1. Conociendo el ltimo trmino 199, de una progresin aritmtica (p.a.), el nmero de ellos 100, y la suma de sus trminos 10.000, calcular el primero y la razn.an = 199; n = 100; S = 10.000; a1 = ?; d = ?

10.000 = (a1 + 199) * 100 / 220.000 = (a1 + 199) * 100200 = a1 + 199; a1 = 1199=1+(100-1)*d.....198=99*d.....d=2a1 = 1 y d = 2

2. Calcular la suma y el ltimo trmino de una p.a. de razn 4, sabiendo que consta de 12 trminos y el primero vale 7.S = ?; an = ?; d = 4; n = 12; a1 = 7an = 7 + (12 - 1) * 4an = 7 + 11 * 4; an = 51S = (7 + 51) * 12 / 2S = 58 * 6; S = 348 S = 348 y an = 51

3. Calcular la suma y el nmero de trminos de una p.a., cuyo primer trmino es 4, el ltimo 40 y la razn 3.S = ?; n = ?; a1 = 4; an = 40; d = 340 = 4 + (n - 1) * 3; 40 - 4 = (n - 1) * 3; 36 = (n - 1) * 3; 12 = n - 1 ; n = 13S = (4 + 40) * 13 / 2S = 44 * 13 / 2; S = 22 * 13; S = 286 S = 286 y n = 13

4. Conociendo el primer trmino de una p.a. 3, el ltimo 25 y el nmero de trminos 12, determinar la razn y la suma.a1 = 3; an = 25; n = 12; d = ?; S = ?25 = 3 + (12 - 1) * d; 25 - 3 = 11 * d; 22 = 11 * d; d = 2S = (3 + 25) * 12 / 2S = 28 * 12 / 2; S = 14 * 12; S = 168

S = 168 y d = 2

5. Conociendo el primer trmino 3, el ltimo 39 y la suma 210 de las trminos de una p.a., calcular la razn y el nmero de trminos.a1 = 3; an = 39; S = 210; d = ?; n = ?

210 = (3 + 39) * n / 2; 210 = 42 * n / 2; 210 = 21 * n; n = 10 39 = 3 + (10 - 1) * d; 39 - 3 = 9 * d; 36 = 9 * d; d = 4n = 10 y d = 4

6. Formar una p.a. de trminos positivos de razn 2, el ltimo 18 y 88 la suma de sus trminos.d = 2; an = 18; S = 8818 = a1 + (n - 1) * 2 ; 18 = a1 + 2n - 2; 20 = a1 + 2n; a1 = 20 - 2n88 = (a1 + 18) * n / 2; 176 = ( a1 + 18) * n176 = (20 - 2n + 18)*n; 176 = (38 - 2n) * n; 2n2 - 38n + 176 = 0; n2 - 19n + 88 = 0Resolviendo le ecuacin de segundo grado hallamos los valores de n; n = 11; n = 8Para n = 11; a1 = 20 - 2n; a1 = 20 - 22; a1 = - 2; No cumple el enunciadoPara n = 8; a1 = 20 - 2n; a1 = 20 - 16; a1 = 4 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18

7. Determinar el nmero de trminos de una p.a. y el ltimo, sabiendo que el primero vale 3, la razn es 2 y la suma 120.n = ?; an = ?; a1 = 3; d = 2; S = 120an = 3 + (n - 1) * 2 ; an = 3 + 2n - 2; an = 1 + 2n;120 = (3 + an) * n / 2; 240 = ( 3 + 1 + 2n) * n; 240 = 4n + 2n2; n2 + 2n - 120 = 0Resolviendo le ecuacin de segundo grado hallamos los valores de n; n = 10;Para n = 10; an = 1 + 2n; an = 1 + 20; an = 21n = 10; an = 21

8. Cual ser la profundidad de un pozo si por el primer metro se han pagado 760 duros y por cada uno de los restantes, 150 duros ms que por el anterior. El pozo ha costado 43.700 duros.n = ?; a1 = 760; d = 150; S = 43.700an = 760 + (n - 1) * 150 ; an = 760 + 150n - 150; an = 610 + 150n;43700 = (760 + an) * n / 2; 87400 = ( 760 + 610 + 150n) * n;87400 = 1370n + 150n2; 15n2 + 137n - 8740 = 0Resolviendo le ecuacin de segundo grado hallamos los valores de n; n = 20;n = 20

