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UNIVERSIDAD DE EL SALVADORFACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y

MATEMATICAESCUELA DE MATEMATICA

MAESTRIA EN MATEMATICAFUNDAMENTAL

PLAN DE ESTUDIOS

CUIDAD UNIVERSITARIA, NOVIEMBRE DE 2012

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INDICE INDICEIndice

1. GENERALIDADES 4

2. JUSTIFICACION 5

3. OBJETIVOS 63.1. OBJETIVO GENERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4. PERFIL DE INGRESO 6

5. ORGANIZACION DEL PROGRAMA DE ASIGNATURA 75.1. FORMACION BASICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.2. FORMACION ESPECIALIZADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.3. FORMACION PROFESIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

6. SISTEMA DE EVALUACION DE LA CARRERA. 8

7. PLAN TIPO DE LA MAESTRIA EN MATEMATICA FUNDAMENTAL 97.1. Catalogo de Asignaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

8. PLAZO DE ACTUALIZACION 10

9. REQUISITOS DE GRADUACION 10

10.PERFIL PROFESIONAL DEL EGRESADO 11

11.PROGRAMAS 1211.1. Geometra Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1211.2. Topologa General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411.3. Curvas Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511.4. Geometra Diferencial de Curvas y Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1711.5. Topologa Algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1911.6. Algebra Conmutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011.7. Variedades Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2211.8. Geometra Algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2411.9. Algebra Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.10.Seminario I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2811.11.Seminario II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

12.DURACION DE ESTUDIOS 32

13.HORAS PRACTICAS Y TEORICAS 32

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INDICE INDICE

14.PLAN DE IMPLEMENTACION 3314.1. MECANISMO DE SELECCION DE LOS ESTUDIANTES. . . . . . . . . . . . . . 3314.2. RECURSOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

14.2.1. PLANTA DOCENTE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314.2.2. LABORATORIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

15.ANEXO 3415.1. PLAN DE FINANCIAMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

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1 GENERALIDADES

1. GENERALIDADES DE LA MAESTRIA EN MATEMATICA FUNDAMEN-TAL

Universidad : Universidad de El Salvador.

Facultad : Ciencias Naturales y Matematica.

Nombre : Maestra en Matematica Fundamental.

Requisitos de Ingreso : Tener un grado universitario de Licenciadoo Ingeniero como mnimo.

Ttulo a otorgar : Maestro(a) en Matematica Fundamental.

Duracion en anos : 2 anos, cuatro ciclos lectivos.

Numero de asignaturas : 11.

Numero de Unidades Valorativas : 67.

Sede donde se imparte : Escuela de Matematica de la Facultad deCiencias Naturales y Matematica,Unidad Central de la Universidad de El Salvador.

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2 JUSTIFICACION

2. JUSTIFICACION DE LA MAESTRIA EN MATEMATICA FUNDAMENTAL

Las matematicas tienen gran aplicacion en las diferentes areas de conocimiento, sin embargo,a menudo surge el cuestionamiento entre los profesores de matematica, Para que les ensenomatematica a mis alumnos? Incluso aun mas: Se que es importante la matematica, pero... comoles explico la importancia de este hecho a mis alumnos para motivarlos a aprender matematica?.En definitiva, cual es la regla magica para motivar a los alumnos en el aprendizaje de la cienciasmatematicas? La respuesta es compleja, pero la complejidad proviene del propio emisor que trans-mite el conocimiento. Si un profesor no tiene a mano las respuestas a las preguntas anteriores, esaltamente probable que haga falta mayor conocimiento matematico para explicar con elegancia ysencillez los diferentes problemas que se han resuelto con las herramientas matematicas y la grancontribucion de los matematicos al desarrollo de otras ciencias. Es evidente, que para desarrollarel proceso de ensenanza-aprendizaje de la matematica y hacer investigaciones matematicas al masalto nivel del conocimiento se requiere de una solida formacion matematica.En general, en el proceso de ensenanza-aprendizaje existen tres factores fundamentales:

1. conocimiento a ensenar

2. bibliografa a utilizar

3. evaluacion

De entre estos, el aspecto mas importante, en todos los niveles de ensenanza, es El conocimientoa ensenar. Es natural pensar que es necesario saber lo que uno pretende ensenar. En el caso de laensenanza de la Matematica el problema es mas complicado dado que es una ciencia con muchasramas entre las cuales podemos destacar Algebra, Analisis, Geometra, Topologa, entre otras.Dichas ramas son las herramientas que sirven para abordar diversos problemas de la realidad endiferentes disciplinas, tales como: ingeniera, economa, biologa, qumica, medicina, etc.

La Escuela de Matematica de la Facultad de Ciencias Naturales y Matematica, conciente de laimportancia de avanzar en el conocimiento matematico, crea la Maestra en Matematica Fundamen-tal, la cual tiene como proposito la formacion de especialistas en Matematica, que contribuyan aldesarrollo de dicha ciencia a nivel nacional e internacional; as como la aplicacion de la matematicapara el desarrollo de otras ciencias e incidir en la calidad de la ensenanza de la Matematica en lascarreras de grado que incluyan esa area del conocimiento. De forma directa, se incidira en el forta-lecimiento de la carrera de Licenciatura en Matematica, Licenciatura en Estadstica y Profesoradoen Matematica ya que se contara con una mayor formacion y actualizacion del personal docentevinculado con dichas carreras.

Finalmente, la creacion de la Maestra en Matematica Fundamental coadyuvara a cumplir lo es-tablecido en el Reglamento General del Sistema de Escalafon de la UES que garantiza la formacioncontinua del personal docente. Ademas generara los espacios necesarios para la formacion de losnuevos cuadros que realizaran el relevo generacional de la planta docente que se desempena en elarea de la Matematica.

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4 PERFIL DE INGRESO

3. OBJETIVOS DE LA MAESTRIA EN MATEMATICA FUNDAMENTAL

3.1. OBJETIVO GENERAL

Formar profesionales con alto nivel academico y competencias para realizar investigaciones cientficasen las areas de Topologa, Geometra y Algebra.

3.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS

1. Capacitar profesionales al nivel adecuado para afrontar los requerimientos de la docenciauniversitaria, ademas de contar con los conocimientos basicos para acceder a programas deDoctorado en el extranjero.

2. Contar con personal capacitado para realizar labores de asesora y apoyo matematico enproyectos de investigacion o de desarrollo en otras disciplinas.

3. Ofrecer a graduados de la Licenciatura en Matematica y carreras afines la posibilidad de pro-fundizar en los conocimientos de Matematica Fundamental, formando as recursos humanoscon excelentes capacidades para integrar grupos de investigacion interdisciplinarios en lasdiversas aplicaciones de la Matematica.

