08 analisis espacio estado

7/18/2019 08 Analisis Espacio Estado

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MAESTRÍA EN CONTROL YAUTOMATIZACIÓN

CONTROL DIGITAL AVANZADOSESIÓN 8

ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE ESTADO

Ing. Ismael Minchala Avila, MSc



AGENDA

• Introducción

• Representación en el Espacio de Estado de

Sistemas en Tiempo Discreto

• Solución de las Ecuaciones de Estado enTiempo Discreto

• Matriz de Función de Transferencia Pulso

2



INTRODUCCIÓN(1)

• Los métodos convencionales son conceptualmente sencillos y nadamás requieren de un número razonable de cálculos, pero sólo son

aplicables a sistemas lineales invariantes en el tiempo con una

entrada y una salida.

•

Se basan en la relación entrada- salida del sistema, es decir, en lafunción de transferencia o la función de transferencia pulso.

• Con cep to del método en el espac io de es tado . Se basa en la

descripción del sistema en términos de n ecuaciones en diferencias

o diferenciales de primer orden, que pueden combinarse en una

ecuación matricial en diferencias o diferencial de primer orden.

• El diseño en el espacio de estado se puede realizar para toda una

clase de entradas.

3



INTRODUCCIÓN(2)

• Estado. Es el conjunto más pequeño de variables, tales que elconocimiento de dichas variables en t = t 0, junto con el conocimiento

de la entrada para t t 0 determinan por completo el comportamiento

del sistema para cualquier tiempo t t 0.

•

Variables de Estado. Conforman el conjunto más pequeño devariables que determinan el estado del sistema dinámico. No

requieren ser cantidades físicamente medibles u observables.

• Vector de Estado. Las n variables de estado que describen el

sistema forman un vector x.

• Espacio de estado. El espacio de n dimensiones cuyos ejes

coordenados están formados por el eje x1, eje x2 , ... , eje xn se

conoce como espacio de estado.

4



INTRODUCCIÓN(3)

• Ecuaciones en el espacio de estado.

• x(k) = vector n (vector de estado)

• y(k) = vector m (vector de salida)

• u(k) = vector r (vector de entrada)

• G(k) = matriz n × n (matriz de estado)

• H(k) = matriz n × r (matriz de entrada)

• C(k) = matriz m × n (matriz de salida)

• D(k) = matriz m × r (matriz de transmisión directa)

5

k k k k k

k k k k k

uDxCy

uHxGx

1



INTRODUCCIÓN(4)

k k k

k k k

DuCxy

HuGxx

1



REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DEESTADO DE SISTEMAS DISCRETOS(1)

• Considerando el modelo de un sistema discreto descritopor su ecuación en diferencias:

• Podemos representar su función de transferencia pulso:

8

nk nk k nk nk k k ububub ya ya ya y ......1102211

n

nn

n

nn

nn

n

n

a z a z

b z b z b

z U

z Y

z a z a

z b z bb

z U

z Y

...

...

...1

...

1

1

1

10

11

1

10



REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DEESTADO DE SISTEMAS DISCRETOS(2) • Método de Programación Directa

9

nnnn

n

nn

nn

nn

nn

abb sabb sabb

ab sab sab sb

b sb sb sb

0101

1

101

010

1

100

1

1

10

...

...

...

0

1

1

1 ...

b

a sa sa s nn

nn

nn

nn

nnnn

nn

a sa sa s

abb sabb sabb sabbb

sU

sY

1

1

1

0101

2

202

1

101

0

...

...

uqaqaqaqaq

a sa sa s

sU sQ

nn

nnn

nn

nn

1

2

2

1

1

1

1

1

...

...



REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DEESTADO DE SISTEMAS DISCRETOS(3) • Forma canónica controlable

• Definiendo:

10

u xa xa xa xa xq x

x xq x

x xq x

x xq x

nnnn

n

n

1122111

1

433

322

211

...

qabbqabbqabbqbbt ubt y nnnn

nn

0101

2

202

1

010 ...



REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DEESTADO DE SISTEMAS DISCRETOS(4) • Forma canónica controlable

11

k ub

k x

k x

k x

k x

babbabbabk y

k u

k x

k x

k x

k x

aaaak x

k x

k x

k x

n

n

nnnn

n

n

nnn

n

n

0

1

2

1

0110110

1

2

1

121

1

2

1

1

0

0

0

0100

0010

1

1

1

1



REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DEESTADO DE SISTEMAS DISCRETOS(5) • Forma canónica observable

12

k ub

k x

k x

k x

k x

k y

k u

bab

bab

bab

bab

k x

k x

k x

k x

a

a

a

a

k x

k x

k x

k x

n

n

nn

nn

n

n

n

n

n

n

0

1

2

1

011

022

011

0

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1000

1000

0100

0001

0000

1

1

1

1



REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DEESTADO DE SISTEMAS DISCRETOS(6) • Forma canónica diagonal. Si los polos de la función de

transferencia son todos distintos, entonces la

representación en espacio de estado se representa:

13

k ub

k x

k x

k x

ccck y

k u

k x

k xk x

p

p p

k x

k xk x

n

n

nnn

0

2

1

21

2

1

2

1

2

1

1

11

00

0000

1

11



REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DEESTADO DE SISTEMAS DISCRETOS(7) • Forma canónica de Jordan. Si la función de transferencia pulso

incluye un polo de orden m en z = p1 y todos los demás polos son

distintos, la representación en espacio de estado se expresa:

14

k ub

k x

k x

k x

ccck y

k u

p

p

p

p

p

k x

k x

k x

k x

k x

n

n

n

m

n

m

m

0

2

1

21

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

0

0

00000

00000

00000

00010

00001

1

1

1

1

1



EJEMPLO

• Considere el sistema siguiente:

• Representarlo en las formas canónicas controlable,

observable y diagonal.

15

4.03.1

1

2

z z

z

z U

z Y



REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DEESTADO DE SISTEMAS DISCRETOS(8) • No-unicidad de representaciones en espacio de estado

• Considerar sistema discreto:

• Es posible definir un nuevo vector de estados, ()

16

k uk xk

k uk xk

DCy

HGx

1

Singular nomatriz es P k k xPx ˆ



REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DEESTADO DE SISTEMAS DISCRETOS(9) • Transformación del sistema:

17

k k k

k k k

DuxCPy

HuxGPxP

ˆ

ˆ1ˆ

DDPCC

HPHGPPG

HuPxGPPx

11

11

ˆˆ

ˆˆ

ˆ1ˆ k k k

k k k

k k k

uDxCy

HxGx

ˆˆˆ

ˆˆˆ1ˆ



SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DEESTADO EN TIEMPO DISCRETO(1)

18

k k k

k k k

DuCxy

HuGxx

1

2100223

100112

001

23

2

HuGHuHuGxGHuGxx

HuGHuxGHuGxxHuGxx

k jk

j

k

j

jk k

k

j

jk

DuHuGCxCGy

HuGxGk x k

1

0

1

1

0

1

0

0



SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DEESTADO EN TIEMPO DISCRETO(2) • Matriz de transición de estado.

– Es posible escribir la solución de la ecuación de estado

homogénea.

– donde (k) es una matriz única de n × n que satisface la

condición

– (k) se llama matriz de transición de estado. También se conoce

como matriz fundamental.19

k k Gxx 1

0xΨx k k

IΨ

GΨΨ

01

k k

k k GΨ



SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DEESTADO EN TIEMPO DISCRETO(3) • En términos de la matriz de transición (k), reescribimos:

• Método de la transformada z a la solución de lasecuaciones de estado en tiempo discreto.

20

1

0

1

0

10

10

k

j

k

j

k jk jk k

k j jk k k

DuHuΨ

CxCΨ

y

DuHuΨCxCΨy

z z z z

z z z z z

k k k

HUxXGI

HUGXxX

HuGxx

0

0

1



SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DEESTADO EN TIEMPO DISCRETO(4)

21

z z Z z z Z k x

z z z z z

HUGIxGI

HUGIxGIX

1111

11

0

0

z z Z j

z z Z

k

j

jk

k

HUGIHuG

GIG

11

1

0

1

11



EJEMPLO(1)

• Obtenga la matriz de transición de estado del siguiente sistema entiempo discreto:

• Donde

• Posteriormente obtenga el estado x(k) y la salida y(k) cuando laentrada u(k) =1. Suponga que el estado inicial está dado por:

22

k k y

k uk k

Cx

HGxx

1

011

1

116.0

10

CHG

1

1

0

00

2

1

x

xx



MATRIZ DE TRANSFERENCIA PULSO(1)

• Un sistema en tiempo discreto de una entrada y una salida sepuede representar o modelar mediante una función de transferencia

pulso.

• La extensión del concepto de la función de transferencia pulso a un

sistema en tiempo discreto de varias entradas y varias salidas da lamatriz de función de transferencia pul so.

