Contenido de la Unidad 2FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD..............................................................2

2.1 CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO...............................................................................2Notación de conjuntos.............................................................................................................2Leyes del álgebra de conjuntos...............................................................................................3Técnicas de conteo.................................................................................................................. 6Notación Factorial.................................................................................................................... 6Permutaciones......................................................................................................................... 7Combinaciones........................................................................................................................8Diagrama de árbol................................................................................................................... 9

2.2 CONCEPTO CLÁSICO Y COMO FRECUENCIA RELATIVA................................................11Definición clásica de probabilidad.........................................................................................11Definición de probabilidad como frecuencia relativa. ............................................................12

2.3 ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS......................................................................................142.4 AXIOMAS Y TEOREMAS.......................................................................................................142.5 ESPACIO FINITO EQUIPROBABLE......................................................................................152.6 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA..........................................................19

Probabilidad Condicional.......................................................................................................19Regla de Multiplicación..........................................................................................................22Regla de probabilidad total para dos eventos dependientes.................................................22Independencia (Probabilidad conjunta).................................................................................23Regla de multiplicación de múltiples eventos (independientes).............................................23

2.7 TEOREMA DE BAYES...........................................................................................................25Problemas resueltos............................................................................................................26

Probabilidad Condicional en Espacios Finitos Equiprobables...............................................26Teorema de la multiplicación.................................................................................................30Problemas Varios Sobre Probabilidad Condicional...............................................................32

Procesos Estocásticos Finitos.............................................................................................34Independencia.....................................................................................................................38

FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD

2.1 CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO.

Conjuntos. Un conjunto es un grupo de objetos dentro de un todo definido y bien diferenciado: por ejemplo, un grupo de estudiantes, un juego de cartas, las cuentas de un collar, etc. 1

Notación de conjuntos

A, B, C, X, Y Conjuntoa, b, c, x, y Elementos de un conjunto1, 2, 3, 4, 5 Elementos de un conjunto

A= a, b, c, d Definición de los elementos de un conjunto (forma tabular)

B= x│x es parDefinición de los elementos de un conjunto (forma constructiva)

C¯¯¯

Subconjuntos de

│ Tal que

є Elementos de, pertenece a

є No es elemento de, No pertenece a= Igual≠ Diferente< Menor que> Mayor que≤ Menor o igual que≥ Mayor o igual queU Unión∩ IntersecciónO, U, V Disyunción∩, Y, Λ ConjunciónØ Conjunto vacióU Conjunto universalIN Conjunto de s naturalesZ Conjunto de s enterosIR Conjunto de s reales¬¿ ¿ No, Negación1 YAMANE, Taro. Estadística Pág. 48

∃ Para cada

∀ Para todo

⇒ Si, Entonces

⇔ Si y solo si

¢ No es subconjunto de

Ac, A' Complemento de

Leyes del álgebra de conjuntos

Leyes de idempotencia

1a AUA = A1b A∩A = ALeyes Asociativas2a (AUB) UC = AU (BUC)2b (A∩B) ∩C = A∩(B∩C)Leyes conmutativas3a AUB = BUA3b A∩B = B∩ALeyes Distributivas4a AU (B∩C) = (AuB) ∩(AUC)4b A∩(BUC) = (A∩B) U (A∩C)Leyes de identidades5a AU Ø = A5b A∩U = A6a AU U = U6b A∩ Ø = ØLeyes de complemento7a AUAc = U7b A∩Ac = Ø8a ( Ac) c = A8b U c = Ø , Ø c = ULeyes de Morgan9a (AUB) c = A c∩Bc

9b (A∩B) c = A cuBc

Ejemplo: Realiza las siguientes operaciones, de acuerdo a los siguientes conjuntos.

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

B= {2, 4, 6, 8, 10, 12}

C= {2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 19, 23}

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}

Solución:

a) (A'UB') ∩C' = 1, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22

(A'UB') = (AUB)' C' Resultado

b) (AUC) ∩(AUB) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

(AUC) AUB Resultado

c) (A'∩B') U (A'C) = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23

(A'∩ B')= (A∩B) (A'uC) Resultado

d) (A'U Ø)'∩(B'U U ') = 1, 3, 5, 7

A'UØ (A'U Ø)' (B'U U ') =(B'U Ø) Resultado

e) C'∩B ∩ (Ø'∩A') = 8, 10, 12

C' B C'∩B (Ø'∩A') = (ØUA)'

Resultado

Técnicas de conteo.

Las técnicas de conteo generalmente se utilizan como un medio para determinar el total de resultados. Se clasifican en:

Notación factorial. CombinacionesPermutacionesTeorema del binomio

Notación Factorial.

El producto de los enteros positivos desde 1 hasta n inclusive, se emplea con mucha frecuencia en matemáticas y aquí lo denotamos por el símbolo especial n! (que se lee “n factorial”): 2

n!=(1) (2) (3)….(n-2)(n-1)n

Conviene definir también 0!= 1

Ejemplo: 2! = 1 x 2 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 6 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

2 LIPSCHUTZ, Seymour. Probabilidad. Pág.16

8! = 8 x 7 x 6! = 8 x 7 =56 6! 6!

12 x 11 x 10 = 12 x 11 x 10 x 9! 9!

Permutaciones.

Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama una permutación de los objetos (tomados todos a la vez). 3

Una ordenación de un número r de dichos objetos, r ≤ n en una orden dado se llama una permutación r o una permutación de la n objetos tomados r a la vez.

Son las distintas formas en que se pueden ordenar los elementos de un conjunto.

Pn ,r= nPr

(n−r )!=n !

Ejemplo 1:Obtener el de permutaciones totales y realizarlas del siguiente conjunto tomando grupos de dos en dos.

A= a, b, c, d, e n=5r=2

5P2 = 5! 5! 5 x 4 x 3! = = = 20

(5-2)! 3! 3!

