pretensado perdidas

HORMIGÓN PRETENSADO

Tema 5. Pérdidas de la fuerza de pretensado

135

TEMA 5

PÉRDIDAS DE LA FUERZA DE

PRETENSADO

Fuerza de pretensado

Pérdidas de fuerza en piezas con armaduras postesas

Pérdidas de fuerza en piezas con armaduras pretesas

5.1. FUERZA DE PRETENSADO

5.1.1. Limitación de la fuerza Según la Instrucción EHE, la tensión 0pσ producida por la fuerza de tesado 0P sobre las armaduras activas no debe ser superior en ningún punto al menor de los dos valores siguientes:

pkkmaxp f90,0f75,0 ′

Siendo:

kmaxpf Carga unitaria máxima característica.

pkf Límite elástico característico.

Alfonso Cobo Escamilla Luis Felipe Rodríguez Martín

Escuela de la Edificación

136

El objeto de las limitaciones anteriores es reducir diversos riesgos constructivos, que dependen de las precauciones tomadas durante la ejecución y del control que de ésta se realice. La primera condición tiene por objeto reducir el riesgo de rotura de los tendones al tesar. Cuando la sustitución de un tendón roto resulte muy compleja o costosa, se debe imponer una limitación más conservadora. La segunda condición tiene por objeto reducir el riesgo de introducir deformaciones plásticas en el acero. Además, con las dos limitaciones anteriores, se disminuye la concentración de tensiones producida en el hormigón debido al anclaje de las armaduras. Independientemente de los riesgos anteriores, la incertidumbre sobre la relajación de las armaduras aumenta con el valor de la carga de tesado. De forma temporal, esta tensión puede aumentarse hasta el menor de los valores siguientes:

pkkmaxp f90,0;f85,0

siempre que, inmediatamente después de anclar las armaduras en el hormigón, se produzca una reducción de la tensión de modo que se cumpla la limitación del párrafo anterior. Las limitaciones establecidas en otros países de nuestro entorno son más conservadoras que las establecidas en la Instrucción EHE. En el texto de F. Sánchez Amillategui y C. González Pericot reseñado al final del capítulo se ofrece información al respecto.

5.1.2.

Novedades de la Instrucción EHE

La principal modificación que ha realizado la Instrucción EHE en el cálculo de las pérdidas de pretensado es el tratamiento por separado que se hace entre piezas con armaduras pretesas y piezas con armaduras postesas. El motivo se debe a que los procesos de fabricación son diferentes y se deben tenerse en cuenta los efectos del posible curado al vapor en las piezas pretensadas.



137

En el cálculo de las pérdidas instantáneas no se producen variaciones relevantes, a excepción de los valores de los coeficientes de rozamiento, que se proporcionan también para tendones de pretensado exterior y para cordones engrasados típicos del pretensado no adherente para forjados. Las pérdidas diferidas sí sufren un cambio en su formulación, englobando todas ellas en una única expresión, de modo que se tiene en cuenta la interacción entre fluencia, retracción y relajación. Esta fórmula, obtenida mediante el método del coeficiente de envejecimiento, es más realista que las precedentes y conduce a pérdidas ligeramente inferiores. En el caso de piezas pretensadas, el cálculo de las pérdidas por relajación hasta la transferencia y de relajación adicional de la armadura debido al proceso de calefacción son difíciles de obtener, ya que no siempre se dispone de información suficiente. Por ello, en los comentarios se indica que, a falta de información más precisa, estas pérdidas pueden evaluarse de forma aproximada como la relajación a las 106 horas o temperatura ambiente. Esto equivale a que las pérdidas por relajación totales son el doble de las pérdidas a largo plazo por relajación a temperatura ambiente.

5.2. PÉRDIDAS EN PIEZAS CON

ARMADURAS POSTESAS

5.2.1.

Clasificación y causas de las pérdidas

La fuerza del tesado 0P aplicada a las armaduras activas, es trasferida al hormigón introduciendo en él una fuerza de pretensado P con valor característico kP . Pero en el proceso de transferencia, la fuerza de tesado 0P sufre unas pérdidas que hacen que la fuerza de pretensado inicial kiP que recibe el hormigón sea inferior a 0P . Estas pérdidas se denominan instantáneas

iP∆ porque aparecen en el instante mismo de la transferencia como consecuencia de tres tipos de causas:



138

∆P1: Pérdidas producidas por el rozamiento de las armaduras activas postesas en sus cambios de trayectoria dentro de los conductos por los que discurren (figura 5.1.).

Figura 5.1. ∆P2: Pérdidas de fuerza por deslizamiento de las armaduras activas en

sus anclajes debido a penetración de cuñas (figura 5.2.).

