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IDEAS PREVIAS
1. Planos paralelos. 2.Planos perpendiculares
3.Planos oblicuos.
CUERPO GEOMÉTRICO
Un Sólido o Cuerpo Geométrico es una figura geométrica
de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar
en el espacio y en consecuencia tiene un volumen.
1.- PrismasLos prismas son
poliedros que tienen:
Prisma triangular
Prisma rectangular
Prisma pentagonal
Prisma hexagonal
dos caras paralelas que
son polígonos iguales, y
Base
Base
las caras restantes
paralelogramos.Arista
lateral
Arista básica
Cara
lateral
Altura
Los elementos fundamentales
de un prisma se indican para el
caso del prisma pentagonal
Base: 3 lados
Base: 6 ladosBase: 4 lados
Base: 5 lados
La pirámides son poliedros que tiene:
Las caras de la pirámide forman la superficie piramidal.
En las pirámides, las caras laterales son siempre triángulos. Por tanto, para distinguirlas
y nombrarlas se utiliza el polígono de la base.
una cara que es un polígono, y
las caras restantes triángulos que se encuentran en el
vértice.
Base: 3 lados
Pirámide
triangular
Base: 4 lados
Pirámide
cuadrangular
Base: 5 lados
Pirámide
pentagonal
Base: 6 lados
Pirámide
hexagonal
2.- Pirámides
• Las figuras que están a la izquierda son poliedros.
• Las caras que limitan al poliedro son polígonos.
• Las aristas son los lados de las caras; cada dos
caras contiguas tienen una arista en común.
• Los vértices son los puntos donde concurren tres o
más caras.
Un poliedro es regular cuando sus caras son iguales y en cada vértice
concurre el mismo número de aristas (o caras). Sólo existen cinco poliedros
regulares.
(Entre paréntesis se indica el número de caras)
Un poliedro es la región del espacio determinada por polígonos. Las
caras del poliedro forman la superficie del poliedro.
3.- POLIEDROS REGULARES
Cuerpos redondos“Tienen al menos una cara curva”
Poliedros“Todas sus caras son planas”
Radio Basal Altura
se clasifican
ElementosElementos
Caras
basales laterales
Aristas Vértice
Altura
Base
Base
Radio basal
Cuerpos geométricos
PRISMA
Es el sólido geométrico que tiene dos regiones
poligonales congruentes y situados en planos
paralelos. Siendo las otras caras regiones
paralelográmicas, llamadas caras laterales.
ELEMENTOS DEL PRISMA:
Bases:
Aristas:
Altura:
ABCDE y FGHIJ
BG, FA, JE, ……
Es el segmento perpendicular
a las bases.
CLASIFICACIÓN DE LOS PRISMAS.
1. Prisma recto:
Cuando sus aristas laterales
son perpendiculares a las bases.
2. Prisma oblicuo:
Cuando sus aristas laterales
no son perpendiculares.
3. Prisma regular:
Es prisma recto, cuyas bases
son polígonos regulares.
h
Área lateral (A )
ABASE
L
Área total (A )T
V = A AlturaxBase
Volumen (V)
A = A + 2AT
A =Perímetro
L Basex h
L Base
ABASE
h: Altura del prisma
ÁREA Y VOLUMEN DE UN PRISMA
ORTOGONAL
PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR O ORTOEDRO.
Es aquel paralelepípedo
recto, cuyas caras son todas
rectangulares.
D c
a b
A = 2(ab + ac + bc)
D = a + b + c2 2 2 2
V = abc
Problemas resueltos:
1. Halla el área lateral, total y volumen de un prisma recto cuya base es un
rectángulo de dimensiones 4 m y 5 m y cuya altura es 12 m.
Desarrollo:
4
5
122T L baseA A A
L
perímetroA h
base
218 12 216LA m
2 2216 2 20TA m m
baseV A h
220 12V m m 3240V m
2256TA m
2. Halla el área lateral, total y volumen de un prisma recto cuya base es un
triángulo regular de dimensiones de 4 m de lado y 10m de altura.
Desarrollo: L
perímetroA h
base
2T L baseA A A
Hallan do el área de la base:
44
4
10
2 212 10 120LA m m
2 3
4
LA
24 3A m
2 2120 2 4 3TA m m
2 2120 8 3TA m m
28 15 3TA m
24 3 10V m m
340 3V m
3. Encuentra la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones son:
5, 3 y 2 m.
