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Prob lemas

1Se sabe que l a desv iac ión t í p i ca de l as no tas de c ie r t o examen de

Ma temá t i cas es 2 ,4 . Pa ra una mues t ra de 36 es tud ian tes se ob tuvo una no ta med ia de 5 ,6 . ¿S i r ven es tos da tos pa ra con f i rma r l a h i pó tes i s de que l a no ta med ia de l examen fue de 6 , con un n i ve l de con f i anza de l 95%?

2Un soc ió l ogo ha p ronos t i cado , que en una de te rminada c i udad , e l n i ve l

de abs tenc ión en las p róx imas e lecc i ones se rá de l 40% como m ín imo . Se e l i ge a l aza r una mues t ra a l ea to r i a de 200 i nd i v i duos , con de recho a vo to , 75 de l os c ua les es ta r ían d i spues tos a vo ta r . De te rmina r con un n i ve l de s i gn i f i cac i ón de l 1%, s i se puede adm i t i r e l p ronós t i co .

3Un i n fo rme i nd i ca que e l p rec i o med io de l b i l l e te de av ión en t re

Canar i as y Mad r i d es , como máximo , de 120 € con una desv iac i ón t í p i ca de 40 € . Se toma una mues t ra de 100 v i a je ros y se ob t i ene que la med ia de l os p rec ios de sus b i l l e tes es de 128 € .

¿Se p uede acep ta r , con un n i ve l de s i gn i f i cac ión i gua l a 0 ,1 , l a a f i rmac ión de pa r t i da?

4Una marca de nueces a f i rma que , como máx imo , e l 6% de las nueces es tán vac ías . Se e l i g i e ron 300 nueces a l aza r y se de tec ta ron 21 vac ías .

1 .Con un n i ve l de s i gn i f i cac i ón d e l 1%, ¿se puede acep ta r la a f i rmac ión

de l a marca?

2 .Si se man t iene e l po rcen ta j e mues t ra l de nueces que es tán vac ías y 1 -

α = 0 .95 , ¿qué tamaño mues t ra l se neces i ta r ía pa ra es t imar l a p ropo rc i ón de nueces con un e r ro r meno r de l 1% po r c i en to?

5La du rac ión de l a bomb i l l as de 100 W que fab r i ca una empresa s ig ue

una d is t r i buc ión no rma l con una desv iac ión t íp i ca de 120 ho ras de du rac ión . Su v i da med ia es tá ga ran t i zada du ran te un mín imo de 800 ho ras . Se escoge a l aza r una mues t ra de 50 bombi l l as de un l o te y , después de comproba r l as , se ob t i ene una v i da med ia de 750 ho ras . Con un n i ve l de s i gn i f i cac i ón de 0 ,01 , ¿hab r ía que rechaza r e l l o te po r no cump l i r l a ga ran t ía?

6Un fab r i can te de l ámparas e l éc t r i cas es tá ensayando un nuevo mé todo

de p roducc ión que se cons ide ra rá acep tab le s i l as lámparas ob ten idas por es te m é todo dan luga r a una pob lac ión no rma l de du rac ión med ia 2400 ho ras , con una desv iac i ón t íp i ca i gua l a 300 . Se toma una mues t ra de 100 l ámparas p roduc idas po r es te método y es ta mues t ra t i ene una du rac ión med ia d e 2320 ho ras . ¿Se puede acep ta r la h ipó tes i s de va l i dez de l nuevo p roceso de fab r i cac i ón con un r i esgo i gua l o meno r a l 5%?

7El con t ro l de ca l i dad una fáb r i ca de p i l as y ba te r ías sospecha que hubo

de fec tos en l a p roducc ión de un mode lo de ba te r ía pa ra t e l é fonos móv i l es , ba jando su t i empo de du rac i ón . Has ta aho ra e l t i empo de du rac ión en conve rsac ión segu ía una d i s t r i buc ión no rma l con med ia 300 minu tos y desv iac i ón t í p i ca 30 m inu tos . S in embargo , en l a i nspecc ión de l ú l t imo l o te p roduc ido , an tes de env ia r l o a l me rcado , se ob tuvo que de una mues t ra d e 60 ba te r ías e l t i empo med io de du rac ión en conve rsac ión f ue de 290 m inu tos . Supon iendo que ese t i empo s i gue s i endo No rma l con l a m isma desv iac i ón t í p i ca :



¿Se puede conc lu i r que l as sospechas de l con t ro l de ca l i dad son c ie r t as a un n i ve l de s i gn i f i cac ión de l 2%?

8Se c ree que e l n i ve l med io de p ro tomb ina en una pob lac ión no rma l es

de 20 mg /100 m l de p lasma con una desv iac i ón t í p i ca de 4 m i l i g ramos /100 m l . Pa ra comproba r l o , se toma una mues t ra de 40 i nd i v i duos en l os que l a med ia es de 18 .5 mg /100 ml . ¿Se puede acep ta r l a h i pó tes is , con un n i ve l de s i gn i f i cac i ón de l 5%?

1 . I nd i ca que var iab les son cua l i ta t i vas y cua les cuant i ta t i vas :

1 Comida Favo r i t a .

2 Pro fes i ón que te gus ta .

3 Número de go les marcados po r tu equ ipo f avo r i to en l a ú l t ima temporada.

4 Núm ero de a l umnos de tu I ns t i t u to .

5 El co lo r de l os o j os de t us compañe ros de c lase .

6 Coe f ic i en te i n te l ec tua l de tus compañe ros de c l ase .

2 . De l as s i gu ien tes var iab les i nd ica cuá les son d iscre tas y cua les cont inuas .

1 Número de acc iones vend idas cada d ía en la Bo l sa .

2Tempera tu ras reg is t radas cada ho ra en un obse rva to r io .

3 Per íodo de du rac ión de un au tomóv i l .

4 El d i áme t ro de las ruedas de va r ios coches .

5 Número de h i j os de 50 fami l ias .

6 Censo anua l de los españo les .

3 . Clas i f i ca r las s i gu ien tes var iab l es en cua l i ta t i vas y cuant i ta t ivas d iscre tas o cont inuas .

1 La nac iona l i dad de una pe rsona .

2 Número de l i t ros de agua con ten idos en un depós i t o .

3 Número de l i b ros en un es tan te de l i b re r ía .

4 Suma de pun tos t en idos en e l l anzam ien to de un pa r de dados .



5 La p ro fes i ón de una pe rsona .

6 El á rea de l as d i s t i n tas ba ldosas de un ed i f i c i o .

4 . Las pun tuac iones ob ten idas po r un g rupo en una p rueba han s i do :

15 , 20 , 15 , 18 , 22 , 13 , 13 , 16 , 15 , 19 , 18 , 15 , 16 , 20 , 16 , 15 , 18 , 16 , 14 , 13 .

Cons t ru i r l a tab la de d is t r ibuc ión de f recuenc ias y d i bu ja e l po l ígono de f recuenc ias .

5 . El número de es t re l las de los ho te les de una c i udad v i ene dado por la s i gu ien te se r i e :

3 , 3 , 4 , 3 , 4 , 3 , 1 , 3 , 4 , 3 , 3 , 3 , 2 , 1 , 3 , 3 , 3 , 2 , 3 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 2 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 4 , 1 .

Cons t ru i r l a tab la de d is t r i buc ión de f recuenc ias y d i bu ja e l d i ag rama de ba r ras .

6 . Las ca l i f i cac i ones de 50 a lumnos en Ma temá t icas han s i do l as s i gu ien tes :

5 , 2 , 4 , 9 , 7 , 4 , 5 , 6 , 5 , 7 , 7 , 5 , 5 , 2 , 10 , 5 , 6 , 5 , 4 , 5 , 8 , 8 , 4 , 0 , 8 , 4 , 8 , 6 , 6 , 3 , 6 , 7 , 6 , 6 , 7 , 6 , 7 , 3 , 5 , 6 , 9 , 6 , 1 , 4 , 6 , 3 , 5 , 5 , 6 , 7 .

Cons t ru i r l a tab la de d is t r ibuc ión de f recuenc ias y d i bu ja e l d iagrama de bar ras .

7 . Los pesos de l os 65 empleados de una fáb r i ca v i enen dados po r la

s i gu ien te t ab la :

Peso [50 , 60) [60 , 70) [70 , 80) [80 ,90 ) [90 , 100 ) [100 , 110 ) [110 , 120 )

f i 8 10 16 14 10 5 2

1 Cons t ru i r l a tab la de f recuenc ias .

2 Represen ta r e l h is tograma y e l po l ígono de f recuenc ias .

8 . Los 40 a l umnos de una c lase han ob ten ido l as s igu ien tes pun tuac iones , sob re 50 , en un exa men de F ís ica .

3 , 15 , 24 , 28 , 33 , 35 , 38 , 42 , 23 , 38 , 36 , 34 , 29 , 25 , 17 , 7 , 34 , 36 , 39 , 44 , 31 , 26 , 20 , 11 , 13 , 22 , 27 , 47 , 39 , 37 , 34 , 32 , 35 , 28 , 38 , 41 , 48 , 15 , 32 , 13 .

1 Cons t ru i r l a tab la de f recuenc ias .



2 Dibu ja r e l h is tograma y e l po l ígono de f recu enc ias .

9 . Sea una d i s t r i buc ión es tad ís t i ca que v i ene dada po r la s i gu ien te t ab la :

x i 61 64 67 70 73

f i 5 18 42 27 8

Ca lcu la r :

1 La moda , med iana y med ia .

2 El rango , desviac ión med ia , va r ianza y desviac ión t íp ica .

10 .Ca lcu la r l a media , l a mediana y l a moda de l a s i gu ien te se r ie de números : 5 , 3 , 6 , 5 , 4 , 5 , 2 , 8 , 6 , 5 , 4 , 8 , 3 , 4 , 5 , 4 , 8 , 2 , 5 , 4 .

11 Ha l l a r l a var ianza y l a desviac ión t íp ica de l a s i gu ien te se r i e de da tos :

12 , 6 , 7 , 3 , 15 , 10 , 18 , 5 .

12 Ha l l a r la media , med iana y moda de l a s i gu ien te se r i e de números :

3 , 5 , 2 , 6 , 5 , 9 , 5 , 2 , 8 , 6 .

13 . Ha l l a r la desviac ión med ia , l a va r ianza y l a desviac ión t íp ica de la se r i es de números s i gu ien tes :

2 , 3 , 6 , 8 , 11 .

12 , 6 , 7 , 3 , 15 , 10 , 18 , 5 .

14 Se ha ap l i cado un tes t a los emp leados de una fáb r i ca , ob t en iéndose l a s i gu ien te t ab la :

f i

[ 38 , 44) 7

[44 , 50) 8

[50 , 56) 15

[56 , 62) 25

[62 , 68) 18

[68 , 74) 9



[74 , 80) 6

Dibu ja r e l h is tograma y e l po l ígono de f recuenc ias acumuladas .

15 . Dadas l as se r i es es tad ís t i cas :

3 , 5 , 2 , 7 , 6 , 4 , 9 .

3 , 5 , 2 , 7 , 6 , 4 , 9 , 1 .

Ca l cu la r :

La moda , l a mediana y l a media .

La desviac ión med ia , la va r ianza y la desviac ión t íp ica .

Los cuar t i l es 1 º y 3 º .

Los dec i les 2 º y 7 º .

Los percent i l es 32 y 85 .

16 . Una d is t r i buc ión es tad ís t i ca v i ene dada por l a s i gu ien te t ab la :

[ 10 , 15) [15 , 20) [20 , 25) [25 , 30) [30 , 35)

f i 3 5 7 4 2

Ha l l a r :

La moda , med iana y media .

E l rango , desviac ión med ia y var ianza .

Los cuar t i l es 1 º y 3 º .

Los dec i les 3 º y 6 º .

Los percent i l es 30 y 70 .

17 . Dada l a d is t r i buc ión es tad ís t i ca :

[ 0 , 5 ) [5 , 10 ) [10 , 15) [15 , 20) [20 , 25) [25 , ∞)

f i 3 5 7 8 2 6



Ca lcu la r :

La mediana y moda .

Cuar t i l 2 º y 3 º .

Media .

1 . A un con jun to de 5 números cuya med ia es 7 .31 se l e añaden l os números 4 .47 y 10 .15 . ¿Cuá l es la med ia de l nuevo con jun to de números?

2 . Un den t i s ta obse rva e l número de ca r i es en cada uno de l os 100 n iños

de c i e r t o co leg io . La in fo rmac ión ob ten ida apa rece resumida en l a s i gu ien te tab la :

Nº de car ies f i n i

0 25 0 .25

1 20 0 .2

2 x z

3 15 0 .15

4 y 0 .05

1 . Comp le ta r l a tab la ob ten iendo l os va lo res de x , y , z .

2 . Hace r un d iagrama de sectores .

3 . Ca lcu la r e l número med io de ca r i es .

3 . Se t i ene e l s i gu ien te con jun to de 26 da tos :

10 , 13 , 4 , 7 , 8 , 11 10 , 16 , 18 , 12 , 3 , 6 , 9 , 9 , 4 , 13 , 20 , 7 , 5 , 10 , 17 , 10 , 16 , 14 , 8 , 18

Ob tene r su mediana y cuar t i l es .

4 . Un ped ia t ra ob tuvo la s i gu ien te t ab la sob re l os meses de edad de 50

n i ños de su consu l t a en e l momen to de anda r po r p r ime ra vez :

Meses N iños

9 1

10 4

11 9



12 16

13 11

14 8

15 1

1 . Dibu ja r e l po l ígono de f recuenc ias .

2 . Ca lcu la r l a moda , l a mediana , l a media y l a var ianza .

5 . Comp le ta r l os da tos que fa l t an en l a s i gu ien te t ab la es tad ís t i ca :

x i f i F i n i

1 4

0 .08

2 4

3

16 0 .16

4 7

0 .14

5 5 28

6

38

7 7 45

8

Ca lcu la r la med ia , med iana y moda de es ta d i s t r i buc ión .

6 . Cons idé rense los s i gu ien tes da tos : 3 , 8 , 4 , 10 , 6 , 2 . Se p i de :

1 . Ca lcu la r su med ia y su va r i anza .

2 . Si l os t odos los da tos an te r i o res l os mu l t i p l i camos po r 3 , cúa l se rá l a nueva med ia y desv iac ión t í p i ca .