4. Formar profesionales de alto nivel en el ambito de la matematica que puedan incorporarse aequipos de investigacion multidisciplinares en sectores externos al mundo academico. Ademas,ser capaces de abordar problemas en la frontera del conocimiento matematico para construirnuevas teoras.

5. Contar con una planta docente de Matematica con vision de formacion, capacitacion continuay que promuevan el desarrollo cientfico.

4. PERFIL DEL PROFESIONAL QUE SE PRETENDE FORMAR

El aspirante debera poseer conocimientos avanzados de Matematica Basica (Calculo Real en una yvarias variables, Nociones de Analisis Matematico, Estructuras Algebraicas, Geometra Eucldea yAnaltica). Ser capaz de hacer demostraciones matematicas de resultados sencillos; entender textosde matematicas en ingles; ademas, debe mostrar interes por el proceso de ensenanza-aprendizaje yutilizar las tecnologas de la informacion y de la comunicacion. Este perfil se espera que lo cumplanestudiantes con estudios de Licenciatura en Matematica o carreras afines a esta (ver el apartadomecanismo de seleccion de los estudiantes para tener mayor claridad de la jerarquizacion de lascarreras afines con la Matematica).

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5 ORGANIZACION DEL PROGRAMA DE ASIGNATURA

5. ORGANIZACION DEL PROGRAMA DE ASIGNATURA DE LA MAESTRIAEN MATEMATICA FUNDAMENTAL.

Los contenidos a desarrollar se organizan en tres grupos de asignaturas: el grupo basico que in-cluye 3 asignaturas de fundamentacion matematica, el bloque de asignaturas de la especialidadde Algebra, Topologa y Geometra constituido por seis asignaturas y el area profesional que estaconstituida por dos seminarios de matematica donde se abordaran topicos avanzados del area deespecialidad.

N Area Asignaturas U.V1 Basica 3 152 Especialidad 6 363 Profesional 2 16

Total 11 67

5.1. AREA DE FORMACION BASICA

Con esta area de formacion se pretende que el estudiante adquiera los conocimientos necesariosque seran utilizados en los contenidos avanzados de la especializacion.

Objetivo: Proporcionar a los estudiantes los conocimientos basicos de Geometra, Topologa yAlgebra.

5.2. AREA DE FORMACION ESPECIALIZADA

En esta area de formacion, el estudiante profundizara en los conocimientos de las tres areas que seofertan: Geometra, Topologa y Algebra.

Objetivo: Especializar la formacion matematica del estudiante.

5.3. AREA DE FORMACION PROFESIONAL

En esta area, el estudiante incursionara en las aplicaciones de la matematica que requieren de suformacion especializada, en alguna disciplina matematica. Se realizara lectura crtica de artculoscientficos de matematica y se haran nuevas propuestas metodologicas de abordaje de problemasy desarrollo de nuevas teoras matematicas.

Dentro de esta area estan los cursos de seminario, donde se incluiran tematicas de investigacionpor parte del docente para que sean desarrolladas por los estudiantes. Estas varan desde discusionde artculos de actualidad, seminarios sobre topicos especializados en una de las ramas de: Geo-metra, Topologa o Algebra. Y ademas nuevos enfoques y teoras. Permitiendo definir un area deinvestigacion en particular, de acuerdo al interes de especializacion de cada estudiante.

Objetivo: Dotar al estudiante de una lnea de investigacion en una de las tres ramas siguientes:Geometra, Topologa o Algebra.

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6 SISTEMA DE EVALUACION DE LA CARRERA.

6. SISTEMA DE EVALUACION DE LA CARRERA.

Las evaluaciones tendran como proposito que el docente y los estudiantes dispongan de elementospara conocer la eficiencia del proceso ensenanza-aprendizaje, el desarrollo de la investigacion, elgrado de realizacion de los objetivos senalados en el programa y promocion de la asignatura.

Se contempla la evaluacion mediante examenes escritos, solucion de ejercicios y/o problemas odesarrollo de un trabajo de investigacion de las asignaturas basicas y de la especialidad.

La evaluacion de las asignaturas de la Maestra en Matematica Fundamental se efectuara conformese vaya realizando el desarrollo de los contenidos programaticos, siendo el docente responsable quiendecidira las estrategias de evaluacion a aplicar de acuerdo con la metodologa empleada. El numeromnimo de actividades evaluativas por asignatura sera de cinco. Para efectos de promocion la ca-lificacion mnima sera de siete punto cero (7.0).

En caso de no aprobar la asignatura durante el desarrollo regular de los contenidos de la misma, elestudiante tendra derecho unicamente a un segundo examen de reposicion al finalizar el desarrollode la asignatura, en el cual se evaluara el contenido completo de la asignatura y la nota mnima deaprobacion es de 7.0; los estudiantes que obtengan 7.0 o mas en el examen de reposicion aprobaranla asignatura.

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7 PLAN TIPO DE LA MAESTRIA EN MATEMATICA FUNDAMENTAL

7. PLAN TIPO DE LA MAESTRIA EN MATEMATICA FUNDAMENTAL

UNIVERSIDAD DE EL SALVADORFACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICA

MAESTRIA EN MATEMATICA FUNDAMENTAL

Universidad : Universidad de El Salvador.Facultad : Ciencias Naturales y MatematicaCarrera : Maestra en Matematica FundamentalAno de aprobacion : 2012.Total de asignaturas : 11Total de unidades valorativas : 67.Modalidad de apredizaje : Asignaturas-Presencial

CICLO I CICLO II CICLO III CICLO IV CICLO V

1 MLI1109 4 MGD1109 7 MVD1109 10 MSM1109 12 MGR1109

GeometraLineal

GeometraDiferencialde Curvas ySuperficies

VariedadesDiferencia-

bles

Seminario I Tesis degrado

5 6 1 6 4 8 7

2 MTO1109 5 MTA1109 8 MGA1109 11 MSM2109

TopologaGeneral

TopologaAlgebraica

GeometraAlgebraica

SeminarioII

5 6 2 6 6 8 8

3 MCR1109 6 MAC1109 9 MCP1109

CurvasAlgebraicas

AlgebraConmutati-

va

AlgebraComputa-

cional

5 6 6

Corr. Cdigo

ASIGNATURA

U.V. Prerr.

