1. Indicael nombre de los polígonos regulares de acuerdo a la cantidad de lados.

a) 3 lados

c) 6 lados

b) 4 lados

d) 5 lados

e) 11lados

g) 10 lados

f) 7 lados

h) 9 lados

i) 8 lados j) 20 lados

11.Calculael área de un polígono regular de cinco lados cuya apotema es 3.5 cm y su lado mide 6 cm.

111.Relacionala columna de la derecha con los elementos del siguiente hexágono:

( )

.. Apotema

mil Ángulo interno.. Vértice.. Radio... Ángulo central.. lado... ÁngiflOexterior

El Centro

IV.Calculael valor de los ángulos centrales de un octágono regular.

V. Trazaen tu cuaderno un hexágono de 5 cm de radio y dibuja sus diagonales.

I

,~ -.-----._--....._--,..~-- -

Clasificaciónde lospolígonos~ .porsuscaracterlstlcas

"Beactivación

Identificacincolugaresqueempleenensuarquitecturatriángulosy polígonos,enel trayectodetucasa

a la escuela.¿Porqué creesque se utilizan estasfiguras, tanto en la estructura como en el diseño?Co.menten en grupo susobservacionesy escribanuna conclusión.

Observatu aula. Identifica,junto conotro compañero,qué cantidadde figurasgeométricasexistenyhaganuna lista en una hoja de rotafolio,clasificándolasen regularese irregulares.

nie

i@

Discutan en grupo lasobservaciones.

Realicenun collagecon productos y susempaques, en los que se usen polígonos y triángulos.

Exponganfrente al grupo su opinión sobre lasventajas y desventajasque reconocenen losempaqu~de losproductosdelcollage.

~"'--

Clasificaciónde los polígonos por la longituddesuslados y sus ángulos

Desdesiempre,el ser humano ha identificado en la naturaleza diversasformasgeométricas,lasha clasificado según susformas, tamaños ycaracterísticas,y lashautilizadoen la construcción, en representaciones artísticas y en diferente~situacionesde la vida cotidiana.

Amaneradeejemplo,podemosobservarfigurasgeométricasen laspintu(asrupestres,losadornosespiralesen lacerámicaprimitiva,losrelievesdelaspirámidesprecolombinasyhoydíaen lasexpresionesartísticasmásmodernas.Esimportantedestacarquelahumanidadsiempreseha interesadopor la representaciónyestu"diodelasformasy susproporciones.

Siobservasa tu alrededor, seguramente encontrarás muchos polígonos,ya quelafacilidadque ofrecen para ser divididos en triángulos brinda ventajas técni-casy estéticas.Puedesobservarlos en empaques de quesosy embutidos, en eldiseñode muebles, en la arquitectura de museos,casasy edificios e incluso enseñalizacionesde todo tipo que seusan en las vialidadesy la industria.

Definiciónde polígonoObservalassiguientes figuras:

a) ~b) 060

¿Quédiferenciasencuentras entre lasfiguras?

¿Podríasdescribir las característicasque tienen?

Comopuedesobservar,lasfigurasdel incisoa) son líneasque no definenunG áreaconcreta,esdecir no regresanal mismopunto. Porestacaracterística,dj estetipode líneasselesdenominacomolíneasabiertas.Encambio,todaslas

~ figurasdelincisob)inicianyterminanenelmismopunto.Aestetipo defiguras~ selesllamalíneascerradas.Demaneracoloquial,sediceque paradibujarlasel noesnecesariolevantarla puntadel lápiz.Asimismo,las líneascerradaspue-

denclasificarseensimples,aquellasquenosecruzano intersecan,y nosimpleslasQuesílo hacen.

I

palabrasen el

tlemp9La palabrapolígonovienedelvocablogriegopoli quesignifi-camuchosyganasángulos.Porlo tanto,esuna figurageomé-trica de muchoslados,mínimotres, generalmenteen un pIa-no.Si los ladosde un polígonono estánen el mismoplanosedenominanalabeados.

--..------ "'.--'!t'~

,'1

j¡I

:8

----

lados. Son segmentos de recta que formandiferentes figuras planas, como los triángu-los, que ya estudiamos, y los polígonos queanalizamos en este bloque.

