polinomioak

Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:

•Monomioen definizioa

•Monomio antzekoak

•Monomioen arteko eragiketak

•Polinomioen definizioa

•Polinomioei buruzko jakingarriak

•Polinomioen arteko eragiketak

•Biderketa bereziak

POLINOMIOAK 3. DBH

EGILEA: ALFREDO ORTEGA LOZA

Adaptazioa: MªTeresa González Calvo

MONOMIOAK

Kopiatu koadernoan

Zenbakiari koefiziente esaten zaio, eta letra bakoitzari, indeterminatu. Letraren zati osoari letrazko atal esaten zaio.

Letren berretzaileen arteko baturari monomioaren maila esaten diogu.

7x4y2

Letrazko atala

Koefizientea

Indeterminatuak: x eta y Maila: 4 + 2 = 6

Zenbaki bat eta letra batzuk biderkatzen ditugunean, monomioa lortzen dugu. Esate baterako: 4xy; 3x2y; 2x3…

2

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

ARIKETAK

Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

Honako monomio hauetan adierazi zein diren koefizientea, letrazko atala, indeterminatuak eta monomioaren maila:

1) 5x227)

2) 0,6xyx 8)

3) –5x2y3zz9)

4) 3z4410)

5) π ξ2ζ 11) 3 • 1012 ξ2ψ3ζ4

6) –1/3 ab2 12) abc

535 yx

3

3

2xy

352

6

25yxa−

325 2 zya−

3

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

MONOMIO ANTZEKOAK

Kopiatu koadernoan

Bi monomio, letrazko atala berdina dutenean, antzekoak direla esaten dugu.

Batuketak eta kenketak monomio antzekoen artean baino ezin ditugu egin.

Adibideak: 4x2y3 + 3x2y3 =

3

15

Biderketak eta zatiketak, berriz, monomio antzekoen eta ez antzekoen artean egin ditzakegu.

Adibideak: 4x2y3 · 5xy2z =

(4 + 3) x2y3 = 7x2y3

(5 – 12) xz2 = –7xz2

x3–1y5–4z2–2 = 5 x2y

5xz2 – 12xz2 =

4 ·5 x2+1y3+2z = 20 x3y5z

15x3y5z2 : 3xy4z2 =4

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

ARIKETAK


Honako eragiketa hauek egin:

13) 3xy + 5xy – 2xy + xyx 19)

14) 0,6x2 – 3,5x2 + 2x2 – 5,1x2220)

15) 21)

16)1 22)

17) 3 ·10–5 xy2 + 7 ·10–5 xy2 23)

18) 3x – 5y – 2x + 4yy 24)

253 23 xyyx ⋅

yxxy 23

5

3

3

2 ⋅

yxyx 235 312 ⋅

2

34

13

26

zy

yz

222

6

7

3

5

2

1yyy −+

yzyzyz 357 −+

39

53

9,1

8,3

yx

yx

2

42

2

98

yz

zy

5

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

MONOMIOEN BERREKETA

Kopiatu koadernoan

Monomio baten berreketa egiteko, monomioaren biderkagai bakoitza berretuko dugu zenbakiekin egin genuen bezala, baina, orain, zenbakiekin eta letrekin.

Adibidea: (3x2y5)4 = 34 (x2)4 (y5)4 = 81 x8 y20

Ariketak:

25) (4xy2)33

26) (6x5z2)2

27) (2y3x6)55

28) (0,2x3y4)2

32

3

2 29)

xy

( )465 30) zx

yxyxyx 222

4

1

6

5

3

1 31) −+

25

67

3

6 32)

yx

yx

( ) 26326

2

122 33) zyzyzy +− 6

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

POLINOMIOAK

Kopiatu koadernoan

Monomioak batzen ditugunean, beste adierazpen mota batzuk sortzen dira: polinomioak. Polinomioaren batugai bakoitzari gai esaten diogu.

Adibideak: P(x,y) = 2x2y + 3xy2 – xy + 2x – 5y + 1

Q(y,z) = 3y3z + 2y2z2 – 3yz + 2x –7

Polinomioek hainbat indeterminatu izan ditzakete. Guk indeterminatu bakarreko polinomioak aztertuko ditugu.

Adibideak: P(x) = 2x2 + 3x – 1

Q(y) = 3y3 + 2y2 – 3y + 7

Indeterminaturik ez duen gaiari gai aske esaten diogu.7

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

POLINOMIOAK

Kopiatu koadernoan

Polinomioen gaiak monomioen mailaren arabera ordenatuko ditugu, eta monomioen arteko mailarik handiena izango da polinomioaren maila.

