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X. Práctica E4: Modos Guiados

en Fibras Ópticas

En las páginas dedicadas a Fundamentos de las Comunicaciones Ópticas (parte primera

de las Prácticas) se daba una explicación simplista del fenómeno del guiado de luz por una

fibra. Se explicaban los conceptos de ángulo crítico y de reflexión total, y se llegaba a

establecer como condición de guiado que la luz penetrase en la fibra con un ángulo de

incidencia comprendido en un cono de aceptación, el cual está caracterizado por su

apertura numérica.

También se advertía que, al aplicar una teoría electromagnética rigurosa, los

planteamientos son diferentes. Para que la luz se guíe se requiere, además, que forme

en el interior de la guíaonda una distribución de campo cuya componente transversal

sea estacionaria. Se llama modo a cada una de las distintas "formas" en que puede

conseguirse tal condición. Su expresión matemática se obtiene resolviendo las

ecuaciones de Maxwell correspondientes, con las condiciones de contorno dictadas por el

Práctica Opcional

Laboratorio de Comunicaciones Ópticas –Dpto. Tecnología Fotónica

X-2

confinamiento cilíndrico a que se ve sometida la radiación en una guíaonda circular como

es la fibra óptica.

El cálculo exacto de la distribución de modos en guíaondas circulares es bastante

complicado, a causa del confinamiento existente en dos direcciones ortogonales. Los

modos que se originan por esta circunstancia difieren bastante de los simples TE y TM

que surgen en GO planas (confinadas en una sola dimensión), y su tratamiento

exhaustivo resulta muy laborioso.

Afortunadamente existe una aproximación (modos débilmente guiados o weakly-guided

modes, WGM) que simplifica el cálculo de forma notable, y que se puede aplicar en todos

los casos de interés. Se describen someramente a continuación las “familias” más

relevantes de modos en fibras ópticas, y posteriormente se desarrolla el modelo

simplificado.

X.1. MODOS EN GUÍAONDAS PLANAS Y CIRCULARES

Sea una GO plana en la que se propaga

radicación según el eje z, confinada solamente en

la dimensión x. Los modos obtenidos tienen una

componente Ez o Hz nula, es decir, son

transversales eléctricos (TE) o magnéticos (TM).

En la Fig. E4-1 se muestra la distribución de

campo de los cuatro primeros modos TE de una

GO plana simétrica. El campo tiene una variación

armónica en el interior del film o núcleo, y además no está estrictamente confinado al

mismo, sino que aparece una componente residual en la cubierta, llamada campo

evanescente, que se atenúa exponencialmente con la distancia. Obsérvese que la

distribución de campo se desplaza hacia la parte externa al aumentar el orden del modo,

y que la componente evanescente crece también.

X.1.1. Modos de cubierta

La cubierta no tiene espesor infinito. Si el campo evanescente no se ha hecho nulo (en

realidad despreciable) cuando se alcanza la parte externa de la cubierta, el salto de

índice de ésta puede llegar a ser condición de contorno, y aparecen modos que se

propagan por la cubierta. Este fenómeno se da tanto en GO planas como en fibras. El

problema surge porque ni los modos de núcleo ni los de cubierta están estrictamente

confinados “a su terreno”, por lo que puede surgir un acoplamiento entre ellos, que

Fig. E4-1. Modos en una guíaonda planasimétrica

Práctica E4: Modos en Fibras Ópticas

X-3

generalmente se traduce en una pérdida de potencia de los modos guiados en el núcleo,

en especial los de orden más alto.

En la práctica se suele recubrir la cubierta de la fibra con un material que produzca

pérdidas por radiación hacia el exterior, scattering y/o absorción.

X.1.2. Modos con pérdidas o leaky

A distancias cortas, la distinción entre modos guiados y no guiados se hace tenue. Una

buena parte de modos inclinados no están bien confinados, y van perdiendo potencia

durante su propagación. Incluso en modos meridionales, la condición de guiado

12 knkn {1}

que separa los modos confinados de los no guiados, no es siempre determinante de que

la señal luminosa se transporte por modos que cumplen esa condición. Recuérdese que

es la constante de propagación, =kn1·sen. Para más detalles, consúltese el apartado

Fund II.2.

En los modos leaky se cumple que

kn2 {2}

La mayoría de modos de este tipo desaparece al cabo de unos cuantos cm de fibra, pero

algunos con bajas pérdidas pueden “sobrevivir” hasta 1 km. En trayectos cortos, una

parte bastante notable de la potencia óptica transportada por la fibra puede deberse a

estos modos.

X.1.3. Modos meridionales en fibras ópticas

Los modos meridionales en fibras son aquellos que, en comparación con el modelo de

rayos, se propagan en el plano que contiene al eje de la FO. Equivalen por tanto a los

modos TE y TM de las GO planas, con la salvedad de que se necesitan dos subíndices, l

y m, para especificar cada modo, al existir confinamiento en dos dimensiones. Así pues,

en FO se hablará de modos TElm y TMlm, en lugar de los TE0 o TE1 de la Figura E4-1.

(Nota: En el tratamiento matemático posterior, que se realiza en coordenadas cilíndricas, se

emplean como subíndices y m.)


X-4

X.1.4. Modos inclinados o skew

Además de los modos meridionales, las FO

soportan otros en los que ni Ez ni Hz son nulos.

Estos modos híbridos corresponden a trayectorias

torcidas o inclinadas (“skew rays”, Fig. E4-2) en

modelo de rayos, que describen órbitas helicoidales

en la FO. Reciben el nombre de modos HElm o

EHlm, dependiendo de si es el campo magnético H

o el eléctrico E el que tiene mayor contribución al

campo transversal.