I

Se denomina polígono a toda figura cerrada formada por tres o más ladojcolineales, que coinciden en sus extremos llamados vértices. Por ello, se ¡que dos de sus segmentos tienen sólo un punto en común. los vértices se dtan con letras mayúsculas.

Ejemplos:

'1'No polígonos

00D

Polígonos

111

Para nombrar a los polígonos nos basamos en el número de lados que tiese utiliza el prefijo griego que lo relaciona:

Número de lados Nombre----------------,

I11

I,@)

Segmentos colineales son aquellos queestán en la misma dirección o sobre la mis-ma línea.

!:§~~@

11 Triángulo

Cuadrilátero- -~ntá~oroHexágono- 11...,.-Heptágo;!o

Octágono

S!!,eág°'lE

Decágono

Endecá~onoDodecágono

l' P!otad;cigorid-

.......

.- I

lcoságono

Investiga en Internet cuál es el nombre de los polígonos que tienen 132, 48 Y60 lados.

3

4

5

6

7

8

9

10

11.12

15

20

Clasificaciónde los polígonos

lospolígonosseclasifican de acuerdo con:

Para~saber

.IJ

Investiga en Internet las carac-terísticas de la rosa de los vien-

tos y realiza un escrito en don-de describascómo su diseño se

basaen un poi ígono inscrito enuna circunferencia.

lamagnitudde sus lados y de sus ángulos:

Equiláteros. Son los polígonos que tienen todos sus la-

dos iguales; por ejemplo, el cuadrado o el hexágono.

Cuadrado Hexágono

Equiángulos. Son los que tienen todos sus ánguloscongruenteso iguales, sin que necesariamente tenganlos lados iguales por ejemplo el rectángulo.

DRectángulo Triángulo equilátero

Regulares. Son los polígonos que tienen sus lados y án-

gulos iguales. Secaracterizan porque se pueden descom-

poner en tantos triángulos isósceles como lados tengan.

Por ejemplo, el hexágono. La suma de los ángulos centra-les de un polígono regular es de 360°.

Hexágono

L

Pentágono

Irregulares. Cuando de menos un lado o un ángulo es

diferente a los demás, por ejemplo el trapezoide.

Trapezóide

f'

D(])safío¿Cómoclasificaríasun triángu-lo,comoun polígonocóncavooconvexo?Justificatu respuesta.

rtIe::!~~@

~ara:.:saber

Francia, por tener una formavagamente hexagonal, recibe elsobrenombre de L'Hexagone.

.~'.~.

Clasificaciónsegúnel carácterde susángulos: cóncavosy convexos

Actividad

Observa los dos polígonos que se muestran a continuación. Traza treslíneasverticales y responde las siguientes preguntas.

D E¿Encuál de las figuras las líneas verticales secortaron dos veces?

¿Quésucedesi se prolongan sus lados?

¿Enqué figura las líneasverticales secortan más de dos veces?

1:

l'Comenten sus observaciones con sus compañeros y obtengan una con.i:clusión grupa!.

Enla actividad anterior, la rectavertical cruzó en dos puntos al primer polígonoAsimismo, todos susángulos interiores son menores de 1800y todos susvérticelestán dirigidos al exterior del polígono. A estetipo de polígonos se lesdenominaconvexos. Asimismo, todas susdiagonalesestán en su interior y la prolongació~de sus lados no corta a otro lado.

A todo aquel polígono que no cumpla con lo anterior se le denomina cóncavo

(;¡j ,-<:0_':>,oDiagonal fuera

de polígonoVérticesexternos

Prolongación deun lado que nocruza otro lado

[;::j I><J H'Diagonal fuera prolongación Vérticede polígono de un lado que interno

cruza otro lado

". '--N-~'

r

Indicaencadaunode lossiguientespolígonossisonregulareso irregula-res,cóncavoso convexos.

GODODpt:j * A

Ui\v

Reúnetecon cuatro compañeros, cada equipo debe trazar un polígonoregularen una cartulina, iniciando con un número impar de lados: 7, 11Y13. Laserie que corresponde a los polígonos de cada equipo debe serdiferente.

Expongansu trabajo frente al grupo y analicen las dificultades que tuvie-ronpara realizar su trabajo.

Entretodos desarrollen un método para trazar un heptángulo y péguenloenel periódico mural.

lQgrQS

Evaluación sumativa

);"

e ~araInvestigar

Investigaen Internetquéotra cul.

tura antigua, apartede la griega

realizóestudioslospolígonos.