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7.1 Catalogo de Asignaturas 9 REQUISITOS DE GRADUACION

7.1. Catalogo de Asignaturas

Codigo Materia UV PrerrequisitoCiclo I

MLI1109 Geometra Lineal 5 Licenciatura o IngenieraMTO1109 Topologa General 5 Licenciatura o IngenieraMCR1109 Curvas Algebraicas 5 Licenciatura o Ingeniera

Ciclo IIMGD1109 Geometra Diferencial de Curvas y Superficies 6 Geometra LinealMTA1109 Topologa Algebraica 6 Topologa General

MAC1109 Algebra Conmutativa 6 Licenciatura o IngenieraCiclo III

MVD1109 Variedades Diferenciables 6 Geometra Diferencialde Curvas y Superficies

MGA1109 Geometra Algebraica 6 Algebra Conmutativa

MCP1109 Algebra Computacional 6 Licenciatura o IngenieraCiclo IV

MSM1109 Seminario I 8 Variedades DiferenciablesMSM2109 Seminario II 8 Geometra Algebraica

Ciclo VMGR1109 Tesis de Grado Egresado

8. PLAZO DE ACTUALIZACION DE PLAN DE ESTUDIOS

La revision del Plan de Estudios se hara de forma continua durante la ejecucion del mismo, a fin deincorporar oportunamente los avances en Topologa, Geometra y Algebra y mantener actualizadodicho Plan. Sin embargo, cada tres anos se realizara un revision profunda al programa tanto deforma como de contenido y en este momento se incorporaran los avances en Topologa, Geometray Algebra.La Direccion de la Maestra en Matematica Fundamental sera la responsable de la revision y haralas propuestas de modificacion necesarias a las instancias respectivas.

9. REQUISITOS DE GRADUACION

Para graduarse de Maestro(a) en Matematica Fundamental sera necesario tener aprobadas las asig-naturas del plan de estudios y presentar una tesis sobre una investigacion especfica en una de lastres areas: Algebra, Geometra o Topologa. El ttulo a obtener es el de Maestro(a) en MatematicaFundamental y sera otorgado por la Universidad de El Salvador.

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10 PERFIL PROFESIONAL DEL EGRESADO

La tesis de grado debera ser aprobada, previa defensa publica, mediante la evaluacion decada uno de los miembros del tribunal; este estara integrado por tres academicos, uno delos cuales sera el Director de la investigacion. La tesis de Maestra debera iniciarse unavez completada las Unidades Valorativas y se tendra como maximo un ano para concluirla,despues de finalizadas las asignaturas, el cual puede ser prorrogable segun lo establecido en elReglamento General del Sistema de Estudios de Posgrado de la Universidad de El Salvador.

Haber obtenido el CUM mnimo de siete punto cero (7.0).

Haber cumplido satisfactoriamente doscientas (200) horas del servicio social el cual puedeiniciarse como lo establece el reglamento de Proyeccion Social, despues de aprobado el 60 %de la Maestra en Matematica Fundamental.

Presentar en la Administracion Academica de la Facultad de Ciencias Naturales y Matematica,la documentacion que sea requerida para el correspondiente tramite de graduacion.

10. PERFIL PROFESIONAL DEL EGRESADO DE MAESTRIA EN MATEMATICAFUNDAMETAL.

1. Poseer una solida formacion en Matematica; capaz de crear y mantener nuevas lneas deinvestigacion en Matematica y de desempenarse con solvencia como docente universitario.

2. Poseer pensamiento logico, analtico, crtico, y abstracto que le permite realizar investiga-ciones que contribuyen con el desarrollo del conocimiento.

3. Aplicar los conocimientos y metodos estudiados en la solucion de problemas relacionados consu especialidad.

4. Saber aplicar los metodos y tecnicas matematicas a diversos problemas de la realidad.

5. Tener competencia cientfica suficiente para la incorporacion a grupos activos de investi-gacion.

6. Saber aplicar los conocimientos adquiridos y desarrollar la capacidad en la resolucion deproblemas en entornos nuevos o pocos conocidos dentro de contextos mas amplios (o multi-disciplinares) relacionados con el Algebra, Geometra y Topologa.

7. Tener capacidad para elaborar y desarrollar razonamientos matematicos avanzados.

8. Resolver problemas matematicos avanzados, planificando su resolucion en funcion de lasherramientas disponibles y de las restricciones de tiempo y recursos.

9. Expresarse correcta y eficazmente en forma oral y escrita, domina el lenguaje matematico ypresenta sus razonamientos con claridad, precision y en forma apropiada para la audiencia ala que van dirigidos.

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11 PROGRAMAS

11. PROGRAMAS DE ASIGNATURAS



11.1. Geometra Lineal

Numero : 1Codigo :MLI1109Prerrequisito : Licenciatura o IngenieraNumero de horas : 100Horas teoricas semanales : 5Horas practicas semanales : 1.25Duracion del ciclo en semanas : 16Duracion de la hora clase : 50 minutosUnidades Valorativas : 5Ciclo : I

Objetivos:Introducir los conceptos basicos y dotar al alumno de familiaridad y manejo de la geometra afn,eucldea y proyectiva. Este manejo sera necesario para las asignaturas de geometra posteriores enla maestra.

Metodologa:Sesiones teoricas y practicas, resolucion de ejercicios por parte de los alumnos.

Contenidos:

a) Espacios y subespacios afines. Coordenadas cartesianas. Orientacion.

b) Afinidades.

c) Espacios afines eucldeos. Angulos y distancias.

d) Proyecciones ortogonales. Isometras.

e) Espacios y subespacios proyectivos. Coordenadas homogeneas.

f) Aplicaciones proyectivas y proyectividades.

g) Relacion entre espacio afn y espacio proyectivo.

h) Conicas y cuadricas afines, eucldeas y proyectivas.

Sistema de EvaluacionLas actividades de evaulacion consisten en dos examenes parciales y tareas, la ponderacion decada una de las actividades evaluadas estaran definidas en el programa de estudio que elabore el

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11.1 Geometra Lineal 11 PROGRAMAS

profesor responsable de la asignatura.

Bibliografa:

E. Arrondo, Apuntes de Geometra Proyectiva, http://www.mat.ucm.es/ arrondo/geoproy.pdf

M. Audin, Geometry, Universitext Springer 2003.

M. Castellet, I. Llerena, Algebra lineal y geometra, Editorial Reverte 1994.

E. Hernandez, Algebra y Geometra, Addison-Wesley Iberoamericana Espana, UniversidadAutonoma de Madrid, D.L. 1999.

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11.2 Topologa General 11 PROGRAMAS



11.2. Topologa General

Numero : 2Codigo :MTO1109Prerrequisito : Licenciatura o IngenieraNumero de horas : 100Horas teoricas semanales : 5Horas practicas semanales : 1.25Duracion del ciclo en semanas : 16Duracion de la hora clase : 50 minutosUnidades Valorativas : 5Ciclo : I

Objetivos:Recordar los conceptos basicos sobre espacios topologicos, profundizando en los conceptos decompacidad y conexion y en las tecnicas para construir espacios topologicos. Adquirir el rigormatematico propio de esta asignatura y necesario para todas las matematicas.

