Proposiciones

Las proposiciones son el lenguaje formal de la lógica simbólica por el cual están

regidas todas las leyes de esta matemática que utiliza la simbología como su principal

fuente de estudio.

En si las proposiciones son oraciones literarias o matemáticas en la cual tiene sentido

establecer un valor de verdad o falsedad. Es decir una proposición puede ser verdadera

o falsa y no ambas a la vez. Y por lo tanto una oración que no tenga sentido o carezca

de valor no será considerada proposición.

Tipos de proposiciones

Anatómicas: son aquellas que expresan un único pensamiento. Ejemplo: “Cervantes

escribió el Quijote”, “Julio César fue un emperador romano”. Pueden ser verdaderas o

falsas por eso son proposiciones, tienen un valor de verdad, ambos ejemplos son

verdaderos. Pero son también proposiciones atómicas. Átomo significa indivisible, que

no tienen partes. Estas proposiciones tienen partes, pero las partes no son proposiciones.

Ejemplo: si se dice simplemente “Cervantes” eso no tiene valor de verdad.

Las proposiciones atómicas es la unidad mínima que puede tener valor d verdad.

Moleculares: es una proposición constituida a partir de proposiciones atómicas

mediante palabras que expresan conectores lógicos («no», «si... entonces», «y». «O» ) y

cuantificadores («para todo x», «existe un x tal que...»). Por ejemplo, una proposición

del tipo «si hace frío, me pondré el abrigo» ejemplifica este tipo de proposiciones

moleculares, en la medida en que incluye hechos atómicos -la temperatura y el llevar

una determinada prenda-, junto con una conexión entre estos hechos que no es

reducible, ella misma, a un hecho atómico.

Ejemplos: “Cervantes escribió el Quijote” Y “Julio César fue un emperador

romano”.

Ejemplos: “Cervantes escribió el Quijote” O” Julio César fue un emperador

romano”. O bien una es verdadera o la otra es verdadera o ambas son verdaderas( al

menos una tiene que ser verdadera).

Ejemplos: “SI Cervantes escribió el Quijote” ENTONCES” Julio César fué un

emperador romano”.( Si es verdadero lo primero, entonces lo segundo también).

Ejemplo: “El gato NO está en la escalera” —- proposición atómica. (No hay dos

proposiciones conectadas).

Conectivos lógicos y sus símbolos

1. Conjunción: símbolo: ^

Notación: (p ^ q)

Significados: Y, Además, También, Pero, Sin embargo.

Ejemplo: "El cuadrado tiene cuatro lados y el triángulo 3 lados".

2. Disyunción Inclusiva: símbolo: v

Notación: (p v q)

Significados: o

Ejemplo: "Tomamos té o café"

3. Disyunción Exclusiva: símbolo: v

Notación: (p v q)

Significados: O....o

Ejemplo: "O es de día o es de noche"

4. Condicional: símbolo: →

Notación: (p → q)

Significados: Entonces, Por lo tanto, En consecuencia, Por consiguiente, Si...; Si...,

entonces.

Ejemplo: "Si estudias, aprobarás la asignatura”

5. Bicondicional: símbolo: ‹–›

Notación: (p ‹–› q)

Significados: Si y solo si, solamente si, cuando y solo cuando, solamente cuando,

únicamente cuando.

Ejemplo: "Pierdes peso si y solo si haces dieta”

6. Negación: símbolo: -

Notación: (-p)

Significados: No, es falso que, no ocurre que, no sucede que, no es el caso que.

Ejemplo: "María no presentó la prueba de lógica"

Proposiciones condicionales y bicondicionales

Condicional: en matemáticas se suele utilizar muy frecuentemente la proposición

«Si p, entonces q». Tales proposiciones se llaman condicionales y se le denota por:

p --> q

El condicional p --> q también se puede expresar de las siguientes maneras:

a. p implica q

b. p solamente si q

c. p es suficiente para q

d. q es necesario para p

Veamos un ejemplo, el cual te ayudara a comprender las maneras en que una

proposición condicional se puede expresar:

Por ejemplo, cuando decimos:

Mi automóvil funciona si hay gasolina en el tanque.

Bicondicional:

Otro tipo de proposición que se presenta con frecuencia es de la forma «p si, y

solamente si, q» que se suele abreviar «p ssi q». Intuitivamente esta proposición parece

ser la combinación de p --> q y q --> p

A este conectivo lógico especial lo llamamos condicional y se denota por el símbolo

<-->, entonces p <--> q es lo mismo que (p --> q) y (q --> p) o aplicando la definición

de la conjunción, que vimos en una de las secciones anteriores, (p --> q) ^ (q --> p).

El valor de verdad de las proposiciones Bicondicionales p <--> q obedece a la

condición:

Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p <--> q, es verdadero.

Si p y q tienen valores de verdad opuestos, entonces p <--> q es falso. Dicho de otra

manera: si tanto p como q son verdaderos, entonces p <--> q es verdadero.

Si tanto p como q son falsos, entonces p <--> q tambien es verdadero.

Si p es verdadero y q falso, entonces p <--> q es falso.

Si p es falso y q verdadero, entonces p <--> q también es falso

Ejemplos:

1.- 3 + 2 = 7 si, y solamente si, 4 + 4 = 8.

Si se toma p como: «3 + 2 = 7» y q como: «4 + 4 = 8», entonces el valor de verdad

de p, es falso, pero el valor de verdad de q es verdadero, luego entonces la bicondicional

p <--> q es falsa.

