poligfonpd

129

TRILCE

Organización Educativa TRILCE

17POLÍGONOS

Objetivo

Al finalizar el presente capítulo, el alumno está en la capacidad de:- Definir al polígono plano y conocer sus propiedades.- Conocer los diversos tipos de polígono.

POLÍGONO PLANO

* Definición

Es la figura geométrica cerrada, que se forma al unirconsecutivamente tres o más puntos no colinealesmediante segmentos de recta.

B

A

CD

E

Polígono

Región interior al polígono

Región exterior al polígono

H FG

Elementos

Vértices: A, B, C, D, E, F, G y H

Lados: AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH y AH

Notación:Polígono ABCDEFGH

* Ángulos determinados en el polígono

B

A

C

D

E

°1

°5

°2°3

°4

°

°

°

x°

°

En la figura se tiene el polígono ABCDE.

Medida de los ángulos interiores

x

Medida de los ángulos exteriores

y1 2 3 4 5

* Líneas asociadas al polígono

B

A

C

D

EF

Diagonal: Es el segmento de recta que une dosvertices no consecutivos.

Ejemplo: Para el polígono ABCDEF, mostrado en el

gráfico, AC y BE son dos de sus diagonales.

* Clasificación de polígonos

I. Por su región interior

A. Polígono convexo

B

A

CD

E

x0° < x° < 180°

130

Polígonos

Tercer Año de Secundaria

B. Polígono no convexo

CB

D E

GA

H

F

II.Por las medidas de sus elementos: lados yángulos.

A. Polígono equiánguloEs aquel polígono cuyos ángulos internos son de igualmedida.

CB

D

E

A

F

°

° °

°

° °° °

°

°°°

En la figura el polígono ABCDEF, es equiángulo.°: medida de sus ángulos interiores°: medida de sus ángulos exteriores

B. Polígono equiláteroEs aquel polígono cuyos lados son de igual longitud.

B

AC

DE

a

a

a

a

a

PolígonoConvexo

M

N

L

T

Q

m m

m

m

m

Polígono noConvexo

En la figura los polígonos ABCDE y MNLTQ sonequiláteros.

C. Polígono regularEs aquel polígono equiángulo y equilátero a la vez.

Triángulo equilátero Cuadrado

L L

L

L

L

L

L

60°

60° 60°

III. Por su número de lados:

- Polígono de 3 lados: _____________________












Propiedades en todo polígono de "n" lados

1. La suma de las medidas de los ángulos interiores (S i)

S i = 180°(n - 2)

2. La suma de las medidas de los ángulos exteriores (S e)

S e = 360°

Nota: No se cumple en Polígonos No Convexos.

3. Número máximo de diagonales trazados desde un solovértice (#D1vértice)

#D1vértice = n - 3

4. El número total de diagonales (D)

D =n(n - 3)

2

131Organización Educativa TRILCE

GEOMETRÍA

1. ¿En qué polígono la suma de ángulos internos es 720°?

Rpta.:

2. Calcular el número total de diagonales de un dodecágono.

Rpta.:

3. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un solo vértice en un icoságono?

Rpta.:

4. Calcular: °

Rpta.:

5. ¿Cuántas diagonales faltan trazar en el polígono ABCDEF?

B

A

C

D

EF

Rpta.:

132

Polígonos


9. Calcular el perímetro del polígono equilátero ABCDEF,si: AB = 5 u.

B C

D

EF

A

10.¿Cuántos lados tiene un polígono donde de un vérticese traza como máximo 18 diagonales?

Bloque II

1. Calcular: °

2. Calcular la medida del ángulo interno del hexágonoequiángulo mostrado.

3. Calcular el número de diagonales del polígono cuyasuma de las medidas de ángulos internos es 1 260°.

4. Calcular la suma de ángulos internos de un polígonoque tiene en total 35 diagonales.

5. Calcular el número de vértices del polígono convexoen el cual la suma de ángulos internos más la suma deángulos externos es 4 320°.

Bloque III

1. Hallar la suma de las medidas de ángulos internos deun polígono cuyo número total de diagonales es el tripledel número de lados.

