ARITMTICA

ARITMTICARAZONES Y PROPORCIONES

RAZN: Es la comparacin que se establece entre dos cantidades, mediante las operaciones de sustraccin o divisin.Ejemplo: Comparar las edades de Maria y Elena que son 36 y 12 aos respectivamente. Por Sustraccin:

MariaElena 36 - 12 = 24

Interpretacin: La edad de Maria excede a la de Elena en 24 aos. Por Divisin: Maria 36 = 3 Elena 12

Interpretacin:Maria tiene 3 veces la edad de Elena.En general: Sean las cantidades a y b.

RAZN ARITMTICARAZN GEOMTRICA

Determina en cuanto excede una cantidad a la otra, y se obtiene mediante la sustraccin.

a b = rDetermina cuantas veces cada una de las cantidades est en la unidad de referencia, y se obtiene mediante la divisin.

Donde: a y btrminos de la razn aAntecedente bConsecuente rValor de la razn aritmtica KValor de la razn geomtrica

Observacin: Sean a y b cantidades tal que:

Significa que: a es como 3 y b es como 5 a y b estn en relacin de 3 a5. Por cada 3 unidades de a, hay 5 unidades de b; es decir:Si: a = 3entonces b = 5Si: a = 6entonces b = 10Si: a = 9entonces b = 15. En general:

Si: a = 3k entonces b = 5kNota:Cuando se mencione solamente razn o relacin se debe entender que se hace referencia a la razn geomtrica.

SERIE DE RAZONES GEOMTRICAS EQUIVALENTES

Observemos las siguientes razones:

; ; ; Todas tienen el mismo valor numrico, por tanto son equivalentes, y se puede formar con ellos una Serie de razones geomtricas equivalentes:

2Donde: 6, 10, 8 y 18Antecedentes 3, 5, 4 y 9Consecuentes 2Constante deProporcionalidad (k)

A = akB = bkC = ckD = dkPropiedades Generales:P.1. Si:

Antecedente = Consecuente x k

P.2. Si: , entonces:

P.3. Si: , entonces:

,

Donde: n es el numero de razones geomtricas que se multiplican.Observacin: En la siguiente serie de razones geomtricas equivalentes:

Se observa que el primer consecuente (24) es igual al segundo antecedente, el segundo consecuente (36) es igual al tercer antecedente y as sucesivamente. A este tipo de serie se le denomina Serie de razones geomtricas continuas equivalentes.

a = ek4b = ek3c = ek2d = ekEn general:

Si:

PROPORCIN:Es la igualdad en valor numrico, de dos razones de la misma clase.

Ejemplos: * 8 - 2 = 15 - 9

* En general:Donde: * a y d Trminos extremos* b y c Trminos medios

Adems: a b c d

1er trmino 2do trmino 3er trmino 4to trmino

Observacin:Una proporcin dependiendo de sus trminos medios puede ser: Discreta o Continua

PROPORCIN ARITMTICA

DiscretaContinua

Extremos

a b = c d

Medios

d: Cuarta diferencial de a, b y c.Extremos

a b = c d

Mediosb: Media diferencial o media aritmtica de a y c

c: Tercera diferencial de a y b.

PROPORCIN GEOMTRICA

DiscretaContinua

d: Cuarta proporcional de a, b y c.

b: Media proporcional o media geomtrica de a y c.

c: Tercera proporcional de a y b.

PROPIEDADES:

Si:

APLICA LO APRENDIDONIVEL I

1) La razn de 2 nmeros es de 7 a 3. Cul ser la razn entre la suma de cuadrados y la diferencia de cuadrado de dichos nmeros?Rpta2) La edad de Pepe es a la edad de Luis como 5 es a 6, despus de cierto tiempo sus edades estn en la relacin de 9 a 10. En que relacin estn el tiempo transcurrido y la edad inicial de Luis?Rpta3) A una fiesta asisten 400 personas entre hombres y mujeres, asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres. Luego de 2 horas, por cada 2 hombres hay una mujer. Cuntas parejas se retiraron?Rpta4) El producto de 3 nmeros es 5832. si el primero es al segundo como el segundo es al tercero. Hallar el segundo nmero.Rpta5) Dos motociclistas parten de un mismo punto en direcciones opuestas, transcurridos los primeros 45 minutos la razn de la distancia a su punto de partida es de 3 a 5, y a los 30 minutos siguientes se encuentran distanciados 80 km. Cul es la diferencia de sus velocidades en km/hora?Rpta6) Pedro y Pablo parten simultneamente uno al encuentro del otro de dos puntos A y B que distan 550 m y con velocidades iniciales que son entre si como 4 es a 7 respectivamente. Si inmediatamente despus del cruce la relacin de velocidades cambia: es de 5 a 8, siendo Pablo el ms veloz. Calcular la distancia de A al punto en el cual luego del cruce Pedro se encuentra separado de Pablo 195 m.Rpta7) A una fiesta asistieron 240 personas, se sabe que por cada 38 hombres hay 10 mujeres. Si por cada 10 personas que beben, 6 sean hombres y por cada persona que bebe consumi 3 botellas de cerveza Cuntas mujeres no bebieron en dicha reunin si se compraron 10 docenas de cervezas?Rpta8) Un asunto fue sometido a votacin de 1200 personas y se perdi, aduciendo fallas en el proceso electoral, nuevamente votan las mismas personas, siendo favorable el asunto. Se observo que el caso fue ganado por el doble de votos por el que se haba perdido la primera vez, y la nueva mayora fueron respecto a la anterior como 8 es a 7. Cuntas personas cambiaron de opinin?Rpta

9) Dos personas salen simultneamente de 2 ciudades A y B y van uno en direccin de la otra. La primera persona anda 2 km/h mas de prisa que la segunda, llega a B una hora antes de que la segunda, llega a A. la distancia entre A y B es 24 km. Cuntos kms recorre cada una de las personas en 1 hora? Dar como respuesta la suma de dichas distancias.Rpta10) En una academia la relacin de hombres y mujeres es 2 : 5, la relacin del semestral es 7 : 3 Cul es la relacin de los hombres que estn en el semestre y el total de alumnos?RptaNIVEL II01) Si:

Entonces p2 + m2 es igual a: a) n2b) nc) a2d) a2 + b2e) b2 + c2

02) Dos negociantes de vinos ingresan al Per, portando uno de ellos 64 botellas de vino y el otro 20. como no tienen suficiente dinero para pagar los derechos de Aduana el primero paga con 5 botellas de vino y S/. 40.00 y el segundo con 2 botellas de vino pero este recibe de vuelto S/. 40.00. Cul es el precio de cada botella de vino?

a) S/. 120b) S/. 50c) S/. 110d) S/. 105e) S/. 95

03) Tres recipientes cilndricos de volmenes diferentes, pero geomtricamente semejantes, cuyas alturas son entre si como 1, 2 y 3 contiene agua, en cantidad proporcional a su altura. Se trasvasa el agua de modo que el nivel sea el mismo en los 3 recipientes. Se hace pasar ahora 9 litros de agua del terceral primer recipiente y se observa que el segundo contiene 2 veces el volumen que contiene el primero. Se pide el volumen que inicialmente tenia el tercer recipiente.a) 81 Lb) 42 Lc) 63 Ld) 20 Le) N.A.

