ProbabilidadYapa

Probabilidad y otras hierbas

Florencia Hnilo

Marzo de 2020

Florencia Hnilo 1/ 42

ProbabilidadYapa

¿Qué vamos a hacer?

1 ProbabilidadCosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

2 Yapa

Florencia Hnilo 2/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

¿Qué es la probabilidad? Hay dos interpretaciones:

Frecuencia de ocurrencia.

Creencia subjetiva sobre un evento de una vez.

En ambos casos, notar que el concepto está ligado a laincertidumbre.Un modelo probabiĺıstico es entonces una descripción de unasituación incierta.

Florencia Hnilo 3/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Tengo dos monedas normales. ¿Cuál es la probabilidad de quesalgan dos caras?

Florencia Hnilo 4/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

P(E ) =N(E )

N(S)

Florencia Hnilo 5/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Nombres

Conjunto S

Elemento E

N(S), N(E)

P(E)

Diagrama de árbol

Conjunto vaćıo: ∅ ó {}

Florencia Hnilo 6/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Las leyes de probabilidad especifican qué tan probable escualquier resultado, asignando un número P(E) a cada evento E.Los axiomas de probabilidad son:

1 P(E) ≥ 02 P(E ∪ A) = P(E) + P(A) si E y A son eventos disjuntos.3 P(S)=1

Notar que de 2 y 3 se deriva que P(∅)=0.

Florencia Hnilo 7/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Verdad vacua o vaćıa

¿Es cierto que ∅ ⊂ {1, 2, 3}?

Recordar que A ⊂ B significa que si x ∈ A, entonces x ∈ B.

Florencia Hnilo 8/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Verdad vacua o vaćıa

¡No hay nada que chequear!Es lo mismo que “todos los médicos en esta habitación sonargentinos”.

Florencia Hnilo 9/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Ejercicio 1

¿Cuál es la probabilidad de adivinar un código de 4 d́ıgitos?

¿Cuántos números de 4 d́ıgitos existen N(S)? ¿Cuántas respuestascorrectas N(E)?F́ıjense que estamos contando, counting.

Florencia Hnilo 10/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Ejercicio 2

¿De cuántas formas distintas se puede ordenar la palabra“PILA”?... ¿Qué estoy preguntando acá? El número de órdenesposibles, de permutaciones.

N(S)=4.3.2.1=4!=24

Florencia Hnilo 11/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Ejercicio 3

¿De cuántas formas puedo ordenar 4 de las letras de “FORMULA”,encontrando incluso distintos ordenamientos de las mismas letras?¿7!? NO

Tenemos que elegir 4 elementos de 7.

P(7,4)=7.6.5.4= 7!3!P(n,k)= n!(n−k)!

Florencia Hnilo 12/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Apéndice

¿Cuál es el factorial de 0?

1

¿Por qué?

Florencia Hnilo 13/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Ejercicio 4

¿De cuántas formas puedo armar un equipo de 3 personas de 5disponibles?Este es un problema ligeramente distinto.Veamos... si me importa el orden, ¿tengo más o menos resultadosque si no me importa el orden?

Florencia Hnilo 14/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Ejercicio 4

Si me importa el orden: 5.4.3 = 5!2! (cantidad de permutaciones)O sea hay 60 formas de elegir tres personas, viendo incluso losordenamientos de las mismas personas.Si no me importa el orden (¿por qué lo haŕıa, si solo queŕıa armarun grupo?), tengo que sacar los reordenamientos: 3.2.1=3!Entonces...

5!

2!3!=

n!

(n − k)!k!=

(nk

)Y esto, queridos alumnos, es una combinatoria.

Florencia Hnilo 15/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Resumiendo

Permutación → me importa el orden, más resultados:AB, BA, AC, CA, BC, CB

Combinatoria → no me importa el orden, menos resultados:AB, AC, BC

Florencia Hnilo 16/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Para practicar

Problema clásico: ¿de cuántas formas puedo reordenar la palabra“MISSISSIPPI”?La respuesta está en Internet, pero intenten resolverlo ustedes.Pista: ¿son distintas las “S” entre śı?

Florencia Hnilo 17/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Probabilidad condicional

P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)

Ejemplo: el porcentaje de hombres alcohólicos es 2,25%. ¿Cuál esla probabilidad de que si me topo con un hombre sea alcohólico?

Florencia Hnilo 18/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Probabilidad condicional

Ejemplo: el porcentaje de hombres alcohólicos es 2,25%. ¿Cuál esla probabilidad de que si me topo con un hombre sea alcohólico?

