Probabilidad Condicional-

Probabilidad Total- Teorema de Bayes

De un grupo de 50 empleados, 30 tiene una antigüedad de más de 10 años. Se eligen dos empleados al azar. Calcular la probabilidad de

que los dos tengan una antigüedad menor que 10 años.

P(A B) = P(A).P(B/A)

P(A B) = P(A).P(B/A)

A = { El 1er empleado tiene menos de 10 años de antigüedad}

B= { El 2do empleado tiene menos de 10 años de antigüedad}

b) Con reposición = 20/50. 20/50

Observamos que Si A y B son independientes entonces P(B/A) = P(B) y

además

P(A B) = P(A).P(B)

a) Sin reposición = 20/50.19/49

Dos sucesos A y B son independientes cuando

la ocurrencia de A no tiene influencia en la

ocurrencia de B.

Dos sucesos son dependientes cuando la

ocurrencia o presencia de A es requisito para la presencia

u ocurrencia de B

Teorema del producto

de probabilidades

P(A ∩ B) = P(A).P(B/A)

donde / se lee:

“sabiendo que A ocurrió”

“Un fábrica de tejidos dispone de 6 máquinas

nuevas y 8 máquinas antiguas. De las 6

máquinas nuevas, 3 son inglesas, 1 italiana y 2

son nacionales y de las 8 máquinas antiguas 4

son inglesas ,3 italianas y una sola es nacional.

a) Suponemos que un obrero elige una de

las máquinas nuevas para realizar un trabajo

¿cuál es la probabilidad que la máquina elegida

sea nacional?

Sean dos sucesos A y B asociados a un experimento.

Del teorema del producto de probabilidades,

Se define probabilidad condicional del suceso A si ocurrió B, a la expresión:

Con P(B) distinta de cero.

)(

)()/(

BP

BAPBAP

( )( / )

( )

P A BP B A

P A

Análogamente, con P(A)

distinta de cero,

Algunos casos sobre la Probabilidad

Condicional P(A/B) y la P(A)

A B

Si A B = A P(A | B) = = P(A) P(A B )

P(B)

P(A)

P(B)

A B Si A B = B P(A | B) = = = 1

P(A B )

P(B)

P(B)

P(B)

A

B

Si A B = P(A | B) = = = 0 P(A B )

P(B)

P()

P(B)

A

B Si A B P(A | B) =

P(A B )

P(B)

P(A/B) P(A)

P(A/B) P(A)

P(A/B) P(A)

No existe conclusión en este caso

P(A/B) P(A)

1 2 1 3 1 2 1 2 1( ). ( / ). ( / , ).... ( / , ,... )n nP A P A A P A A A P A A A A

1 2( ......... )nP A A A

Ejemplo1 : A B

Supongamos que un mecanismo está formado por dos

componentes en serie. Cada componente tiene una

probabilidad p de no funcionar. ¿ Cuál es la probabilidad de

que el mecanismo funcione, sabiendo que ambas

componentes trabajan independientemente?

¿Y si el sistema estuviera conectado en paralelo?

A

B

La probabilidad de que un artículo tenga un defecto tipo A ó tipo B es ¾.

La probabilidad de que dicho artículo no tenga defectos tipo B es 2/3 y la probabilidad de que no tenga defectos tipo A ó no tenga defectos tipo B,

es 5/6.

Hallar la probabilidad de que el artículo no tenga defectos tipo B sabiendo que tiene defectos tipo

A.

Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:

a) Carlos, con una probabilidad del 60%

b) Juan, con una probabilidad del 30%

c) Luis, con una probabilidad del 10%

En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente:

a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%.

b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%.

c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.

En definitiva, ¿cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?:

Teorema de la Probabilidad Total o de la

Probabilidad Completa

B1 B2

B3 B4

AB4

AB3

AB1

AB2

B1,B2,....,Bn

representan

una partición de

S, es decir:

A

SBn

i

i

1

ji BB para i j

( ) 0iP B Para todo i

1 2 3Si A S A= A B A B A B ...... A Bn

1 2 3P(A) = P A B P A B P A B ...... P A Bn

n

i ii BPBAPAP1

./

Ejemplo:

A, B y C licitan por un contrato para la construcción de un

puente. La probabilidad de que A obtenga el contrato es el triple

de que lo obtenga B, y las probabilidades para B y C son

iguales. Si lo obtiene A, elegirá a E como subcontratista con

probabilidad 0,8. Si lo obtiene B o C será elegido E con

probabilidad 0,4 y 0,1 respectivamente.

Antes de ser concedido el contrato, ¿Cuál es la probabilidad de

que E obtenga finalmente el subcontrato?

Permite calcular una probabilidad condicional, cuando la condición A se calcula con una probabilidad Total.

A partir de las probabilidades a priori, también llamadas probabilidades de las hipótesis, (que suman 1, por ser los Bi una partición del espacio muestral S,) se vuelve a calcular una probabilidad “a priori” pero ahora con una información adicional: ocurrió el suceso A.

Es decir, determinaremos las probabilidades condicionales

1

( ) ( / )( / )

( ) ( / )

j j

j n

i i

i

P B P A BP B A

P B P A B

jP(B /A) 1,2,......,j n

AP

ABPABP

j

j

/

Tres industrias suministran microprocesadores a un fabricante de equipos de

telemetría. Todos se elaboran supuestamente con las mismas especificaciones. No obstante,

el fabricante ha probado durante varios años los

microprocesadores, y los registros indican la siguiente

información.

Instala-

ción

Provee-

dora

Propor-

ción de

microp.

suminis-

trados

Propor-

ción de

defec-

tuosos

1 0,15 0,02

2 0,8 0,01

3 0,05 0,03

El fabricante ha interrumpido las pruebas por causa de los costos

involucrados y puede ser razonable suponer que la proporción

defectuosa y la mezcla de inventarios son las mismas que durante

el período en el cual se efectuaron los registros. El director

selecciona un microprocesador al azar y descubre que es

defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que dicho artículo sea del

proveedor 3?

1-El 70 % de los pacientes de un hospital son mujeres y el 20% de ellas son fumadoras. Por otro lado el 40 % de los pacientes hombres son fumadores. Se elige al azar un paciente del hospital.

a)¿Cuál es la probabilidad de que sea fumador?

b) Si se elige un paciente al azar y resulta ser fumador , ¿cuál es la probabilidad qué sea mujer?

2-Suponga que los chips de un circuito integrado son probados con cierto instrumento y la probabilidad de que se detecten los defectuosos, sabiendo que realmente lo es 0,99. Por otro lado hay una probabilidad de 0,95 de que un chip sea declarado como bueno si efectivamente lo es. Si el 1% de todos los chips son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que un chip que es declarado como defectuoso sea en realidad bueno?

1-¿Cuándo dos sucesos son independientes?

2-Determine la diferencias entre sucesos excluyentes e independientes?

3-¿Cómo se determina una probabilidad condicional?

4-Explique las diferencias entre una probabilidad condicional y la probabilidad de la intersección de dos sucesos.

5-¿A qué llamamos probabilidad total ó probabilidad compuesta?

6-¿Qué ocurre en una probabilidad compuesta con el espacio muestral?

7-¿En qué caso se debe aplicar el Teorema de Bayes y que significa dicha probabilidad?