Chap 4-1

PROBABILIDAD

Chap 4-2

Objetivos de Aprendizaje

Revisar conceptos básicos de probabilidad Definiciones de Probabilidad Condicional .

Desarrollar el Teorema de las Bayes para el cálculo de probabilidades.

Varias reglas de conteo.

Chap 4-3

Definiciones

El experimento es el proceso que permite a los investigadores observaciones o eventos.Ej: Lanzamiento de monedas

Un Evento es cada posible resultado de un experimento. Ej. Obtener un punto al lanzar un dado

El Espacio Muestral es la colección de todos los posibles eventos.Ej: Las 52 cartas de un juego de barajas

Chap 4-4

Definiciones

El complemento de un evento A (denotado A’): Corresponde a todos los eventos que no son parte del evento.

El evento unión A y B, AUB, es el que está formado por los resultados que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos)

El evento intersección de A y B, A∩B o simplemente AB, al formado por los elementos que están en A y B

Chap 4-5

Probabilidad

Concepto Es posibilidad numérica de que un evento

ocurra.

Características: La probabilidad del evento A se

representa por P(A). La probabilidad de cualquier evento debe

estar entre 0 y 1 inclusive. A es evento seguro P (A)=1 B es evento imposible P(B)=0

Evento seguro

Evento Imposible

0.5

1

0

Chap 4-6

Enfoques de la probabilidad

1. Probabilidad clásica o a priori: Si un experimento tiene n sucesos distintos y cada uno tiene la misma posibilidad de ocurrir, la probabilidad del evento A se la calcula:

Si A= Obtener cara al lanzar moneda

P(A)= 1/2

posibles resultados de totalnúmero

ocurrir puede evento el que lasen formas de númeroP(A)

Chap 4-7

Enfoques de la probabilidad

2. Probabilidad de frecuencia relativa:Realice u observe un experimento un gran número de veces cuente las veces que ocurre el evento A. Entonces P(A) se estima de la siguiente forma:

nesobservacio de totalNúmero

pasado elen evento el ocurrido ha que vecesde Número)(P A

3. Probabilidad subjetiva Un juicio individual u opinión sobre la ocurrencia de un

acontecimiento que nunca antes ha sucedido.

Chap 4-8

Enfoques de probabilidad

Identifique el tipo de enfoque a utilizar para cada

caso y calcule la probabilidad: Calcular la probabilidad de que al lanzar una tachuela

caiga con la punta hacia arriba. Calcular la probabilidad de obtener 2 al lanzar un dado. Determine la probabilidad de que una persona sea

alcanzada por un rayo. Si usted adivina al contestar una pregunta con cinco

opciones ¿Qué probabilidad hay de que se equivoque? ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado se

obtenga al menos tres puntos?

Chap 4-9

Enfoques de probabilidad

La compañía de seguros American estudió causas de muertes accidentales en el hogar con los siguientes resultados: 160 muertes por caídas,120 muertes causadas por veneno y 70 muertes causadas por incendio. Si se selecciona aleatoriamente una de estos registros, calcule la probabilidad de que haya muerto a) por veneno, b) por caída

Determine la probabilidad de que la selección de fútbol ecuatoriana gane el mundial.

Si un matrimonio planea tener tres hijos, ¿cuál es la probabilidad de que le nazcan a) 2 niñas y un niño, b)al menos dos niños?

Chap 4-10

Representación del Espacio Muestral

Diagramas de Venn

Diagrama de árbol

Tabla de contingencia

Chap 4-11

Diagramas de Venn A = Estudie B = Trabaje

A

B

A y B = estudie y trabaje

A U B = jóvenes que estudian o trabajan

Chap 4-12

Diagramas de Arbol: Imagen de los posibles resultados de un experimento, mostrados como segmentos de linea que emanan de un punto de partida