Metodologa: Sesiones teoricas y practicas, resolucion de ejercicios por parte de los alumnos.

Contenidos:

a) Repaso de teora de conjuntos. Espacios metricos.

b) Espacios topologicos. Entornos, sucesiones. Aplicaciones continuas.

c) Subespacios. Espacios producto. Espacios cociente.

d) Axiomas de numerabilidad y separacion.

e) Compacidad.

f) Conexion.

Sistema de Evaluacion Las actividades de evaulacion consisten en al menos dos examenes par-ciales y tareas, la ponderacion de cada una de las actividades evaluadas estaran definidas en elprograma de estudio que elabore el profesor responsable de la asignatura.

Bibliografa:

Bert Mendelson,Introduction to Topology, 3 ed., Dover Publications, 1990.

Stephen Willard, General Topology, Addison-Wesley Publishing, 1970.

Martin Crosseley, Essential Topology, Springer Verlang, 2005.

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11.3 Curvas Algebraicas 11 PROGRAMAS



11.3. Curvas Algebraicas

Numero : 3Codigo :MCR1109Prerrequisito : Licenciatura o IngenieraNumero de horas : 100Horas teoricas semanales : 5Horas practicas semanales : 1.25Duracion del ciclo en semanas : 16Duracion de la hora clase : 50 minutosUnidades Valorativas : 5Ciclo : I

Objetivos: Introducir al alumno al estudio de las curvas algebraicas, en especial planas, tantoafines como proyectivas, como motivacion para la geometra algebraica y el algebra conmutativa.Conseguir una intuicion geometrica para representar y entender las curvas algebraicas. Adquirir elmanejo de metodos elementales para estudiar curvas algebraicas; en concreto, parametrizar ramasde curva y calcular multiplicidades de interseccion. Demostrar resultados clasicos como la cota delnumero de singularidades de una curva plana irreducible, las formulas de Plucker y el teorema deBezout.

Metodologa: Sesiones teoricas y practicas, resolucion de ejercicios por parte de los alumnos .

Contenidos:

a) Ejemplos de curvas algebraicas. Parametrizaciones racionales.

b) Curvas algebraicas afines y proyectivas.

c) Puntos lisos y singulares. Tangentes y puntos de inflexion.

d) Interseccion de curvas. Resultantes.

e) Teorema de Newton-Puiseux. Teorema de Bezout.

f) Curva polar. Curva dual. Formulas de Plucker.

g) Sistemas lineales de curvas.

h) Estructura de grupo de una cubica.

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11.3 Curvas Algebraicas 11 PROGRAMAS

Sistema de Evaluacion. Las actividades de evaulacion consisten en al menos dos examenes par-ciales y tareas, la ponderacion de cada una de las actividades evaluadas estaran definidas en elprograma de estudio que elabore el profesor responsable de la asignatura.

Bibliografa:

G. Fischer, Plane Algebraic Curve, Student Math. Lib. AMS, 2001.

C.G. Gibson, Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction,Cambridge Univ. Press, 1998.

M.J. de la Puente, Curvas algebraicas plana, Universidad de Cadiz, 2007.

F. Kirwan, Complex Algebraic Curves, Cambridge Univ. Press, 1992.

R.J. Walker, Algebraic Curves, Princeton, 1950.

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11.4 Geometra Diferencial de Curvas y Superficies 11 PROGRAMAS



11.4. Geometra Diferencial de Curvas y Superficies

Numero : 4Codigo :MGD1109Prerrequisito : Geometra LinealNumero de horas : 120Horas teoricas semanales : 6Horas practicas semanales : 1.8Duracion del ciclo en semanas : 16Duracion de la hora clase : 50 minutosUnidades Valorativas : 6Ciclo : II

Objetivo: Introducir al estudiante en la geometra diferencial de curvas y superficies en el espacioeucldeo tridimensional.


Contenidos:

a) Teora local de curvas en el espacio eucldeo: Curvas regulares. Parametrizacion por longitudde arco. Referencia de Frenet: Curvatura y torsion.

b) Teora local de superficies. Superficies regulares: Representacion local parametrica e implcita.Plano tangente en un punto. Aplicaciones entre superficies. Primera forma fundamental.Isometras. Aplicacion de Gauss-Weingarten. Segunda forma fundamental. Curvaturas y di-recciones principales. Curvatura de Gauss. Direcciones asintoticas. Geodesicas.

c) Geometra intrnseca local de superficies: Smbolos de Christoffel. Teorema Egregio de Gauss.Ecuaciones de compatibilidad. Transporte paralelo. Teorema de Gauss-Bonnet para triangulosgeodesicos pequenos.

d) Geometra global de superficies: Superficies homeomorfas, difeomorfas, isometricas y con-gruentes. Teorema fundamental de congruencia. Superficies rgidas.

Sistema de Evaluacion Las actividades de evaulacion consisten en al menos dos examenes par-ciales y tareas, la ponderacion de cada una de las actividades evaluadas estaran definidas en elprograma de estudio que elabore el profesor responsable de la asignatura.

Bibliografa:

M.P. do Carmo, Geometra diferencial de curvas y superficies, Alianza, 1990.

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11.4 Geometra Diferencial de Curvas y Superficies 11 PROGRAMAS

M. Lipschutz, Teora y problemas de Geometra Diferencial, McGraw-Hill, 1971.

A.M. Amores, Curso basico de curvas y superficies, Sanz y Torres, 2001.

Javier Lafuente, Geometra diferencial de curvas y superficies.Publicacion interna del De-partamento de Geometra y Topologa. UCM 2010.

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11.5 Topologa Algebraica 11 PROGRAMAS



11.5. Topologa Algebraica

Numero : 5Codigo :MTA1109Prerrequisito : Topologa GeneralNumero de horas : 120Horas teoricas semanales : 6Horas practicas semanales : 1.8Duracion del ciclo en semanas : 16Duracion de la hora clase : 50 minutosUnidades Valorativas : 6Ciclo : II

Objetivos: Distinguir espacios topologicos mediante tecnicas de topologa algebraica: homologay homotopa (grupo fundamental). Clasificacion de superficies topologicas.


Contenidos:

a) Nociones geometricas subyacentes: Homotopa, tipo de homopota. Complejos celulares. Ope-raciones con espacios.

b) El grupo fundamental: Caminos y homotopa. El grupo fundamental del crculo. Productolibre de grupos. Teorema de Van Kampen.

c) Espacios recubridores.

d) Homologa simplicial y singular. Calculo y aplicaciones.

e) Clasificacion de superficies compactas.

Sistema de Evaluacion. Las actividades de evaulacion consisten en al menos dos examenes par-ciales y tareas, la ponderacion de cada una de las actividades evaluadas estaran definidas en elprograma de estudio que elabore el profesor responsable de la asignatura.

