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AULA 360

Semejanza

1. Teorema de Tales

2. Figuras semejantes

3. Semejanza de triángulos

4. Semejanza de triángulos rectángulos

5. Relación entre áreas y volúmenes de cuerpos semejantes

UNIDAD 05

4º ESO-OPCIÓN A | UNIDAD 05 | MATEMÁTICAS

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1. Teorema de Tales

SEMEJANZA

Consecuencias del teorema de Tales:

Si varias rectas paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten.Toda paralela a un lado de un triángulo Toda paralela a un lado de un triángulo determina con los otros dos un nuevo determina con los otros dos un nuevo triángulo cuyos lados son proporcionales a triángulo cuyos lados son proporcionales a los del primero. los del primero.


Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas secantes son proporcionales.

Les Luthiers

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TEOREMA DE TALES- Les Luthiers Si tres o más paralelas Si tres o más parale-le-le-las Si tres o más paralelas Si tres o más parale-le-le-las

son cortadas, son cortadas por dos transversales, dos transversales, son cortadas, son cortadas por dos transversales, dos transversales,

Si tres o más parale-le-le-las Si tres o más parale-le-le-las son cortadas, son cortadas, son cortadas, son cortadas (Entre voces en son cortadas: "Son transversales")

Dos segmentos de una de estas, dos segmentos cualesquiera, dos segmentos de una de estas son proporcionales a los dos segmentos correspondientes de la otra.

Hipótesis:

A paralela a B, B paralela a C, A paralela a B, paralela a C, paralela a D.

O-P es a P-Q, M-N es a N-T, OP es a PQ como MN es a NT.

A paralela a B, B paralela a C, OP es a PQ como MN es a NT.

La bisectriz yo trazaré y a cuatro planos intersectaré.

Una igualdad yo encontraré: OP+PQ es igual a ST.

Usaré la hipotenusa. Ay, no te compliques, nadie la usa.

Trazaré, pues, un cateto. Yo no me meto, yo no me meto.

Triángulo, tetrágono, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, son todos polígonos.

Seno, coseno, tangente y secante, y la cosecante y la cotangente.

Thales, Thales de Mileto Thales, Thales de Mileto Thales, Thales de Mileto Thales, Thales de Mileto

Que es lo que queríamos demostrar. Queesque loqueloque queriariamos demodemostrar!

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2. Figuras semejantes

SEMEJANZA

Tienen la misma forma, pero distinto tamaño. Dos polígonos con el mismo número de lados son semejantes cuando sus lados homólogos son proporcionales y sus ángulos correspondientes son iguales.


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Según el teorema fundamental de la semejanza de triángulos, al trazar una paralela a un lado de un triángulo se obtiene otro triángulo que es semejante al primero.


SEMEJANZA


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Dos triángulos son semejantes si tienen los tres ladosproporcionales:

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales:

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ladosproporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual:


SEMEJANZA


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Los criterios de semejanza anteriores se pueden resumir en un único criterio:

Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes iguales, podemos afirmar que son semejantes.


SEMEJANZA


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4. Semejanza de triángulos rectángulos

SEMEJANZA

Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen, al menos, un ángulo igual.

Consecuencias de esta semejanza de triángulos son:

Teorema del cateto: h2 = m · n

Teorema de la altura: c2 = a · n


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5. Relación entre áreas y volúmenes de cuerpos semejantes

SEMEJANZA


La razón o cociente entre las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza:

La razón entre los volúmenes de dos poliedros semejantes es igual al cubo de la razón:

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