Adibideak: P(x) = 5x4 + x3 – 7x2 + 2x – 5. Maila: 4

Q(y) = y3 + 7y2 + 2. Maila: 3

Indeterminatuaren ordez zenbaki bat jartzen badugu, eta, polinomioak adierazten dituen eragiketa guztiak egiten baditugu, polinomioaren zenbaki-balioa lortuko dugu.

Adibideak: P(x) = 5x4 + x3 – 7x2 + 2x – 5

P(2) = 5 ·24 + 23 – 7 ·22 + 2 ·2 – 5 == 5 ·16 + 8 – 7 ·4 + 2 ·2 – 5 = 59

x indeterminatua 2 denean, polinomioaren zenbaki balioa 59 da.8

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

ARIKETAK

Esan zein diren indeterminatua, polinomioaren maila eta gai askea honako polinomio hauetan:

34) P(x) = 8x6 + 5x4 – 6x2 + 12x + 9

35) Q(y) = 3y4 + 5y3 + y2 + 9y – 16

36) R(z) = 7z5 – 16z2 + 5z – 1

37) S (x) = x7 – 8x4 + 14x2 – 0,7x

Sortu ondoren eskatzen diren polinomioak:

38) 4. maila duen x indeterminatuko polinomio bat

39) 5. maila duen y indeterminatuko polinomio bat

40) 3. maila duen x indeterminatuko polinomio batKopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

9

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

ARIKETAK

Bilatu honako polinomio hauen zenbaki balioa, indeterminatuak adierazten den balioa hartzen duenean:

41) P(x) = 8x6 + 5x4 – 6x2 + 12x + 9 (x = 2)

42) Q(y) = 3y4 + 5y3 + y2 + 9y – 16 (y = –2)

43) R(z) = 7z5 – 16z2 + 5z – 1 (z = –3)

44) S (x) = x7 – 8x4 + 14x2 – 3x (x = 1/2)

45) T(x) = 3x4 – 2x3 – 5x2 + 4x – 1 (x = 1/3)

46) U(x) = k3 + 6x2 + 9x (x = –1/3)

47) V(x) = 2x4 – 5x2 + 5 (x = )

48) W(x) = 4x3 – x2 + 3x – 7 (x = –1)


2

10

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

BATUKETAK

Kopiatu koadernoan

Polinomioak batzeko eta kentzeko, gai antzekoak batu edo kenduko ditugu, monomioekin egin genuen bezala.

P(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 7 Q(x) = 6x3 + 8x2 – 4x + 9

Batuketa:

P(x) + Q(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 7 + 6x3 + 8x2 – 4x + 9 == (2 + 6)x3 + (–5 + 8)x2 + (3 – 4)x + (–7 + 9) == 8x3 + 3x2 + (–1)x + 2 = 8x3 + 3x2 – x + 2

Kenketa:

P(x) – Q(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 7 – (6x3 + 8x2 – 4x + 9) == 2x3 – 5x2 + 3x – 7 – 6x3 – 8x2 + 4x – 9 = = (2 – 6)x3 + (–5 – 8)x2 + (3 + 4)x + (–7 – 9) == –4x3 – 13x2 + 7x – 16

11

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

ARIKETAK

49) R(x) = –4x3 – 13x2 + 7x – 16 eta Q(x) = 8x3 + 3x2 – x

+ 2 polinomioekin honako eragiketa hauek egin: R(x) + Q(x), R(x) – Q(x) eta Q(x) – R(x). EMA.: 4x

3 – 10x2 + 6x – 14; –12x3 – 16x2 + 8x – 18; 12x3 + 16x2 – 8x + 18.

50) P(x) = –x4 + 3x2 – 12x – 7 eta S(x) = –5x3 – 9x2

– 8k – 12 polinomioekin honako eragiketa hauek egin: P(x) + S(x), P(x) – S(x) eta S(x) – P(x

). EMA.: –x4 – 5x3 – 6x2 – 20x – 19;

–x4 + 5x3 + 12x2 – 4x + 5; x4 – 5x3 – 12x2 + 4x – 5

51)

polinomioekin honako eragiketa hauek egin: P(x) + Q(x), P(x) – Q(x) eta Q(x) – P(x).

4

32

6

1

4

1)Q( eta 3

5

1

3

2

2

1)P( 2323 +−−=−−+= xxxxxxxx


12

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

ZENBAKI BATEKIN BIDERKATZEA

Kopiatu koadernoan

Polinomioak zenbaki batekin biderkatzeko, polinomioaren gai guztiak biderkatuko ditugu zenbaki horrekin.