9. Hallar el nmero de trminos de una p.a. que tiene por primer trmino 7, por ltimo 112 y por razn 3.n = ?; a1 = 7; an = 112; d = 3112 = 7 + (n - 1) * 3 112 = 7 + 3n - 3112 = 4 + 3n3n = 108; n = 36n = 36

10. Hallar los cuatro ngulos de un cuadriltero, sabiendo que forman p.a. de razn igual a 25.n = 4; d = 25; S = 360360 = (a1 + an) * 4 / 2; 360 = (a1 + an) * 2;180 = a1 + an; an = 180 - a1an = a1 + (n - 1) * d; 180 - a1 = a1 + 3 * 25; 180 = 2a1 + 75;2a1 = 105; a1 = 52'5; 52 30'; 77 30'; 102 30'; 127 30'

11. La suma de cierto cantidad de nmeros impares consecutivos tomados a partir de 1, es 11.025. Calcular el ltimo de los citados nmeros impares.a1 = 1; d = 2; S = 11.025; an = ?an = 1 + (n - 1) * 2; an = 1 + 2n - 2; an = 2n - 111.025 = (1 + an) * n / 2; 22.050 = (1 + 2n - 1) * n;22.050 = 2n2; n2 = 11.025; n = 105an = 2n - 1; an = 210 - 1; an = 209an = 209

12. Calcular la distancia que recorre un pen que arroja un cubo de agua en cada uno de los 30 rboles de un lado de la calzada, sabiendo que el primer rbol dista del pozo 10 m. y entre s distan 6 m. y al final deja el cubo al lado del pozo.a1 = 20 por ser ida y vuelta;n = 30; S = ?; d = 12an = 20 + (30 - 1) * 12; an = 20 + 29 * 12;an = 20 + 348; an = 368S = (20 + 368) * 30 / 2; S = 388 * 15;S = 5820

13. Calcular la suma de todos aquellos nmeros que, teniendo tres cifras, son mltiplos de 7.debemos buscar el primer nmero de tres cifras que sea divisible por 7, da 105y luego debemos buscar el nmero ms grande de tres cifras que sea divisible por 7, veremos que da 994a1 = 105; an = 994; d = 7994 = 105 + (n - 1) * 7; 994 - 105 = (n - 1) * 7; 889 / 7 = n - 1; n = 128S = (105 + 994) * 128 / 2; S = 1099 * 64;S = 70.336

14. Cuntas campanadas da diariamente un reloj que suena solamente las horas.Calcularemos primero las campanadas que da un reloj en medio da, y luego lo multiplicaremos por dos.a1 = 1; an = 12; d = 1; n = 12; S = ?S = (1 + 12) * 12 / 2; S = 13 * 6;S = 78 campanadas en doce horasS = 156 campanadas

15. Calcular el valor de cada uno de los ngulos de un tringulo rectngulo, sabiendo que estn en p.a.Deberemos recordar que la suma de los tres ngulos de un tringulo cualquiera vale 180 grados, y que por ser rectngulo, hay un ngulo que vale 90 grados, el mayoran = 90; n = 3; S = 180180 = (a1 + 90) * 3 / 2; 360 = (a1 + 90) * 3; 120 = a1 + 90; a1 = 30an = a1 + (n- 1) * d; 90 - 30 = 2d; 60 = 2d; d = 3030, 60 y 90

16. Los ngulos de un tringulo estn en p.a., valiendo uno de ellos 100. Hallar el valor de los dems.Deberemos recordar que la suma de los tres ngulos de un tringulo cualquiera vale 180 grados, y que hay un ngulo que vale 100 grados, el mayoran = 100; n = 3; S = 180180 = (a1 + 100) * 3 / 2; 360 = (a1 + 100) * 3; 120 = a1 + 100; a1 = 20an = a1 + (n - 1) * d; 100 - 20 = 2d; 80 = 2d; d = 4020, 60