2. Si se quintuplica el número de lados de un polígono lasuma de las medidas de sus ángulos internos sesextuplica, ¿cuántos lados tiene el polígono?

3. Al aumentar en tres el número de lados de un polígonosu número de diagonales se triplica, ¿cuántos ladostiene el polígono original?

4. ¿Cuántos lados tiene el polígono en donde al triplicar elnúmero de lados, el número de diagonales aumenta en 52?

5. Al aumentar en tres el número de lados de un polígono,el número de diagonales aumenta en 30. ¿Cuántoslados tiene el polígono?

Bloque I

1. ¿En qué polígono la suma de las medidas de los ángulosinternos es 540°?

2. Calcular el número total de diagonales de unpentadecágono.

3. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un solovértice en un endecágono?

4. Calcular: x°

120°

130° 140°

150°

x°

160°

5. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono ABCDEFGH?

B

A

C

D

EH

G F

6. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internosdel polígono mostrado.

7. Si el polígono es equiángulo, calcular: x°.

x° + 10°

8. ¿Qué polígono tiene nueve diagonales?

Practiquemos


GEOMETRÍA

Tarea domiciliaria

1. Hallar la suma de las medidas de los ángulos internosde un pentadecágono.

2. Calcular la suma de las medidas de los ángulosinteriores de un pentágono.

3. Calcular: x°

B C

D

E

A x°

2x°

100°

x°

100°

4. ¿Cuántas diagonales tiene el endecágono?

5. Hallar la suma de las medidas de los ángulos internosdel polígono mostrado.

6. ¿Cuántas diagonales faltan trazar en el polígonoABCDEF?

A

B

C

F

D

E

7. Calcular: "x°" en el polígono convexo mostrado.

x° x°

x°

8. ¿Cuántas diagonales tiene un nonágono convexo?

9. Hallar el número de diagonales de un polígono convexocuya suma de las medidas de los ángulos interiores es900°.

10.¿Cuántas diagonales tiene un decágono?

11.Calcular el perímetro del polígono equilátero mostradosi: EF = 7 cm.

A

B

C

D

E

F

G

HI

12.Si el polígono mostrado es equiángulo, calcular: °.

13.Calcular el número de vértices de un polígono en elcual desde un solo vértice se trazan como máximo 19diagonales.

14.¿Cuántos lados tiene un polígono si la suma de lasmedidas de sus ángulos interiores es 3 240°?

15.Del gráfico, calcular x°

B

A

C

D

EF

x° 120°

16.Calcular la suma de las medidas de los ángulos internosde un polígono convexo cuyo número total dediagonales es 20.

17.¿En qué polígono al aumentar en uno el número delados, su número de diagonales aumenta en dos?

18.Si al aumentar en tres el número de lados de unpolígono su número de diagonales aumenta en 24.Calcular el número de vértices del polígono inicial.

19.¿En qué polígono el número de diagonales es el dobledel número de lados?

20.¿Qué polígono tiene tantas diagonales como númerode lados?

21.Hallar el número de lados de un polígono sabiendo quela suma de sus ángulos internos y externos es 3 960°.

134

Polígonos


22.Calcular la suma de las medidas de los ángulos internosdel polígono cuyo número de diagonales es el dobledel número de vértices.

23.Calcular el número de lados de aquel polígono en elcual su número de lados más su número de diagonaleses 28.

24.Determinar la suma de las medidas de los ángulosinternos de aquel polígono en el cual su número devértices más su número de diagonales es igual a 45.

25.¿Cuántos lados tiene un polígono cuyo número dediagonales excede en ocho al número de diagonalesde otro polígono que tiene un lado menos?

26.En un polígono equiángulo, calcular la medida de unode los ángulos internos de dicho ángulo, si éste tiene6 vértices.

27.Calcular la suma de las medidas de los ángulos internosdel polígono no convexo mostrado.

28.Calcular el número total de diagonales del polígonoequiángulo cuyo ángulo interno mide 160°.

