 13,5596y este resultado nos llevarıa teoricamente a la necesidad de solicitar unatercera carta. Adicionalmente, la probabilidad de no superar los 21 puntossi tenemos 14 puntos es de 0,52.Ahora, si se ha solicitado un tercera carta, estamos en el estado X1 donde elvalor esperado de obtener tres cartas es de 19,952 y las probabilidades aso-ciadas a la solicitud de una cuarta carta no se muestran muy convenientes.De hecho, hay aproximadamente un 0,06 de probabilidad de solicitar unacuarta carta y no exceder los veintiun puntos. Sin embargo, como el valoresperado es aproximadamente veinte, se esperarıa que un jugador no solici-tara una carta adicional.Dado el caso de solicitar una carta adicional, el estado X2 del proceso nosgenera un valor esperado de 26, 1851 que es muy elevado; es decir, se puedeesperar que con cuatro cartas, el jugador habra superado los veintiun pun-tos y habra perdido el juego. De hecho, la probabilidad de obtener veintiunpuntos o menos en una mano con cuatro cartas es de 0, 22 solamente.Para el juego con cinco cartas, el valor esperado de X3 es de 32,6958 y seencuentra definitivamente muy lejos del lımite del juego. En las probabilida-des calculadas anteriormente, se mostro que solo un 22 % de los resultadosobtenidos en este estado del juego seran menores o iguales a veintiun pun-tos.A continuacion se muestran los detalles de la simulacion generada, el de-sarrollo de la misma y como se logra adaptar a un juego real, verificandominuciosamente cada uno de los detalles que pueden pasar en la realidad.Luego de obtener resultados de la simulacion, podremos corroborar los esta-dos de las variables que se acaban de mencionar con los valores obtenidos en

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3.5. Simulacion del Juego Capıtulo 3

la practica que se ha simulado, para justificar o desaprobar las acciones queteoricamente nos presentan los analisis de las permutaciones y los valoresesperados que hemos visto hasta el momento.

3.5. Simulacion del Juego

Con ayuda de una hoja de calculo de Microsoft Excelr, se realizo unasimulacion Montecarlo del problema estudiado para corroborar los resulta-dos obtenidos en la investigacion. Mediante una seleccion de numeros pseu-doaleatorios, desde 1 hasta 52 se presentan las diferentes cartas de la baraja,corrigiendo la poco probable opcion de que se epitan. Es decir, la seleccionde las cartas al igual que en el juego real consiste en cartas diferentes y estoha sido contemplado en la simulacion del juego.En un paso siguiente, se discrimina la puntuacion que se ha de asociar acada carta y posteriormente, se evalua este conteo para paso a paso darnoscuenta si en los juegos obtenidos poseemos menos de veintiun puntos condos, tres, cuatro o cinco cartas.Este paso de evaluar los puntajes es delicado y se ha programado de la si-guiente manera:

Se generan cinco numeros aleatorios diferentes entre 1 y 52 para escogercinco cartas en total, teniendo en cuenta que los numero aleatorios ge-nerados no sean iguales entre sı, para asegurar que el juego tenga cincocartas diferentes de la baraja. Dado el caso de que se haya generadoun numero repetido, la hoja de calculo generara otro condicionadaiteratıvamente a volverlo a generar hasta que todos sean diferentes.

Se discriminan cuadro grupos de trece cartas, las cuales pueden versecomo los diferentes palos1 de tal manera que las trece primeras cartasindiquen un palo, las trece segundas otro palo y ası sucesivamentehasta completar los cuatro palos de la baraja.

Se corrigen los valores del 14 al 26, del 27 al 39 y del 40 al 52, restandorespectivamente 13, 26 y 39 a cada valor, para definir las cartas como:A, 2, 3, . . ., 10, J, Q y K.

Se presenta un grupo de cuatro valores que implican la suma de lospuntajes de las dos primeras cartas, de las tres primeras, de las cuatro

1Diamantes, corazones, treboles y picas.

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Capıtulo 3 3.5. Simulacion del Juego

primeras y finalmente de las cinco cartas con un formato condicionalque nos indıca cuando la suma de los puntajes supera los 21 puntos.

En la suma de los dos primeros valores no es posible exceder lo 21puntos, sin embargo, exıste un formato condicional adicional que nosindica que se ha obtenido un blackjack con un as y una carta que tengaun valor de diez puntos.

