CÁLCULO DIFERENCIAL

FuncionesFunción exponencial Función compuestaFunción inversaFunción logaritmo

Función exponencial• Una función exponencial f está dada por:

f(x) = ax

donde x es cualquier número real,

a > 0 y a ≠ 1. El número a se llama base.

x

ytabulamos:

Gráfica de f(x)=2x

x

y

xy 2

La curva se acerca al eje x pero no lo toca ni lo corta. El eje x es una asíntota horizontal.

La gráfica es: Creciente Cóncava hacia arriba. Pasa por el punto (0; 1); (1; 2).

x

y

a = 2

seguir

xay

x

y

a = 3

seguir

xay

x

y

a = 4

seguir

xay

x

y

a = 5

seguir

xay

x

y

a = 1.5

seguir

xay

x

y

a = 1.2

seguir

xay

x

y

a = 1

seguir

xay

tabulamos…

x

y

Gráfica de f(x)=(½)x

x

y

x

y21 La gráfica es:

Decreciente Cóncava hacia arriba. Pasa por el punto (0; 1); (1; ½ ).

La curva se acerca al eje x pero no lo toca ni lo corta. El eje x es una asíntota horizontal.

x

y

a = 0.5

seguir

xay

x

y

a = 0.33

seguir

xay

x

y

a = 0.25

seguir

xay

x

y

a = 0.2

seguir

xay

Muy importante!!

x

y

f(x)= a > 1

xa

);1( 1a

);2( 2a

);1( 1 a)1;0(

Función crecienteRecorrido: ]0, ∞[Dominio: Asíntota: Eje xGráfica cóncava hacia arriba

Conclusiones

OJO!!

x

y

f(x)= 0 < a < 1

xa

)1;0();1( 1a

);2( 2a

);1( 1 a

);2( 2 a

Función decrecienteRecorrido: ]0, ∞[Dominio: Asíntota: Eje xGráfica cóncava hacia arriba

Conclusiones

n

1 S/.2,00000

2 S/.2,25000

3 S/.2,37037

4 S/.2,44141

12 S/.2,61304

52 S/.2,69260

365 S/.2,71457

8760 S/.2,71813

525600 S/.2,71828

…. …..

n)n1(1A

El monto obtenido crece como puede apreciarse pero solo hasta cierta cantidad, es decir cuando n se hace muy grande…

....718281828,2

11lim

en

en

n

El número e

Gráfica de f(x) = ex

x

y

x ex

0 1

1 2,71..

2 7,38..

xey

Función crecienteRecorrido: ]0, ∞[Dominio: Asíntota: Eje xGráfica cóncava hacia arriba

x

y

xy 3xy 2

xey

Gráfica de f(x) = ex

f

g

Note que: y = f(x) y x = g(y)

g(y)x. .y = f(x)

Diagrama de una función inversa

Definición• Sean f y g dos funciones tales que: dominio de f es D y

recorrido C dominio de g es C y recorrido D• g es la inversa de f si se cumple:

• g(f(x)) = x para todo x en D• f(g(x)) = x para todo x en C

Guía para hallar f -1

1. Verificar que f es inyectiva (*).2. Determinar Dom (f-1) (**)3. Despejar x de y = f (x).

* Se recomienda realizar el gráfico y determinar el recorrido de f.

** Dom (f-1)= Rec (f)

Función logarítmo

log a x = y ay = x

a>1 y a≠1

• El logaritmo de un número x en una base a es el exponente y al que hay que elevar la base para obtener el número.

Ecuación logarítmicaEcuación

exponencialNMa log Ma N

2100log10 201,0log10

21

49 7log

100102 01,010 2

749 21

Exponenciales y logarítmos

xxy y 2log2

¼ -2½ -11 02 14 28 3

yx 2 y

x

y

graficamos…

Gráfica de f(x) = log 2 x

x

y

xy 2log

Se observa que ahora la asíntota vertical es el eje y

La gráfica es creciente y cóncava hacia abajo y pasa por (1; 0)

¿Cómo se compara esta gráfica con la exponencial de base 2?

¿y cómo varía la gráfica al cambiar la base a?

x

y

xxf 2)(

xxg 2log)(

xy

(2; 4)

(4; 2)

Las gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. Cada punto (a; b) de la curva exponencial tiene su simétrico de la forma (b; a) en la curva logarítmica.

x

y

a = 2

seguir

xy alog

x

y

a = 2,5

seguir

xy alog

x

y

a = 3

seguir

xy alog

x

y

a = 3,5

seguir

xy alog

x

y

a = 4

seguir

xy alog

x

y

a = 4,5

seguir

xy alog

x

y

a = 5

seguir

xy alog

x

y

a = 1,6

seguir

xy alog

x

y

a = 1,2

seguir

xy alog

a = 0,8

x

y

seguir

xy alog

a = 0,7

x

y

seguir

xy alog

a = 0,6

x

y

seguir

xy alog

a = 0,5

x

y

seguir

xy alog

a = 0,4

x

y

seguir

xy alog

x

y

xy alog

a > 1

Función crecienteDominio: (0; ∞)Rango: Asíntota: Eje yGráfica cóncava hacia abajo

base

a

Conclusiones

x

y

xy alog

0 < a < 1

Función decrecienteDominio: (0; ∞)Recorrido: Asíntota: Eje yGráfica cóncavahacia arriba

a

base

Conclusiones

Para todos los números positivos a, M y N, a ≠ 1 y cualquier número real k:

MkM

NMN

M

NMNM

ka

a

ak

a

aaa

aaa

ka

a

a

loglog.6

logloglog.5

logloglog.4

log.3

01log.2

1log.1

Leyes de logarítmos

Para cualquier número positivo x.

xx loglog10

Logarítmo decimal o común

• El logaritmo log10 x se llama logaritmo común de x y su

forma abreviada es log x.

Son aquellos cuya base es el número e ≈ 2,7182818..

Para cualquier número positivo x.

xxe lnlog

Logaritmo natural

x

y

e

Posee las características de toda gráfica logaritmica de base mayor que 1.

Gráfica de f(x) = ln x