Bibliografa:

W. S. Massey, Algebraic Topology: An Introduction, Springer 1977.

Allan Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.

Fred Croom, Basic Concepts of Algebraic Topology, Springer Verlang, 1978

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11.6 Algebra Conmutativa 11 PROGRAMAS



11.6. Algebra Conmutativa

Numero : 6Codigo :MAC1109Prerrequisito : Licenciatura o IngenieraNumero de horas : 120Horas teoricas semanales : 6Horas practicas semanales : 1.8Duracion del ciclo en semanas : 16Duracion de la hora clase : 50 minutosUnidades Valorativas : 6Ciclo : II

Objetivos:Estudio de los anillos conmutativos y de las estructuras algebraicas relacionadas con ellos comoideales, anillos cociente, modulos, con especial enfasis en el caso de los anillos de polinomios ycon un enfoque geometrico. Manejo de las construcciones y conceptos basicos como los de ani-llos noetherianos, dependencia entera, normalizacion de Noether, localizacion, descomposicionprimaria, dimension y normalizacion. Este manejo sera necesario para el modulo de geometraalgebraica posterior en la maestra.

Metodologa: Sesiones teoricas y practicas, resolucion de ejercicios por parte de los alumnos .

Contenidos:

a) Introduccion a la teora de anillos, ideales y modulos.

b) Anillos y modulos noetherianos.

c) Dependencia entera. Lema de normalizacion de Noether-Nullstellensatz.

d) Anillos de fracciones y localizacion.

e) Descomposicion primaria.

f) Dimension.

g) Anillos locales regulares, anillos de valoracion discreta, anillos normales.

Sistema de Evaluacion.Las actividades de evaulacion consisten en al menos dos examenes parciales y tareas, la ponderacionde cada una de las actividades evaluadas estaran definidas en el programa de estudio que elaboreel profesor responsable de la asignatura.

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11.6 Algebra Conmutativa 11 PROGRAMAS

Bibliografa:

M.F. Atiyah, I.G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-WesleyPublishing Co., 1969.

J. S. Milne, A primer course of Commutative Algebra. Taiaroa Publishing, 2005.

M. Reid, Undergraduate Commutative Algebra, London Math. Soc., 1995.

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11.7 Variedades Diferenciables 11 PROGRAMAS



11.7. Variedades Diferenciables

Numero : 7Codigo :MVD1109Prerrequisito : Geometra Diferencial de Curvas y SuperficiesNumero de horas : 120Horas teoricas semanales : 6Horas practicas semanales : 1.8Duracion del ciclo en semanas : 16Duracion de la hora clase : 50 minutosUnidades Valorativas : 6Ciclo : III

Objetivos: Entender la nocion de variedad y conocer los conceptos principales sobre variedades:campos, tensores y formas diferenciables, as como la integracion en variedades.

Metodologa: Sesiones teoricas y practicas, resolucion de ejercicios por parte de los alumnos

Contenidos:

a) Variedades diferenciables inmersas y abstractas. Variedades con borde.

b) Espacio tangente a una variedad. Aplicaciones diferenciables.

c) Campos de vectores. Corchete de Lie. Conexiones.

d) Tensores y formas diferenciables.

e) Operadores sobre formas. Diferencial exterior.

f) Integracion en variedades.

g) Teorema de Hopf y Gauss-Bonnet.

Sistema de Evaluacion.Las actividades de evaulacion consisten en al menos dos examenes parciales y tareas, la ponderacionde cada una de las actividades evaluadas estaran definidas en el programa de estudio que elaboreel profesor responsable de la asignatura.

Bibliografa:

R. Abraham, J. Marsden, T. Ratiu, Manifolds, tensor analysis and applications, Springer,1988.

M. do Carmo, Differential forms and applications, Springer-Verlag, 1994.

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11.7 Variedades Diferenciables 11 PROGRAMAS

A. M. Amores, Integracion y formas diferenciales: Un curso de Analisis Vectorial, Sanz yTorres, 2003.

J. M. Gamboa, J.M. Ruiz, Introduccion al estudio de las variedades diferenciables, Sanz yTorres, 2006.

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11.8 Geometra Algebraica 11 PROGRAMAS



11.8. Geometra Algebraica

Numero : 8Codigo :MGA1109

Prerrequisito : Algebra ConmutativaNumero de horas : 120Horas teoricas semanales : 6Horas practicas semanales : 1.8Duracion del ciclo en semanas : 16Duracion de la hora clase : 50 minutosUnidades Valorativas : 6Ciclo : III

Objetivos:Estudio de las variedades algebraicas en el espacio afn y en el espacio proyectivo y de las aplica-ciones entre ellas, haciendo uso de los conocimientos algebraicos adquiridos en el modulo de AlgebraConmutativa. Desarrollo de un diccionario de conceptos algebraicos y geometricos. Percepcion dela diferencia entre propiedades intrnsecas (como la irreducibilidad, la dimension, la lisitud...) yextrnsecas (como el grado de una variedad proyectiva). Percepcion de las relaciones y diferenciasentre las propiedades de las variedades afines y de las variedades proyectivas.

Metodologa: Sesiones teoricas y practicas, con especial enfasis en ejemplos significativos, reso-lucion de ejercicios por parte de los alumnos.

Contenidos:

a) Variedades algebraicas afines. Diccionario algebro-geometrico.

b) Morfismos y aplicaciones racionales.

c) Lema de normalizacion de Noether. Dimension.

d) Espacio tangente. Puntos lisos y puntos singulares.

e) Resolucion de singularidades: explosion y normalizacion.

f) Variedades algebraicas proyectivas.

g) El polinomio de Hilbert. Grado y genero aritmetico.

Sistema de Evaluacion.Las actividades de evaulacion consisten en al menos dos examenes parciales y tareas, la ponderacionde cada una de las actividades evaluadas estaran definidas en el programa de estudio que elabore

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11.8 Geometra Algebraica 11 PROGRAMAS

el profesor responsable de la asignatura.

Bibliografa:

B. Hassett, Introduction to Algebraic Geometry, Cambridge University Press 2007.

M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, London Math. Soc., Student Texts 12, 1988.

D. Perrin, Algebraic Geometry. An introduction, Springer 2008.

K. Smith et al., An Invitation to Algebraic Geometry, Springer 2000.

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11.9 Algebra Computacional 11 PROGRAMAS



11.9. Algebra Computacional

Numero : 9Codigo :MCP1109Prerrequisito :Licenciatura o IngenieraNumero de horas : 120Horas teoricas semanales : 6Horas practicas semanales : 1.8Duracion del ciclo en semanas : 16Duracion de la hora clase : 50 minutosUnidades Valorativas : 6Ciclo : III

Objetivos:Presentar y usar algoritmos para decidir propiedades (que se estudian en Algebra Moderna) delanillo de numeros enteros y de los anillos de polinomios, como irreducibilidad y divisibilidad.Presentar y usar algoritmos para hacer calculos en ejemplos que se han visto en los modulosde Algebra Conmutativa y Geometra Algebraica. Manejar estos algoritmos usando programasinformaticos. Dar aplicaciones de resultados algebraicos a la Criptografa.