En las tres casillas adicionales, donde tenemos las sumas de los pun-tajes para tres, cuatro y cinco cartas, existe una correccion adicionalen la cual por defecto el computador toma la carta asignada comoun as con el valor de un punto. Sin embargo, como esta carta puedetomar los valores de uno u once, antes de mostrarnos un resultadoen pantalla, se ha programado una verificacion adicional con la cualse verifica que pasa si el as tomara el valor de once. Si el as toma elvalor de once puntos y no excedemos los veintiun puntos, en pantallanos aparecera la suma de puntuacion con un as que vale once pun-tos. Si con estos once puntos nos excedemos, veremos en pantalla queel computador asumio que el as vale un punto solamente. En sınte-sis, evaluando el puntaje con ciertas funciones logicas, el computadordecidira si en su juego le conviene tener un uno o un once.

Tenemos adicionalmente una casilla indicadora de la cantidad de cartasque tenemos en cada juego y no exceden los veintiun puntos. Es decir,cuantas cartas se requirieron para no superar este puntaje.

Por otra parte, la simulacion muestra las graficas asociadas a las fre-cuencias absolutas del numero de cartas con las que se jugo sin excederel puntaje y las frecuencias absolutas del puntaje en cada mano quefue menor de 21.

Una correccion adicional e importante que se aplico en el conteo es quepaso a paso el computador verifica los puntajes que puede asociarle aun as, dado el caso que este estuviera en su mano. Por ejemplo, sitenemos un cinco y un as con las dos primeras manos, el computadorasumira que debe asociar un once al valor del as. Si se solicita una cartaadicional y esta fuera un seis, el computador verificara que si asociaun valor de once al as, excedera el puntaje y entonces decidira que elas debe valer un punto solamente.

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3.6. Analisis Comparativo Capıtulo 3

3.6. Analisis Comparativo

3.6.1. Dos Cartas

Figura 3.7: Comparacion para dos cartas.

Podemos observar en la grafica que los valores reales aparecen con ma-yor frecuencia hasta los once puntos y una menor en los puntajes de docea veintiun puntos. Esto se debe a que en la simulacion, el computador pordefecto asume que el as que aparece en estos valores pequenos puede ha-cerlo valer por once puntos. Esto hace que los puntajes pequenos que sonobtenidos teniendo un as en las cartas obtenidas, se aumenten en diez pun-tos. Sin embargo, la diferencia de medias entre los valores real y simuladoes aproximadamente cero como se muestra a continuacion.

Valor Real Valor SimuladoE(X)=13,5596 X=14,5048Var(X)=22.0805 s2=16.535

Tabla 3.7: Comparaciones para dos cartas.

El promedio de la diferencia entre los valores real y esperado es de6, 94 × 10−19 comprobando ası que las simulacion muestra perfectamenteel experimento, aunque saque ventaja de ciertos valores, tal y como lo harıaun jugador en la vida real.

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Capıtulo 3 3.6. Analisis Comparativo

3.6.2. Tres Cartas

Figura 3.8: Comparacion para tres cartas.

En un juego con tres cartas, podemos observar el mismo efecto quese visualizaba con las dos cartas. El computador toma en los valores maspequenos que contienen un as, la decision de hacer valer esta carta por oncepuntos. Es por esto que los valores reales se ven con mas frecuencia en lospuntajes pequenos y con una frecuencia menor que los simulados en los pun-tajes desde once hasta veintiun puntos. Los valores posteriores no tienen unadiferencia definida debido a que el computador no tomo ninguna eleccion conrespecto al valor que debe darle a un as cuando se han superado los veintiunpuntos, es decir, cuando se ha perdido el juego.A continuacion se muestran resultados que se calculan de los datos teoricosy de los obtenidos en la simulacion.

Valor Real Valor SimuladoE(X)=19,952 X=20,0811Var(X)=27,9079 s2=22,639

Tabla 3.8: Comparaciones para tres cartas.

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3.6. Analisis Comparativo Capıtulo 3

3.6.3. Cuatro Cartas

Figura 3.9: Comparacion para cuatro cartas.

Nuevamente se puede visualizar la diferencia de los puntajes obtenidoscon la correccion que se hace en la simulacion, donde los puntajes menoresque once tienen tendencia a ser mayores en los resultados reales y a sermayores los simulados desde once hasta 21 puntos. No se observa ningunatendencia en los puntajes que exceden los veintiun puntos por las razonesque se han explicado anteriormente.A continuacion se muestran los estadısticos de valores reales y simulados.