Permutaciones a, b b, a c, a d, a e, aa, c b, c c, b d, b a, ba, d b, d c, d d, c e, ca, e b, e c, e d, e e, d

Combinaciones.

Supongamos que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de estos n objetos tomados r a la vez, o una combinación r, es un subconjunto de r

3 Idem

elementos. 4

Son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto tomando en cuenta que no influye el orden en que se colocan.

n C r = n = C n, r = n! r r! (n-r)!

n = Total de elementosr = El grupo de elementos tomados del total

Ejemplo 1: Obtener el total de combinaciones de 5 elementos tomados de 2 en 2 (5C2).

A = 1, 2, 3, 4, 5

5C2 = 5! = 5! = 5 x 4 x 3! = 20 = 10 2! (5-2)! 2! x 3! 2! x 3! 2 x 1

Combinaciones obtenidas:

1 ,2 2, 3 3, 4 4,51, 3 2, 4 3, 5 10 Combinaciones1, 4 2,5 1, 5Ejemplo 2:

Obtener el de combinaciones de 4C3 y obtener las combinaciones respectivas de:

A = A, B, C, D

4C3 = 4

A, B, CA, B, DA, C, D 4 CombinacionesB, C, D

Ejemplo 3: Obtener 5C3 y las respectivas combinaciones de:

A= K, L, M, N, O

4 LIPSCHUTZ, Seymour. Probabilidad. Pág.21

5C3 = 10

CombinacionesK, L, M L, M, N,K, L, N L, M, OK, L, O L, N, O 10 CombinacionesK, M, N M, N, OK, M, OK, N, O

Diagrama de árbol.

Los diagramas de árbol proporcionan un método sistemático de enumeración de los resultados así como una presentación visual. 5

Ejemplo 1:

Hallar el conjunto producto A X B X C en dónde.

A= 1, 2 B= a, b, c C= 3, 4

Usamos el diagrama de árbol siguiente:

5 STEVENSON, William J. Estadística para Administración y Economía. Pág. 93.

Vemos que el diagrama de árbol se construye de izquierda a derecha y que el de ramas en cada punto es el de resultados posibles del experimento siguiente.

Ejemplo 2:Marcos y Enrique van a jugar un torneo de tenis. La primera persona que

gane, dos juegos seguidos o quién gane un total de tres juegos, gana el torneo. Encuentre el de formas en cómo puede desarrollarse el torneo.

2.2 CONCEPTO CLÁSICO Y COMO FRECUENCIA RELATIVA.

Definición clásica de probabilidad.6

El desarrollo inicial de la probabilidad se asocia con los juegos de azar. Por ejemplo, considérense dos dados que se distingan y que no están cargados; el interés recae en los s que aparecen cuando se tiran los dados. En la tabla 1 se dan los 36 posibles pares de s.

Una característica clave de este ejemplo, así como también de muchos otros relacionados con los juegos de azar, es que los 36 resultados son mutuamente excluyentes debido a que no puede aparecer más de un par en forma simultánea. Los 36 resultados son igualmente probables puesto que sus frecuencias son prácticamente las mismas, si se supone que los dados no están cargados y que el experimento se lleva a cabo un suficientemente grande de veces. Nótese que de los 36 resultados posibles, 6 dan una suma de 7, 5 dan una suma de 8, etc. Por lo tanto, puede pensarse de manera intuitiva que la probabilidad de obtener n par de s cuya suma sea 7 es la proporción de resultados que suman 7 con respecta al total, en este caso 6/36. es importante que el lector comprenda que la proporción 6/36 se obtiene únicamente después de que el experimento se realiza un grande de veces, es decir, después de efectuar el experimento muchas veces se observará que, alrededor de la 6ta parte de éste la suma de los s que aparecen es igual a 7. La proporción 6/36 no significa que en tres tiradas, forzosamente una dará como resultado un 7. Para situaciones de este tipo es apropiada la siguiente definición de probabilidad.

Definición: Si un experimento que está sujeto al azar, resulta de n formas igualmente probables y mutuamente excluyentes, y si nA de estos resultados tiene un atributo A, la probabilidad de A es la proporción de nA con respecto a n.

TABLA 1 Posibles resultados que aparecen cuando se lanzan dos dados.

1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 62, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 63, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 64, 1 4, 2 4, 3 4, 4 4, 5 4, 65, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5, 66, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6

6 CANAVOS George C. Probabilidad y Estadística Aplicaciones y Métodos Pág. 29

Definición de probabilidad como frecuencia relativa. 7

En muchas situaciones prácticas, los posibles resultados de un experimento no son igualmente probables. Por ejemplo, en una fábrica las oportunidades de observar un artículo defectuoso normalmente será mucho más rara que observar un artículo bueno. En este caso, no es correcto estimar la probabilidad de encontrar un artículo defectuoso mediante el empleo de la definición clásica. En lugar de ésta, en muchas ocasiones se emplea la interpretación de la probabilidad como una frecuencia relativa.

La interpretación de una frecuencia relativa descansa en la idea de que un experimento se efectúa y se repite muchas veces, y prácticamente bajo las mismas condiciones. Cada vez que un experimento se lleva a cabo, se observa un resultado. Éste es impredecible dada la naturaleza aleatoria del experimento, la probabilidad de la presencia de cierto atributo se aproxima por la frecuencia relativa de los resultados que posee dicho atributo. Conforme aumenta la repetición del experimento, la frecuencia relativa de los resultados favorables se aproxima al verdadero valor de la probabilidad para ese atributo. Por ejemplo: supóngase que se desea determinar la proporción de artículos defectuosos en un proceso de fabricación. Para llevar a cabo lo anterior, se muestra un determinado de artículos; cada observación constituye un experimento. Los resultados pueden clasificarse como defectuosos o no defectuosos. Si el proceso de fabricación es estable, y asegura así las condiciones uniformes, al aumentar el de artículos muestreados, la frecuencia relativa de artículos defectuosos con respecto al de unidades muestreadas se aproximará cada vez más a la verdadera proporción de artículos defectuosos.

