pÉrdidas diferidas de pretensado en estructuras...

PÉRDIDAS DIFERIDAS DE

PRETENSADO EN

ESTRUCTURAS COMPUESTAS

Julio de 2019

MÁSTER UNIVERSITARIO EN INGENIERÍA DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

ESPECIALIDAD EN ESTRUCTURAS

TRABAJO FIN DE MÁSTER

Autor: AURORA GARCÍA GONZÁLEZ

Director: D. ALEJANDRO PÉREZ CALDENTEY

Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

Pérdidas diferidas de pretensado en estructuras compuestas

1

AGRADECIMIENTOS

En primer lugar me gustaría agradecer a mi tutor, el Dr. Alejandro Pérez Caldentey, su apoyo y

los conocimientos que me ha transmitido los últimos meses. Sin su ayuda y ánimo no habría sido

posible este trabajo. Me siento afortunada por haber trabajado estos últimos meses y haber

aprendido aunque sea, una pequeña parte de todo lo que me ha podido transmitir. Gracias por la

paciencia, dedicación y comprensión.

Gracias a mis padres, por siempre animarme a conseguir todo lo que me he propuesto. Gracias a

mi hermana por acompañarme en todo este tiempo. Vosotros lleváis haciendo esto posible

desde hace muchos años.

Me gustaría agradecer también a las personas que me han acompañado durante los meses de

elaboración de este trabajo y también en este largo viaje universitario, Marta, Noemí, Cristina,

Eduardo y María.

Un agradecimiento especial para Gonzalo, por unirse e implicarse tanto en este trabajo desde

que tuvo conocimiento de él. Su inestimable colaboración ha sido de gran ayuda,

indudablemente sin ella este trabajo no sería el que es.

Por último, agradecer a todas aquellas personas que se han preocupado e interesado por mi

trabajo de fin de máster los últimos meses; compañeros de trabajo, familiares y compañeros de

la universidad.


2


3

RESUMEN

En el preciso instante en que los gatos empleados en el tesado del acero activo sueltan los

cordones, las pérdidas en la tensión del pretensado comienzan a suceder. Primero tienen

lugar las pérdidas instantáneas, que, en elementos pretesos, se producen por la

penetración de cuñas y por el acortamiento elástico del hormigón, precisamente inducido

por la compresión que introduce el pretensado en la viga de hormigón. Con el paso del

tiempo se generan las pérdidas diferidas, que comienzan en el instante en que la fuerza de

pretensado se aplica sobre el elemento, y tienen lugar a lo largo de la vida útil del

elemento. Éstas tienen su origen en los efectos reológicos que suceden en los materiales.

Para el cálculo de las pérdidas diferidas, en EN-1992-1-1:2004 se dispone de una expresión

que permite estimar dichas pérdidas. Esta expresión se deduce a través de métodos

analíticos y una serie de simplificaciones, y es aplicable, en principio, únicamente en

secciones monolíticas. De este modo, las secciones compuestas, es decir, aquellas

formadas por dos hormigones distintos (típicamente una viga prefabricada y una losa in

situ) quedan fuera del ámbito de aplicación de esta formulación.

Para probar el comportamiento de la fórmula en secciones compuestas, en este trabajo se

ha llevado a cabo el análisis de cinco puentes de vigas prefabricadas con una losa

hormigonada in situ. Se ha realizado también una versión monolítica de estas vigas, y se

han calculado las pérdidas de pretensado a través de un cálculo paso a paso en el tiempo y

a través de la fórmula de EN-1992-1-1:2004. Ambos resultados han sido comparados, y se

ha concluido que la aplicación de la fórmula del Eurocódigo en secciones compuestas tiene

un mayor error que en sus análogas monolíticas, pero el error producido es admisible y

queda del lado de la seguridad.

En un intento por reducir este error, se propone una corrección del efecto de la

deformación de inducida por la retracción losa. Esta mejora ha permitido una mejor

aproximación a los cálculos del análisis paso a paso en el tiempo y el resultado obtenido

sigue quedando del lado de la seguridad. Esto también se traduce en un ahorro económico,

pues la viga precisa de menos armadura activa.

Se concluye que tanto la aplicación simplificada de la fórmula, como la aplicación corregida

en vigas con sección compuesta, proporcionan buenos resultados en la estimación de las

pérdidas diferidas de pretensado.

Palabras clave: pretensado, pérdidas diferidas, EN-1992-1-1:2004, secciones compuestas,

viga, prefabricado, losa, reología, retracción, fluencia, relajación.


4

ABSTRACT

Prestressing losses appear at the same moment the jack releases the prestressing wires.

Instant losses occur first, due to anchorage slip and elastic deformation of concrete,

induced by the compression caused by prestressing steel. Time dependent losses appear

after the releasing of the wires, and their effects take place from this moment until the end

of the life span of the structure.

The formulation available in EN-1992-1-1:2004 allows calculating time dependent losses in

an approximate way. This formulation comes from an analytic procedure for monolithic

cross-sections. This excludes composite cross-sections (commonly a section formed by a

precast girder and an in situ concrete slab) from the range of application of the

aforementioned formulation.

Five precast girder bridges with an in situ slab have been analyzed in this document, in

order to check the performance of the formulation. Another five monolithic versions of

those bridges have been created to compare the performance of the EN-1992-1-1:2004 for

composite and monolithic versions of the sections. The results obtained through the

Eurocode method has been compared to the results obtained using a step-by-step

analysis. It has been proved that the Eurocode method yields a relatively small error

compared to the step-by-step method, and also, it has been observed that this error is

smaller in monolithic cross-sections. The errors obtained are admissible, and on the

conservative side.

The deformation induced by the shrinkage of the slab was corrected in order to reduce the

formulation’s error when applied to composite cross-sections. This improvement has

yielded closer results to those obtained by step-by-step analysis results. The results are still

conservative. This corrected method offers an optimised result, thus lower manufacturing

costs.

As a conclusion, the simplified calculation and the corrected calculation through the

formulation at EN-1992-1-1:2004 offer reliable results for time dependent losses in

prestressed elements.

Key words: prestressing, time dependent losses, EN-1992-1-1:2004, composite cross-

sections, girder, precast, slab, rheology, shrinkage, creep, relaxation.


5

NOTACIÓN

Propiedades mecánicas de la sección:

Ac: área de la sección de hormigón.

As: área de la sección de acero pasivo.

Ap: área de la sección de acero activo.

Ah: área de la sección homogeneizada a tiempo cero.

ycdg,0: posición del centro de gravedad de la sección a tiempo cero.

Bc: momento estático de la sección de hormigón.

Bs: momento estático de la sección de acero pasivo.

Bp: momento estático de la sección de acero activo.

Bh: momento estático de la sección homogeneizada a tiempo cero.

Ic: momento de inercia de la sección de hormigón.

Is: momento de inercia de la sección de acero pasivo.

Ip: momento de inercia de la sección de acero activo.

Ih: momento de inercia de la sección homogeneizada a tiempo cero.

Ah,∞: área de la sección homogeneizada a tiempo infinito.

ycdg,∞: posición del centro de gravedad de la sección a tiempo infinito.

Bh,∞: momento estático de la sección homogeneizada a tiempo infinito.

Ih,∞: momento de inercia de la sección homogeneizada a tiempo infinito.

Propiedades de los materiales:

Ecm: módulo elástico medio a 28 días del hormigón.

Ec: módulo elástico del hormigón a 28 días.

Es: módulo elástico del acero pasivo.

Ep: módulo elástico del acero activo.

fc: resistencia a compresión a 28 días del hormigón.

fcm: resistencia media a compresión a 28 días del hormigón.

fpu: tensión última de tracción del acero activo.


6

Tensiones:

σc: tensión en la sección de hormigón a tiempo cero.

σs: tensión en la sección de acero pasivo a tiempo cero.

σp: tensión en la sección de acero activo a tiempo cero.

σp,0: tensión inicial en la armadura activa, tras tesar y tener lugar las pérdidas instantáneas.

σC,QP: tensión en el hormigón en el centro de gravedad de la armadura de pretensado.

Δσc,r: incremento de tensiones en la sección de hormigón a causa de los efectos de la

retracción.

Δσc,f: incremento de tensiones en la sección de hormigón a causa de los efectos de la

fluencia.

Δσc,rel: incremento de tensiones en la sección de hormigón a causa de los efectos de la

relajación.

Δσs,r: incremento de tensiones en la sección de acero pasivo a causa de los efectos de la

retracción.

Δσs,f: incremento de tensiones en la sección de acero pasivo a causa de los efectos de la

fluencia.

Δσs,rel: incremento de tensiones en la sección de acero pasivo a causa de los efectos de la

relajación.

Δσp,r: incremento de tensiones en la sección de acero activo a causa de los efectos de la

retracción.

Δσp,f: incremento de tensiones en la sección de acero activo a causa de los efectos de la

fluencia.

Δσp,rel: incremento de tensiones en la sección de acero activo a causa de los efectos de la

relajación.

Δσp,rel,i: incremento de tensiones en la sección de acero activo a causa de los efectos de la

relajación intrínseca.

Deformaciones:

ε0: deformación en la fibra de referencia a tiempo cero, bajo la actuación de las cargas

instantáneas.

εc: deformación en la fibra de referencia en la sección de hormigón.


7

εs: deformación en la fibra de referencia en la sección de acero pasivo.

εp: deformación en la fibra de referencia en la sección de acero activo.

1/r: curvatura de la sección a tiempo cero.

Δεc: incremento de deformación en la fibra de referencia en la sección de hormigón.

Δεs: incremento de deformación en la fibra de referencia en la sección de acero pasivo.

Δεp: incremento de deformación en la fibra de referencia en la sección de acero activo.

Δ1/r: incremento de curvatura de la sección a tiempo infinito.

Esfuerzos:

N: esfuerzo axil debido a las cargas instantáneas.

M: momento flector debido a las cargas instantáneas.

Np: axil isostático generado por el pretensado.

Mp: momento flector isostático generado por el pretensado.

ΔN: incremento del esfuerzo axil debido a la redistribución de tensiones diferida.

ΔM: incremento del momento flector debido a la redistribución de tensiones diferida.

Parámetros reológicos:

ϕ: coeficiente de fluencia.

J: función de fluencia.

χ: coeficiente de envejecimiento.

εcs: deformación total por retracción.

Δσpr: tensión de relajación de la armadura activa.

Δσc+s+r: incremento de la tensión en la armadura a tiempo infinito, debida a los efectos

reológicos.

Otros:

hr: humedad relativa del ambiente.

e: espesor de la pieza de hormigón (para el modelo CEB-90 de relajación).

h: espesor de la pieza de hormigón (para el modelo CEB-90 de retracción).

τ: tiempo de cálculo (para el modelo CEB-78 de relajación).


8

zCP: excentricidad del pretensado.


9

ÍNDICE

RESUMEN .......................................................................................................................................... 3

ABSTRACT ......................................................................................................................................... 4

CAPÍTULO I: DESCRIPCIÓN Y OBJETIVO ....................................................................................... 14

I. DESCRIPCIÓN Y OBJETIVO .................................................................................................... 15

1.1. INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 15

1.2. OBJETIVO ........................................................................................................................ 15

CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE................................................................................................... 16

II. ESTADO DEL ARTE ................................................................................................................. 17

2.1. INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 17

2.2. COMPORTAMIENTO DIFERIDO DEL HORMIGÓN ........................................................ 18

2.2.1. Retracción ................................................................................................................ 18

2.2.2. Fluencia .................................................................................................................... 19

2.3. COMPORTAMIENTO DIFERIDO DEL ACERO ACTIVO .................................................. 20

2.4. PÉRDIDAS DIFERIDAS DE PRETENSADO: CONCEPTO ................................................ 20

2.5. FORMULACIÓN ACTUAL PARA PÉRDIDAS DIFERIDAS ............................................... 21

2.5.1. Estudio a tiempo cero .............................................................................................. 21

2.5.2. El coeficiente de envejecimiento: concepto ........................................................... 23

2.5.3. Estudio a tiempo infinito ......................................................................................... 25

2.5.4. Aplicación del método del coeficiente de envejecimiento ..................................... 30

2.5.5. Simplificaciones a adoptar ...................................................................................... 31

2.5.6. La formulación de EN-1992-1-1:2004 ...................................................................... 32

2.6. RETRACCIÓN: MODELO CEB-90 .................................................................................... 37

2.7. FLUENCIA: MODELO CEB-90 ......................................................................................... 38

2.8. RELAJACIÓN: MODELO CEB-78 ..................................................................................... 39

2.9. CONCLUSIONES ............................................................................................................. 40

CAPÍTULO III: ANÁLISIS PARAMÉTRICO ....................................................................................... 41

III. ANÁLISIS PARAMÉTRICO ................................................................................................... 42

3.1. INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 42

3.2. DESCRIPCIÓN DEL MODELO DE CÁLCULO .................................................................. 42

3.3. DATOS DE PARTIDA ....................................................................................................... 44

3.4. RESULTADO DE LOS CÁLCULOS .................................................................................. 59

3.5. ANÁLISIS PARAMÉTRICO ............................................................................................... 64


10

3.5.1. Comparación resultados HIPER con resultados EN-1992-1-1:2004 ....................... 65

3.5.2. Influencia de la esbeltez de la viga .......................................................................... 67

3.5.3. Influencia de la relación área losa – área viga ......................................................... 69

3.5.4. Influencia de la relación inercia viga – inercia sección compuesta ......................... 71

3.5.5. Influencia de la cuantía de armadura activa ............................................................ 73

3.5.6. Influencia de la tensión inicial del pretensado ........................................................ 74

3.6. CONCLUSIONES ............................................................................................................. 77

CAPÍTULO IV: FORMULACIÓN PARA SECCIONES COMPUESTAS .............................................. 79

IV. FORMULACIÓN PARA SECCIONES COMPUESTAS .......................................................... 80

4.1. INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 80

4.2. CORRECCIÓN DE LA RETRACCIÓN ............................................................................... 80

4.2.1. Metodología para la reducción del error en la consideración de la retracción ....... 80

4.2.2. Resultados de la corrección de la retracción ........................................................... 83

4.3. CONCLUSIONES ............................................................................................................. 85

CAPÍTULO V: VALORACIÓN ECONÓMICA .................................................................................... 87

V. VALORACIÓN ECONÓMICA ................................................................................................... 88

5.1. INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 88

5.2. COSTES UNITARIOS ....................................................................................................... 88

5.3. COSTE DE VIGAS SIN OPTIMIZAR ................................................................................. 88

5.4. COSTE DE VIGAS OPTIMIZADAS ................................................................................... 88

5.5. COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS ........................................................................ 89

5.6. CONCLUSIONES ............................................................................................................. 90

CAPÍTULO VI: CONCLUSIONES ..................................................................................................... 91

VI. CONCLUSIONES ................................................................................................................. 92

CAPÍTULO VII: BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................ 93

VII. BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................................... 94


11

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Explicación del Método del Coeficiente de Envejecimiento (Fuente: M. Fernández Ruiz [4])

.......................................................................................................................................................... 25

Figura 2. Historial de cargas de las estructuras analizadas en este documento ................................ 31

Figura 3. Croquis de la discretización del modelo de elementos finitos .............................................. 44

Figura 4. Croquis acotado de la viga Tx-46(I)_C ................................................................................ 45

Figura 5. Croquis acotado de la viga Tx-46(II)_C ............................................................................... 47

Figura 6. Croquis acotado de la viga Tx-54_C ................................................................................... 48

Figura 7. Croquis acotado de la viga Tx-70(I)_C ................................................................................. 49

Figura 8. Croquis acotado de la viga Tx-70(II)_C ............................................................................... 51

Figura 9. Croquis acotado de la viga Tx-46(I)_M ............................................................................... 53

Figura 10. Croquis acotado de la viga Tx-46(II)_M ............................................................................ 54

Figura 11. Croquis acotado de la viga Tx-54_M ................................................................................. 55

Figura 12. Croquis acotado de la viga Tx-70(I)_M .............................................................................. 56

Figura 13. Croquis acotado de la viga Tx-70(II)_M ............................................................................. 57

Figura 14. Croquis de las hipótesis de carga y sus correspondientes coeficientes de fluencia ............ 59

Figura 15. Gráfico de comparación de resultados entre el análisis paso a paso en el tiempo y la

formulación de EN-1992-1-1:2004 en secciones compuestas ............................................................ 66

Figura 16. Gráfico de comparación de resultados entre el análisis paso a paso en el tiempo y la

formulación de EN-1992-1-1:2004 en secciones monolíticas ............................................................ 67

Figura 17. Esbeltez de cada viga con respecto a las pérdidas de pretensado obtenidas del cálculo con

la fórmula del Eurocódigo ................................................................................................................. 68

Figura 18. Esbeltez de cada viga con respecto al error obtenido en el cálculo con la fórmula de EN-

1992-1-1:2004 ................................................................................................................................... 69

Figura 19. Relación área losa / área viga en comparación con las pérdidas de pretensado calculadas

con la fórmula del EN-1992-1-1:2004 ............................................................................................... 70

Figura 20. Relación área losa / área viga con respecto al error de cálculo detectado en la aplicación de

la fórmula ......................................................................................................................................... 71

Figura 21. Inercia de la sección completa en comparación con las pérdidas totales de pretensado

calculadas con la fórmula del EN-1992-1-1:2004 .............................................................................. 72

Figura 22. Cuantía de pretensado en relación con las pérdidas de pretensado calculadas con la

fórmula del EN-1992-1-1:2004.......................................................................................................... 73

Figura 23. Relación de la cuantía de pretensado con respecto al error de cálculo detectado en la

aplicación de la fórmula del Eurocódigo ............................................................................................ 74