X.1.5. Modos débilmente guiados

La resolución exacta de las ecuaciones de Maxwell que describe la propagación en

guíaondas dieléctricas homogéneas y cilíndricas (es decir, en fibras ópticas) es

matemáticamente complicada (se deben resolver las seis componentes híbridas del

campo electromagnético) y conduce a resultados complejos. Afortunadamente, se puede

simplificar considerablemente el tratamiento, con muy pocas pérdidas de exactitud, si se

restringe el estudio a las FO empleadas en Comunicaciones Ópticas, o más bien a las FO

con una diferencia de índices muy baja, n1–n2 << n1. La condición implica que sólo se

guiará radiación con incidencia casi rasante, o lo que es lo mismo, que la apertura

numérica NA de la fibra es baja. En tal caso, la distinción entre modos meridionales e

inclinados se difumina.

La aproximación se denomina de modos débilmente guiados o weakly-guided

modes (WGM). Con esta simplificación es preciso resolver sólo cuatro componentes del

campo electromagnético, y las expresiones empiezan a ser manejables.

X.1.6. Modos linealmente polarizados

La primera consecuencia de la adopción del modelo WGM es la aparición de un nuevo

tipo de modos (¡otro más!) denominados modos linealmente polarizados o modos LP. A

diferencia de los anteriores, estos modos no son soluciones directas de las E.Max. (a

excepción del modo fundamental), sino combinaciones lineales de varias soluciones. Lo

que sucede es que, en WGM, los modos HE y EH son “casi” transversales, y en el

conjunto de soluciones de modos EH, HE, TE y TM aparecen grupos que tienen

constantes de propagación casi idénticas (idénticas en la aproximación). Se dice

entonces que los modos están degenerados. Resulta muy conveniente agrupar tales

Fig. E4-2. Trayectoria helicoidal de unskew ray


X-5

modos degenerados como combinación lineal con una constante de propagación común

ya que, a todos los efectos, la radiación guiada por cualquiera de los modos del grupo se

va a comportar de la misma manera, con independencia del modo concreto que la

transporte. En resumen, la adopción de modos LP permite evitar el uso de los modos EH,

HE, TE y TM anteriores dentro de la aproximación WGM. En la Tabla I se muestran las

correspondencias entre modos exactos y modos LP.

Modos LP(ordenados por

frecuencia de corte)Modos exactos y número

Nº de modos total enel modo LP

LP01

LP11

LP21

LP02

LP31

LP12

LP41

LP22

LP03

LP51

LP1m

LPlm (l0 ó 1)

HE11 2

TE01, TM01, HE21 2

EH11 2, HE31 2

HE12 2

EH21 2, HE41 2

TE02, TM02, HE22 2

EH31 2, HE51 2

EH12 2, HE32 2

HE13 2

EH41 2, HE61 2

TE0m, TM0m, HE2m 2

EHl-1, m 2, HEl+1, m 2

2

4

4

2

4

4

4

4

2

4

4

4

Por lo que respecta a la práctica de laboratorio, los modos que realmente importan

son precisamente estos modos LP. Ciertamente no son modos individuales, emanados

directamente de las E.Max. Sin embargo, los integrantes de cada modo LP tienen

constantes de propagación tan próximas entre sí que resultan imposibles de separar

en condiciones normales. Así pues, los modos obtenidos experimentalmente serán

siempre combinaciones LP. En la figura E4-4 se pueden observar imágenes de los cuatro

primeros modos LP, que serán el motivo de la práctica.

Tabla I. Correspondencia entre modos exactos y LP de menor frecuencia de corte


X-6

En el siguiente apartado se incluye de forma resumida el tratamiento matemático que

conduce a la obtención de modos. Partiendo de la E.Max., se llega a la ecuación de onda

y se resuelve el caso particular con las condiciones de contorno de la fibra, y la

aproximación WGM. Si no desea profundizar en el desarrollo matemático, puede pasar

directamente al apartado X.3 .

X.2. RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE LA GUÍAONDA

Para estudiar la propagación de ondas electromagnéticas por una guíaonda cilíndrica,

parece apropiado utilizar un sistema de coordenadas cilíndricas (r, , z). La

propagación de la OEM se hace en el eje z, y las componentes transversales x e y se

transforman en r y , lo que permite aprovechar las propiedades de simetría de la GO.

La OEM que se propaga por z tiene una dependencia funcional

E E r j z t 0 ( , ) exp ( ) {3a}

H H r j z t 0 ( , ) exp ( ) {3b}

que es armónica en z y t. El parámetro es la constante de

propagación, es decir, la componente z del vector de

propagación k. En una GO cilíndrica, su valor viene

determinado por las condiciones de contorno, las cuales se

establecen más adelante.

Aplicando las E.Max. en coordenadas cilíndricas y

separando las componentes, se obtiene para el campo eléctrico:

1 1r

u ur

u

r zE rE E

t

HHH

r z

r z

r

z

{4}

de donde se puede establecer un sistema de ecuaciones. En él se han desarrollado los

términos /z y /t, que son:

Fig. E4-5. Coordenadascilíndricas del sistema.

Figura E4-4. Los cuatro primeros modos LP


X-7

z

E j E {5}

t

E j E {6}

Las ecuaciones son:

1r

Ejr E j Hz

r

{7a}

Er

j E j Hzr {7b}

1r

rE

rE

j Hrz

{7c}

Idéntico cálculo puede hacerse con el campo magnético, obteniendo:

1r

Hjr H j Ez

r

{8a}

Hr

j H j Ezr {8b}

1r

rH

rH

j Erz

{8c}

Este es el conjunto de seis ecuaciones que se mencionaba en un principio, antes de

aplicar la aproximación. Como paso previo, las ecuaciones pueden simplificarse por un

proceso de reducción de variables. En concreto interesa que las componentes

transversales queden expresadas en función de Ez y Hz. Estas son las dos componentes

que eventualmente dan cuenta de la propagación.

Así, se puede eliminar por ejemplo E entre {7a} y {8b}, permitiendo que la otra

componente transversal (Hr) se exprese en función de Ez y Hz. Realizando estas

operaciones de forma sistemática se obtiene:


X-8

EEHH

jq

Er

rE

Hr

rH

rH

Hr

rE

Er

r

r

z

z

z

z

z

z

z

z

2

1

1

{9}

siendo q k2 2 2 2 2 .