Para ilustrar la interpretación de la probabilidad como frecuencia relativa se simuló en una computadora un proceso de muestreo de n unidades, suponiendo que el proceso de fabricación producía un 5% de artículos defectuosos. Para cada n se observó que el de unidades defectuosas; los resultados se dan en la tabla 2 para valores de n entre 20 y 10,000. A partir de esto es razonable concluir que la frecuencia relativa tiende a un valor verdadero de 0.05 conforme n crece.

de unidades muestreadas (n)

de unidades defectuosas observadas

Frecuencia relativa

20 2 0.1050 3 0.06100 4 0.04200 12 0.06500 28 0.0561000 54 0.0542000 97 0.04855000 244 0.0488

7 CANAVOS George C. Probabilidad y Estadística Aplicaciones y Métodos Pág.30

10000 504 0.0504TABLA Resultados de un experimento simulado en la computadora.

2.3 ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS.

Espacio Muestral: El conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio.8

Evento: Es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.9

2.4 AXIOMAS Y TEOREMAS.10

Axiomas: Verdades visibles.Teoremas: Son demostraciones matemáticas.

Axioma 1: Para todo evento A, 0≤P(A) ≤1Axioma 2: P(S)=1; S = Espacio Muestral = Conjunto UniversalAxioma 3: Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces P(AUB)= P(A) + P(B)Axioma 4: Si A1, A2,… es una serie de eventos mutuamente exclusivos, entonces: P(A1UA2U…)= P(A1) + P(A2) +…

Teorema 1: Si Ø es el conjunto vacío, entonces P(Ø)=0Teorema 2: Si A' es el complemento de un evento A, entonces P(A')= 1- P(A)Teorema 3: Si A CB, entonces P(A) ≤P(B)

Teorema 4: Si A y B son dos eventos no excluyentes P(A /B) =

p (a∩b )p (b )

8 MONTGOMERY, Douglas C. Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería. Pág. 509 Idem. Pág. 5210 LIPSCHUTZ, Seymour. Probabilidad. Pág.40

23

Conjunto o evento

Resultados posibles

Conjunto o evento

Conjunto o evento

Conjunto o evento

Teorema 5: Si A y B son dos eventos no excluyentes P(AUB)= P(A) + P(B) – P(A∩B)Para los eventos A, B, C.P(AUBUC)= P(A) +P(B) +P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)

2.5 ESPACIO FINITO EQUIPROBABLE.

Frecuentemente, las características físicas de un experimento sugieren que se asignen iguales probabilidades a los diferentes resultados del espacio muestral. Un espacio finito S de probabilidad, donde cada punto muestral tiene la misma probabilidad, se llamará espacio equiprobable o uniforme.11 En particular, si S contiene n puntos entonces la probabilidad de cada punto es 1/n. Además, si un evento A contiene r puntos entonces es r * 1/n = r /n

Ejemplo.Resuelve las probabilidades que se te presentan.

P(K)=1/14P(A)=5/14 = 0.3571 x 100= 35.71%P(B')=8/14= 4/7= 0.571 x 100= 57.1%

Ejemplo:1._Cada uno de los cinco resultados posibles de un experimento aleatorio es igualmente factible. El espacio muestral es {a, b, c, d, e} Sea que A denote el evento { a, b } y sea que B denote de evento { c, d, e } .Determine las siguientes probabilidades.

a) P(A)= 2/5b) P(B)=3/5c) P(A')=1-P(A)= 1-2/5 = 3/5d) P(AUB)=2/5 + 3/5 = 1e) P(A∩B)=0

2._El espacio muestral de un experimento aleatorio es:S= {a, b, c, d, e } con probabilidades 0.1, 0.1, 0.2, 0.4, 0.2, sea que A denote el evento {a, b, c } y B denote el evento { c, d, e }

11 Idem. Pág.42

Determine las siguientes probabilidades.

a) P(A)=0.4b) P(B)=0.8c) P(A')=1-P(A)= 1- 0.4= 0.6d) P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)= 0.4+0.8-0.2=1e) P(A∩B)=0.2

3._ Es igualmente factible que una pieza seleccionada para una prueba sea haya fabricado en cualquiera de seis herramientas cortadoras. a) ¿Cuál es el espacio muestral?b) ¿Cuál es la probabilidad de que la pieza sea de la herramienta 1?c) ¿Cuál es la probabilidad de que la pieza sea de la herramienta 3 o de la herramienta 5?d) ¿Cuál es la probabilidad de que la pieza no sea de la herramienta 4?

a)S= { H1, H2, H3, H4, H5, H6 }

b) P(H1)= 1/6c) P(H3UH5)=P(H3)+P(H5) = 1/6+1/6=1/3d) P(H4')= 1-P(H4)= 1-1/6= 5/6

4._ Se clasifican muestras de hule espuma de tres proveedores de acuerdo a si cumplen o no con las especificaciones. Los resultados de 100 muestras se encuentran en la siguiente tabla.

Sea que A denote que la muestra es del proveedor 1, y sea que B denote el evento de que una muestra cumple con las especificaciones. Si se selecciona una muestra de hule espuma al azar, determine las siguientes probabilidades.Nota: Se recomienda realizar un diagrama de Venn.

a) P(A)= 20/100= 0.20 x 100= 20%b) P(B)=85/100= 0.85 x 100= 85%c) P(A')=1-P(A)= 1-0.20=0.80 x 100= 80%d) P(A∩B)=18/100= 0.18 x 100= 18%e) P(AUB)=P(A) +P(B) –P(A∩B)=0.20+0.85-0.18=0.87 x 100= 87%f) P(A'UB)= P(A') + P(B) - P(A'∩B)= 0.80+0.85-0.67=0.98 =98%

5._Se analizan las placas circulares plásticas de policarbonato de un proveedor para la resistencia a las ralladuras y la resistencia a los impactos.Los resultados de 100 placas se resumen a continuación.