29.Calcular el número de vértices del polígono que alaumentar en 4 el número de diagonales; la suma deángulos internos se duplica.

30.Graficar el pentágono ABCDE tal que: B = 140°m ;C = 130°m y D = 160°m . Calcular la medida del

menor ángulo formado por las rectas AB y DE .

135

TRILCE


18POLÍGONOS REGULARES

Objetivo

Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:- Definir el polígono regular y conocer sus propiedades.

* Definición.- Es un polígono donde sus ángulos y lados son congruentes respectivamente.

* Propiedades:

A. Medida de un ángulo interior

180°(n - 2)

in n: número de lados

* Ejemplo: Hallar la medida del ángulo interiordel polígono regular mostrado.

i

Resolución:Como el polígono mostrado es un pentágono,entonces: n = 5

180 (5 2)

i5

Rpta.: i = 108°

B. Medida de un ángulo exterior

360°

en n: número de lados.

* Ejemplo: Hallar la medida del ángulo exterior de unpolígono regular de 12 lados.

Resolución:

Como: n = 12

360

e12

Rpta.: e° = 30°

C. Medida del ángulo central

Hexágono regular Octógono regular

O

O

O: centro

360°

n

Medida del ángulo central

n: número de lados

* Ejemplo: Calcular la medida del ángulo central de unpolígono regular de 20 lados.

Resolución:

Como: n = 20

36020

Rpta.: ° = 18°

Triángulo equilátero Cuadrado

L L

L

L

L

L

L

60°

60° 60°

Hexágono regularL

L L

L L

L

120° 120°

120° 120°

120° 120°

136

Polígonos regulares


1. Si el triángulo ABC es un polígono regular, calcular: x°.

Resolución

B

A C40°

x°

Rpta.:

2. Si el polígono ABCDE es regular, calcular: x°.

Resolución

A

B

C

D

E

x°

Rpta.:


GEOMETRÍA

3. Si ABCDEF es un hexágono regular, calcular: x°

Resolución

A

B C

D

EF

70°

x°

Rpta.:

4. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un polígono regular de 18 lados?

Resolución

Rpta.:

5. En la figura, los polígonos ABC y BCDE son regulares. Calcular: x°

Resolución

x°

B

A

E

D

C

Rpta.:

138



Practiquemos

Bloque I

1. Si los polígonos ABCDE y DEF son regulares,calcular: x°.

A

B

C

DE

x°F

2. ¿En qué polígono regular la medida del ángulo interiores el triple de la medida del ángulo exterior?

3. Si ABCDEF es un polígono regular, calcular: x°.

B C

D

EF

A

x°

4. Si ABCDE es un pentágono regular, calcular: x°.

A

B

C

DE

x°

5. Si el ángulo exterior de un polígono equiángulo mide30°, calcular el número total de diagonales.

Bloque II

1. Si ABCDEF es un polígono regular, calcular: x°

B C

D

EF

Ax°

2. De la figura, los polígonos ABCD y AED son regulares.Calcular: x°.

A

B C

D

x°E

3. En un polígono regular se cumple que la suma de lasmedidas de un ángulo central, un ángulo exterior y unángulo interior es 210°. Calcular el número total dediagonales.

4. En un polígono regular la relación entre la medida deun ángulo interior y exterior es como 3 es a 2. Calcularel número de lados del polígono.

5. La figura muestra un pentágono regular y un exágonoregular. Calcular: x°

x°

Bloque III

1. Se tiene un polígono regular cuyo lado mide 3 u en elcual su perímetro es numéricamente igual a su númerode diagonales. Dar el nombre del polígono.

2. Se tiene un octógono regular ABCDEFGH. Hallar la medidadel ángulo formado por las diagonales AC y BD .

3. Calcular la medida del ángulo formado por lasmediatrices de dos lados consecutivos de un nonágonoregular.

4. Al aumentar en 2 el número de lados de un polígono lamedida de su ángulo central disminuye en 9º. ¿Cuántoslados tiene el polígono de menos lados?