Sustituyendo las dos ecuaciones inferiores en {8c} se obtiene la correspondiente

ecuación de onda en coordenadas cilíndricas:

2

2 2

2

221 1

0Er r

Er r

Eq Ez z z

z {10}

y con las otras dos se obtiene la equivalente para Hz:

2

2 2

2

221 1

0Hr r

Hr r

Hq Hz z z

z {11}

Si se observan las ecuaciones {10} y {11}, se comprueba que Ez y Hz aparecen de forma

independiente. Aparentemente, las componentes longitudinales de E y H están

desacopladas, y se puede escoger cualquier valor arbitrario de una sin que la otra se

afecte. Lo cierto es que aún no hemos impuesto las condiciones de contorno que dicta la

propagación por una GO cilíndrica. Si estas condiciones no implicasen, en algún caso, el

acoplamiento entre E y H, se podrían obtener soluciones con Ez = 0 (modos TE) o Hz = 0

(modos TM). En los demás casos, si tanto Ez 0 como Hz 0, se obtendrán modos HE o

EH, como ya se comentó. Incidentalmente, estos modos híbridos de las GO dieléctricas

no aparecen en GO metálicas huecas, que sólo tienen soluciones TE y TM.

X.2.1. Resolución de la Ecuación de Onda en Fibras deÍndice Abrupto

Para resolver la ecuación {10} se recurre al método de separación de variables. Según

este método, supondremos que la solución para Ez tiene la forma

E AF r F F z F tz 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) {12}

siendo A una constante arbitraria, y F1-4 funciones independientes entre sí de cada una

de las variables.


X-9

Los factores F3(z) y F4(t) vienen dados por la propia definición de campo realizada

en {3}:

F z F t j z t3 4( ) ( ) exp ( ) {13}

La función F2() puede evaluarse considerando la simetría circular de la GO (al fin y al

cabo, para eso utilizamos coordenadas cilíndricas). Se supone implícitamente que la

sección de la FO es perfectamente circular y constante y que el perfil de índices tiene

simetría radial. Todo ello es bastante exacto en fibras con perfiles especiales.

La dependencia funcional ha de ser tal que las componentes del campo no se

modifiquen cuando la coordenada se incrementa o decrementa en cantidades

múltiplo de 2. Suponemos por tanto una dependencia funcional periódica de la forma:

F j2 ( ) exp( ) {14}

Para cumplir la condición, la constante ha de ser entera, positiva o negativa. La

imposición de una condición periódica dictada por la periodicidad del campo da lugar

a la aparición de modos (estrictamente, familias de modos).

Sustituyendo en la ecuación de onda {10} los factores evaluados hasta ahora, nos

queda:

21

21 2

2

2 1

10

Fr r

Fr

qr

F

{15}

En esta ecuación se observa que el factor F1 que nos faltaba, y que contiene la

función radial, tiene una dependencia que corresponde a la forma diferencial de las

funciones de Bessel. Se puede deducir una ecuación idéntica para Hz.

Para la resolución del sistema en una fibra óptica de índice abrupto (FOIA) se va a

realizar una suposición adicional, y es que la cubierta se extiende hasta radio infinito. Así

la GO que se está estudiando se compone de un núcleo cilíndrico con índice n1, que a

una cierta distancia r del eje se transforma bruscamente en n2, el cual se extiende hasta

infinito. La suposición se hace necesaria porque, como se veía en la Fig. E4-1, existe un

campo no nulo en la frontera con la cubierta, que se va atenuando exponencialmente.

Desde un punto de vista matemático estricto, el campo se hace nulo únicamente en el .

Así pues, aparecería como condición de contorno adicional el tránsito n2 nx, el

recubrimiento exterior de la cubierta, complicando innecesariamente el cálculo. La

introducción de esta aproximación no supone errores en la práctica, ya que las FO se

suelen construir con cubiertas suficientemente gruesas, de modo que la intensidad de

campo en la interfase n2 | nx, es despreciable.


X-10

Para resolver la

ecuación {15} se ha de tener

en cuenta que, para cada

modo guiado, el campo ha

de ser finito en el núcleo, y

en concreto para r0, mien-

tras que en la cubierta habrá

de tender a 0 cuando r.

En estas circunstancias, las

soluciones para r<a (siendo a

el radio del núcleo) habrán

de ser funciones de Bessel

de primera clase y orden

(Fig. E4-6), para las que

emplearemos la notación J(ur), siendo

u k k n 12 2 2

12 2 {16}

Así pues, las expresiones para Ez y Hz en el núcleo quedan como sigue:

E r a AJ ur j j z tz ( ) ( ) exp( ) exp[ ( )] {17}

H r a BJ ur j j z tz ( ) ( ) exp( ) exp[ ( )] {18}

siendo A y B constantes arbitrarias.

En la parte externa (r>a), las soluciones que se adaptan a las condiciones

expuestas son las funciones de Bessel modificadas de segunda clase, para las que

usaremos la notación K(wr), siendo

w k k n 222 2 2

22 {19}

Las expresiones para Ez y Hz en la cubierta quedan:

E r a CK wr j j z tz ( ) ( ) exp( ) exp[ ( )] {20}

H r a DK wr j j z tz ( ) ( ) exp( ) exp[ ( )] {21}

Las funciones K de Bessel (Fig. E4-7) tienen la particularidad de que, cuando wr,

K(wr) exp(-wr). Para que la expresión tenga sentido físico, se tiene que dar que K

(wr)0 para wr. Por consiguiente, w ha de ser positivo. De ahí se deduce

w k 0 2 {22}

Fig. E4-6. Funciones J de Bessel de los tres órdenes más bajos.Los cortes por 0 determinan los rangos de los modos.


X-11

que es un límite inferior para . El límite superior viene dado por el comportamiento de

J(ur). Para que F1 sea real en el núcleo, u ha de ser real. Por lo tanto

k1 {23}

Así pues, el rango de soluciones aceptables para es:

kn k k kn2 2 1 1 {24}

siendo k=2/=/c, la constante de propagación en el vacío, y k1=/v1 y k2=/v2, las

respectivas constantes de propagación en ambos medios.

