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Probabilidad Condicional

Algunas veces la ocurrencia de un evento A puede afectar la ocurrencia posterior

de otro evento B; por lo tanto, la probabilidad del evento B se verá afectada por el

hecho de que ya ocurrió el evento A

Ejemplo:

Suponga que un grupo de 20 artículos contiene 10 que son defectuosos y 10 que

no lo son; una persona selecciona uno de estos artículos al azar, sin saber que hay

defectuosos, y lo instala en un equipo. Sea A el evento de que la selección de un

artículo resulte en uno defectuoso; por lo tanto, 鶏岫畦岻噺怠待態待噺怠態; ahora bien, si se

selecciona otro artículo de los 19 restantes la probabilidad del evento B donde B

representa que el segundo artículo seleccionado está defectuoso será 鶏岫稽岻噺怠待怠苔,

si la primera selección dio como resultado un artículo no defectuoso o 鶏岫稽岻噺苔怠苔,

si la primera selección fue un defectuoso; o sea que la selección de un defectuoso

en el segundo intento depende de lo que ocurrió en el primer intento.

En muchos experimentos la ocurrencia de un evento particular está usualmente

asociada a la ocurrencia de otros eventos, de manera que al calcular la

probabilidad de dicho evento es necesario considerar aquellos que condicionan su

ocurrencia.

Ejemplo:

De una urna que contiene 4 bolas rojas y 5 bolas negras se extraen al azar y sin

reemplazo dos bolas, una a una. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea

roja?, ¿Sea negra?, ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda sea roja?

Definamos los siguientes eventos: 迎沈┺ La i に ésima bola extraída es roja; i = 1, 2 軽沈┺ La i に ésima bola extraída es negra; i = 1, 2 鶏岫迎怠岻噺替苔, 鶏岫軽怠岻噺泰苔

Para calcular la probabilidad de 迎態, se necesita saber el color de la primera bola

extraída.

MﾙS┌ﾉﾗぎ F┌ﾐS;ﾏWﾐデﾗゲ SW IﾐaWヴWﾐIｷ; Eゲデ;SｹゲデｷI; DﾗIWﾐデWぎ G┌ゲデ;┗ﾗ V;ﾉWﾐIｷ; Z

Si la primera bola es roja, entonces 鶏岫迎態岻噺戴腿

Si la primera bola es negra, entonces 鶏岫迎態岻噺替腿

La probabilidad de 迎態 depende de la bola extraída en la primera selección.

Definición:

Sean A y B eventos de un espacio muestral S. La Probabilidad Condicional de さA

dado Bざ, la cual denotamos 鶏岫畦】稽岻, está dada por

鶏岫畦】稽岻噺鶏岫畦堪稽岻鶏岫稽岻 ┹ 鶏岫稽岻伴ど┻ 畦嫌兼件嫌兼剣┺ 鶏岫稽】畦岻噺鶏岫畦堪稽岻鶏岫畦岻 ┹ 鶏岫畦岻伴ど

Tenemos que:

鶏岫畦堪稽岻噺鶏岫畦岻鶏岫稽】畦岻噺鶏岫稽岻鶏岫畦】稽岻

Regla multiplicativa

Nota: Sean A y B dos eventos no vacíos de un espacio muestral S. Se puede

mostrar que:

鶏岫畦嫗】稽岻噺な伐鶏岫畦】稽岻

Ejemplo:

Un fabricante de neveras tiene cinco listas para ser enviadas a un distribuidor. El

fabricante no sabe que dos de las cinco son defectuosas. Recibe un pedido de dos

de ellas y lo cubre seleccionando al azar dos de las cinco.

a. Obtenga el espacio muestral S para el experimento de seleccionar dos de las

cinco.

b. Sea E el evento de que el pedido se cubre con dos neveras no defectuosas.

Represente el subconjunto generado por E.

c. Encuentre la 鶏岫継岻


Solución:

a. Suponga que una elección de una nevera defectuosa se representa por D y no

defectuosa por B; así, el espacio muestral S será:

鯨噺岶経怠経態┸ 経怠稽態┸ 稽怠経態┸ 稽怠稽態岼

Para hallar la probabilidad asignada a cada uno de los elementos del anterior

conjunto, procedemos de la siguiente forma:

鶏岫経怠経態岻噺鶏岫経怠岻鶏岫経態】経怠岻噺にの隙なね噺ななど

鶏岫経怠稽態岻噺鶏岫経怠岻鶏岫稽態】経怠岻噺にの隙ぬね噺ぬなど

鶏岫稽怠経態岻噺鶏岫稽怠岻鶏岫経態】稽怠岻噺ぬの隙にね噺ぬなど

鶏岫稽怠稽態岻噺鶏岫稽怠岻鶏岫稽態】稽怠岻噺ぬの隙にね噺ぬなど

b. 継噺岶稽怠稽態岼

c. 鶏岫継岻噺ぬなど

O sea que la probabilidad de que el cliente reciba dos defectuosas es de 0.3.