04)

Si se tiene: (K Z) si , siendo igual en trminos a una de las razones dadas, calcular: a) 1b) 2c) 3d) 4e) 605) Se tiene una serie de 3 razones geomtricas equivalentes. El producto de las sumas de c/u de las razones es 64. hallar la suma de la media geomtrica de antecedentes y de la geomtrica de consecuentes.a) 2b) 4c) 6d) 6e) 10

06) Los 3 nmeros positivos en progresin aritmtica que aumentan en 3, 3 y 7 respectivamente forman una progresin geomtrica de suma 28, son:a) 6, 5 y 4b) 1, 5 y 9c) 5, 9 y 13d) 5, 7 y 9e) N.A.

NIVEL III

1. A los numerales 260; 244 y 292 se le suman y restan: a, b y c respectivamente, para obtener los antecedentes y consecuentes de tres razones equivalentes. Hallar la constante de proporcionalidad, si se sabe que es un entero positivo y a, b y c tambin son enteros. a) 3/5b) 2c) 3d) 8 e) 12

2.

Si se tiene: ; .

Hallar: .a) 1/8b) 3c) 8d) 1/3 e) 3/7

3. 2/5 es la razn geomtrica de la edad que yo tena hace 15 aos y la edad que t tendrs cuando yo tenga el cudruple de la edad que t tienes y que numricamente es igual a la edad que ahora tengo. Cul ser la relacin de nuestras edades dentro de 15 aos?:a) 7/5b) 7/3c) 11/6d) 8/5 e) 8/3

MAGNITUDES PROPORCIONALES

I.MAGNITUDPara nuestro estudio, se entiende como magnitud a todo aquello que experimenta cambios o variacin, el cual puede ser medido o cuantificado (magnitud matemtica).

II.CANTIDADEs un estado particular de la magnitud en un determinado momento del anlisis, el cual resulta de medir (cuantificar) la variacin, expresado en ciertas unidades de medida.Ejemplo:

MAGNITUDCANTIDAD

Longitud 4m; 25 cm; . . . . . . .

Masa 8kg; 1400g;. . . . . .

Tiempo6s; 10h; . . . . . .

Volumen7m3; 15l;. . . . . .

Costo 20 soles; 600 soles;..

N de Obreros 8; 12; 40;. . . . . . . .

III.MAGNITUDES PROPORCIONALESDos magnitudes son proporcionales cuando al variar una de ellas, entonces la otra tambin vara en la misma proporcin.De acuerdo a la forma como se da la variacin, las magnitudes proporcionales se clasifican en:*Magnitudes Directamente Proporcionales.*Magnitudes Inversamente Proporcionales.

Magnitudes Directamente Proporcionales (D.P.)Dos magnitudes son directamente proporcionales, cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes en la otra magnitud tambin aumentan o disminuyen en la misma proporcin.

*Notacin:

Se lee: A es directamente proporcional a BA D.P. BAB

*Condicin:

Si: A D.P. BDonde: K = Constante de Proporcionalidad.

a3a2a1b1b2b3BA*Interpretacin Geomtrica

-La grfica de 2 magnitudes D.P. es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

-Exceptuando el origen de coordenadas, se verifica:

-La funcin de proporcionalidad directa ser:

F(x) = KX

Magnitudes Inversamente Proporcionales (I.P.)

Dos magnitudes son inversamente proporcionales, cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes en la otra magnitud disminuyen o aumentan en la misma proporcin.

Se lee: A es inversamente proporcional a B*Notacin:A I.P. BA-1B

*Condicin:Si: A I.P. BA . B = K

*Interpretacin Geomtrica

a3a2a1b1b2b3A.B. = KBA

-La grfica de 2 magnitudes I.P. es una rama de hiprbola equiltera.

-Se verifica: a1. b1 = a2. b2 =. . . . . . . = an. bn = K-La funcin de proporcionalidad inversa ser:

F(x) = Propiedades:

P.1)A D.P. BB D.P. AC I.P. DD I.P. C

P.2)A D.P. BA I.P.P.3)Cuando se tienen ms de 2 magnitudes como: A, B, C y D; se analizan dos a dos, tomando a una de ellas como referencia para el anlisis y manteniendo a las otras en su valor constante.*A D.P. B (C y D constantes)*A I.P. C (B y D constantes)*A D.P. D (B y C constantes)

Aplicacin en los Sistemas de Engranajes

CASO I: Cuando estn en contacto (engranan)

AB

(#dA) . (#vA) = (#dB) . (#vB)CASO II: Cuando estn unidos por un eje comn.

BA

#vA = #vB

APLICA LO APRENDIDO

NIVEL I

01) La de formacin producida por un resorte al aplicarse una fuerza es DP a dicha fuerza. Si a un resorte de 30 cm de longitud se le aplica una fuerza de 3N, su nueva longitud es 36 cm. Cul ser la nueva longitud del resorte si se le aplica una fuerza de 4N?Rpta02) El costo de un terreno es IP al cuadrado de la distancia de Lima al terreno y DP a su rea. Un cierto terreno cuesta 500 mil y otro terreno de doble rea y situada a una distancia cuadruple que la anterior costar:Rpta03) Se sabe que A es dp al cuadrado de B y el cubo de C es inversamente proporcional con la raz cuadrada de F. Del cuadro, determinar el valor de x + y.

MagnitudesCantidades

AX108324

B524

C2x3xY

F25916

Rpta

04) El nmero de cuadernos que se produce en una fbrica es proporcional al nmero de cuadrados fabricado el ao anterior. Si en el 93 se fabricaron 30 000 cuadernos y en el 94 se fabricaron 18 000. Cuntos se fabricaron el ao 95?Rpta05) Se ha comprobado estadsticamente que el rendimiento de un empleado es DP a su coeficiente intelectual y es inversamente proporcional al cuadrado de su edad. Si Nano, de 20 aos, hace un promedio de 25 000 sandwiches semanales, se desea saber a que edad Nano hace 24 000 sandwiches semanales, si su coeficiente intelectual aumenta anualmente en un 10% del que tenia a los 20 aos.Rpta06) La siguiente figura muestra la grfica de 2 magnitudes directamente proporcionales: la produccin de una fabrica respecto al nmero de obreros. La primera recta que se ha obtenido con obreros experimentados, y la segunda con obreros nuevos. La gerencia desea averiguar en primer lugar.Cul seria su produccin de 60 obreros experimentados, en segundo lugar, cuantos obreros nuevos necesitara para producir con 1760 artculos?Rpta

Rpta

07) Cul de los siguientes grficos indica una funcin de proporcionalidad directa o inversa?