X.2.2. Ecuación Modal

Las soluciones para

pueden determinarse a partir

de las condiciones de

contorno. Las componentes

tangenciales de Ez y E han

de conservarse a uno y otro

lado de la interfase, tomando

el mismo valor para r=a. Lo

mismo sucede para Hz y H.

Con ello podemos plantear

un sistema de cuatro

ecuaciones que permita

calcular las cuatro incógnitas

A, B, C y D. Así, igualando

{17} y {22} para componen-

tes tangenciales en r=a

(Ez1=Ez2, dentro=fuera)

queda

AJ ua CK wa ( ) ( ) {25}

La componente sale de la segunda ecuación de {9}. El factor q2 dentro del núcleo viene

dado por

q u k n k2 2 212 2

12 2 {26}

Por otra parte, en la cubierta se cumple

w k2 222 {27}

Fig. E4-7. Funciones K de Bessel de orden más bajo.


X-12

Utilizando las ecuaciones {9} con {17} y {18} se puede calcular E1, mientras que si se

emplea con {20} y {21} se puede calcular E2. Igualando para r=a

0)(')(

)(')(

2

221

wawKBwaKa

jC

wj

uauJBuaJa

jA

uj

EE

{28}

donde X’indica diferenciación respecto al argumento. Idéntico tratamiento puede

aplicarse a H, obteniendo un juego equivalente de ecuaciones:

BJ ua DK wa ( ) ( ) {29}

0)(')(

)(')(

22

1221

wawKCwaKa

jD

wj

uauJAuaJa

jB

uj

HH

{30}

(Obsérvese que en {28} se utiliza una sola permeabilidad –que será igual a la del

vacío–mientras que en {30} se distingue entre 1 y 2.) Componiendo {25}, {28}, {29} y

{30} como sistema de ecuaciones se plantea el determinante:

0

)()(')()(')(0)(0

)(')()(')(

0)(0)(

22

21

22

waKaw

waKw

juaJ

auuaJ

uj

waKuaJ

waKw

jwaK

awuaJ

uj

uaJau

waKuaJ

{31}

que se iguala a 0 para encontrar las soluciones. La evaluación de este determinante

produce la siguiente ecuación de autovalores para :

2

22

222

21

11))((

wuakk

KJKJ {32}

siendo

)()(

)()( ''

wawKwaK

uauJuaJ

KJ {33}

En {24} se imponía un rango de existencia a . En {32} se restringe aún más el panel de

valores aceptables de , que queda reducido a una serie de valores discretos dentro del

rango mencionado. La ecuación {32} se debe resolver en general por cálculo numérico.

Aquí se abordan las soluciones de algunos modos de orden bajo en una FOIA.


X-13

X.3. MODOS EN FIBRAS DE ÍNDICE ABRUPTO

Las funciones J de Bessel tienen un comportamiento oscilatorio amortiguado (Fig. E4-6)

que hace que cada una corte por cero m veces, es decir, que cada tenga m raíces.

Llamaremos m a estas raíces. Los modos que definen serán TEm, TMm, HEm o EHm

(Fig. E-8). En una GO dieléctrica circular, todos los modos son híbridos excepto los

de =0. En estos últimos, se anula el miembro derecho de {32} y se obtienen dos

ecuaciones:

000 KJ {34}

00220

21 KJ kk {35}

y utilizando las relaciones de recurrencia

)()(')()(' 1010 rKrKrJrJ {36}

quedanJ ua

uJ uaK wa

wK wa1

0

1

0

0( )( )

( )( )

{37a}

k J uauJ ua

k K wawK wa

12

1

0

22

1

0

0( )( )

( )( )

{37b}

La primera corresponde a los modos TMom y la segunda a los TE0m.

Cuando 0, la solución estricta de {32} ha de hacerse por cálculo numérico,

como ya se ha comentado. Existen sin embargo excelentes aproximaciones basadas en

la proximidad de índices entre núcleo y cubierta, es decir, en la suposición que soporta la

propia aproximación WGM. El tratamiento completo de esta aproximación, demasiado

extensa para incluirla aquí, puede encontrarse en: D. Gloge, “Weakly guiding fibers”,

Appl. Opt. 10, 2252 (1971), y en: A.W. Snyder, “Asymptotic expressions for

eigenfunctions and eigenvalues of a dielectric or optical waveguide”, Trans. IEEE Microw.

Theory Tech. MTT-17, 1130 (1969). El tipo de soluciones obtenidas en esta aproximación

permite establecer relaciones como:

uJ uaJ ua

wK waK wa

1 1( )( )

( )( )

{38}


X-14

que conducen eventualmente a la

definición de modos LP. Estos

modos, que no son valores propios

(autovalores), sino combinaciones

lineales de éstos, se deberían aplicar

desde un punto de vista estricto a

modos degenerados (es decir, con

idéntica ). Las combinaciones

escogidas corresponden a modos

que son degenerados dentro de la

aproximación; por lo tanto, la

utilización de modos LP será

aceptable o no dependiendo de lo

buena que la propia aproximación

sea, lo cual depende en último

término de la proximidad de los índices de núcleo y cubierta.

Tabla II. Condiciones de corte de los modos exactos en una GO circular

Índice

Modo Condición de corte

0 TE0m, TM0m J ua0 0( )

1 HE1m, EH1m J ua1 0( )

>1 EHm J ua( ) 0

HEm

nn

J uaua

J ua12

22 11

1

( ) ( )

X.3.1. Condiciones de Corte para los Modos

Para calcular el corte de un modo concreto, utilizaremos el criterio siguiente: cuando el

modo comience a no quedar confinado en el núcleo diremos que está al corte, ya

que ha dejado de ser un modo guiado. Ese criterio es equivalente a calcular las

condiciones para las que la intensidad de campo en la cubierta deja de decaer al

aumentar el radio. Así, según la condición {27}, se puede calcular {37} para w20. Las

ecuaciones obtenidas son también bastante complicadas, por lo que se indicarán

simplemente las condiciones de corte de los modos (Tabla II). Obsérvese que el corte

viene dictado por el valor de , independientemente de m.