Metodologa:Sesiones teoricas y practicas (con uso de programas informaticos), resolucion de ejercicios por partede los alumnos.Contenidos:

a) Algoritmo de Euclides.

b) Algoritmos modulares.

c) Resultantes.

d) Factorizacion de polinomios. Factorizacion de numeros enteros.

e) Aplicaciones a la Criptografa.

f) Bases de Groebner.

g) Aplicaciones al Algebra Conmutativa y a la Geometra Algebraica: pertenencia a un ideal,eliminacion, implicitacion, interseccion de ideales, multiplicidad de interseccion.

Sistema de Evaluacion.Las actividades de evaulacion consisten en al menos dos examenes parciales, tareas y practicasde laboratorio, la ponderacion de cada una de las actividades evaluadas estaran definidas en el

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11.9 Algebra Computacional 11 PROGRAMAS

programa de estudio que elabore el profesor responsable de la asignatura.

Bibliografa:

J. Buchmann, Introduction to Cryptography, Springer-Verlag, 2. ed. 2004.

D. Cox, J. Little, D. OShea, Ideals, Varieties and Algorithms, Springer-Verlag, 3. ed. 2007.

D. Cox, J. Little, D. OShea, Using Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 2 ed. 2005.

J. von Zv. Gathen, J. Gerhard, Modern Computer Algebra, Cambridge Univ. Press, 1999.

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11.10 Seminario I 11 PROGRAMAS



11.10. Seminario I

Numero : 10Codigo :MSM1109Prerrequisito : Variedades DiferenciablesNumero de horas : 160Horas teoricas semanales : 7Horas practicas semanales : 3.1Duracion del ciclo en semanas : 16Duracion de la hora clase : 50 minutosUnidades Valorativas : 8Ciclo : IV

Objetivos: Profundizar en los contenidos de Topologa de Variedades y Geometra Riemannianapara dotar a los estudiante de una lnea de investigacion.

Metodologa: Se incluiran tematicas de investigacion por parte del docente para que sean de-sarrolladas por los estudiantes. Estas varan desde discusion de artculos de actualidad, seminariossobre topicos especializados en: Topologa de Variedades y Geometra Riemanniana. Permitiendodefinir un area de investigacion en particular, de acuerdo al interes de especializacion de cadaestudiante.

Contenidos:

Topicos en Geometra Riemanniana

a) Conexiones, curvatura, geodesicas.

b) Espacios simetricos y espacios homogeneos.

c) Curvatura y topologa: variedades de curvatura positiva, curvatura negativa y de cur-vatura no positiva.

Lectura y discusion de artculos cientficos sobre Espacios simetricos y espacios homogeneos.

Topicos en Topologa de Variedades

a) Caracterizacion de Rn

b) Variedades contractibles de Whitehead.

c) Teorema de Schoenflies generalizado.

d) Caracterizacion de la n-esfera.

Lectura y discusion de artculos cientficos sobre Teorema de Schoenflies generalizado.

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11.10 Seminario I 11 PROGRAMAS

Sistema de Evaluacion.Las actividades de evaulacion consisten en investigacion y exposicion de un tema selecionado y unexamen parcial, la ponderacion de cada una de las actividades evaluadas estaran definidas en elprograma de estudio que elabore el profesor responsable de la asignatura.

Bibliografa:

M.P.Do Carmo, Geometra Riemanniana, 2 edicion, 1988.

B. ONeill, Semi-Riemannian geometry with applications to relativity, 1983.

Robert Hermann, Differential Geometry and the calculus of variations, Academic Press 1968.

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11.11 Seminario II 11 PROGRAMAS



11.11. Seminario II

Numero : 11Codigo :MSM2109Prerrequisito : Geometra AlgebraicaNumero de horas : 160Horas teoricas semanales : 7Horas practicas semanales : 3.1Duracion del ciclo en semanas : 16Duracion de la hora clase : 50 minutosUnidades Valorativas : 8Ciclo : IV

Objetivos: Profundizar en los contenidos de Teora de Singularidades para dotar a los estudiantede una lnea de investigacion.

Metodologa:

Se incluiran tematicas de investigacion por parte del docente para que sean desarrolladas por losestudiantes. Estas varan desde discusion de artculos de actualidad, seminarios sobre topicos espe-cializados en Teora de Singularidades. Permitiendo definir un area de investigacion en particular,de acuerdo al interes de especializacion de cada estudiante.

Contenidos:

Teora de Singularidades

a) Funciones analticas de varias variables.

b) Curvas planas. Teorema de Puiseux.

c) Resolucion de singularidades.

d) Topologa de singularidades de hipersuperficies.

e) Resolucion de superficies.

Lectura y discusion de artculos cientficos sobre Resolucion de Singularidades.

Lectura y discusion de artculos cientficos sobre Resolucion de Superficies.

Sistema de Evaluacion.

Las actividades de evaulacion consisten en investigacion y exposion de un tema, la ponderacion decada una de las actividades evaluadas estaran definidas en el programa de estudio que elabore el

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11.11 Seminario II 11 PROGRAMAS

profesor responsable de la asignatura.

Bibliografa:

Wall, CTC, Singular points of plane curves, London Math. Soc. 2004.

Jongs T. de, Pfister, G, Local Analytic Geometry, Vieveleg, 2000.

Milnor, J.W., Singular points of Complex hypersurfaces, Princeton U. Press, 1968.

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13 HORAS PRACTICAS Y TEORICAS

12. DURACION DE ESTUDIOS Y TOTAL DE UNIDADES VALORATIVAS

El alumno debera acreditar las 67 unidades valorativas del plan de estudios en un perodo de 2anos equivalentes a cuatro ciclos lectivos.

La Unidad Valorativa equivale a 20 horas de trabajo academico del estudiante, atendidas por undocente, entiendase la hora academica de 50 minutos.

13. NUMERO DE HORAS PRACTICAS Y TEORICAS

El desarrollo de las asignaturas tiene un caracter intensivo y continuo durante todo el ano, esdecir, el ciclo academico impar inicia en febrero y termina en julio; mientras que el ciclo academicopar inicia en agosto y termina en diciembre. Se implementa esta estrategia de trabajo para queel desarrollo de la Maestra en Matematica Fundamental sea compatible con la actividad docenteo profesional ordinaria, tanto de los profesores visitantes como de los profesores o profesionalesasistentes a las mismas.