7 . El resu l t ado de l anza r dos dados 120 veces v i ene dado po r la tab la :

Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4

1 . Ca lcu la r l a media y la desviac ión t íp ica .

2 . Ha l la r e l po rcen ta j e de va lo res comprend idos en e l i n te rva lo (x − σ , x + σ) .



8 . Las a l t u ras de l os j ugado res de un equ ipo de ba lonces to v i enen dadas

po r l a t ab la :

Al tura [170 , 175 )

[175 , 180 )

[180 , 185 )

[185 , 190 )

[190 , 195 )

[195 , 2 .00 )

Nº de jugadores

1 3 4 8 5 2

Ca lcu la r :

1 . La media .

2 . La mediana .

3 . La desvia c ión t íp ica .

4 . ¿Cuántos j ugado res se encuen t ran po r enc ima de l a media más una desviac ión t íp ica ?

9 . Los resu l t ados a l l anza r un dado 200 veces v i enen dados por l a s i gu ien te tab la :

1 2 3 4 5 6

f i a 32 35 33 b 35

Dete rm ina r a y b sab iendo que la pun tua c ión med ia es 3 .6 .

10 . El h is tog rama de l a d i s t r i buc ión co r respond ien te a l peso de 100

a l umnos de Bach i l l e ra to es e l s i gu ien te :

1 . Formar la tab la de la d is t r ibuc ión .



2 . Si And rés pesa 72 kg , ¿cuán tos a l umnos hay menos pesados que é l ?

3 . Ca lcu la r l a moda .

4 . Ha l la r l a mediana .

5 . ¿A pa r t i r de que va lo res se encuen t ran e l 25 % de l os a l umnos más pesados?

11 . De es ta d is t r ibuc ión de f recuenc ias abso lu tas acumuladas , ca lcu la r :

Edad F i

[ 0 , 2 ) 4

[2 , 4 ) 11

[4 , 6 ) 24

[6 , 8 ) 34

[8 , 10 ) 40

1 . Med ia a r i tmét ic a y desviac ión t íp ica .

2 . ¿En t re qué va lo res se encuent ran l as 10 edades cen t ra les ?

3 . Representa r e l po l ígono de f recuenc ias abso lu tas acumuladas .

12 . Una pe rsona A m ide 1 .75 m y res i de en una c i udad donde l a es ta tu ra

med ia es de 1 .60 m y la desv iac ión t í p i ca es de 20 cm. O t ra pe rsona B m ide 1 .80 m y v i ve en una c i udad donde la es ta tu ra med ia es de 1 .70 m y l a desv iac i ón t í p i ca es de 15 cm . ¿Cuá l de las dos se rá más a l ta respec to a sus conc iudadanos?

13 . Un p ro feso r ha rea l i zado dos t es t s a un g rupo de 40 a l umnos , ob ten iendo los s igu ien tes resu l t ados : pa ra e l p r ime r t es t l a media es 6 y l a desviac ión t íp ica 1 .5 .

Pa ra e l segundo tes t la media es 4 y l a desviac ión t íp ica 0 .5 .

Un a l umno ob t i ene un 6 en e l p r ime ro y un 5 en e l segundo . En re l ac i ón con e l g rupo , ¿en cuá l de l os dos tes ts ob tuvo me jo r pun tuac ión?

14 La as i s tenc ia de espec tado res a l as 4 sa las de un c ine un de te rm inado d ía fue de 200 , 500 , 300 y 1000 pe rsonas .

1 . Ca lcu la r l a d ispers ión de l número de as is ten tes .

2 . Ca lcu la r e l coe f ic ien te de var ia c ión .



3 . Si e l d ía de l espec tado r acuden 50 pe rsonas más a cada sa la , ¿qué e fec to t end r ía sob re la d ispers ión ?

1En una fáb r i ca que cons ta de 600 t raba jado res que remos tomar una

mues t ra de 20 . Sabemos que hay 200 t raba jado res en l a secc ión A , 150 en la B , 1 50 en la C y 100 en l a D .

2En c i e r t o ba r r i o se qu ie re hace r un es tud io pa ra conoce r me jo r e l t i po

de ac t i v i dades de oc i o que gus tan más a sus hab i t an tes . Pa ra e l l o van a ser encues tados 100 i nd i v iduos e l eg idos a l aza r .

1 .Exp l i ca r qué p roced im ien to de se le cc i ón ser ía más adecuado u t i l i za r : mues t reo con o s i n repos ic i ón . ¿Po r qué?

2 .Como l os gus tos camb ian con la edad y se sabe que en e l ba r r io v i ven

2 .500 n i ños , 7 .000 adu l t os y 500 anc ianos , pos te r io rmen te se dec ide e l eg i r l a mues t ra an te r i o r u t i l i zando un mues t reo es t ra t i f i cado . De te rm ina r e l t amaño mues t ra l co r respond ien te a cada es t ra to .

3En c i e r ta cadena de cen t ros comerc i a l es t raba jan 150 pe rsonas en e l

depa r tamen to de pe rsona l , 450 en e l depar tamen to de ven tas , 200 en e l depa r tamen to de con tab i l i dad y 100 en e l depa r tamen to de a tenc ión a l c l i en te . Con ob je to de rea l i za r una encues ta l abora l , se qu ie re se lecc iona r una mues t ra de 180 t raba jado res .

1¿Qué t i po de mues t reo debe r íamos u t i l i za r pa ra l a se l ecc i ón de l a

mues t ra s i que remos que i nc l uya a t r aba jado res de l os cua t ro depa r tamen tos menc ionados?

2¿Qué número de t raba jado res t end r íamos que se lecc i ona r en cada depa r tamen to a tend iendo a un c r i t e r i o de p ropo rc i ona l i dad?

4Sea la pob lac i ón de e lementos : {22 ,24 , 26 } .

1 .Esc r i ba todas l as mues t ras pos ib les de t amaño dos , escog idas med ian te mues t reo a l ea to r i o s imp le .

2 .Ca lcu le l a va r ianza de l a pob lac i ón .

3 .Ca lcu le l a va r ianza de l as med ias mues t ra les .

5Las bo l sas de sa l envasadas po r una máqu ina t i enen μ = 500 g y σ = 35

g . Las bo l sas se empaque ta ron en ca jas de 100 un idades .

1 .Ca lcu la r l a p robab i l i dad de que la med ia de los pesos de l as bo lsas de un paque te sea meno r que 495 g .

2 .Ca lcu la r l a p robab i l i da d de que una ca ja 100 de bo l sas pese más de 51 kg .

6El t i empo que ta rdan l as ca je ras de un supermercado en cob ra r a los

c l i en tes s i gue una l ey no rma l con med ia desconoc ida y desv iac i ón t íp i ca 0 ,5



minutos . Pa ra una mues t ra a lea to r i a de 25 c l ien tes se ob tuvo un t i empo med io de 5 ,2 m inu tos .

1 .Ca lcu la e l i n te rva lo de con f i anza a l n i ve l de l 95% para e l t i empo med io

que se t a rda en cob ra r a l os c l i en tes .

2 . I nd i ca e l t amaño mues t ra l necesa r i o pa ra es t ima r d i cho t i empo med io con un e l e r ro r de ± 0 ,5 m inu tos y un n i ve l de con f i anza de l 95%.

7En una fáb r i ca de componen tes e l ec t rón i cos , l a p ropo rc i ón de

componen tes f i na l es de fec tuosos e ra de l 20%. Tras una se r i e de ope rac iones e i nve rs iones des t inadas a me jo ra r e l rend im ien to se ana l i zó una mues t ra a l ea to r i a de 500 com ponen tes , encon t rándose que 90 de e l los e ran de fec tuosos . ¿Qué n i ve l de con f ianza debe adop ta rse pa ra acep ta r que e l r end im ien to no ha su f r ido va r i ac i ones?

8 La va r i ab le a l t u ra de l as a lumnas que es tud ian en una escue la de

i d i omas s i gue una d is t r i buc ión no rma l de med ia 1 ,62 m y la desv iac ión t í p i ca 0 ,12 m . ¿Cuá l es l a p robab i l i dad de que l a med ia de una mues t ra a lea to r ia de 100 a l umnas sea mayo r que 1 .60 m?

9Se ha tomado una mues t ra de l os p rec i os de un m ismo p roduc to

a l imen t i c io en 16 comerc i os , e l eg idos a l aza r en un ba r r i o de una c i udad , y se han encon t rado l os s i gu ien tes p rec i os :

95 , 108 , 97 , 112 , 99 , 106 , 105 , 100 , 99 , 98 , 104 , 110 , 107 , 111 , 103 , 110 .

Supon iendo que los p rec i os de es te p roduc to se d is t r i buyen según una l ey no rma l de va r i anza 25 y me d ia desconoc ida :

1 .¿Cuá l es l a d i s t r i buc ión de l a med ia mues t ra l ?

2 .Dete rm ine e l i n te rva lo de con f i anza , a l 95%, pa ra l a med ia

pob lac iona l .

10La med ia de l as es ta tu ras de una mues t ra a l ea to r i a de 400 pe rsonas

de una c iudad es 1 ,75 m . Se sabe que l a es ta t u ra de l as pe rsonas de esa c i udad es una va r i ab le a lea to r i a que s i gue una d is t r i buc ión norma l con va r i anza σ

2 = 0 ,16 m

2.

1 .Cons t ruye un i n te rva lo , de un 95% de con f ianza , pa ra l a med ia de las es ta tu ras de l a pob lac ión .

2 .¿Cuá l se r ía e l mín imo tamaño mues t ra l necesa r io pa ra que pueda

dec i rse que l a ve rdadera med ia de las es ta tu ras es tá a menos de 2 cm de la med ia mues t ra l , con un n i ve l de con f ianza de l 90%?

11Las ven tas mensua les de una t i enda de e l ec t rodomés t i cos se

d i s t r i buyen según una l ey no rma l , con desv iac i ón t í p i ca 900 € . En un es tud io es tad ís t i co de l as ven tas rea l i zadas en l os ú l t imos nueve meses , se ha encon t rado un i n te rva lo de con f i anza pa ra la med ia mensua l de las ven tas , cuyos ext remos son 4 663 € y 5 839 € .



1 . ¿Cuá l ha s ido la med ia de l as ven tas en es tos nueve meses?

2 . ¿Cuá l es e l n i ve l de con f i anza pa ra es te i n te rva lo?

12Se desea es t ima r la p ropo rc i ón , p , de i nd iv i duos da l tón icos de una

pob lac ión a t ravés de l po rcen ta je obse rvado en una mues t ra a lea to r i a de i nd i v i duos , de t amaño n .

1 . S i e l po rcen ta j e de i nd i v i duos da l t ón icos en la mues t ra es i gua l a l

30%, ca l cu la e l va lo r de n pa ra que , con un n i ve l de con f i anza de 0 ,95 , e l e r ro r comet i do en l a es t imac ión sea in fe r i o r a l 3 ,1%.

2 .Si e l t amaño de la mues t ra es de 64 i nd iv i duos , y e l po r cen ta je de

i nd i v i duos da l tón icos en l a mues t ra es de l 35%, de te rm ina , usando un n i ve l de s i gn i f i cac i ón de l 1%, e l co r respond ien te in te rva lo de con f i anza pa ra la p ropo rc i ón de da l t ón icos de l a pob lac ión .

13En una pob lac ión una va r i ab le a l ea to r i a s i gue una l ey no rma l de med ia desconoc ida y desv iac ión t í p i ca 2 .

1 .Obse rvada una mues t ra de t amaño 400 , tomada a l aza r , se ha ob ten ido

una med ia mues t ra a l i gua l a 50 . ¿Ca lcu le un i n te rva lo , con e l 97 % de con f i anza , pa ra l a med ia de l a pob lac ión .

2 .Con e l m i smo n i ve l de con f ianza , ¿qué tamaño m ín imo debe tene r l a

mues t ra pa ra qué l a amp l i t ud de l i n te rva lo que se ob tenga sea , como máximo, 1?

14La can t idad de hemog lob ina en sang re de l hombre s i gue una l ey no rma l con una desv iac i ón t íp i ca de 2g /d l .

Ca l cu le e l n i ve l de con f i anza de una mues t ra de 12 ext racc iones de sang re que i nd ique que l a med ia pob lac i ona l de hemog lob ina en sang re es tá en t re 13 y 15 g /d l .

15Se sabe que l a desv iac i ón t í p i ca de l as no tas de c i e r to examen de

Ma temá t i cas es 2 ,4 . Pa ra una mues t ra de 36 es tud ian tes se ob tuvo una no ta med ia de 5 ,6 . ¿S i r ven es tos da tos pa ra con f i rma r l a h i pó tes i s de que l a no ta med ia de l examen fue de 6 , con un n i ve l de con f i anza de l 95%?

16Un soc ió l ogo ha p ronos t i cado , que en una de te rminada c i udad , e l n i ve l

de abs tenc ión en las p róx imas e lecc i ones se rá de l 40% como m ín imo . Se e l i ge a l aza r una mues t ra a l ea to r i a de 200 i nd i v i duos , con de recho a vo to , 75 de l os cua les es ta r ían d i spues tos a vo ta r . De te rmina r con un n i ve l de s i gn i f i cac i ón de l 1%, s i se puede adm i t i r e l p ronós t i co .

17Un in fo rme i nd ica que e l p rec i o med io de l b i l l e te de av i ón en t re

Canar i as y Mad r i d es , como máximo , de 120 € con una desv iac i ón t í p i ca de 40 € . Se toma una mues t ra de 100 v i a je ros y se ob t i ene que la med ia de l os p rec ios de sus b i l l e tes es de 128 € .

¿Se puede acep ta r , con un n i ve l de s i gn i f i cac ión i gua l a 0 ,1 , l a a f i rmac ión de pa r t i da?



18Una marca de nueces a f i rma que , como máximo , e l 6% de l as nueces

es tán vac ías . Se e l i g i e ron 300 nueces a l aza r y se de tec ta ron 21 vac ías .

1 .Con un n i ve l de s i gn i f i cac i ón de l 1%, ¿se puede acep ta r la a f i rmac ión

de l a marca?

2 .Si se man t iene e l po rcen ta j e mues t ra l de nueces que es tán vac ías y 1 -

α = 0 .95 , ¿qué tamaño mues t ra l se neces i ta r ía pa ra es t imar l a p ropo rc i ón de nueces con un e r ro r meno r de l 1% po r c i en to?

