Probabilidades: Definiciones y ConceptosLas Probabilidades pertenecen a la rama de la matemtica que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cul ser en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extraccin de una carta de un mazo de naipes. Ms adelante se ver que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemticas o clsicas de las probabilidades experimentales o estadsticas. Probabilides, Algunas DefinicionesEspacio Muestral.- Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale cara, sale sello} E = {c, s}.

Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6} E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.

Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}Evento o Suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

1. Obtener un nmero primo A = {2, 3, 5}2. Obtener un nmero primo y par B = {2}3. Obtener un nmero mayor o igual a 5 C = {5, 6}Eventos mutuamente excluyentes.- Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultnea, esto es, si y slo si su interseccin es vaca. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son mutuamente excluyentes por cuanto B C = Eventos Complementarios.- Si A B = y A B = E, se dice que A y B son eventos complementarios: Ac = B y Bc = A Su Medicin Matemtica o Clsica. Si en un experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables (iguales probabilidades), es decir, la ocurrencia de uno es igualmente posible que la ocurrencia de cualquiera de los dems, entonces, la probabilidad de un evento A es la razn: P(A) = nmero de casos favorables para A/nmero total de casos posibles

A partir de esta definicin las probabilidades de los posibles resultados del experimento se pueden determinar a priori, es decir, sin realizar el experimento.

Se deduce de la definicin lo siguiente:0 P(A) 1 La medicin probabilstica es un nmero real entre 0 y 1, inclusive, 0% P(A) 100% en porcentaje. P() = 0 y P(E) = 1 Su Medicin Experimental o Estadstica.- La frecuencia relativa del resultado A de un experimento es la razn FR = nmero de veces que ocurre A/nmero de veces que se realiza el experimento

Si el experimento se repite un nmero grande de veces, el valor de FR se aproximar a la medicin probabilstica P del evento A. Por ejemplo, si lanzo 100 veces una moneda, el nmero de veces que obtengo cara es cercano a 50, o sea FR es cercano a 50%.Probabilidades Como Conjuntos1) E : espacio muestral o conjunto de todos los resultados posibles.

2) A B : al menos uno de los eventos A B ocurre.

3) A B : ambos eventos ocurren

4) Ac : el evento A no ocurre.Ejemplo: en el experimento "lanzar un dado de seis caras" sean los eventos:A = sale par, B = sale primo. El evento "A B" = A B : "sale par o primo" se describe:

Si E es un conjunto de n elementos y A un subconjunto de k elementos, entonces P(A) = k/n, concordando con la definicin de las probabilidades.PropiedadesAdems de P(E) = 1, P() = 0, 0 P(A) 1, tenemos:1) Si A B = (A y B se excluyen mutuamente) entonces:P(A B) = P(A) + P(B)2) P(A) + P(Ac) = 13) Si AB entonces P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)4) Si A y B son eventos independientes ( la ocurrencia de A no influye en la ocurrencia de B), entonces P(A B) = P(A) P(B)5) Si A y B son eventos dependientes (la ocurrencia de A influye en la ocurrencia de B), entonces P(A B) = P(A) P(B/A) P(B/A) es la probabilidad del evento B, sabiendoque ha ocurrido A.Ejemplos de Uso de las Propiedades.- Por cada propiedad se entrega un ejercicio resuelto.1. P(A B) = P(A) + P(B). Se extrae una carta al azar de un mazo ingls normal de 52 cartas. Supongamos que definimos los eventos A: "sale 3" y B: "sale una figura" y se nos pregunta por la probabilidad de que ocurra A B. Como estos eventos no pueden ocurrir simultneamente, o sea, son mutuamente excluyentes, A B = y entonces P(A B) = P(A B) = P(A) + P(B)= P(sale 3) + P(sale figura) = 4/52 + 12/52 = 4/13.2. P(A) + P(Ac) = 1. En el mismo experimento anterior de sacar una carta, el evento A: "no sale rey" tiene como complemento al evento "sale rey", entonces resulta mas simple calcular la probabilidad de A como 1 - P(Ac): P(no sale rey) = 1 - P(sale rey) = 1 - 4/52 = 12/133. P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B). En el lanzamiento de un dado de seis caras, los eventos A: "sale par" y B: "sale primo" tienen iterseccin no vaca: A B = {2}, entonces la probabilidad del evento "sale par o primo" = A B es P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)= 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/64. P(A B) = P(A)P(B). Lanzamos un dado de seis caras dos veces. Los eventos: A: "sale par en el primer lanzamiento" y B: "sale un 3 en el segundo", son eventos independientes, entonces la probabilidad de que "salga par en el primero y un 3 en el segundo" es P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) = (3/6)(1/6)= 1/125. P(A B) = P(A)P(B/A). P(B/A) = P(A B)/ P(A) [P(B/A) es la probabilidad del evento B, sabiendo que ha ocurrido A]. En la extraccin de una carta de un mazo ingls normal: cul es la probabilidad de que la carta extrada sea el as de corazones, sabiendo que la carta extrada es de corazones? Debemos calcular P(as/corazn). La probabilidad de "as y corazn" es 1/52. La probabilidad de corazn es 13/52.Luego, P(as/corazn) = P(as y corazn)/P(corazn) = (1/52)/(13/52) = 1/13.Ejercicios de Probabilidades1) Al lanzar un dado tres veces, segn las probabilidades, es conveniente apostar a favor o en contra de obtener al menos una vez el 2? "Al menos una vez el 2" quiere decir "alguna vezse obtiene el 2". Llamando A={alguna vez se obtiene el 2}, su complemento es Ac={ninguna vez se obtiene el 2}P(Ac)=P(no sale 2 en 1er lanzam.) P(no sale 2 en 2 lanzam.)P(no sale 2 en 3er lanzam.)=5/65/65/6 =125/2160,58. Luego, como P(A)+P(Ac)=1 P(A)=1-0,58=0.42=42%. Por lo tanto, no convieneapostar a favor.2) En una tmbola hay dos bolitas blancas y tres bolitas negras, cul es la probabilidad de sacar una blanca y despus una negra? a) Si hay reposicin, esto es, despus de sacar laprimera bolita, sta se devuelve a la tmbola. b) Si no hay reposicin, esto es, despus de sacarla primera bolita, sta no se devuelve a la tmbola.a) En este caso los eventos son independientes yaque al reponer la bolita la ocurrencia de un evento noafecta al otro. Sean los eventos A: "sacar una bolita blanca" y B: "sacar una bolita negra", entonces, usando P(AB)=P(A)P(B), P(AB)=2/53/5=6/25 b) Si no hay reposicin, los eventos son dependientesya que la bolita no es repuesta a la tmbola, por lo queocupamos P(AB)=P(A)P(B/A)=2/53/4=3/103) Repita el problema 2) anterior, pero ahora la pregunta es cul es la probabilidad de sacar una blanca y una negra? (note que ahora no importa el orden).a) Si hay reposicin, esto es, despus de sacar laprimera bolita, sta se devuelve a la tmbola b) Si no hay reposicin, esto es, despus de sacar la primera bolita, sta no se devuelve a la tmbola.a) Usando la definicin, el nmero total de casosposibles es 55=25 y el nmero de casos favorableses 23+32=12(una blanca y una negra una negray una blanca), luego, P(A)=12/25=48%. O bien, usando las propiedades,P(A)=P(sacar blanca)P(sacar despus negra) + P(sacar negra)P(sacar despusblanca)=2/53/5+3/52/5=12/35=48%b) Nmero de casos posibles: 54=20 y el nmero decasos favorables =23+32=12, luego,P(B)=12/20=3/5=60%. O bien, usando las propiedades P(B)=P(sacar blanca)P(sacar negra/sabiendo queha salido blanca) +P(sacar negra)P(sacarblanca/sabiendo que ha salido negra)=2/53/4+3/52/4=3/5=60%4) Para obtener licencia para conducir, es necesario aprobar tanto el examen terico como el prctico. Se sabe que la prob. que un alumno apruebe la parte terica es 0,68, la de que apruebe la parte prctica es 0,72 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0,82. Si se elige un alumno al azar, cul es la prob. de que apruebe el examen para obtener licencia?Sea A: aprobar la parte terica, (P(A)=0,68)Sea B: aprobar la parte prctica, (P(B)=0,72)Debemos calcular la prob. de A y B, P(AB).Usando P(AB) = P(A)+P(B)-P(AB), despejamos P(AB):P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) y reemplazando,P(AB)=0,68+0,72-0,82=0,58=58%