GEOMETRÍA

Tarea domiciliaria

1. Calcular "" en el siguiente polígono regular.

2. Calcular la medida del ángulo exterior de un pentágonoregular.

3. En un pentágono regular, ¿cuánto mide el ángulocentral y el ángulo interno del polígono?

4. La figura muestra un pentágono regular, calcular:° +°.

D

°

C

B

A E

°

5. ¿Cuánto mide el ángulo externo de un icoságonoregular?

6. Calcular: x°, si ABCD es un cuadrado y CDE es untriángulo equilátero.

x°

E

D

C

A

B

7. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores deun polígono regular de 15 lados?

8. Si la medida de un ángulo interno de un polígonoregular es 120º, ¿cuántos lados tiene el polígono?

9. Se tiene un exágono regular ABCDEF. Hallar: m ACB.

10.En el siguiente pentágono regular, calcular "x°".

x°

E

D

C

A

B

11.Calcular: x°, si ABCDE es un pentágono regular y AGFEes un cuadrado.

FG

x°

E

D

C

A

B

12.Si ABCDE es un pentágono regular y CDF es un triánguloequilátero, calcular: x°

x°F

E

D

C

A

B

13.¿Cómo se llama aquel polígono regular cuya medidade su ángulo interior es cuatro veces la medida de suángulo exterior?

14.Calcular: x° si en la figura los polígonos son regulares.

x°

15.Según el gráfico, los polígonos ABCDEF y HBCQP sonequiángulos. Calcular: x°

B C

D

EF

A H

P

Q

x

16.¿Cuántos lados tiene el polígono regular en el cual el ángulointerno mide 8 veces la medida de su ángulo externo?

17.El ángulo interior de un polígono regular mide elquíntuplo de la medida de su ángulo exterior. Hallar elnúmero de lados del polígono.

140



18.¿Cuál es el número de lados de aquel polígono regularcuya medida de su ángulo interior es dos veces lamedida de su ángulo exterior?

19.El ángulo externo de un polígono regular mide 1/5 deun ángulo recto. ¿Cómo se llama el polígono?

20.ABCDE... es un polígono regular, calcular su númerode vértices.

AB

C

D

E

36°

21.Calcular "x°", si ABCDE es un polígono regular.

D

C

B

AE

x°

22.Si ABCDEF es un hexágono regular, calcular: ° + °.

B C

D

EF

A

70°

80°

23.La figura muestra un pentágono regular y un octógonoregular, calcular: °

°

24.Calcular el número de diagonales del polígono regularmostrado cuyo centro es "O".

B

C D

EO

A

25.En la figura ABCDE y BCFG son polígonos regulares.Calcular: x°

B C

D

E

Ax°G F

26.Hallar el número de diagonales de un polígono regularen el cual su ángulo interior multiplicado por la inversade su ángulo exterior es igual a 11.

27.Si a un polígono regular se le aumenta un lado, suángulo interior aumenta en 12º. ¿Cuál es el polígono?

28.¿Cuántas diagonales tiene aquel polígono regular enel cual se cumple que seis veces la medida de su ángulocentral es igual a dos ángulos rectos?

29.Al disminuir en 2 el número de lados de un polígono,su ángulo central aumenta en 6°. ¿Cuántos lados tieneel polígono inicial?

141

TRILCE


Objetivo

19CUADRILÁTEROS

(TRAPEZOIDES Y TRAPECIOS)

Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:- Clasificar a los cuadriláteros y precisar sus elementos- Graficar los diferentes tipos de cuadriláteros.- Aplicar las propiedades de cada uno de los cuadriláteros.

Definición

Es aquel polígono de cuatro lados. Puede ser convexo ono convexo.

A. Cuadrilátero convexo

D

C

B

A

360°

B. Cuadrilátero no convexo

C

DA

B

En la figura, ABCD no convexoo

• Diagonales AC y BD

Clasificación de cuadriláteros convexos

Los cuadriláteros convexos se clasifican según elparalelismo de sus lados opuestos, en:

I. TrapezoideEs aquel cuadrilátero convexo que no presenta ladosopuestos paralelos.

B

C

A D

ABCD es un trapezoide cualesquiera.