19La du rac ión de l a bomb i l l as de 100 W que fab r i ca una empresa s i gue

una d is t r i buc ión no rma l con una desv iac ión t íp i ca de 120 ho ras de du rac ión . Su v i da med ia es tá ga ran t i zada du ran te un mín imo de 800 ho ras . Se escoge a l aza r una mues t ra de 50 bombi l l as de un l o te y , después de comproba r l as , se ob t i ene una v i da med ia de 750 ho ras . Con un n i ve l de s i gn i f i cac i ón de 0 ,01 , ¿hab r ía que rechaza r e l l o te po r no cump l i r l a ga ran t ía?

20Un fab r i can te de l ámparas e l éc t r i cas es tá ensayando un nuevo mé todo

de p roducc ión que se cons ide ra rá acep tab le s i l as lámparas ob ten idas por es te mé todo dan luga r a una pob lac ión no rma l de du rac ión med ia 2400 ho ras , con una desv iac i ón t íp i ca i gua l a 300 . Se toma una mues t ra de 100 l ámparas p roduc idas po r es te método y es ta mues t ra t i en e una du rac ión med ia de 2320 ho ras . ¿Se puede acep ta r r l a h i pó tes i s de va l i dez de l nuevo p roceso de fab r i cac i ón con un r i esgo i gua l o meno r a l 5%?

21El con t ro l de ca l idad una fáb r i ca de p i l as y ba te r ías sospecha que

hubo de fec tos en l a p roducc ión de un mo de lo de ba te r ía pa ra t e l é fonos móv i l es , ba jando su t iempo de du rac ión . Has ta aho ra e l t i empo de du rac ión en conve rsac ión segu ía una d i s t r i buc ión no rma l con med ia 300 minu tos y desv iac i ón t í p i ca 30 m inu tos . S in embargo , en l a i nspecc ión de l ú l t imo l o te p rod uc ido , an tes de env ia r l o a l me rcado , se ob tuvo que de una mues t ra de 60 ba te r ías e l t i empo med io de du rac ión en conve rsac ión f ue de 290 m inu tos . Supon iendo que ese t i empo s i gue s i endo No rma l con l a m isma desv iac i ón t í p i ca :

¿Se puede conc lu i r que l as sospe chas de l con t ro l de ca l i dad son c ie r t as a un n i ve l de s i gn i f i cac ión de l 2%?

22Se c ree que e l n i ve l med io de p ro tomb ina en una pob lac i ón no rma l es

de 20 mg /100 m l de p lasma con una desv iac i ón t í p i ca de 4 m i l i g ramos /100 m l . Pa ra comproba r l o , se toma una mue s t ra de 40 i nd i v i duos en l os que l a med ia es de 18 .5 mg /100 ml . ¿Se puede acep ta r l a h i pó tes is , con un n i ve l de s i gn i f i cac i ón de l 5%?

1 . Cinco n i ños de 2 , 3 , 5 , 7 y 8 años de edad pesan , respec t i vamen te , 14 , 20 , 32 , 42 y 44 k i l os .

1 Ha l la r l a ecuac ión de l a rec ta de regres ión de l a edad sob re e l peso .

2 ¿Cuá l se r ía e l peso ap rox imado de un n i ño de se i s años?



2 . Un cen t ro comerc i a l sabe en func ión de l a d i s tanc ia , en k i l óme t ros , a

l a que se s i t úe de un núc leo de pob lac ión , acuden l os c l i en tes , en c i en tos , que f i gu ran en l a tab la :

Nº de c l i en tes (X ) 8 7 6 4 2 1

D is tanc ia (Y ) 15 19 25 23 34 40

1 Ca lcu la r e l coe f ic iente de cor re lac ión l inea l .

2 Si e l cen t ro comerc i a l se s i túa a 2 km , ¿cuán tos c l i en tes puede espe ra r?

3 Si desea rec i b i r a 500 c l i en tes , ¿a qué d is tanc ia de l núc leo de pob lac ión debe s i tua rse?

3 . Las no tas ob ten idas po r c i nco a l umnos en Ma temá t icas y Qu ím ica son :

Matemát icas 6 4 8 5 3 . 5

Qu ímica 6 . 5 4 . 5 7 5 4

Dete rm ina r las rec tas de regres ión y ca lcu l a r la no ta espe rada en

Qu ím ica pa ra un a l umno que t i ene 7 .5 en Ma temá t icas .

4 . Un con jun to de da tos b i d imens iona les (X , Y) t i ene coe f ic ien te de

cor re lac ión r = −0 .9 , s i endo l as med ias de las d i s t r i buc iones marg ina les =

1 , = 2 . Se sabe que una de las cua t ro ecuac iones s i gu ien tes co r responde a l a rec ta de regres ión de Y sob re X:

y = - x + 2 3 x - y = 1 2x + y = 4 y = x + 1

Se lecc i ona r razonadamen te es ta rec ta .

5 . Las es ta tu ras y pesos de 10 jugado res de ba lonces to de un equ ipo

son :

Esta tura (X ) 186 189 190 192 193 193 198 201 203 205

Pesos (Y ) 85 85 86 90 87 91 93 103 100 101

Ca lcu la r :



1 La rec ta de regres ión de Y sob re X.

2 El coe f ic ien te de corre lac ión .

3 El peso es t imado de un j ugador que mide 208 cm.

6 . A pa r t i r de los s i gu ien tes da tos re fe ren tes a ho ras t raba jadas en un ta l l e r (X) , y a un idades p roduc idas (Y) , de te rm ina r la rec ta de regres ión de Y sob re X, e l coe f ic ien te de cor re lac ión l inea l e i n te rp r e ta r l o .

Horas (X ) 80 79 83 84 78 60 82 85 79 84 80 62

Producc ión (Y ) 300 302 315 330 300 250 300 340 315 330 310 240

7 . Se ha so l i c i t ado a un g rupo de 50 i nd i v iduos in fo rmac ión sob re e l

número de ho ras que ded ican d i a r iamen te a do rm i r y ve r l a t e l ev i s i ó n . La c l as i f i cac i ón de l as respues tas ha pe rmi t i do e labo ra r l a s i en te tab la :

Nº de horas dormidas (X ) 6 7 8 9 10

Nº de horas de te lev is ión (Y ) 4 3 3 2 1

F recuencias abso lu tas ( f i ) 3 16 20 10 1

Se p ide :

1 Ca lcu la r e l coe f ic iente de cor re lac ión .

2 Dete rm i na r l a ecuac ión de l a rec ta de regres ión de Y sob re X.

3 Si una pe rsona due rme ocho ho ras y med ia , ¿cuán to cabe espe ra r que vea l a t e l ev i s i ón?

8 . La tab la s i gu ien te nos da las no tas de l t es t de ap t i t ud (X) dadas a

se is depend ien tes a p rueba y ven tas de l p r ime r mes de p rueba (Y) en c i en tos de eu ros .

X 25 42 33 54 29 36

Y 42 72 50 90 45 48

1 Ha l la r e l coe f ic iente de cor re lac ión e i n te rp re ta r e l r esu l tado

ob ten ido .

2 Ca lcu la r la rec ta de regres ión de Y sob re X. P redec i r l as ven tas de un vendedo r que ob tenga 47 en e l tes t .



1 . Una compañ ía desea hace r p red icc i ones de l va l o r anua l de sus ven tas

t o ta les en c i e r t o pa ís a pa r t i r de la re lac ión de és tas y l a ren ta nac iona l . Pa ra i nves t iga r la re l ac i ón cuen ta con l os s i gu ien tes da tos :

X 189 190 208 227 239 252 257 274 293 308 316

Y 402 404 412 425 429 436 440 447 458 469 469

X rep resen ta l a ren ta nac iona l en m i l l ones de eu ros e Y rep resen ta l as ven tas de l a compañ ía en m i l es de eu ros en e l pe r i odo que va desde 1990 has ta 2000 (ambos inc lus i ve ) . Ca l cu la r :

1 La rec ta de regres ión de Y sob re X.

2 El coe f ic ien te de corre lac ión l inea l e i n te rp re ta r l o .

3 Si en 2001 l a ren ta nac iona l de l pa ís fue de 325 mi l l ones de euros .

¿Cuá l se rá l a p red icc i ón pa ra l as ven tas de l a compañ ía en es te año?

2 . La i n fo rmac ión es tad ís t i ca ob ten ida de una mues t ra de t amaño 12

sob re la re l ac i ón ex i s ten te en t re la i nve rs i ón rea l i zada y e l r end im ien to ob ten ido en c i en tos de m i l es de eu ros pa ra exp lo tac iones ag r í co las , se mues t ra en e l s i gu ien te cuad ro :

I nvers ión (X ) 11 14 16 15 16 18 20 21 14 20 19 11

Rend imien to (Y ) 2 3 5 6 5 3 7 10 6 10 5 6

Ca lcu la r :

1 La rec ta de regres ión de l rend im ien to respec to de l a i nve rs i ón .

2 La p rev is i ón de i nve rs i ón que se ob tend rá con un rend im ien to de 1 250 000 € .

3 . El número de ho ras ded i cadas a l es tud io de una as i gna tu ra y l a

ca l i f i cac i ón ob ten ida en e l examen co r respond ien te , de ocho pe rsonas es :

Horas (X ) 20 16 34 23 27 32 18 22

Ca l i f i cac ión (Y ) 6 .5 6 8 .5 7 9 9 .5 7 .5 8

Se p ide :

1 Rec ta de regres ión de Y sob re X.



2 Ca l i f i cac ión es t imada pa ra una pe rsona que h ub iese es tud iado 28

ho ras .

4 . En la t ab la s igu ien te se ind ica l a edad (en años ) y l a conduc ta

ag res i va (med ida en una esca la de ce ro a 10 ) de 10 n i ños .

Edad 6 6 6 .7 7 7 .4 7 .9 8 8 .2 8 .5 8 .9

Conducta agres iva 9 6 7 8 7 4 2 3 3 1

1 Obtene r l a rec ta de regr es ión de l a conduc ta ag res i va en f unc ión de

l a edad .

2 A pa r t i r de d icha rec ta , ob tene r e l va l o r de l a conduc ta ag res i va que co r responde r ía a un n iño de 7 .2 años .

5 . Los va lo res de dos va r i ab les X e Y se d i s t r i buyen según la tab la

s i gu ien te :

Y/X 100 50 25

14 1 1 0

18 2 3 0

22 0 1 2

Se p ide :

1 Ca lcu la r l a covar ianza .

2 Obtene r e in te rp re ta r e l coe f i c i en te de corre lac ión l inea l .

3 Ecuac ión de l a rec ta de regres ión de Y sob re X.

6 . Las pun tuac iones ob ten idas po r un g rupo de a lumnos en una ba te r ía

de t es t que m ide l a hab i l i dad ve rba l (X) y e l r azonamien to abs t rac to (Y) son l as s i gu ien tes :

Y/X 20 30 40 50

(25 -35 ) 6 4 0 0

(35 -45 ) 3 6 1 0

(45 -55 ) 0 2 5 3

(55 -65 ) 0 1 2 7



Se p ide :

1 ¿Exi s te corre lac ión en t re ambas va r iab les?

2 Según l os da tos de l a t ab la , s i uno de es tos a l umnos ob t i ene una

pun tuac ión de 70 pun tos en razonamien to abs t rac to , ¿en cuán to se es t imará su hab i l i dad ve rba l?

7 . Se sabe que en t re e l consumo de pape l y e l número de l i t r os de agua po r me t ro cuad rado que se recogen en una c i udad no ex i s te re l ac i ón .

1 ¿Cuá l es e l va lo r de la covar ianza de es tas va r i ab les?

2 ¿Cuán to va le e l coe f i c i en te de corre lac ión l inea l ?

3 ¿Qué ecuac iones t ienen las dos rec tas de regres ión y cuá l es su pos ic ión en e l p l ano?

8 . En una empresa de t ranspo r tes t r aba jan cua t ro conduc to res . Los años

de an t igüedad de pe rm isos de conduc i r y e l número de i n f racc iones come t i das en e l ú l t imo año po r cada uno de e l los son l os s i gu ien tes :

Años (X ) 3 4 5 6

In f racc iones (Y ) 4 3 2 1

Ca lcu la r e l coe f ic ien te de cor re lac ión l inea l e i n te rp re ta r l o .

9 . Una pe rsona re l lena semana lmen te una qu in i e l a y un bo le to de lo te r í a

p r im i t i va ano tando e l número de ac ie r t os que t i ene . Du ran te l as cua t ro semanas de l mes de feb re ro , l os ac i e r t os f ue ron :

Quin ie la (X ) 6 8 6 8

Pr im i t i va (Y ) 1 2 2 1

Obtene r e l coe f ic ien te de cor re lac ión l inea l e i n te rp re ta r l o . ¿Of rece r ían con f i anza las p rev i s i ones hechas con l as rec tas de reg res ión?

Prob lemas de combinator ia 1¿De cuán tas f o rmas d i s t i n tas pueden sen ta rse ocho pe rsonas en una

f i l a de bu tacas?

2¿De cuán tas fo rmas pueden mezc la rse l os s i e te co lo res de l a r co i r i s t omándo los de t res en t res?



3¿Cuán tos números de 5 c i f r as d i f e ren tes se puede fo rmar con l os

d íg i tos : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . ?

4En una c l ase de 35 a lumnos se qu ie re e leg i r un com i té fo rmado po r t r es

a l umnos . ¿Cuán tos comi tés d i fe ren tes se pueden fo rmar?

5¿Cuán tos números de t res c i f ras se puede fo rmar con l os d íg i t os : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ?

6¿De cuán tas f o rmas d i s t in tas pueden sen ta rse ocho pe rsonas a l rededo r de una mesa redonda?

7¿Cuán tas qu in ie l as de una co lumn a han de re l l ena rse pa ra asegu rarse e l ac i e r to de l os 15 resu l t ados?

8¿Cuán tas apues tas de Lo te r ía P r im i t i va de una co lumna han de re l l ena rse pa ra asegu rarse e l ac i e r to de l os se is resu l tados , de 49?

9En una bodega hay en un c i nco t i pos d i fe ren tes de bo te l l as . ¿De cuántas f o rmas se pueden e leg i r cua t ro bo te l l as?

10Con las c i f r as 1 , 2 y 3 , ¿cuán tos números de c i nco c i f r as pueden fo rmarse? ¿Cuántos son pa res?