Fig. E4-8. Soluciones exactas HE, EH, TE y TM obtenidas enuna FOIA, en función de la frecuencia normalizadaV. Obsérvese cómo se asocian uno o variosmodos con constantes de propagación muysimilares para formar modos LP.


X-15

Las condiciones de corte pueden expresarse en función de la frecuencia

normalizada, también llamada parámetro V:

Va

n na

2 2

12

22

NA {39}

siendo NA la apertura numérica. Asimismo se puede relacionar con u y w:

V a u w 2 2 {40}

siendo a el radio del núcleo. V puede utilizarse también para medir el número de modos

que una FO puede soportar. Para ello se usa una representación normalizada, que ya se

vio en la Sección Fundamentos de las CCOO, llamada diagrama b-V. El parámetro b,

llamado constante de propagación normalizada, se define como:

ba wV

k nn n

2 2

2

222

12

22

( / ){41}

Fig. E4-9. Diagrama b-V de modos LP para fibras ópticas de índice abrupto. Los puntos b=0representan las frecuencias de corte de cada modo. El modo LP01 carece de frecuencia decorte. El siguiente modo (LP11) corta a V=2,405. La FO, pues, es monomodo hasta esa V.


X-16

X.3.2. Diagrama b-V de los modos LP

En resumen, el diagrama de la figura E4-8 se suele expresar comúnmente en función de

parámetros normalizados. El resultado es un diagrama b-V como el de la Fig. E4-9. En

esta figura, además, se han introducido modos LP, combinaciones lineales de los modos

de la anterior figura agrupados del modo que se mostraba en la misma.

Cada modo es guiado a partir de un valor concreto de V. Los modos se cortan

cuando =kn2 (esto es, cuando b=0). El modo HE11 carece de frecuencia de corte; sólo

deja de propagarse cuando se hace cero el diámetro del núcleo.

Los números de los cuadros de la figura corresponden a índices m de los modos

LP. Para saber de qué modos

exactos procede cada modo LP,

basta con observar el valor de ,

tal como se puede comprobar en

la Tabla III. Nótese que sólo

aparecen modos TE y TM con

=0, es decir, pertenecientes a la

curva J0 de Bessel (véase {34}).

Es interesante relacionar los valores obtenidos aquí con una gráfica normalizada

de las funciones de Bessel (Fig. E4-10). Se observa que cada frecuencia de corte

corresponde al paso por cero de una determinada curva. Por ejemplo, el modo LP02

comienza a existir a partir de V=3,83, primer corte de J1 por cero, mientras que el modo

LP12 existe a partir de V=5,52, segundo corte de J0 por cero. Tanto en esta figura como

en la anterior se advierte que existe un valor de V por debajo del cual sólo se propaga un

modo. Este valor es V=2,405. Cualquier FO cuya frecuencia normalizada V sea inferior se

comportará como monomodo.

Tabla III. Modos que intervienen en la combinaciónlineal de cada modo LP .

Índice delmodo LP

TE TM HE EH

0 -- -- 1 --

1 0 0 2 --

>1 -- -- +1 –1


X-17

Así pues, para conseguir

una fibra óptica monomodo

basta con reducir su parámetro

V por debajo de 2,4. Según la

expresión de este parámetro

que se daba en {39}, para

reducirlo se puede:

Reducir el radio delnúcleo de la fibra.

Reducir la aperturanumérica NA, aproximan-do los índices de núcleo ycubierta.

Aumentar la longitud deonda.

Una FO monomodo actual tiene un núcleo con un diámetro entre 4 y 9 m (unas

pocas longitudes de onda). La diferencia de índices es también muy baja, n0,1-

0,2%. La longitud de onda suele venir predeterminada por la aplicación, por lo que no

suele ser un parámetro con el que se pueda contar en este contexto. En todo caso,

conviene recordar que una FO monomodo en 3ª ventana, por ejemplo, no es

necesariamente monomodo en 2ª ó 1ª ventana. Expresado de otra forma, para calificar

una FO de monomodal hay que especificar la longitud de onda a que se trabaja; cualquier

FO deja de ser monomodo reduciendo lo suficiente.

X.3.3. Selección de FOs para la práctica

Tomaremos como ejemplo las fibras utilizadas en la práctica. Para el diseño de una

práctica de visualización de modos, se necesita una fibra que guíe unos pocos modos,

suficientes para que la práctica tenga sentido, pero no demasiados, para que puedan

separarse. Es difícil encontrar FO comerciales que guíen tres o cuatro modos: o son

monomodo, o son multimodo y guían centenares de modos.

Lo que sí puede hacerse es aprovechar fibras diseñadas para otra longitud de

onda. En esta práctica interesa utilizar radiación visible de 632,8 nm (láser de He-Ne). Si

se escoge una fibra monomodo en segunda ventana:

AN = 0,11

Ø núcleo = 8m

Fig. E4-10. Los cortes por cero de las funciones J deBessel determinan las frecuencias de corte delos modos.


X-18

El cálculo de V (ver {39}) es 2,11 para esa longitud de onda (1310 nm). Como V es

inversamente proporcional a , aumenta hasta V = 4,37 a 632,8 nm. Llevado al diagrama

b-V, se observa que a esa se guían los 4 primeros modos LP, que son los mostrados

en la Figura E4-4.