Ejemplo:

Considere la siguiente tabla de doble entrada

Sedentarismo

Si No Total

Fuma Si 19 17 36

No 10 24 34

Total 29 41 70

Defina los eventos:

S: La persona seleccionada es sedentaria.

F: La persona seleccionada fuma.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea sedentario y si fuma?

鶏岫鯨堪繋岻噺なひばど噺ど┻にばなね

b. ¿Cuál es la probabilidad de que si fuma?

鶏岫繋岻噺なひ髪なばばど噺ど┻のなね

c. ¿Cuál es la probabilidad de que sea sedentario dado que si fuma?

鶏岫鯨】繋岻噺鶏岫鯨堪繋岻鶏岫繋岻噺ど┻にばなねど┻のなね噺ど┻のにぱ


Ejemplo:

Se seleccionan al azar 100 personas de una gran comunidad y se someten a un

estudio para evaluar la incidencia del fumar en el desarrollo de enfermedad

pulmonar. Los resultados obtenidos después de un período se muestran a

continuación.

Hombre - Fumador Mujer - Fumador

Si No Total Si No Total

Enf Pulm Si 40 3 43 20 2 22

No 5 12 17 10 8 18

Total 45 15 60 30 10 40

Defina los eventos:

H: La persona seleccionada es un hombre.

M: La persona seleccionada es una mujer.

F: La persona seleccionada fuma.

N: La persona seleccionada no fuma.

E: La persona seleccionada desarrolla enfermedad pulmonar.

NE: La persona seleccionada no desarrolla la enfermedad pulmonar.

Se selecciona una persona al azar de estas 100. Calcule las siguientes

probabilidades.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea fumador y hombre? ¿fumador y mujer?

鶏岫繋堪茎岻噺ねのなどど噺ど┻ねの

鶏岫繋堪警岻噺ぬどなどど噺ど┻ぬ


b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea fumador? ¿Cuál es la probabilidad de que

desarrolle enfermedad pulmonar?

鶏岫繋岻噺ねの髪ぬどなどど噺ど┻ばの

鶏岫継岻噺ねぬ髪にになどど噺ど┻はの

c. Si es mujer, ¿Cuál es la probabilidad de que desarrolle enfermedad pulmonar?

¿y si es hombre?

鶏岫継】警岻噺鶏岫継堪警岻鶏岫警岻噺にになどどエねどなどどエ噺ににねど噺ど┻のの

鶏岫継】茎岻噺ねぬはど噺ど┻ばなは

d. Si es mujer y no fuma ¿Cuál es la probabilidad de que desarrolle enfermedad

pulmonar?

鶏岫継】警堪軽岻噺牒盤帳堪岫暢堪朝岻匪牒岫暢堪朝岻噺╂ (Trate de calcularlo)

e. ¿Cuál es la probabilidad de que desarrolle enfermedad pulmonar, dado que no

fuma o es mujer?

Solución 鶏岫継】軽姦警岻噺鶏岫継堪岫軽姦警岻岻鶏岫軽姦警岻

噺鶏岫岫継堪軽岻姦岫継堪警岻岻鶏岫軽姦警岻噺鶏岫岫継堪軽岻髪岫継堪警岻伐鶏岫継堪軽堪警岻鶏岫軽姦警岻


噺のなどど髪にになどど伐になどどののなどど噺にのなどどののなどど噺にののの噺ど┻ねのね

Otra camino:

鶏岫継】軽姦警岻噺ぬ髪にど髪にのの噺にののの

Probabilidad Condicional e Independencia

Recordemos el primer ejemplo de Probabilidad Condicional:

Suponga que un grupo de 20 artículos contiene 10 que son defectuosos y 10 que

no lo son; una persona selecciona uno de estos artículos al azar, sin saber que hay

defectuosos, y lo instala en un equipo. Sea A el evento de que la selección de un

artículo resulte en uno defectuoso; por lo tanto, 鶏岫畦岻噺怠待態待噺怠態; ahora bien, si se

selecciona otro artículo de los 19 restantes la probabilidad del evento B donde B

representa que el segundo artículo seleccionado está defectuoso será 鶏岫稽岻噺怠待怠苔,

si la primera selección dio como resultado un artículo no defectuoso o 鶏岫稽岻噺苔怠苔,

si la primera selección fue un defectuoso; o sea que la selección de un defectuoso

en el segundo intento depende de lo que ocurrió en el primer intento.