11Con e l ( pun to , r aya ) de l s i s tema Morse , ¿cuán tas seña les d is t in tas se pueden env ia r , usando como m áximo cua t ro pu l sac iones?

12¿Cuántas d iagona les t iene un pen tágono y cuán tos t r iángu los se puede i n fo rmar con sus vé r t i ces?

13Un g rupo , compues to po r c i nco hombres y s i e te mu je res , fo rma un comi té de 2 hombres y 3 mu je res . De cuán tas fo rmas puede fo rmarse , s i :

1 . Puede pe r tenece r a é l cua lqu ie r hombre o mu je r .

2 . Una mu je r de te rminada debe pe r tenece r a l com i té .

3 . Dos hombres de te rminados no pueden es ta r en e l com i té .

14Con l as c i f ras 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 ; ¿cuán tos números de nueve c i f r as se pueden fo r mar?

15Con l as l e t ras de l a pa lab ra l i b ro , ¿cuán tas o rdenac iones d is t in tas se pueden hace r que emp iecen po r voca l?

16¿Cuántos números de c inco c i f r as d is t in tas se pueden fo rmar con l as c i f r as impa res? ¿Cuán tos de e l l os son mayo res de 70 .000?

17En e l pa lo d e seña les de un ba rco se pueden i za r t r es bande ras ro jas ,

dos azu les y cua t ro verdes . ¿Cuán tas seña les d i s t i n tas pueden ind ica rse con l a co l ocac ión de l as nueve bande ras?



18Con nueve a lumnos de una c l ase se desea fo rmar t r es equ ipos de t res

a l umnos cada u no . ¿De cuán tas mane ras puede hace rse?

19Una mesa p res i denc ia l es tá f o rmada po r ocho pe rsonas , ¿de cuántas

f o rmas d i s t in tas se pueden sen ta r , s i e l p res i den te y e l sec re ta r i o s i empre van j un tos?

20Se ordenan en una f i l a 5 bo las ro jas , 2 bo las b l ancas y 3 b o las

azu les . S i l as bo las de i gua l co l o r no se d is t i nguen en t re s í , ¿de cuántas f o rmas pos ib l es pueden o rdena rse?

21¿De cuán tas f o rmas d i f e ren tes se pueden cub r i r l os pues tos de

p res iden te , v i cep res iden te y t eso re ro de un c lub de fú tbo l sab iendo que hay 12 pos ib l es cand ida tos?

22Cua t ro l i b ros d i s t i n tos de ma temá t icas , se i s d i f e ren tes de f ís i ca y dos

d i f e ren tes de qu ím ica se co locan en un es tan te . De cuán tas f o rmas d i s t i n tas es pos ib l e o rdena r los s i :

1 . Los l i b ros de cada as i gna tu ra deben es ta r todos j un tos .

2 .So lamente los l i b ros de ma temá t icas deben es ta r j un tos .

23Una pe rsona t iene c i nco monedas de d is t i n tos va lo res . ¿Cuán tas

sumas d i f e ren tes de d ine ro puede fo rmar con l as c i nco monedas?

24Ha l la e l número de cap i cúas de ocho c i f ras . ¿Cuán tos cap icúas hay d e

nueve c i f r as?

Eje rc ic ios de la esperanza matemát ica

1Dada l a expe r i enc ia a l ea to ra de ano ta r l as pun tuac iones ob ten idas a l

l anza r un dado , ca lcu la r :

1 . La func ión de p robab i l i dad y su rep resen tac ión .

2 . La func ión de d i s t r i buc ión y su rep resen tac ión .

3 . La espe ranza ma temá t i ca , la va r i anza y la desv iac i ón t í p i ca .

2Sea X una va r iab le a lea to r ia d is c re ta cuya func ión de p robab i l i dad es :

x p i

0 0 ,1

1 0 ,2

2 0 ,1

3 0 ,4

4 0 ,1



5 0 ,1

1 . Ca lcu la r , r ep resen ta r g rá f i camen te l a f unc ión de d i s t r i buc ión .

2 . Ca lcu l a r l as s i gu ien tes p robab i l i dades :

p (X < 4 .5 )

p (X ≥ 3 )

p (3 ≤ X < 4 .5 )

3Sab iendo que p (X ≤ 2 ) = 0 .7 y p (X ≥ 2 ) = 0 .75 . Ha l l a r :

La espe ranza matemá t ica , la va r i anza y l a desv iac i ón t í p i ca .

4Un j ugado r l anza dos monedas . Gana 1 ó 2 € s i apa recen una o dos

ca ras . Po r o t ra pa r te p i e rde 5 € s i no apa rece ca ra . De te rm ina r la espe ranza matemá t i ca de l j uego y s i és te es favo rab le .

5Se l anza un pa r de dados . Se de f i ne l a va r i ab le a lea to r i a X como la

suma de las pun tuac iones ob ten idas . Ha l l a r l a f unc ión de p robab i l i dad , la espe ranza ma temá t ica y l a va r i anza .

6Un j ugado r l anza un dado co r r i en te . S i sa l e número p r imo , gana tan tos

c i en tos de eu ros como marca e l dado , pe ro s i no sa le número p r imo , p ie rde t an tos c ien tos de eu ros como marca e l dado . De te rm ina r l a func ión de p robab i l i dad y la espe ranza ma temá t ica de l juego .

7Si una pe rsona compra una pape le ta en una r i f a , en l a que puede ganar

de 5 .000 € ó un segundo p rem io de 2000 € con p robab i l i dades de : 0 .001 y 0 .003 . ¿Cuá l ser ía e l p rec i o j us to a paga r po r l a pape le ta?

Prob lemas y e je rc ic ios de la d is t r ibuc ión b inomia l

1La ú l t ima nove la de un au to r ha t en ido un g ran éx i t o , has ta e l pun to de

que e l 80% de los l ec to res ya la han l e i do . Un g rupo de 4 amigos son a f i c i onados a la lec tu ra :

1 . ¿Cuá l es l a p robab i l i dad de que en e l g rupo hayan le i do l a nove la 2 pe rsonas?

2 .¿Y cómo máximo 2?

2Un agente de segu ros vende pó l i zas a c i nco pe rsonas de l a m i sma edad

y que d i s f ru tan de buena sa lud . Según l as t ab las ac tua les , l a p robab i l i dad de que una pe rsona en es tas cond i c iones v i va 30 años o más es 2 /3 . Há l l ese la p robab i l i dad de que , t ranscu r r idos 30 años , v i van :

1 . Las c i nco pe rsonas .



2 .Al menos t res pe rsonas .

3 .Exac tamen te dos pe rsonas .

3Se l anza una moneda cua t ro veces . Ca l cu la r l a p robab i l i dad de que sa lgan más ca ras que c ruces .

4Si de se is a s ie te de l a t a rde se adm i te que un númer o de te l é fono de

cada c i nco es tá comun i cando , ¿cuá l es l a p robab i l i dad de que , cuando se marquen 10 números de t e lé fono e leg idos a l aza r , só lo comun iquen dos?

5La p robab i l i dad de que un hombre ac i e r te en e l b l anco es 1 /4 . S i

d i spa ra 10 veces ¿cuá l es l a p r obab i l i dad de que ac i e r t e exac tamen te en t res ocas iones? ¿Cuá l es la p robab i l i dad de que ac i e r te po r l o menos en una ocas ión?

6En unas p ruebas de a l coho lem ia se ha obse rvado que e l 5% de l os

conduc to res con t ro lados dan pos i t i vo en la p rueba y que e l 10% de los conduc to res con t ro l ados no l l evan ap rovechado e l c in tu rón de segu r i dad . Tamb ién se ha obse rvado que l as dos i n f racc iones son i ndepend ien tes .

Un gua rd ia de t rá f i co pa ra c i nco conduc to res a l aza r . S i t enemos en cuenta que e l número de conduc to res es su f i c i en temen te impo r tan te como pa ra es t ima r que l a p ropo rc ión de in f rac to res no va r ía a l hace r l a se lecc i ón .

1 . Dete rmina r l a p robab i l i dad a de que exac tamen te t res conduc to res hayan comet i do a lguna de l as dos i n f racc i ones .

2 . Dete rm ine l a p robab i l i dad de qu e a l menos uno de l os conduc to res con t ro l ados haya comet i do a l guna de l as dos in f racc i ones .

7La p robab i l i dad de que un a r t í cu l o p roduc ido po r una fab r i ca sea

de fec tuoso es p = 0 .02 . Se env ió un ca rgamen to de 10 .000 a r t í cu los a unos a lmacenes . Ha l l a r e l núm ero espe rado de a r t ícu l os de fec tuosos , l a va r i anza y l a desv iac i ón t í p i ca .

8En una u rna hay 30 bo las , 10 ro j as y e l r es to b l ancas . Se e l ige una

bo la a l aza r y se ano ta s i es ro j a ; e l p roceso se rep i t e , devo l v i endo l a bo la , 10 veces . Ca l cu la r l a med ia y l a desv iac i ón t í p i ca .

9Un l abo ra to r i o a f i rma que una d roga causa de e fec tos secunda r i os en

una p ropo rc ión de 3 de cada 100 pac ien tes . Pa ra con t ras ta r es ta a f i rmac ión , o t ro l abo ra to r i o e l ige a l aza r a 5 pac ien tes a los que ap l i ca la d roga . ¿Cuá l es l a p robab i l i dad de los s i gu ien tes sucesos?

1 . Ningún pac ien te t enga e fec tos secunda r i os .

2 .Al menos dos tengan e fec tos secunda r i os .

3 .¿Cuá l es e l número med io de pac ien tes que espe ra l abo ra to r i o que su f ran e fec tos secundar i os s i e l ige 100 pac ien tes a l aza r?

Eje rc ic ios y p rob lemas de la d is t r ibuc ión norma l



1Si X es una va r i ab le a l ea to r i a de una d i s t r i buc ión N(µ , σ ) , ha l l a r :

p (µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)

2En una d i s t r i buc ión norma l de med ia 4 y desv iac ión t íp i ca 2 , ca lcu la r e l va l o r de a pa ra que :

P(4−a ≤ x ≤ 4+a ) = 0 .5934

3En una c i udad se es t ima que l a tempera tu ra máxi ma en e l mes de jun io

s i gue una d i s t r i buc ión no rma l , con med ia 23° y desv iac i ón t í p i ca 5 ° . Ca l cu la r e l número de d ías de l mes en l os que se espe ra a l canza r máximas en t re 21° y 27 ° .

4La med ia de los pesos de 500 es tud ian tes de un co leg io es 70 kg y l a

desv i ac i ón t íp i ca 3 kg . Supon iendo que l os pesos se d is t r ibuyen no rma lmen te , ha l la r cuán tos es tud ian tes pesan :

1 . En t re 60 kg y 75 kg .

2 .Más de 90 kg .

3 .Menos de 64 kg .

4 .64 kg .

5 .64 kg o menos .

5Se supone que los resu l t ados de un examen s i guen una d i s t r i buc ión no rma l con med ia 78 y desv iac i ón t í p i ca 36 . Se p i de :

1 . ¿Cuá l es l a p robab i l i dad de que una pe rsona que se p resen ta e l examen ob tenga una ca l i f i cac i ón supe r io r a 72?

2 .Ca lcu la r l a p ropo rc ión de es tud ian tes que t i enen pun tuac iones que

exceden po r l o menos en c i nco pun tos de l a pun tuac ión que marca la f r on te ra en t re e l Ap to y e l No -Ap to (son dec la rados No -Ap tos e l 25% de l os es tud ian tes que ob tuv i e ron las pun tuac iones más ba jas ) .

3 .Si se sabe que l a ca l i f i cac ión de un es tud ian te es mayo r que 72 ¿cuá l es la p robab i l i dad de que su ca l i f i cac ión sea , de hecho, supe r io r a 84?

6Tras un t es t de cu l t u ra gene ra l se obse rva que l as pun tuac iones

ob ten idas s i guen una d i s t r i buc ión una d is t r i buc ión N(65 , 18 ) . Se desea c l as i f i ca r a l os exam inados en t res g rupos (de ba ja cu l t u ra gene ra l , de cu l t u ra gene ra l acep tab le , de e xce len te cu l tu ra gene ra l ) de modo que hay en e l p r ime ro un 20% l a pob lac i ón , un 65% e l segundo y un 15% en e l t e rce ro . ¿Cuá les han de se r l as pun tuac iones que marcan e l paso de un g rupo a l o t ro?

7Var i os t es t de i n te l i genc ia d i e ron una pun tuac ión que s i gue una l ey no rma l con med ia 100 y desv iac i ón t íp i ca 15 .



1 . Dete rm inar e l po rcen ta j e de pob lac ión que ob tend r ía un coe f i c i en te

en t re 95 y 110 .

2 . ¿Qué i n te rva lo cen t rado en 100 con t iene a l 50% de l a pob lac i ón?

3 . En una pob lac i ón de 2500 i nd i v i duos ¿cuántos i nd i v i duos se espe ran

que tengan un coe f i c i en te supe r i o r a 125?

8En una c i udad una de cada t res f ami l ias posee te l é fono . S i se e l igen a l

aza r 90 fami l i as , ca l cu la r l a p robab i l i dad de que en t re e l l as haya po r l o menos 30 tengan te lé fono .

9En un examen t i po tes t de 200 p regun tas de e lecc i ón mú l t i p l e , cada

p regunta t i ene una respues ta co r rec ta y una i ncor rec ta . Se ap rueba s i se con tes ta a más de 110 respues tas co r rec tas . Supon iendo que se con tes ta a l aza r , ca l cu l a r la p robab i l i dad de ap roba r e l examen .

10Un es tud io ha mos t rado que , en un c i e r to ba r r io , e l 60% de los

hoga res t i enen a l menos dos te l ev iso res Se e l i ge a l aza r una mues t ra de 50 hoga res en e l c i t ado bar r i o . Se p i de :

1 . ¿Cuá l es la p robab i l i dad de que a l menos 20 de los c i t ados hogares t engan cuando menos dos t e l ev i so res?

2 . ¿Cuá l es l a p robab i l i dad de que en t re 35 y 40 hoga res tengan cuando menos dos te l ev iso res?

Prob lemas de p robab i l idad

1Ha l l a r l a p robab i l i dad de que a l l anza r a l a i r e dos monedas , sa l gan :

1Dos ca ras .