P(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 7 Q(x) = 6x3 + 8x2 – 4x + 9

Zenbakia positiboa bada (4):

4 ·P(x) = 4 ·(2x3 – 5x2 + 3x – 7) =4 ·2x3 – 4 ·5x2 + 4 ·3x – 4 ·7 = 8x3 – 20x2 + 12x – 28

Zenbaki negatiboa bada (–3):

(–3) ·Q(x) = (–3) ·(6x3 + 8x2 – 4x + 9) == (–3) ·6x3 + (–3) ·8x2 – (–3) ·4x + (–3) ·9 = = –18x3 – 24x2 + 12x – 27

13

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

ARIKETAK

52) P(x) = 4x4 – 5x3 + 7x2 – 8x – 1 eta Q(x) = 5x3 + 2x2 – 6x

– 7 badira, kalkulatu honako eragiketa hauen emaitzak:

2 ·P(x); (–4) ·Q(x) ; 5 ·[ P(x) + Q(x) ] eta (–3) ·[ P(x) – Q(x) ]

53) P(x) = –2x3 – 5x2 – 4x – 9 eta S(x) = –6x3 – 3x2 – 8x

– 7 polinomioekin honako eragiketa hauek egin:

3 ·P(x) – 2 ·S(x); (–5) ·P(x) – 4 ·S(x) eta 3 ·[ S(x) – 2 ·P(x) ].

54)

polinomioekin honako eragiketa hauek egin:

2 ·P(x) + 3 ·Q(x), 2 ·[ P(x) – 5 ·Q(x) ] eta (1/2) ·Q(x) – P(x)

4

5

3

1

5

2

4

3)Q( eta

2

34

2

1

3

1)P( 2323 −+−=+−+−= xxxxxxxx


14

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

BIDERKETAK

Kopiatu koadernoan

Polinomioen arteko biderketak egiteko, lehenengo polinomioaren gai guztiekin biderkatuko dugu bigarren polinomioaren gai bakoitza. Ordena oso ondo errespetatuko dugu hori egiteko.

P(x) = 2x2 + 3x – 4 Q(x) = 5x2 – 4x + 1

41930710

201510

16128

432

145

432

234

234

23

2

2

2

−+−+−+

+−−−++−−+

xxxx

xxx

xxx

xx

xx

xx

15

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

BIDERKETAK

Kopiatu koadernoan

Baina, bada beste modu bat. Hemendik aurrera, honela egiten saiatuko gara:

P(x) = 2x2 + 3x – 4 Q(x) = 5x2 – 4x + 1

P(x) ·Q(x) = (2x2 + 3x – 4) ·(5x2 – 4x + 1) = 2x2 ·(5x2 – 4x + 1) +

+ 3x ·(5x2 – 4x + 1) + (– 4) ·(5x2 – 4x + 1) =

= 10x4 – 8x3 + 15x3 + 2x2 – 12x2 – 20x2 + 3x + 16x – 4 =

= 10x4 + 7x3 – 30x2 + 19x – 4

10x4 – 8x3 + 2x2 +

+ 15x3 – 12x2 + 3x – 20x2 + 16x – 4 =

16

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

ARIKETAK

55) P(x) = – 2x2 – x + 3 eta Q(x) = x2 – 3x

– 2 badira, kalkulatu honako eragiketa hauen emaitzak:

P(x) ·Q(x); [ P(x) + Q(x) ] ·[ P(x) – Q(x) ]

56) P(x) = –2x3 – 5x2 + 9 eta Q(x) = –3x2 – 8x

polinomioekin honako eragiketa hauek egin:

P(x) ·Q(x); [ P(x) + Q(x) ] ·[ P(x) – Q(x) ]

57)

polinomioekin egin honako eragiketa hauek egin:

P(x) ·Q(x); [ P(x) + Q(x) ] ·[ P(x) – Q(x) ]

4

5

5

2)Q( eta 4

2

1)P( 22 −−=−= xxxxx


17

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

ARIKETAK


Demagun hiru polinomio hauek ditugula:

P(x) = –x³ + x² – x + 1 Q(x) = 2x³ – 6x + 5

R(x) = –4x³ + x²

Polinomio horiekin. Honako eragiketa hauek egin:

58) P(x) – Q(x) – R(x) 62) P(x) – Q(x) + R(x)

59) Q(x) ·R(x) 63) P(x) – [ Q(x) + R(x) ]

60) P(x) ·[2Q(x) + R(x)] 64) P(x) ·R(x)]

61) –P(x) ·Q(x) 65) (–1/2) ·P(x) + (1/3) ·R(x)18

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

ZATIKETAK

Kopiatu koadernoan

Zatiketak egiteko, zatikizuna idatziko dugu lehenik, eta, gero, lerro berean, bi zuzenkiz bereizita, zatitzailea, zenbakietan bezala.