II.TrapecioEs aquel cuadrilátero convexo que sólo tiene un parde lados opuestos paralelos.

CB

A DH

En la figura, si: BC // AD, entonces ABCD es untrapecio.

• Bases: BC y AD .

• Laterales: AB y CD

• Altura: BH

CB

A Dm

M Nm n

n

b

a

Base media: MN

142

Cuadriláteros (Trapezoides y trapecios)


Clasificación de trapecios

Los trapecios se clasifican de acuerdo a la longitud desus lados laterales en:

a) Trapecio escaleno.- Es aquel trapecio cuyos ladoslaterales tienen diferente longitud.

CB

A D

En la figura, si: BC // AD y AB CD ABCD: trapecio escaleno..

b) Trapecio rectángulo.- Es aquel trapecio donde unode los lados laterales es perpendicular a las bases y esla altura del trapecio.

CB

A D

h

b

a

ABCD: trapecio rectángulo..

c) Trapecio isósceles.- Es aquel trapecio cuyos ladoslaterales son de igual longitud.

CB

A D

b

a

En la figura, si: BC // AD y AB = CD ABCD: trapecio isósceles.

CB

A D

AC=BD

Propiedades de los trapecios

1. En todo trapecio, la base media es paralela a sus basesy su longitud es igual a la semisuma de las longitudesde sus bases.

CB

A Dm

M Nm n

n

b

a

x

En la figura, MN es la base media del trapecio ABCD..Se cumple:

MN// BC x =a + b

2

Observación:

M

B

A D

ba

N

C

x

En la figura ABCD: trapecio rectángulo..Si "M" es punto medio de BC y MN AD .

Se cumple: x =a + b

2

2. En todo trapecio el segmento que une los puntosmedios de sus diagonales es paralela a sus bases y sulongitud es igual a la semidiferencia de las longitudesde dichas bases.

DA

CB b

a

P Qx

En la figura: BC // AD, "P" y "Q" son los puntos mediosde AC y BD respectivamente.Se cumple:

PQ // BC x =a - b

2

En la figura "M" es punto medio de AC y MH BD .

x =a - b

2A D

B C

M Hx

a

b

BH = HD

Se cumple:


GEOMETRÍA

1. Calcular: x°Resolución

160°

x°

80° 70°

Rpta.:

2. Calcular: x° + y°Resolución

x°

y°20°

30°

Rpta.:

144



3. En el trapecio ABCD: MN es mediana.Calcular: MN y PQ

Resolución

CB

A

M NP Q

D

2 u

4 u

Rpta.:

4. Hallar: m B + m D, si la figura es un trapecio isósceles (BC // AD).

Resolución

CB

A D

Rpta.:

5. Calcular: x°Resolución

4u

4u

8u

x°

Rpta.:


GEOMETRÍA

Practiquemos

Bloque I

1. Las medidas de los ángulos internos de un cuadriláteroestán en la relación de 4; 5; 1 y 2. ¿Cuánto mide elmayor ángulo?

2. ABCD es un trapecio de mediana MN . Calcular "MR",si: BC = 2 u, AD = 8 u y RN = 3 u.

CB

A

M N

D

R

3. De la figura, calcular: x°.

2x°120°

x°

4. Las bases y la mediana de un trapecio suman 66 cm.Calcular la longitud de la mediana.

5. ABCD es un trapecio rectángulo de bases BC y AD .Si: AB=8 cm, BC=4 cm y CD=10 cm, calcular: AD.

Bloque II

1. La longitud del segmento que une los puntos mediosde las diagonales de un trapecio mide 6u y la basemayor de dicho cuadrilátero mide 18 u. Calcular lalongitud de la base menor.

2. Calcular "CD", además: BH=4 u

DA

B

H

C

2

H

3. Si: BC // AD y BC=5 u , AD=13 u, calcular "MP".(AM = MB)

D

M

A

B C

P

4. En un trapecio la longitud del segmento que une lospuntos medios de las diagonales y la longitud de lamediana se encuentran en la relación de dos a siete.Calcular la relación entre las longitudes de las bases.