Rpta08) Cul de los siguientes grficos indica una funcin de proporcionalidad directa o inversa?

Rpta

09) Cul es el precio de un diamante que vale 55 000 soles, si uno de 6 kilates cuesta 19 8000 y el precio es proporcional al cuadrado de su eso (tmese 1 kilate igual a 0,25 grs.)?Rpta

010) El costo de un artculo (C) es igual a la suma de gastos en materia prima (G) y salario (S). el gasto de materia prima es inversamente proporcional a la cantidad de maquinaria (Q) que se tiene y el salario es directamente proporcional al nmero de horas trabajadas por da (H).Si Q = 2; H = 6 entonces C = 12 y Q = 4; H = 9 entonces C = 16; Cuntas horas se debe trabajar para que C = 23; si Q = 6?Rpta

NIVEL II

01) La figura muestra la produccin de una tubera de 1 de dimetro a otra de de dimetro. Se pide: A) Por cual de las 2 secciones pasa mas agua?B) E n que relacin se encuentran las velocidades en las secciones que se muestran (1 y 2)?

a) Por 1; 9 a 16b) Por 2; 16 a 9c) Por las 2 pasa lo mismo; 3 a 4d) Por las 2 pasa lo mismo; 9 a 16e) Por las 2 pasa lo mismo; 5 a 2

02) El nmero de obreros requeridos para construir un edificio, depende del volumen de concreto que interviene en la obra; del cociente racional de dificultad del nmero de das y el nmero de horas diarias de labor. Si el volumen de concreto se reduce a sus 2 terceras partes, la dificultad se reduce a sus parte; el nmero de das se triplica, el nmero de horas diarias de labor se duplica. En que relacin se encontraran los nmeros de obreros requeridos en ambos casos?

a) 1 a 15b) 1 a 20c) 1 a 30 d) 1 a 5e) N.A.

03) Si la magnitud A es directamente a la magnitud B y la magnitud C es directamente proporcional a (a +b); si cuando A aumenta en 2 unidades; B aumenta en 5 unidades y C en 3 unidades. Hallar C cuando A toma el valor 20

a) 30b) 20 c) 40d) 21e) 32

04) La magnitud A es IP a B2. las variaciones de A y B estn dados en la siguiente tabla de valores:

A3a144c9

B6b2a

Hallar: a + b + c

a) 15b) 12c) 339d) 335e) 340

05) La fuerza de sustentacin sobre el ala de un avin es DP a su rea y al cuadrado de su velocidad. Si se aumenta el rea en un 20% y se reduce la velocidad en un 10 % Qu sucede con la fuerza de su tentacin?

a) Disminuye 4,1%b) Aumenta 2,8%c) Disminuye 2,8 %d) Aumenta 3,7 %e) N.A.NIVEL III01. Los padres de una quinceaera descubren que el gasto que realizarn en el desarrollo de la fiesta de su hija est en relacin directa al nmero de personas (familiares y amigos) que sern invitados e inversamente proporcional al tiempo que emplearn en preparar dicha fiesta. Si inicialmente proyectaron gastar S/. 2 400 invitando a 120 personas y empleando 10 das en realizarla. A cuntos amigos finalmente se invit, si se gast S/. 100 ms y se emple 2 das menos de lo que haban proyectado? Adems se sabe que el padre orden que por cada 3 familiares se invite a 2 amigos.a) 40b) 60c) 30d) 20e) 100

02. En un barco pesquero se observa que la cantidad de peces atrapados por hora, es D.P al tiempo transcurrido hasta la hora 6 de trabajo, a partir de all en adelante es I.P al tiempo total transcurrido hasta la hora 10 de trabajo, de donde a partir de all regres a su normalidad. Si hasta la hora 3 de trabajo se extrajo 2100 peces. Calcule la cantidad de peces que se extrajo en la hora 15.a) 3760 b) 3780 c) 3770 d) 3790 e) 3800

03. A continuacin se muestran las variaciones de los valores de dos magnitudes A y B.

A26101230

Bm18n72450

Calcular: m + n

a) 52b) 50c) 48d) 40e) 60

REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA

Mtodo que nos permite resolver problemas en los cuales intervienen magnitudes directas o inversamente proporcionales. Pueden ser:

4.1. Regla de tres simple: Conociendo tres elementos, dos pertenecientes a una magnitud y el tercero al otro, se debe calcular el cuarto elemento.

4.2. Regla de tres compuesta: Aquella donde interviene ms de dos magnitudes proporcionales.

Pasos a seguir:a. Se reconocen las magnitudes que intervienen en el problema.b.En la primera fila se colocan los datos y en la segunda fila los dems datos incluido la incgnita.c.Se compara la magnitud donde se encuentra la incgnita con cada una de las dems, indicando en su parte inferior si es directamente proporcional por DP y si es inversamente proporcional por IP.d.Se despeja la incgnita multiplicando la cantidad que se encuentra sobre ella por las diferentes fracciones que se forman en cada magnitud. Si son IP se copa IGUAL y si son DP se copia DIFERENTE.

Ejemplo: Cinco obreros trabajando 18 das de 8 horas diarias pueden asfaltar 600 m de una pista. Cuntos das emplearan 7 obreros trabajando 10 horas diarias para asfaltar 2800 m de la misma pista?