X.3.4. Modos e intensidad luminosa

Los modos guiados de una FO son soluciones matemáticas que predicen distribuciones

de campo eléctrico aceptables dentro de las condiciones establecidas por el medio

dieléctrico y el confinamiento. Sería de esperar que tales soluciones se correspondieran

con algo más tangible, como es la distribución de potencia luminosa en el plano

transversal de la FO. La cuestión tiene dos facetas: la propia distribución transversal de

potencia y el transporte de dicha potencia luminosa por la FO. Este segundo aspecto no

se trata aquí. Por lo que respecta a la distribución, conviene recordar que el hecho de

que una guía soporte un determinado modo no significa necesariamente que dicho

modo contenga energía luminosa. En la práctica modificaremos la propagación en la

fibra para hacer que la potencia se guíe preferentemente por uno u otro modo

Cuando se acopla un emisor a una fibra, se excitan unos modos más que otros,

dependiendo del perfil de emisión de la fuente, de las condiciones del acoplo, y de las

características de la fibra. En teoría se puede llegar a excitar específicamente un modo,

con lo que un corte transversal de la fibra presentaría una distribución de intensidad como

las de la figura E4-11 (¡suponiendo que se guiasen!). Sin embargo, es importante

percatarse de que la teoría de modos desarrollada hasta aquí supone implícitamente que

la GO es perfecta (lo que no está muy lejos de la realidad) y que es perfectamente recta

(lo que ya resulta bastante menos creíble excepto en experimentos de laboratorio).

Identificación de modos por su distribución luminosaComo curiosidad, es posible saber qué modo LP corresponde a una determinada distribución transversal deluz. Recuérdese para ello que el índice del modo aparece ligado a la dependencia angular (variable )mientras que m, asociado a cortes en funciones de Bessel, es un índice radial.

El primero de los índices, , se calcula contando el número de máximos de intensidad que aparecenen una vuelta completa a la sección, tomando como centro el eje de la FO. El índice es la mitad del resultado(nótese que el número de máximos de intensidad es el doble que el de campo, ya que va con |E|2). Elsegundo es el número de máximos que corta un radio desde el centro hasta la interfase con la cubierta.


X-19

Cualquier imperfección o curvatura de la

FO genera un nuevo juego de modos que se

haría cargo de la potencia transmitida por el

hipotético modo solitario. Este tipo de reparto se

denomina termalización puesto que equivale a la

migración de calor entre una parte fría y otra

caliente de un material o fluido. El mismo

mecanismo excita ocasionalmente modos no

guiados, influyendo en la atenuación de la FO

(pérdidas en curvaturas por encima de radio

crítico, por ejemplo).

Por esta razón, la distribución luminosa que se observa en el extremo de una FO

suele carecer de los máximos radiales y circulares predichos por la teoría de modos,

aunque en laboratorio pueden llegar a separarse al menos en trayectos cortos. Por

ejemplo:

puede variarse el ángulo de incidencia, y aprovechar la dependencia con el

ángulo de las constantes de propagación.

también puede recurrirse al uso de polarizadores. Al ser linealmente

polarizados, unos modos LP son ortogonales respecto a otros, pudiendo

visualizarse por separado sin más que interponer un polarizador entre la fibra y

la pantalla de proyección.

Fig. E4-11. Boceto de la intensidad lumino-sa que se observaría en un cortetransversal de una FO si sólo seexcitase un modo.


X-20

Desarrollo de la Práctica

Introducción al manejo de la videocámara

Durante el desarrollo de esta práctica se utilizará una videocámara con visión infrarroja para

capturar las imágenes obtenidas. Sobre el objetivo de la cámara se ha colocado un difusor

graduado sobre el que se proyectarán los patrones de campo lejano. Para enfocar dichos

patrones y obtener imágenes nítidas se seguirán las instrucciones siguientes.

Power: Este mando situado en el lateral del

objetivo debe estar en modo "Camera"

Nightshot: Situado junto al anterior sirve para

eliminar los filtros infrarrojos que habitualmente

se utilizan para corregir el color. Este mando solo

se pondrá en la posición "ON" cuando se mida en

primera ventana, nunca en visible.

Programa: El programa se selecciona con el

mando circular "Program AE" que se encuentra en el lateral izquierdo de la cámara. Se

utilizará siempre en modo automático.

MATERIAL NECESARIO

2 Láseres He-Ne rojos (632,8 nm)

1 Láser He-Ne verde (543,5 nm)

1 Caja de emisores

1 Kit de acoplo a fibra desnuda

2 Kits de acoplo He-Ne FC

1 Cámara de vídeo

1 Ordenador con tarjeta capturadorade vídeo

1 Soporte fibra FC

1 Soporte fibra desnuda

1 Cable coaxial RCA - RCA (2,5 m)

1 Cordón de Fibra SM (1300 nm)

1 Cordón de Fibra SM (visible)

1 Cinta métrica


X-21

Enfoque: El enfoque "Focus" se utilizará en modo manual y se puede ajustar con la rueda

situada bajo el objetivo en el lateral izquierdo de la cámara.

Exposure: Este mando, situado en la parte posterior de la cámara, nos permite ajustar la

velocidad del obturador de modo manual. Para comprobar si está activado gire la rueda "Sel

/ Push Exec" y compruebe que varía la

luminosidad de la imagen. En caso contrario

pulse el botón "Exposure" para activarlo.

Las imágenes recogidas por la cámara no

deben estar saturadas. Para ello, cuando

proyecte la salida de una fibra sobre el difusor

del objetivo debe ajustar el obturador hasta

que no haya zonas blancas. En caso

contrario las medidas realizadas serían erróneas.

Menú: Junto a la rueda de selección de modo se encuentra un pulsador con el epígrafe

"Menu". Este mando se utiliza en combinación con la rueda que se encuentra en la parte

posterior de la cámara "Sel / Push Exec", que se utiliza asimismo para seleccionar la

velocidad del obturador como ya se ha explicado. Girando y presionando la rueda se

seleccionan las distintas opciones de los menús. Únicamente se utilizará la opción menú

para restaurar los valores iniciales que se hayan perdido por alguna manipulación errónea.