2Dos c ruces .

3Dos ca ras y una c ruz .

2Ha l l a r la p robab i l i dad de que a l l evan ta r unas f i chas de dominó se ob tenga un número de pun tos mayo r que 9 o que sea mú l t i p l o de 4 .

3Un dado es tá t rucado, de f o rma que l as p robab i l i dades de ob tene r l as d i s t i n tas ca ras son p ropo rc iona les a los números de es tas . Ha l l a r :

1La p robab i l i dad de ob tene r e l 6 en un l anzam ien to .

2La p robab i l i dad de consegu i r un número impa r en un lanzam ien to .

4Se l anzan dos dados a l a i re y se ano ta l a suma de l os pun tos ob ten idos . Se p i de :

1La p robab i l i dad de que sa lga e l 7 .



2La p robab i l i dad de que e l número ob ten ido sea pa r .

3La p robab i l i dad de que e l número ob ten ido sea mú l t ip l o de t res .

5Se l anzan t res dados . Encon t ra r la p robab i l i dad de que :

1Sa lga 6 en t odos .

2Los pun tos o b ten idos sumen 7 .

6Busca la p robab i l i dad de que a l echa r un dado a l a i re , sa l ga :

1Un número pa r .

2Un múl t i p l o de t res .

3Mayor que cua t ro .

7Se sacan dos bo las de una u rna que se compone de una bo la b l anca , o t ra ro j a , o t ra ve rde y o t ra neg ra . Desc r i b i r e l es pac io mues t ra l cuando :

1La p r ime ra bo la se devue l ve a l a u rna an tes de saca r l a segunda.

1La p r ime ra bo la no se devue l ve

8Una u rna t i ene ocho bo las ro j as , 5 amar i l l a y s i e te ve rdes . Se ex t rae una a l aza r de que :

1Sea ro j a .

2Sea ve rde .

3Sea amar i l l a .

4No sea ro ja .

5No sea amar i l l a .

9Una u rna con t iene t res bo las ro jas y s i e te b l ancas . Se ext raen dos bo las a l aza r . Esc r ib i r e l espac io mues t ra l y ha l l a r l a p robab i l i dad de :

1Ext rae r l as dos bo las con reemp lazam ien to .

2Sin reemplazamien to .

10Se ext rae una bo la de una u rna que con t i ene 4 bo las ro j as , 5 b lancas

y 6 neg ras , ¿cuá l es l a p robab i l i dad de que l a bo la sea ro j a o b lanca? ¿Cuá l es la p robab i l i dad de que no sea b lanca?



11En una c lase hay 10 a l umnas rub ias , 20 morenas , c inco a l umnos

rub ios y 10 morenos . Un d í a as is ten 44 a lumnos , encon t ra r la p robab i l i dad de que e l a lumno que fa l t a :

1Sea hombre .

2Sea mu je r mo rena .

3Sea hombre o mu je r .

12En un sob re hay 20 pape le tas , ocho l l evan d i bu jado un coche l as

res tan tes son b l ancas . Ha l l a r l a p robab i l i dad de ext rae r a l m enos una pape le ta con e l d i bu jo de un coche :

1Si se saca una pape le ta .

2Si se ext raen dos pape le tas .

3Si se ext raen t res pape le tas .

13Los es tud ian tes A y B t i enen respec t i vamente p robab i l i dades 1 /2 y 1 /5

de suspende r un examen . La p robab i l i dad de que suspe ndan e l examen s imu l táneamente es de 1 /10 . Dete rmina r l a p robab i l i dad de que a l menos uno de l os dos es tud ian tes suspenda e l examen .

14Dos he rmanos sa len de casa . E l p r ime ro ma ta un p romed io de 2

p i ezas cada 5 d i spa ros y e l segundo una p ieza cada 2 d i spa r os . S i l os dos d i spa ran a l m ismo t i empo a una m isma p ieza , ¿cuá l es l a p robab i l i dad de que l a ma ten?

15Una c lase cons ta de 10 hombres y 20 mu je res ; la m i tad de l os

hombres y l a m i tad de l as mu je res t i enen los o j os cas taños . De te rm ina r la p robab i l i dad de qu e una pe rsona e l eg ida a l aza r sea un hombre o tenga los o j os cas taños .

16La p robab i l i dad de que un hombre v i va 20 años es ¼ y l a de que su mu je r v i va 20 años es 1 /3 . Se p i de ca l cu la r l a p robab i l i dad :

1De que ambos v i van 20 años .

2De que e l hombre v i va 20 a ños y su mu je r no .

3De que ambos mue ran an tes de l os 20 años .

17Ca lcu la r l a p robab i l i dad de saca r exac tamen te dos c ruces a l t i r a r una moneda cua t ro veces .

18Un g rupo de 10 pe rsonas se s ien ta en un banco . ¿Cuá l es l a

p robab i l i dad de que dos pe rsonas f i j adas de an temano se s i en ten j un tas



19Se ext raen c i nco ca r tas de una ba ra j a de 52 . Ha l l a r l a p robab i l i dad de

ext rae r :

1 4 ases .

24 ases y un rey .

33 c i ncos y 2 so tas .

4Un 9 , 10 , so ta , caba l lo y rey en cua lqu ie r o rden .

53 de un pa lo cua lqu ie ra y 2 de o t ro .

6Al menos un as .

Prob lemas de p robab i l idad cond ic ionada

1De una ba ra ja de 48 ca r tas se ext rae s imu l t áneamen te dos de e l las .

Ca l cu la r la p robab i l i dad de que :

1 Las dos sean copas .

2Al menos una sea copas .

3Una sea copa y l a o t ra espada .

2An te un examen , un a l umn o só lo ha es tud iado 15 de los 25 t emas

co r respond ien tes a la ma te r i a de l m i smo . És te se rea l i za en t rayendo a l azar dos t emas y de jando que e l a l umno esco ja uno de l os dos pa ra se r exam inado de l m i smo . Ha l l a r l a p robab i l i dad de que e l a lumno pueda e leg i r e n e l examen uno de l os t emas es tud iados .

3Una c l ase es tá f o rmada po r 10 ch i cos y 10 ch i cas ; l a m i tad de l as ch icas y l a m i tad de l os ch icos han e leg ido f rancés como as igna tu ra op ta t i va .

1 ¿Cuá l es l a p robab i l i dad de que una pe rsona e l eg ida a l aza r sea ch i c o o es tud io f r ancés?

2¿Y l a p robab i l i dad de que sea ch ica y no es tud ié f rancés?

4En una c l ase en la que todos p rac t i can a l gún depo r te , e l 60% de los

a l umnos juega a l f ú tbo l o a l ba lonces to y e l 10% p rac t i ca ambos depo r tes . S i además a y un 60% que no j uega a l f ú tbo l , ¿cuá l se rá l a p robab i l i dad de que escog ido a l aza r un a lumno de la c l ase :

1 Juegue só lo a l f ú tbo l .

2Juegue só lo a l ba lonces to .

3Prac t i que uno so lo de l os depo r tes .



4No j uegue n i a l f ú tbo l n i a l ba lonces to .

5Un ta l l e r sabe que po r t é rm ino med io acuden : po r la mañana t res

au tomóv i l es con p rob lemas e l éc t r i cos , ocho con p rob lemas mecán i cos y t r es con p rob lemas de chapa , y po r l a t a rde dos con p rob lemas e l éc t r i cos , t r es con p rob lemas mecán icos y uno con p rob lemas de chapa .

1 Hace r una tab la o rdenando l os da tos an te r i o res .

2Ca lcu la r e l po rcen ta j e de los que acuden po r l a t a rde .

3Ca lcu la r e l po rcen ta j e de los que acuden po r p rob lemas mecán icos .

4Ca lcu la r l a p robab i l i dad de que un au tomóv i l con p rob lemas e léc t r i cos

acuda po r l a mañana .

6En una c i udad , e l 40% de l a pob lac ión t i ene cabe l l os cas taños , e l 25%

t i ene o jos cas taños y e l 15% t i ene cabe l l os y o j os cas taños . Se escoge una pe rsona a l aza r :

1 Si t i ene l os cabe l l os cas taños , ¿cuá l es l a p robab i l i dad de que tenga también o j os cas taños?

2Si t i ene o j os c as taños , ¿cuá l es l a p robab i l i dad de que no tenga cabe l l os cas taños?

3¿Cuá l es l a p robab i l i dad de que no tenga cabe l l os n i o jos cas taños?

7En un au la hay 100 a l umnos , de l os cua les : 40 son hombres , 30 usan

ga fas , y 15 son va rones y usan ga fas . S i se lecc ion amos a l aza r un a l umno de d i cho cu rso :

1 ¿Cuá l es l a p robab i l i dad de que sea mu je r y no use ga fas?

2Si sabemos que e l a l umno se lecc i onado no usa ga fas , ¿qué p robab i l i dad hay de que sea hombre?

8Se so r tea un v i a je a Roma en t re l os 120 me jo res c l ien tes de un a

agenc ia de au tomóv i les . De e l l os , 65 son mu je res , 80 es tán casados y 45 son mu je res casadas . Se p ide :

1¿Cuá l se rá l a p robab i l i dad de que l e toque e l v i a j e a un hombre so l te ro?

2Si de l a fo r tunado se sabe que es casado , ¿cuá l se rá la p robab i l i dad de que se a una mu je r?

9Una c lase cons ta de se is n i ñas y 10 n i ños . S i se escoge un com i té de

t res a l aza r , ha l l a r la p robab i l i dad de :

1 Se lecc iona r t r es n iños .



2Se lecc iona r exac tamen te dos n i ños y una n iña .

3Se lecc iona r po r l o menos un n i ño .

4Se lecc iona r exac tamen te dos n i ñas y un n i ño .

10Una u rna con t i ene 5 bo las ro j as y 8 ve rdes . Se ext rae una bo la y se

reemplaza po r dos de l o t ro co lo r . A con t inuac ión , se ext rae una segunda bo la . Se p i de :

1 Probab i l i dad de que la segunda bo la sea ve rde .

2Probab i l i dad de que l as dos bo las ext ra ídas sean de l m i smo co lo r .

11Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mu je res

usan ga fas . S i e l número de mu je res es cua t ro veces supe r i o r a l de hombres , se p i de l a p robab i l i dad de encont ra rnos :

1 Con una pe rsona s i n ga fas .

2Con una mu je r con ga fas .

12En un cen t ro esco la r l os a lumnos pueden op ta r po r cu rsa r como

l engua ext ran je ra i ng l és o f r ancés . En un de te rm inado cu rso , e l 90% de los a l umnos es tud ia i ng l és y e l r es to f r ancés . E l 30% de los que es tud ian i ng lés son ch icos y de l os que es tud ian f rancés son ch i cos e l 40%. E l e leg ido un a l umno a l aza r , ¿cuá l es l a p robab i l i dad de que sea ch i ca?

13Una ca ja con t i ene t res monedas . Una moneda es co r r i en te , o t ra t iene

dos ca ras y l a o t ra es tá ca rgada de modo que l a p robab i l i dad de ob tene r ca ra es de 1 /3 . Se se lecc iona una moneda l anza r y se l anza a l a i re . Ha l l a r l a p robab i l i dad de que sa lga ca ra .

14Disponemos de dos u rnas : l a u rna A con t i ene 6 bo las ro j as y 4 bo las

b l ancas , la u rna B con t i ene 4 bo las ro j as y 8 bo las b lancas . Se l anza un dad o, s i apa rece un número meno r que 3 ; nos vamos a l a u rna A ; s i e l r esu l t ado es 3 ó más , nos vamos a la u rna B . A con t i nuac ión ext raemos una bo la . Se p i de :

1 Probab i l i dad de que la bo la sea ro j a y de l a u rna B .

2Probab i l i dad de que l a bo la sea b lanca .

15Se d i spone de t res ca jas con bomb i l l as . La p r ime ra con t iene 10

bombi l las , de las cua les a y cua t ro f und idas ; en l a segunda hay se i s bombi l las , es tando una de e l l as f und ida , y la t e r ce ra ca ja hay t res bombi l las f und idas de un to ta l de ocho . ¿Cuá l es la p robab i l i dad de que a l tomar una bombi l la a l aza r de una cua lqu ie ra de las ca jas , es té fund ida?

16Un es tud ian te cuen ta , pa ra un examen con la ayuda de un

despe r tado r , e l cua l cons igue despe r ta r l o en un 80% de l os casos . S i oye e l despe r tado r , l a p robab i l i dad de q ue rea l i za e l examen es 0 .9 y , en caso con t ra r i o , de 0 .5 .



1 Si va a rea l i za r e l examen, ¿cuá l es l a p robab i l i dad de que haya o ído

e l despe r tado r?

2Si no rea l i za e l examen , ¿cuá l es la p robab i l i dad de que no haya o ído

e l despe r tado r?

17En una es tan te r ía hay 60 nove las y 20 l i b ros de poes ía . Una pe rsona

A e l ige un l i b ro a l aza r de l a es tan te r ía y se lo l l e va . A con t inuac ión o t ra pe rsona B e l i ge o t ro l i b ro a l aza r .

1 ¿Cuá l es la p robab i l i dad de que e l l i b ro se lecc i onado po r B sea una nove la?

2Si se sabe que B e l i g i ó una nove la , ¿cuá l es l a p robab i l i dad de que e l l i b ro se lecc i onado po r A sea de poes ía?

18En una casa hay t res l l ave ros A , B y C ; e l p r ime ro con c i nco l l aves , e l

segundo con s i e te y e l t e r ce ro con ocho , de las que só lo una de cada l l ave ro ab re la pue r ta de l t r as te ro . Se escoge a Láza ro l l ave ro y , de é l , una l l ave i n ten ta ab r i r e l t r as te ro . Se p ide :

1 ¿Cuá l se rá l a p robab i l i dad de que se ac ie r t e con l a l l a ve?

2¿Cuá l se rá la p robab i l i dad de que e l l l a ve ro escog ido sea e l t e rce ro y

l a l l a ve no ab ra?

3Y s i l a l l a ve escog ida es l a co r rec ta , ¿cuá l se rá l a p robab i l i dad de que

pe r tenezca a l p r ime r l l ave ro A?