Figura 24. Tensión inicial del pretensado en relación con las pérdidas de pretensado calculadas con la

fórmula del EN-1992-1-1:2004.......................................................................................................... 76

Figura 25. Relación de la tensión inicial tras las pérdidas instantáneas de pretensado con respecto al

error de cálculo detectado en la aplicación de la fórmula del Eurocódigo ......................................... 77

Figura 26. Evolución de las deformaciones de retracción que tienen lugar en una sección compuesta

.......................................................................................................................................................... 81

Figura 27. Comparación de los resultados de la aplicación de la fórmula de EN-1992-1-1:2004 del

primer cálculo, del segundo (con corrección de la retracción) y de HIPER ......................................... 85


12

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1. Propiedades de los materiales que componen las estructuras compuestas ......................... 45

Tabla 2. Historia de cargas en el tiempo actuante sobre las vigas compuestas ................................. 45

Tabla 3. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-46(I)_C ................................................. 46

Tabla 4. Caracterización geométrica para la viga Tx-46(I)_C ............................................................ 46

Tabla 5. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-46(I)_C ................................................................ 46

Tabla 6. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-46(II)_C ................................................ 47

Tabla 7. Caracterización geométrica para la viga Tx-46(II)_C ........................................................... 47

Tabla 8. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-46(II)_C ............................................................... 48

Tabla 9. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-54_C .................................................... 48

Tabla 10. Caracterización geométrica para la viga Tx-54_C ............................................................. 49

Tabla 11. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-54_C ................................................................. 49

Tabla 12. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-70(I)_C ............................................... 50

Tabla 13. Caracterización geométrica para la viga Tx-70(I)_C ........................................................... 50

Tabla 14. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-70(I)_C .............................................................. 50

Tabla 15. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-70(II)_C .............................................. 51

Tabla 16. Caracterización geométrica para la viga Tx-70(II)_C ......................................................... 52

Tabla 17. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-70(II)_C ............................................................. 52

Tabla 18. Propiedades de los materiales que componen las estructuras monolíticas ........................ 52

Tabla 19. Historia de cargas en el tiempo actuante sobre las vigas monolíticas................................ 52

Tabla 20. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-46(I)_M .............................................. 53

Tabla 21. Caracterización geométrica para la viga Tx-46(I)_M ......................................................... 53

Tabla 22. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-46(I)_M ............................................................. 53

Tabla 23. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-46(II)_M ............................................. 54

Tabla 24. Caracterización geométrica para la viga Tx-46(II)_M ........................................................ 54

Tabla 25. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-46(II)_M ............................................................ 54

Tabla 26. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-54_M ................................................. 55

Tabla 27. Caracterización geométrica para la viga Tx-54_M ............................................................. 55

Tabla 28. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-54_M ................................................................ 55

Tabla 29. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-70(I)_M .............................................. 56

Tabla 30. Caracterización geométrica para la viga Tx-70(I)_M ......................................................... 56

Tabla 31. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-70(I)_M ............................................................. 57

Tabla 32. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-70(II)_M ............................................. 57

Tabla 33. Caracterización geométrica para la viga Tx-70(II)_M ......................................................... 58

Tabla 34. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-70(II)_M ............................................................ 58

Tabla 35. Parámetros reológicos obtenidos para las vigas de sección compuesta ............................. 60

Tabla 36. Parámetros reológicos obtenidos para las vigas de sección monolítica ............................. 60

Tabla 37. Resultados de pérdidas diferidas en HIPER para las secciones compuestas ...................... 61

Tabla 38. Resultados de pérdidas diferidas en HIPER para las secciones monolíticas ....................... 62

Tabla 39. Resultados del primer cálculo de pérdidas diferidas con la expresión del EN-1992-1-1:2004

para las secciones compuestas ......................................................................................................... 63

Tabla 40. Resultados del primer cálculo de pérdidas diferidas con la expresión de EN-1992-1-1:2004

para las secciones monolíticas .......................................................................................................... 63


13

Tabla 41. Resultados del cálculo de pérdidas instantáneas con la expresión de EN-1992-1-1:2004 y

en HIPER para las secciones compuestas ......................................................................................... 64

Tabla 42. Comparación de los resultados de pérdidas diferidas obtenidos en HIPER y con la fórmula

de EN-1992-1-1:2004 ........................................................................................................................ 64

Tabla 43. Esbeltez de las vigas compuestas analizadas .................................................................... 67

Tabla 44. Relación área viga – área losa de las vigas compuestas analizadas .................................. 69

Tabla 45. Inercia de las vigas compuestas analizadas y relación con la inercia de la sección

compuesta ........................................................................................................................................ 72

Tabla 46. Cuantías de pretensado de las vigas compuestas analizadas ........................................... 73

Tabla 47. Tensión inicial en el pretensado tras las pérdidas instantáneas de las vigas compuestas

analizadas ........................................................................................................................................ 75

Tabla 48. Variables del cálculo de la deformación de retracción corregida en secciones compuestas 82

Tabla 49. Resultados de pérdidas diferidas con la fórmula EN-1992-1-1:2004 en secciones

compuestas tras la corrección de la retracción .................................................................................. 84

Tabla 50. Relación de precios y costes de las vigas de sección compuesta con pretensado calculado

con la formulación del Eurocódigo sin corregir .................................................................................. 88

Tabla 51. Cuantías de armadura activa estimadas para las vigas con el cálculo optimizado ............ 89

Tabla 52. Relación de precios y costes de las vigas de sección compuesta con pretensado calculado

con la formulación del Eurocódigo corregida..................................................................................... 89

Tabla 53. Comparativa de precios entre las dos aplicaciones de la fórmula de EN-1992-1-1:2004 ... 90


14

CAPÍTULO I: DESCRIPCIÓN Y OBJETIVO


15

I. DESCRIPCIÓN Y OBJETIVO

1.1. INTRODUCCIÓN

Las pérdidas de pretensado se clasifican en instantáneas y diferidas, y la suma de éstas

conforma las pérdidas de pretensado totales.

El análisis de las pérdidas diferidas se basa en el estudio en el tiempo del efecto de los

fenómenos reológicos de retracción, fluencia y relajación en secciones de un solo material.

La formulación actual de EN 1992-1-1:2004 para pérdidas de pretensado diferidas (ver

expresión (1)) sólo es válida para secciones de hormigón monolíticas construidas en una

sola fase. Muchos usuarios de la norma EN 1992-1-1:2004 no son conscientes de este

hecho y utilizan estas ecuaciones de forma rutinaria para estimar las pérdidas diferidas de

puentes de vigas prefabricadas, cuya sección formada por vigas prefabricadas y una losa in

situ, es una sección compuesta.

02

,0

,8,0111

,8,0

ttzI

A

A

A

E

E

ttE

EE

cpc

c

c

p

cm

p

QPccm

pprpcs

rsc

(1)

En la revisión que se está llevando a cabo de EN 1992-1-1:2004 se indicará si esta fórmula

puede o no aplicarse a secciones compuestas, para lo cual debe llevarse a cabo un análisis

que compare los resultados procedentes de dicha formulación, y los resultados

procedentes de un análisis paso a paso en el tiempo. Esto ha generado comentarios por

parte de varios países en el sentido de que la formulación debería ampliarse para cubrir

secciones transversales compuestas.

1.2. OBJETIVO

El objetivo de este trabajo es llevar a cabo un estudio paramétrico, utilizando un análisis

paso a paso en el tiempo, para tratar de satisfacer esta demanda y proporcionar al menos

alguna orientación sobre cómo tratar un problema muy común, pero también muy

complejo, el cual está siendo ignorado actualmente.

El estudio se aplicará al caso real de cinco secciones comerciales de vigas prefabricadas,

sobre los que se apoyará una losa in situ. El análisis paso a paso en el tiempo se llevará a

cabo utilizando un software ad-hoc desarrollado en la UPM llamado HIPER.

Las secciones serán analizadas, tanto como secciones compuestas como monolíticas, y se

evaluará la el error que se comete respecto de un cálculo paso a paso, al aplicar la

formulación del Eurocódigo para pérdidas diferidas para cada uno de estos casos. Para ello,

se contrastarán los datos obtenidos a partir de esta fórmula, con los obtenidos con el

software de análisis paso a paso en el tiempo.

Con todo esto, se pretende extraer una metodología a través de la cual, se puedan predecir

de forma fiable las pérdidas diferidas en el pretensado de estructuras compuestas.


16

CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE


17

II. ESTADO DEL ARTE

2.1. INTRODUCCIÓN

La fuerza del pretensado que se ejerce al tesar una estructura con los gatos no es uniforme

ni es un valor que se mantiene constante a lo largo del tiempo. De forma instantánea, la

tensión en la armadura activa se ve reducida por acortamiento elástico y por la penetración

de las cuñas utilizadas para anclar el pretensado, en este caso concreto (puede haber

también pérdidas debidas a rozamiento, pero esto no sucede en armaduras pretesas, como

es el caso particular de este estudio). Con el transcurso del tiempo, tienen lugar las

denominadas pérdidas diferidas, provocadas por el comportamiento reológico de los

materiales, es decir, su variación a lo largo del tiempo [ 8].

En el análisis desarrollado en este documento, se pretende estudiar las pérdidas diferidas

del pretensado, y cómo se ven afectadas por el hecho de que la sección esté compuesta de

hormigones de distinta edad.

Las pérdidas diferidas de pretensado tienen lugar una vez dispuesta la armadura activa,

cuando los gatos han soltado los cordones y éstos comienzan a inducir tensiones de

compresión en el hormigón. Las causas que las generan principalmente, son el

acortamiento que produce la retracción en el hormigón, así como a fluencia de éste,

además de la relajación intrínseca del propio acero activo [ 8].

Existe una influencia mutua entre la fluencia y retracción del hormigón y la relajación del

acero, por lo que es de gran importancia tener en cuenta este efecto interactivo, así como

la variación en las tensiones que esto produce a lo largo del tiempo [ 10].

Los efectos anteriormente descritos se hacen más patentes en el caso de estudio de este

proyecto, en el que se presentan hormigones con puestas en distintos instantes de tiempo,

puesto que el efecto de la retracción y fluencia de la losa tendrá lugar en un momento

distinto que el de la viga, se puede deducir, que las pérdidas diferidas podrían variar como

consecuencia de ello.

La EHE-08, que recoge la misma formulación del EN 1992-1-1:2004, en el Artículo 20.2.2.2

advierte del hecho de que la formulación disponible sólo es apta para piezas compuestas

por un solo hormigón, de tal modo que para piezas constituidas por varios hormigones, es

decir, construidas en varias fases, ha de tenerse en cuenta la evolución de la sección

resistente, la evolución de las propiedades de los materiales en el tiempo, la historia de

cargas y el cambio de esquema estructural. Para ello también, ofrece algunas indicaciones

para efectuar un análisis en el tiempo en el Artículo 25.

La formulación que actualmente puede encontrarse en el EN 1992-1-1:2004 sobre pérdidas

de pretensado diferidas es análoga a la descrita en la EHE-08, y no se hace mención alguna

a la diferencia entre secciones monolíticas y secciones compuestas.


18

2.2. COMPORTAMIENTO DIFERIDO DEL HORMIGÓN

Como ya se ha explicado brevemente en los apartados anteriores, los materiales que

componen la sección presentan un comportamiento diferido a lo largo del tiempo. Es por

ello precisamente, por lo que tiene lugar una reducción de la tensión en la armadura activa.

Dicho esto, en este apartado se pretende profundizar las causas de este comportamiento

en el hormigón.

Los dos fenómenos relativos al hormigón que producen variaciones de las deformaciones y

tensiones en la sección en el tiempo son la retracción y la fluencia. Estos fenómenos

reológicos generan unas deformaciones diferidas en el hormigón que se traducen en

variaciones en la longitud del pretensado, y por ende, de la tensión del pretensado.

El origen de las deformaciones de retracción y fluencia surge a nivel de la microestructura

de la pasta de cemento del hormigón, así como su variación a lo largo del tiempo. En los

próximos apartados se profundizará más en estos aspectos.

2.2.1. Retracción

La retracción es la deformación que se produce en un elemento del hormigón el cual no se

encuentra sometido a cargas externas.

En general, la retracción genera una deformación que disminuye el volumen del

componente de hormigón, y cuyos efectos son especialmente notables a edades

tempranas.

Se ha demostrado que los mecanismos que originan la retracción están íntimamente

relacionados con el proceso de hidratación del cemento, y precisamente son los que dan

explicación a dichas deformaciones[ 4].

Se distingue una clasificación de los principales mecanismos de retracción, aceptada por la

mayoría de los autores [ 10]:

Retracción plástica: tiene lugar antes del fraguado del hormigón; durante el

proceso de hidratación de la pasta de cemento. Este mecanismo puede reducirse e

incluso evitarse con la aplicación de un curado adecuado del elemento de

hormigón.

Retracción autógena: también es consecuencia de la hidratación de la pasta de

cemento, pero sucede tras el fraguado del hormigón. Es sabido que el proceso de

hidratación del cemento sucede a lo largo de la vida de la estructura, con mayor o

menor intensidad, en función de diferentes parámetros, como por ejemplo, la

finura de molido del cemento.

Retracción de secado: sucede a causa del intercambio de humedad de la pasta de

cemento con el medio. Es la retracción más relevante en cuanto a las

deformaciones diferidas que se tienen en cuenta para el cálculo en este proyecto.

Retracción por carbonatación: se produce como consecuencia del propio

fenómeno de carbonatación del hormigón. Su valor a estos efectos puede

considerarse despreciable.


19

2.2.2. Fluencia

La fluencia puede considerarse como el mecanismo que genera deformaciones diferidas en

una pieza de hormigón bajo la actuación de una carga exterior [ 4].

Tal y como observó Hatt [3], el hormigón incrementa su deformación bajo la actuación de

una carga que se aplica durante un periodo de tiempo prolongado, o aplicada de forma

cíclica, de lo que se deduce una cierta plasticidad en su comportamiento.

En base a las causas que generan la plasticidad, se distinguen dos tipos [ 10]:

Fluencia básica: es la producida puramente por la aplicación de las cargas externas

sobre la pieza. El mecanismo que se entiende que la desencadena consiste en la

reestructuración de la microestructura de la pasta de cemento ante la acción de las

cargas a las que se somete al elemento. Se ha achacado al deslizamiento de las

hojas C-S-H, a la microfisuración que genera una deformación no recuperable, a la

pérdida de agua adsorbida por la microfisuración y la disolución bajo tensión de los

cristales CH y su precipitación en zonas menos comprimidas del elemento.

Fluencia de secado: es la fluencia adicional a la fluencia básica, que se produce

cuando hay intercambio de humedad con el medio ambiente. Puede ser

interpretada como una retracción generada por la tensión.

Para tensiones aplicadas inferiores al 40% de la resistencia característica del hormigón, la

deformación de fluencia puede considerarse proporcional a la deformación instantánea. En

los casos de estudio de este trabajo, se cumple esta hipótesis. El coeficiente de

proporcionalidad que relaciona la deformación de fluencia con la carga instantánea es el

coeficiente de fluencia [ 10].

Al igual que la retracción, la fluencia se ve afectada por numerosos factores. En este

estudio la que más interesante resulta es la edad de puesta en carga, pero también son

interesantes otros como la relación tensión-tensión última (σ-fc), lo que se podría traducir

como la proporción de tensión resistente que se está solicitando, la humedad relativa, el

espesor de la pieza, la resistencia, etc.

Dado que de las variables que más afectan a la deformación de fluencia, la que difiere entre

las vigas compuestas y las vigas monolíticas estudiadas es la edad de puesta en carga, es la

que resulta más importante desde el punto de vista de este trabajo. Este factor tiene una

influencia muy grande en la deformación de fluencia, y cuanto mayor es éste, menor es la

deformación de fluencia. La importancia de este parámetro es tal que su influencia no es

despreciable ni en hormigones viejos [ 10].

La disminución de la fluencia con el aumento de la edad se asocia a dos fenómenos físicos.

El primero es el del proceso de hidratación, que explica el aumento de la resistencia y el

módulo elástico del hormigón con el tiempo, este proceso se estabiliza con el tiempo. El

segundo proceso es el de polimerización de los silicatos, consistente en el enlace de

tetraedros de silicio que comparten átomos de oxígeno [ 10].


20

La fluencia se puede caracterizar o bien mediante el coeficiente de fluencia, o bien

mediante la función de fluencia. La función de fluencia tiene la siguiente forma:

Función de fluencia: ( ) ( )

( 2)

La función de fluencia expresa la deformación debida a una tensión unitaria. Esta función

depende de la edad de cálculo y de la puesta en carga, de manera que se reafirma la

importancia de la edad de carga sobre la deformación de fluencia.

Lo más habitual, a causa de su mayor simplicidad, es el uso del coeficiente de fluencia. En

este trabajo, se empleará el uso de dicho coeficiente.

2.3. COMPORTAMIENTO DIFERIDO DEL ACERO ACTIVO

El hormigón no es el único material cuyo comportamiento varía a lo largo del tiempo, pues

esto sucede de forma similar en la armadura de pretensar.

Es frecuente que la armadura activa se encuentre sometida a tensiones elevadas en

servicio, superando el 40% de la tensión última (fpu). Este suceso genera un fenómeno de

fluencia análogo al que tiene lugar en el hormigón, lo que causa que el acero se relaje.

De este modo, a un instante de tiempo posterior al tiempo de tesado, previsiblemente la

tensión será inferior (en lo que a relajación del acero se refiere).

El análisis de este proceso se puede hacer algo complejo, dado que la longitud de la

armadura activa no es constante con el tiempo, como consecuencia de las deformaciones

reológicas que suceden en el hormigón.