Resistencia a los impactos

Alta Baja

Resistencia Alta 80 9

a las

ralladuras Baja 6 5

Sea que A denote el evento de que una placa circular tienen alta resistencia a los impactos y sea que B denote el evento de que una placa circular tiene alta resistencia a las ralladuras. Si se selecciona una placa circular al azar, determine las siguientes probabilidades.Nota: Se recomienda realizar un diagrama de Venn.

A' = { 5, 9} B= { 5, 80}A'∩B= {9}

a) P(A)= 86/100= 0.86b) P(B)=89/100= 0.89c) P(A')=1-86/100= 0.14d) P(A∩B)=80/100= 0.80e) P(AUB)=P(A) +P(B) –P(A∩B)=0.86-0.89-0.80= 0.95f) P(A'UB)= P(A') +P(B) –P(A'∩B)=0.14+0.89-0.09= 0.94g) P(A'UB')= P(A∩B) '= 1- P(A∩B)= 1-0.80= 0.20

2.6 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA.

Probabilidad Condicional.

La probabilidad condicional de un evento A dado un evento B, denotada por P(A/B), es 12

P( AB )=P ( A∩B )P (B )

Esta definición puede comprenderse al considerar el caso especial en todos los resultados de un experimento aleatorio son igualmente probables. Si existe un total de n resultados entoncesP(B)= ( de resultados en B)/n

Por otra parte,P(A∩B)= ( de resultados en A∩B)/n

En consecuencia,P(A∩B)/P(B)=( de resultados en A∩B)/( de resultados en B)

Por consiguiente, P(A/B) puede interpretarse como la frecuencia relativa de un evento A con respecto al de ensayos que producen un resultado en el evento B.12 MONTGOMERY, Douglas C. Op. Cit. Pág. 68

Ejemplo:Sea el caso de lanzar un par de dados corrientes. Si la suma es 6, hallar la probabilidad de que uno de los dados sea 2. En otras palabras, si

B= {suma es 6} = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}

A={ un 2 aparece por lo menos en un dado}

Hallar P(A│B).

Ahora E consta de 5 elementos y dos de ellos, (2, 4) y (4,2) pertenecen a A: A∩B= {(2, 4), (4,2) } Entonces P(A│B)= 2/5

Por otra parte, puesto que A consta de 9 elementos.A= { (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)}

y S consta de 36 elementos, P(A)=11/36

Ejemplo:Un hombre visita a un matrimonio que tiene dos hijos. Uno de los hijos, un

niño, entra en la sala. Hallar la probabilidad p de que el otro sea también niño si, (i) se sabe que le otro hijo (o hija) es menor, (ii) no se sabe nada del otro hijo.

El resultado muestral para el sexo de los dos hijos es S= { bb, bg, gb, bb } con probabilidad ¼ para cada muestra. (Aquí la serie de cada punto corresponde a la serie de nacimientos.)

(i) El espacio muestral reducido consta de 2 elementos {bb, bg } ; o sea P=1/2(ii) El espacio muestral reducido consta de 3 elementos { bb, bg, gb}; o sea p=1/3

Ejemplo:Si A y B son dos sucesos tales que P(A)=1/2, P(B)=2/3, )= P(A∩B)=1/4

Nota: Se recomienda utilizar un diagrama de Venn.

Calcular lo siguiente:a) P(A'UB) = P(A') +P(B)-P(A'∩B)= 6/12+8/12-5/12= 9/12 =3/4b) P(A'UB')= P(A∩B)' = 1- P(A∩B)= 12/12-3/12=9/12=3/4c) P(A'∩B')= P(AUB)' = 1- P(AUB)= 12/12 - 11/12= 1/12d) P(B'/ A')= P(A'∩B') = P(AUB)' = 1/12 ÷ 6/12 =1/6 P(A') P(A')

Ejemplo:En cierta facultad el 25% de los estudiantes perdieron matemáticas, el 15%

perdieron química y el 10% perdieron las dos. Se selecciona un estudiante al azar.a) Si perdió química ¿Cuál es la probabilidad de que perdió matemáticas?b) Si perdió matemáticas ¿Cuál es la probabilidad de que perdió química?c) ¿Cuál es la probabilidad de que perdió matemáticas o química?

P(M)=0.25P(Q)=0.15P(M∩Q)= 0.10

a) P(M/Q)=

P (M∩Q )P (Q ) = 0.10/0.15= 0.6666

b) P(Q/M)=

P (M∩Q )P (M ) =0.10/0.25= 0.4

c) P(MUQ)= P(M)+ P(Q) –P(M∩Q)= 0.25+ 0.15 – 0.10= 0.30

Regla de Multiplicación.

Si multiplicamos en cruz la ecuación que define la probabilidad condicional y usamos el hecho de que A∩B = B∩A, obtenemos la siguiente fórmula útil:13

13 LIPSCHUTZ, Seymour. Probabilidad. Pág.55

P(A∩B)= P(A│B)P(B)= P(B│A)P(A)

Ejemplo:Suponga que P(A/B)=0.40 y P(B)=0.50 ¿Cuál es la probabilidad de P(A∩B)?

P(A∩B)= (0.40) (0.50)= 0.20

Ejemplo:Un lote de 12 artículos tiene 4 defectuosos. Se toma al azar 3 artículos del

lote uno tras otro. Hallar la probabilidad p de que todos los 3 estén buenos.La probabilidad de que el primer artículo no sea defectuoso es 8/12 puesto que 8 entre los 12 no son defectuosos. Si el primero no es defectuoso entonces, la probabilidad de que el próximo artículo no sea defectuoso es 7/11 puesto que solamente 7 de los 11 sobrantes no son defectuosos. Si los dos primeros artículos no son defectuosos, entonces la probabilidad de que el último no sea defectuoso es 6/10 puesto que solamente 6 entre los 10 que quedan no son defectuosos. Así por el teorema de la multiplicación.