Note que si en la primera selección, el artículo tomado se hubiera reincorporado al

lote, la 鶏岫稽岻 no hubiera variado. En resumen, si el artículo no se reincorpora al

lote, B no es independiente de A

Si el artículo se reincorpora al lote, B es independiente de A.

Note que lo que determina la independencia en este caso es la forma en que se

tomó la muestra (con reemplazo o sin reemplazo).


Cuando un evento A es independiente de un evento B se cumple la siguiente

relación: 鶏岫畦稽岻噺鶏岫畦岻鶏岫稽岻

Nota: El concepto de independencia entre dos eventos A y B es diferente al

concepto de que A y B son mutuamente excluyentes.

Ejemplo: Muestreo sin reemplazo es casi equivalente a muestreo con reemplazo

cuando la población es muy grande y la muestra tomada es pequeña con respecto

a esta población.

Suponga que se toman 20 personas de una población que tiene aproximadamente

500000 personas de los cuales se estima que 200000 son clientes potenciales para

un cierto producto. Interesa conocer la probabilidad de seleccionar un cliente

potencial en la muestra de tamaño 20.

Sea 畦沈: Evento de que la persona i es un cliente potencial, 件噺な┸に┸ ┼ ┸にど鶏岫畦沈岻噺にどどどどどのどどどどど噺ど┻ね

Si el muestreo se hace con reemplazo (es decir una persona seleccionada podría

ser seleccionada de nuevo), 鶏岫畦怠岻噺鶏岫畦態岻噺橋噺鶏岫畦態待岻噺ど┻ね

Si el muestreo se hace sin reemplazo, 鶏岫畦怠岻噺ど┻ね

鶏岫畦怠】畦態岻噺なひひひひひねひひひひひ噺ど┻ぬひひひひぱ蛤ど┻ね

.


鶏岫畦態待】畦怠┸ 畦態┸ ┼ ┸ 畦怠苔岻噺なひひひぱなねひひひぱな噺ど┻ぬひひぱ蛤ど┻ね

Como 鶏岫畦怠岻蛤鶏岫畦態】畦怠岻 , los eventos 畦態 y 畦怠 se pueden asumir independientes.

Note que la probabilidad de seleccionar un cliente potencial permanece

aproximadamente constante y por lo tanto ambos muestreos producen valores de

probabilidad similares.

Definición. Sean 畦怠┸ 畦態┸ ┼ ┸ 畦賃, k eventos asociados a un espacio muestral S,

entonces. 鶏岫畦怠畦態 ┼ 畦賃岻噺鶏岫畦怠岻鶏岫畦怠】畦態岻 ┼ 鶏岫畦賃】畦怠┸ 畦態┸ ┼ ┸ 畦賃貸怠岻

Si los eventos son independientes 鶏岫畦怠畦態 ┼ 畦賃岻噺鶏岫畦怠岻鶏岫畦態岻 ┼ 鶏岫畦賃岻

┸ ┺ Sean 畦怠検畦態 eventos de un espacio muestral

S, se dice que 畦怠検畦態 son estadísticamente Independientes si y sólo si, cualquiera

de las siguientes proposiciones se cumple:

鶏岫畦怠】畦態岻噺鶏岫畦怠岻鶏岫畦態】畦怠岻噺鶏岫畦態岻鶏岫畦怠堪畦態岻噺鶏岫畦怠岻鶏岫畦態岻


Teorema de probabilidad total y regla de Bayes

Considere un espacio muestral S que está particionado en k eventos mutuamente

excluyentes:

Note que 鯨噺稽怠姦稽態姦 ┼ 姦稽懲 y 稽沈堪稽珍噺叶 para i distinto de j

Idea: Cualquier evento en S se puede escribir en términos de los 稽賃!

Esto es cierto ya que: 畦噺畦堪鯨噺畦堪岫岫稽怠姦稽態姦 ┼ 姦稽懲岻岻噺岫畦堪稽怠岻姦 ┼ 姦岫畦堪稽懲岻

Los elementos dentro de los paréntesis son disjuntos. Entonces, 鶏岫畦岻噺鶏岫畦堪鯨岻噺鶏岫畦堪稽怠岻髪橋髪鶏岫畦堪稽懲岻噺鶏岫稽怠岻鶏岫畦】稽怠岻髪橋髪鶏岫稽懲岻鶏岫畦】稽懲岻

Este resultado se conoce como teorema de probabilidad total.