Para la estimación de los efectos de este fenómeno, se emplea el método del coeficiente

de relajación, en el cual se aplica una tensión inicial que se aplica una reducción de 0,8 a la

relajación intrínseca [ 10].

De igual modo que sucede en el hormigón, lo más preciso sería la realización de un proceso

iterativo en el tiempo. Esto se tiene en consideración en los cálculos realizados en HIPER.

2.4. PÉRDIDAS DIFERIDAS DE PRETENSADO: CONCEPTO

El concepto de pérdidas diferidas de pretensado, es fruto de una simplificación conceptual

de todos los fenómenos reológicos que suceden en la sección a lo largo del tiempo que

previamente aquí se han descrito.

A causa de las deformaciones generadas por la retracción, fluencia y relajación, se genera

una redistribución de tensiones en la sección. Precisamente esta redistribución de

tensiones suele causar un decremento de la tensión del pretensado, es decir, introduce una

compresión y la correspondiente tracción en el hormigón, de tal manera que se mantiene

el equilibrio de la sección.

Es por todo esto por lo que se crea este concepto, que no es del todo cierto, dado que en

realidad, no se trata de algo intrínseco a este material, sino al comportamiento global de la


21

sección y de los materiales que la componen, así con cómo éstos evolucionan con el paso

del tiempo, y en relación al estado tensional al que están sometidos [ 10].

El concepto de pérdidas diferidas de pretensado puede inducir a error conceptual, si no se

conoce realmente el significado de éste, así como los fenómenos reológicos que los

producen.

2.5. FORMULACIÓN ACTUAL PARA PÉRDIDAS DIFERIDAS

La formulación actual se deduce en base a las ecuaciones constitutivas, las ecuaciones de

compatibilidad y las ecuaciones de equilibrio. A continuación se va a reflejar dicho

procedimiento, tanto a tiempo cero como a tiempo infinito, donde será necesaria la

utilización del coeficiente de envejecimiento, con el fin de reflejar el comportamiento del

hormigón a lo largo del tiempo, bajo las cargas actuantes.

Los materiales que se van a emplear en este análisis son: hormigón, acero activo y acero

pasivo, de modo que serán los que se tengan en cuenta en el estudio.

2.5.1. Estudio a tiempo cero

Ecuaciones constitutivas

Las ecuaciones constitutivas de los distintos materiales se detallan a continuación. El

análisis desarrollado es bajo las cargas actuantes en servicio, de modo que se puede asumir

un comportamiento elástico-lineal de los materiales, dado que en este caso las tracciones

en el hormigón generadas por estas solicitaciones son nulas o de poca entidad, al tratarse

de un elemento pretensado, y donde no tendrá lugar la plastificación de los materiales a

causa de ellas.

Hormigón:

( 3)

Acero pasivo:

( 4)

Acero activo:

( 5)

Es necesario en la expresión del acero activo, restar el término de deformación

correspondiente al tesado, dado que esta deformación se produce sin compatibilidad con

las deformaciones de la sección, y por tanto, no forma parte del análisis que a continuación

se detalla.

Ecuaciones de compatibilidad

Hipótesis de Navier: ( )

( 6)

Hipótesis tomada de la resistencia de materiales, se supone una deformación plana de las

secciones.


22

Adherencia perfecta hormigón-acero: ( ) ( ) ( ) 1 ( 7)

Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de equilibrio plantean que las solicitaciones exteriores han de ser iguales a

los esfuerzos internos de la estructura, de esta manera, el sistema alcanza el equilibrio

seccional.

De este modo, para los esfuerzos de momento y axil, las ecuaciones generales son las

siguientes:

Equilibrio de axiles:

∫

∑

∑

( 8)

Equilibrio de momentos:

∫

∑

∑

( 9)

Las secciones de acero activo y pasivo se consideran discretas debido a su presencia de

forma puntual en la sección, de ahí la simplificación de la integral en un sumatorio.

Desarrollo del cálculo

De esta manera se tiene que: ( )

Y que: ; ;

De tal modo que:

∫

(

) ∑ (

)

∑ (

)

( )

( ) ∑

Homogeneizando2 los materiales de la sección, y reagrupando los términos de estas

expresiones, se obtiene:

∑

(

) ( 10)

1 Esto sucede para pretensado adherente, que es para el caso en que se inyecten las vainas. En este estudio,

se tiene en cuenta esta consideración. 2 La homogeneización que se lleva a cabo no sólo tiene que ver con la distinta naturaleza de los materiales,

pues en este caso habría también que homogeneizar las sub-secciones de hormigón de distintos hormigones o edades.


23

Donde ∑ es el axil isostático producido por el pretensado.

Ahora, de igual manera con los momentos:

∫

(

) ∑ (

)

∑ (

)

( )

( ) ∑

Una vez más, homogeneizando y reagrupando los términos, se tiene:

∑

(

)

( 11)

Donde ∑ es el momento isostático inducido por el pretensado.

Las expresiones obtenidas son genéricas, es decir, son aplicables en cualquier fibra de la

sección. Si las particularizamos para la fibra correspondiente al centro de gravedad, estas

ecuaciones se simplifican (el momento estático, por definición, se anula en este punto). De

esta manera, se obtienen las expresiones de deformación y curvatura a tiempo cero en el

centro de gravedad de la sección [ 10]:

( 12)

( 13)

2.5.2. El coeficiente de envejecimiento: concepto

Para el estudio a tiempo infinito, es imperativo introducir previamente el concepto del

coeficiente de envejecimiento.

El método del coeficiente de envejecimiento fue inicialmente propuesto por Trost en el

año 1967 [5]. Es uno de los métodos simplificados más populares, a causa de la sencillez de

aplicación, además de su rapidez.

Este método surge como respuesta a la necesidad de aproximar la respuesta de una

estructura sometida a un cierto historial de cargas a lo largo de su vida útil, a través de la

resolución simplificada de la ecuación de Volterra. Esta ecuación permite considerar la

deformación de una determinada fibra, la cual ha tenido un cierto historial de tensiones

que ha fluctuado (o no) en el tiempo.

( ) ( )

( )( ( )) ∫

( )

( ) ( )

( )

( 14)


24

Es habitual que la tensión varíe con el tiempo, especialmente en este tipo de estructuras,

en las que precisamente, las tensiones del pretensado difieren en función del instante de

estudio. Es por ello por lo que se recurre al principio de superposición. En el año 1943,

McHenry [6] enunció que la deformación producida en el hormigón que se produce en

cualquier instante, y por cualquier incremento de tensión, se puede considerar

independiente de cualquier otro incremento de tensión anterior o posterior a éste.

En la realidad, este principio es una aproximación adecuada cuando se aplica bajo ciertas

circunstancias que permiten la superposición de los efectos de los fenómenos reológicos:

Tensiones por debajo del 40% de fc.

Deformaciones superiores a cero.

Variaciones de la tensión no bruscas.

Humedad relativa dentro de unos rangos normales (que no se produzca un secado

rápido).

Todas estas hipótesis son asumibles en el estudio desarrollado en este documento.

Como ya se ha comentado, este método da una solución aproximada de la ecuación de

Volterra ( 14). Esto se consigue a través de la simplificación en la resolución de la integral,

dependiente del tiempo.

En el año 1972, Bažant demostró en el Teorema de Bažant [7], que las deformaciones

debidas a la carga varían en el tiempo en forma de una función lineal con el coeficiente de

fluencia. De este modo, las tensiones variarán linealmente con la relajación. Esto permitió

que el coeficiente de envejecimiento pudiera expresarse como:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( 15)

A tiempo infinito, y para edades de puesta en carga convencionales, el valor del coeficiente

de envejecimiento se encuentra en el entorno de 0,80. De este modo, en la mayoría de

casos se asume como cierto este valor. Sin embargo, para edades de puesta en carga

mayores, como puede ser el caso aquí analizado, el valor de este coeficiente puede

cambiar. Esta es una de las razones por la que es necesario este estudio.


25

Figura 1. Explicación del Método del Coeficiente de Envejecimiento (Fuente: M. Fernández Ruiz [4])

Podría decirse que este método consiste en suponer que el incremento de tensiones

acaecido a lo largo del período de estudio de la estructura tiene lugar en un único instante,

en un tiempo equivalente. En este punto se desarrolla la fluencia total desde el comienzo

del intervalo de tiempo, multiplicada por el coeficiente de envejecimiento.

Otra posibilidad para dar solución a este problema es el cálculo a través de métodos paso a

paso en el tiempo. Este procedimiento es una metodología alternativa que emplea el

software HIPER, que también se ha aplicado en este análisis.

2.5.3. Estudio a tiempo infinito

De forma análoga al apartado 2.5.1, se va a llevar a cabo el cálculo para la sección, en este

caso, a tiempo infinito. Para tener en cuenta los fenómenos diferidos en el hormigón, se

emplea el coeficiente de envejecimiento en este análisis, que tiene en cuenta la variación

de la función de fluencia del hormigón, siendo la fluencia mayor cuanto menor es la edad

de la pieza de hormigón al aplicar la carga, es decir, una misma carga aplicada a una mayor

edad del hormigón, producirá una fluencia menor. Usar el coeficiente de envejecimiento

evita la integración paso a paso en el tiempo, consecuencia de esta evolución.

En este apartado es importante también tener en cuenta los efectos de las redistribuciones

que tienen lugar entre los distintos materiales. A nivel estructura suceden redistribuciones

en el caso de que ésta sea hiperestática, cosa que no sucede en el ámbito de aplicación de

este estudio.

Para este análisis, deben quedar definidos los instantes de tiempo en que tienen lugar la

aplicación de las acciones. De esta manera se tiene:

t0: tiempo de aplicación de la carga instantánea.

ts: tiempo de finalización del curado.

t: tiempo de cálculo.


26

tt: tiempo de tesado.

Por ello, el coeficiente de fluencia (obtenido a partir de la función de fluencia ( 15) será

variable a lo largo del tiempo, es decir, que no será el mismo para cada uno de estos

instantes aquí enumerados, de tal manera que deja patente el comportamiento diferido

del hormigón.

El coeficiente de envejecimiento surge para tener en cuenta precisamente, el hecho de que

el tiempo en que finalizan las redistribuciones, es un tiempo mayor que el tiempo en el que

se aplica la carga (comportamiento diferido), es por ello por lo que su valor es siempre

menor que 1, porque reduce el efecto de la fluencia ya que la tensión inducida no se

alcanza hasta que se produce la totalidad de la redistribución.

Ecuaciones constitutivas

En este apartado, dentro del hormigón, existen deformaciones consecuencia de dos

efectos distintos, que son la retracción y la fluencia, así como de las redistribuciones que

éstos producen. Además de esto, es necesario tener en cuenta los distintos instantes de

tiempo en que tienen lugar estas acciones.

Éstas quedan definidas en las siguientes expresiones:

Retracción: ( )

( 16)

Fluencia: ( )

( )

( 17)

Las ecuaciones ( 16) y ( 17) incluyen la retracción y fluencia generada por las cargas

instantáneas respectivamente, de manera que se tienen en cuenta en el cómputo total de

incremento de deformaciones a consecuencia de estos fenómenos.

Por otro lado está la deformación del acero activo a causa de la relajación. La relajación

comienza a producirse a partir del instante de tesado, es decir, tt. Estas pérdidas generan

también una variación de tensiones en el hormigón, de manera que:

Relajación: ( )

( 18)

Por otro lado, en el acero, se produce una redistribución de tensiones entre las distintas

partes de la sección, a causa de los incrementos de deformación que tienen lugar en el

hormigón, anteriormente detallados. De nuevo, esta redistribución se supone lineal, y se

puede expresar como:

Acero pasivo:

( 19)

Acero activo:

( 20)

El último término de la expresión correspondiente al acero activo se debe a la relajación

producida en el acero pues, evidentemente, debe ser tenida en cuenta también dentro del

incremento de tensiones del pretensado.


27

Ecuaciones de compatibilidad

Son las mismas empleadas a tiempo cero, pero en términos incrementales, para adecuarse

al análisis diferido.

Hipótesis de Navier: ( )

( 21)

Adherencia perfecta acero-hormigón: ( ) ( ) ( ) ( 22)

Ecuaciones de equilibrio

De igual modo que en el apartado anterior, se plantea el equilibrio entre las acciones

externas e internas. La diferencia del análisis a tiempo infinito es que, en este caso, los

efectos de retracción, fluencia y relajación han de ser estudiados de forma separada, dado

que suceden en instantes distintos, para aplicar de forma rigurosa el método del

coeficiente de envejecimiento. También, como en las expresiones de ( 16) a ( 22), se aplican

los términos incrementales, en este caso para el estudio a tiempo infinito, pero la

formulación es análoga a la desarrollada en para el caso de tiempo cero.

De esta manera, las expresiones de partida para las ecuaciones de equilibrio son las

siguientes.

Para el efecto de la retracción:

∫

∑

∑

( 23)

∫

∑

∑

( 24)

Las expresiones del efecto de la fluencia:

∫

∑

∑

( 25)

∫

∑

∑

( 26)

Y finalmente, a causa de la relajación, se tiene:

∫

∑

∑

( 27)

∫

∑

∑

( 28)


28

Los incrementos de esfuerzo axil y momento flector que se producen, se representan

mediante ΔN y ΔM, y son los causados por la redistribución de esfuerzos en la estructura

tras la aplicación de la carga a lo largo del tiempo. El tema es, que en el caso de las

estructuras isostáticas, hay redistribución de tensiones dentro de la sección, pero los

esfuerzos permanecen constantes a lo largo del tiempo. De este modo, para este caso

particular de estudio, en que sólo hay estructuras isostáticas, los incrementos de momento

y axil son nulos.

Desarrollo del cálculo

Sabiendo que los incrementos de esfuerzos, como anteriormente se ha comentado, son

nulos, se tiene lo siguiente.

Para los efectos generados por la retracción:

∫ ( )

( 29)

∫ ( )

( 30)

Los efectos de la fluencia:

∫ ( )

( )

( 31)

∫ ( )

( )

( 32)

Y finalmente, a causa de los efectos de la relajación:

(∑

)( (∞ )

) ( )

( )

( 33)

(∑

)( (∞ )

) ( )

( )

( 34)

De nuevo, aplicando estas ecuaciones en el centro de gravedad de la sección a tiempo

infinito, se tiene lo detallado a continuación [ 10].


29

Para la retracción:

( )

( 35)

( )

( 36)

Para la fluencia se tiene:

( ) ( )

( )

( 37)

( ) ( )

( )

( 38)

Por último, de las expresiones de la relajación se extrae:

∑

( ) (∞ )

( 39)

∑

( ) (∞ )

( 40)

Como anteriormente se ha detallado, el centro de gravedad de la sección no es constante a

lo largo del tiempo, pues cambia de posición. Esto resulta en que la deformación a tiempo

infinito a causa de las cargas instantáneas no es la misma que a tiempo cero. De ahí

también la necesidad de realizar el análisis desarrollado hasta ahora.

La deformación instantánea en el centro de gravedad de la sección a tiempo infinito se

obtiene a partir de la posición del centro de gravedad de la sección, mediante la expresión

siguiente:

( ) ( 41)

De este modo, a la deformación inicial se le añade el término correspondiente a la

deformación consecuencia de la curvatura, precisamente por el cambio de posición de este

punto.

El hecho de que las estructuras estudiadas en este análisis sean isostáticas, simplifica en

gran medida los cálculos, dado que no es necesario el estudio de la redistribución de

esfuerzos a nivel estructura, con todos los cálculos que ello supone.


30

2.5.4. Aplicación del método del coeficiente de envejecimiento

Lo que se ha detallado en el apartado anterior consiste en un planteamiento general para

estructuras isostáticas y simplificado, basado en el coeficiente de envejecimiento. Como ya

se ha comentado, este procedimiento consiste en minorar el coeficiente de fluencia en

función de la edad del hormigón en el instante en que se aplique la carga, dado que la

redistribución de tensiones sucede a lo largo del tiempo.

Tal y como se ha expuesto anteriormente, los fenómenos de retracción, fluencia y

relajación tienen lugar en instantes de tiempo que no han de coincidir necesariamente. La

retracción comienza en el instante de tiempo en que finaliza el curado, la fluencia de una

determinada carga se inicia en el instante en que esta carga es aplicada, y la relajación del

pretensado sucede en el preciso momento en el que finaliza el tesado.

Debido a esto, es por lo que el planteamiento anterior tiene en cuenta de forma

independiente los efectos de estos fenómenos, con objeto de aplicar el método del

coeficiente de envejecimiento de forma rigurosa.

La historia de cargas de las estructuras estudiadas en este análisis es el que se detalla a

continuación. Esta secuencia es muy frecuente en la realidad, aunque parezca que en este

apartado este tema se aborda de una forma muy teórica, y es la razón de los distintos

instantes de tiempo tomados en el estudio a tiempo infinito

1. Hipótesis 1: aplicación del peso propio de la viga y de la fuerza de tesado sobre la

viga. A pesar que anteriormente estas dos acciones son tenidas en cuenta, en

principio, de forma separada, en este caso se aplican en el mismo instante de

tiempo, puesto que el pretensado genera una flecha hacia arriba que provoca el

despegue de la viga de su encofrado.

a. El inicio de la retracción no ha de suceder en el instante preciso de la

Hipótesis 1, es decir, el del tesado y puesta en carga, sino que puede

suceder después, y tendrá lugar cuando finalice el curado. Estos instantes

de tiempo no diferirán mucho (del orden de dos a tres días), o sí podrán

coincidir en el tiempo.