,.

Visita la siguiente página de In-ternet para construir polígonosregulares.

www.matematicas.net!pa raiso!

cabri.php?id=poli15

portafolioO"",,E",.,.'",;",',,' ,,1,.,,',')"',.",E",,,N, ,',',,"...1""", . ""S"," ,--" .c:

Guardenelmaterialqueusaron Iparaelaborarelmaterialparael periódico.

1. Elaboraunmapaconceptualsobrelaclasificacióndelospolígonos,incluyeunejemploencadauno.

Cierre de secuencia

Conrelacióna los trazosde los polígonosque realizaronpor equipos,verifiquen cuál fue elmáscomplicadoe investiguenen Internet si existealgún programaque permita trazar polí-gonoscon cualquiercantidad de lados.Discutany analicen lasaplicacionesdeestesoftware,y la forma en la que podría facilitar la enseñanzade las matemáticasy en otrasdisciplinas.

Elaboren un periódico mural en el que expliquen como trazar polígonos y que muestre al-gunos ejemplos.

"" ~ ~'" ~~ ~ ..~ ""

I

'"

\

, . .." ..."'", i++.+'" ."" . ,.,,~,+,!!%,

%%~~~Sl'¡I'~~..,gi~

~::.

Elementosde lospolígonosypropiedadesdesusángulos

Trazatodas las diagonales posiblesen los polígonos que se presentan a continuación:

OO~ ~Q~O¿Quérelación tiene la cantidad de lados con la cantidad de diagonales?

¿Puedesdeterminar, de alguna forma, si los polígonos representadosson regulares o irregulares?Justi.fica tu respuesta.

la

j

j@

Colocael nombre respectivodebajo de cada figura.

Organiza en tu grupo una lluvia de ideas para construir una fórmula que permita determinar lacanti.dad de diagonales que tiene un polígono en relación a sus lados.

Elementosde los polígonos

Acontinuaciónestudiaremos loselementos que conformana lospolígonos.

B A

E F d

Vértices Lados Diagonales

Lospolígonosregulares tienen los siguientes elementos:

. Centro.Punto interior que está a la misma distancia de todos losvértices del polígono.

.

. Radio. Línea que va del centro a cualquier vértice y coincide con el deuna circunferencia que pasa por todos los vértices (circunscrita).

. Apotema.Línea perpendicular al punto medio de cualquier lado yque va hacia el centro del polígono. Coincide con el radio de unacircunferencia inscrita en el polígono, la cual es tangente al puntomedio de cada lado.

~

j~

~@

Se dice que una circunferen-cia está inscrita en un polígonocuando la circunferencia toca to-

dos los lados del polígono.

Circunferencia circunscri-ta. Esaquella que toca todoslosvérticesdelpolígono.

~

conexionesInvestiga en la biblioteca o en In-

ternet cómo se usan los polígonos

pa ra med ir terrenos en la agrono-mía.

~~'-

E"'----P- :~ - ,=:

Diagonales. Segmentosde rectas que unen dos vértices no consecutivos. lacantidad de diagonales que se puede trazar en un polígono se calcula:

# diagonales= (n - 3)n2

Endonden esel númerode lados.

Ejemplos:1. Calculael númerodediagonalesquesepuedetrazaren:

a) Unhexágono,si consideramosn = 6.

Sustituyendoen la fórmula:

# diagonales= (n - 3) n2

# diagonales= (6 - 3) 6 - 182---9

2 -

2 ¿Cuáles el nombre del polígono que tiene 90 diagonales?

Ahorasenospide lacantidadde ladosy el datoquetenemoseslacantidaddediagonales.

Sustituyendoen la fórmula:

90 = (n - 3) n2

Laecuaciónes:(90)(2) = n2 - 3n

180 = n2 - 3nn2 - 3n - 180 = O

Para resolver la ecuación cuadrática, fadoricemos:

(n - 15)(n + 12) = O

!~~~@

n - 15 = O;por lo tanto, n = 15

In - 12 = O;entonces, n = -12

Usamosel valor positivo porque no hay lados negativos.

Elnornbredel polígonoquetiene90diagonalesesdodecágono.

~aL radicar

1. Enlos siguientespolígonostraza todas las diagonales posibles ynombra cada uno de ellos según la cantidad de lados que tiene.