Tabla 3.9: Comparaciones para cuatro cartas.

3.6.4. Cinco Cartas

Aunque en esta parte del juego, se observa la correccion que hace elcomputador en la simulacion para los puntajes pequenos, pero no se notapara los puntajes entre once y veintiun puntos. Sin embargo, las diferenciasno son muy notables en este estado del proceso debido a que las frecuen-cias de cada puntaje son muy pequenos. De hecho, hay unas probabilidades

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Capıtulo 3 3.7. Parada del Proceso

Figura 3.10: Comparacion para cinco cartas.

muy bajas de llegar en el desarrollo del juego a encontrarnos con cinco cartas.A continuacion se muestra la comparacion de los datos teoricos y los obtenidosen la simulacion.


Tabla 3.10: Comparaciones para cinco cartas.

3.7. Parada del Proceso

Hemos visto los datos y las graficas con las que nos vemos relaciona-dos en el desarrollo del juego de blackjack y hemos observado teoricamentecomo disminuyen las posibilidades de llegar a un puntaje menor o igual aveintiuno cuando empezamos a solicitar cartas adicionales.A continuacion se presentan los resultados de las frecuencias absolutas enuna corrida de diez mil partidas en la simulacion indicando con cuantas car-tas debe detenerse el proceso para no superar los veintiun puntos.

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3.7. Parada del Proceso Capıtulo 3

Figura 3.11: Parada del proceso.

No. de Cartas Frecuencia Absoluta2 0.42733 0.3724 0.15395 0.0468

Tabla 3.11: Parada del Proceso.

Podemos ver que contamos con cerca de un ochenta por ciento de pro-babilidades de detener el juego con dos o tres cartas; mientras que las pro-babilidades de no superar los veintiun puntos con cuatro y cinco cartas sonsucesos muy poco probables.Estos resultados obtenidos de la simulacion son decisiones que ha tomado elcomputador para detener el juego con cierta cantidad de cartas y sin superarel puntaje lımite del juego.

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Capıtulo 4

CONCLUSIONES

A partir de las probabilidades calculadas y los resultados obtenidos enla simulacion, podemos concluir en el presente estudio que:

Mediante las permutaciones que se encontraron, es poco probable pre-decir una combinacion cualquiera de dos, tres o cuatro cartas. Es masprudente calcular y analizar rangos de puntajes para algun estudioposterior.

Las probabilidades asociadas a cada uno de los estados del procesoparecen indicar tanto en la teorıa como en la practica que el juego esmas favorable al jugarse con dos o tres cartas en la mano. El solici-tar cartas adicionales a partir de este estado reduce drasticamente laprobabilidad de obtener un puntaje menor o igual a veintiuno.

Las caracterısticas que podemos asociar a las simulaciones en cualquierexperimento, pueden lograr un acercamiento bastante objetivo a casicualquier tipo de experimento. En nuestro caso, la simulacion generadaevito un proceso fısico de repartir diez mil partidas por cada corrida1.Y es de notar, que los resultados obtenidos causan cierto asombrodebido a la decision de favorabilidad que se le ha dado al computadorpara decidir que valores debe asociar a las cartas y no exceder lospuntajes involucrados en el juego.

Bajo la informacion obtenida, podemos posteriormente generar otrotipo de situaciones para estudiar basadas en este juego. Unas de las

1Generacion de datos diferentes en la simulacion.

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Capıtulo 4

posibilidades que han surgido hasta el momento son el estudio de jue-gos cooperativos y las probabilidades que va a tener un dealer de su-perar a un jugador en cierta partida. Este ultimo estudio puede serinteresante debido a que nos llevarıa a concluir cual es la probabilidadde que un casino llegue a perder en el desarrollo del juego de blackjack.

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Bibliografıa

[1] Thorp, Edward. Beat The Dealer, Vintage Books, 1 (1966).

[2] Uston, Ken. Ken Uston On Blackjack, Ishi Press, 5 (2011).

[3] Uston, Ken. Million Dollar Blackjack, carol Publishing Group, 7 (1992).

[4] Rubinstein, Reuven. Simulation And The Monte Carlo Method , Wiley,1 (2007).

[5] Gilks, W.R. Markov Chain. Monte Carlo In Practice, Chapman & Hall,1 (1996).

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probabilidades y simulaciones asociadas a un …

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