P= (8/12) (7/11) (6/10)= 14/55

Regla de probabilidad total para dos eventos dependientes.

P(B)= P(B∩A)+ P(B∩A') = P(B/A) P(A)+ P(B/A') P(A')

Ejemplo:Suponga que P(A/B)= 0.20, P(A/B')= 0.30, P(B)=0.80¿Cuál es la probabilidad de P(A)?

P(A) = P(B/A) P(A)+ P(B/A') P(A')P(A)= (0.20)(0.80)+(0.30)(0.20)P(A)= 0.16+0.06P(A)= 0.22

Ejemplo:

Suponga que: P(A/B)= 0.40, P(B)= 0.50 Hallar P( A'∩B)P(B∩A)= P(A/B) P(B)P(A∩B)= (0.40)(0.50)= 0.2

P(B)= P(B∩A)+P(B∩A' )P(B∩A' )= P(B) - P(B∩A)P(B∩A' )= 0.50-0.20P(B∩A' )= 0.30

Independencia (Probabilidad conjunta).

Se dice que un evento B es independiente de un evento A si la probabilidad de que B suceda no está influenciada porque A haya o no sucedido. En otras palabras, la probabilidad de que B iguala la probabilidad condicional de B dado A: P(B)=P(B│A). Ahora sustituyendo P(B) por P(B│A) en el teorema de la multiplicación P(A∩B)= P(A)P(B│A), obtenemos:P(A∩B)= P(A)P(B).14

Dos eventos son independientes si es verdadero cualquiera de los siguientes enunciados:

1) P(A/B)=P(A)2) P(B/A)=P(B)3) P(A∩B)= P(A)P(B)

Regla de multiplicación de múltiples eventos (independientes).

P(A1∩A2∩A3…∩An)= P(A1) P(A2) P(A3)… P(An)

Ejemplo:En una bolsa con 12 lapiceros negros, 14 lapiceros azules y 1 lapicero rojo,

se extraen 3 lapiceros sin reemplazo:a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener los dos primeros azules y el tercero

color negro?b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener el primero azul, el segundo rojo y le

tercero negro?c) ¿Cuál es la probabilidad conjunta de obtener tres lapiceros negros?d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener el tercer lapicero en color rojo sin

importar el color de los dos anteriores?

14 Idem. Pág.57

NN A

R

N NA A

R

R NA

NN A

R

A NA A

R

R NA

N NR A

A NA

Azul =14Negro =12Rojo = 1Total = 27a) P(A∩A∩N)= (14/27)(13/26)(12/25)=0.1244b) P(A∩R∩N)= (14/27)(1/26)(12/25)= 0.00957c) P(N∩N∩N)= (12/27)(11/26)(10/25)=0.07521d) P(*∩*∩R)= ?

Nota: Para resolver este inciso es necesario obtener todas las probabilidades de los dos primeros colores de lapiceros posibles.P(N∩N∩R)= (12/27)(11/26)(1/25)= 0.00752P(N∩A∩R)= (12/27)(14/26)(1/25)= 0.00957P(A∩N∩R)=(14/27)(12/26)(1/25)= 0.00957P(A∩A∩R)= (14/27)(13/26)(1/25)= 0.0103

Por lo tanto:P(*∩*∩R)= 0.00752+0.00957+0.00957+0.0103= 0.03696

2.7 TEOREMA DE BAYES15

Suponga que A1, A2,…, An es una partición de S y que B es cualquier evento. Entonces para cualquier i,

P (Ai│B)= P (Ai )P (B ¦Ai )

P (A 1 )P(B ¦A1)+P(A 2)P (B ¦A2)+. ..+P( An)P(B ¦An )

Ejemplo:Tres máquinas A, B, C producen respectivamente 50%, 30%, 20% del total

de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son 3%, 4%, 5%. Si se selecciona al azar un artículo. Hallar.

a) La probabilidad de que este artículo sea defectuoso.b) Suponga que se selecciona un artículo al azar y resulta ser defectuoso.

Hallar la probabilidad de que el artículo fue producido por la máquina A.

A Bx

B Bx

C Bx

a)P(x/A)P(A)+P(x/B)P(B)+P(x/C)P(C)=P(x)(0.30)(0.50)+(0.04)(0.30)+(0.05)(0.20)=P(x)P(x)=0.037

b)

P(A/X)=

P( x /A )P(A )P ( x /A )P (A )+P( x /B )P (B )+P ( x /C )P(C )

P(A/X)=

0 .03(0 .50 )0 .03 (0.50 )+0.04 (0 .30 )+0 .05(0 .20 ) = 0.405

15 LIPSCHUTZ, Seymour. Probabilidad. Pág. 56

Problemas resueltos.

Probabilidad Condicional en Espacios Finitos Equiprobables

Se lanza un par de dados corrientes. Hallar la probabilidad p de que la suma de sus s sea 10 o mayor si,

(i) Aparece un 5 en el primer dado,(ii) Aparece un 5 en uno de los dados por lo menos.

(i) Si aparece un 5 en el primer dado, entonces el espacio muestral reducido esA= {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}

La suma es 10 o mayor en dos de los 6 resultados: (5,5), (5,6) por lo tanto

p=26 =13

(ii) Si aparece un 5 por lo menos en un dado, entonces el espacio muestral reducido tiene 11 elementos:B= {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6,5)}

La suma es 10 o mayor en 3 de los 11 resultados: (5,5), (5,6), (6,5). Por lo tanto

p=311

Se lanzan tres monedas corrientes. Hallar la probabilidad p de que sean todas caras si,

(i) La primera de las monedas es cara,(ii) Una de las monedas es cara.