También se puede expresar:

鶏岫畦岻噺布鶏岫稽沈堪畦岻噺布鶏岫稽沈岻鶏岫賃沈退怠

賃沈退怠畦】稽沈岻

Ejemplo:

De los estudiantes que ingresan a la carrera de Estadística, el 35% lo hace por

primera opción, el 55% por segunda opción y el resto por tercera opción. De los

que pasan por primera opción, el 90% se gradúa, de los de segunda opción el 35%

se gradúa y de los de tercera opción el 5% se gradúa. Se selecciona de manera

aleatoria un estudiante del programa Estadística.

a. Si es de segunda opción, ¿Cuál es la probabilidad de que no se gradúe?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que se gradúe?

Defina los siguientes eventos: 稽沈: El estudiante ingresa por la opción i, 件噺な┸ に┸ ぬ

G: El estudiante se gradúa.

Del enunciado se tiene que: 鶏岫稽怠岻噺ど┻ぬの┸ 鶏岫稽態岻噺ど┻のの検鶏岫稽戴岻噺ど┻な

Además: 鶏岫罫】稽怠岻噺ど┻ひど┸ 鶏岫罫】稽態岻噺ど┻ぬの検鶏岫罫】稽戴岻噺ど┻どの

a. Se pide calcular 鶏岫罫旺】稽態岻噺な伐鶏岫罫】稽態岻噺な伐ど┻ぬの噺ど┻はの

b. Por el teorema de probabilidad total se tiene que: 鶏岫罫岻噺鶏岫稽怠岻鶏岫罫】稽怠岻髪鶏岫稽態岻鶏岫罫】稽態岻髪鶏岫稽戴岻鶏岫罫】稽戴岻鶏岫罫岻噺ど┻ぬの茅ど┻ひど髪ど┻のの茅ど┻ぬの髪ど┻な茅ど┻どの噺ど┻のなにの


Teorema de Bayes.

Usando este resultado, es relativamente sencillo formular el Teorema o Regla de

Bayes:

Sean 稽怠┸ ┼ ┸ 稽賃 eventos mutuamente excluyentes asociados a un espacio muestral

S y son tales que lo particionan. Sea A cualquier evento definido en S, entonces,

鶏盤稽珍弁畦匪噺鶏盤稽珍堪畦匪鶏岫畦岻噺鶏岫稽珍岻鶏盤畦】稽珍匪鶏岫稽怠岻鶏岫畦】稽怠岻髪橋髪鶏岫稽懲岻鶏岫畦】稽賃岻

Ejemplo: En una población de votantes el 40% son del partido A y 60% del partido

B. Se estima que 30% de los integrantes del partido A y 70% de los del partido B

están a favor de una cierta ley de impuestos. Si se selecciona una persona al azar

de esta población y declara estar a favor de dicha ley, ¿Cuál es la probabilidad de

que esta persona pertenezca al partido B?

Solución.

Defina los eventos:

A: Ser del partido A

B: Ser del partido B

C: Estar a favor de la ley de impuestos

Sabemos que:

鶏岫畦岻髪鶏岫稽岻噺な

A y B particionan el espacio muestral S. 鶏岫畦岻噺ど┻ね┸ 鶏岫稽岻噺ど┻は┸ 鶏岫系】畦岻噺ど┻ぬ鶏岫系】稽岻噺ど┻ば


Entonces, 鶏岫系岻噺鶏岫系堪畦岻髪鶏岫系堪稽岻噺鶏岫畦岻鶏岫系】畦岻髪鶏岫稽岻鶏岫系】稽岻噺岫ど┻ね茅ど┻ぬ岻髪岫ど┻は茅ど┻ば岻噺ど┻のね

Lo anterior, nos ayuda a calcular 鶏岫稽】系岻噺鶏岫稽岻鶏岫系】稽岻鶏岫系岻噺ど┻は茅ど┻ばど┻のね噺ど┻ばばぱ

Ejemplo: Tres líneas de producción contribuyen a la producción total de una

compañía. La línea 1 contribuye con el 20% de la producción y 15% de sus

productos son defectuosos. La línea 2 proporciona el 50% de la producción y 5%

de sus productos son defectuosos. La línea 3 proporciona 30% de la producción y

6% de sus productos son defectuosos. Con esta información, responda las

siguientes preguntas:

a. ¿Qué porcentaje de artículos, en la producción total, son defectuosos?

b. Si un artículo se selecciona al azar y es defectuosos, ¿Cuál es la probabilidad de

que proceda de la línea 1?