17. Hallar la suma de los nmeros pares que estan comprendidos entre 99 y 1001.Deberemos recordar que los nmeros pares: 2, 4, 6, 8, ... aumentan de dos en dos, por lo tanto la diferencia entre dos nmeros consecutivos es dos. a1 = 100; an = 1000; d = 2; S = ?an = a1 + (n - 1) * d; 1000 = 100 + (n - 1) * 2;900 = (n - 1) * 2; 450 = n - 1; n = 451S = (100 + 1000) * 451 / 2; S = 1100 * 451 / 2; S = 550 * 451;248.050

18. Hallar la suma de todos los mltiplos de 4 comprendidos entre 122 y 1.418.Deberemos recordar que los mltiplos de 4 aumentan de 4 en 4, por lo tanto la diferencia entre dos nmeros consecutivos es cuatro. a1 = 124; an = 1416; d = 4; S = ?an = a1 + (n - 1) * d; 1416 = 124 + (n - 1) * 4;1292 = (n - 1) * 4; 323 = n - 1; n = 324S = (124 + 1416) * 324 / 2; S = 1540 * 324 / 2; S = 1540 * 162;249.480

19. Hallar la suma de los cincuenta primeros nmeros que son mltiplos de cinco.Deberemos recordar que los mltiplos de 5 aumentan de 5 en 5, por lo tanto la diferencia entre dos nmeros consecutivos es cinco. a1 = 5; an = ?; d = 5; S = ?; n = 50an = a1 + (n - 1) * d; an = 5 + (50 - 1) * 5;an = 5 + 49 * 5; an = 250S = (5 + 250) * 50 / 2; S = 255 * 25;6375

20. Hallar la suma de los cincuenta primeros nmeros que son mltiplos de siete.Deberemos recordar que los mltiplos de 7 aumentan de 7 en 7, por lo tanto la diferencia entre dos nmeros consecutivos es siete. a1 = 7; an = ?; d = 7; S = ?; n = 50an = a1 + (n - 1) * d; an = 7 + (50 - 1) * 7;an = 7 + 49 * 7; an = 350S = (7 + 350) * 50 / 2; S = 357 * 25;8.925

21. Hallar la suma de los trminos de la siguiente progresin aritmtica: 5, 8, 11, 14, ... , 338.a1 = 5; an = 338; d = 3; S = ?;an = a1 + (n - 1) * d; 338 = 5 + (n - 1) * 3;333 = (n - 1) * 3; 111 = n - 1; n = 112S = (5 + 338) * 112 / 2; S = 343 * 56;18.208

22. Interpolar 10 elementos entre los nmeros 3 y 25, para que formen progresin aritmtica.Debemos recordar que interpolar, quiere decir meter entre los extremos, por lo tanto la progresin tendr 12 trminosa1 = 3; an = 25; n = 12; d = ?;an = a1 + (n - 1) * d; 25 = 3 + (12 - 1) * d;22 = 11 * d; d = 23, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25

23. Interpolar 5 medios aritmticos entre los nmeros 1/2 y 1 para que formen una progresin.Debemos recordar que interpolar, quiere decir meter entre los extremos, por lo tanto la progresin tendr 7 trminosa1 = 1/2; an = 1; n = 7; d = ?;an = a1 + (n - 1) * d; 1 = 1/2 + (7 - 1) * d;1/2 = 6 * d; d = 1/121/2 = 6/12, 7/12, 8/12, 9/12, 10/12, 11/12, 12/12 = 1

24. Interpolar 13 medios aritmticos entre 22a2 y 8a2 para que formen progresin.Debemos recordar que interpolar, quiere decir meter entre los extremos, por lo tanto la progresin tendr 15 trminosa1 = 22a2; an = 8a2; n = 15; d = ?;an = a1 + (n - 1) * d; 8a2 = 22a2 + (15 - 1) * d;- 14a2 = 14 * d; d = - a222a2, 21a2, 20a2; 19a2; ...; 8a2