El espacio muestral tiene 8 elementos: S= { HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

(i) Si la primera moneda es cara, el espacio muestral reducido es A= {HHH, HHT, HTH, HTT}

Puesto que las monedas son todas caras en 1 de 4 casos, p=14

ii) Si una de las monedas es cara, el espacio muestral reducido es B= { HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH}

Puesto que las monedas son todas caras en 1 de 7 casos, p=17

Si lanza un par de dados corrientes. Si los dos s que aparecen son diferentes, hallar la probabilidad p de que,

(i) La suma sea 6(ii) Aparezca un as,(iii)La suma sea menor o igual a 4

De las 36 maneras que se pueden lanzar el par de dados, 6 contienen s repetidos: (1,1), (2,2),…(6,6). Así el espacio muestral reducido constará de 36-6=30 elementos. (i) La suma de 6 puede suceder de 4 maneras: (1,5), (2,4), (4,2), (5,1). (No

incluimos (3,3) puesto que los s son iguales) entonces p=430 =

215

(ii) Un as puede aparecer de 10 maneras: (1,2), (1,3),… (1,6), (2,1), (3,1), …(6,1).

Entonces p=1030 =

13

(iii) La suma menor o igual a 4 puede suceder de 4 maneras: (3,1), (1,3), (2,1),

(1,2). Así p=430 =

215

Se escogen al azar dos dígitos desde 1 hasta 9. si la suma es par, hallar la probabilidad p de que ambos s sean impares.

La suma es par si los s son impares o si son pares. Hay 4 pares (2, 4, 6, 8,); por

tanto hay

(4 ¿ ) ¿¿

¿¿=6 maneras de escoger dos s pares. Hay 5 impares (1, 3, 5, 7, 9); o

sea que hay

(5 ¿) ¿¿

¿¿=10 maneras de escoger dos s impares. Así hay 6 + 10 = 16

maneras de escoger dos s tales que su suma sea par; puesto que10 de estas

maneras suceden cuando los dos s son impares, p =

1016 =

58

A un hombre se reparten 4 espadas de una baraja corriente de 52 cartas. Si se le dan tres cartas más. Hallar la probabilidad p de que por lo menos una de las cartas adicionales sea también espada.

Puesto que recibió 4 espadas, quedan 52 - 4 = 48 cartas de las cuales 13 -4=9

Son espadas. Hay

(48 ¿ )¿¿

¿¿ = 17.296 maneras en las que se pueden recibir 3 cartas

más. Puesto que hay 48-9 = 39 cartas que no son espadas, hay

(39 ¿ ) ¿¿

¿¿=9139

maneras en que puede recibir 3 cartas que no son espadas probabilidad q de que

no reciba espadas es q. Así la =

913917 .296 ; por lo tanto

p = 1 – q =

815717 .296

Se reparten 13 cartas de una baraja corriente de 52 cartas a 4 personas que denominamos Norte, Sur, Este y Oeste.

(i) Si S no tiene ases, hallar la probabilidad p de que su compañero N tenga exactamente 2 ases. (ii) Si N y S juntos tienen 9 corazones, hallar la probabilidad p de que E y O tengan cada uno 2 corazones.

(i)Hay 39 cartas contando los 4 ases, repartidas entre N, E y O. hay

(39 ¿ ) ¿¿

¿¿maneras

de que N reciba 13 de 39 cartas. Hay

(4 ¿ ) ¿¿

¿¿maneras de que pueda recibir 2 de los 4

ases, y

(35 ¿ ) ¿¿

¿¿ maneras de que pueda recibir 11 cartas de las 39 – 4 = 35 cartas que

no son ases. Así

P =

(4 ¿ ) ¿¿

¿¿¿¿= 6∗12∗13∗25∗2636∗37∗38∗39 =

6502109

(ii)Hay 26 cartas, incluyendo 4 corazones, repartidos entre E y O. hay

(26 ¿ ) ¿¿

¿¿maneras de que. Por ejemplo, E pueda recibir 13 cartas (necesitamos solamente

analizar las 13 cartas de E puesto que O debe tener el resto.)Hay

(4 ¿ ) ¿¿

¿¿maneras

para que E puede recibir 2 corazones de los 4, y

(22 ¿ ) ¿¿

¿¿maneras para que el mismo

pueda recibir 11 no-corazones de 26 – 4 = 22 no-corazones. Así.

P =

(4 ¿ ) ¿¿

¿¿¿¿ = 6∗12∗13∗12∗1323∗24∗25∗26 =

234575

Teorema de la multiplicación.

Una clase tiene 12 niños y 4 niñas. Si se escogen 3 estudiantes de la clase al azar, ¿cuál es la probabilidad p de que sean todos niños?

La probabilidad de que el primer estudiante sea niño es 12/16 puesto que hay 12 niños entre los 16 estudiantes. Si el primero es un niño, entonces la probabilidad de que el segundo sea niño es 11/15 puesto que hay 11 niños entre los 15 restantes. Finalmente, si los primeros 2 escogidos son niños, entonces la probabilidad de que el tercero sea niño es 10/14 puesto que quedan 10 niños entre 14. Así, por el teorema de la multiplicación, la probabilidad de que todos 3 sean niños es

P=1216 *

1115

∗1014

=1128

Otro método. Hay

(16 ¿ ) ¿¿

¿¿=560 maneras de escoger 3 estudiantes entre 16, y

(12¿ )¿¿

¿¿=

220 maneras de escoger 3 niños entre 12; por lo tanto p=220560

=1128 .

Un tercer método. Si los estudiantes escogen uno después del otro, entonces hay 16*15*14 maneras de escoger 3 estudiantes, y 12*11*10 maneras de escoger 3

niños; por consiguiente p=12∗11∗1016∗15∗14

=1128 .