2. Hipótesis 2: aplicación del peso propio de la losa. Se entiende que el peso de la losa

es enteramente soportado por la viga, pero la fluencia la sufrirán viga y losa de

forma conjunta en la sección homogeneizada, como consecuencia de la

redistribución de tensiones, además la losa introduce una deformación por fluencia

adicional a la de la viga.

a. Al igual que en el caso anterior, el inicio de la retracción no tiene por qué

coincidir con el puesta en carga de peso de la losa, pero la diferencia será

despreciable. La retracción producida por la disposición de la losa afecta

tanto a la losa como a la viga.

3. Hipótesis 3: por último, se aplica la carga muerta, donde se ha considerado el peso

de los pretiles y el pavimento.

A continuación se muestra un esquema que refleja de forma más clara la historia de cargas

de la estructura, así como los efectos que generan sobre ella, y cuándo éstos tienen lugar.


31

Figura 2. Historial de cargas de las estructuras analizadas en este documento

Las consideraciones a tener en cuenta respecto al coeficiente de envejecimiento, debido a

lo dispuesto en la Figura 2, son:

Fluencia debida al peso propio de la losa y relajación del acero sobre la sección de

la viga, entre el tiempo de tesado y el tiempo de hormigonado de la losa.

Deformación de retracción de la viga a t1,c, aplicada únicamente sobre la sección de

la viga entre el tiempo de finalización del curado y el tiempo de hormigonado de la

losa.

Deformación de fluencia debida al peso propio y al tesado, aplicada sobre la

sección de viga más losa entre el momento de endurecimiento de la losa y el

tiempo de cálculo.

Retracción de la viga aplicada sobre la sección de viga + losa, a partir del momento

de endurecimiento de la losa.

Retracción de la losa, aplicada sobre la sección viga + losa, a partir del final de

curado de la losa.

Fluencia por la carga muerta sobre la sección homogeneizada de viga y losa, para

una edad de la viga de t3, y una edad de la losa de t3-t2.

Por lo que se puede ver, los instantes de tiempo que se analizan en el estudio no son los

mismos que se tienen en cuenta a la hora de deducir la formulación, de modo que esto

causa discrepancias entre los resultados de la fórmula y los resultados obtenidos de un

análisis paso a paso en el tiempo. En la Hipótesis 1 tenemos simultáneamente retracción y

fluencia en un único instante de tiempo, cuando la puesta en carga (comienzo de la

fluencia), no tiene por qué coincidir con la finalización del curado (comienzo de la

retracción). Se entiende que esta simplificación es muy próxima a la realidad, dado que la

diferencia en el tiempo entre ambos sucesos es mínima.

2.5.5. Simplificaciones a adoptar

Dada la complejidad de la formulación desarrollada hasta el momento, se requiere de una

serie de simplificaciones que permitan la aplicación práctica de estos procedimientos. Esto

finalmente, desembocará en la fórmula que se pretende analizar en este estudio.


32

Todo este análisis se ha desenvuelto bajo la premisa de que las cargas actuantes son cargas

permanentes. Por ello, se pueden realizar algunas de las simplificaciones que se citan a

continuación. El resto de ellas surgen de la necesidad de facilitar la metodología [ 10].

1) A nivel sección, no se considera la falta de homogeneidad debida a las armaduras

pasivas. De este modo, en este caso sólo se contaría con la falta de homogeneidad

causada por la armadura activa.

2) La redistribución de tensiones, de este modo, se evalúa mediante el concepto de

pérdidas diferidas de pretensado.

3) Respecto de las características mecánicas de la sección, se desprecian los términos

en Ap².

4) La deformación que se produce en el centro de gravedad a causa de las cargas

instantáneas es prácticamente la misma para la sección homogeneizada a tiempo

cero, que para la sección homogeneizada a tiempo infinito.

5) El tiempo de tesado coincide con la aplicación del peso propio, además de que la

retracción comienza a actuar también en este instante (en muchos casos esto no es

una aproximación, sino que es cierto).

2.5.6. La formulación de EN-1992-1-1:2004

El modelo de pérdidas diferidas en el pretensado que se encuentra en el Eurocódigo

vigente se basa en la reducción de las tensiones en éste como consecuencia del

comportamiento de dos materiales; hormigón y acero activo:

Debidas a la reducción por alargamiento en la fibra del pretensado, causada por la

deformación del hormigón debida a la fluencia y a la retracción, bajo cargas

permanentes.

Debidas a la relajación bajo tensión del acero.

Con todo el desarrollo anterior, sumado a las simplificaciones que se proponen en el

apartado 2.5.5, se llega a la formulación vigente en el EN-1992-1-1 a través del desarrollo

que se detalla a continuación, a partir de las expresiones de la ( 35) a la ( 40):

Propiedades mecánicas simplificadas

, ,

,

,

,

2

, ,

1

h c e p

e p p

cp

e

c

h c e p p

A A A

A yB

A

A

I I A y

Siendo:

( ( ))


33

Efecto de la retracción

, ,

,

,

,

2

, ,

,

11

1

cs c cs ccs

h c e p

e p p

csp

e

cs c c

cs h c e p p

p cs cs p

cs

A A

A A A

A y

A

B A

r I I A y

yr

,

,

, 2

, ,

2

,

,

, 2

, ,

2

,

,

2,

, ,

,

1

1

1

e p p

csp

e

cs c cp cs p

c e p c e p p

e p p

csp

e

cs c cp cs

c e p c e p p

e p pcp cs cs

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e c e p p

c

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A y

A

A Ay

A A I A y

A y

A

A A

A A I A y

A yA

AA AI A y

A

A

A

2

,

2,

, ,

2

,

,

, 2

, ,

2

, ,

,

1 1

1 1

e p p

pc e p

c e c e p p

c

e p pcp cs cs

c e p p cc e e p

c c

p cc c e p e p

c c

p cs cs

A y

AAI I A y

A

A yA

A A A AI y

A I

A AA I y A y

A I

2

,

2

, , ,

2 2

, , ,

,

2

, ,

,

1 1

1 1 1

1

p c e p

p cc e p c e e p

c c

c c e p c e p c p e p p

p cs cs

p p ce e p

c c c

c c e

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A A

A AA A I y

A I

A I A I A A y A y

A A Ay

A A I

A I

,

2

, ,

,

2

,

1 1 1

1 1

p

c

p p ce e p

c c c

csp cs

p ce p

c c

A

A

A A Ay

A A I

A Ay

A I


34

,

,

, 2

, ,

2

,

,

, 2

, ,

2

,

,

2,

, ,

,

1

1

1

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e

cs c cp cs

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e p pcp cs cs

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A y

A

A Ay

A A I A y

A y

A

A A

A A I A y

A yA

AA AI A y

A

A

A

2

,

2,

, ,

2

,

,

, 2

, ,

2

, ,

,

1 1

1 1

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c e c e p p

c

e p pcp cs cs

c e p p cc e e p

c c

p cc c e p e p

c c

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A y

AAI I A y

A

A yA

A A A AI y

A I

A AA I y A y

A I

2

,

2

, , ,

2 2

, , ,

,

2

, ,

,

1 1

1 1 1

1

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c c

c c e p c e p c p e p p

p cs cs

p p ce e p

c c c

c c e

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A A

A AA A I y

A I

A I A I A A y A y

A A Ay

A A I

A I

,

2

, ,

,

2

,

1 1 1

1 1

p

c

p p ce e p

c c c

csp cs

p ce p

c c

A

A

A A Ay

A A I

A Ay

A I

Efecto de la fluencia

,

0

,

0

,0 ,

, ,

,

0

,0 , ,

2

, ,

,

1

1

1 1

1

1 11

1

c QP

p

c

e p p

cp

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c

h c e p

e p p

cp

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c

h c e p p

p p

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A yA

ArA B

Ar

A A A

A yI

A rB I

Ar

r I I A y

yr

, ,

0 0

, ,

, 2

, ,

, ,

0 0

, ,

, 2

, ,

1 1

1 1

1 1

1 1

e p p e p p

c cp p

e e

c cp p

c e p c e p p

e p p e p p

c c pp p

e e

c cp

c e p c e p p

A y A yA I

A Ar r

A Ay

A A I A y

A y A yA I y

A Ar r

A A

A A I A y


35

2

, ,2

0 , 0 ,

, ,

, 2

, ,

,

2

0 , 0

,

,

1 1

1 1

1

1

e p p e p p

c c e p p c p c e pp p

e e

c c

p

c e p c e p p

p

e p

cc c e p p

p

e

cp

A y A yA I A y I y A A

A Ar r

A A

A A I A y

Ay

AI I A y

Ar

A

2

, 0 ,

2

, ,

,

0 ,

,

,

2

, ,

11

1 1

11

1

1

p

e p p c p e

c

p p

c e e p

c c

p

e p

pcp e

p ce

c

p

p p

e e p

c c

AA y I y

r A

A AI y

A I

Ay

AAy

Ar A

A

A Ay

A I

, ,

0

,

2

,

,

0

,

2

, ,

1 21

1

1 1

1

1 1 1 1

p p

e e

c cp

p

e

c

p ce p

c c

c QP

p

p

p pc ce p e

c c c

A A

A Ay

Ar

A

A Ay

A I

yEr

A AA Ay

A I A

2

p

c

yI

Efecto de la relajación

El pretensado pierde una fuerza igual a χrΔσr, pero parte de esta fuerza se recupera porque

la fibra del pretensado se alarga por el efecto de la pérdida de fuerza, lo cual genera una

acción equivalente a un axil de tracción y un momento positivo sobre la sección

homogeneizada.

El alargamiento de la fibra del pretensado puede determinarse como sigue:

, ,

2

, ,

,

1 1

1 1 1

1

r pr p r pr p

r

c h c c e p

r pr p p r pr p p

r c h c c e p p

p r r p

r

A A

E A E A A

A y A y

r E I E I A y

yr


36

Desarrollando estas expresiones:

, 2

, ,

2 2

, ,

, 2

, ,

2

,

2

, ,

1

1

11 1

1

r pr p r pr p pcp r p

c e p c e p p

r pr p c e p p r pr p p c e pcp r

c e p c e p p

r pr p c c pcp r

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c c e e p

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c

A A yEy

A A I A y

A I A y A y A AE

A A I A y

A I A yE

A AA I y

A I

E

2

,

2

,1 1

r pr p c c p

p r

p cc c e p

c c

A I A y

A AA I y

A I

Teniendo en cuenta el alargamiento tal y como se ha detallado, la pérdida de tensión en el

pretensado por relajación será:

2

,

2

,

2 2

, ,

2

,

1

1 11

1 1

1 1

p p c c p

r pr p p r r pr

pc cc c e p

c c

p cc c e p e p c c p

c c

r pr

p cc c e p

c c

E A I A yE

AE AA I y

A I

A AA I y A I A y

A I

A AA I y

A I

2 2

, , , ,

2

,

2

,

1 1

1 1

c c e c p e p c p e p c e p c p

r pr

p cc c e p

c c

r pr

p ce p

c c

A I I A A A y A I A A y

A AA I y

A I

A Ay

A I

La última consideración a tener en cuenta para este apartado es, que la relajación del acero

depende de la deformación del hormigón debida a la fluencia y a la retracción. En general,

de forma aproximada se toma esta interacción mediante un coeficiente de reducción de

0,8.

Con todo esto, se describe un método simplificado para evaluar pérdidas diferidas en la

fibra del pretensado, bajo la actuación de las cargas permanentes; la expresión del

Eurocódigo, detallada anteriormente en (1), donde:


37

Es el valor absoluto de la variación en de tensión en la armadura activa,

producida por la fluencia.

Es la deformación de retracción estimada conforme al punto (6) del apartado 3.1.4

(del Eurocódigo) en valor absoluto. En este apartado se tienen en cuenta las

deformaciones de secado y la autógena de retracción, estimadas en base al tipo resistente

del hormigón, la humedad relativa, el espesor medio del elemento, la edad del hormigón

en el momento considerado y la edad del hormigón al principio de la retracción por secado

(normalmente al final del curado).

Es el módulo de elasticidad de la armadura activa.

Es el módulo de elasticidad del hormigón.

Es el valor absoluto de la variación en la tensión en la armadura activa en la posición

determinada a tiempo t, debida a la relajación del acero de la armadura activa.

( ) Es el coeficiente de fluencia a tiempo t con la carga aplicada a tiempo .

Es la tensión en el hormigón adyacente a la armadura activa debida al peso propio,

al pretensado inicial y a otras acciones cuasipermanentes si son relevantes. Esto dependerá

del estado de construcción considerado.

Es el área de toda la armadura activa en la posición de estudio.

Es el área de la sección de hormigón.

Es el momento de inercia del área de la sección de hormigón.

Es la distancia entre el centro de gravedad de la sección y la armadura activa.

Esta fórmula es aplicable para secciones en las cuales sólo hay un hormigón, pues como ya

se ha comentado, el procedimiento de deducción parte del análisis de una sección con una

única puesta de hormigón.

2.6. RETRACCIÓN: MODELO CEB-90

En este estudio, tanto para el análisis paso a paso realizado con el programa HIPER, como

para el valor requerido en la fórmula del EN-1992-1-1:2004, la deformación de retracción se

ha estimado a través del modelo CEB-90; del Model Code 90 [ 13].

El citado modelo estima la deformación de retracción a través de la siguiente expresión:

( ) ( ) ( 42)

En ( 42) se tiene que εr es la deformación de retracción total, εr,0 es la deformación a

tiempo infinito, y βs es una función que define el desarrollo a lo largo del tiempo de esta

variable.


38

Se tiene también que:

( ) ( 43)

Donde, a su vez:

( ) * (

)+ 3

( 44)

( (

) ) ; para 40% ≤ hr <99%

; para hr ≥99%

( 45)

Por otro lado, el valor de βsc viene determinado por el tipo de cemento aplicado en

hormigón empleado, de manera que este parámetro tiene un valor de 4 para cementos de

fraguado lento, 5 en el caso de los cementos normales o de rápido fraguado, y finalmente,

8 para los cementos de rápido fraguado y alta resistencia.

Finalmente, el valor de βs viene dado por:

√

(

) ( )

( 46)

Como puede comprobarse, la deformación de retracción, para este modelo, depende del

tiempo de curado, de la resistencia del hormigón y de la humedad relativa del ambiente.

Aunque estos parámetros son importantes, deja de lado otros factores de gran

importancia en este análisis, como la relación árido/cemento, pero es un modelo más que

aceptable para los cálculos que aquí se desarrollan, pues tiene en cuenta variables como la

relación agua/cemento de forma indirecta, a través de la resistencia.

2.7. FLUENCIA: MODELO CEB-90

En el caso de la fluencia, igualmente que para el caso anterior, se aplica en HIPER y en el

valor a introducir en la fórmula del EN-1992-1-1:2004, el resultado que ofrece el modelo

CEB-90 [ 13].

El coeficiente de fluencia que estima este modelo es el siguiente:

( ) ( 47)

El coeficiente de fluencia viene representado por ϕ, y el coeficiente de fluencia a tiempo

infinito es ϕ0. De forma análoga al modelo de retracción, βc es una función que describe

cómo se desarrolla el coeficiente de fluencia a lo largo del tiempo, en comparación a su

valor a tiempo infinito.

El valor del coeficiente de fluencia a tiempo infinito es el siguiente:

3 Para resistencias medias por encima de los 110MPa, se obtiene un valor de retracción negativo, de

manera que esta fórmula no es aplicable a hormigones de altas y muy altas resistencias. En cualquier caso, esto no compete al análisis expuesto en este documento.


39

( ) ( ) ( 48)

Los parámetros de la expresión ( 48) son los siguientes:

( 49)

( )

√ ( 50)

( )

( 51)

Prosiguiendo con la expresión ( 47):

( )

( ) ( 52)

Donde:

[ (

)

]

( 53)

El modelo de estimación del coeficiente de fluencia aquí expuesto depende de variables

como el espesor del elemento, la humedad relativa del ambiente y la edad del hormigón en

el momento de puesta en carga, fundamentalmente. Sin embargo, en este modelo se

descartan factores como el contenido y tipo de árido, que pueden ser importantes. A pesar

de ello, y de nuevo como en el caso de la retracción, la afección de este hecho no es

preocupante de cara al cálculo desarrollado en este proyecto.

2.8. RELAJACIÓN: MODELO CEB-78

La pérdida por relajación, a una longitud constante, que estima este modelo [ 12], es:

( ) ( ) ( ) ; para λ ≥ 0.4

( ) ; para λ < 0.4

( 54)

Donde λ = σp0/fpu.

Siendo σp0 la tensión de tesado, y fpu la tensión de rotura del acero activo. La función

( ) define cómo evoluciona a lo largo del tiempo la relajación, y viene dada por:

( )

(

) ; para 0 ≤ ≤ 1000 ( 55)

( ) (

)

; para 1000 ≤ ≤ 0.5·106 ( 56)

( ) ; > 0.5·106 ( 57)

Como se puede observar, en el modelo de relajación aquí detallado, se toman como

parámetros relevantes el período de tiempo transcurrido entre la puesta en carga del

pretensado y el instante en que se estén evaluando las pérdidas, así como la relación entre


40

la tensión de tesado y la tensión última del acero. A mayor tensión de tesado (en

proporción a la carga última), y a mayor tiempo transcurrido, mayores serán las pérdidas a

causa de la relajación del acero activo.

2.9. CONCLUSIONES

Las conclusiones extraídas del análisis desarrollado en este capítulo son las siguientes:

La formulación existente se fundamenta en las ecuaciones constitutivas, de

compatibilidad y de equilibrio.

A pesar de haber sido un fenómeno ampliamente estudiado, la fluencia presenta

grandes incertidumbres. Esto no es motivo para dejar de lado su análisis detallado.

Se ha realizado un análisis a tiempo cero y, análogamente, a tiempo infinito, de

estas ecuaciones, obteniendo expresiones del comportamiento diferido de la

sección de hormigón con acero activo y pasivo.