25. Interpolar cinco medios aritmticos entre el octavo y el noveno trmino de la p.a., cuyo primer trmino es 1/2 y el segundo 7/12.Debemos recordar que interpolar, quiere decir meter entre los extremos, por lo tanto la progresin tendr 7 trminosa1 = 1/2; a2 = 7/12; d = 1/12; a8 = ?; y a9 = ?an = a1 + (n - 1) * d; a8 = 1/2 + (8 - 1) * 1/12; a8 = 1/2 + 7/12; a8 = 13/12; a9 = 14/12La nueva progresin tendr como elementos: a1 = 13/12; an = 14/12; n = 714/12 = 13/12 + (7 - 1) * d; 1 / 12 = 6d; d = 1/ 7213 / 12 = 78 /72, 79 / 72, 80 / 72, 81 /72, 82 /72, 83 /72, 84 /72 = 14 / 12

26. Hallar el nmero de bolas que contiene una pila triangular completa, teniendo sobre cada lado 20 bolas.Imaginemos un tringulo equiltero, que en la base tiene 20 bolas y en el vrtice superior, tiene una sola bola,a1 = 1; an = 20; d = 1; S = ?;an = a1 + (n - 1) * d; 20 = 1 + (n - 1) * 1; 19 = n - 1; n = 20S = ( 1 + 20 ) * 20 / 2;S = 21 * 10210

154. Hallar el nmero de bolas que contiene una pila triangular cuya base inferior tiene 25 bolas y la superior 13 bolas.Imaginemos un trapecio issceles, que en la base tiene 25 bolas y en el lado superior tiene 13 bolas,a1 = 13; an = 25; d = 1; S = ?;an = a1 + (n - 1) * d; 25 = 13 + (n - 1) * 1; 12 = n - 1; n = 13S = ( 13 + 25 ) * 13 / 2;S = 19 * 13247

155. Un coronel que manda 2.485 soldados los quiere formar en tringulo, de tal forma, que la primera fila tenga un soldado, la segunda 2, la tercera 3, y as sucesivamente. Cuntas filas podr formar ?a1 = 1; an = ?; d = 1; S = ?;an = a1 + (n - 1) * d; an = 1 + (n - 1) * 1; an = n2485 = ( 1 + n ) * n / 2; 4970 = n + n2;n2 + n - 4970 = 0Resolviendo la ecuacin de segundo grado, encontramos que n vale70

156. Un hexgono tiene un ngulo recto y los restantes, a partir de l, estn en p.a. Hallar el valor de cada uno de ellos.a1 = 90; n = 6; Pero podemos saber cunto vale la suma de todos los ngulos de un exgono. Para ello dibujamos un exgono regular, lo descomponemos en 6 tringulos, formados al unir el centro con cada uno de los vrtices. Cada uno de los ngulos centrales valdr 60 grados. Por lo tanto, los otros dos ngulos del tringulo, valdrn 120 grados, y ser lo mismo que un ngulo interior del exgono. Como que hay 6 ngulos interiores, cada uno vale 120 grados, los 6 tendrn un valor de 720 grados.

an = a1 + (n - 1) * d; an = 90 + (6 - 1) * d; an = 90 + 5d720 = ( 90 + 90 + 5d ) * 6 / 2; 720 = (180 + 5d) 3; 240 = 180 + 5d; 5d = 60; d = 1290, 102, 114, 126, 138, 150

157. Un coronel coloca un soldado en la primera fila, 3 en la segunda, 5 en la tercera, etc., hasta colocar 1024 soldados. Se desea saber: a) Cuntos soldados tiene la fila 10. b) Cuntas filas hay. c) Qu superficie hubiera ocupado si los hubiera dispuesto en filas y columnas de igual nmero de soldados, distantes entre s un metro.a1 = 1; d = 2; S = 1024; a10 = ?; n = ?; Superficie = ?an = a1 + (n - 1) * d; a10 = 1 + (10 - 1) * 2; a10 = 1 + 18; a10 = 19an = a1 + (n - 1) * d; an = 1 + (n - 1) * 2; an = 1 + 2n - 2; an = 2n - 11024 = ( 1 + 2n - 1) * n / 2; 2048 = 2n2; n2 = 1024; n = 32;Habran formado un cuadrado de 31 metros de lado, o sea 961 metros cuadrados.a10 = 19; n = 32; Superficie = 961 metros cuadrados