125864 23 −−+− xxxx

Ondoren, zatikizunaren mailarik handiena duen gaia (4x3) zati zatitzailearen mailarik handiena duen gaia (2x) egingo dugu, eta zatidura (2x2) lehengo zuzenkietako baten azpian jarriko dugu.

2

23

2

125864

x

xxxx −−+−

Orain, biderketa hau egingo dugu: zatidura bider zatitzailea; eta emaitza (biderkadura) zatikizunaren azpian idatziko dugu, gaien maila errespetatuz.

223

23

224

125864

xxx

xxxx

−−−+−

Horren ondoren, kenketa egingo dugu, zenbakiekin egiten dugun bezala; baina, errazago egitearren, zeinu guztiak aldatuko ditugu, eta, gero, batu egingo ditugu. Gauza bera da eta.

23

223

23

40

224

125864

xx

xxx

xxxx

−+−

−−+−

Erabili gabe geratu den zatikizun zatia berridatzi, eta prozesua osorik errepikatuko dugu.

5840

224

125864

23

223

23

−+−+−

−−+−

xxx

xxx

xxxx

5840

2224

125864

23

223

23

−+−−+−−−+−

xxx

xxxx

xxxx

xx

xxx

xxxx

xxxx

24

5840

2224

125864

2

23

223

23

+−−+−

−+−−−+−

xx

xxx

xxxx

xxxx

24

5840

2224

125864

2

23

223

23

−+−+−

−+−−−+−

xx

xx

xxx

xxxx

xxxx

60

24

5840

2224

125864

2

2

23

223

23

+−+

−+−−+−−−+−

560

24

5840

2224

125864

2

2

23

223

23

−+−+

−+−−+−−−+−

xx

xx

xxx

xxxx

xxxx

560

24

5840

32224

125864

2

2

23

223

23

−+−+

−+−+−+−

−−+−

xx

xx

xxx

xxxx

xxxx

36

560

24

5840

32224

125864

2

2

23

223

23

−+−+

−+−+−

+−+−−−+−

x

xx

xx

xxx

xxxx

xxxx

36

560

24

5840

32224

125864

2

2

23

223

23

+−−+

−+−+−

+−+−−−+−

x

xx

xx

xxx

xxxx

xxxx

20

36

560

24

5840

32224

125864

2

2

23

223

23

−+−−+

−+−+−

+−+−−−+−

x

x

xx

xx

xxx

xxxx

xxxx

Zatikizuna Zatitzailea

Zatidura

Hondarra

19

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

ZATIKETAK

Kopiatu koadernoan

Hondarraren maila beti da zatitzailearena baino txikiagoa.

Hondarra zero denean, zatiketa zehatza izango dugu, eta “zatikizuna zatitzaileaz zatigarria dela” esango dugu. Hondarra zero ez bada, zatiketa osoa izango dugu.

Adibidea:

2252 23 +−++ xxxx2

23

2

2252

x

xxxx +−++223

23

242

2252

xxx

xxxx

+++−++

223

23

242

2252

xxx

xxxx

−−+−++

23

223

23

0

242

2252

xx

xxx

xxxx

+−−

+−++

20

242

2252

23

223

23

−++−−

+−++

xxx

xxx

xxxx

20

242

2252

23

223

23

−+++−−+−++

xxx

xxxx

xxxx

xx

xxx

xxxx

xxxx

2

20

242

2252

2

23

223

23

++−++

+−−+−++

xx

xxx

xxxx

xxxx

2

20

242

2252

2

23

223

23

−−−++

+−−+−++

xx

xx

xxx

xxxx

xxxx

−−−

−+++−−+−++

2

2

23

223

23

0

2

20

242

2252

20

2

20

242

2252

2

2

23

223

23

−−−−

−+++−−+−++

xx

xx

xxx

xxxx

xxxx

20

2

20

1242

2252

2

2

23

223

23

−−−−

−++−+−−

+−++

xx

xx

xxx

xxxx

xxxx

2

20

2

20

1242

2252

2

2

23

223

23

−−−−

−−−++

−+−−+−++

x

xx

xx

xxx

xxxx

xxxx

2

20

2

20

1242

2252

2

2

23

223

23

++−−

−−−++

−+−−+−++

x

xx

xx

xxx

xxxx

xxxx

00

2

20

2

20

1242

2252

2

2

23

223

23

+++−−

−−−++

−+−−+−++

x

x

xx

xx

xxx

xxxx

xxxx

Hona hemen zatiketa zehatz bat.P(x) = 2x3 + 5x2 + x - 2 polinomioaQ(x) = x + 2 polinomioaz zatigarria da.