A un jugador le reparten 5 cartas una tras otra de una baraja corriente de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad p de que todas sean espadas?

La probabilidad de que la primera carta sea espada es 13/52, la segunda sea espada es 12 /51, la tercera 11/50, la cuarta 10/49, y la última 9/48. (Suponemos en cada caso que las cartas anteriores fueron espadas.) Así

P= 1352

∗1251

∗1150

∗1049

∗ 948

=3366 .640

Una urna contiene 7 bolas rojas y 3 bolas blancas. Se sacan 3 bolas de la urna una tras otra. Hallar la probabilidad p de que las 2 primeras sean rojas y la tercera blanca.

La probabilidad de que la primera bola sea roja es 7/10 puesto que hay 7 rojas entre las 10 bolas. Si la primera bola es roja, entonces la probabilidad de que la

tercera sea blanca es 3/8 puesto que quedan 3 blancas entre las 8 bolas restantes en la urna. Entonces por el teorema de la multiplicación,

P= 710

∗69∗38= 740

Los estudiantes de una clase se escogen al azar, uno tras otro, para presentar un examen. Hallar la probabilidad p de que niños y niñas queden alternados si,

(i) La clase consta de 4 niños y 3 niñas(ii) La clase consta de 3 niños y 3 niñas

(i) Si los niños y las niñas se alternan, el primer estudiante examinado debe ser niño. La probabilidad de que el segundo sea niña es 3/6 puesto que hay 3 niñas entre los 6 restantes. Continuando en esta forma, obtenemos que la probabilidad de que el tercero sea niño es 3/5, que el cuarto sea niña es 2/4, que el quinto sea niño es 2/3, que el sexto sea niña es 1/2, y que el último sea niño es 1/1. Así

P=47∗36∗35∗24∗23∗12∗11= 135

(ii) Hay dos casos mutuamente exclusivos: el primer estudiante es un niño, y el primero es una niña. Si el primer estudiante es un niño, entonces por el teorema de la multiplicación la probabilidad p1 de que los estudiantes se alternen es

P1=36∗35∗24∗23∗12∗11= 120

Si el primer estudiante es una niña, entonces por el teorema de la multiplicación la probabilidad p2 de que los estudiantes se alternen es

P2= 36∗35∗24∗23∗12∗11= 120

Así, p = p1 +p2=120

+ 120

= 110

Problemas Varios Sobre Probabilidad Condicional

Sean los eventos A y B con P(A) =

38 , P(B)=

58 y P(AUB) =

34 . Hallar la P(A/B)

y P(B/A).

Primero calculemos P( A∩B) usando la fórmula P(AUB) = P(A)+P(B)- P(A∩B):

34=38+ 58−P( A∩B )

o P(A∩B)=

14

Así, P(A/B)=

P (A∩B )P (B )

=

1458

=25

y P(B/A)=

P (B∩A )P(A )

=

1438

=23

Hallar P(B/A) si,(i) A es un subconjunto de B(ii) A y B son mutuamente exclusivos.

(i) Si A es un subconjunto de B, entonces siempre que A suceda, B debe suceder; por lo tanto P(B/A)= 1. A su turno, si A es un subconjunto de B entonces A∩B = A; entonces

P(B/A)=

P (A∩B )P(A )

=P( A )P( A )

=1

(i) (ii)

(ii) Si A y B son mutuamente exclusivos, esto es, disyuntos, entonces siempre que A suceda, B no puede suceder; por lo tanto la P(B/A)= 0. Alternadamente, si A y B son mutuamente exclusivos entonces A∩B = Ø; por lo tanto

P(B/A)=

P (A∩B )P(A )

=P(Φ )P( A )

= 0p (A )

=0

En cierta facultad, 4% de los hombres y 1% de las mujeres tienen más de 6 pies de estatura. Además, 60% de los estudiantes son mujeres. Ahora bien si se selecciona al azar un estudiante y es más alto que 6 pies, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante sea mujer?

Sea A= {estudiantes de más de 6 pies}. Buscamos la P(W/A), probabilidad de que el estudiante sea una mujer dado que el estudiante es de más de 6 pies. Por el teorema de bayes,

P(W/A)=

P (W )P(A /W )P (W )P(A /W )+P (M )P( A /M )

=(0 .60 ) (0 .01 )

(0 .60 ) (0 .01 )+(0.40 ) (0 .40 )= 311

Procesos Estocásticos Finitos

Una caja contiene tres monedas; una moneda es corriente, una moneda tiene dos caras y una moneda está cargada de modo que la probabilidad de obtener

cara sea

18 . Se selecciona una moneda al azar y se lanza. Hallar la probabilidad p

de que salga cara.

Construimos el diagrama de árbol como se muestra en la figura (a) siguiente. Obsérvese que I se refiere a la moneda corriente, II a la de doble cara y III a la moneda cargada. Ahora las caras aparecen a lo largo de tres de las trayectorias; por lo tanto

p=

13∗12+ 13∗1+ 1

3∗13=1118

HI

T

II H

HIII

T

(a)

Se nos da tres urnas como sigue:Una urna A contiene 3 bolas rojas y 5 blancas.Una urna B contiene 2 bolas rojas y 1 blanca.Una urna C contiene 2 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una urna al azar y se saca una bola de la urna. Si la bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna A?

Se construye el diagrama de árbol como se muestra en la figura (b)

RA

W

RB

W

RC

W(b)

Buscamos la probabilidad de que se seleccione A, dado que la bola es roja; esto es, P(A/R). Con el fin de hallar P(A/R), es necesario calcular primero P(A∩R) y P(R).