La deducción provista por el análisis parte de una sección de un único hormigón.

Las secciones compuestas, es decir, con varias puestas de hormigón (típicamente

viga prefabricada y, posteriormente, losa in situ), quedan fuera de esta deducción,

pues no se tienen en cuenta la interacción entre las deformaciones reológicas de

viga y losa.

Es necesario un análisis de las pérdidas diferidas del pretensado en secciones

compuestas, dado que la formulación deja fuera a éstas, a pesar de la frecuencia de

uso de ellas. Se precisa evaluar cómo predecir las pérdidas de pretensado de este

tipo de secciones, y verificar que el valor que ofrecen no esté por debajo del real, de

manera que el cálculo no quede del lado de la inseguridad.

Se ha visto que los modelos más adecuados para la estimación de la retracción y

fluencia son los recogidos en el Model Code 90, mientras que para el caso de la

relajación, es el modelo expuesto en el Model Code 78, frente a, por ejemplo, los

modelos recogidos en EN-1992-1-1:2004.


41

CAPÍTULO III: ANÁLISIS PARAMÉTRICO


42

III. ANÁLISIS PARAMÉTRICO

3.1. INTRODUCCIÓN

El análisis paramétrico realizado ha consistido en la evaluación y comparación de los

resultados obtenidos a través de metodologías alternativas, así como a través de la propia

formulación de EN-1992-1-1:2004, de las pérdidas diferidas de pretensado.

Para este capítulo, se han realizado los siguientes cálculos:

Análisis de las estructuras a tiempo infinito paso a paso, a través del software HIPER

en dos versiones de éstas:

La sección que se entiende como real, la compuesta.

Una versión monolítica de cada sección compuesta.

Cálculo de las pérdidas diferidas a través de la fórmula que se encuentra en el EN-

1992-1-1:2004, de sendas versiones de las estructuras.

Con todo esto, se pretende evaluar la precisión de esta formulación, tanto para secciones

compuestas como monolíticas. Para las secciones monolíticas se deduce que la diferencia

entre el cálculo paso a paso en el tiempo, y el cálculo con la fórmula de EN-1992-1-1:2004 será

pequeña. Sin embargo, en el caso de las vigas de sección compuesta no es tan evidente,

aunque a priori se puede intuir que acumularán un mayor error.

El fin último de este trabajo es el de evaluar si el error que se comete al aplicar la expresión del

Eurocódigo en secciones compuestas es admisible. Además, se pretende plantear posibles

modificaciones que permitan extender el ámbito de aplicación de esta formulación.

3.2. DESCRIPCIÓN DEL MODELO DE CÁLCULO

3.2.1. Materiales

Los materiales que conforman la sección son los citados a continuación:

Hormigón losa: clase C25; de resistencia de 25 MPa.

Hormigón viga: clase C60; de resistencia de 60 MPa.

Acero de pretensar de límite elástico de 1860 MPa y módulo elástico de 2000000

kg/cm².

Acero pasivo: B500S (E=2100000 kg/m²).

3.2.2. Dimensionamiento

La serie de vigas “Tx” se han tomado de proyectos reales de puentes en el estado de Texas,

en Estados Unidos. Estas secciones han sido dimensionadas con los criterios de la norma

allí vigente; la AASHTO.


43

Tanto para las secciones monolíticas como las compuestas, se ha tomado la misma cuantía

de pretensado.

La armadura activa dispuesta en cada una de las secciones es:

Viga Tx-46 (I): 32 cordones.

Viga Tx-46 (II): 40 cordones.

Viga Tx-54: 48 cordones.

Viga Tx-70 (I): 22 cordones.

Viga Tx-70 (II): 54 cordones.

Para la armadura pasiva de las secciones, se ha dispuesto una cuantía de Φ12 cada 0,20 m,

únicamente en la parte superior e inferior de la losa.

3.2.3. Hipótesis de cálculo

Las hipótesis de cálculo para la consideración de la variación en el tiempo de los

fenómenos reológicos en el hormigón se han detallado en el Capítulo II, correspondiente al

Estado del Arte. Un resumen de lo anteriormente descrito se dispone a continuación:

Módulo de deformación: se ha empleado el Código Modelo 90 (Model Code 90:

√

, y

√ ( √ ).

Fluencia: se ha aplicado lo dispuesto en el Código Modelo 90 (CEB 90 Model).

Retracción: se ha aplicado lo dispuesto en el Código Modelo 90 (CEB 90 Model).

Relajación: se ha aplicado lo dispuesto en el Modelo del CEB (CEB 78 Model).

3.2.4. Ambiente y curado

Se han adoptado los siguientes valores para la humedad, temperatura y tiempos de

curado:

Temperatura: 20ºC.

Humedad relativa: 60%.

Período de curado viga: 3 días.

Período de curado losa: 2 días.

3.2.5. Modelo de elementos finitos

Las vigas se han modelizado en una sola barra de longitud igual a la longitud del vano que

salva el puente. Estas barras presentan dos nodos; uno en cada uno de los extremos, y se

han tomado 3 secciones para el análisis; las dos secciones de los apoyos y la sección de

centro de vano.

No es necesaria una discretización más fina, puesto que, al ser la estructura isostática, el

problema es secuencial.

El tiempo de estudio considerado en este análisis es de 36500 días, lo que

aproximadamente equivale a 100 años.


44

A continuación se muestra un croquis del modelo de elementos finitos empleado:

Figura 3. Croquis de la discretización del modelo de elementos finitos

De este modo, los resultados procedentes del cálculo dependiente del tiempo se obtienen

en estas tres secciones. Únicamente interesa la sección de centro de vano, que es la

sección donde se estudiarán las pérdidas de pretensado, así como otros parámetros que

pudieran influir en éstas, además del estado tensional, por ejemplo.

3.2.6. Historia de cargas

Como también se ha detallado en el Capítulo II de este documento, el análisis se ha

desarrollado bajo la hipótesis de un comportamiento elástico lineal, y las cargas actuantes

para las que se realiza el cálculo son las cargas permanentes.

Las solicitaciones correspondientes a este estado son: peso propio de la viga, peso propio

de la losa y carga muerta, donde se incluye el peso del pavimento y el peso de un pretil.

Para las dos últimas se ha tomado:

Una barrera o pretil: 6kN/m.

Un espesor de pavimento de 8 cm aplicado en un ancho igual al ancho de la losa

menos 0,50 m que son ocupados por el pretil.

En la tensión de la fibra inferior en el instante final de estudio sí se ha tenido en cuenta el

efecto de la sobrecarga, y se ha comprobado en centro de vano si la reserva de

compresiones en dicha fibra era suficiente para soportarla.

La historia de cargas propuesta para las vigas de sección compuesta inicialmente es el

siguiente:

A 3 días: peso propio de la viga y pretensado.

A 90 días: peso propio de la losa.

A 365 días: carga muerta (firme y pretil).

3.3. DATOS DE PARTIDA

En este epígrafe se detallan los datos adoptados para el cálculo de cada uno de los cinco ejemplos. Todos los croquis acotados dispuestos a continuación presentan dimensiones en metros (m).

En este análisis paramétrico, las variables tenidas en cuenta, así como las variables directa o indirectamente afectadas por éstas han sido las siguientes:


45

Esbeltez.

Relación área losa – área viga.

Cuantía de armadura activa.

Respecto del resto de parámetros, se ha tratado de mantenerlos comunes a todos los casos analizados, o lo más similares posibles, de modo que no generen desviaciones en los resultados por causas que quedan fuera de este estudio.

3.3.1. Serie vigas compuestas

Tabla 1. Propiedades de los materiales que componen las estructuras compuestas

Hormigón viga C60

Hormigón losa C25

Acero activo Y1860 C

Acero pasivo B500

Tabla 2. Historia de cargas en el tiempo actuante sobre las vigas compuestas

Peso propio + pretensado (t1) 3 días

Disposición de la losa (t2) 90 días

Carga muerta (t3) 365 días

Viga Tx-46(I)_C

Figura 4. Croquis acotado de la viga Tx-46(I)_C

Las propiedades de la viga se detallan a continuación.


46

Tabla 3. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-46(I)_C

Área viga 0.4910 m2

Centro de gravedad viga4 0.5105 m

Inercia viga 0.0824 m4

Área viga + losa 5 1.0767 m2

Centro de gravedad viga + losa 0.9497 m

Inercia viga + losa 0.2599 m4

Tabla 4. Caracterización geométrica para la viga Tx-46(I)_C

Longitud vano 26.29 m

Canto total del conjunto viga + losa 1.4351 m

Esbeltez del conjunto 18.32

Número de cordones de pretensado 32

Área total armadura activa 44.8 cm2

Cuantía armadura activa 10.99 kg/m2

Tabla 5. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-46(I)_C

Peso propio viga 12.2750 kN/m

Losa 18.4333 kN/m

Carga muerta 11.1840 kN/m

4 La posición del centro de gravedad para todos los casos aquí detallados se mide desde la fibra inferior de

la viga. 5 Las propiedades mecánicas de la sección conjunta, es decir, la que incluye viga y losa, se corresponden

con la de la sección homogeneizada, esto es extrapolable a todas las vigas compuestas aquí analizadas.


47

Viga Tx-46(II)_C

Figura 5. Croquis acotado de la viga Tx-46(II)_C


Tabla 6. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-46(II)_C


Centro de gravedad viga 0.5105 m


Área viga + losa 1.0767 m2



Tabla 7. Caracterización geométrica para la viga Tx-46(II)_C








48

Tabla 8. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-46(II)_C


Losa 18.4333 kN/m


Viga Tx-54_C

Figura 6. Croquis acotado de la viga Tx-54_C


Tabla 9. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-54_C








49

Tabla 10. Caracterización geométrica para la viga Tx-54_C







Tabla 11. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-54_C


Losa 18.7625 kN/m


Viga Tx-70(I)_C

Figura 7. Croquis acotado de la viga Tx-70(I)_C


50


Tabla 12. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-70(I)_C







Tabla 13. Caracterización geométrica para la viga Tx-70(I)_C







Tabla 14. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-70(I)_C


Losa 16.5704 kN/m



51

Viga Tx-70(II)_C

Figura 8. Croquis acotado de la viga Tx-70(II)_C


Tabla 15. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-70(II)_C








52

Tabla 16. Caracterización geométrica para la viga Tx-70(II)_C







Tabla 17. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-70(II)_C


Losa 14.5139 kN/m


3.3.2. Serie vigas monolíticas

Tabla 18. Propiedades de los materiales que componen las estructuras monolíticas

Hormigón del conjunto C60

Acero activo Y1860 C

Acero pasivo B500

Tabla 19. Historia de cargas en el tiempo actuante sobre las vigas monolíticas

Peso propio + pretensado (t1) 3 días

Carga muerta (t2) 365 días


53

Viga Tx-46(I)_M

Figura 9. Croquis acotado de la viga Tx-46(I)_M


Tabla 20. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-46(I)_M

Área sección 6 1.2283 m2

Centro de gravedad sección 0.9956 m

Inercia sección 0.2784 m4

Tabla 21. Caracterización geométrica para la viga Tx-46(I)_M


Canto total 1.4351 m





Tabla 22. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-46(I)_M

Peso propio 30.7083 kN/m


6 Las propiedades mecánicas son las de la sección conjunta, es decir, lo que se considera viga y losa, dado

que se hormigonan en una sola puesta.


54

Viga Tx-46(II)_M

Figura 10. Croquis acotado de la viga Tx-46(II)_M


Tabla 23. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-46(II)_M

Área sección 1.2283 m2



Tabla 24. Caracterización geométrica para la viga Tx-46(II)_M







Tabla 25. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-46(II)_M




55

Viga Tx-54_M

Figura 11. Croquis acotado de la viga Tx-54_M


Tabla 26. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-54_M




Tabla 27. Caracterización geométrica para la viga Tx-54_M







Tabla 28. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-54_M




56

Viga Tx-70(I)_M

Figura 12. Croquis acotado de la viga Tx-70(I)_M


Tabla 29. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-70(I)_M




Tabla 30. Caracterización geométrica para la viga Tx-70(I)_M








57

Tabla 31. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-70(I)_M



Viga Tx-70(II)_M

Figura 13. Croquis acotado de la viga Tx-70(II)_M


Tabla 32. Propiedades mecánicas de la sección de la viga Tx-70(II)_M





58

Tabla 33. Caracterización geométrica para la viga Tx-70(II)_M







Tabla 34. Solicitaciones actuantes sobre la viga Tx-70(II)_M



3.3.3. Consideraciones para el cálculo

Los cálculos realizados en este trabajo se dividen en tres, coincidentes con la evolución que ha

seguido el análisis de los resultados:

1º. Cálculo de las pérdidas en la sección compuesta sin corrección alguna, teniendo en

cuenta el coeficiente de fluencia de la viga ( ( )) y en el término la tensión del

estado inicial debida al peso propio y al pretensado, de manera que se asegura un

resultado del lado de la seguridad. Para el valor de la deformación de retracción ( ) se

toma un valor correspondiente a la media ponderada de la deformación de viga y losa, en

relación a sus áreas. Finalmente estos resultados se han desechado por dar lugar a

demasiado error.

( )

(

)( ( ))

( 58)

2º. Cálculo de pérdidas en la sección compuesta teniendo en cuenta los efectos de la

fluencia. Esto se realiza estableciendo tantos términos para el cálculo de la deformación

por fluencia como hipótesis de carga existan. En este caso, para las secciones

compuestas son tres hipótesis de carga; t1, t2 y t3, correspondientes a la puesta en carga

de la viga con el peso propio y el pretensado, el hormigonado de la losa y la disposición

de la carga muerta, respectivamente. Los términos de tensión ( ) que

multiplican estos coeficientes de fluencia ( ( ) ( ) ( )) son los incrementos de

tensión en la fibra del pretensado que se produce en cada uno de esos instantes (t1, t2, y

t3). Todo lo aquí descrito queda reflejado en la Figura 14. Para la retracción se sigue la

misma metodología del apartado anterior.


59

[ ( ) ( ) ( ) ]

(

)( ( ))

( 59)

Figura 14. Croquis de las hipótesis de carga y sus correspondientes coeficientes de fluencia

3º. Cálculo de pérdidas en la sección compuesta con corrección de la retracción, teniendo en

cuenta la historia de cargas así como el efecto real de la deformación de retracción de la

losa sobre la sección. Se aplica una deformación de retracción corregida, . Los

detalles de cálculo y obtención de esta deformación se encuentran en el Capítulo IV de

este documento. El resto de términos se aplican de igual manera a la que se ha descrito

en el cálculo descrito en el apartado 2º.

[ ( ) ( ) ( ) ]

(

)( ( ))

( 60)

Para el valor de Ecm en secciones compuestas se ha tomado un valor medio ponderado en

relación a las áreas de las subsecciones de viga y losa.

En este capítulo únicamente se van a comentar los resultados obtenidos con las hipótesis de

cálculo del segundo nivel de cálculos, es decir, tomando en consideración de forma adecuada la

fluencia. El apartado tercero se corresponde con lo expuesto en el Capítulo IV, en el cual se

ofrecen correcciones a la fórmula del EN-1992-1-1:2004, dado que dichas correcciones se

deducen precisamente de los resultados obtenidos en este capítulo.

3.4. RESULTADO DE LOS CÁLCULOS

A continuación, se muestran los resultados obtenidos tanto para el análisis paso a paso en el

tiempo con el software HIPER como para la aplicación de la fórmula de pérdidas diferidas del

Eurocódigo.


60

Se entiende que el valor obtenido del cálculo en HIPER será el más próximo a la realidad, de

modo que la diferencia entre el resultado de la fórmula del Eurocódigo con el que proporcione

dicho software se considerará el error de cálculo debido a las simplificaciones inherentes en la

aplicación de la fórmula de EN-1992-1-1:2004.

3.4.1. Parámetros reológicos obtenidos

El software HIPER, de acuerdo a los modelos anteriormente detallados, realiza un cálculo de los

parámetros reológicos de retracción y fluencia para cada una de las vigas. Estos resultados son

los que se han introducido en la fórmula de EN-1992-1-1:2004.

Los parámetros obtenidos han sido los siguientes:

Tabla 35. Parámetros reológicos obtenidos para las vigas de sección compuesta

PARÁMETRO REOLÓGICO

CASO Viga TX-46(I)_C

Viga TX-46(II)_C

Viga TX-54_C

Viga TX-70(I)_C

Viga TX-70(II)_C

Retracción (mm/m)

Sub-sección viga

0.401 0.401 0.401 0.401 0.401

Sub-sección losa

0.516 0.516 0.516 0.519 0.519

Coeficiente de fluencia (viga)

t1 2.07 2.07 2.08 2.08 2.08

t2 1.40 1.40 1.40 1.40 1.40

t3 1.10 1.10 1.10 1.10 1.10

Coeficiente de fluencia (losa)

t1 0 0 0 0 0

t2 0 0 0 0 0

t3 1.58 1.58 1.58 1.59 159

Relajación (kPa) - 92534.75 83494.48 79968.82 112737.46 88295.59

Para el caso de las vigas de sección monolítica, las hipótesis de cálculo se reducen a dos; puesta

en carga con peso propio y pretensado, y disposición de la carga muerta. Tampoco existen

subsecciones, pues por definición, la sección monolítica no se divide en partes.

Con el fin de establecer unas condiciones lo más similares posibles entre las vigas monolíticas y

las compuestas, se ha aplicado un coeficiente de amplificación de la deformación de retracción.

De este modo, la deformación de retracción será muy similar entre los casos de sección

compuesta y sección monolítica, evitando que los resultados tengan desviaciones por este

motivo.