Figura 5.2.



139

∆P3: Pérdidas de fuerza por acortamiento elástico instantáneo del hormigón bajo la compresión producida por la fuerza de pretensado (figura 5.3.).

Figura 5.3. En general, cualquier causa que produzca el acortamiento de las armaduras tesadas, es decir, su destesado, produce pérdida de su tensión y consecuentemente de la fuerza que ejercen sobre el hormigón. Además de las causas de carácter general indicadas, pueden existir otras que producen pérdidas instantáneas, como: • Acortamiento de los moldes en elementos prefabricados, por causas

térmicas o mecánicas.



140

• Elevación de temperatura en las armaduras activas respecto a la estructura en que se anclan. Al no poder dilatarse más que ésta, las armaduras se destesan (figura 5.4.).

Figura 5.4. • Ajuste instantáneo de las juntas de las estructuras prefabricadas

construidas por dovelas o bloques (figura 5.5.). Limitándonos a las causas de carácter general, las pérdidas instantáneas resultan:

321i PPPP ∆+∆+∆=∆



141

y el valor característico de la fuerza inicial de pretensado queda en :

i0ki PPP ∆−=

Figura 5.5. A partir de la trasferencia, la fuerza inicial de pretensado va experimentando pérdidas diferidas difP∆ como consecuencia de la retracción, y de la fluencia del hormigón, que producen su acortamiento y consiguiente destesado de las armaduras, además de la relajación de éstas. La fuerza del pretensado en un instante t tiene el valor:

difkikt PPP ∆−= Al cabo de un tiempo final ft = que corresponde a la vida útil de la estructura (o a su valor estimado), la fuerza de pretensado alcanza su valor final (el más reducido de su historia).

f,difkikf PPP ∆−= Además de estas pérdidas diferidas de carácter general, pueden existir otras: ajuste diferido de las juntas entre dovelas, etc. En resumen, las pérdidas de la fuerza de pretensado pueden clasificarse como indica el siguiente esquema:



142

Por rozamientos en conductos de las armaduras:

1P∆

Por penetración de cuñas en anclajes: 2P∆

Por acortamiento instantáneo del hormigón:

3P∆

Instantáneas iP∆

Otras

Por retracción del hormigón.

Por fluencia del hormigón.

Por relajación de las armaduras.

Pérdida de la fuerza de pretensado

Diferidas difP∆

Otras.

La pérdida total de pretensado en piezas con armaduras postesas es aproximadamente el 15-20% de la fuerza inicial de pretensado.

5.2.1.1. Pérdidas de fuerza por rozamiento

Este tipo de pérdidas no se produce en el pretensado con armaduras pretesas (excepto por defectos de alineación) que es el más interesante para el técnico de la Edificación por ser el procedimiento generalmente utilizado en la producción de elementos prefabricados para forjados, etc. Su importancia se centra en el hormigón pretensado con armaduras postesas de trayectoria curva. Los rozamientos se producen fundamentalmente por dos causas:



143

a) Rozamiento originado por la fuerza N (figura 5.6.) con que las armaduras, al ser tesadas, oprimen en los cambios de dirección el conducto por el que discurren. Siendo µ el coeficiente de rozamiento en curva entre armadura y conducto, la fuerza de rozamiento es Nµ . Consideremos (figura 5.6.) un punto A en que la armadura cambia de dirección un ángulo α . Sea 1P la fuerza de pretensado que llega a ese punto desde el extremo en que se efectúa el tesado, y 2P la fuerza de pretensado que le queda a la armadura pasado el punto A, después de sufrir la pérdida por rozamiento en ese punto (P2 < P1).

Figura 5.6.

La resultante R de ambas fuerzas se descompone según las direcciones normal y tangencial a la trayectoria de la armadura en el punto A , dando respectivamente la componente N que origina el rozamiento, y la componente T que se transforma en deslizamiento de la armadura hacia el instrumento de tesado. El equilibrio de fuerzas en las direcciones normal y tangencial en A a la trayectoria de la armadura exige:

( )2

senPP2

senP2

senPN 2121α

+=α

+α

=

( )2

cosPP2

cosP2

cosPN 2121α

−=α

−α

=µ



144

Sustituyendo en la segunda el valor de N dado por la primera:

( ) ( )

( )2121

2121

PP2

tgPP

2cosPP

2senPP

+α

⋅µ=−

α−=

α+µ

En la realidad las variaciones angulares α son muy pequeñas y podemos tomar ( )2tg α ≃ 2/α radiantes. Por otra parte 21 PP −

es la pérdida de la fuerza de pretensado, es decir:

211 PPP −=∆

( ) ( )111211 PPP21

PP21

P ∆−+αµ=+αµ=∆

11 P

21

Pα

µ+

µα=∆ que puede simplificarse para

1,0pαµ 11 PP αµ≈∆

valor de 1P∆ aproximado por exceso, con α en radianes. b) Rozamiento parásito en recta, producido contra la superficie interior

del conducto, en tramos rectos, por desviaciones de la armadura. Cuando el conducto es una vaina demasiado estrecha o flexible, el hormigón fresco puede deformarla haciendo que presione contra la armadura. Un acodalamiento entre sí de las armaduras que forman el tendón (figura 5.7.) puede producir, al tesar, presiones adicionales contra el conducto. Estos rozamientos parásitos en recta se evalúan como producto de un coeficiente K de rozamiento parásito, por la longitud a que se refieren. La Instrucción EHE recoge en la siguiente expresión las pérdidas por rozamiento entre las armaduras y las vainas o conductos de pretensado:

( )[ ]Kx01 e1PP +αµ−−=∆



145

Figura 5.7. Esta expresión da la pérdida por rozamiento acumulada entre el extremo de la armadura en el anclaje activo (desde donde se efectúa el tesado) y la sección para la que se evalúa la pérdida, situada a una distancia x (en metros) de dicho anclaje (figura 5.8.). Las pérdidas dependen de la variación angular total α, del trazado del tendón entre la sección considerada y el anclaje activo, de la distancia x entre dos secciones, del coeficiente µ del rozamiento en curva y del coeficiente κ del rozamiento en recta o rozamiento parásito. El tipo de trayectoria sinusoidal representado aparece en vigas continuas.

Figura 5.8. La fuerza P1 considerada anteriormente (figuras 5.1. y 5.6.) es ahora la de tesado Po que aún no ha sufrido ninguna otra pérdida.



146

En un arco parabólico (figuras 5.8. y 5.9.), de flecha a y luz l , se tienen los siguientes valores: variación angular entre un extremo y el punto central αc = arc tg (4a/l); variación angular entre ambos extremos αc = 2 arc tg (4a/l). Para a/l ≦ 0,045, se puede tomar tg α ≃ α, es decir, αc = 4a/l y αe = 8a/l.

Figura 5.9. Los datos correspondientes a los valores de µ y de k deben definirse experimentalmente, habida cuenta del procedimiento de pretensado utilizado. A falta de datos concretos pueden utilizarse los valores experimentales sancionados por la práctica. Para pretensado interior, los valores de µ dependen, fundamentalmente, del estado de las superficies en contacto y su naturaleza: vainas o conductos en el hormigón, acero de pretensado, lubricación eventual, etc. A falta de datos experimentales, cuando todos los elementos (alambres, cordones, etc.) del tendón se tesan simultáneamente, pueden utilizarse los valores de µ dados por la tabla 5.10. Si los elementos del tendón se tesan por separado, los valores de µ son mayores que los de la tabla 5.10. y hay que obtenerlos experimentalmente. En cuanto al coeficiente de rozamiento parásito K , depende, entre otros factores, de la rigidez del conducto. Lo que más influye en la rigidez del conducto es su diámetro por lo que, en una primera aproximación, pueden emplearse los valores de la tabla 5.11 para determinar el valor de K a partir del de µ .



147

Naturaleza de los aceros constitutivos de las armaduras

Disposición de las armaduras en las vainas

Estado superficial de las armaduras Alambres o

cordones trefilados

Barras laminadas

lisas

Barras laminadas

corrugadas

Sin lubricar 0,21 0,25 0,31 1) Tendón formado por

varios elementos agrupados en una misma vaina de acero sin tratamiento superficial

Con lubricación ligera (aceite solubre) 0,18 0,23 0,27

Sin lubricar 0,18 0,22 0,28 2) Tendón formado por un único elemento aislado, en una vaina sin tratamiento Con lubricación ligera

(aceite solubre) 0,15 0,20 0,24

Tabla 5.10. Valores del coeficiente de rozamiento µ en curva 27

Diámetro interior del conducto (mm) 30 40 50 60 < 60

K / µ 0,016 0,012 0,009 0,007 0,006

Tabla 5.11. Obtención del valor de K a partir del valor de µ. En el caso de destesar parcialmente la armadura, los coeficientes de rozamiento al reducirse la carga son diferentes y, en general, mayores que los que aparecen en el proceso de tesado creciente. Se podrá tener en cuenta este hecho en los cálculos, deduciendo los nuevos valores de µ y de K a partir de resultados experimentales. Para pretensado interior con armadura no adherente, de acuerdo con la experimentación y la experiencia práctica disponible, como valores de µ y K pueden tomarse los indicados en la tabla 5.12. µ K / µ

Cordones individuales con protección plástica 0,05 – 0,07 0,006 – 0,01

Tabla 5.12. Valores de µ y de K para pretensado interior con armadura

no adherente 27 Los valores de la tabla 5.10. aumentan hasta en 0,10 si el tendón muestra

alguna oxidación en su superficie, incluso aunque esté lubricado.