P(A|H) =?P(A ∩ H) = 0.025P(H) = 0.5P(A|H) = 0.02250.5 = 0.045

Florencia Hnilo 19/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

El problema del falso positivo

Vas al doctor a chequear si tenés una enfermedad. Hay un 5% deprobabilidad de un falso positivo (o sea, estás sano pero te dicenque estás enfermo).Pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que tengas la enfermedaddado que te dio positivo?

Florencia Hnilo 20/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

El problema del falso positivo

Te dan dos datos más:

1 de cada 100 personas está enferma

La tasa de falso negativo es de 10% (o sea que te dicen queestás sano cuando estás enfermo).

¿Son relevantes esos datos?

Florencia Hnilo 21/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

El problema del falso positivo

Florencia Hnilo 22/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

El problema del falso positivo

Florencia Hnilo 23/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

El problema del falso positivo

Entonces, si te dio positivo el test, ¿qué probabilidad tenés de estarenfermo? (¿Qué estoy preguntando?)

Aproximadamente 1/6

¿Por qué aproximadamente?

Florencia Hnilo 24/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Regla de Bayes

De la probabilidad condicional obtengo:

P(A|B).P(B) = P(A ∩ B) (1)

de igual modo:P(B|A).P(A) = P(A ∩ B) (2)

Igualo (1) y (2):

P(A|B).P(B) = P(B|A).P(A)

P(A|B) = P(B|A).P(A)P(B)

Florencia Hnilo 25/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Regla de Bayes

Usando la Regla de Bayes, puedo saber exactamente laprobabilidad de estar enfermo dado que me dio positivo:

P(Enfermo|Positivo) = P(Enfermo ∩ Positivo)P(Positivo)

=P(Positivo|Enfermo) · P(Enfermo)

P(Positivo)

Veamos...

Florencia Hnilo 26/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Regla de Bayes

P(Positivo|Enfermo) = 0.9;P(Enfermo) = 0.01;P(Positivo) =?

Florencia Hnilo 27/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Regla de Bayes

Resulta que hay dos casos en los que me da positivo:

Tenés la enfermedad y te da positivo.

Estás sano y te da positivo.

Florencia Hnilo 28/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Regla de Bayes

Resulta que hay dos casos en los que me da positivo:

Tenés la enfermedad y te da positivo.

Estás sano y te da positivo.

P(Positivo) = P(Enfermo ∩ Positivo) + P(Sano ∩ Positivo)¿Por qué es cierto? Porque estar enfermo y estar sano son eventosdisjuntos y conforman la partición del espacio muestral “Positivo”(¿les suena el total probability theorem?)

Florencia Hnilo 29/ 42

ProbabilidadYapa

Cosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vaćıaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Regla de Bayes

P(Enfermo|Positivo) = P(P|E ) · P(E )P(P|E ) · P(E ) + P(P|S) · P(S)

=0.9 · 0.01

0.9 · 0.01 + 0.05 · 0.99= 0.154

Pregunta: ¿y cuál es la probabilidad de que esté enfermo si el testme dio positivo dos veces? Pensar cuáles son las probabilidadesque cambian.

Florencia Hnilo 30/ 42

ProbabilidadYapa

Florencia Hnilo 31/ 42

ProbabilidadYapa

Florencia Hnilo 32/ 42

ProbabilidadYapa

Florencia Hnilo 33/ 42

ProbabilidadYapa

Florencia Hnilo 34/ 42

ProbabilidadYapa

Florencia Hnilo 35/ 42

ProbabilidadYapa

Florencia Hnilo 36/ 42

ProbabilidadYapa

Florencia Hnilo 37/ 42

ProbabilidadYapa

Florencia Hnilo 38/ 42

ProbabilidadYapa

Florencia Hnilo 39/ 42

ProbabilidadYapa

Teorema fundamental del cálculo

Florencia Hnilo 40/ 42

ProbabilidadYapa

Tarea

Resolver:

d

dx

∫ x37

e√tdt

Pista: no olviden usar la regla de la cadena.

Florencia Hnilo 41/ 42

ProbabilidadYapa

Fuente

Bertsekas, D. P., Tsitsiklis, J. N. (2002). Introduction toProbability Vol. 1.

Florencia Hnilo 42/ 42

ProbabilidadCosas básicas y conocidasVerdad vacua o verdad vacíaAlgunos ejerciciosRegla de Bayes

Yapa