Tabla 36. Parámetros reológicos obtenidos para las vigas de sección monolítica

PARÁMETRO REOLÓGICO

CASO Viga TX-46(I)_C

Viga TX-46(II)_C

Viga TX-54_C Viga TX-70(I)_C

Viga TX-70(II)_C

Retracción (mm/m)

- 0. 457 0. 469 0. 469 0. 464 0. 461

Coeficiente de fluencia

t1 1.86 1.86 1.86 1.87 1.87

t2 1.04 1.04 1.04 1.05 1.05

Relajación (kPa) - 109565.48 108296.09 103311.52 135011.71 108961.29


61

3.4.2. Cálculo de las pérdidas de pretensado

Para el cálculo de las pérdidas en secciones compuestas, no es evidente la elección de la sección a

tener en cuenta en la fórmula del Eurocódigo, dado que la geometría de ésta cambia con el

tiempo. En cualquier caso, es razonable pensar que es más riguroso emplear la sección completa,

dado que es la existente desde los 90 días hasta los 36500 días (36500 días es el tiempo de

cálculo, que se puede considerar tiempo infinito). Para este análisis, se ha tomado la sección

compuesta completa.

Con todas las consideraciones tenidas en cuenta, anteriormente expuestas, se han obtenido los

siguientes resultados:

Tabla 37. Resultados de pérdidas diferidas en HIPER para las secciones compuestas

VARIABLE Viga TX-46 (I)_C Viga TX-46 (II)_C Viga TX-54_C Viga TX-70 (I)_C Viga TX-70 (II)_C

σp,t0 (kPa) 1251058 1228836 1220171 1293183 1240276

σp,tinf (kPa) 1066159 1034349 1020650 1114945 1061584

Δσp,t0 (kPa) 143942 166164 174829 101817 154724

Δσp,tinf (kPa) 328841 360651 374350 280055 333416

Δσp,dif (kPa) 184899 194487 199521 178238 178692

% instantáneas 10.32 11.91 12.53 7.30 11.09

% diferidas 13.25 13.94 14.30 12.78 12.81

% totales 23.57 25.85 26.84 20.08 23.90


62

Tabla 38. Resultados de pérdidas diferidas en HIPER para las secciones monolíticas

VARIABLE Viga TX-46 (I)_M Viga TX-46 (II)_M Viga TX-54_M Viga TX-70 (I)_M Viga TX-70 (II)_M

σp,t0 (kPa) 1304637 1272681 1273724 1335413 1285515

σp,tinf (kPa) 1090865 1085282 1043869 1130122 1074762

Δσp,t0 (kPa) 90363 122319 121276 59587 109485

Δσp,tinf (kPa) 304135 309718 351131 264878 320238

Δσp,dif (kPa) 213772 187399 229855 205291 210753

% instantáneas 6.48 8.77 8.69 4.27 7.85

% diferidas 15.32 13.43 16.48 14.72 15.11

% totales 21.80 22.20 25.17 18.99 22.96

Una primera vista de los resultados deja ver que tanto para secciones monolíticas, como para

secciones compuestas las pérdidas diferidas (e instantáneas) se encuentran dentro del orden de

magnitud esperable, siendo algo mayores las pérdidas totales para las secciones compuestas.

En cuanto al cálculo de las pérdidas instantáneas en las vigas de sección compuesta, no ha lugar a

duda en la consideración de la subsección únicamente de la viga en I.

Para el cálculo de la deformación de retracción en secciones compuestas, se ha tomado el valor

de retracción medio de la losa y la viga, ponderado en relación a sus respectivas áreas.

Con respecto a la relajación, de acuerdo a lo dispuesto en documentos técnicos como la EHE-08,

se ha tomado como tensión inicial la tensión de tesado menos las pérdidas instantáneas.

Los coeficientes de fluencia que se han empleado en el cálculo, para las tres hipótesis de carga

descritas para vigas compuestas, son los correspondientes a la subsección de la viga, dado que el

pretensado se encuentra embebido en ella.

Los resultados obtenidos de la primera aproximación a la aplicación de la fórmula son los

siguientes:


63

Tabla 39. Resultados del primer cálculo de pérdidas diferidas con la expresión del EN-1992-1-1:2004 para las secciones compuestas

VARIABLES Viga TX-46

(I)_C Viga TX-46

(II)_C Viga TX-

54_C Viga TX-70

(I)_C Viga TX-70

(II)_C

εcs (mm/m) 0.47003 0.47003 0.46855 0.461817 0.457912

EP (kPa) 200000000 200000000 200000000 200000000 200000000

Ecm (kPa) 34197916 34197916 34300564 34876827 34022358

Δσpr (kPa) 92534.75 83494.48 79968.82 112737.46 88295.59

ϕ (t1) 2.07 2.07 2.08 2.08 2.08

ϕ (t2) 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4

ϕ (t3) 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1

σc,QP, (kPa) 18251.28 22030.91 24230.21 11116.55 21832.73

Δσc,QP,2 (kPa) -8237.82 -11082.50 -11082.50 -4322.79 -11393.32

Δσc,QP,3 (kPa) -3625.24 -4386.40 -4850.88 -1782.18 -5112.32

AP (m2) 0.00448 0.0056 0.00672 0.00308 0.00756

AC,1 (m2) 1.0767 1.0767 1.1258 1.1496 1.0844

IC,1 (m4) 0.2599 0.2599 0.3696 0.6197 0.5932

zcp,1 (m) 0.8513 0.83794 0.95877 1.24133 1.14172

Δσc+s+r, sección viga + losa (kPa)

258615.08 257816.93 271744.04 237845.31 235139.34

% diferidas sección viga + losa

18.54 18.61 19.48 17.47 17.22

A continuación, los mismos resultados pero para secciones monolíticas:

Tabla 40. Resultados del primer cálculo de pérdidas diferidas con la expresión de EN-1992-1-1:2004 para las secciones monolíticas

VARIABLES Viga TX-46 (I)_M Viga TX-46 (II)_M Viga TX-54_M Viga TX-70 (I)_M Viga TX-70 (II)_M

Εcs (mm/m) 0. 457 0. 469 0. 469 0. 464 0. 461

EP (kPa) 200000000 200000000 200000000 200000000 200000000

Ecm (kPa) 37485500 37485500 37485500 37485500 37485500

Δσpr (kPa) 109565.48 108296.09 103311.52 135011.71 108961.29

ϕ (t0) 1.86 1.86 1.86 1.87 1.87

ϕ (t2) 1.04 1.04 1.04 1.05 1.05

Δσc,QP 9688.12 13348.21 15149.61 7504.67 14391.41

Δσc,QP,2 -3435.12 -4423.05 -5500.25 -2122.58 -6036.91

AP (m2) 0.00448 0.0056 0.00672 0.00308 0.00756

AC (m2) 1.2283 1.2283 1.2776 1.286 1.2038

IC (m4) 0.2784 0.2784 0.3963 0.6651 0.6381

zcp (m) 0.90162 0.88816 1.00736 1.26687 1.21507

Δσc+s+r, (kPa) 208469.32 225239.90 226428.67 232146.07 218413.45

% pérdidas diferidas 15.01 16.25 16.34 16.72 15.74


64

Como se puede observar tras contrastar ambos análisis, el resultado obtenido con la fórmula del

Eurocódigo da un resultado algo mayor al que se extrae del cálculo paso a paso en el tiempo. En

cualquier caso, para una primera aplicación del cálculo simplificado, es un buen resultado, pues se

acerca al análisis paso a paso en el tiempo pero queda del lado de la seguridad.

El hecho de que este resultado ajuste con un error aceptable, y siempre quede del lado de la

seguridad es un resultado positivo. Esto indica que la formulación simplificada es segura. Esto

también deja un margen de mejora en los resultados, que permita pequeñas correcciones para

afinar más estos resultados con métodos más sofisticados.

También se muestran los resultados obtenidos del cálculo de las pérdidas instantáneas de

pretensado:

Tabla 41. Resultados del cálculo de pérdidas instantáneas con la expresión de EN-1992-1-1:2004 y en HIPER para las secciones compuestas

Viga TX-46

(I)_M Viga TX-46

(II)_M Viga TX-

54_M Viga TX-70

(I)_M Viga TX-70

(II)_M

Pérdidas instantáneas EC (kPa)

140123.12 166253.03 178161.05 93662.16 155185.70

Pérdidas instantáneas HIPER (kPa)

143942 166164 174829 101817 154724

% Pérdidas instantáneas EC 10.04 11.92 12.77 6.71 11.12

% Pérdidas instantáneas HIPER

10.32 11.91 12.53 7.30 11.09

Con los resultados ya obtenidos, se plantea el análisis paramétrico, donde se verá si hay alguna

variable cuya afección al resultado sea considerable. En el Capítulo IV se tendrá esto en cuenta, y

con ello se obtendrá una corrección en la aplicación de la fórmula del Eurocódigo, permitiendo un

resultado más ajustado, pero de modo que éste quede del lado de la seguridad.

3.5. ANÁLISIS PARAMÉTRICO

Para comenzar el análisis paramétrico, se comparan los valores obtenidos para ambos métodos

de cálculo. Se considera que es más riguroso aplicar la sección completa en el análisis

paramétrico, de manera que se toman estos resultados:

Tabla 42. Comparación de los resultados de pérdidas diferidas obtenidos en HIPER y con la fórmula de EN-1992-1-1:2004

VIGA Pérdidas en HIPER (kPa)

% pérdidas en HIPER

Pérdidas fórmula EC2 (kPa)

% pérdidas fórmula EC2

Viga TX-46(I)_C 184899 13.25 258615.08 18.54

Viga TX-46(II)_C 194487 13.94 259732.34 18.62

Viga TX-54_C 199521 14.30 271744.04 19.48

Viga TX-70(I)_C 178238 12.78 243764.32 17.47

Viga TX-70(II)_C 178692 12.81 240209.70 17.22

Viga TX-46(I)_M 213772 15.32 209441.86 15.01

Viga TX-46(II)_M 187399 13.43 226663.93 16.25

Viga TX-54_M 229855 16.48 227984.07 16.34

Viga TX-70(I)_M 205291 14.72 233265.62 16.72

Viga TX-70(II)_M 210753 15.11 219611.62 15.74


65

Para los parámetros de interés, se ha considerado el error del cálculo simplificado con la fórmula

de EN-1992-1-1:2004 como la diferencia del resultado obtenido con ésta y el resultado del

análisis paso a paso en el tiempo, tomando la diferencia de los porcentajes de pérdidas totales.

Se considera de interés comprobar si existe alguna relación entre la magnitud de este error y los

distintos valores de cada uno de los parámetros, con el fin de acotar, si fuera posible y del lado de

la seguridad, dicha diferencia.

Uno de los objetivos principales de este trabajo es el de reducir la diferencia entre los resultados

de HIPER y los resultados de la fórmula del Eurocódigo al máximo posible, a través del estudio de

los fenómenos reológicos mentados en el estado del arte y el análisis paramétrico que a

continuación se desarrolla.

3.5.1. Comparación resultados HIPER con resultados EN-1992-1-1:2004

En este apartado se va a evaluar la precisión de cálculo de la aplicación propuesta de la fórmula

de EN-1992-1-1:2004 en relación a los resultados obtenidos.

Con el gráfico de comparación que se detalla a continuación, se refleja de forma más visual los

resultados obtenidos en HIPER frente a los resultados que se extraen al aplicar de forma

simplificada la expresión del Eurocódigo en secciones compuestas.


66

Figura 15. Gráfico de comparación de resultados entre el análisis paso a paso en el tiempo y la formulación de EN-1992-1-1:2004 en secciones compuestas

En este gráfico, la recta representa los valores X=Y, y el valor de los puntos representados es; en

el eje X es el resultado del análisis paso a paso en el tiempo, y en el eje Y el resultado obtenido

con la formulación del Eurocódigo. Por ello, lo deseable es que estos puntos estén lo más

próximos a la recta central, pues cuanto mayor es la distancia, mayor es el error.

En el caso de las pérdidas instantáneas, el valor está muy ajustado al del valor calculado en

HIPER. Sin embargo, el mayor error que se comete en el cálculo de las pérdidas diferidas

calculadas con la expresión de EN-1992-1-1:2004, causa que las pérdidas de pretensado totales

acumulen ese mayor error. En cualquier caso, este resultado es adecuado para el de un cálculo

simplificado como el que se ha llevado a cabo aquí, y queda del lado de la seguridad.

Por otro lado, se ha realizado también un cálculo análogo de cada sección, pero considerando

ésta una única pieza, esto es, una sección monolítica. Los resultados en este caso se muestran en

la Figura 16:

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Pér

did

as d

e p

rete

nsa

do

EN

-19

92

-1-1

:20

04

(%

)

Pérdidas de pretensado análisis paso a paso en el tiempo (%)

Precisión de la formulación de EN-1992-1-1:2004 frente al análisis paso a paso en el tiempo en secciones

compuestas

X=Y Pérdidas instantáneas Pérdidas totales


67

Figura 16. Gráfico de comparación de resultados entre el análisis paso a paso en el tiempo y la formulación de EN-1992-1-1:2004 en secciones monolíticas

Al igual que en el caso del cálculo para secciones compuestas, estos resultados quedan del lado

de la seguridad. Sin embargo, se puede comprobar que las pérdidas de pretensado totales se

ajustan algo mejor en el cálculo de secciones monolíticas. Este resultado tiene sentido, dado que

la formulación presente en EN-1992-1-1:2004 se deduce por métodos analíticos para secciones

monolíticas, tal y como ha quedado demostrado en el Capítulo II.

En los siguientes apartados se procederá a evaluar el error para las vigas de sección compuesta

en comparación con parámetros de interés que, a priori, se considera que pudieran guardar

alguna relación con dicho error detectado.

3.5.2. Influencia de la esbeltez de la viga

La esbeltez se considera la relación entre la luz que una viga salva y el canto de ésta. La esbeltez

del conjunto viga y losa para las vigas estudiadas en este trabajo se resume en la Tabla 43.

Tabla 43. Esbeltez de las vigas compuestas analizadas

VIGA Viga TX-46 (I)_C Viga TX-46 (II)_C Viga TX-54_C Viga TX-70 (I)_C Viga TX-70 (II)_C

ESBELTEZ 18.32 20.07 20.42 12.63 22.56

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Pér

did

as d

e p

rete

nsa

do

EN

-19

92

-1-1

:20

04

(%

)


Precisión de la formulación de EN-1992-1-1:2004 frente al análisis paso a paso en el tiempo en secciones monolíticas

X=Y Pérdidas instantáneas Pérdidas totales


68

En primer lugar, se evalúa el valor de la esbeltez en comparación al de las pérdidas instantáneas y

totales:

Figura 17. Esbeltez de cada viga con respecto a las pérdidas de pretensado obtenidas del cálculo con la fórmula del Eurocódigo

Por lo que se puede ver en la Figura 17, la esbeltez guarda una relación con tendencia creciente

con las pérdidas de pretensado calculadas.

Este resultado tiene sentido, dado que cuanto mayor es la esbeltez, mayor es la cuantía de

armadura activa dispuesta, y mayores son las pérdidas. Sin embargo, se observa que la viga Tx-

70(II)_C se desvía algo respecto de esta tendencia. En cualquier caso, no rompe la tendencia

creciente.

La correspondencia de resultados entre la esbeltez y el error considerado, tal y como

anteriormente se ha detallado, es la siguiente:

18.32

20.07

20.42

12.63

22.56

18.32

20.07

20.42

12.63

22.56

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20 25

Pér

did

as d

e p

rete

nsa

do

EN

-19

92

-1-1

:20

04

(%

)

Esbeltez (L/h)

Efecto de la esbeltez

Pérdidas instantáneas Pérdidas totales


69

Figura 18. Esbeltez de cada viga con respecto al error obtenido en el cálculo con la fórmula de EN-1992-1-1:2004

A primera vista, parece que a mayor esbeltez, mayor es el error que se genera en el cálculo

simplificado con la expresión del Eurocódigo. Sería necesario indagar más en esta relación con el

fin de averiguar de dónde procede dicha correspondencia.

3.5.3. Influencia de la relación área losa – área viga

Resulta especialmente interesante el estudio de este parámetro, dado que es precisamente el

hormigonado de la losa en un instante distinto al de la viga lo que diferencia a una sección

compuesta de una sección monolítica.

Las relaciones área viga – área losa de las vigas con sección compuesta estudiadas en este trabajo

son las siguientes. Para este análisis se ha tomado el área de la viga sin homogeneizar. En

cualquier caso, la diferencia entre ambos casos es pequeña.

Tabla 44. Relación área viga – área losa de las vigas compuestas analizadas


ÁREA VIGA (m2) 0.4910 0.4910 0.5271 0.6232 0.6232

ÁREA LOSA (m2) 0.7373 0.7373 0.7505 0.6628 0.5806

RELACIÓN A.L./A.V. 1.5016 1.5016 1.4238 1.0635 0.9316

18.32

20.07

20.42

12.63

22.56

0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15 20 25

Err

or

(%)

Esbeltez (L/h)

Efecto de la esbeltez en el error

Pérdidas totales


70

A continuación, se refleja la relación del área de la losa entre el área de la viga, en comparación a

las pérdidas totales de pretensado obtenidas para cada caso con la fórmula del Eurocódigo.

Figura 19. Relación área losa / área viga en comparación con las pérdidas de pretensado calculadas con la fórmula del EN-

1992-1-1:2004

Lo que se observa en la Figura 19 es que en principio, no puede establecerse cuál es la relación de

forma clara, a causa del reducido número de casos que se analizan. En cualquier caso, se puede

comprobar que en general, cuando la relación aumenta, las pérdidas diferidas también.