23

k k y

k uk k

Cx

HGxx

1

z z z

z z z z z

DUCXY

HUGXxX

0



MATRIZ DE TRANSFERENCIA PULSO(2)

• F(z) se conoce como matriz de función de transferencia pulso. Se

trata de una matriz de m × r . La matriz de función de transferencia

pulso F(z) caracteriza la dinámica de entrada/salida del sistema de

tiempo discreto dado.

• Los polos de F(z) y en consecuencia la ecuación característica del

sistema está dada por:

24

z z z z z

z z z

UFUDHGICY

HUGIX

1

1

DHGICF

1

z z

01

GI z



DISCRETIZACIÓN DE LAS ECUACIONESEN E.E. EN TIEMPO CONTINUO(1)

• Solución de las ecuaciones de estado en tiempo continuo.

• La matriz e At posee la propiedad:

25

0

22

!...

!

1...

!2

1

k

k k k k t

k

t t

k t t e

AAAAIA

AAAAAI

AAA

AIA

AAAAA

AA

AA

A

t

k k

t

t k k

t

k

k k

k k t

ek

t t t edt d

ek

t t t e

dt

d

k t t

k t t e

dt d

...!1

...!2

...!1

...!2

!...

!1

1...

!2

1

1122

1122

0

1332

st st

eee

AAA



DISCRETIZACIÓN DE LAS ECUACIONESEN E.E. EN TIEMPO CONTINUO(2) • La inversa de eAt es e-At, y dado que siempre existe la

inversa de eAt, eAt es no singular.

• Considerando un sistema en tiempo continuo:

26

t t t

t t t DuCxyBuAxx

t et edt

d

t et t e

t t t

t t

t t

Bux

BuAxx

BuAxx

AA

AA

t

t d et e

0

0 Buxx AA

t

t t d eet

0

0 Buxx

AA




27

k k y

k uk k

Cx

HGxx

1

T kT t kT parakT t

kT uT kT T T k

uu

HxGx 1

t

t kT kT

T k

T k T k

d eeekT

d eeeT k

0

1

0

11

0

01

Buxx

Buxx

AAA

AAA

T k

kT

T k T d eekT eT k

1

11

Buxx AAA




28

t T d kT ekT xeT k

dt kT eekT xeT k

T

T

T

t T T

0

0

1

1

Bux

Bux

AA

AAA

kT T kT T T k

d eT

eT

T

A

T

uHxGx

BH

G A

1

0

11

1

0

AIG

BABABH 1AA

s Lt eeT

I e I ed eT

T t A AT

T T

T

A



EJEMPLO(1)

• Discretizar a partir de la forma canónica controlable:

s s

kA

s s

kA

s s

kA

x X

sY sG

211

t kAt y

t ut t

x

xx

0/

1

0

/10

10

s

s

s s

L s

s

L s LT

T eT T

0

11

1

11

0

11

1

111

AIΦ

ΦG A



EJEMPLO(2)

30

1

10

1

1

1

10

1

11

11

s

s s s

L

s

s s s

LT Φ

T t

t

t

e

eT

0

1Φ

T t

T

T

e

eT

0

1G



EJEMPLO(3)

31

BΦBH A

T T

d d eT 00

1

0

/0

/1

0

0

0

T

T

T

e

e

T

H

1

12

T

T

e

eT

T H

k k k

k T k T k

DuCxy

uHxGx

1



TAREA 06

• Obtenga la representación en espacio de estado delsiguiente sistema, en la formas canónicas controlable,

observable y diagonal o de Jordan:

• Obtenga la forma canónica controlable de la

representación en espacio de estado del siguiente

sistema de control. El periodo de muestreo T es de 1segundo.

32

21

21

341

861

z z

z z

z U

z Y



TAREA 06

• Obtenga la representación en espacio de estado delsiguiente sistema, en la formas canónicas controlable,

observable y diagonal o de Jordan:

• Obtenga la forma canónica controlable de la

representación en espacio de estado del siguiente

sistema de control. El periodo de muestreo T es de 1segundo.

33

21

21

341

861

z z

z z

z U

z Y



TAREA 06

34



TAREA 06

• Obtenga la matriz de transición Ψ(k) para elsiguiente sistema discreto:

• Consulte el modelo continuo de Ackerman para

el metabolismo de glucosa e insulina en un

paciente diabético.

– Obtenga la matriz de transición Ф(t)

– Discretice el modelo continuo en espacio de estado

para un tiempo de muestreo T35

k x

k x

k x

k x

2

1

2

1

124.0

10

1

1

08 analisis espacio estado

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