148

Para los tendones utilizados en pretensado exterior, las pérdidas por rozamiento se concentran en los desviadores y, por lo tanto, están fuertemente influenciadas por las características de éstos. A falta de datos específicos pueden utilizarse los valores indicados en la tabla 5.13., que corresponden al caso de tendones de cordones múltiples. Características de los desviadores y de los cordones del tendón:

µ K µ/

1) Cordones secos sobre tubo de acero 0,25 – 0,30

2) Cordones engrasados sobre tubo de acero 0,20 – 0,25

3) Cordones secos sobre tubo de plástico 0,12 – 0,15

4) Cordones enfilados en un desviador de plástico 0,05 – 0,07

0,00

Tabla 5.13. Valores de los coeficientes de rozamiento para pretensado exterior

Cuando en la expresión

( )[ ]Kx01 e1PP +µα−−=∆

resulta el exponente

Kx+αµ < 30,0 puede tomarse:

1P∆ ≃ ( )x0 KP +αµ

5.2.1.2. Pérdidas por penetración de cuñas Una vez realizado el tesado, se aprietan las cuñas de los anclajes activos a fin de sujetar las armaduras y se liberan éstas del aparato con que se las ha traccionado. Las armaduras intentan acortarse, tirando de las cuñas y haciéndolas penetrar en su alojamiento una longitud a (figura 5.2.). Como consecuencia el apriete aumenta hasta impedir totalmente el deslizamiento de las armaduras. Las armaduras se habrán



149

acortado en la longitud a y consecuentemente se habrán destesado en la medida correspondiente. En los anclajes pasivos las armaduras deben estar sujetas por las cuñas antes de iniciar el tesado y la penetración de éstas se produce durante el mismo, de modo que, al terminar el tesado se habrá producido todo el deslizamiento que se habrá traducido en un mayor recorrido del gato sin pérdida de la fuerza 0P aplicada por éste. Siendo l la distancia entre el anclaje activo y el pasivo, el acortamiento a de un tendón recto da lugar a una deformación relativa de éste.

la

=ε

al que corresponde una tensión

pp Ela

E =ε=σ

que aplicada al área Ap de la sección del tendón se traduce en una pérdida de fuerza dada por la siguiente expresión que es la que aparece en el articulado de la Instrucción EHE:

=∆ 2P pp A·ELa

=

Donde: a Penetración de la cuña. l Longitud total del tendón recto.

pE Módulo de deformación longitudinal de la armadura activa

pA Sección de la armadura activa A igualdad de los restantes parámetros, 2P∆ es menor cuanto mayor sea l . Por esta razón, entre otras, interesa que la longitud de las pistas de prefabricados pretensados sea la mayor posible. La anterior expresión de 2P∆ es aplicable en el caso de armaduras pretesas en que no hay rozamientos en los conductos al estar al aire libre las armaduras durante el tesado, y en el caso de tendones rectos postesos de corta longitud en que el rozamiento parásito sea despreciable.



150

En los restantes casos, los rozamientos que al tesar obstaculizaban el deslizamiento del tendón hacia el anclaje activo, reduciendo paulatinamente, a partir de éste, los alargamientos y en consecuencia la fuerza de pretensado, al destesar obstaculizan el deslizamiento en sentido contrario reduciendo las pérdidas 2P∆ . En una primera aproximación se puede plantear el problema como sigue: Debido a las pérdidas por rozamiento 1P∆ , a una distancia x del anclaje activo el tendón recibe al concluir el tesado, solamente una parte xP de la fuerza de tesado 0P aplicada.

( )[ ] ( )Kx0

Kx0010x ePe1PPPPP +αµ−+αµ− =−−=∆−=

La figura 5.14. representa la variación de xP que se supone lineal por sencillez del dibujo.

Figura 5.14.

Al reducirse, por penetración de cuñas, la fuerza en el anclaje activo al valor:

)0(20 PP ∆− siendo, pp)0(2 AEla

P =∆

se produce un cierto deslizamiento (con sus correspondientes rozamientos) de sentido inverso al de tesado, resultando un diagrama de destesado.



