Andalucía Study Groups with Industry

Procedimientos-Uno

Análisis Matricial de

SubestructurasDiego Fernández Pérez

Introducción a la empresa

Procedimientos-Uno desarrolla y distribuye software de cálculo técnico para arquitectura e ingeniería desde 1990.

La empresa tiene un amplio portfolio de productos que incluyen:

Diseño y cálculo de estructuras, Diseño y cálculo de instalaciones edificatorias e

industriales, Verificación de cumplimiento normativo, Diseño y cálculo de infraestructuras urbanas y energéticas

Ofrece además a su mercado una gama de servicios y productos (Formación, Hardware, Consumibles…)

Procedimientos-Uno, I+D Siendo una empresa centrada en el desarrollo de productos

software con alrededor de un centenar en el mercado, Procedimientos-Uno ha desarrollado una serie de proyectos y propuestas de investigación aplicada.

En ocasiones ha recibido financiación pública europea (2 proyectos), nacional y autonómica (1 proyecto) para I+D

Ha participado en redes de excelencia y trabajado con grupos de investigación de universidades españolas y extranjeras.

Es vicepresidente del CTN71 SC7 de Ingeniería de Software de AENOR, es miembro de la Iniciativa Española de Software y Servicios (INES) y participa y ha participado en varias asociaciones y sociedades científicas.

Entiende que la relación con la comunidad universitaria es imprescindible para mantener su posición en el mercado.

Introducción al problema

ESwin: Programa 3D de cálculo de estructuras

Modelo creado: Elementos lineales (vigas, pilares,…): Se

modela por barras. Elementos superficiales (forjados,

muros,…): Se modela por emparrillados. Algunos elementos de cimentación

(zapatas, vigas flotantes,…): Se modela por entramados de barras.

Modelo creado

Modelo final: Nudos conectados por barras

Problema = Sistema Matricial

Características de la Matriz de Rigidez

Matriz simétrica. Matriz en banda. Número filas = 6 * NumNodos. Ancho semibanda = 6 * DifMaxNum.

La banda en estructuras grandes tiene características dispersas (muchos ceros debido a nudos no conectados).

Planteamiento del Problema

Tamaño aproximado en torno a 36*NumNodos*DifMax.

En ordenadores convencionales, para estructuras grandes hay problemas de memoria (hay que paginar a disco por lo que se dispara el tiempo de cálculo).

El problema se agrava debido a que durante el cálculo estructural hay que resolver el sistema varias veces.

Solución = Subestructuras

Descomponer una estructura grande en subestructuras, resolviendo estas por separado y condensando todas en la matriz general.

Condensación Estática Si llamamos:

E ≡ Es la estructura completa Si ≡ Subestructura i Ec ≡ Es la estructura condensada

(E) Conjunto(Si) (Ec)

Condensación Estática. Método 1

A ≡ Es el conjunto de nodos de la estructura condensada (Ec).

B ≡ Es el conjunto de nodos internos de las subestructuras (Si).

Fuente: Miguel Cervera Ruiz, Elena Blanco Díaz. Análisis matricial de estructuras de barras. Ediciones UPC, 1998.

Condensación Estática. Método 1

Problemas del Método 1

Partimos de una reordenación inicial de los nudos (por Cuthill-McKee), minimizando DifMaxNum. Para aplicar este método necesitamos una reordenación de filas y columnas de la matriz general.

No proporciona división en subestructuras.

Lento: Hay que resolver una inversa.

Condensación Estática. Método 2

Fuente: Juan Tomás Celigüeta. Curso de análisis estructural. Editorial EUNSA.

Condensación Estática. Método 2

Matriz de rigidez de la subestructura reducida a los nodos de contorno.

Vector de fuerzas exteriores de la subestructura reducido a los nodos de contorno.

Matriz de rigidez de la subestructura i condensada a los nodos de contorno.

Condensación Estática. Método 2

Se establece la ecuación de equilibrio del conjunto de la estructura total condensada.

U ≡ Conjunto de todos los nudos de contorno de las subestructuras más los nudos no incluidos en ninguna de las subestructuras.

KUU ≡ Matriz de rigidez del conjunto U, obtenida mediante ensamblaje de las matrices condensadas de las subestructuras y los elementos no incluidos en ellas

Problemas del Método 2

Necesitamos una reordenación de nodos por cada subestructura, manteniendo su referencia con la reordenación general de la estructura completa.

Lento: Hay que resolver inversas.

Condensación Estática. Método 3

Se esta implementando y desarrollando para el programa ESwin 3D.

Construimos la matriz de rigidez de la subestructura Sb (reordenando los nudos de contorno al final).

Condensamos los nodos de la subestructura Sb utilizando un método de Gauss modificado.

  

Condensación Estática. Método 3

Obtenemos así el sistema condensado para la subestructura Sb.

Procediendo de esta forma, obtenemos un sistema condensado para los nodos de contorno.

Por principio de acción y reacción, las acciones incógnita se anulan al ensamblar el sistema en la estructura Ec.

Condensación Estática. Método 3

Si llamamos: E ≡ Es la estructura completa Si ≡ Subestructura i Ec ≡ Es la estructura condensada

(E) Conjunto(Si) (Ec)

Condensación Estática. Método 3

Planteando el sistema matricial de la estructura condensada Ec.

Ensamblando en este sistema las matrices de las subestructuras condensadas, eliminamos las acciones incógnita PG y obtenemos el sistema final de la estructura condensada Ec.

Cuestiones que se Plantean

Cuestiones generales: Optimización de la numeración de nodos, estructuras de datos para las matrices, métodos de resolución de los sistemas lineales que se plantean.

Implementación eficiente en memoria y tiempo de cálculo para los métodos empleados. ¿Cuál sería más eficiente?.

Alternativas: Otras formas de condensación, métodos de descomposición de dominios,…