5. Siendo ABCD un trapecio (BC // AD). hallar: ADCm .

CB

A D

3u

4u

9u

4u

Bloque III

1. En un cuadrilátero ABCD: m A + m D = 140° .Calcular la medida del ángulo formado por la bisectrizinterior del ángulo "A" con la bisectriz exterior delángulo "D".

2. Se tiene un cuadrilátero ABCD equilátero donde unlado mide 6u. Si uno de sus ángulos mide 60°, calcularla longitud de la diagonal menor de dicho cuadrilátero.

3. Calcular la longitud del segmento que une los puntosmedios de las bases de un trapecio, si la suma de lasmedidas de los ángulos adyacentes a la base mayores 90° y las longitudes de las bases se diferencian en48 cm.

4. Las diagonales de un trapecio son perpendiculares ymiden 6 u y 8 u. Calcular la longitud de su mediana.

5. En un trapecio rectángulo ABCD: m A=m B = 90°,

m D = 75° y la base mayor AD es el doble del lado

AB . Hallar: m BCA .

146



Tarea domiciliaria

1. ABCD: Trapecio. Calcular "x"

DA

CB

M N

x+1

x - 1

3 u

m

m

n

n

2. Si: BC=1 u, AB=2 u y AD=3 u, calcular "CD".

D

CB

A

3. Calcular "x°" en el trapecio isósceles.

DA

CB

160°

x°+5°

4. Calcular "x°"

DA

C

B

4x° 3x°

8x°5x°

5. En el trapecio ABCD, hallar la longitud del segmentoque une los puntos medios de las diagonales AC yBD .

CB

A D

4u

26u

6. Calcular "x"

5u

x

x + 4u

a

a

7. En un trapecio una base es cinco veces el valor de laotra. Si la mediana mide 10 u, hallar la longitud de labase menor.

8. Hallar la longitud de la mediana del trapecio.

D

CB

A

b

b + 3u

11u

m

m

9. ABCD es un trapecio de mediana MN .Calcular "x", si: CH=1 u y HD=9 u.

CB

A

M N

D

H2 u

8 u

x

10.En un trapecio la longitud de la mediana es el triple dela longitud del segmento que une los puntos mediosde las diagonales. Si la base menor mide 6 cm, calcularla longitud de la base mayor.

11.En un trapecio la longitud de la mediana excede en2 cm a la base menor y la base mayor mide 8 cm.Hallar la longitud de la mediana.

12.En un trapecio rectángulo, la base menor mide 4 cm yel lado lateral mide 5 cm. Hallar la longitud de la basemayor, si la medida de un ángulo interno menor es 53°.

13.Calcular la longitud del segmento que une los puntosmedios de las diagonales del trapecio mostrado, donde:CD=10 u.

D

CB

A37°


GEOMETRÍA

14.Del gráfico, calcular: x° + 20°.

4x°x°

3a°a°

3b°b°

15.Del gráfico, calcular: x° + 10°.

B

A D2x°

C

x°

x°

16.Si ABCD es un trapecio isósceles, donde: AC=BP=PD,calcular: BPDm .

DA

CB

P

17.Si: BC // AD , calcular la longitud de la mediana deltrapecio mostrado donde: BC=7 u ; CD=10 u.

DA

CB

70°

140°

18.Si: BC // AE , BC=1 u y AB=3 u, calcular "AE".

EA

CB

19.ABCE: Trapecio isósceles. Si: BE = 5 u y BC = 3 u,calcular "AE".

CB

A E37°

20.En el trapecio ABCD, BC=4 u, CD 8 3 u .Calcular "AD"

DA

CB

60° 30°

21.Si: m B - m D = 56°, calcular "x°".

DA

CB

x°

22.Si: BC // AD y AD - CD=24 u, calcular "BC".

DA

CB

115° 130°

23.Si: AB=CD; BC // AD ; HD=7 u, calcular la longitud del

segmento que une los puntos medios de AC y BD .

DA

CB

H

148



24.Hallar la longitud del segmento que une los puntosmedios de MC y AN , si: AC=14 u.