158. Calcular la suma de los mltiplos de 5 comprendidos entre 1243 y 4728.Lo primero que tenemos que recordar es que los mltiplos de cinco, acaban en 0 en 5. Por lo tanto la sucesin estar comprendida entre 1245 y 4725.a1 = 1245; an = 4725; d = 5; S = ?an = a1 + (n - 1) * d; 4725 = 1245 + (n - 1) * 5; 3480 = (n - 1) * 5n - 1 = 696; n = 697S = ( 1245 + 4725) * 697 / 2; S = 5970 * 697 / 2; S = 2985 * 6972.080.545

159. Encontrar tres nmeros en p.a. de razn 5 sabiendo que el trmino central es igual a la media geomtrica de los extremos mas uno.Recordarmos que la media geometrica de dos nmeros es la raiz cuadrada del producto.Sean a1, a2 y a3. La media geomtrica sera la raiz cuadrada de a1 * a3a1 * a3 = (a2 - 1)2 ; d = 5;La progresin podramos escribirla: a1, a2, a3 tambin as: a - 5, a, a + 5a1 * a3 = (a2 - 1)2; (a - 5)(a + 5) = (a - 1)2; a2- 25 = a2+ 1 - 2a- 25 = 1 - 2a; 2a = 26; a = 138, 13, 18

160. En un parque hay 50 filas de rboles y se sabe que la diferencia entre el nmero de rboles de una fila y el del anterior es constante y adems que en la fila ocho hay 41 y en la quince 62. Hallar; 1) La diferencia entre le nmero de rboles de dos filas consecutivas; 2) Valor de la plantacin si cada rbol vale 100 pesetas.Sabemos que es una progresin aritmtica, porque la diferencia es constante.n = 50; a8 = 41; a15 = 62; d = ?; S = ? precio = ? Una progresin podra tener como primer trmino a8 = 41; ltimo termino a15 = 62 y n = 8a15 = a8 + (n - 1) * d; 62 = 41 + 7d; 21 = 7d; d = 3Como sabemos cunto vale a8, hacemos que ste sea el ltimo;41 = a1 + (n - 1) * d; 41 = a1 + 7 * 3; a1 = 41 - 21; a1 = 20an = 20 + 49 * 3; an = 20 + 147; an = 167; S = (20 + 167) * 50 / 2; S = 187 * 25; S = 4675d = 3; 467.500 pesetas

161. Formar una p.a. de 6 trminos, sabiendo que su suma es 69 y la diferencia entre los extremos es 15.n = 6; S = 69; an - a1 = 15an= a1 + 5d; an - a1 = 5d; pero como an - a1 = 15, resulta que 15 = 5d; d = 369 = (a1 + an) * 6 / 2; 69 = (a1 + an) * 3; 23 = a1 + an;si an + a1 = 23, y an - a1 = 15, resulta que 2an = 38; an = 19; 19 - a1 = 15; a1 = 4 4, 7, 10, 13, 16, 19

162. La suma de los once trminos de una p.a. es 220. Sabiendo que la diferencia entre el ltimo y el primero es 30, formar la progresin.n = 11; S = 220; an - a1 = 30an= a1 + 10d; an - a1 = 10d; pero como an - a1 = 30, resulta que 30 = 10d; d = 3220 = (a1 + an) * 11 / 2; 440 = (a1 + an) * 11; 40 = a1 + an;si an + a1 = 40, y an - a1 = 30, resulta que 2an = 70; an = 35; 35 - a1 = 30; a1 = 5 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35

163. La suma de 10 trminos de una p.a. es 205. La diferencia entre el ltimo y el primero es 27. Formar la progresin.n = 10; S = 205; an - a1 = 27an= a1 + 9d; an - a1 = 9d; pero como an - a1 = 27, resulta que 27 = 9d; d = 3205 = (a1 + an) * 10 / 2; 205 = (a1 + an) * 5; 41 = a1 + an;si an + a1 = 41, y an - a1 = 27, resulta que 2an = 68; an = 34; 34 - a1 = 27; a1 = 7 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34