2. Completala siguiente tabla:

Cantidad de ladosI !Caritid~dde di~goriale~

.~. ~~. ~ ~. ~

pentadecágono

lcoságono

Cuadrado

Eneágono

Decágono

"

Endecágono

3. Reúnanse en ternas y elaboren un diagrama que presente la clasifi-cación de los polígonos y sus elementos en un rotafolio para comen-tar en el grupo. Incluyan la fórmula correspondiente.

4. Intégrense en equipos, elaboren un diagrama con los contenidosreferentes a la notación y clasificación de los polígonos.

Ángulosen los polígonos

Losángulos de un polígono se clasifican en:

. Interiores ( <8¡ ). Están formados por dos lados adyacentes y están den-tro del polígono. Existentantos ángulos como lados tenga la figura.

. Exteriores(a.). Seforman por un lado y la prolongación del lado ad-yacente.

. Centrales. Son los que tienen como vértice el centro del polígono ysus lados pasan por dos vértices consecutivos.

Ángulos internos Ángulos externos Ángulo central

¿pabíasNosepuedetra- qUe?zar un heptágono

o eneágono regular sin utilizar

un compás y un transportador.

L

11 f

ftIe

I@

-----......

Guardensusfiguras...

D(])s afío¿Cuál sería el único paralelo-

gramo que no es irregular?

-.. -- m:.~:

ádivida

Formenequiposdetrescompañeros.Vana necesitarunahojadepapelbond

tamañorotafoliodecuadrículachica,compás,transportadory reglagraduada.IComiencentrazandoun pentágonoenel papelbond.Tracenunacircun.ferenciacon el compásde radio igual a 10 cm y una línea horizontal

Ipara que sirva de guía, dividan ésta en cinco ángulos iguales utilizandoel transportador. Unan los puntos para así obtener el pentágono. Encasonecesario,pidan ayuda a su profesor.

Respondanlassiguientes preguntas:

¿Quévalor tienen los ángulos marcados en la circunferencia?

¿Quémagnitud tienen los ángulos que seforman entre los lados?

Obtengan el valor de los ángulos exteriores del pentágono.

Comenten susobservacionescon el grupo y encuentren una fórmula paraobtenerla magnitudde losánguloscentral,interiory exteriordeun polí-

gonocualquiera,en relaciónal númerode lados. I

Suma de ángulos de un polígono

Unavezque yadiferenciamoslostipos de ángulos, veamos cómo se realiza la suma

delosángulosinteriores(Si)deun polígono,lacualsecalculaconlafórmula:

SumaSi= 180(n-2)

Donde n esel número de lados del polígono.

Paraencontrarel valorde cadaángulo interior en un polígono regular,sedivioela fórmula anterior entre el número de lados:

S = 180 (n - 2)I n

Enel casode lasumade los'ángulos exteriores(a.J,es importanterecordar que

para cualquier polígono siempre es igual360°.

Ejemplos:

1. ¿Cómo calcularías el valor de cada ángulo interior de un heptágono regular)jj@

Calculando lasumay considerandon = 7:

SumaSi= 180(7-2)= 180(5)= 900°Dividiendoentre el número de lados:

S = 900 = 128.571428°I 7

2. ¿Cuántoslados tiene un polígono dél que la suma de sus ángulos interio-reses igual a 360O?

Sustituyendoen la fórmula:Sumae¡= 180(n - 2)

Elvalor de suma e = 360°:I360 = 180 (n - 2)

Despejandoa n:360 = n - 2180

2 = n"- 22+2=n

n=4

Evidentementeeste polígono es un cuadrado.

Calculay completa la siguiente tabla:

1800

162

180

Base= 12 cmBase= 10 cmBase= 9 cm

Altura = 6 cmAltura = 3 cmAltura = 2 cm

LActividad

1. Trazaen tu cuadernotres rectánguloscon lassiguientesmedidas:

Ahora traza susdiagonales, mide su longitud y la distancia que existeentre el vértice y el punto en donde secortaron.

Respondelas siguientes preguntas:

a)¿Quérelación existeentre la longitud de lasdiagonalesy la distanciadel vérticeal punto de intersección?Justificatu respuesta.

b)¿Podríasobtener una fórmula con la que calculeslas longitudesde lasdiagonales?