19El 20% de l os emp leados de una empresa son i ngen ie ros y o t ro 20%

son econom is tas . E l 75% de los i ngen ie ros ocupan un pues to d i rec t i vo y e l 50% de los ec onom is tas tamb ién , m ien t ras que los no i ngen ie ros y l os no econom is tas so lamen te e l 20% ocupa un pues to d i rec t i vo . ¿Cuá l es la p robab i l i dad de que un emp leado d i rec t i vo e l eg ido a l aza r sea i ngen ie ro?

1. Se lanza un dado y se observa que número de aparece en la cara superior.

2. Se lanza una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas

3. El ala de un aeroplano se arma con un gran número de remaches. Se cuenta el número de remaches defectuosos. Determinar el espacio muestral.

4. Se fabrican artículos hasta llegar a producir 10 no defectuosos. Se cuenta el número total de artículos

manufacturados. Determinar el espacio muestral.

5. De una urna que contiene solamente esferas negras, se toma una esfera y se anota su color. Determinar el

espacio muestral.

6. Se fabrican artículos de una línea de producción y se cuentan el número de artículos defectuosos producidos en 24 hs.

7. En un bolillero hay 20 bolillas blancas y 5 azules:



a. calcular la probabilidad de sacar una blanca b. calcular la probabilidad de sacar una azul c. calcular la probabilidad de sacar una blanca o una azul

8. Al arrojar dos dados, uno blanco y uno negro, calcular la probabilidad de obtener ocho puntos entre los dos.

9. Se lanza una moneda tres veces. Descubrir el espacio muestral y calcular la posibilidad de sacar tres caras.

10. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres de los cuales la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres, tienen los ojos castaños.

Hallar la probabilidad que una persona tomada al azar, sea hombre o tenga los ojos castaños.

11. En un bolillero hay 15 bolillas rojas, 6 blancas y 7 azules. Se quiere se quiere saber cual es la probabilidad al extraer una, de obtener indistintamente i bolilla roja o una blanca.

12. Si se arrojan dos monedas, calcular la probabilidad de sacar 2 caras o dos cecas.

13. Dos tiradores hicieron un disparo cada uno. La probabilidad que el primer tirador haya dado en el blanco es de 0,7, y la del segundo 0,6.

-Hallar la probabilidad que por lo menos 1 tirador haya dado en el blanco.

14. Se carga una moneda de modo que la probabilidad de salir cara sea 3 veces la de salir ceca. Hallar la probabilidad de cara y la probabilidad de ceca.

15. La probabilidad de que A o B ocurran es de 1/8. La probabilidad de que A ocurra es de 1/2. Mientras que

la probabilidad de que ambos ocurran en forma simultanea no se conoce. Siendo loe eventos no excluyentes calcular la probabilidad de que A y B ocurran.

16. Una caja contiene 3 monedas : 1 moneda es corriente, 1 moneda tiene 2 caras y la tercer moneda esta

cargada de modo que la probabilidad de obtener cara sea 1/3. Se seleccionara una moneda al azar y se lanzara. Hallar la probabilidad que salga cara. Utilizar diagrama de árbol.

17. Un tubo de vacío puede provenir de cualquiera de tres fabricantes con probabilidad: P1=0,25 P2=0,5

P3=0,25. Las probabilidades de que el tubo funcione correctamente durante un período de tiempo específico son: 0,1 ; 0,2 ; 0,4. Respectivamente para los 3 fabricantes. Calcular la probabilidad de que el tubo elegido al azar funcione correctamente.

18. En un establecimiento se fabrican lamparas incandescentes. El 1º suministra el 70% del total, y el 2º

suministra el 30% del total. En promedio son normales 83 lamparas de cada 100 provenientes de la primera fabrica, y el 63 de cada 100 lamparas provenientes de la segunda fabrica. Calcular la probabilidad de comprar una lampara normal

19. Se arrojan tres monedas equilibradas. ¿cuál es la probabilidad de que todas sean "caras" si se sabe que la segunda resulta cara.

20. Se tienen dos fichas o discos de cartón, uno con las dos caras rojas y otro con 1 cara roja y otra azul. Se saca al azar un disco y se ve que contiene 1 cara roja. ¿cuál es la probabilidad de que la otra cara sea azul?

21. Una urna contiene 5 bolillas rojas, 3 verdes y 7 negras. Siendo eventos excluyentes, calcular la

probabilidad de que 1 bolilla sacada al azar sea roja o verde.

22. Una bolsa A contiene 3 bolillas rojas y 2 blancas. Se desea saber las probabilidades de que sean:

a. las 2 rojas



b. las dos blancas c. 1 roja y 1 blanca

23. Supóngase que A y B son 2 sucesos independientes asociados con un experimento. Si la probabilidad de

que A o B ocurran es de 0,6 mientras que la probabilidad de que A ocurra es de 0,4 determinar la probabilidad de que B ocurra.

24. En una carrera de automóviles la probabilidad de que el corredor Nº 6 gane es de 1/8 y la del Nº 14 es de 1/16:

Calcular:

a. La probabilidad de que gane la carrera uno de esos corredores b. Calcular la probabilidad de que no gane la carrera el corredor Nº 6

25. Sean A y B dos sucesos asociados con un experimento que P(a) = 0,4 mientras que P(A u B) =0,7:

Sea por comodidad P (A u B)=P

Preguntas:

a. ¿para que elección de P(b) son Ay B mutuamente excluyentes? b. ¿para que elección de P(b) son Ay B mutuamente independientes?

26. Tres caballos A,B,C, intervienen en una carrera. A tiene el doble de probabilidad de ganar que B, y B tiene el doble que C.

¿ Cuales son las respectivas probabilidades de ganar de cada caballo?

27. Sea un dado cargado, tal que la posibilidad de salir un número cuando se lanza el dado es proporcional a dicho número. Por ejemplo el 6 tiene el doble de probabilidad que 3.

Sea:

A {número par} B {número primo} C {número impar}

a. Hallar la probabilidad de cada cara, (número del dado) b. Calcular, P(a), P(b), P(c) c. Hallar las probabilidades de que:

l) Salga número par o primo P( A U B ) ll) Salga numero impar Y primo P(CÙB) lll) Salga el ebvento A pero no el evento B

28. En la fabricación de un cierto artículo, se encuentra que se presenta un tipo de defecto con una

probabilidad 0,1 y defectos de un segundo tipo con probabilidad 0,05. Se supone la independencia entre ambos tipos de defectos . Cual es la probabilidad que:

a. Un artículo no tenga ambos tipos de defectos b. Un articulo sea defectuoso

29. Cierto equipo de fútbol, gana con probabilidad 0,6 ;pierde con probabilidad 0,3 ; y empata con probabilidad 0,1. El equipo juega 3 encuentros durante fin de semana.



a. Determinar los elementos del evento A en que el equipo gana por lo menos 2 y no pierde; y hallar P(a).

b. Determinar los elementos del evento B en que el equippol gana, pierde y empata y hallar P(b).

30. Dos tiradores disparan al blanco. La probabilidad de que hagan blanco en un disparo es 0,7 y 0,8 respectivamente. Hallar la probabilidad de que en un disparo haga blanco solo uno de los tiradores

31. En una sala de lectura hay 6 manuales, 3 de los cuales están encuadernados. Se toman al azar 2 manuales sucesivamente y sin reposición. Calcular la probabilidad de que ambos estén encuadernados

32. En un bolillero hay 7 bolillas blancas y 12 negras. Se extraen 2 bolillas sin reposición. Calcular la probabilidad de que la 1º sea blanca y la segunda sea negra.

33. Para cierta localidad el promedio de días nublados en junio es de 6. Hallar la probabilidad de que haya 2

días seguidos de buen tiempo.

34. En un circuito electrónico se conectan en serie 3 elementos que trabajan independientemente uno del otro.

Las probabilidades de falla de cada elemento son: 0,1 - 0,15 - 0,2. Hallar la probabilidad de que no haya corriente en el circuito.

ACLARACIÓN: Con que un solo elemento, no ande, No va a haber corriente en el circuito electrónico porque trabajan en serie.

35. Un dispositivo físico contiene 2 elementos que trabajan independientemente. Las probabilidades de falla

de cada elemento son 0,05 y 0,08 respectivamente. Hallar la probabilidad que falle por lo menos uno de los elementos.

36. Al transportar 25 vasos lisos y 12 vasos de color, se ha roto 1 vaso de color). Hallar la probabilidad de que

el vaso roto sea: a) de color b) liso

37. Supóngase el caso de lanzar 1 moneda y 1 dado. Sea el espacio muestral (s) que consta de 12 elementos:

A = expresar explícitamente los siguientes eventos: A1) { aparecen caras y un numero par} A2) {aparece un número primo} A3) { Aparecen caras y numero par} A4) {aparecen cecas y un numero par}

B= Expresar explícitamente el evento: B1) Que A o B sucedan B2) que B y C sucedan B3) Que solamente B suceda

C) Cuales de los sucesos A, B, C son mutuamente excluyentes.

38. Las probabilidades de que 1 hombre vivirá 10 años más es de 1/4 y la probabilidad de que su esposa

vivirá 10 años más es de 1/3. Hallar la probabilidad de que al menos uno (u otro) estará vivo dentro de 10 años.

Resolver por diagrama de árbol:

39. Una urna contiene 7 esferas rojas y 3 esferas blancas. De la urna se extraen 3 esferas una tras otra. Hallar la probabilidad de que las 2 primeras sean rojas y la tercera blanca.



40. Supóngase que entre seis pernos , dos son mas cortos que una longitud específica. Si se toma dos pernos

al azar, ¿cuál es la probabilidad de que los 2 mas cortos sean los elegidos?

41. Una caja contiene 4 tubos malos y 6 buenos. Se sacan 2 a la vez. Se prueba uno de ellos, y se encuentra que es bueno, ¿ cual es la probabilidad de que es el segundo también lo sea?

Probabilidad condicional:

42. Para armar la siguiente tabla se han tenido en cuenta las clasificaciones: N, A, S.

sexo

calificación Mujer Varon TOTAL

N 7 9 16

A 10 8 18

S 2 4 6

TOTAL 19 21 40

Si entre los 40 alumnos de dicho curso, se elige 1 al azahar, hallar la probabilidad de que:

a. Haya obtenido A en la evaluación b. Haya obtenido A sabiendo que el alumno elegido es varón.

43. De una lata que contiene 18 galletitas de salvado y 10 de agua, se extraen 2 galletitas al azar,

sucesivamente y sin repetición. Calcular la probabilidad de que la primera galletita extraída sea de salvado y la segunda de agua.

44. Un cierto artículo es manufacturado por 3 fabricas, A-B-C. Se sabe que la primera produce el doble de

artículos que la segunda, y que estas y la tercera producen el mismo numero de artículos. Se sabe también que el 2% de los artículos producidos por las dos primeras, es defectuoso, mientras que el 4% de los manufacturados por la 3º es defectuoso. Se colocan juntos todos los artículos producidos en fila y se toma uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que este sea el defectuoso?

45. Se arroja una moneda equilibrada (normal), si sale cara se elije al azar un numero del 1 al 10, si sale ceca se elige al azar un numero entero del 6 al 10. ¿cuál es la probabilidad que el numero elegido sea par?

46. Una oficina tiene 100 máquinas calculadoras . algunas de estas son eléctricas, mientras que otras son

manuales. Además algunas son nuevas mientras que otras son usadas. Una persona entra a la oficina, toma una máquina al azar, y descubre que s nueva... ¿cuál es la probabilidad de que sea eléctrica?

E M

N 40 30 70

U 20 10 30

60 40 100

47. Tomamos las tres cajas siguientes:

Caja1: contiene: 10 lamparas de las cuales son defectuosas Caja2: contiene 6 lamparas de las cuales 1 es defectuosa Caja3: contiene 8 lamparas de las cuales 3 son defectuosas.



Tomamos al azar una caja y luego sacamos al azahar una lampara, ¿cuál es la probabilidad de que la lámpara sea defectuosa?

48. En dos establecimientos se fabrican lamparas incandescentes:

El 1º suministra el 70% y el segundo el 30% de la producción total.

En promedio son normales 83 lamparas sobre 100, provenientes de la primera fabrica, y 63 de cada 100 lamparas provenientes de la segunda fabrica.

49. En una cierta facultad 25% de los estudiantes perdieron matemática. El 15% perdieron química y el 10 %perdieron las dos. Se selecciona un estudiante al azar:

a. si perdió química, ¿qué probabilidad hay que también haya perdido matemática? b. ¿Si perdió matemática, cual es la probabilidad que haya perdido química? c. ¿cuál es la probabilidad que haya perdido matemática o química?

50. de un grupo de cinco mujeres y 4 hombres, se seleccionan sucesivamente y al azar 3 personas. calcular la probabilidad de elegir:

a. por lo menos 2 mujeres. b. 2mujeres y 1 hombre

51. En cierta facultad el 25% de los alumnos recursan matemática, el 15% recursan física, el 10% recursan

ambas. Si seleccionamos un estudiante al azar, cuál es la probabilidad que:

a. Recurse matemática si recursa física. b. Recurse física dado que recursa matemática.

52. Para la destrucción de un fuerte, es suficiente que caiga 1 bomba de aviación.

Hallar la probabilidad de que el fuerte sea destruido, si sobre el se lanzan 4 bombas con probabilidades de impactos iguales a: 0,3- 0,4- 0,6- 0,7- respectivamente. ¿cuál es la probabilidad que el fuerte sea destruido con cada una de las bombas?

53. De acuerdo a una investigación realizada en una determinada ciudad acerca d e mujeres mayores de 20

años se ha comprobado que entre otras cosas el 68% están casadas, de estas el 40 % trabaja fuera del hogar. De las que no están casadas, el 72 % trabajan fuera del hogar:

a. Que porcentaje de mujeres mayores de 20 años trabaja fuera del hogar. b. Si se selecciona al azar una mujer mayor de 20 años, ¿cuál es la probabilidad de que no este casada

ni trabaje fuera?

54. Un obrero atiende tres telares. Supongamos que la posibilidad que los telares no requieran de la atención

del obrero en una hora sea para el primer telar de 0,9, para el segundo de 0,8 y para el tercero 0,85. Se desea saber cual es la probabilidad de que ninguno de los telares reclame la atención del obrero durante 1 hora.

55. E la fabricación de un cierto articulo se encuentra que se presenta un tipo de defecto con una probabilidad

0,1 y defecto de un segundo tipo con probabilidad de 0,05. Se supone la independencia entre ambos tipos de defecto. ¿cuál es la probabilidad de que?

a. Un artículo no tenga ambas clases d e defecto. b. Un artículo sea defectuoso.