Los valores iniciales principales son:

Modo Demo OFF

LED infrarrojo de iluminación nocturna OFF

Zoom Digital OFF


X-22

X.4. VISUALIZACIÓN DE MODOS TRANSMITIDOS EN UNA FIBRA

Objetivo: El objetivo de esta práctica es confirmar visualmente los patrones de campo

permitidos en la propagación de radiación luminosa por una fibra. Para ello, es necesario

seleccionar la propagación individual de cada uno de los modos. Se puede conseguir, como

ya se ha comentado, gracias a que cada modo se propaga con un ángulo diferente. De esta

forma, seleccionando adecuadamente el ángulo con el que se enfoca el haz procedente

del láser sobre la superficie transversal de la fibra, se logra la propagación predominante de

un modo específico (de los posibles guiados).

Si se utilizan fibras de mayor radio; sin embargo, al permitir la propagación de un

número elevado de modos, resulta más complicado seleccionar la propagación individual de

cada uno de ellos.

La obtención de la configuración de campo eléctrico se realiza mediante la técnica

denominada de Campo Cercano. La diferencia entre un patrón de campo lejano o cercano,

está relacionada con la distancia que existe entre la salida de la fibra óptica y el plano de

observación. Si el objetivo de esta práctica fuera la "medida" de los patrones de campo,

deberíamos colocar la pantalla de observación prácticamente pegada a la salida de la fibra,

o bien una lente que amplificara la imagen obtenida justo en la cara final de la fibra.

No obstante, como el objetivo perseguido es una "visualización" de las formas

modales, se puede situar la pantalla a una distancia arbitraria sin perjuicio de la forma modal

(aunque probablemente la distribución puntual de potencia haya cambiado).

Método de medida

Acoplando un láser de He-Ne al extremo de una fibra monomodo (1300nm) desnuda

mediante un kit de acoplo, y proyectando el otro extremo en una pantalla situada en el

objetivo de la cámara. Se utilizan lentes como elementos auxiliares.

El alineamiento completo del sistema de generación de modos puede ser lento y engorroso.

Para facilitar la tarea, el sistema se entrega dentro de los rangos de alineamiento necesarios

para localizar los modos. Así pues, no realice grandes excursiones con los manipuladores.

Se recomienda mover lentamente los controles, y buscar los patrones en recorridos cortos.

Procedimiento Experimental

1. En primer lugar es necesario acoplar el haz procedente del láser de He-Ne a una

fibra con las características indicadas en el apartado X.3.3 mediante el Kit de acoplo

F-916. Como no se realiza ninguna medida de potencia, el acoplo se considerará

óptimo cuando se observe en la pantalla un patrón de campo de un rojo intenso,

correspondiente a alguno de los patrones mostrados en la en la figura E4-4.


X-23

2. En principio, proyecte el patrón de salida sobre una pantalla utilizando los postes y

bases necesarios. Observe y dibuje patrón de campo obtenido.

3. Proyectando el patrón de campo sobre el objetivo de la cámara digitalice la

configuración observada.

4. Varíe el ángulo de incidencia del haz de entrada manipulando alguno de los

mandos del Kit de acoplo F-916. Se recomienda una variación muy lenta y

secuencial de los mandos para no perder la señal. Con este procedimiento debe

conseguir la propagación individual de cada uno de los cuatro modos de menor

orden. Dibuje y digitalice las imágenes que obtiene.

5. Vuelva a jugar con los mandos hasta conseguir una distribución de campo que

crea que corresponde a la propagación de dos modos. Coloque la lámina

polarizadora detrás de la fibra de salida y gírela lentamente hasta visualizar y

digitalizar cada uno de los modos dependiendo de la posición de giro de la lámina.

Mediante este procedimiento aísle los modos de la figura E4-4.

Nota: Grabe todos los ficheros que digitalice en el “escritorio”, cópielos en un disquete al finalizar la

práctica y bórrelos del “escritorio” a continuación.

X.5. MEDIDA DE LA APERTURA NUMÉRICA EN UNA FIBRAMONOMODO (1300 NM) A DISTINTAS LONGITUDES DE ONDA

Objetivo: Medida de la apertura numérica de una fibra monomodo a dos longitudes de

onda: 543 nm, y 820 nm. Para poder realizar la medida en primera ventana es necesario

utilizar la cámara en modo Nighshot.

Método de medida: Acoplando un cordón monomodo a 1.300 nm a la salida FC de un

láser verde y de un diodo de primera ventana de la caja de emisores y proyectando la

imagen sobre la pantalla. La apertura numérica se calcula por la relación entre el tamaño

de la imagen proyectada y la distancia del extremo de la fibra a la pantalla.

AN a 820 nm

1. Conecte un extremo del cordón monomodo (amarillo) al LED de 820 nm de la caja de

emisores y el otro extremo al soporte de proyección.

2. Proyecte la salida sobre una pantalla y anote si se observa algo.

3. Varíe la velocidad del obturador de la cámara hasta que la imagen esté

completamente oscura.

4. Sitúe el conmutador Nightshot en la posición ON.

5. Enfoque el extremo situado en el soporte de proyección al objetivo de la cámara.


X-24

6. Ajuste la velocidad del obturador de la cámara hasta que la imagen no esté saturada.

7. Mida el tamaño de la imagen proyectada y la distancia desde el extremo de la fibra a


Puede ser necesaria la utilización de una campana para eliminar la luz ambiente

8. Calcule la apertura numérica a dicha longitud de onda.

9. Suba la corriente de polarización del LED al máximo.

10. Repita los apartados 6, 7, y 8, del ejercicio anterior.

11. Sitúe el conmutador Nightshot en la posición OFF.

12. Baje al mínimo la corriente de polarización del LED y desmonte el cordón del extremo

de la caja de emisores.

AN a 543 nm

1. Conecte un extremo del cordón monomodo (amarillo) al láser verde y el otro extremo

al soporte de proyección.

2. Abra el obturador del láser.

3. Proyecte el extremo de salida sobre una pantalla. Dibuje la distribución modal

observada.

4. Utilice la lámina polarizadora, deberá ser capaz de ver, al menos, variaciones de

luminosidad. Comente por qué no es capaz de separar completamente los modos.