Chap 4-13

Tablas de contingencia

Chap 4-14

Clasificación de empleados

Género Analista Auxiliar Programador Total

Hombre 120 150 30 300

Mujer 50 140 10 200

Total 170 290 40 500

Chap 4-15

Probabilidad Simple: Probabilidad de ocurrencia de un evento simple

Probabilidad Conjunta:Probabilidad de ocurrencia de dos o mas eventos

Chap 4-16

Se recolectó datos sobre 500 de tres sectores: Académico, industria privada y gobierno sobre que espera que suceda con la economía del país. Alguna información se perdió resultando la siguiente tabla de contingencia:

Economía

Economista Estable Expansión Contracción Total

Académico 125 100

Industria Priv. 35 110

Gobierno 25 40 65

Total 200

Chap 4-17

Eventos Mutuamente excluyentes: Si ambos eventos no pueden ocurrir de manera simultánea. Ejemplo: Si A = Aprobar el curso y B = Reprobar el curso, los

eventos A y B son mutuamente excluyentes.

Eventos colectivamente exhaustivos: Si uno de los eventos debe ocurrir. La colección de estos eventos cubren el entero espacio muestral.

Ejemplo: los eventos cara y cruz

Chap 4-18

Indique si los eventos son mutuamente excluyente o colectivamente exhaustivos

Los votantes en EEUU están registrados como republicanos o como demócratas.

Quienes respondieron fueron clasificados por el tipo de auto que manejan : estadounidense, europeo o ninguno.

Se le preguntó ¿Actualmente vive en a) un departamento o b) en una casa?

Un producto es clasificado como defectuoso o no defectuoso

Chap 4-19

Regla de la adición

Regla de la adición :

P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

Donde P(A y B) denota la probabilidad de que ocurran tanto A como B, al mismo tiempo como resultado en un experimento.

Chap 4-20

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un as o una

carta de trébol en un juego de 52 cartas? Cierto almacén vende dos tipos de zapatos para

correr, los Mercury (M) y los Racer (R).Si la probabilidad de que alguien compre los mercury es P(M) =0.40 y P(R)=0.30 y que compren los dos tipos de zapatos es de 0.1 ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente compre M o R?

¿Cuál es la probabilidad de que una persona apruebe o repruebe el curso? Esta 2 lunes

Chap 4-21

Regla de la Multiplicación

Regla de la multiplicación :

P(A y B) = P(A) P(B|A)

Donde P(B | A) denota la probabilidad de que B ocurra dado que A ocurrió.

Chap 4-22

Regla de la Multiplicación

Una compañía de autos produce un lote de 20 filtros de combustible y seis de ellos salen defectuosos. Se escogen dos de los filtros y se prueban . Calcule la probabilidad de que el primero salga bueno y el segundo salga defectuoso si los filtros se seleccionan sin reemplazo

Una caja de nueve guantes de golf contiene dos guantes para la mano izquierda y siete guantes para la derecha. Si se seleccionan dos guantes de la caja sin reemplazo, cuál es la probabilidad de que:

Ambos sean de la mano derecha Uno derecho y otro izquierdo

Chap 4-24

Regla de adición cuando los eventos A y B son mutuamente excluyentes:

P(A o B) = P(A) + P(B)

Regla de la adición

Si los eventos A y B no pueden ocurrir simultáneamente se dicen que son eventos mutuamente excluyentes

Chap 4-25

• Una caja contiene 8 canicas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se sacan 3 canicas al azar sin reemplazo determinar la probabilidad de que:

a) Las 3 sean rojas

b) Las 3 sean blancas

c) 2 sean rojas y una blanca

e) Suponga que la muestra es con reemplazo de canicas, calcule la probabilidad de todos los literales anteriores.

Chap 4-26

Chap 4-27

Regla de la Multiplicación

Si los eventos son independientes, la regla de multiplicación es:

P(A y B) = P(A) P(B)

Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno, no añade información sobre el otro.

A es independiente de B P(B|A) = P(B)

Chap 4-28

Probabilidad condicional Una probabilidad condicional es la probabilidad de un

evento , dada que otro evento ya ocurrió:

P(B)

B)P(AB)|P(A

y

P(A)

B)yP(AA)|P(B

Probabilidad de A dado que B ocurrió

Probabilidad de B dado que A ocurrió

Chap 4-29

De un lote de carros usados, el 70% tiene aire acondicionado (AC) y 40% tiene CD player (CD). 20% de los carros tienen ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que un carro tenga CD player dado que tiene AC?