# Obreros# Das# h/dOBRA

5188600 m

7x102800 m

x = 48 das.APLICA LO APRENDIDONIVEL I

01) Dos cronometristas midieron el tiempo que duro una competencia discrepando en un dcimo de minuto. Se sabe que un de los cronmetros adelantan segundo en una hora mientras que el otro retrasa segundo en 2 horas. Que tiempo duro la competencia?Rpta

02)

Se tiene dos depsitos con lquidos de la misma naturaleza, pero de precios diferentes, el primero contiene A litros y el segundo B litros. Se saca de cada uno la misma cantidad y se echa en el primero lo que se saca del segundo y, recprocamente. Qu cantidad ha pasado de un depsito al otro si el contenido de los 2 ha resultado de la misma cantidad? Obs: Media Armnica; Media Aritmtica. Rpta03) Se contrataron 10 obreros para embaldosar, pero estos se retiraron luego de trabajar 4 das, pero solo faltaba embaldosar un cuadrado de 4m de lado. Se encontraron entonces 2 obreros que terminaron el trabajo en 2 das. Cul es la habilidad de estos comparada con los anteriores?Rpta04) Un grupo de 15 obreros se han comprometido a realizar una obra en 18 das; trabajan juntos 10 das, al trmino de los cuales se retiran 5, no encontrndose su reemplazo hasta despus de 3 das en que se incorpora una cantidad adecuada de obreros para terminar la obra en el plazo fijado. Si a los obreros que se incorporan les pagan 50% mas que los otros. Cunto es el jornal de cada obrero antiguo, si el ltimo da se pago S/. 660 en jornales?Rpta

05) Se ha fabricado 60 m3 de mortero formado por arena y pasta de cal. Calcular el peso de la cal viva, el volumen de la arena y los hectolitros de agua que han entrado en dicha fabricacin. Los volmenes de arena y cal viva estn en relacin de 5 a 4 y 1 m3 de cal viva pesa 600 kg y necesita 2 m3 de agua para formar pasta; 60 kg de cal viva producen, con el agua; 0,360 m3 de pasta. La pasta debe rellenar los restos (huecos) de la arena, que representa el 40% del volumen de esta.Rpta

06) Las capacidades de 2 hornos son entre si como 5 es a 2, la potencia calorfica del Coke es a la de la hulla como 8 es a 11. en el horno mayor se quema Coke en la proporcin de 175 kg por cada 4100 kg de fundicin sabiendo que el rendimiento de este horno es de 36000 kg de fundicin por da a horas 12 de trabajo calcular: la cantidad de fundicin que produce el horno menor a 18 horas de trabajo por da.Rpta

07) La cantidad de hulla necesaria para esta operacin (en el problema anterior) es:Rpta

08) Se tiene en 3 prados: A; B y C cuyas superficies son 3; 4 y 6 Has, respectivamente. La hierba crece en todos los prados con igual rapidez y espesura. Noventa vacas comen la hierba del prado A en 12 das, 60 vacas comen la del prado B en 30 das. Se desea saber, a cuantos das 30 de las vacas se comentan la hierba del prado C.Rpta

09) Una cuadrilla de 40 obreros ha hecho 400 m de una carretera durante un cierto nmero de das, trabajando 8 hrs diarias; otra cuadrilla de 60 obreros ha hacho 675 m de la carretera; trabajando solamente 6 hrs diarias, durante un cierto tiempo, si los tiempos que han demorado las 2 cuadrillas en hacer sus obrar suman 25 das. Qu tiempo emplea cada cuadrilla en hacer su obra?Rpta

010) Una obra fue realizada por 4 hombres; 6 mujeres y 3 nios trabajando 8; 6 y 5 horas diarias; respectivamente, durante 20 das. Calcular en Cuntos das ms terminar la obra, si trabajan solo los hombres y estos disminuyen en 3 horas diarias su trabajo; si las eficiencias entre hombres, mujeres y nios son proporcionales a 30; 20 y 10 respectivamente?RptaNIVEL II

011) Un cao puede llenar un cilindro de agua de 120 litros en 30 min.; mientras que otro llena el mismo cilindro en 5 minutos menos. Qu capacidad tendr una tina que es llenada por 2 caos en 3 horas, 30 minutos?012) a) 1488 L b) 1500 L c) 1800 Ld) 1740 L e) 1848 L

013) Un burro atado a una cuerda de 10 m. de longitud puede comer la hierba que esta a su alcance en 2 das. La hierba tiene una pareja uniforme, y devorara todo lo que estuviese a su alcance en, si la longitud de la cuerda fuera de 25 metros y la altura de la hierba, de 0,6 m.a) 14 das b) 15 das c) 16 das d) 17 das e) 18 das

014) Se tiene 200 monedas, de las cuales 60 son de un nuevo sol y los restantes de 5 soles. Cuntas moneas de 5 soles se pueden aadir para que por cada 20 monedas de 5 soles haya una de 1 sol? (1 de un sol)a) 260b) 250c) 240d) 200e) 220015) Una brigada de 30 obreros se comprometen hacer 30 m. de una zanja en 30 das; a los 5 das de empezado el trabajo se aumenta 5 obreros y 10 das despus se aumenta 5 obreros mas. Cul es el tiempo empleado en hacer la obra?a) 10b) 15c) 20d) 25e) 30

016) Se sabe que 10 obreros producen 80 chompas en 5 das, se quiere producir con dichos obreros 800 chompas, pero se les da un plazo de 20 das para la entrega, por lo que se decide contratar una cantidad adicional de obreros que trabajaran desde el noveno da hasta 2 das antes del da de entrega. Calcular el nmero de obreros que se contrataron.a) 10b) 20c) 30d) 40e) 50

NIVEL III

017) Un toro y una vaca tienen para comer juntos un terreno lleno de alfalfa. Si el toro en n das y p horas por da, ha comido un cuarto de la alfalfa y la vaca empleando 4 horas ms por da, se comera el resto en 39 das, hallar n + p, si n y p son enteros y los menores posibles.a) 26b) 24c) 35d) 28e) 30

018) Veinte tejedoras pueden tejer 120 chompas en 15 das trabajando 8 h/d y 8 tejedoras pueden destejer 100 chompas en 6 das trabajando 5 h/d con un rendimiento del 80%. Determinar con qu rendimiento deben trabajar 5 tejedoras en 10 das trabajando 4 h/d para destejer las chompas que haran 10 tejedoras en 20 das trabajando 6 h/d?a) 57,6%b) 57,2% c) 51,2%d) 57,5%e) 52,5%

019) Cuando faltaban 21 das para culminar una obra, 9 obreros se retiran y 8 das despus contratan x obreros, terminndose la obra 7 das antes. Calcular el menor valor de x.a) 18b) 21c) 22d) 28e) 35

PROMEDIOS

Es un valor que representa a un conjunto de datos (cantidades o nmeros); dicho valor no es inferior que el menor de los datos, ni superior que el mayor de los datos. Es decir:

Menor Dato Promedio Mayor Dato

Promedios Importantes

Para n datos:a1, a2, a3,, an:1. Promedio Aritmtico o Media Aritmtica: ()

2. Promedio Geomtrico o Media Geomtrica: ()

3. Promedio Armnico o Media Armnica: ()

PROPIEDADES:

A) * Si todos los datos son iguales

* Si los datos presenta, al menos uno diferente:

Conclusin:

B) Para 2 datos: a y b

*

*

*

*

* (a b)2 = 4 . ()

APLICO LO APRENDIDO

NIVEL I

01) El promedio de 100 nmeros pares consecutivos es 129. Entonces, la diferencia entre el mayor y el menor de dichos nmero es:Rpta

02) La dcima parte de la carretera entre las ciudades A y B se desarrolla a travs de poblados y el resto en campo abierto. Si la velocidad lmite en los poblados es de 30 km/h y en campo abierto es de 90 km/h. Cul es la mxima velocidad promedio a que puede conducirse un vehculo entre A y B sin exceder la velocidad lmite?Rpta

03) El ingreso promedio del sector obrero en una empresa es de S/. 3000 mensuales. En un mes en curso hay un incremento de haberes del 10 % del haber anterior mas una bonificacin general de S/. 600, pero se decreta un descuento del 5% del haber actualizado pro-fondos en reconstruccin. El promedio actual es: Rpta

04) El promedio de las edades de 5 seoras es de 42 aos, ninguna de ellas es menor de 36 aos. Cul es la mxima edad que podra tener una de ellas?Rpta

05) Una compaa de 100 empleados en sus 3 secciones: A con 70 trabajadores que ganan S/. 2.50 por hora, B con 20 trabajadores que ganan S/. 3.25 por hora y C con 10 trabajadores. El promedio de ganancia de los trabajadores de las secciones B y C es de S/. 3.50 por hora. Sea m el promedio que ganan los 100 trabajadores y n el promedio que ganan los trabajadores de la seccin C. Hallar m + n.Rpta

06) En un grupo de 30 personas: el promedio de las edades de los 15 mayores es 42 y el promedio d los restantes es 28. si el promedio de los 10 mayores es 45 y el promedio de los 10 menores es 22. Cul es el promedio de los otros 10?Rpta

07) El salario mensual pagados a todos los trabajadores de una compaa fue de S/. 576. los salarios medios mensuales pagados a hombres y a mujeres de la compaa fueron S/. 600 y S/. 480 respectivamente. Si el nmero de trabajadores hombres aumenta en un 25% y el de las mujeres aumenta en un 40 % serian en total 480 trabajadores. Calcule el nmero inicial de hombres.Rpta

08)

El de 4 nmeros enteros y positivos diferentes entre si es . Hallar el de dichos nmeros.Rpta

09)

La de los cuadrados de 2 nmeros enteros consecutivos es 30. La de dichos nmeros es:Rpta

010) Si se sabe que:

Hallar la de A, B, CRptaNIVEL II

01) En una escuela las notas se califican de 0 a 20 (todas las notas son nmeros enteros) Juan tiene mas de la media y Luis tiene menos de la media. Si a las notas de ambos se les resta la tercera parte de la menor, entonces la diferencia mayor es 3 veces la diferencia menor. Hallar la nota mayor.a) 13b) 14c) 15d) 16e) 17

02) Las distancias Chosica Ticlio; Ticlio - La Oroya son de 90 km y 60 km, respectivamente; un tren pasa por La Oroya y a las 10:20 a.m y debe pasar por Chosica a las 2:05 si el camino hacia Ticlio lo recorri a velocidad promedio de 30 km/h. A que velocidad promedio (aproximadamente) debe ir luego para cumplir con el itinerario?a) 51,4 km/hb) 62,1c) 30d)20e) 45

03) Si se vendieron 100 ejemplares de El Comercio a S/. 3 cada uno y 150 ejemplares de El Chino a S/. 2 soles cada uno. Cul es el precio promedio de los diarios emitidos?

a) S/. 2,50b) S/. 2,40 c) S/. 2,30d) S/. 2,60 e) S/. 2,8004) El promedio de las edades de 3 personas es igual a x. si se agrega una cuarta persona, el promedio disminuye en 2. se puede afirmar que:i) La edad del cuarto es mayor que el promedio.ii)La edad del cuarto es menor que el promedio.iii)Por lo menos una persona es mayor que el cuarto.a) Solo ib) solo ii c) solo iiid) ii y iiie) i y ii

05) Un auto viaja de la ciudad A a la ciudad B que dista 280 km del siguiente modo: Los primeros 120 km los recorri a 40 km por hora, los siguientes 80 km los recorri a 60 km/h y el resto viajo a 80 km. Hallar la velocidad promedio del viaje.a) 72 kmb) 49 km c) 60 kmd) 52,5 kme) 64 km

NIVEL III

1. En un aula de 70 alumnos donde hay 50 varones, se sabe que si a cada uno de estos se la aumenta 3 aos y a cada una de las mujeres se le aumenta m aos, el promedio total de las edades aumentara en 3 aos; pero si cada varn tuviera 2 aos menos y los mismos cada mujer, el promedio total disminuira en n aos. En cunto vara el promedio total si cada varn tuviera m aos ms y cada mujer 2n aos menos?a) Aumenta 1 aob) Disminuye 1 aoc) No varad) Aumenta 2 aose) Disminuye 2 aos2. La diferencia de dos nmeros es 10. Si la diferencia de las razones geomtricas que se pueden formar con dichos nmeros es 6/6; hallar la media armnica de los mismos. a) 29b) 24c) 27d) 28 e) 32

TANTO POR CIENTO

Concepto:Es la cantidad de partes que se consideran de las 100 partes iguales, en que ha sido dividida la unidad.Ilustracin:Unidad dividida en 100 partes iguales

3 partes de 100 = 3%EN GENERAL:

= n% entonces n% de A = A

Ejercicios25% de 56=10% de 2120=50% de 184=28% de 625=ALGUNOS PORCENTAJES NOTABLES:

10%=75%= 25%=100%= 1 50%=200%= 2OPERACIONES CON PORCENTAJES

SUMAS Y RESTASMULTIPLICACIN

a% N b% N = (a b)% Na% b% =

Ejercicios23% E + 45% E=19% L + 20% L=43% I 18% I=T + 15%T=E 37% E=Ejercicios:10% 80%=45% 60%=28% 25%=40% 25% 32%=80% 15% 25% 100%=

APLICO LO APRENDIDO

NIVEL I

01) Qu porcentaje del triple del 50% de un mueco es el 30% del 20% del 20 por 50 del mismo nmero?