8. Intente separar diferentes modos y aislar alguno de los que observó en la práctica

anterior. Digitalice las imágenes obtenidas.

9. Cierre el obturador del láser.

10. Desmonte el cordón de la salida del láser.

11. A partir de los valores de apertura numérica calculados y conociendo que el radio del

núcleo de la fibra es de 5 micras calcular cuantos modos es posible acoplar a

543 nm.


X-25

X.6. MEDIDA DE LA APERTURA NUMÉRICA EN UNA FIBRAMONOMODO EN EL VISIBLE

Objetivo: Medida de la apertura numérica de una fibra monomodo en visible a

543,5 nm.

Método de medida

Acoplando un cordón monomodo en visible (cordón de color verde) a la salida FC de un

láser verde y proyectando la imagen sobre una pantalla situada sobre el objetivo de una

cámara. La apertura numérica se calcula de modo análogo al apartado anterior.

1. Conecte un extremo del cordón monomodo (verde) al láser verde y el otro extremo al

soporte de proyección.






6. A partir del cálculo de la apertura numérica realizado y sabiendo que el radio del

núcleo de la fibra utilizada es de 2 micras calcule cuantos modos sería posible acoplar

a dicha longitud de onda.

7. Cierre el obturador del láser.

8. Desmonte el cordón y deje todo como lo encontró.

X.7. VISUALIZACIÓN DE UN PATRÓN DE SPECKLE

Cuando una radiación luminosa coherente (láser) se introduce en una fibra multimodo, en

ésta se excitan un número determinado de modos que se transmitirán por ella. Cada modo

se propagará con una fase relativa respecto al resto pudiendo interferir constructiva o

destructivamente entre ellos en cualquier plano perpendicular a la trayectoria de transmisión

de la fibra.

Recuerde que la luz asociada con una emisión estimulada, como es el caso de un láser, está

en fase. El tiempo en el cual la onda se mantiene continuamente en fase se denomina tiempo

de coherencia, c, y depende del ancho espectral de la fuente. La distancia a lo largo de la

dirección de propagación sobre la cual la radiación permanece en fase se denomina longitud

de coherencia, lc.


X-26

Así, el patrón de radiación que se puede observar al final de la fibra adopta una forma

peculiar, compuesta por multitud de pequeñas manchas que se denominan “speckles”. El

número de speckles presentes en el patrón speckle es proporcional al número de modos

que se están propagando por la fibra ya que cada speckleel se corresponde con la

interferencia de un par de modos específico.

Después de una distancia de propagación suficiente la dispersión modal puede

producir un retardo de propagación relativo entre varios modos que exceda el tiempo de

coherencia de la luz. Si esto sucede, el patrón speckle observado tendrá un fondo con un

nivel de radiación uniforme.

Por otro lado, los modos que se propagan por la fibra, debido a imperfecciones

estructurales de ésta o a causas externas a ella, pueden intercambiar parte de la energía

que portan produciéndose lo que se denomina acoplo entre modos. Este intercambio de

energía repercutirá en el patrón de speckle obtenido haciéndolo inestable en el tiempo.

El hecho de que se genere un patrón de speckle, por sí mismo no presenta

perjuicios significativos en las prestaciones de un sistema de comunicaciones ópticas. Pero

este fenómeno, unido a la existencia de puntos donde se produzcan algún tipo de variación

temporal en las características de propagación modal (por ejemplo, empalmes o acoplos

entre fibras) genera lo que se conoce como ruido modal.

El ruido modal puede llegar a ser un parámetro de considerable importancia en el

diseño de un sistema de transmisión, particularmente en sistemas analógicos donde se

requiere una elevada relación señal-ruido.

Objetivo: Observar el patrón de campo generado al final de una fibra multimodo cuando

a través de ella se transmite una luz altamente coherente (láser).

Método de medida: Acoplar la luz procedente de un láser verde a una Fibra una fibra

multimodo y proyectar el patrón de salida sobre una pantalla.

1. Conecte un extremo del cordón multimodo al láser verde y el otro extremo al soporte

de proyección.


3. Proyecte la radiación de salida de la fibra sobre una pantalla y observe el Patrón

generado.

4. Compruebe la variación del Patrón de Speckle con variaciones en el camino de

transmisión. Para ello mueva el cordón de fibra al tiempo que observa el patrón.

POR FAVOR, AL ACABAR LA PRÁCTICA DEJE EL PUESTO TAL COMO LO ENCONTRÓ. NO

APAGUE EL ORDENADOR NI CIERRE LOS SHUTTER DE LOS LÁSERES.


X-27

APÉNDICE 1: TRATAMIENTO NUMÉRICO Y GRÁFICO DE LAS IMÁGENESALMACENADAS

1. Fuera del laboratorio, el alumno podrá realizar representaciones gráficas

(bidimensionales o tridimensionales) del perfil de la distribución de energía luminosa.

Se recomienda realizarlo con Matlab mediante el procedimiento siguiente:

Copiar el archivo “archivo.bmp” en el directorio \MATLAB\toolbox\matlab\iotun

Teclear en la línea de comandos de Matlab:

>> a=imread (‘archivo’,’bmp’);

esto nos guarda una matriz (a) de valores de intensidad luminosa del fichero

“archivo.bmp”.

2. Las imágenes que no se vayan a utilizar para medidas de perfil de distribución de

energía se recomienda guardarlas en baja resolución en formato PDF. Para ello se

utilizará una impresora virtual Adobe, que guarda el contenido de la pantalla en

disco con formato PDF. Para imprimir sobre la impresora Adobe, se abrirá la imagen

guardada con cualquier programa de gráficos y se utilizará el comando “Imprimir” del

Menú “File”.

APÉNDICE 2: MANEJO DE LA TARJETA CAPTURADORA DE VÍDEO

1. Inicie el programa AVTV98

2. Seleccione el tamaño de pantalla

3. Capture la imagen

4. Salve la imagen

práctica opcional - tfo.upm.es · fibra. se explicaban los conceptos de ángulo crítico y de...

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