¡

,o

I

111

¡/

!~~JI@

-

e :RaraInvestigar

Investiga en algún libro de cur-sos anteriores o en tu bibliote-

ca cuáles son las fórmulas más

útiles para encontrar el área y

perímetro de las principales fi-

guras geométrlCas.

(

[

~

(CuadrílateroTríangulos

. -.- .'-o".- ~~.o~..., c 'W -

----

2. Traza dos rectángulos con una base de 16 cm y una altura 8 cm.Divide uno de ellos por la mitad con una línea horizontal y el otrocon una línea vertical.

Respondelas siguientes preguntas:a)¿Existealguna similitud en las figuras con respecto a las líneas

que trazaste?

b)¿Podríasdefinir qué es la simetría?

c) Buscaen otrasfuentesalguna definición de simetríay escríbelaaquí.

Comentatus respuestascon el grupo.

Enel siguienteesquemapodemosresumirlo estudiadoen el temade lospolí-ganasy algunasconsideracionessobrelascurvas....

1

1Otros

polígonosOtrascurvas

Circunferencia Elipse

Polígonos irregulares

Recuerdaque lospolígonosirregularessonaquellosquetienen,al menos,un

ángulo o un lado desigual. Podemosclasificarlos como paralelogramos,trape.~cios y trapezoides. .!!!

~~@CJ L ~ D

Paralelogramo Trapecio Trapezoide

Obtenciónde áreas de figuras geométricas

Observa cómo encontramos el área de las siguientes figuras:

12

8

1. Siconsideramosel perímetro como la suma de todos los lados del trapecio,tendremos que encontrar los lados que nos faltan utilizando el teoremade Pitágoras.

12

5

Eldato que nos hace falta en el triángulo es la hipotenusa, por consiguientextiene un valor de:

x = ~(12)2 + (5)2

x =~144 + 25

x = {169x= 13

Porlo que el perímetro queda: L18

P = 18 + 13 + 8 + 13 = 52

2. Encuentra el área sombreada en la siguiente figura:

18

20

t) ~araInvestigar

en Internet en qué

universidades y carreras se Im-

parte el cursodenmmnadometría conmutacionaL Buscaei

temario de este curso y analiza

la forma en que se aplican losvla

el disefío de

@

[

Calculamosel área del rectángulo y le restaremos la del triángulo.

Elárea del rectángulo es:

A = bhreet Areet = (20)(18) = 360

Elarea del triángulo es:

At

. = bhnan 2

Elárea sombreada es:

A = (20)(18) = 360 = 180trian 2 2

Areet- Atrian= 360 - 180 = 180

3. Calcula el perímetro y el área del hexágono.

Paraencontrar la longitud del lado del hexágono,usaremos de nuevo el teore.ma de Pitágoras.

Siobservas,es la mitad del lado, por lo tanto, cada uno de ellos mide 3 cmyel

perímetro es igual a: jJO

en

Elvalor de x queda:

P = 6E

y su área es :

A = Pa2

2cm

x

x = .J(2.5)2- (2)2

X =~6.25 - 4

X.= ~2.25

x = 1.5 cm

P = 6(3 cm) = 18 cm

(18cm)(2cm) = 36 cm2 = 18cm2A = 2 2

- ----~ -- - -~- -'---

b)

¿Quiénfue?

1. Calculael área y el perímetro de las siguientes figuras. Trázalas en tucuaderno.

a)

D0)$

e)

02.5 4.24.2

5

G),Johann Carl Friedrich Gauss

(1777-1855) fue un matemático

que en 1795 demostró la posi-

bilidad de dibujar un polígono

regular de diecisiete ladosusan-

do tan sóloreglay compás.

d)

.~f)

3'2'~! 6.5

: 4.5' u--_u 3

2. Calculael área sombreada de las siguientes figuras:

Logros

Evaluaciónsumativa

5

L5

1. Calculaen tu cuaderno el valor de cada ángulo interior y la suma de un:

a) Heptágono b) Decágono c) Dodecágono d) Hexágono

'1

"llI11

Cierrede secuencia¡IIII<I

Reúnanse en equipos de cuatro integrantes y escojan un polígono regular,cada equipo debe selec-cionar uno diferente. De acuerdo a su selección construyan una caja de cartulina o papel grueso quetenga forma del polígono. Elijan la caja de mayor utilidad y utilícenla en su salón.