20

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

ARIKETAK


Edozein zatiketatan honako hau egiaztatzen da beti:

Egin honako zatiketa hauek, eta egiaztatu goiko formula. Esan zein diren zehatzak eta zein ez:

66) (3x3 + 5x2 – 4x – 1) ÷ (3x + 2).

67) (x3 + x2 – x – 1) ÷ (x – 1).

68) (x3 – 1) ÷ (x – 1). Gairen bat falta denean lekua utzi behar zaio ordena mantentzeko.

69) (x4 – 2x2 + 3x + 5) ÷ (x2 + 2x).

70) (2x5 + 4x4 – x3 – 2x2 + x – 3) ÷ (2x2 – 3).

Zatikizuna = zatitzailea × zatidura + hondarra

21

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

BERREKETA

Kopiatu koadernoan

Polinomio baten berretura egiteko, berretzaileak adierazten duen bezain bestetan biderkatuko dugu polinomioa. Hau da, berreketaren definizioa erabilita, honela egingo dugu:

(x + 2)2 = (x + 2) ·(x + 2) = x2 + 2x + 2x + 4 = x2 + 4x + 4

(2x – 5)2 = (2x – 5) ·(2x – 5) = 4x2 – 10x – 10x + 25 = = 4x2 – 20x + 25

(x – 1)3 = (x – 1) ·(x – 1) ·(x – 1) = (x2 – x – x + 1) ·(x – 1) == (x2 – 2x + 1) ·(x – 1) = x3 – x2 – 2x2 + 2x + x – 1 == x3 – 3x2 + 3x – 1

Hala ere, badaude formula batzuk, askotan azaltzen direnez buruz ikasiko ditugunak, oso erabilgarriak dira eta.

22

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

BIDERKETA BEREZIAK

Kopiatu koadernoan

Hona hemen formulok:

(a + b)2 = (a + b) ·(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

Hau da, honako hau da binomio baten berbidura, gaiak batzen daudenean: binomioaren lehengo gaia ber bi, gehi lehenengo gaiaren eta bigarrenaren arteko biderkadura bi aldiz, gehi bigarren gaia ber bi.

(a – b)2 = (a – b) ·(a – b) = a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab + b2

Gaiak kentzen daudenean, ostera, honako hau izango da binomio baten berbidura: binomioaren lehengo gaia ber bi, ken lehenengo gaiaren eta bigarrenaren arteko biderkadura bi aldiz, gehi bigarren gaia ber bi.

23

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

BIDERKETA BEREZIAK

Kopiatu koadernoan

(a + b) ·(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2

Horra hor, bi binomioren arteko biderkadura; bi binomioen gaiak berdinak dira, baina batean batzen daude, eta, bestean, kentzen. Hona hemen emaitza: lehenengo gaiaren berbidura ken bigarren gaiaren berbidura.

Hemendik aurrera, buruz jakingo ditugu formula hauek:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b) ·(a – b) = a2 – b2

24

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

ARIKETAK


Egin honako eragiketa hauek, behar den formula erabilita:

71) (x + 5)2 80) (x – ) ·(x + )

72) (4x + 3)2 81) (x + 1/2)2

73) (x – 2)2 82) [ (1/3)x – 5 ]2

74) (3x – 2)2 83) (5x + 3a) ·(5x – 3a)

75) (5x + y)2 84) (6x4 + 2)2

76) (x2 – 1)2 85) (4x – )2

77) (x + 3) (x – 3) 86) ( – ) ·( + )

78) (2x – 6) ·(2x + 6) 87) (8x – 3/4)2

79) (7x3 + 2y) ·(7x3 – 2y) 88) [ (5/3)x + 9 ]2

2 2

2

2 5 2 5

25

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

ARIKETAK


Idatzi honako polinomio hauek, biderketa edo berreketa eran:

89) x2 + 10x + 25 94) x2 + 4x + 4

90) x2 – 6x + 9 95) 9x2 – 64

91) 4x2 – 16 96) 16 – 8x2 + x4

92) x6 + 4x3 + 4 97)

93) x2 – 2x + 1 98) 4

2552 +− xx

2

4

1xx ++

Nola bihurtuko genuke polinomio bat berreketa edo biderketa?

x2 + 14x + 49 = 9x2 – 12x + 4 =

a2 – 36 =

x 7( ) 2 + x3 2( ) 2 −

(a + 6) ·(a – 6)

26

BU

RD

INIB

AR

RA

BH

I

polinomioak

Documents