2.- Londres está en Inglaterra si, y solamente si, París está en Francia.

Sea p «Londres está en Inglaterra» y q «París está en Francia», entonces tanto el

valor de p, como de q, son verdaderos, es decir tienen el mismo valor de verdad, luego

entonces la bicondicional p <--> q es verdadera.

3.- 10 es un número impar si, y solamente si, 6 es un número primo

Si p es: «10 es un número impar» y q es: «6 es un número primo», entonces se observa

que tanto el valor de verdad de p, como de q, son falso, es decir tienen el mismo valor

de verdad, luego entonces la bicondicional p <--> q es verdadera.

Equivalencia lógica

En lógica, las sentencias p y q son lógicamente equivalentes si poseen el mismo

contenido lógico. Sintácticamente, p y q son equivalentes si cada una puede probar a la

otra. Semánticamente, p y q son equivalentes si ambas tienen el mismo valor de verdad

en cada modelo.

La equivalencia lógica de p y q a veces se denota o bien . Sin

embargo, estos símbolos son también utilizados para denotar el bicondicional. La

interpretación propia depende del contexto, y aunque ambos conceptos están

fuertemente relacionados, la equivalencia lógica es diferente de la equivalencia material.

Ejemplo:

Las dos sentencias siguientes son lógicamente equivalentes:

Si Lisa está en Francia, entonces ella está en Europa (en símbolos, ).

Si Lisa no está en Europa, entonces ella no está en Francia (en símbolos, ).

Sintácticamente, (1) y (2) son derivables cada una de la otra a través de la regla de

contraposición. Semánticamente, (1) y (2) son verdaderas en exactamente los mismos

modelos (interpretaciones, valuaciones); a saber, aquellos en que Lisa está en Francia es

falso o bien Lisa está en Europa es verdadero.

Tablas de verdad

Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos

lógicos, ,Ø, Ù, Ú, ® «, como: no, o, y, si…entonces, sí y sólo si, respectivamente. La

interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del

razonamiento.

Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la

deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un

método de decisión para chequear si una proposición es o no un teorema.

Para la construcción de la tabla se asignará el valor 1(uno) a una proposición cierta y

0 (cero) a una proposición falsa.

Negación: el valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada.

P Ø P

1 0

0 1

 

Disyunción: la disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes.

P Q P Ú Q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

 

Conjunción: solamente si las componentes de la conjunción son ciertas, la

conjunción es cierta.

P Q P Ù Q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

 

Condicional: el condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y

el consecuente es falso. De la verdad no se puede seguir la falsedad.

P Q P® Q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

 

Bicondicional: El bicondicional solamente es cierto si sus componentes tienen el

mismo valor de verdad.

P Q P« Q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Tautología

Es un término que proviene de un vocablo griego y que hace referencia a la

repetición de un mismo pensamiento a través de distintas expresiones. Una tautología,

para la retórica, es una afirmación redundante.

Tautología es habitual que las tautologías sean consideradas como un error en el

lenguaje o una falta de estilo .Sin embargo, es posible apelar a las tautologías para

enfatizar una cierta idea. Por ejemplo: “Puede confirmar que el acusado es culpable ya

que vi el asesinato con mis propios ojos”. Se trata de una tautología ya que siempre

vemos con nuestros propios ojos (o, en otras palabras, es imposible ver algo con los ojos

de los demás).

Otras tautologías son “Voy a subir arriba a buscar un libro y vuelvo” o “Tengo que

salir afuera para regar las plantas”. Siempre que se sube es hacia arriba; del mismo

modo, salir implica trasladarse afuera de algo. Por lo tanto dichas aclaraciones carecen

de sentido y resultan innecesarias para la comprensión.

Cuando la tautología supone una explicación redundante que no aporta un nuevo

conocimiento, se suele hablar de perogrullada o verdad de Perogrullo: “Soy lo que soy”.

La expresión en la que aparecen términos redundantes (como “subir arriba” o “salir

afuera”), por otra parte, recibe el nombre de pleonasmo.

En el ámbito de la lógica, una tautología es una fórmula de un sistema que resulta

verdadera para cualquier interpretación. En otras palabras, se trata de una expresión

lógica que es verdadera para todos los posibles valores de verdad de sus componentes

atómico

Bibliografías

Francisco, introducción a la proposición (2012), disponible en:

http://www.monografias.com/trabajos81/algebra-logica-introduccion-

proposiciones/algebra-logica-introduccion-proposiciones2.shtml

Autor anónimo, proposiciones atómicas y moleculares (2012), disponible en:

http://www.kalipedia.com/filosofia/tema/filosofia-sigloXX/proposiciones-atomicas-moleculares.html?x=20070718klpprcfil_366.Kes&ap=4

Guillermo Arraiz, Conectores Lógicos (2012) disponible en:

http://lgicaproposicional.blogspot.com/2009/07/conectores-logicos.html

Autor anónimo, condicionales y bicondicionales (2012), disponible en:

http://www.angelfire.com/vamp/mily/trabajo.htm

Eric W, Equivalencia lógica (2012) disponible en:

http://es.wikipedia.org/wiki/Equivalencia_l%C3%B3gica

Autor anónimo, la tabla de la verdad, Diferentes diagramas de la tabla de la verdad (2012), disponible en:

http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/tablas_verdad.html

Autor anónimo, Tautología (2012), disponible en: http://definicion.de/tautologia/