En la Maestra en Matematica Fundamental se ofertan 11 asignaturas: Tres de 100 horas-clase,seis de 120 horas-clase y dos de 160 horas-clase, distribuidas en horas teoricas y horas practicas deabordaje del desarrollo del contenido de cada asignatura. Las cuales se describen a continuacion:

Horas teoricas: Son clases magistrales expositivas-participativas, impartidas por profesoresde la Universidad Complutense de Madrid, Profesores de la Universidad de El Salvador yProfesores de Universidades Cooperantes, con grado de doctor o master en Matematica oareas afines, el numero de horas teoricas por asignatura son las siguientes:

a) 80 horas para las asignaturas de 5 unidades valorativas.

b) 90 horas para las asignaturas de 6 unidades valorativas.

c) 110 horas para las asignaturas de 8 unidades valorativas.

Horas practicas: son horas de clase donde se desarrollan ejercicios, problemas o clasespracticas en el centro de computo de la Escuela de Matematica, estas clases son coordinadaspor profesores de la Universidad Complutense de Madrid, Profesores de la Universidad deEl Salvador y Profesores de Universidades Cooperantes, con grado de doctor o master enMatematica o areas afines, el numero de horas practicas por asignatura son las siguientes:

a) 20 horas para las asignaturas de 5 unidades valorativas.

b) 30 horas para las asignaturas de 6 unidades valorativas.

c) 50 horas para las asignaturas de 8 unidades valorativas.

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14 PLAN DE IMPLEMENTACION

14. PLAN DE IMPLEMENTACION

14.1. MECANISMO DE SELECCION DE LOS ESTUDIANTES.

La seleccion de los estudiantes estara basada en las calificaciones y promedios obtenidos ensus estudios previos, eligiendo los que hayan obtenido el promedio y CUM mas alto.

Tipo de profesion y/o experiencia laboral: La seleccion se hara segun la siguiente jerarqua

1. Licenciados(as) en Matematica.

2. Licenciados(as) en Estadstica.

3. Licenciados(as) en Fsica.

4. Licenciados(as) en Ciencias de la Computacion.

5. Licenciados(as) en Qumica.

6. Ingenieros(as) en cualquier especialidad.

7. Licenciados(as) en Economa.

8. Otras carreras.

La jerarquizacion anterior refleja la afinidad de algunas carreras con la Licenciatura enMatematica.

14.2. RECURSOS

14.2.1. PLANTA DOCENTE.

Para implementar la Maestra en Matematica Fundamental se cuenta con personal docente congrado de Maestra o Doctorado de la Escuela de Matematica de la Facultad de Ciencias Naturales yMatematica de la Universidad de El Salvador, profesores de la Universidad Complutense de Madrid,Espana, y otras universidades cooperantes, para la promocion 2013-2014 se tiene confirmada laparticipacion de los siguientes profesores:

1. Dr. Bazzoni, Giovanni : Catedratico de la Universidad Complutense de Madrid, Facultadde Ciencias Matematicas, Departamento de Geometra y Topologa.

2. Dra. Mallavibarrena Martnez de Castro, Raquel: Profesor Titular de la UniversidadComplutense de Madrid, Facultad de Ciencias Matematicas, Departamento de Algebra.

3. Dr. Arrondo Esteban, Enrique: Profesor Catedratico de Escuela Universitaria, de laUniversidad Complutense de Madrid, Facultad de Ciencias Matematicas, Departamento deAlgebra.

4. Dr. Melle Hernandez, Alejandro: Profesor Titular de la Universidad Complutense deMadrid, Facultad de Ciencias Matematicas, Departamento de Algebra.

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15 ANEXO

5. Dra. Rosado, Eugenia: Profesor de Escuela Universitaria, de la Universidad Complutensede Madrid, Facultad de Ciencias Matematicas, Departamento de Geometra y Topologa.

6. Dra. Daz Sanchez, Raquel: Profesor Titular de la Universidad Complutense de Madrid,Facultad de Ciencias Matematicas, Departamento de Geometra y Topologa

7. Dr. Gallego Rodrigo, Francisco Javier: Profesor Titular de la Universidad Complutensede Madrid, Facultad de Ciencias Matematicas, Departamento de Algebra.

8. Dr. Castrillon Lopez, Marco: Profesor Titular de la Universidad Complutense de Madrid,Facultad de Ciencias Matematicas, Departamento de Geometra y Topologa.

9. Dra. Alonso Garca, Mara Emilia: Profesor Titular de la Universidad Complutense deMadrid, Facultad de Ciencias Matematicas, Departamento de Algebra.

10. MSc. Guerra Caceres, Martn Enrique: Profesor de la Universidad de El Salvador,Facultad de Ciencias Naturales y Matematica, Escuela de Matematica.

11. Dr. Funes Torres, Jose Nerys: Profesor de la Universidad de El Salvador, Facultad deCiencias Naturales y Matematica, Escuela de Matematica.

12. Dr. Pena, Simon Alfredo Profesor de la Universidad de El Salvador, Facultad de CienciasNaturales y Matematica, Escuela de Matematica.

14.2.2. LABORATORIOS Y MEDIOS INFORMATICOS.

La Escuela de Matematica cuenta con un Laboratorio Informatico, con acceso a Internet y softwarenecesario para el desarrollo de cada asignatura que lo requiera, el cual estara disponible en el horarioasignado a la Maestra en Matematica Fundamental.

15. ANEXO

15.1. PLAN DE FINANCIAMIENTO

Para desarrollar la Maestra en Matematica Fundamental que iniciara en el ciclo I del ano 2013,se cuenta con $50,000.00 dolares (USD), que han sido otorgados por el Programa Jovenes Ta-lento de la Universidad de El Salvador dentro de la componente Programa de Formacion dePersonal del presupuesto extraordinario de Inversion. Estos fondos economicos seran utilizadospara movilizar aproximadamente a nueve profesores de la Universidad Complutense de Madrid queimpartiran igual numero de asignaturas en la Maestra en Matematica Fundamental.

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15.1 PLAN DE FINANCIAMIENTO 15 ANEXO

Los estudiantes de la Maestra en Matematica Fundamental tendran que pagar anualmente, enconcepto de Matrcula y registro academico de la Maestra la cantidad de $ 70.00 dolares anual;ademas, una cuota mensual de $60.00 dolares. La matrcula y registro academico de la Maestrase cancelara en una sola cuota en la fecha que se especifique para dicho pago.