56. En cierta ciudad, un 40% de la población tiene cabello castaño, 25% de la población tiene ojos castaños y el 15 % tiene cabellos y ojos castaños. Se toma al azar a 1 persona:



a. Si tiene cabello castaño, cual es la probabilidad de que también tenga cabellos castaños, b. Si tiene ojos castaños ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

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Parte 2. ESTADÍSTICA

Ejercicios:

57. Se midió la altura de 133 empleados de una fabrica cuyos datos se resumen en la siguiente tabla:

X= altura Fi X= altura Fi X= altura Fi

158-159 1 164-165 12 170-171 15

159-160 2 165-166 6 171-172 9

160-161 3 166-167 6 172-173 7

161-162 4 167-168 12 173-174 5

162-163 5 168-169 14 174-175 2

163-164 6 169-170 20 175-176 1

a. Realizar un histograma con la distribución de frecuencias para un módulo igual a 2. b. Idem para un modulo igual a 3.

58. Se entrevistan a 20 mujeres con hijos, registrándose entre otras características la cantidad de hijos que tiene cada una, los datos o resultados son los siguientes:

3, 4, 1, 3, 4, 5, 1, 3, 4, 3 3, 3, 4, 2, 2, 1, 5, 2, 3, 2

se pide:

a. Tabular b. Determinar el modo.

59. Dada esta distribución determinar el modo:

D: 2, 3, 5, 8, 8, 8, 9, 11

¿cuál es el modo?

¿cuál es la frecuencia?

60. Dada la siguiente tabla determinar modo y frecuencia:

X Y

10 - 19 5

20- 29 10

30-39 20

40-49 60



50-59 30

60-69 10

61. Observando el tipo de alquiler de en 390 viviendas da la capital federal se ha obtenido la siguiente

distribución:

Tipos de alquiler Fi

0-500 20

500-1000 140

1000-1500 180

1500-2000 40

2000-2500 10

62. En una empresa se realizaron 25 ventas en un día cuyos montos son:

106,1 116,9 114,4 110,4 128,9

116,1 101,2 103,4 111,3 118,3

108,4 110,0 124,1 112,2 107,8

114,8 114,7 105,8 113,9 117,4

122,4 115,2 119,8 111,4 110,8

a. Se pide Calcular el modo. La variable es el monto de ventas.

63. Hallar la frecuencia correspondiente al tercer intervalo:

Clases F i

4-6 4

6-10 5

10-16 ?

16-20 3

20-30 1

64. Cinco compañías de seguro tienen los siguiente coeficientes de gastos de administración calculados sobre

el total de primas recaudadas, para cada una de ella

Coeficientes de gastos de administración

Primas recaudadas (en miles de pesos)

A: 12% 112

B: 14% 118

C: 20% 97

D:18% 64

E: 16% 75



a. Hallar el coeficiente medio de gastos para las 5 compañías.

65. Dada la siguiente tabla calcular modo y media aritmética

X F (frecuencias)

10 - 19 5

20 - 29 10

30 - 39 20

40 - 49 60

50 - 59 30

60 - 69 10

66. Un estadista realizó un estudio sobre el promedio de las edades de los miembros de diversos partidos que

fueron dispuestos a la cámara de los comunes en su primera elección en el período 1918-1935

De los tres partidos estudiados, tomaremos los liberales cuya distribución de frecuencias relativas se encuentra e indica en el cuadro.

En este caso la variable de investigación fue la edad de los diputados.

Edad (años)

PM Cantidad de diputados Fi

Pm * f i

21-25 23 2,6 59,8

26-30 28 7,7 215,6

31-35 33 15,3 504,9

36-40 38 15,0 570,9

41-45 43 18,1 778,3

46-50 48 14,3 684,4

51-55 53 15,3 810,9

56-60 58 6,6 382,9

61-65 63 4,2 264,6

66-70 68 0,3 20,4

71-75 73 0,3 21,9

76-80 78 0,3 23,4

HALLAR:

a. media aritmética b. modo c. mediana

67. Utilizar la relación de Pearson para calcular el modo de la siguiente distribución: D= 3, 3 , 4, 6, 7, 8, 9

68. La siguiente tabla muestra la distribución de la carga máxima en toneladas cortas, (1 tonelada corta=2000 libras), que soportan ciertos cables producidos por una compañía. Determinar la media de la carga máxima.



Máximo de carga

(toneladas cortas)

Número de cables

9,3 - 9,7 2

9,8 -10,2 5

10,3 - 10,7 12

10,8 -11,2 17

11,3 -11,7 14

11,8 -12,2 6

12,3 -12,7 3

12,8 -13,2 1

TOTAL 60

69. Hallar media aritmética para los datos de la siguiente tabla:

X 462 480 498 516 534 552 570 588 606 624

F 98 75 56 42 30 21 15 11 6 2

70. La siguiente tabla muestra la distribución de los diámetros de las cabezas de los remaches fabricados por

una compañía. Calcular el diámetro medio.

Diámetro (pulgada) Frecuencia

0,7247 - 0,7249 2

0, 7250 - 0,7252 6

0,7253 - 0,7255 8

0,7256 - 0,7255 15

0,7259 - 0,7261 42

0,7262 - 0,7264 68

0,7265 - 0,7267 49

0,7268 - 0,7270 25

0,7271 - 0,7273 18

0,7274 - 0,7276 12

0,7277 - 0,7279 4

0,7280 -0,7282 1

TOTAL 250

71. Hallar la media y mediana de los siguientes números:

a. 5, 4, 8 , 3, 7, 2, 9 b. 18,3 ; 20.6 ; 19.3 ; 22.4 ; 20.2 ; 18.8 ; 19.7 ; 20.0

72. Con la siguiente distribución de frecuencias, donde la variable es la cantidad de hijos por mujer, calcular el promedío aritmentico o la cantidad media de hijos por mujer:



Xi Fi

1 3

2 4

3 7

4 4

5 2

73. Dado el siguiente cuadro donde la variable es el "monto de venta" en pasos, calcular el promedio

aritmético o monto mínimo por ventas:

X= monto de ventas Xi Fi Xi * Fi

100-105 102,5 3 307,5

105-110 107,5 4 430

110-115 112,5 9 1012,5

115-120 117,5 6 705

120-125 122,5 2 245

125-130 127,5 1 127,5

74. Se ha observado la vida de 84 lamparas de luz obteniéndose la siguiente distribución:

Vida en horas Número de bombitas

0-500 4

500-1000 8

1000-1500 12

1500-2000 16

2000-2500 20

2500-3000 24

a. Calcular el modo b. La media aritmética c. Graficar un histograma y un polígono de frecuencia .

75. Calcular la desviación media de las siguientes observaciones tabuladas

X Xi Fi

10-14 12 2

15-19 17 8

20-24 22 6

25-29 27 12

30-34 32 7

35-39 37 6

40-44 42 4



45-49 47 3

50-54 52 1

55-59 57 1

Pregunta 1.

La siguiente tabla representa las ventas (en millones) de bolsas de papa por

semana que vende “La papa feliz”

Intervalo Frecuencia relativa

0.1 < x ≤ 0.3 0.085

0.3 < x ≤ 0.5 0.045

0.5 < x ≤ 0.7 0.290

0.7 < x ≤ 0.9 0.404

0.9 < x ≤ 1.1 0.176

El porcentaje de ventas de cuando mucho 0.7 millones de ventas es:

Pregunta 2:

La siguiente tabla muestra una lista de varios indicadores del crecimiento

económico a largo plazo en Filipinas. Las proyecciones son hasta el año 2010

Indicador Económico Cambio Porcentual Inflación 5.3 Exportaciones 3.7 Importaciones 2.8 Ingreso Real disponible 3.9 Consumo 2.4 PNB real 2.9 Inversión (residencial) 3.2 Productividad (fabricación) 5.1 La mediana del cambio porcentual es:

Pregunta 3:

Una muestra de 10 baleros presentan los siguientes diámetros en cm:

9.5 11 11 10 10.5 9 10.5 10.5 10.5 9.5

La desviación estándar es:

Pregunta 4:

La siguiente tabla, se refiere a la prueba de un medicamento contra el dolor que

realizo Smith&Smith Pharmaceuticals, Inc. Calcula la probabilidad de que una

persona haya usado el medicamento o que estuviera en el grupo de control



Medicamento Placebo Grupo de control total

Dolor de muelas 85 70 24 179

Sin dolor 632 416 402 1450

Total 717 486 426 1629

Pregunta 5:

En una línea de producción se tienen dos dispositivos A y B en paralelo, el

sistema funciona si alguno de los dos funciona. La probabilidad de que funcione A

es de 0.92 y la de que funcione B es de 0.87. La probabilidad de que el sistema

funcione es:

Pregunta 6:

Se tienen 5 camisas rojas, 8 azules y 9 blancas. Se escogen aleatoriamente 4

camisas. La probabilidad de que sean 1 roja, una azul y 2 blancas es:

Pregunta 7:

Un estudio tiene como resultado la siguiente tabla de la relación de compra de

corbatas por categoría y tamaño.

Grande Mediana Chica Total

Vestir 27 79 17 123

Sport 18 92 38 148

Lujo 6 7 6 19

Total 51 178 61 290

Sí se escoge aleatoriamente a una camisa, ¿qué probabilidad hay de que la

corbata sea mediana dado que es de vestir?

Pregunta 8:

Un examen tiene las siguientes probabilidades de contestar correctamente las

preguntas

Pregunta Probabilidad

0 0 .05 1 0.18 2 0.33 3 0.30



4 0.12 5 0.02

La calificación esperada para este examen es:

Pregunta 9:

La función de densidad de probabilidad para la emisión de partículas alfa está

dada por f(x) = 0.25 e(-0.25x), en el intervalo x > 0 y f(x) = 0, para cualquier otro

valor de x.

El valor esperado de x es:

Pregunta 10:

Una compañía que produce llantas para camión sabe por experiencia que 16%

de sus llantas tienen imperfecciones y se deben clasificar como de segunda. Entre

20 llantas seleccionadas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean de

segunda?

Pregunta 11:

Sea X la cantidad de fracturas en la superficie de una caldera de cierto tipo, una

muestra, seleccionada al azar, presenta un promedio de 3 fracturas por caldera.

Calcula la probabilidad de que en una caldera existan exactamente 4 fracturas.

Pregunta 12:

Una fábrica tiene una torre con carbón activado para absorber contaminantes.

Una muestra de 38 mediciones reportó una media de 145 kg de contaminantes

removidos con una desviación estándar de 18.

El intervalo de confianza del 95% para la cantidad de contaminantes removidos

es:

Pregunta 13:

En respuesta a muchas quejas respecto a la variación en el voltaje en una zona

Industrial, el director general del servicio postal inicia una investigación preliminar.

Una muestra de 14 mediciones tiene como resultado una desviación estándar de

18 volts.

El intervalo de confianza del 95% para la desviación poblacional es:



Pregunta 14:

Una empresa desea estimar la proporción de hogares en los que se compraría

su producto. Se seleccionó una muestra de aleatoria de 800 hogares. Los

resultados indican que, 172 de los hogares comprarían el producto.

El intervalo de confianza del 90% de la proporción poblacional de hogares que

comprarían el producto es:

Pregunta 15:

Se registra la producción diaria promedio de cierto producto en una planta. El

registro se llevo a cabo durante 54 días y se obtuvo una media de 1350 litros con

una desviación estándar de 260 litros. Prueba la hipótesis a un nivel de

significación de 5%, de que la producción media diaria sea de 1400 litros.

H₀: µ = 2500, estadística de prueba z = -1.12 No Rechazo H₀* Pregunta 16:

En una temporada de vacaciones, se asegura que los hoteles estarán ocupados

a un 88%. Se encuentra que en 34 hoteles se tuvo un lleno del 84%. ¿Qué

conclusión puede usted obtener acerca de la capacidad de ocupación? realiza la

prueba a un nivel de significancia del 5%

o H₀:P=0.85 estadística de prueba z=-0.47 No Rechazo H₀*

o H₀:P=0.85 estadística de prueba z=0.47 Rechazo H₀*

Pregunta 17:

Se estudia el rendimiento de dos tipos de valores, el valor tipo A y el valor tipo

B. El rendimiento de estos sólo se conoce hasta después de la venta. Se tienen

registradas 30 tasas de rendimiento anterior para valores tipo A y 36 para valores

tipo B. De estas muestras se obtuvieron las estadísticas en la tabla siguiente:

Tipo A Tipo B

Media 7.2% 8.5%

Varianza 1.58 1.89



¿Presentan estos datos suficiente evidencia de que existe una diferencia en el rendimiento de ambos valores? Utiliza un nivel de confianza de 0.1

o H₁: µ₁-₂≠0, estadística de prueba z=-1.9 Rechazo H₀*

o H₁: µ₁-₂= 0, estadística de prueba z=-1.9 Rechazo H₀*

o H₁: µ₁-₂<0, estadística de prueba z=-1.9 No Rechazo H₀*

Pregunta 18:

El administrador de un hospital conjetura que el porcentaje de cuentas

hospitalarias no pagadas aumentó durante el año anterior. Los registros del

hospital muestran que 52 cuentas de 1148 personas admitidas en abril no habían

sido liquidadas después de 90 días. Este número es similar a las 36 cuentas de

1102 personas admitidas durante el mismo mes del año anterior. ¿Con estos

datos hay evidencia suficiente que indique un incremento en dicho porcentaje?

realiza la prueba con alfa =0.05

o H₁:P₁-P₂≠0 estadística de prueba z = 2.4, Rechazo H₀*

o H₁:P₁-P₂<0 estadística de prueba z = - 2.4, No Rechazo H0*

Pregunta 19:

Se requiere, para asegurar un funcionamiento uniforme, que la verdadera

desviación estándar del punto de ablandamiento de cierto tipo de asfalto sea a lo

sumo de 0.4°C. Una muestra de 8 especímenes reporta una desviación estándar

de 0.52°C. Se puede pensar que la desviación es >0.58 con alfa =0.1

o H₁: σ² > 0.25 estadística de prueba 2=12.11, No Rechazo H₀*

o H₁: σ² ≠ 0.25 estadística de prueba 2=12.11, Rechazo H₀*

Pregunta 20:



Un estudio sobre la carga de masa (x) de DBO (kg/ha/d) y la eliminación de

masa (y) de DBO (kg/ha/d) presentan los siguientes resultados:

Carga de masa x Eliminación de masa y x² y2 xy

9 5 81 25 45

11 7 121 49 77

14 8 196 64 112

17 9 289 81 153

28 14 784 196 392

31 24 961 576 744

36 19 1296 361 684

39 29 1521 841 1131

106 73 11236 5329 7738

143 88 20449 7744 12584

suma =434 276 36934 15266 23660

La recta de regresión es:

Pregunta 21:

En el caso de comparación de varios niveles para un factor, en el que no se puede

suponer normalidad ni varianzas iguales, la prueba adecuada para ver si hay

diferencias es:

o Kruskall – Wallis*

o Prueba de Rangos con Signo de Wilcoxon*

o Prueba de suma de Rangos de Wilcoxon*

o Mann – Whitney*



Actividad integradora 1

Instrucciones:

Para practicar todos los conceptos relevantes del módulo 1, deberás realizar los siguientes ejercicios, los cuales te permitirá comprender mejor los conceptos de probabilidad y estadística, así como la solución de problemas de probabilidad condicional, independencia de eventos, permutaciones, combinaciones y distribuciones de probabilidad y variables aleatorias.