Solución:

P(CD|AC) = P(CD y AC) / P(AC)

=0.2/0.7

=0.29

Teorema de la probabilidad total

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces podemos calcular la probabilidad de B como la suma:

P(B) = P(B A1) + P(B A2) + P( B A3) + P( B A4)

Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son hombres.

De ellos el 10% son fumadores. El 20% de las mujeres son

fumadoras. ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?

Mujeres

Hombres

Fumadores

Podemos aplicar la ley de la probabilidad total:

Hombres y mujeres formanun sistema exhaustivo y excluyente de sucesos.

Estudiante

Hombre

No fuma

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

Mujer

P(F) = P(F∩H) + P(F∩M) = P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M) = 0,1 · 0,7 + 0,2 · 0,3 = 0,13

Una empresa tiene fábricas en Ecuador y Chile. Ecuador genera el 40% de la producción con un 10% de defectos, mientras que Chile tiene 20% de defectos ¿Qué porcentaje de la producción es defectuosa ?

El 40% de los equipos de Tv que la empresa vendió tuvieron éxito y el 60% no fue exitoso. Entre los equipos de éxito, el 15% presentaron fallas, mientras que el 95% de los no exitosos no presentaron fallas. defectos ¿Qué porcentaje de los equipos presentaron fallas ?

Thomas Bayes nació en Londres, Inglaterra. Su padre fue ministro presbiteriano. Posiblemente De Moivre fue su maestro particular, pues se sabe que por ese entonces ejercía como profesor en Londres.

Bayes fue ordenado ministro presbiteriano y muere en 1761. Sus restos descansan en el cementerio londinense de Bunhill Fields. La traducción de la inscripción en su tumba es:          

"Reverendo Thomas Bayes.Hijo de los conocidos Joshua y Ann Bayes. 7 de abril de 1761. En reconocimiento al importante trabajo que realizó Thomas Bayes en probabilidad. Su tumba fue restaurada en 1969 con donativos de estadísticos de todo el mundo".

Teorema de Bayes

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los n componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces…

…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai, (i = 1, 2, ... , n):

donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

P(B)

) AP(B |B) P(A i

i

)()(1

n

iiABPBP

P(M) = 0,3, P(F) = 0,13P(M|F) = P(F ∩ M)/P(F) = P(F|M) P(M) / P(F) = 0,2·0,3 / 0,13 = 0,46

Estudiante

Hombre

No fuma

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

Mujer

En el problema anterior: Se elige a un individuo al azar y resulta fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

Una empresa tiene fábricas en Ecuador y Chile. Ecuador genera el 40% de la producción con un 10% de defectos, mientras que Chile tiene 20% de defectos Si se selecciona una unidad y es defectuosa, ¿Es más probable que provenga de Ecuador o de Chile?

El 40% de los equipos de Tv que la empresa vendió tuvieron éxito y el 60% no fue exitoso. Entre los equipos de éxito, el 15% presentaron fallas, mientras que el 95% de los no exitosos no presentaron fallas. Si se selecciona un equipo que tiene falla ¿Cuál es la probabilidad de que tenga éxito en el mercado?

Estudios indican que el 30% de los profesores del país dejan la profesión después de 10 años. Entre quienes la abandonan , el 60% tiene título avanzado, mientras que entre los que no dejan la profesión el 20% tiene título avanzado. El Sr. Martínez acaba de obtener un título avanzado. ¿Cuál es la probabilidad de que deje a sus estudiantes?

La empresa Ortiz Construcciones está determinando si debería presentar una oferta para un nuevo centro comercial. Su competidor, Base Construcciones, ha propuesto ofertas el 70% del tiempo. Si Base no presenta ofertas , la probabilidad de que Ortiz obtenga el trabajo es del 50%. Si base propone una oferta, la probabilidad de que Ortiz obtenga el trabajo es de 0.25. Si Ortiz obtiene el trabajo .¿Cuál es la probabilidad de que Base no haya propuesto ofertas?