151

( ) ( )Kx)0(20x ePPP +αµ+∆−=′

Las pérdidas de 2P∆ vienen dadas por xx PP ′− para xP ≧ xP′ . La penetración a se reparte en la distancia d . Para un estudio más profundo del tema se recomienda consultar el apartado 7.43. de la obra de Leonhardt “Hormigón Pretensado”.

5.2.1.3. Pérdidas por acortamiento elástico del hormigón

Procedimiento de la Instrucción EHE Cuando la armadura activa esté constituida por varios tendones que se van tesando sucesivamente, al tesar cada tendón se produce un nuevo acortamiento elástico del hormigón que descarga, en la parte proporcional correspondiente a este acortamiento, a los tendones anteriormente anclados. Cuando las tensiones de compresión al nivel del baricentro de la armadura activa en fase de tesado sean apreciables, el valor de estas pérdidas, 3P∆ , se podrá calcular, si los tendones se tesan sucesivamente en una sola operación, admitiendo que todos los tendones experimentan un acortamiento uniforme, función del número n de los mismos que se tesan sucesivamente, mediante la siguiente expresión dada por la Instrucción EHE:

∆ P3cj

ppcp E

EA

n21n −

σ=

Siendo:

pA Sección total de la armadura activa.

cpσ Tensión de compresión, a nivel del centro de gravedad de las armaduras activas, producida por la fuerza 210 PPP ∆−∆− y los esfuerzos debidos a las acciones actuantes en el momento del tesado.

pE Módulo de deformación longitudinal de las armaduras activas.



152

cjE Módulo de deformación longitudinal del hormigón para la edad j correspondiente al momento de la puesta en carga de las armaduras activas.

Cuando se tesan varios tendones simultáneamente (en grupos de m en m), se debe entrar en la expresión anterior con:

m

tendonesdeºnn =

Y entonces, n es el número de operaciones de tesado realizadas. Se puede realizar una evaluación más exacta de la tensión cpσ teniendo en cuenta el módulo de deformación cjE correspondiente al instante de la introducción de cada una de las acciones. Procedimiento ajustado Al aplicar al hormigón la fuerza de pretensado, después de las pérdidas sufridas,

210 PPP ∆−∆− se produce en la pieza una deformación elástica instantánea:

cj

cpc E

σ=ε

siendo:

cpσ Tensión de compresión producida por la fuerza 210 PPP ∆−∆− , a nivel del centro de gravedad de las armaduras activas.

cjE Módulo instantáneo de deformación longitudinal secante del hormigón para la edad j en que se aplica la fuerza de pretensado.

Las armaduras de las piezas experimentan la misma deformación acortándose igual que el hormigón, es decir:

cj

cpcp E

σ=ε=ε



153

perdiendo una tensión

cj

pcppp E

EE σ=ε

que extendida al área pA de las armaduras supone una pérdida de fuerza.

pcj

pcp3 A

E

EP σ=∆

Bajo la única acción de una fuerza de pretensado P , aplicada con una excentricidad e respecto al centro de gravedad 0 de una sección (figura 5.15.) de área A y momento de inercia xI , la tensión en el hormigón cσ para los puntos de ordenada y viene dada por:

yIeP

AP

xc

⋅+=σ

La tensión cpσ a nivel del centro de gravedad de las armaduras activas, es decir con ordenada ey = , resulta:

xn

2

ncp I

ePAP n⋅

+=σ con 210 PPPP ∆−∆−=

en que los momentos de excentricidad, área y momento de inercia, se han referido a la sección neta que se definirá más adelante.

Figura 5.15.



154

Recordando el valor del radio de giro de la sección:

n

xnxn A

Ii =

el valor de cpσ puede ponerse en la forma

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=σ 2

xn

2n

nnxn

2n

ncp

i

e1

AP

AIe

1AP

En realidad la fuerza aplicada al hormigón y que, al deformarlo, produce la pérdida 3P∆ , queda reducida por la pérdida que ella misma provoca, es decir en un cálculo ajustado deberá tomarse:

3210 PPPPP ∆−∆−∆−= con lo que:

pcj

p2xn

2n

n

3210p

cj

pcp3 A

E

E

i

e1

APPPP

AE

EP ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∆−∆−∆−=σ=∆

operando y llamando:

cj

pj E

En = coeficiente de equivalencia a la edad j del hormigón

n

pn A

A=ρ cuantía geométrica de la armadura activa referida a la

sección neta. resulta:

( ) ρ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∆−∆−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ρ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++∆ n

i

e1PPPn

i

e11P 2

xn

2n

2102xn

2n

3

y finalmente:



155

( )210

2xn

2n

2xn

2n

3 PPP

ni

e11

ni

e1

P ∆−∆−

ρ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

ρ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=∆

o bien:

( )2103 PPP1

P ∆−∆−β+

β=∆ con ρ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=β ni

e1 2

xn

2n

valor más ajustado que el dado por la Instrucción EHE. Téngase en cuenta la importancia económica de ajustar las pérdidas, especialmente al proyectar elementos prefabricados de los que se producirán millones de unidades. A igualdad de tensión aplicada, la pérdida debe compensarse con más acero con un costo que, por repetición, resulta muy considerable. Este efecto multiplicador obliga a afinar los cálculos al máximo, considerando hasta el más pequeño factor económico que para una sola pieza resultaría despreciable. En el caso de armaduras postesas constituidas por varios tendones que se van tesando sucesivamente, el tesado de cada tendón produce un acortamiento instantáneo del hormigón que destesa parcialmente los tendones ya tesados anteriormente. En estas condiciones, y siendo m el número de tendones, o grupos de tendones, que se tesan sucesivamente, el cálculo de 3P∆ se realiza como sigue: Si los m tendones se tesasen simultáneamente, cada uno aplicaría una fuerza P/m , siendo P la fuerza total de pretensado. La pérdida ∆P3 se podría repartir entre los m tendones, correspondiendo a cada uno una pérdida ∆P3/m . Como consecuencia del tesado sucesivo, cada tendón sufre una pérdida adicional a la que él mismo produce, igual a mP3∆ por el número de tendones que se tesan posteriormente. En orden de tesado estas pérdidas son:

Tendón 1º ( )1mmP3 −

∆



156

Tendón 2º ( )2mmP3 −

∆

Tendón (m – 1)º ( )[ ]mP

1mmmP 33 ∆

=−−∆

Tendón mº ( ) 0mmmP3 =−

∆

El valor medio de estas pérdidas se obtiene hallando la media del primero y últimos términos (o del segundo y penúltimo, etc.).

( ) 33 P

m21m

01mmP

21

∆−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−∆

Para los m tendones, la pérdida adicional por tesado sucesivo será:

33 P21m

Pm21m

m ∆−

=∆−

⋅

que se anula para 1m =

5.2.2. Pérdidas diferidas Se denominan pérdidas diferidas a las que se producen a lo largo del tiempo, después de ancladas las armaduras activas. Estas pérdidas se deben esencialmente al acortamiento del hormigón por retracción y fluencia y a la relajación del acero de las armaduras. La fluencia del hormigón y la relajación del acero están influenciadas por las propias pérdidas y, por lo tanto, la Instrucción EHE considera este efecto interactivo. La Instrucción EHE ofrece la siguiente expresión para evaluar de forma aproximada las pérdidas diferidas:

∆ Pdif( ) ( )

( )( )P

0c

2pc

c

p

pr0cspcp0 A

t,t1I

YA1

A

An1

80,0t,tEt,tn

χϕ+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++

σ∆+ε+σϕ=



157

Siendo:

py Distancia del centro de gravedad de las armaduras activas al centro de gravedad de la sección.

n Coeficiente de equivalencia cp E/E= .

( )0t,tϕ Coeficiente de fluencia para una edad de puesta en carga igual a la edad del hormigón en el momento de tesado ( )0t . Ver punto 39.8. de la EHE.

csε Deformación de retracción que se desarrolla tras la operación de tesado. (Ver punto 39.7. de la EHE)

cpσ Tensión en el hormigón en la fibra correspondiente al centro de gravedad de las armaduras activas debido a la acción del pretensado , el peso propio y la carga muerta.

∆ prσ Pérdida por relajación a longitud constante. Puede evaluarse utilizando la siguiente expresión:

∆ prσp

kit AP

ρ= Siendo fρ el valor de la relajación a

longitud constante a tiempo indefinido (Ver punto 38.9. de la EHE) y pA el área total de las armaduras activas. kiP es el valor característico de la fuerza inicial de pretensado, descontadas las pérdidas instantáneas.

cA Área de la sección del hormigón

cI Momento de inercia de la sección de hormigón.

χ Coeficiente de envejecimiento. Simplificadamente, y para evaluaciones a tiempo infinito, puede adoptarse 80,0=χ

El valor preciso de la pérdida de fuerza de pretensado debida a la fluencia y retracción del hormigón y la relajación del acero resulta difícil de obtener ya que las propias pérdidas disminuyen la tensión de compresión en el hormigón y la tensión de tracción en el acero, constituyendo éste un fenómeno interactivo de enorme complejidad. En la fórmula simplificada de la Instrucción EHE, el numerador representa la deformación debida a retracción y fluencia del hormigón y relajación del acero, teniendo en cuenta de forma simplificada la interacción antes aludida. El denominador representa la coacción de las deformaciones diferidas debidas a la armadura activa adherente. Si el



158

denominador se supone igual a 1, se desprecia este efecto y se sobreestiman las pérdidas. Para una estimación pormenorizada, necesaria para la evaluación de tensiones y deformaciones en procesos constructivos complejos, pueden utilizarse los criterios expuestos en el Artículo 25º de la Instrucción EHE.

