Analisis de sistemas decontrol en el espacio de

estados

Cuevas, Hernández, Valderrama

Indice

– Representaciones canónicas en el espacio de estados• Forma Canónica controlable• Forma Canónica Observable• Forma Canónica Diagonal• Forma Canónica de Jordan

– Eigenvalores de una matriz A de nxn– Diagonalización de una matriz de nxn– Invarianza de EigenValores– No-unicidad de un conjunto de variables de estado

Un sistema cualquiera sepuede representar asi:

Forma canónica controlable

Forma canónica observable

Forma canónica diagonal

Forma canónica de Jordán

Ejemplo de representaciones

Forma canónica controlable

Sea:

Representese en espacio de estados en la forma canónicacontrolable, observable y de Jordan

Forma canónica observable

Forma canónica diagonal

Eigenvalores de una matriz Ade nxn

Los eigenvalores (valores propios o autovalores)son las raices de la siguiente ecuación característica

Por ejemplo, considerese:

Los eigenvalores son entonces -1, -2 y -3

Diagonalización de una matriznxn

Sea una matriz con eigenvalores distintos:

La transformación x=Pz, donde P es

Donde λn son distintos eigenvalores de A

Transformará P-1AP en la matriz diagonal:

Si la matriz A definida por la ecuación incluye valores propios múltiples, la transformación amatriz diagonal es imposible . Por ejemplo, si la matriz diagonal es imposible.

A esta forma se denomina forma canoníca de Jordán

EjemploConsiderese la siguiente representacion en espacio de estado de un sistema

Donde:

o de forma estándar:

Los eigenvalores de A son:

Se tienen pues tres eigenvalores distintos. Si se define una variable de estado zmediante la transformacion:

donde:

entonces al sustituir en la ecuacion de espacios de estados original se tiene:

y al multiplicar por P-1

simplificando da

La ecuación de salida se modifica asi:

Con la transformadainversa de laplace

Ejemplo

Invarianza de losEigenvalores

Para comprobar que los eigenvalores son identicos aun despues de unatransformacion lineal se demostrará que se mantiene la relacion:

=

Puesto que la determinante de un producto es el producto de lasdeterminantes, se tiene:

La no unicidad de un conjuntode variables de estado

Se comprobará que un conjunto de variables de estado no es unico para un sistemadado. Sean x1, x2, …, x3 un conjunto de variables de estado. Entonces se pueden tomarcomo otro conjunto de variables de estado cualquier conjunto de funciones:

Siempre que para cada conjunto de valores corresponda un conjuntoúnico de valores x1, x2, …, xn, y viceversa. Por lo cual, si x es un vector de estado,entonces , donde

Es también un vector de estado, mientras que P sea no singular. Se puede obtener lamisma información sobre el comportamiento de un sistema de diferentes vectores deestado.

Ejemplo

Considérese el sistema definido por

Variables de estado

A sustituir

La ecuación de salida esta dada por

Se pueden colocar en la forma normalizada , como

donde

Bibliografia

• Ingeniería de Control Moderno, Ogata