Rpta02) Qu porcentaje de un nmero que tiene por 20% al 50% de 60 es el 72% de otro nmero que tiene por 40% a 6 por 10 de 20?Rpta03) En un centro de estudios, el departamento de servicio social rebaja las pensiones a los estudiantes de bajos recursos econmicos en un 30% y aumenta en un 40% a los dems. Si el monto total de pensiones queda disminuido en un 10% con esta poltica. Qu porcentaje de pensiones (total) representa lo pagado por los estudiantes de bajos recursos?Rpta04) De un recipiente lleno de agua retiro el 40% de lo que no retiro y de lo he retirado devuelvo el 40% de lo que no devuelvo. Entonces ahora quedan 39 libros. Cuntos libros no devolv?Rpta05) Al vender un artculo se hacen 2 descuentos sucesivos del 10% y 20%, pero aun se gana el 20% hallar el costo de dicho articulo sabiendo que al fijar inicialmente su precio el costo se incrementa en S/. 500Rpta06) Tengo cierta cantidad de dinero. Si el primer da gasto el 43%. Qu porcentaje de la que me queda debo gastar al segundo da para que me quede con el 28,5% del dinero original?Rpta07) En una oferta, un comerciante disminuye el precio de un artculo en 25%, motivo por el cual la demanda aumenta en 60%. En que porcentaje vara la recaudacin?Rpta08) Sobre el precio de venta de un artculo se rebajo el 20% y el 30% y aun quedara un margen de ganancia del 40% del costo. Hallar el precio de venta que se dijo si el precio de costo fue de S/. 94000.Rpta09) Un artefacto, al venderse se le descuenta el 10%, luego e le recarga el 10%; pero se le devuelve a descontar el 10%, pagndose S/. 8910. Cul era el precio original?Rpta010) Dos recipientes A y B contienen vino, el recipiente A est medio lleno, el B en 1/3 de su volumen. Se completan con agua las capacidades de A y B vertindose la mezcla en un tercer recipiente C. sabiendo que la capacidad de B res el doble de A; determinar el tanto por ciento de vino que contiene la mezcla en C.RptaNIVEL II01) En un corral, el 40% son patos; el 35% son conejos y el resto, pavos. Si el nmero de patos se triplica y se duplica el de los otros 2. Que porcentaje del nuevo total son patos?a) 20,83%b) 40,6% c) 29,16%d) 50%e) N.A.

02) Si un lado de un cuadrado aumenta en 20%. En que porcentaje aumenta su rea?a) 20%b) 30%c) 36%d) 44%e) 48%

03) Si la base de un tringulo se triplica y su altura se duplica. En que porcentaje aumenta su rea?a) 200%b) 300% c) 400%d) 500%e) 900%

04) Si el largo y el ancho de un rectngulo aumentan en 20% y 25% respectivamente su rea aumenta en 2400 m2. hallar el rea inicial del rectngulo.a) 3600 m2b) 4800 c) 3200d) 4500e) 720005) Hallar el 25% del 120% del 60% del 15 por 45 de 1500.a) 150b) 120c) 80d) 60e) 90

NIVEL III

1. Un tabernero compra 20 hectolitros de vino a 8 000 el litro y quiere ganar el 15%. Ha vendido ya 1/8 a 9 000 el litro y los 4/7 del resto con un beneficio del 25%. En cunto deber vender el litro del vino que le queda para obtener la ganancia que se propuso?A) 8 800C) 8 200E) N.A.B) 10 000D) 9 000

2. Un comerciante compra cierta cantidad de mercancas por 35 400, vende un tercio con una prdida del 4%. Se pregunta en cuanto por ciento ha de aumentar el precio de venta para que una vez vendidas tenga un beneficio del 4% sobre el total de mercancas.A) 12%C) 13,8%E) N.A.B) 13%D) 12,5%

3. Un comerciante compra una refrigeradora y la vende ganando el 10% pero si la hubiera comprado con un descuento del 10% y lo vendiera por S/. 21 ms, la ganancia habra sido del 20% del precio de venta inicial. Cul es el precio de costo?A) S/. 840C) S/. 1 050E) S/. 720B) S/. 945D) S/. 900

REGLA DE INTERES

I. REGLA DE INTERSEs una parte de la Aritmtica Comercial que nos ensea a determinar la ganancia o utilidad que se obtiene al realizar un prstamo, inversin o imposicin de un capital a ciertas condiciones pre determinadas.

II. DEFINICIONES PREVIAS CAPITALEs toda cantidad de unidades monetarias invertida en una operacin financiera y por tanto, capaz de sufrir una variacin cuantitativa INTERESEs la ganancia o beneficio generado por un capital que ha sido depositado, prestado o invertido en forma productiva durante un determinado periodo (tiempo) y bajo ciertas condiciones financieras (Tasa de inters)

TASA DE INTERESEs un indicador, en tanto por ciento, que nos muestra la ganancia que se obtiene por cada 100 unidades monetarias en una unidad de tiempo. La tasa de inters puede ser mensual, anual, bimestral, trimestral, cuatrimestral, etc. TIEMPOIII. INTERS SIMPLE1. DEFINICIN Es la suma de los intereses; generados por unidad de tiempo durante el plazo de inversin, deposito o prstamo de un capital.Los intereses generados por unidad de tiempo son constantes y no se acumulan al capital.

2. FORMULAS

M = C + IM = C (1+i.t)I = C .i.t

Donde:C: CapitalI:Inters, beneficio, utilidad, ganancia o renta.t:Tiempoi:Tasa de Inters o rditoM:Monto o valor futuro (Suma del capital ms el inters producido en un determinado tiempo)

3. OBSERVACIONES IMPORTANTES3.1. Para el buen uso de las formulas, el tiempo ( t ) y la tasa de inters ( i ); deben estar expresados en las mismas unidades temporales.3.2. Con respecto al tiempo se considera:

1 mes = 30 das(mes comercial)

1 ao = 360 das (ao comercial)3.3. 72% anual 6% mensual12% semest18% cuatri24% trimes36% bimes0.2% diarioTasas equivalentes:

3.4. Expresiones equivalentes

12% Mensual

0.12 mensual0.12 por mes

3.5. Cuando no se especifique el periodo de tiempo referido a una tasa de inters, se asumir que sta es una tasa anual; Es decir:72% anual 72%

4. ECUACIONES DE VALORDenominada tambin amortizacin informal de deudas; se presenta cuando se pactan plazos y tasas de inters los cuales no se llegan a cumplir, por lo que es necesario hacer clculos para las nuevas situaciones pactadas entre el acreedor y el deudor; en estos casos se utiliza ecuacin de valor, que se da ubicando a todas las cantidades en un mismo punto en el tiempo.