Solución. Defina los siguientes eventos:

A: El artículo proviene de la línea 1

B: El artículo proviene de la línea 2

C: El artículo proviene de la línea 3

D: El artículo está defectuoso

ND: El artículo no está defectuoso


De acuerdo a la información del problema: 鶏岫畦岻噺ど┻に┸ 鶏岫稽岻噺ど┻の┸ 鶏岫系岻噺ど┻ぬ鶏岫経】畦岻噺ど┻なの┸ 鶏岫経】稽岻噺ど┻どの┸ 鶏岫経】系岻噺ど┻どは

a. 鶏岫経岻噺鶏岫経堪畦岻髪鶏岫経堪稽岻髪鶏岫経堪系岻噺鶏岫畦岻鶏岫経】畦岻髪鶏岫稽岻鶏岫経】稽岻髪鶏岫系岻鶏岫経】系岻噺岫ど┻に茅ど┻なの岻髪岫ど┻の茅ど┻どの岻髪岫ど┻ぬ茅ど┻どは岻噺ど┻どばぬ

b. 鶏岫畦】経岻噺鶏岫畦岻鶏岫経】畦岻鶏岫経岻

噺ど┻に茅ど┻なのど┻どばぬ噺ど┻ねなな


Tarea 013.

1. Sobre el anterior ejercicio, calcule :

a. ¿Qué porcentaje de artículos, en la producción total, son defectuosos?

b. Si un artículo se selecciona al azar y es defectuosos, ¿Cuál es la

probabilidad de que proceda de la línea 2?

c. Si un artículo se selecciona al azar y es defectuosos, ¿Cuál es la


d. Si un artículo se selecciona al azar y es no defectuosos, ¿Cuál es la


2. Realice los cálculos similares de probabilidades sobre los datos de

rostros atractivos. Compare los resultados con la tarea 012

Ejemplo: Incidencia de una enfermedad rara. Sólo 1 de 1000 adultos se ve

afectado por una enfermedad rara para la cual se ha desarrollado una prueba

diagnóstica. La prueba es tal, que cuando un individuo en realidad tiene la

enfermedad, ocurre un resultado positivo 99% de las veces, en tanto que un

individuo sin la enfermedad presenta un resultado positivo sólo 2% de las veces. Si

se aplica la prueba a un individuo seleccionado al azar y el resultado es positivo.

¿Cuál es la probabilidad de que el individuo tenga la enfermedad?

Para usar el teorema de Bayes, sea: 畦怠: El individuo tiene la enfermedad. 畦態: El individuo no tiene la enfermedad. 稽: Resultado de prueba positiva.

Solución:

鶏岫畦怠岻噺ななどどど噺ど┻どどな鶏岫稽岻噺な伐鶏岫畦怠岻噺ど┻ひひひ

鶏岫稽】畦怠岻噺ど┻ひひ

鶏岫稽】畦態岻噺ど┻どに

Los diagramas de árbol pueden ser útiles para ilustrar este tipo de situaciones.

鶏岫畦怠堪稽岻噺ど┻どどどひひ

鶏岫畦態堪稽岻噺ど┻どなひひぱ


Junto a cada rama que corresponde a un resultado de prueba positiva, la regla de

la multiplicación produce las probabilidades registradas. Por lo tanto, 鶏岫稽岻噺ど┻どどどひひ髪ど┻どなひひぱ噺ど┻どにどひば, de donde se tiene:

鶏岫畦怠】稽岻噺鶏岫畦怠堪稽岻鶏岫稽岻噺ど┻どどどひひど┻どにどひば噺ど┻どねば

Este resultado parece ser contraintuitivo; al parecer la prueba diagnóstica es tan

precisa, que se espera que alguien con un resultado positivo tenga altas

probabilidades de padecer la enfermedad, en tanto que la probabilidad

condicional calculada sólo es 0.047. Sin embargo, debido a que la enfermedad es

rara y la prueba sólo tiene una confiabilidad moderada, la mayor parte de los

resultados de prueba positivos surgen de errores y no de individuos enfermos. La

probabilidad de tener la enfermedad se incrementó por un factor multiplicativo de

47 (del 0.001 al 0.047); pero para obtener un incremento más en la probabilidad

posterior, se requiere una prueba diagnóstica con índices de error mucho más

pequeños. Si la enfermedad no fuera rara (p.ej., incidencia de 25% en la

población), entonces los índices de error para la prueba actual proporcionarían

buenos diagnósticos.


probabilidad condicional - gustavo valencia · probabilidad condicional e independencia recordemos...

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