Desarrollo:
5
32
2 2 2d a b c
2 2 25 3 2d
238d m
baseV A h
4. En el prisma regular mostrado, hallar el área total.
3
Desarrollo:
Como la base es un triángulo
equilátero, entonces las caras
son cuadrados de lado 6.
33
2T L baseA A A
66
6
26 3
18 6 24
TA
18 6 18 3TA
18 6 3TA
CILINDRO:Es el sólido limitado por una superficie cilíndrica y dos planos paralelos
secantes a dicha superficie.
Altura
Generatriz
Base
CLASIFICACIÓN DE LOS CILINDROS
1. Cilindro recto:
Es el cilindro donde las generatrices
son perpendiculares a los planos
de las bases.
2. Cilindro oblicuo:
Es el cilindro donde las generatrices
no son perpendiculares
a los planos de las bases.
ÁREA Y VOLUMEN DE UN CILINDRO RECTO
Área lateral (A )L
Área total (A )T
Volumen (V)
A = A + 2AT L Base
A = 2 rgL
Gen
erat
riz
r
g
V = r g2
g : Generatrizr : Radio de las bases
ABASE
A = 2 r(g + r)T
Ejemplos diversos
1. Halla el área lateral , total y volumen de un cilindro recto que tiene como base
un círculo de 3 cm de radio 18 cm de altura.
Desarrollo: 2LA rg
2 3 18LA
2108LA cm
2T L baseA A A
2 2108 2 9TA cm cm
2126TA cm
2V r g
23 18V 3162V cm
3.La figura indica el desarrollo de una
pirámide triangular regular. Calcular
su área lateral.
Desarrollo:
Pide:
P =3
2 2
1 1
3
3ap
3 3LA
.L baseA p ap
CONO:es el solido que se determina
al trazar un plano secante a una
superficie cónica.
h
r
Vértice
Generatriz
Altura
gh
r
g
h
O
g
r
g
ÁREA LATERAL (AL)
ÁREA TOTAL (AT)
VOLUMEN (V)
A = r.gL
A = r . (g + r)T
r . h13
V =2
h
r
g
g
g
2 r
Desarrollo lateral del cono
2
g
r=
Ejemplos diversos:
1.Hallar la razón entre área lateral y
volumen del cono recto, si: r = 4.
r 60°
Desarrollo:
Pide: LA
V
60°
30°
4
8
4 3
A = r.gL
4 8LA
32LA
r . h13
V =2
21. 4 4 3
3V
64 3.
3V
La razón es:3
2
2. El radio de la base de un cono
mide 4 cm y la altura es de 3 cm.
Calcular el valor de su área total y
volumen
Desarrollo:
AB
C
4
35
A = r . (g + r)T
4 5 4TA
236TA cm
r . h13
V =2
21
4 33
V
316V cm
3. Si la diferencia de cuadrados entre la
generatriz y la altura de un cono recto es
225 dm y la generatriz mide 25 dm,
hallar el ángulo de desarrollo de la
superficie lateral del cono.
Desarrollo:
h
25
r
Por dato:
2 225 225h
2 2 225g h
2625 225h
h = 20 dm
2025
15
53°
37°
Respuesta: 74°
4.En el gráfico halla el volumen
del cono de revolución, si el
volumen del cilindro es 230cm
Desarrollo:
rr2r
340conoV cm
3 230cm r h 3 230cm r h
214
3conoV r h
1
.4 303
conoV 340conoV cm
R2R
R
Círculo menor
Círculo mayoro máximo
A = 4 R2
V = 43R
3
ESFERA:es el solido limitado por una superficie en la que todas sus puntos equidistan
de un punto interior denominado centro.
1. El radio de una esfera es de 6 dm.
Calcule su área y volumen.
Ejemplos diversos
Desarrollo:
6
24esfA R
24 6esfA
2144esfA dm
34
3esfV R
346
3esfV
3288esfV dm
2.Halla el volumen de una esfera
de 10 cm de diámetro.
Desarrollo:
10
r = 5 cm
3100
3esfV cm
345
3esfV
3100
3esfV cm
2.Halla el volumen de una esfera
inscrita en un cono equilátero
de altura 6m
Desarrollo:
30°
O
r
2r
h = 3r
6 = 3r
r = 2
332
3esfV cm
34
23
esfV
332
3esfV cm