5.3.

PÉRDIDAS DE FUERZA EN PIEZAS CON ARMADURAS PRETESAS

5.3.1.

Procedimiento de la Instrucción EHE

Para armaduras pretesas, las pérdidas desde el momento de tesar hasta la transferencia de la fuerza de tesado al hormigón se deben a:

a) Penetración de cuñas b) Relajación a temperatura ambiente hasta la transferencia. c) Relajación adicional de la armadura debida, en su caso, al

proceso de calefacción. d) Dilatación térmica de la armadura debida, en su caso, al proceso

de calefacción. e) Retracción anterior a la transferencia. f) Acortamiento elástico instantáneo al transferir.

Las pérdidas diferidas posteriores a la transferencia se obtendrán de igual forma que en armaduras postesas, utilizando los valores de retracción y relajación que se producen después de la transferencia. Las pérdidas totales de pretensado en piezas con armaduras pretesas es aproximadamente el 20-35% de la fuerza inicial de pretensado.



159

a. Penetración de cuñas La penetración de cuñas en armaduras pretesas produce, debido a la

ausencia de rozamiento, una pérdida constante a lo largo de toda la armadura, cuyo valor se obtendrá igual que en el caso de tendones rectos postesos de corta longitud.

b. Relajación a temperatura ambiente hasta transferencia y c.

Relajación adicional de la armadura debida, en su caso, al proceso de calefacción.

La pérdida por relajación adicional de la armadura debida, en su

caso, al proceso de calefacción se podrá calcular de acuerdo con la información facilitada por el fabricante de la armadura.

En ausencia de dicha información se podrá adoptar como suma de

las pérdidas b) y c) el valor obtenido con la siguiente expresión:

P

ki10pr A

P6ρ=σ∆

Siendo:

Pki Valor característico de la fuerza inicial de pretensado, descontando las pérdidas instantáneas.

610ρ Valor de la relajación a las 106 horas a 20ºC. AP Área total de la armadura activa.

d. Dilatación térmica de la armadura debida, en su caso, al proceso de

calefacción. Esta pérdida puede evaluarse con la siguiente expresión:

( )acp TTEK −α

Siendo:

K Coeficiente experimental, a determinar en la instalación. En ausencia de ensayos, puede tomarse 5,0K =

α Coeficiente de dilatación térmica de la armadura activa: 15 Cº1002,1 −−⋅



160

pE Módulo de deformación longitudinal de la armadura activa

cT Temperatura máxima de curado durante la fabricación

aT Temperatura media del ambiente durante la fabricación f. Acortamiento elástico instantáneo al transferir. La pérdida por acortamiento elástico del hormigón, cuando las

armaduras pretesas se liberan de sus anclajes, puede valorarse teniendo en cuenta la deformación instantánea que se produce en el hormigón en el centro de gravedad de las armaduras activas, mediante la expresión:

cj

ppcp E

E·Aσ

5.3.2. Procedimiento simplificado El siguiente procedimiento está publicado en la Guía de Aplicación de la Instrucción EHE. Según este documento, las pérdidas totales y hasta transferencia en elementos pretesos, se pueden evaluar, en función de la cuantía geométrica de la armadura activa y de la excentricidad relativa de la armadura activa (cociente entre su excentricidad y el radio de giro de la sección bruta de hormigón), de un modo sencillo que se expone a continuación: • Pérdida total de la fuerza de pretensado: su valor Σ∆Pf, se obtiene a

partir del gráfico de la figura 5.16. • Pérdida hasta la transferencia: su valor viene dado por:

*ft PΣ∆⋅η

Donde el coeficiente tη viene dado en la figura 5.17.



161

Figura 5.16. Pérdida total de la fuerza de pretensado (Σ∆Pf) En ambos casos, el cálculo de pérdidas exige la obtención previa de los siguientes valores: e Excentricidad del centro de gravedad de la armadura activa. q Cuantía geométrica de la armadura activa.

c

p

A

Aq =

r Radio de giro de la sección bruta de hormigón.

c

c

AI

r =



162

cI Momento de inercia de la sección bruta de hormigón.

pA Área de armadura activa.

cA Área de la sección bruta del hormigón. El valor de la fuerza final de pretensado se obtiene como:

−0P Σ∆Pf donde 0P es la fuerza inicial de pretensado.