Los docentes de la Universidad de El Salvador y los graduados de las carrera de Licenciatura enMatematica o Licenciatura en Estadstica que se imparten en la Facultad de Ciencias Naturales yMatematica de la Universidad de El Salvador, que se inscriban como estudiantes de la Maestraen Matematica Fundamental que inicia en el ano 2013, se exoneraran con el 100 % de la cuotamensual, no as de la matrcula y registro academico que tendran que pagar el 100 %. Para losestudiantes que se inscriban en la Maestra, cuyas promociones inicien en el 2015 en adelante nohabra ningun tipo de exoneracion, a excepcion que se cuente con financiamiento de institucionescooperantes nacionales o internacionales para desarrollar la Maestra. En todo caso los docentesde la UES podran gozar siempre de la exoneracion segun lo especificado en el Reglamento Generalde Sistema de Estudios de Posgrado de la Universidad de El Salvador.

Los profesionales que no laboren en la UES y que deseen asistir unicamente a las asignaturas desu especialidad o interes laboral, tendran que cancelar unicamente la cantidad de $ 125.00 dolarespor asignatura. Si laboran en la UES tendran que pagar unicamente $ 60.00 dolares por asignatu-ra. El estudiante que asista unicamente a las asignaturas de su especialidad, no tendra derecho aequivalencias en futuras promociones de la Maestra.

Finalmente, el programa de Maestra en Matematica Fundamental es considerado Proyecto AcademicoEspecial y los fondos economicos ingresaran a la cuenta de Maestra de la UES.

INGRESO DE FONDOS A LA MAESTRIA

Para desarrollar la Maestra en Matematica Fundamental promocion 2013-2014, se cuenta con50,000.00 dolares, que han sido otorgados por el Programa Jovenes Talento de la Universidadde El Salvador dentro de la componente Programa de Formacion de Personal, lo cual garantizael desarrollo exitoso de dicha promocion sin necesidad de que los estudiantes paguen las cuotasmensuales. Para el desarrollo de las futuras promociones de la Maestra se contara con una plantadocente de la Escuela de Matematica de la Facultad de Ciencias Naturales y Matematica de laUniversidad de El Salvador, graduados de la misma Maestra que asumiran como carga academicadocente el desarrollo de algunas asignaturas.

Por otra parte, se haran gestiones ante organismos nacionales e internacionales para buscar finan-ciamiento para el desarrollo de la Maestra. En el area de gestion se tiene mucha experiencia, ya quela Maestra en Estadstica que se desarrolla en la Escuela de Matematica lleva cuatro promocionesfinanciada por la cooperacion internacional.

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TABLA DE PRESUPUESTO DE INGRESO

Descripcion Unidad Cantidad SubtotalEstudiantes Inscritos en la Maestra en Matematica FundamentalMatrcula y registro academico de la Maestra 70.00 2 140.00en Matematica FundamentalCuota Mensual (Docentes y graduados de la UES) 60.00 20 1,200.00Cuota Mensual (profesionales que laboran fuera de la UES) 60.00 20 1,200.00Profesionales que deseen cursar asignaturas de su especialidadAsignatura (Docentes y graduados de la UES) 60.00 2* 120.00Asignatura (otros profesionales que laboran fuera de la UES) 125.00 2* 250.00

* Se preve que los profesionales que cursaran asignaturas de su especialidad o interes laboral,asistiran al menos a dos asignaturas.Se preve un grupo total de 20 estudiantes: 10 docentes de la UES, 8 graduados de la carrera deLicenciatura en Matematica o Estadstica de la UES y 2 profesionales no docente de la UES y nograduado de la carrera de Licenciatura en Matematica o Estadstica de la UES. Por otra parte,se asume que asistiran cuatro profesionales que deseen cursar asignaturas de su especialidad : Dosque laboran fuera de la UES y no graduado de la UES y dos que laboran en la UES.

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DETALLE DE PRESUPUESTO DE INGRESO, 2013-2014

N de estudiantes (20) Unidad Cantidad* Subtotal Total $*Estudiantes Inscritos en la Maestraen Matematica Fundamental20 pagaran: Matrcula y registro academico 70.00 2 140 2,800.002 pagaran: Cuota Mensual(laboran fuera 60.00 20 1,200 2,400.00de la UES y no graduado de la UESProfesionales que deseen cursarasignaturas de su especialidad2 profesionales que laboran en la UES 60.00 2 120 240.00o graduados de la UES2 profesionales que laboran fuera 125 2 250.00 500.00de la UES y no graduados de la UESTotal de ingresos $5,940.00

*Los datos de la ultima columna (total) se obtuvieron multiplicando la columna subtotal por elnumero de estudiantes de cada modalidad, que se encuentran especificados en la primera columna.

Los ingresos totales seran utilizados para el fortalecimiento de la Maestra en Matematica Funda-mental; como por ejemplo, compra de equipo tecnologico, bibliografico, pago de boletos aereos ogastos de la estada de profesores visitantes que apoyen el desarrollo de la Maestra.

GASTOS PRESUPUESTADOS: MAESTRIA EN MATEMATICA FUNDAMEN-TAL

Descripcion Unidad Cantidad Costo SubtotalServicios de fotocopias pagina 10,000 $0.03 $300Hospedaje de profesores extranjeros da 270 $45 $ 12,150Viaticos y alimentacion de profesores extranjeros da 270 $65 $17,550Trasporte local de profesores extranjeros da 20 $25 $500Pago de profesores especializados de la UES asignatura 3 $1,200 $3600Trasporte Aereo profesores extranjeros boleto 9 $1700 $15,300TOTAL DE GASTOS $49,400

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GENERALIDADESJUSTIFICACINOBJETIVOSOBJETIVO GENERALOBJETIVOS ESPECFICOS

PERFIL DE INGRESOORGANIZACIN DEL PROGRAMA DE ASIGNATURAFORMACIN BSICAFORMACIN ESPECIALIZADAFORMACIN PROFESIONAL

SISTEMA DE EVALUACIN DE LA CARRERA.PLAN TIPO DE LA MAESTRA EN MATEMTICA FUNDAMENTALCatlogo de Asignaturas

PLAZO DE ACTUALIZACINREQUISITOS DE GRADUACINPERFIL PROFESIONAL DEL EGRESADOPROGRAMASGeometra LinealTopologa GeneralCurvas AlgebraicasGeometra Diferencial de Curvas y SuperficiesTopologa Algebraicalgebra ConmutativaVariedades DiferenciablesGeometra Algebraicalgebra ComputacionalSeminario ISeminario II

DURACIN DE ESTUDIOSHORAS PRCTICAS Y TERICASPLAN DE IMPLEMENTACINMECANISMO DE SELECCIN DE LOS ESTUDIANTES.RECURSOSPLANTA DOCENTE.LABORATORIOS

ANEXOPLAN DE FINANCIAMIENTO

msc in math

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