1. En un centro de distribución de mercancía perecedera, como frutas, verduras, lácteos y cárnicos, la mercancía se divide en dos grandes rubros: mercancía refrigerada, donde la temperatura está entre los -5 y los cero grados centígrados y mercancía congelada, donde la temperatura va desde los -25 hasta los -10 grados centígrados.

El gerente del centro de distribución ha decidido realizar una muestra para inventariar la mercancía y decide obtener 5 cajas de productos de los almacenes, tanto de mercancía refrigerada como de mercancía congelada.

a. Defina el espacio muestral para el tipo de mercancía (refrigerada o congelada) obtenida por cada caja de inventario tomada.

b. Elabora la distribución de probabilidad para la cantidad de cajas de mercancía congeladas obtenidas para el inventario.

c. Calcula: i. Media ponderada. ii. Moda. iii. Mediana. iv. Amplitud Total. v. Desviación media. vi. Varianza. vii. Desviación estándar.

d. Grafique la distribución de probabilidad. e. Responde a las siguientes preguntas.

i. Cada evento de tomar cajas de los almacenes, ¿representan eventos dependientes o independientes? Explique.

ii. ¿Cuál es la probabilidad de que se tomen dos cajas de mercancía congelada?

iii. Suponiendo que las primeras dos cajas que hayan sido tomadas resultaron ser mercancía refrigerada, ¿cuál es la probabilidad de que en las siguientes tres cajas tomadas, una de ellas sea de mercancía congelada?

2. El gerente del centro de distribución asegura que cada camión de entrega va a un único destino, por lo que nunca se envía mercancía en un camión a dos destinos distintos. Un par de embarques realizados en el centro de distribución llevan mercancías para dos destinos distintos:

Camión 1, destino A: 10 cajas de mercancía congelada, 14 cajas de mercancía refrigerada.

Camión 2, destino B: 20 cajas de mercancía congelada, 4 cajas de mercancía



refrigerada.

Ambos embarques sufrieron un accidente durante el trayecto y únicamente regresó una caja de mercancía. El gerente se pregunta:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja regresada sea mercancía de producto refrigerado?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que dado que es una caja de mercancía de producto refrigerado, ésta haya sido enviada al destino B? Justifique su respuesta matemáticamente y gráficamente.


Instrucciones:

Para practicar todos los conceptos relevantes del módulo 2, deberás realizar los siguientes ejercicios, los cuales te permitirá comprender mejor los conceptos de distribuciones de probabilidad, así como a las diferentes distribuciones de probabilidades discretas y continuas que revisamos durante este módulo.

1. En un centro de distribución localizado en las afueras de Monterrey, destinado para la recepción de mercancía y su distribución a las tiendas de una importante cadena de tiendas de autoservicio a nivel nacional. Se sabe que cada hora llegan 10 distintos camiones de diferentes proveedores con mercancía que es enviada a las tiendas. Se sabe además, que en promedio, dos proveedores tienen problemas con la factura que se entrega en el centro de distribución, ya sea porque las cantidades de mercancía no coinciden o bien, porque los precios de las mismas no concuerdan con lo pactado en el contrato con el proveedor. Con base en esta información, resuelva los siguientes ejercicios:

a. Diseña la distribución de probabilidad correspondiente. b. Dibuja la gráfica que representa la distribución de probabilidad c. El gerente revisa con el supervisor de turno la recepción de facturas y el

supervisor le indica que generalmente más de 8 proveedores con problemas de factura, ¿qué tan probable es que lo que comenta el supervisor es correcto?, ¿debería creerle?, ¿por qué?

d. Con base en lo que el gerente descubrió, le pide al supervisor que revise nuevamente las facturas le apuesta que son menos de tres los proveedores con algún problema de factura. ¿Deberá aceptar la apuesta el supervisor? Explique sus conclusiones.

2. En el centro de distribución recientemente se ha instalado un robot automatizado que permite enviar la mercancía a través de una banda transportadora hacia su ubicación sin necesidad de utilizar una persona. Se sabe que la máquina transportadora puede distribuir 200 cajas por minuto y que en promedio, equivoca el destino de cinco cajas durante la misma hora.

a. Diseña la distribución de probabilidad correspondiente. b. Dibuja la gráfica que representa la distribución de probabilidad c. En horas recientes, el supervisor se ha quejado de que varias cajas han

llegado al destino equivocado. El gerente revisa las ubicaciones y se da



cuenta que 18 cajas han llegado a una ubicación errónea en la última hora. ¿Es probable que la máquina tenga alguna falla? Explique.

d. Después de realizar unas adecuaciones al robot automatizado de distribución, el gerente pide al supervisor monitorear la llegada de las cajas a ubicaciones erróneas. Dado el muestro de las últimas ocho horas, el supervisor explica que en promedio han llegado erróneamente una o menos cajas a su destino. ¿Es probable que se haya logrado una mejora en la eficiencia de la máquina después de los últimos ajustes? Explique.

3. El gerente del centro de distribución desea realizar un estudio acerca de la calidad en el servicio a las tiendas. Dicha calidad en el servicio se mide por la cantidad de mercancía equivocada, ya sea en cantidad o en tipo de mercancía, que es enviada a cada tienda. Toma una muestra aleatoria de 20 tiendas y analiza las diferencias entre lo que solicitaron y lo que fue enviado. Anotó los datos en la siguiente tabla:


Instrucciones:

Para practicar todos los conceptos relevantes del módulo 3, deberás realizar los siguientes ejercicios, los cuales te permitirá comprender mejor los conceptos de estadística descriptiva, así como la solución de problemas de estimación puntual y de intervalo.

1. Una compañía de distribución y venta de mercancía al menudeo, desea abrir un centro de distribución en el centro del país y necesita determinar la capacidad en kilos que deben de tener los rack a construir para que no ocurra un accidente por el peso de la mercancía que se almacenará. La compañía tiene un centro de distribución similar en el norte del país y realiza un estudio acerca del peso de las tarimas que contienen la mercancía que se almacenará en el nuevo centro. Estos son los resultados:

Peso en kilos de las tarimas en el centro de distribución.

419.33 1254.53 874.37 1160.64 1440 1081.34 1244.16 388.8 544.32 1472.26

224 1216.51 988.42 426.82 276.48 870.91 480 276.48 299.52 245.23

256 1254.53 1254.53 311.04 345.6 991.87 778.75 240 322.56 208.08

427.68 1140.48 518.4 322.56 967.68 1167.36 359.42 1575.94 322.56 415.87

1533.48 1216.51 840 230.4 991.87 459.65 810 1575.94 322.56 223.78

1254.53 1254.53 840 233.28 397.88 273 818.5 1078.27 224 290.3

988.42 1254.53 518.4 220.32 439.04 224 622.08 221.18 1382.4 241.92

404.93 266.11 1085.76 233.28 943.49 1237.5 912.38 1391.04 224 912.38

a. Obtén un intervalo de clase sugerido. b. Organiza los datos en una distribución de frecuencias. c. Obtén la media aritmética y desviación estándar para datos agrupados.



¿Son iguales a la media y desviación estándar de los datos sin agrupar? Justifica tu respuesta.

d. Elabora un histograma. e. Elabora un polígono de frecuencias para distribución de frecuencias. f. Elabora un polígono de frecuencias acumulado del tipo “menor que”.

2. Se tomó una muestra aleatoria de 10 de las tarimas y se obtuvieron los siguientes resultados:

Peso en kilos de las tarimas

280

1244.16

420

991.87

1280

311.04

345.6

345.6

557.57

1119.74

a. Utilizando la fórmula de combinaciones, ¿cuántas muestras de tamaño cuatro son posibles?

b. Establece una distribución muestral con todas las muestras posibles de tamaño cuatro y calcula sus medias

c. Compara la media de la población y la media de las medias muestrales. d. Compara la dispersión en la población con la distribución de medias

muestrales.

3. Compara los resultados de la muestra de medias del ejercicio 3 con los resultados obtenidos en la distribución de frecuencias del ejercicio 2. Explica tus impresiones acerca de las comparaciones.


Instrucciones:

Para practicar todos los conceptos relevantes del módulo 4, deberás realizar los siguientes ejercicios, los cuales te permitirá comprender mejor los conceptos de inferencia estadística tanto en una como en dos poblaciones, y los conceptos de análisis de datos discretos.

1. En el centro de distribución en donde se había instalado un robot automatizado para enviar la mercancía a través de una banda transportadora hacia su ubicación



sin necesidad de utilizar una persona, se sabía que la máquina transportadora puede distribuir 200 cajas por minuto y que en promedio, equivoca el destino de cinco cajas durante la misma hora, con una desviación estándar de 1 caja. Recientes mejoras y la instalación de una nueva versión del software ha permitido elevar el número de cajas a 250 cajas en donde la media para los errores en el destino de las cajas es de 7 por hora como una desviación estándar de 2.5 cajas por hora

a. Plantea la hipótesis nula y la alternativa b. ¿Cuál es el riesgo alfa? c. Enuncia la regla de decisión d. Con nivel de significancia de 0.10, ¿se puede decir que ha variado el

número de errores en el destino de las cajas dada las modificaciones y la implantación de una nueva versión del software? Justifica tu respuesta.

2. Una compañía de tiendas de autoservicio tiene dos centros de distribución de mercancía. Se ha establecido un programa a nivel compañía en donde se espera estandarizar procesos y obtener resultados similares en ambos centros de distribución. Para medir el resultado de la estandarización de procesos, se tomó el proceso de surtido a tienda como un ejemplo en las dos compañías. En el centro de distribución del norte se tiene una merma de 15% y en el centro de distribución del centro de la república se tiene una merma del 12%. Utilice un nivel de significado del 5%.

a. ¿El centro de distribución del norte presenta un desempeño significativamente menor, en términos de merma, que su similar en el centro?

b. ¿La estandarización de procesos fue un éxito? Justifica tu respuesta.

Instrucciones

La Dra. Rodríguez es profesora de estadística en Universidad Tec Milenio. Cada semestre enseña una sección de Estadística básica. El curso se evalúa con tres exámenes que valen 60 puntos cada uno; dos trabajos en computación cada uno con un valor de 5 puntos y cinco tareas para realizar en casa que valen 2 puntos cada una. De esta forma hay un total posible de 200 puntos.

La Dra. Rodríguez indicó que si un estudiante obtiene 90% o más de los posibles 200 puntos, recibirá una calificación A. Los estudiantes que obtengan más de 80% de los puntos recibirán una B, etc. Si las calificaciones son bajas, moverá la escala hacia abajo, pero nunca hacia arriba. Por último, no dará a un estudiante una calificación aprobatoria si no obtiene al menos 50% del total posible de puntos. A continuación se presentan las puntuaciones obtenidas en el último semestre.

Puntuaciones obtenidas en el ultimo semestre

112 149 162 153 145

162 170 121 128 151

167 143 165 159 187

126 154 120 167 175



135 179 193 155 90

170 95 163 139 170

114 189 131 163 143

177 147 142 132 184

122 156 153 167 156

131 184 129 165 134

152 109 136 175 134

142 147 146 139 113

118 184 73 160 188

158 143 170 162 168

165 106 169 158 162

1. Obtén un intervalo de clase sugerido. 2. Organiza los datos en una distribución de frecuencias. 3. Obtén la media aritmética y desviación estándar para datos agrupados.

¿Son iguales a la media y desviación estándar de los datos sin agrupar? Explica.

4. Elabora un polígono de frecuencias para la distribución de frecuencias. 5. Elabora un polígono de frecuencias acumulado del tipo “menor que”.

La Dra. Rodríguez, en un intento por revisar si la dificultad del curso era la adecuada o no, decidió revisar nuevamente los exámenes de algunos de sus alumnos. En su escritorio encontró los exámenes, trabajos y tareas de los siguientes alumnos y obtuvo su calificación final:

Alumno Calificación

María Rodríguez

163

David Acosta

175

Antonio Martínez

112

Sergio Rodríguez

118

Diana Campos

159

Cristina Méndez

145

Eduardo Maya

162

1. Utilizando la fórmula de combinaciones, ¿cuántas muestras de tamaño cuatro son



posibles? 2. Establece una distribución muestral con todas las muestras posibles de tamaño

cuatro y calcula sus medias. 3. Compara la media y la dispersión de la población de los estudiantes del semestre

anterior y la media y la dispersión de las medias muestrales. Explica tu hallazgo.

De semestres anteriores, la Dra. Rodríguez sabe que el promedio de puntos es de 178 puntos y viendo los resultados anteriores, solicitó una revisión de las calificaciones del último semestre a su asistente.

1. Obtén una muestra aleatoria de n = 15 de las calificaciones del último semestre y calcula un intervalo de confianza del 99% para la media de las calificaciones de la población.

2. ¿Es posible que la dificultad del curso haya aumentado en el último semestre? Realiza una prueba de hipótesis con un nivel de significancia del 5%.

Presenta los resultados de tu actividad y anexa:

Las tablas de calificaciones seleccionadas aleatoriamente. Las distribuciones de frecuencia generadas. Los histogramas y polígonos obtenidos. Los cálculos de los estimadores. Las pruebas de hipótesis solicitadas.

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