Figura 5.17. Coeficiente tη



163

EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN 5.1.

Figura 5.18.

La figura representa una viga de hormigón pretensado de la que se dibuja la mitad correspondiente al extremo desde el que se ejerce el tesado. En ella aparece el trazado de un tendón de trayectoria parabólica, simétrica respecto a la sección central. La luz de la viga es m00,10l = , y la flecha del trazado parabólico del tendón cm25a = . El tendón está formado por varios elementos agrupados, sin lubricar, y discurre por una vaina de mm30 de diámetro interior. Se pide: Determinar, en función de la fuerza de tesado 0P , el valor de las pérdidas acumuladas 1P∆ , desde el anclaje activo hasta la sección central.

5.2. La pieza cuya sección se representa en la figura posee una

armadura activa postesa recta constituida por 6 alambres Ø 7 mm Y 1670 C cuya tensión de tesado es 2

po mm/N1250=σ . Los datos de la sección son:

2

n cm110A = ; 4xn cm4300I = ; cm5,2en −=

Los alambres se tesan de 2 en 2. La resistencia del hormigón a la edad de recibir la fuerza de pretensado es 2

cj mm/N25f = . Las pérdidas por penetración de cuñas se han evaluado en 1440 N.

Se pide: Hallar la pérdida de fuerza por acortamiento elástico del hormigón ( )3P∆ .



164

Figura 5.19. 5.3. En una fábrica de viguetas de hormigón pretensado, con

armaduras rectas pretesas, la distancia entre las bancadas de anclaje activo y las de anclaje pasivo es de 100 m. Siendo la penetración de cuñas en el anclaje activo igual a 6 mm,

Se pide: Determinar la pérdida de fuerza 2P∆ que experimenta un

alambre de 5 mm de diámetro. 5.4. Obtener, mediante el procedimiento simplificado de la Guía de

Aplicación de la Instrucción EHE, las pérdidas totales y las pérdidas hasta transferencia de la armadura pretesa de una vigueta constituida por 4 alambres de diámetro 5 mm.

Datos de la sección bruta de hormigón:

110Ac = cm2

4c cm4300I =

Excentricidad de la armadura: mm20 Fuerza inicial de pretensado: N110000



165

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN

5.1. 10,01010

254la4

2 =⋅⋅

=

0997,010,0tgarcla4

tgarcc ===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=α radianes

como 045,0025,01010

25la

2 <=⋅

= , se podría haber tomado

010,0c =α con bastante precisión. 21,0=µ ; 31036,321,0016,0K −⋅=⋅= ; 0997,0=α radianes m00,52

1x == +=⋅⋅+⋅=+µα − 0209,000,51036,30997,021,0Kx 3 0377,00168,0 =+ ( ) 0

0377,001 P0370,0e1PP =−=∆ −

Dado que 30,0Kx <+µα , podría aplicarse 1P∆ ≃ ( ) 00 P0377,0KxP =+µα

5.2. 222

p mm231cm31,247,0

6A ==π=

N2887502311250P0 =⋅= N1440P2 =∆ N2873101440288750PPPP 210 =−=∆−∆−=



166

2

n

xn2xn cm1,39

1104300

AI

i ===

23

cj mm/N27264)825(8500E =+=

326

n ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⋅⋅+=σ

1,395,2

111000287310

i

e1

AP

KeeP

AP 2

2xn

2n

nn

nn

ncp

2mm/N29,30=

N1710927264

1022313213

29,30P5

3 =⋅⋅

⋅−

=∆

5.3. 22

p cm20,045,0

A =π= ;

25

p mm/N100,2E ⋅= ; cm10100l 2⋅= ; cm6,0a =

N24020,0100,210100

6,0AE

la

P 52pp2 =⋅⋅

⋅==∆



167

5.4. Pérdida total de la fuerza de pretensado ( fPΣ∆ )

cm25,61104300

AI

rc

c ===

32,025,62

re

==

007,0110

45,0

4

A

Aq

2

c

p =⋅π⋅

==

Del gráfico de la figura 5.16., se obtiene: % pérdidas = 26,5 %. Siendo la pérdida total de la fuerza de pretensado: N29150110000265,0Pf =⋅=Σ∆ Pérdida hasta la transferencia ( )tPΣ∆ . Del gráfico de la figura 5.17, se obtiene: 62,0t =π Siendo la pérdida de fuerza hasta la transferencia: N180732915062,0PtP ft =⋅=Σ∆⋅π=Σ∆



168

pretensado perdidas

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