APLICA LO APRENDIDO

NIVEL I

1. Un capital se impone al 12% trimestral durante 3 semestres, generando un monto de S/. 1075. Calcule dicho capital.A) S/. 700 B) S/. 450 C) S/. 900 D) S/. 625 E) S/. 650

2. Un capital depositado a una tasa de 5% anual, produce un inters equivalente al 30% de dicho capital. Cul fue el tiempo de imposicin?.A) 2 aos B) 3 aos C) 5 aos D) 6 aos E) 4 aos3. Cul es el capital tal que al ser impuesto al 4% trimestral de inters simple, produce S/. 2 000 de renta anual ms que si se le impusiera al 11% anual?.A) S/. 42 000 B) S/. 43 000 C) S/. 44 000 D) S/. 40 000 E) S/. 45 000

4. Un capital se deposita durante t aos al r% y produce un inters que es 2/3 del monto. Halle (r - t), sabiendo que si el mismo capital se depositara al 10% durante t aos, producira un inters que es los 4/5 del capital.A) 20 B) 18 C) 38 D) 33 E) 17

5. Lolita se prest dinero el primero de octubre para abrir un negocio a una taza del 4/3% cuatrimestral, y afines de diciembre del mismo ao devolver la suma de S/. 2 121 Cunto fue el prstamo?A) S/. 2 100 B) S/. 2 000 C) S/. 1 900 D) S/. 1 700 E) S/. 1 8006.Un capital impuesto durante 1 ao al 6% produce S/.90 ms que otro impuesto 18 meses al 4%, cul es la diferencia de los capitales?A) S/. 2 500 B) S/. 1 500 C) S/. 3 000 D) S/. 2 000 E) S/. 2 800

7. A qu tasa de inters la suma de S/. 20 000 llegar a un monto de S/. 21 200 colocado a inters simple en 18 meses?A)5% B) 6% C) 7% D) 8% E) 4% 8. Cul es el monto que genera un capital de S/. 4 000 colocado a una tasa de 6% trimestral durante 9 meses?A) S/. 5 600 B) S/. 4 500 C) S/. 4 720 D) S/. 4 200 E) S/. 5 000

9. Los 2/5 de un capital han sido impuestos al 30%, 1/3 al 35% y el resto al 40%. El inters total es de S/.41 200 anuales. Calcule el capital.A) S/.110 000 B) S/.90 000 C) S/.105 000 D) S/.115 000 E) S/.120 000

10. Patricio coloc la mitad de su capital al 10%, la tercera parte al 8% y el resto al 5%. Si gana una renta anual de S/. 204. Cul fue su capital?A) S/. 2 500 B) S/. 2 300 C) S/. 2 725 D) S/. 2 800 E) S/. 2 400

NIVEL II12. Un capital impuesto durante 5 aos produce un inters equivalente al 60% del monto. Calcule el porcentaje al que fue impuesto.A) 21% B) 25% C) 28% D30% E) 20%

13. Cul es la suma que al 10% de inters simple anual, se convierte en 5 aos en S/. 4 500? A) 1 500 B) 1 800 C) 1 000 D) 1 400 E) 1 300

14. Luis y Jos juntos disponen de S/. 6 300. Luis coloca su capital al 24% y Jos al 13%, generando montos iguales al cabo de 5 aos. Cunto fue el capital de Jos? A) 3 500 B) 4 700 C) 3 600D) 2 700 E) 4 500

CONJUNTOS

I.NOCION DE CONJUNTO:Intuitivamente se dice que es una coleccin o reunin de objetos abstractos o concretos (elementos), que guardan una caracterstica comn. Ejemplos:-Los das de la semana.-Los pases de Amrica del Sur.

1.1NOTACION DE CONJUNTOGeneralmente se denota a un conjunto con letras maysculas y a sus elementos mediante letras minsculas separados por comas y encerrados con llaves.

Ejemplos:B = {cara, sello}

1.2RELACION DE PERTENENCIASe establece esta relacin slo de elemento a conjunto y expresa si el elemento indicado forma parte o no del conjunto considerado.. . . pertenece a. . . : . . . no pertenece a. . . :

Ejemplo:Sea * 2 C* 8 C* {1; 2} C1.3DETERMINACION DE UN CONJUNTOConsiste en precisar correctamente que elementos forman parte del conjunto. Puede hacerse de dos formas:

Por Extensin (forma tabular)Cuando se nombran todos y cada uno de los elementos.

Ejemplos:

El orden en el cual son listados los elementos del conjunto no afecta el hecho de que pertenezcan a l. As, po ejemplo:

Por Comprensin (forma constructiva)Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada.Esquema:tal que

FormaGeneraldel ElementoCaractersticas opropiedad comn dela variable queforma el elemento

Ejemplos:A = {n/n es una vocal}B = {los nmeros pares menores que 13}C = {n2 - 1 / n es entero 1 n 7}

1.4DIAGRAMA DE VENN - EULERSon regiones planas limitadas por figuras geomtricas cerradas que se utilizan para representar grficamente a los conjuntos, as:

. . . .

Ejemplo:

A.1.8.64.27

Observacin:Otro diagrama para representar grficamente a los conjuntos es:DIAGRAMA DE LEWIS CARROL

Hombres Mujeres

Fuman

No Fuman

Se observa que:

Hombres que fuman

Mujeres que no fuman

1.5NUMERO CARDINALEl nmero cardinal de un conjunto (A) nos indica la cantidad de elementos diferentes que posee y se denota por: n(A).Ejemplos:* A = {5, 6, 6, 5} n(A) = 2* B = {x/x N 3 < x < 9} n(B) = 5

II.CLASES DE CONJUNTOSLos conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen, segn esto tenemos:

2.1FINITOSi posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus diferentes elementos termina en algn momento.Ejemplo:* K = {3n + 2 / n Z 1 n 4} K es finito pues n(K) = 4* L = {x/x es un da de la semana} L es finito pues n(L) = 7

2.2INFINITOSi posee una cantidad ilimitada de elementos es decir el proceso de contar sus diferentes elementos no termina nunca. Ejemplo:M = {x/x Q 1 x 2}M es infinito pues n(M) = . . . . ?Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}Z+ es infinito pues n(Z+) = . . . . ?