Con el fin de comprobar si esto puede estar relacionado con el error que se ha detectado, se

muestra la Figura 20:

1.5016

1.5016 1.4238

1.0635

0.9316

1.5016

1.5016

1.4238

1.0635

0.9316

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Pérd

idas

de

pre

ten

sad

o E

N-1

99

2-1

-1:2

004

(%)

Relación área losa/área viga

Efecto de la relación área losa/área viga



71

Figura 20. Relación área losa / área viga con respecto al error de cálculo detectado en la aplicación de la fórmula

A priori, se observa una tendencia creciente del error conforme aumenta la relación área

losa/área viga.

Como ya se ha comentado, esto puede estar relacionado con cómo ha sido tenida en cuenta la

retracción. Este fenómeno reológico no se ha considerado de forma precisa, dado que esto

requiere de cálculos más avanzados. Cuanto mayor es el área de la losa en relación al de la viga,

más evidentes se hacen estas imprecisiones, pues para este fenómeno reológico el cálculo ha

sido el mismo que si la sección de la viga fuera monolítica. Estos resultados confirman que el

error o parte de él pueda localizarse en estas consideraciones en el cálculo.

3.5.4. Influencia de la relación inercia viga – inercia sección compuesta

La inercia de la sección es otra de las propiedades mecánicas de la sección de mayor importancia,

por lo que se hace necesario comprobar si ésta guarda una relación evidente con las pérdidas de

pretensado y/o el error cometido en el primer cálculo que se ha realizado aplicando la fórmula del

Eurocódigo.

La inercia de las secciones estudiadas se resume en la Tabla 45. Se va a estudiar la influencia de la

relación de la inercia de la viga respecto de la inercia de la sección compuesta:

1.5016

1.5016

1.4238

1.0635

0.9316

0

1

2

3

4

5

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Err

or

(%)

Relación área losa/área viga

Efecto de la relación área losa/área viga en el error

Pérdidas totales


72

Tabla 45. Inercia de las vigas compuestas analizadas y relación con la inercia de la sección compuesta


INERCIA VIGA (m

4)

0.0824 0.0824 0.1248 0.2617 0.2617

INERCIA SECCIÓN COMPUESTA (m

4)

0.2599 0.2599 0.3696 0.6197 0.5932

RELACIÓN I.V./I.S.C.

0.317 0.317 0.338 0.422 0.441

De forma análoga a los epígrafes anteriores, se comparan los resultados de ambas metodologías

de cálculo con el valor de este parámetro:

Figura 21. Inercia de la sección completa en comparación con las pérdidas totales de pretensado calculadas con la fórmula

del EN-1992-1-1:2004

Es razonable pensar que la relación inercia viga/inercia sección compuesta influencie el valor de

las pérdidas de pretensado. En cualquier caso, en la situación de estudio no es fácil establecer tal

correspondencia, pues la tendencia no es clara y son pocos los datos que permitan realizar un

análisis estadístico con un grado de detalle mayor.

Sería interesante llevar a cabo un estudio con más profundidad, que analice un mayor número de

casos que posibiliten establecer una relación inequívoca entre estos parámetros. Ya que no se

puede establecer una correspondencia, se desecha este parámetro para el análisis, dado que no

ofrece resultados concluyentes.

0.317 0.317

0.338

0.422

0.441

0.317 0.317

0.338

0.422

0.441

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Pér

did

as d

e p

rete

nsa

do

EN

-19

92

-1-1

:20

04

(%

)

Relación inercia viga/inercia sección completa

Efecto de la relación inercia viga/inercia sección compuesta



73

3.5.5. Influencia de la cuantía de armadura activa

La cuantía de armadura activa en la sección es un parámetro susceptible de influir sobre el valor

de las pérdidas de pretensado. Es por ello, por lo que se ha decidido analizarlo. Los valores acerca

del pretensado son los siguientes:

Tabla 46. Cuantías de pretensado de las vigas compuestas analizadas


ÁREA PRET. (cm2) 44.8 56.0 67.2 30.8 75.6

CUANTÍA PRET. (kg/m2) 10.99 13.74 16.18 8.58 24.34

Para determinar la correlación o desconexión de este parámetro con las pérdidas diferidas de

pretensado, o con el error en el cálculo con la fórmula, se sigue el esquema de los anteriores

apartados.

Figura 22. Cuantía de pretensado en relación con las pérdidas de pretensado calculadas con la fórmula del EN-1992-1-

1:2004

10.99

13.74 16.18

8.58

24.34

10.99

13.74

16.18

8.58

24.34

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20 25 30

Pér

did

as d

e p

rete

nsa

do

EN

-19

92

-1-1

:20

04

(%

)

Cuantía armadura activa (kg/m²)

Efecto de la cuantía de armadura activa



74

En la Figura 22 se ve de forma inequívoca la tendencia creciente, tanto de las pérdidas

instantáneas como las pérdidas totales, conforme aumenta la cuantía. De acuerdo al

planteamiento realizado en el análisis de la influencia de la esbeltez, una mayor cuantía de

armadura activa genera que las pérdidas sean mayores, pues suele estar relacionado con una

mayor fuerza ejercida por la armadura activa.

En cuanto al error, la situación es la siguiente, en referencia a la cuantía de armadura activa:

Figura 23. Relación de la cuantía de pretensado con respecto al error de cálculo detectado en la aplicación de la fórmula del

Eurocódigo

En la Figura 23 no se observa una relación clara entre el error que se ha notificado en la aplicación

de la fórmula contenida en la EN-1992-1-1:2004, pero se deduce que cuanto mayor es la cuantía,

mayor es el error, aunque la diferencia es pequeña. Por ello, no parece que este parámetro sea

determinante en la búsqueda del origen del error comentado.

3.5.6. Influencia de la tensión inicial del pretensado

El hecho de que la tensión inicial del pretensado tendrá influencia sobre las pérdidas de

pretensado, a priori, es evidente. Es un parámetro que se encuentra directamente involucrado en

el cálculo de las pérdidas tanto instantáneas como diferidas.

10.99

13.74

16.18

8.58

24.34

0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15 20 25 30

Err

or

(%)

Cuantía armadura activa (kg/m²)

Efecto de la cuantía de armadura activa en el error

Pérdidas totales


75

Tabla 47. Tensión inicial en el pretensado tras las pérdidas instantáneas de las vigas compuestas analizadas


TENSIÓN INICIAL (kPa) 1250058 1228836 1220171 1293183 1240276

TENSIÓN/fPU (%) 67.21 66.07 65.60 69.52 66.69

A modo de comprobación, se analiza la influencia de este parámetro de igual manera que los

casos anteriores, con el fin de ver cuál es la influencia que ejerce sobre las pérdidas de

pretensado.

67.207 66.066

65.600

69.526

66.682

67.207 66.066

65.600

69.526

66.682

0

5

10

15

20

25

30

35

65 65.5 66 66.5 67 67.5 68 68.5 69 69.5 70Pér

did

as d

e p

rete

nsa

do

EN

-19

92

-1-1

:20

04

(%

)

Tensión tras las pérdidas instantáneas/fpu (%)

Efecto de la tensión inicial del pretensado



76

Figura 24. Tensión inicial del pretensado en relación con las pérdidas de pretensado calculadas con la fórmula del EN-1992-

1-1:2004

En la Figura 24 se observa de forma clara la relación sensiblemente lineal entre las pérdidas de

pretensado y la tensión inicial en éste tras las pérdidas instantáneas. A medida que la proporción

de tensión inicial respecto de la tensión última del pretensado aumenta, las pérdidas de

pretensado disminuyen.

Este es un resultado interesante, pues a priori, puede parecer que al ser mayores las tensiones,

las pérdidas debidas a la relajación podrían causar que la tendencia fuera la contraria a la que aquí

se observa.

Por otro lado, en referencia al análisis del error que se está realizando, los resultados obtenidos

son los siguientes:

67.21

66.07 65.60

69.52

66.68

67.21

66.07 65.60

69.52

66.69

0

5

10

15

20

25

30

65 65.5 66 66.5 67 67.5 68 68.5 69 69.5 70

Pér

did

as d

e p

rete

nsa

do

EN

-19

92

-1-1

:20

04

(%

)


Efecto de la tensión inicial del pretensado



77

Figura 25. Relación de la tensión inicial tras las pérdidas instantáneas de pretensado con respecto al error de cálculo

detectado en la aplicación de la fórmula del Eurocódigo

Las conclusiones que se pueden extraer al observar la Figura 25, no son evidentes, pero si da una

idea de cómo puede influir este parámetro en el error. En este caso, puede asumirse que la

tendencia es prácticamente horizontal, de manera que se deduce que la tensión inicial tras las

pérdidas instantáneas o bien no afecta sobre el error cometido en el cálculo simplificado con la

fórmula del Eurocódigo, o bien si afecta, su influencia es muy pequeña.

3.6. CONCLUSIONES

Las conclusiones que se extraen del análisis paramétrico se enumeran a continuación:

La aproximación de los resultados de la fórmula dispuesta en el EN-1992-1-1:2004 al

análisis paso a paso en el tiempo, conforme a lo establecido en este capítulo es buena.

Ofrece un resultado que queda del lado de la seguridad, si bien la diferencia puede ser

aún más reducida, mediante cálculos más complejos.

Aunque parezca evidente, es necesario atender al módulo del hormigón que se emplea

en el cálculo, pues su valor influencia de forma directa al resultado procedente de la

fórmula de EN-1992-1-1:2004. Esto es especialmente importante en el caso de las vigas

de sección compuesta en las que se empleen hormigones de distinta naturaleza.

67.21

66.07

65.60

69.52 66.68

0

1

2

3

4

5

6

65 65.5 66 66.5 67 67.5 68 68.5 69 69.5 70

Err

or

(%)


Efecto de la tensión inicial del pretensado en el error

Pérdidas totales


78

Se ha podido ver que la esbeltez de la viga, es un parámetro que sí guarda relación con las

pérdidas de pretensado. Se ha comprobado que para valores mayores de la esbeltez,

mayores son las pérdidas calculadas con la fórmula de EN-1992-1-1:2004. También se ha

observado que cuanto mayor es el valor de este parámetro, posiblemente mayor sea el

error en dicho cálculo.

El análisis paramétrico de la relación área de la losa – área de la viga ha desvelado el

posible origen de este error, el cual aparentemente surge de la aplicación de la losa en un

instante de tiempo distinto al del hormigonado de la viga. A mayores valores de este

parámetro, mayor es el error de la fórmula, es decir, cuanto mayor es la proporción del

área de la losa con respecto al área de la viga, se hacen más evidentes las presuntas

imprecisiones en la consideración en el cálculo de los efectos de la retracción.

El estudio de la relación de la inercia de la viga con respecto a la inercia de la sección

completa frente a las pérdidas de pretensado y al error cometido en su cálculo, no ha

arrojado resultados concluyentes. A priori, no parece haber una relación clara entre

éstos. En cualquier caso, podría ser interesante un estudio con un mayor número de

casos que permita confirmar la no relación, o indicar una posible correlación que en estos

casos no se puede apreciar.

Se ha confirmado la relación entre la cuantía de armadura activa y las pérdidas de

pretensado, dado que una cuantía superior implica una mayor fuerza de compresión a

edades tempranas, generando una deformación por fluencia superior, además de un

acortamiento elástico mayor. También se ha detectado que el error crece conforme crece

la cuantía.

Se ha obtenido un resultado interesante del estudio de la influencia de la tensión inicial

en el pretensado tras las pérdidas instantáneas con respecto al valor de las pérdidas de

pretensado. Se ha observado que a mayor porcentaje de esta tensión (porcentaje en

relación a la tensión última del acero de pretensar; fpu), menores son las pérdidas de

pretensado. Además, se comprueba que la relación es sensiblemente lineal, de manera

que se puede establecer una relación inequívoca entre éstos.

La consideración de la retracción no es la correcta, se requiere de un análisis más

profundo que realmente ahonde en cómo sucede la retracción de la losa, y cómo ésta

afecta a la viga.

No se ha encontrado ninguna relación de la relajación acero con respecto del error de

cálculo de la fórmula. De hecho, se ha podido comprobar que la posible influencia de este

fenómeno reológico tiene muy poca o ninguna relación con ello.


79

CAPÍTULO IV: FORMULACIÓN PARA SECCIONES

COMPUESTAS


80

IV. FORMULACIÓN PARA SECCIONES COMPUESTAS

4.1. INTRODUCCIÓN

Tras el análisis paramétrico desarrollado en el Capítulo III, se extrajo una serie de conclusiones

con las que se va a plantear la corrección de la formulación de secciones compuestas en este

capítulo.

A pesar de la dificultad para extraer relaciones causa – efecto entre los distintos parámetros, sí

fue posible determinar que el error en la aplicación de la fórmula del Eurocódigo está

íntimamente relacionado con los fenómenos reológicos. Es por ello, por lo que en este capítulo se

va a desarrollar un análisis de la retracción, con el fin de aplicarla de una forma efectiva. Con esto

se pretende conseguir un mejor ajuste en relación a los resultados obtenidos en HIPER.

4.2. CORRECCIÓN DE LA RETRACCIÓN

Con el fin de alcanzar un mejor entendimiento del mecanismo de retracción, es necesario recurrir

a los conceptos expuestos en el Capítulo II, correspondiente al Estado del Arte.

La retracción en la sección compuesta no sucede de forma conjunta, y esto genera un estado

tensional adicional a los anteriores que no ha sido tenido en cuenta debidamente.

En primer lugar, se hormigona la viga, de tal manera que ésta retrae libremente hasta que se

dispone la losa. En el momento de hormigonado de la losa, la viga ha retraído en parte, de tal

manera que viga y losa se deformarán conjuntamente, en lo relativo a la parte correspondiente a

la deformación de retracción restante de la viga.

La complejidad de esta situación aumenta en relación con la retracción de la losa, la cual no

sucede de forma conjunta a la de la viga. Esta retracción generará una deformación en la fibra

superior de la viga, la cual se contraerá, generando una deformación y una curvatura sobre la

sección que causará una variación en las tensiones en la fibra del pretensado, y que tenderá a

reducir el valor de las pérdidas diferidas de pretensado.

4.2.1. Metodología para la reducción del error en la consideración de la

retracción

Con los antecedentes que se han expuesto, se deduce que el término que se corresponde a la

deformación de retracción; “εcs”, debe ser calculado a través de una metodología alternativa.

En la fibra correspondiente al centro de gravedad del pretensado se tendrán en cuenta dos

deformaciones por retracción distintas, las cuales se superponen; la deformación de retracción de

la viga y la deformación por la retracción de la losa.

Se entiende que, dado que la losa se dispone un tiempo considerable después de la viga, la

deformación por retracción de la viga a tiempo infinito sucederá sin ninguna coacción, pues la

deformación de retracción de la viga restante cuando se hormigona la losa y la deformación de

retracción inicial de la losa sucederán de manera compensada. Tras esto, tendrá lugar la

deformación de retracción de la losa que no será compensada por la deformación de retracción


81

de la viga, la cual generará una deformación impuesta en la fibra superior de la viga, que será

parcialmente coartada por ella.

Para tener en cuenta esta sucesión de acontecimientos, se seguirá una serie de pasos en el

cálculo. Lo primero de todo es calcular la deformación de retracción de la viga en el momento del

hormigonado de la losa, que conociendo también su deformación de retracción en el tiempo de

cálculo, permite conocer la deformación de retracción que queda por suceder en esta parte de la

sección. Tras ello, se calcula la deformación por retracción de la losa en el tiempo total de cálculo.

La diferencia entre la deformación restante de la viga y la deformación total de la losa es la

deformación por retracción de la losa que generará tensiones en la viga.

Se dispone de la Figura 26 para aclarar las explicaciones anteriores:

Figura 26. Evolución de las deformaciones de retracción que tienen lugar en una sección compuesta

En este trabajo, se ha considerado una deformación coartada por la viga a través de la siguiente

expresión, frecuentemente empleada en este tipo de situaciones [ 11]:

( ) ( )

( 61)

Siendo Ec,v y Ec,l los módulos del hormigón de la viga y de la losa respectivamente, Av y Al las

áreas de viga y losa y ϕv y ϕl los coeficientes de fluencia de viga y losa recíprocamente. Con la

expresión ( 61) se obtiene el coeficiente de coacción de la viga (Cc), por el que se multiplica la

deformación de retracción de la losa no compensada, la cual induce la deformación y curvatura,

como ya se ha comentado, sobre la sección compuesta.

En cuanto al uso de los coeficientes de fluencia, en este trabajo se han empleado los

correspondientes a la Hipótesis 3 (momento de disposición de la carga muerta, a 365 días),


82

aunque tal vez se precise de un análisis más en profundidad que determine cuáles son los

adecuados. En cualquier caso la influencia de esta puntualización será mínima.

Finalmente, multiplicada la deformación de la losa sin compensar por el coeficiente

correspondiente a la coacción de la viga, se obtiene la deformación que sucederá realmente en la

losa, y se aplica en el centro de gravedad de ésta en forma de la suma de una deformación y una

curvatura.

Suponiendo deformación plana, se obtiene de una forma sencilla la deformación que genera la

retracción de la losa en la fibra del pretensado.

Finalmente se superpone la deformación de retracción de la viga con la deformación que causa la

losa por su retracción diferida. Esta deformación generalmente será de signo contrario a la de

retracción de la propia viga, de manera que como ya se ha comentado anteriormente, causará

una ganancia en las tensiones del pretensado, a través de la reducción de la deformación de

retracción en la fibra del pretensado.