164. En una p.a. de once trminos, la suma de stos es 176, y la diferencia entre el ltimo y el primero es 30. Formar la progresin.n = 11; S = 176; an - a1 = 30an= a1 + 10d; an - a1 = 10d; pero como an - a1 = 30, resulta que 30 = 10d; d = 3176 = (a1 + an) * 11 / 2; 352 = (a1 + an) * 11; 32 = a1 + an;si an + a1 = 32, y an - a1 = 30, resulta que 2an = 62; an = 31; 31 - a1 = 30; a1 = 1 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31

165. En una p.a. creciente la diferencia entre el ltimo y el primer trmino es 20. La razn es igual al nmero de trminos y la suma de stos es 65. Hallarla.n = d; S = 65; an - a1 = 20an= a1 + (n - 1) *n; an - a1 = n(n-1); pero como an - a1 = 20, resulta que n(n-1) = 20;y resolviendo la ecuacin de segundo grado resulta que n = d = 565 = (a1 + an) * 5 / 2; 130 = (a1 + an) * 5; 26 = a1 + an;si an + a1 = 26, y an - a1 = 20, resulta que 2an = 46; an = 23; 23 - a1 = 20; a1 = 3 3, 8, 13, 18, 23

166. El segundo y el noveno trmino de una p.a. suman 29 y el tercero con el duodcimo suman 41. Calcular los cuatro trminos.a2 + a9 = 29a3 + a12 = 41pongo a todos los trminos en funcin de a1, mediante an= a1 + (n - 1) *n; a1 + d + a1 + 8d = 29a1 + 2d + a1 + 11d = 412a1 + 9d = 292a1 + 13d = 41restando la primera ecuacin de la segunda, obtenemos 4d = 12; d = 3sustituyendo en cualquiera, por ejemplo en la primera, resulta 2a1 + 27 = 29; 2a1 = 2; a1 = 1y como a2 = a1 + d, resulta que a2 = 1 + 3; a2 = 4a2 = 4; a3 = 7; a9 = 25; a12 = 34

167. Una p.a. de doce trminos es tal que la suma de sus once primeros trminos es 253. Sabiendo que la semidiferencia entre dos trminos consecutivos es 2, hallar el ltimo termino.n = 12; S11 = 253; (a2 - a1) / 2 = 2; an = ?(a2 - a1) / 2 = 2; d / 2 = 2; d = 4mediante an= a1 + (n - 1) *n calculo a11; a11 = a1 + 40; S = (a1 + a1 + 40) * 11/ 2 = 253; 23 = (2a1 + 40) / 2; 23 = a1 + 20; a1 = 3a12 = a1 + 11d; a12 = 3 + 11 * 4a12 = 47

168. La razn de una p.a. aritmtica creciente es 2 y 11 el nmero de trminos. Averiguar el primer trmino y la suma de los 11, sabiendo que el ltimo termino es igual al cuadrado del primero.d = 2; n = 11; a1 = ?; S11 = ?;an = a12mediante an= a1 + (n - 1) *n calculo an; a12 = a1 + 20; a12 - a1 -20 = 0; resolviendo la ecuacin resulta a1 = 5 an = 12; an = 25; S = (a1 + an) * n / 2; S = (5 + 25) * 11 / 2; S = 30 * 11 / 2; S = 165; a1 = 5

169. Los tres lados de un tringulo rectngulo estn en p.a. de razn 3. Hallarlos.n = 3; d = 3; ;an = ?;a1 = ?; a2 = ?deberemos recordar el teorema de Pitgoras: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.Los lados del tringulo sern: x - 3; x; x + 3(x + 3) 2 = x2 + (x - 3)2; x2 + 9 + 6x = x2 + x2 + 9 - 6x x2= 12x; x = 129, 12 y 15

170. Los lados de un tringulo rectngulo estn en p.a. de razn 2, calcula las medidas.n = 3; d = 2; ;an = ?;a1 = ?; a2 = ?deberemos recordar el teorema de Pitgoras: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.Los lados del tringulo sern: x - 2; x; x + 2(x + 2) 2 = x2 + (x - 2)2; x2 + 4 + 4x = x2 + x2 + 4 - 4x x2= 8x; x = 86, 8, y 10