III.RELACIONES ENTRE CONJUNTOS:3.1INCLUSION Se dice que A est incluido en otro conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen a B.Se denota: A BSe lee:A est incluido en BA est contenido en BA es subconjunto de BRepresentacin:A B x A: x A x B

Grficamente:

AB

.p.qAB.r.sEjemplos:

1) A = {p, q}

B = {p, q, r, s}

A B

DE.4.6.2.1.3.52) D = {2, 4, 6}

E = {1, 2, 3, 5}Se observa que D no est contenido en E, en ese caso se denota: D E

Observaciones:*Todo conjunto est incluido en s mismo o es subconjunto de s mismo. A: A A*El conjunto vaco est incluido en todo conjunto. A: A

3.2IGUALDADSe dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen los mismos elementos.Ejemplo:A = {3n+2 / n Z 1 n 4}B = {5, 14, 8, 11}

AB.5.8.14.11se observa: A = B

Se define: A = B A B B A

3.3CONJUNTOS DISJUNTOSSe dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no poseen elementos comunes.Ejemplo:A = {2, 3, 4} A y B son disjuntosB = {5, 6, 7}

AB.2.3.4.5.6.7Grfica:

3.4CONJUNTOS EQUIPOTENTES O COORDINABLESPara hablar de stos conjuntos de alguna forma, el proceso de contar sus elementos siempre termina.Dos conjuntos sern coordinables cuando el nmero de sus elementos son iguales.Ejemplo:

A = {10, 11, 12} A y B son equipotentesB = {m, n, p}

Simblicamente:A B n ( A ) = n ( B )

IV.CONJUNTOS ESPECIALES

4.1CONJUNTO NULO O VACIO

Es aquel conjunto que carece de elementos.Ejemplo:A = {x/x es el actual INCA del Per}B = {x/x N 7 < x < 8}Notacin: { }

A = B = = { }

Nota:El conjunto vaco es subconjunto de todo conjunto.

4.2CONJUNTO UNITARIO O SINGLETONEs aquel conjunto que tiene un solo elemento.Ejemplo:A = {x/x Z 10 < x < 12} = {11}

B = {2, 2, 2, 2,. . .} = {2}

4.3CONJUNTO UNIVERSAL (U)

Es un conjunto referencial para el estudio de una situacin particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto.Ejemplo:A = {1, 3, 5}

B = {2, 4, 5, 6}

Podran ser conjuntos universales

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}U = {x/x N}

*Grficamente el conjunto universal se representa generalmente mediante el rectngulo.

.1.3.5.2.4.5.6U = N

Ejemplo:A = {x/x es peruano}B = {x/x es colombiano}C = {x/x es mexicano} U = {x/x es americano}4.4CONJUNTO DE CONJUNTOS O FAMILIA DE CONJUNTOS

Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos.Ejemplos:A = { {2, 3}, {3}, {a}, {6, b}, }B = { {a, b, c}, {2, 3, 6}, {6}, c, 8 }Se observa que:Aes familia de conjuntosB no es familia de conjuntos

4.5CONJUNTO POTENCIA O CONJUNTO DE PARTESDado un conjunto A, el conjunto potencia de A est formado por toda la familia de subconjuntos de A.Notacin: P (A)Ejemplo: Sea A = {a, b, c} Subconjuntos propios de A

P (A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

vaco unitarios binarios ternario

n [ P (A) ] = 23 = 8

Simblicamente:

P (A) = {X/X A}

Observaciones:

*Si un conjunto A tiene n elementos entonces el nmero de subconjuntos de A es , es decir:

*Los subconjuntos propios de A son aquellos subconjuntos diferentes al conjunto A, entonces:

# de subconjuntos propios de A =

Ejemplo:Si n(A) = 5 entonces el nmero de subconjuntos es:

; adems

# subconjuntos propios de A =

*Para determinar la cantidad de subconjuntos K-arios de un conjunto A, se utiliza la frmula:

# de subconjuntos de k elementos = APLICA LO APRENDIDO

NIVEL I1. Si U ={x/x z 0 x < 10}(A B)' = {0, 6, 9} ;A B = {1, 2, 7}A B = {3, 5}Cul es la suma de los elementos de B A?Rpta2. Dado A ={; {}} . Cul de las siguientes afirmaciones es falsa?a) Ab) A

c) {} Ad) {{}} A

e) {{}} ARpta

3. En una entrevista realizada en el aeropuerto se determino que 49 viajaban al Cuzco, 43 a Tacna, 39 a Arequipa, 19 slo a Tacna y 21 slo a Arequipa. Si 16 viajan a Tacna y Arequipa y 5 de ellos viajaban tambin al Cuzco, determinar cuntas personas viajaban slo al Cuzco.Rpta

4. Si el conjunto e es unitario hallar a . b e = {a + 2b; 3b a + 2; 11}Rpta5. Que representa el grfico?

a) (A B) Cb) (C B) (B A)c) (B C) (A B)d) (A C) (A B)e) N.A.Rpta

6. A = {a, o, i}; B = {a, o, u} el nmero de su subconjunto propios tiene A BRpta

7. Si: A ={1, 2, 3,5} B ={2, 3, 4,5}Hallar:[(A B ) (A B)] - BRpta

8. Para dos conjuntos A y B se cumple que n(A B) = 6n[P(A)] + n[P(B)] = 40Hallar: n[P(A B)]

Rpta

9. En un saln de las clases 65 alumnos se observo 30 son hombre, 40 son de ciclo semianual, hay 10 seoritas que son del ciclo semianual. Cuntos son hombres que no estudian en el ciclo semianual?

Rpta

10. Cul de las siguientes relaciones expresa mejor de la regin achurada?

a) (A B) Cb) (A B) Cc) A (B C)d) (A B) (A B C)e) N.A.RptaNIVEL II1. De un grupo de 100 universitarios, 49 no estudian Lengua y 53 no estudian Matemticas. Si 27 no estudian ninguno de ninguno de los cursos mencionados, Cuntos estudian slo un curso?A) 28B) 38C) 48

D) 58E) 18

2. De 40 alumnos de una seccin, 15 aprobaron fsica, 6 probaron fsica y qumica. Cuntos alumnos desaprobaron los dos cursos mencionados, si los que aprobaron qumica fueron 7? A) 18B) 15C) 12

D) 10E) 6

4. Si: n(A B) = 8n(A B) =2Hallar: n(A B)A) 8B) 9C) 10

D) 11E) NA

5. Determine el conjunto B:B = {x/x2 5x + 6 = 0}A) {2; 1}B) {2, 5}C) {2, 3}

D) {1,4}E) {3,4}

6. Si: a = {3, {5}} cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?A) {3, 5} AB) {5} A

C) 5 AD) {{5}} A

E) {{{5}}} A

7. Del grfico: Cul de las siguientes relaciones expresa mejor la siguiente regin sombreada achurada?A) (A - B) {A B}

B) (A B) C

C) {(A - C) (B - C)} C

D) {(A B) C } {C (A B)}

E) N. A

8. Hallar x si el conjunto es unitario:A = {2x 3, x +2}A) 1B) 3C) 5

D) 7E) N.A

9. Cual es la alternativa que representa la regin achurada?A) (A B) C

B) (A C) - B

C) (A B) C

D) (A C) {B (A C)}

E) N.A

10. Si A tiene 3 elementos. Hallar n[P(A)]A) 2

B) 4C) 8

D) 16

E) N.A

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57