Para el cálculo de esta deformación de retracción, se han tenido en cuenta los parámetros de la

Tabla 48:

Tabla 48. Variables del cálculo de la deformación de retracción corregida en secciones compuestas

VARIABLES Viga TX-

46 (I) Viga TX-

46 (II) Viga TX-

54 Viga TX-

70 (I) Viga TX-

70 (II)

Retracción de la viga a tiempo infinito

0.401 0.401 0.401 0.401 0.401

Retracción de la viga en t2 0.1345 0.1345 0.1376 0.136 0.136

Retracción restante de la viga en t2

0.2665 0.2665 0.2634 0.265 0.265

Retracción de la losa a tiempo infinito

0.516 0.516 0.516 0.519 0.519

(

) Retracción de losa parcialmente coartada

0.2495 0.2495 0.2526 0.254 0.254

Cc Coeficiente de coacción de la viga

0.6439 0.6439 0.6166 0.5049 0.4719

Deformación de retracción impuesta por la losa

0.1606 0.1606 0.1558 0.1282 0.1199

x Distancia centro de gravedad losa-centro de gravedad sección compuesta

0.37745 0.37745 0.44505 0.61615 0.65315

y Distancia centro de gravedad sección compuesta-centro de gravedad pretensado

0.8354 0.8354 0.971 1.2063 1.1693

Curvatura impuesta por la losa 0.4256 0.4256 0.3500 0.2081 0.1835

Deformación por losa en fibra pretensado

0.1606 0.1606 0.1558 0.1282 0.1199

Deformación por curvatura por losa en el centro de gravedad del pretensado

0.3556 0.3556 0.3398 0.2511 0.2146

Deformación total inducida por la losa en el centro de gravedad del pretensado

-0.1949 -0.1949 -0.1841 -0.1228 -0.0947

Deformación de retracción corregida

0.2061 0.2061 0.2169 0.2782 0.3063


83

Las deformaciones y curvaturas de la tabla están expresadas en miliderfomaciones (mm/m). Las

magnitudes de distancia se han expresado en metros (m).

El desarrollo de los cálculos realizados para la obtención de la deformación de retracción

corregida se detalla a continuación:

[

(

)]

7

Con todas las consideraciones y evidencias expuestas, en el siguiente epígrafe se muestran los

resultados de las pérdidas de pretensado tras la corrección de este parámetro.

4.2.2. Resultados de la corrección de la retracción

Se ha aplicado la metodología anteriormente desarrollada con resultados satisfactorios. Los

resultados obtenidos tras esta corrección dan una mejor aproximación a los valores obtenidos en

el análisis paso a paso en el tiempo.

Los resultados obtenidos en el cálculo de las pérdidas diferidas de pretensado con la fórmula de

EN-1992-1-1:2004 corrigiendo la retracción, se detallan a continuación.

7 Aunque en la expresión sean dos términos que se sumen, generalmente el segundo término será menor que cero, de

modo que la deformación de retracción a tiempo infinito corregida será inferior a la deformación de retracción a tiempo infinito de la viga


84

Tabla 49. Resultados de pérdidas diferidas con la fórmula EN-1992-1-1:2004 en secciones compuestas tras la corrección de la retracción

Viga TX-46 (I)_C Viga TX-46 (II)_C Viga TX-54_C Viga TX-70 (I)_C Viga TX-70 (II)_C

PÉRDIDAS TOTALES CON EN-1992-1-1:2004 1

er cálculo (kPa)

398738.20 425985.37 449905.09 337426.48 395395.41

PÉRDIDAS TOTALES CON HIPER (kPa)

328841 360651 374350 280055 333416


o cálculo (kPa)

352961.48 381550.99 408455.63 304173.19 371304.94


er cálculo (%)

28.58 30.54 32.25 24.19 28.34

PÉRDIDAS TOTALES CON HIPER (%)

23.57 25.85 26.84 20.08 23.90


o cálculo (%)

25.30 27.35 29.28 21.80 26.62

Tras la consideración de la retracción de una forma más precisa, se consiguen unos resultados

más aproximados a los obtenidos en el análisis paso a paso en el tiempo. Además, los valores de

pérdidas estimados con esta metodología aplicada a la formulación del EN-1992-1-1:2004 de

nuevo dan valores que quedan del lado de la seguridad.

Se incluye la Figura 27 que permite apreciar la magnitud en la reducción del error en el cálculo de

las pérdidas diferidas de pretensado, con la aplicación de estas dos sencillas metodologías.


85

Figura 27. Comparación de los resultados de la aplicación de la fórmula de EN-1992-1-1:2004 del primer cálculo, del segundo (con corrección de la retracción) y de HIPER

Como se observa en la Figura 27, los resultados obtenidos con la metodología propuesta ofrecen

unos resultados más próximos a los obtenidos en el análisis paso a paso en el tiempo. También es

un aspecto positivo el hecho de que se mantengan del lado de la seguridad, dando valores

conservadores, pero aun así, ajustados.

4.3. CONCLUSIONES

Las conclusiones que se extraen del Capítulo IV de este trabajo, correspondiente a la corrección

de la formulación del EN-1992-1-1:2004 se enumeran a continuación.

Ignorar los efectos reológicos de la retracción, siguiendo la metodología de cálculo

correspondiente al cálculo 1 de este proyecto, no tiene consecuencias críticas, pues

queda del lado de la seguridad, pero resulta más económico un ajuste mayor, el cual

permita un ahorro de material y a su vez siga estando del lado de la seguridad.

El entendimiento de las distintas deformaciones de retracción, así como su interacción,

posibilita la reducción del error que se obtiene tras el cálculo 2.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Pér

did

as d

e p

rete

nsa

do

EN

-19

92

-1-1

:20

04

(%

)


Precisión de la formulación de EN-1992-1-1:2004 frente al análisis paso a paso en el tiempo en secciones compuestas

X=Y Series1 Pérdidas totales (cálculo 1) Pérdidas totales (cálculo 2)


86

La correcta consideración de los parámetros reológicos da lugar a resultados mucho más

ajustados, que permite a los fabricantes de vigas prefabricadas un ahorro cuya magnitud

se estimará en el Capítulo V de este trabajo, en el dimensionamiento de la armadura

activa.

La deducción de la fórmula mediante métodos analíticos, fundamentada y desarrollada

con rigor conceptual, da lugar a una formulación muy potente, la cual permite que la

corrección de esta expresión para vigas de sección compuesta sea mínima, simplemente

haciendo pequeños ajustes sobre los parámetros reológicos.

El ajuste que aquí se ha realizado ofrece un resultado positivo. Esto permite una mayor

precisión en la estimación de las pérdidas de pretensado, pero ofreciendo resultados

conservadores. Un análisis más en profundidad sería interesante, con el fin de confirmar

que el fenómeno de retracción sucede tal y como se describe en este capítulo.


87

CAPÍTULO V: VALORACIÓN ECONÓMICA


88

V. VALORACIÓN ECONÓMICA

5.1. INTRODUCCIÓN

Una vez desarrollados todos los aspectos técnicos necesarios para este trabajo, se requiere de

una valoración económica que permita cuantificar el impacto que puede causar la optimización

que se lleva a cabo en el cálculo con la formulación corregida sobre el precio final de la viga

prefabricada.

Para ello, se va a realizar un cálculo aproximado del coste de cada una de las vigas de sección

compuesta analizadas en este estudio, con el pretensado procedente del cálculo simplificado, y

con el pretensado tras la reducción del error generado por la imprecisión en la consideración de la

retracción.

5.2. COSTES UNITARIOS

Los costes unitarios tenidos en cuenta para realizar una aproximación del coste de las vigas

prefabricadas pretensadas son los siguientes. No se tiene en cuenta la losa, se pretende

únicamente estimar el coste de fabricación de la viga pretensada prefabricada.

Acero de pretensado Y 1860 C: 3.50 €/ kg.

Hormigón clase C60: 150 €/m3.

5.3. COSTE DE VIGAS SIN OPTIMIZAR

El coste aproximado de fabricación de las vigas sin optimizar, así como los datos tenidos en

cuenta para el cálculo se detalla en la Tabla 50, a continuación:

Tabla 50. Relación de precios y costes de las vigas de sección compuesta con pretensado calculado con la formulación del Eurocódigo sin corregir

VIGA Volumen viga (m

3)

Precio viga (€)

Cuantía acero activo (kg)

Precio armadura activa (€)

PRECIO FINAL (€)

Viga TX-46 (I) 12.91 1936.5 924.57 3235.995 5172.495

Viga TX-46 (II) 14.14 2121 1266.05 4431.175 6552.175

Viga TX-54 17.63 2644.5 1764.55 6175.925 8820.425

Viga TX-70 (I) 16.1 2415 624.52 2185.82 4600.82

Viga TX-70 (II) 28.75 4312.5 2738.22 9583.77 13896.27

De esta primera estimación de los costes se deduce que el acero activo es el material que mayor

influencia tiene sobre el precio final. Por ello, una reducción en su cantidad puede tener un

impacto relevante en el coste final de este elemento estructural.

5.4. COSTE DE VIGAS OPTIMIZADAS

Al igual que en el apartado anterior, se calcula el coste de cada una de las vigas compuestas

estudiadas. En este caso la diferencia se encuentra en la cantidad de pretensado.


89

Dado que en el cálculo, la tensión para la que se dimensionan las vigas se multiplica por un

coeficiente correspondiente a “μ = 1-porcentaje en tanto por uno de pérdidas de pretensado

totales”, se elabora un factor igual a “f = μ1/μ2”, siendo μ1 el porcentaje en tanto por 1 de

pérdidas totales de pretensado calculadas por el método simplificado de y μ2 el porcentaje en

tanto por 1 de pérdidas totales de pretensado calculadas por el método optimizado

Este factor “f” va a dividir el área de pretensado de las vigas sin optimizar, dado que la fuerza de

tesado es proporcional al área de la armadura activa. Con esto se obtienen las nuevas cuantías:

Tabla 51. Cuantías de armadura activa estimadas para las vigas con el cálculo optimizado

VIGA Viga TX-46

(I) Viga TX-46

(II) Viga TX-

54 Viga TX-70

(I) Viga TX-70

(II)

μ1/μ2 1.2151 1.2064 1.1800 1.1580 1.1115

Área pretensado cálculo 1 44.8 56 67.2 30.8 75.6

Área pretensado cálculo 2 37.8 47.6 57.4 26.6 68.6

Número de cordones de pretensado cálculo 2

27 34 41 19 49

Con estos resultados, se estima el precio de las vigas con la optimización llevada a cabo sobre la

armadura activa:

Tabla 52. Relación de precios y costes de las vigas de sección compuesta con pretensado calculado con la formulación del Eurocódigo corregida

VIGA Volumen viga

(m3)

Precio viga (€)

Cuantía acero activo (kg)

Precio armadura activa (€)

PRECIO FINAL (€)

Viga TX-46 (I)

12.91 1936.5 780 2730 4666.5

Viga TX-46 (II)

14.14 2121 1012.84 3544.94 5665.94

Viga TX-54 17.63 2644.5 1507.22 5275.27 7919.77

Viga TX-70 (I)

16.1 2415 539.36 1887.76 4302.76

Viga TX-70 (II)

28.75 4312.5 2484.68 8696.38 13008.88

Se observa una clara reducción en el coste final de la viga. En el próximo apartado se cuantificará

el ahorro que se ha producido con esta mejora en la aplicación de la fórmula de EN-1992-1-

1:2004.

5.5. COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS

Se muestra a continuación la comparación entre los precios de las vigas, con las dos

consideraciones de cálculo de la aplicación de la expresión del Eurocódigo, así como el

porcentaje de ahorro entre ambas consideraciones de cálculo para el dimensionamiento del

pretensado.


90

Tabla 53. Comparativa de precios entre las dos aplicaciones de la fórmula de EN-1992-1-1:2004

VIGA Precio cálculo 1 (€) Precio cálculo 2 (€) % ahorro entre cálculo 1 y cálculo 2

Viga TX-46 (I) 5172.495 4666.5 9.78

Viga TX-46 (II) 6552.175 5665.94 13.52

Viga TX-54 8820.425 7919.77 10.21

Viga TX-70 (I) 4600.82 4302.76 6.48

Viga TX-70 (II) 13896.27 13008.88 6.38

Tal y como se puede comprobar con los valores que se muestran en la Tabla 53, el ahorro que se

puede ganar con una aplicación de la fórmula de EN-1992-1-1:2004 más precisa, oscila entre el

6.38% y el 13.52% para las vigas analizadas en este trabajo.

Aunque son pocos los casos que se estudian, los resultados obtenidos indican que el ahorro

ganado gracias a la corrección de la retracción hace que merezca la pena un análisis un poco más

complejo en la estimación de las pérdidas totales de pretensado.

En cualquier caso, los resultados con la aplicación simplificada de la fórmula siguen siendo más

que aceptables.

5.6. CONCLUSIONES

Las conclusiones a las que se llegan, derivadas de la valoración económica, son las siguientes:

La adaptación de la fórmula de EN-1992-1-1:2004 a las vigas de sección compuesta, a

través de la corrección de los efectos de la retracción, permite un ahorro sobre el precio

inicial de entre el 6.38% y el 13.52% para la serie de vigas analizada.

El cálculo corregido de las pérdidas diferidas supone un pequeño incremento en la

complejidad, que es compensado por el ahorro económico.

El cálculo obtenido con la aplicación simplificada de la fórmula del Eurocódigo es válido,

pero resulta más costoso.


91

CAPÍTULO VI: CONCLUSIONES


92

VI. CONCLUSIONES

Las conclusiones que se han extraído a lo largo del análisis llevado a cabo en este estudio se

enumeran a continuación:

La formulación de la que se dispone para la estimación de pérdidas diferidas en

armaduras pretesas y postesas en EN-1992-1-1:2004 se deduce a través de las ecuaciones

constitutivas, de equilibrio y de compatibilidad, considerando los efectos reológicos a lo

largo del tiempo e integrándolos a través del método del coeficiente de envejecimiento,

todo ello para secciones monolíticas.

La expresión deducida para el cálculo de pérdidas diferidas en EN-1992-1-1:2004 no es,

en principio, aplicable a secciones compuestas.

Se ha realizado una comparación entre un análisis paso a paso en el tiempo y la

aplicación simplificada de la fórmula de EN-1992-1-1:2004, donde se ha concluido que,

efectivamente, esta expresión tiene un error, pero éste es relativamente pequeño y

queda del lado de la seguridad.

El hecho de que la expresión de pérdidas diferidas haya sido deducida a través de

métodos analíticos, y desarrollada con rigor conceptual hace de ésta una fórmula

excepcional, dando unos resultados más que aceptables incluso en su aplicación

simplificada en secciones compuestas.

Se han obtenido correlaciones claras entre las pérdidas de pretensado y algunos de los

parámetros analizados, como la esbeltez, la relación del área de la losa respecto del área

de la viga, la cuantía de armadura activa o la tensión inicial del pretensado.

Una corrección de los efectos generados por el fenómeno de retracción permite una

reducción del error en la estimación de las pérdidas diferidas en secciones compuestas, y

ofrece resultados que quedan del lado de la seguridad.

El ahorro económico que supone la modificación en el cálculo de la deformación de

retracción es considerable, estando en el entorno de entre el 6% y el 13%. Esto hace que

compense realizar este cálculo, a pesar de ser algo más complejo.

Para futuras líneas de investigación de este tema, quedaría por realizar un estudio con un

mayor número de casos estudiados, que permita confirmar los resultados aquí expuestos,

en particular para secciones prefabricadas tipo artesa o cajón.


93

CAPÍTULO VII: BIBLIOGRAFÍA


94

VII. BIBLIOGRAFÍA

[ 1] Norma UNE-EN 1992-1-1: Proyecto de estructuras de hormigón. Parte 1-1: Reglas

generales y reglas para edificación. Año 2004.

[ 2] EHE-08: Instrucción de Hormigón Estructural. Año 2008.

[ 3] W. K. Hatt, “Notes on the effect of time element in loading reinforced concrete

beams”. ASTM proc. 7.

[ 4] M. Fernández Ruiz, “Evaluación no lineal de los efectos estructurales producidos por

las deformaciones diferidas del hormigón y el acero”. Escuela Técnica Superior de

Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, Madrid. Año 2003.

[ 5] H. Trost, “Auswirkungen des Superpositionsprizips auf Kriech und Relaxations

Probleme bei Beton und Spannbeton”. Beton und Stahlbetonbau 62, nº 10. Alemania,

1967.

[ 6] D. McHenry, “A new study of creep in concrete and its applications to design”.

ASTM Proc 43. Año 1943.

[ 7] Z. P. Bažant, “Prediction of concrete creep effects using age-adjusted modulus

method”. Journal of ACI, nº 69. Año 1972.

[ 8] A. Pérez Caldentey, “Apuntes de Teoría de Hormigón Pretensado”, Hormigón

Armado y Pretensado I. Unidad Docente de Hormigón Estructural, Departamento de

Mecánica de los Medios Continuos y Teoría de Estructuras, Universidad Politécnica de

Madrid, 10 de abril de 2003.

[ 9] A. Pérez Caldentey, V. Borzovic, “Program HIPER-Linear step by step analysis of

evolutive structures”. ETSI Caminos, Canales y Puertos, Universidad Politécnica de

Madrid, 6 de mayo de 2004.

[ 10] A. Pérez Caldentey, “Comportamiento en servicio del hormigón estructural”, tesis

doctoral. ETSI Caminos, Canales y Puertos, Universidad Politécnica de Madrid, junio de

1996.

[ 11] A. de Cea del Prado, “Estructuras de hormigón sometidas a deformaciones

impuestas”. Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras,

Universidad Politécnica de Madrid. Año 2014.

[ 12] CEB-FIP Model Code 1978.

[ 13] CEB-FIP Model Code 1990.


95

pÉrdidas diferidas de pretensado en estructuras...

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