171. La suma de los 5 primeros trminos de una p.a. es 75 y la suma de los 7 primeros es 129'5. Calcular el primer trmino y la razn.S5 = 75; S7 = 125; ;an = ?;a1 = ?;Referiremos los ltimos trminos al primero.S5 = (a1 + a5) * 5 / 2; S5 = (a1 + a1 + 4d) * 5 / 2S7 = (a1 + a7) * 7 / 2; S7 = (a1 + a1 + 6d) * 7 / 275 = (2a1 + 4d) * 5 / 2; 150 / 5 = 2a1 + 4d; 30 = 2a1 + 4d129'5 = (2a1 + 6d) * 7 / 2; 259 /7 = 2a1 + 6d; 37 = 2a1 + 6dRestando miembro a miembro, resulta; 2d = 4; d = 3'5Sustituyendo en 30 = 2a1 + 4d, resulta: 30 = 2a1 + 14; 2a1 = 16 a1 = 8; d = 3'5

172. Los tres primeros trminos de una p.a. son 12, 16 y 20. Calcular el nmero de trminos que hay que aadirle para que la suma total sea 300.a1 = 12; a2 = 16 ;a3 = 20;n = ?; S = 300Podemos deducir facilmente que d = 4;an = a1 + (n - 1) * d; an = 12 + (n - 1) * 4; sustituimos este valor en la suma:S = (a1 + an) * n / 2; 300 = (12 + 12 + 4n - 4) * n / 2; 600 = (20 + 4n) * n600 = 20n + 4n2; n2 + 5n - 150 = 0Al resolver esta ecuacin, resulta que n = 10Deberemos aadir 7 trminos a la sucesin173. La suma de los 12 primeros trminos de una p.a. es 157'8 y el cuarto trmino es 8'9. Calcular el sptimo y el onceavo.S12 = 157'8; a4 = 8'9 ;a7 = ?; a11 = ?;an = a1 + (n - 1) * d; a12 = a1 + 11 * d; sustituimos este valor en la suma:S = (a1 + an) * n / 2; 157'8 = (a1 + a1 + 11d) * 12 / 2; 157'8 = (2a1 + 11d) * 626'3 = 2a1 + 11d; y como a4 = a1 + 3d; 8'9 = a1 + 3d; o tambin 17'8 = 2a1 + 6drestando miembro a miembro, resulta: 5d = 8'5; d = 1'7pero como 8'9 = a1 + 3d; si sustituimos: 8'9 = a1 + 5'1; a1 = 3'8a7 = a1 + 6d; a7 = 3'8 + 10'2; y a11 = a1 + 10d; a11 = 3'8 + 17 a7 = 14; a11 = 20'8

174. La suma de los trminos de una p.a. de trminos positivos es 199'5, el ltimo trmino es 24 y la diferencia entre dos trminos consecutivos es 1'5. Calcular el nmero de trminos y el primero.S = 199'5; an = 24 ;d = 1'5; a1 = ?; n = ?an = a1 + (n - 1) * d; 24 = a1 + (n - 1) * 1'5; sustituimos este valor en la suma:S = (a1 + an) * n / 2; 199'5 = (a1 + 24) * n / 2; 399 = (24 - 1'5n +1'5 + 24) * n1'5 n2- 49'5n + 399 = 0; 3 n2- 99n + 798 = 0; n2- 33n + 266 = 0; n = 14pero como 24 = a1 + (n - 1) * 1'5; si sustituimos: 24 = a1 + 13 * 1'5; a1 = 24 - 19'5; a1 = 4'5; n = 14

175. Tres nmeros en p.a. creciente tienen por producto 45 y el ms pequeo es 1. Cules son los otros dos?(x- d) * x * (x + d) = 45x - d = 1; x = 1 + d1 * (1 + d) * (1 + 2d) = 451 + 2d + d + 2d2= 45; 2d2 + 3d - 44 = 0rersolviendo la ecuacin resulta que d = 41; 5; 9

176. La suma de tres nmeros en p.a. es 21 y el producto 280. Formarla.(x- d) + x + (x + d) = 21;3x = 21; x = 7(x- d) * x * (x + d) = 280(7- d) * 7 * (7 + d) = 280;7 * (49 - d2) = 280; 49 - d2 = 40; d2= 9; d = 34, 7, 10