La probabilidad de que se seleccione A y se saque una bola roja es

13∗38=18 ; esto

es, P(A∩R)=

18 . Puesto que hay 3 trayectorias que conducen a la bola roja, P(R)=

13∗38+ 13∗23+13∗25=173360 . Entonces

P(A/R)=

P (A∩R )P (R )

=

18173360

=45173

Alternadamente, por el teorema de Bayes,

P(A/R)=

P( A )P (R /A )P (A )P(R/A )+P (B )P(R /B )+P (C )P(R/C )

=

13∗88

13∗88+ 13∗28+ 13∗25

=45173

La caja A contiene 9 cartas numeradas de 1 a 9, y la caja B contiene 5 cartas

numeradas de 1 a 5. Se escoge una caja al azar y se saca una carta. Si él es par, hallar la probabilidad de que la carta proceda de la caja A.

El diagrama de árbol del proceso se muestra en la figura (a ) siguiente.Buscamos P(A/E), probabilidad de que se seleccione A, dado que él es par.

La probabilidad de que se escoja la caja A y un par es

12∗49= 29 ; esto es,

P(A∩E)=

29 . Puesto que hay dos trayectorias que conducen a un par, P(E)=

12∗49+ 12∗25=1945 . Así

P(A/E)=

P (A∩E )P(E )

=

291945

=1019

Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 blancas. Se saca una bola de la urna y se remplaza por una del otro color. Se saca de la urna una segunda bola.(i) Hallar la probabilidad p de que la segunda bola sea roja (ii) Si ambas bolas son del mismo color, ¿cuál es la probabilidad p de que las 2 sean blancas?

Construimos el diagrama de árbol como se muestra en la figura (b.)

(b)(i) Dos trayectorias del diagrama de árbol conducen a bola roja:

p=310

∗ 210

+ 710

∗ 410

=1750

(ii) La probabilidad de que ambas bolas fueron blancas es 710

∗ 610

=2150 . La

probabilidad de que ambas bolas fueran del mismo color, esto es, la probabilidad

del espacio muestral reducido, es 310

∗ 210

+ 710

∗ 610

=1225 . Por lo tanto la

probabilidad condicional p=

21501225

=78

.

Se nos dan 2 urnas como sigue:La urna A contiene 3 bolas rojas y 2 blancas.La urna B contiene 2 bolas rojas y 5 blancas.Se selecciona al azar una urna; se saca una bola y se coloca en la otra urna; luego se saca una bola de la segunda urna. Hallar la probabilidad p de que las 2 bolas sacadas sean del mismo color.

Construimos el siguiente diagrama de árbol.

RR

WA

RW

W

RR

WB

RW

W

Nótese que si se selecciona la urna A y se saca una bola roja y se coloca en la urna B, entonces la urna B tiene 3 bolas rojas y 5 blancas. Puesto que hay 4 trayectorias que conducen a 2 bolas del mismo color,

P=12∗35∗38+ 12∗25∗34+12∗27∗23+ 12∗57∗12=9011680

Independencia

Sea A = al evento de que una familia tenga niños de ambos sexos; y sea B= al evento de que una familia tenga a lo sumo un niño.

(i) Comprobar que A y B son eventos independientes si una familia tiene tres hijos.

(ii) Comprobar que A y B son eventos independientes si una familia tiene dos hijos.

(i) Tenemos el espacio equiprobable S = { bbb, bbg, bgb, bgg, gbb, gbg, ggb ggg }. Aquí

A ={ bbg, bgb, bgg, gbb, gbg, ggb} y así P(A) = 6/8 =34

B ={ bgg, gbg, ggb, ggg} y así P(B) = 4/8 =12

A∩B ={ bgg, gbg, ggb, } y así P(A∩B)= 38

Puesto que P(A)* P(B) = (3/4) (1/2) =3/8 = P(A∩B), A y B son independientes.(ii) Tenemos el espacio equiprobable S = { bb, bg, gb, gg}. Así

A = { bg, gb } y así P(A) = 12

B = {bg, gb, gg} y así P(B) =34

A∩B = {bg, gb } y así P(A∩B)= 12

Puesto que P(A) P(B)≠P(A∩B), A y B son dependientes.

Probar si A y B son eventos independientes, entonces A’ y B’ son eventos independientes.

P(A’∩B’) = P((AUB)’) = 1-P(AUB)= 1-P(A) – P(B) + P(A∩B). = 1-P(A) – P(B) + P(A) P(B) = [1-P(A) ] [1-P(B) ] = P(A’) P(B’).

La probabilidad de que un hombre vivirá 10 años más es ¼, y la probabilidad de que su esposa vivirá 10 años más es 1/8. Hallar la probabilidad de que,

(i) ambos estén vivos dentro de 10 años (ii) al menos uno estará vivo a los 10 años(iii) ninguno estará vivo a los 10 años(iv) solamente la esposa estará viva a los 10 años

Sea A = al evento de que el hombre viva a los 10 años, y B = al evento de que su

esposa esté viva a los 10 años; entonces P(A) =1/4 y P(B) = 13

(i) Buscamos P(A∩B). Puesto que A y B son independientes, P(A∩B) = P(A) P(B)

= (1/4) (1/3) =13

(ii) Buscamos P(AUB). P(AUB) = P(A) + P(B) –P(A∩B) = ¼ +1/3 – 1/12 =12

(iii) Buscamos P(A’∩B’). Ahora P(A’) = 1-P(A) = 1-1/4 = ¾ y P(B’) = 1-P(B) = 1-1/3 = 2/3. Además, puesto que A’ y B’ son independientes, P(A’∩B’) = P(A’) P(B’)

= ¾ * 2/3 = 12 .

Alternadamente, puesto que

(AUB)’ = A’∩B’, P(A’∩B’) = P((AUB)’) = 1-P(AUB) = 1-1/2 = 12

(iv) Buscamos P(A’∩B). Puesto que P(A’) = 1-P(A) = ¾ y A’ y B son

independientes, P(A’∩B) = P(A’) P(B) =12 .