B

A C

M N

c

c

a

a

25.Siendo ABCD un trapecio, calcular " PQ".

A D

B C

P Q

6u 10u

20u

26.La figura muestra un trapecio isósceles (BC // AD) .Si: HD=6 u, calcular la longitud del segmento que unelos puntos medios de las diagonales.

DA

CB

H

27.Si: AB=CD; BC // AD ; HD=15 u, calcular la longitudde la mediana del trapecio ABCD.

DA

CB

H

28.En un trapecio donde: BC=a y CD=b, calcular "AD".

DA

CB

80° 20°

29.Siendo ABCD un trapecio, calcular "x".

A D

B C

x

5u 12u

19u

30.En el gráfico MN es mediana del trapecio, además:

MP=PQ=QN. Calcular: BCAD

.

DA

CB

P QM N

149

TRILCE


20CUADRILÁTEROS

(PARALELOGRAMOS)

III. ParalelogramosEs aquel cuadrilátero convexo que tiene sus pares de

lados opuestos paralelos.

CB

A D

O

En la figura, si: AB //CD y BC // AD ABCD: paralelogramo

Propiedades

a. En todo paralelogramo, los lados opuestos soncongruentes.

CB

A D

AB CD

BC AD

b. En todo paralelogramo, los ángulos opuestos soncongruentes.

CB

A D

BAD BCDABC ADC

c. En todo paralelogramo las diagonales se bisecan.

CB

A D

AO = OCBO = ODO

Clasificación de paralelogramos

Romboide

Es aquel paralelogramo que tiene los lados consecutivosde diferente longitud y sus ángulos interiores tienenmedidas distintas de 90°.

CB

A D

a a

b

b

En la figura, ABCD: romboide

Rombo

Es aquel paralelogramo que tiene sus lados de iguallongitud y sus ángulos interiores tienen medidas distintasde 90°. Es equilátero.

A

L

B

C

D

L

L L

m mn

n

En la figura, ABCD: rombo

150

Cuadriláteros (paralelogramos)


Rectángulo

Es aquel paralelogramo que tiene sus lados consecutivosde diferente longitud y las medidas de sus ángulosinteriores son iguales a 90°. Es equiángulo.

A

B C

D

m m

mm

Oa

b

b

a

En la figura, ABCD: rectángulo

Cuadrado

Es aquel paralelogramo que tiene sus lados de iguallongitud y las medidas de sus ángulos interiores igual a90°.

B C

A D

L

L L

L

O

m m

mm

45° 45°

45° 45°

45° 45°

45° 45°

En la figura, ABCD: cuadrado"O": centro del cuadrado.


GEOMETRÍA

1. Si ABCD es un paralelogramo, AC=16 u , BD=22 u, calcular: OB+OC.

Resolución

CB

DA

O

Rpta.:

2. Si ABCD es un paralelogramo, calcular "BR", si: AD=10 u y CD=8 u.

Resolución

CB

A D

R

Rpta.:

152



3. Si: AC=8 u; EO=3 u, calcular: x°Resolución

A

B C

D

O

Ex°

Rpta.:

4. Si las diagonales del rombo ABCD miden 14 u y 48 u respectivamente, calcular el perímetro del rombo.

Resolución

A C

B

D

Rpta.:

5. Calcular: AD, si ABCD es un romboide y EC=1 u y AB=3 u

Resolución

CB

A D

E

Rpta.:


GEOMETRÍA

Bloque I

1. Las diagonales de un rombo miden 20 u y 48 u.Calcular el perímetro del rombo.

2. En la gráfica, calcular la longitud del segmento queune los puntos medios de AC y PD , sabiendo ademásque: BP=18 cm

A

B C

D

P

3. Si ABCD es un cuadrado y ABPQ es un rombo,calcular "x°".

B C

A D

P

Q

x°

4. Si ABCD es un cuadrado y ABPQ es un romboide,calcular "x°".

A

B

Q

D

P

x°

C

5a

4a

5. Si ABCD es un paralelogramo y AB=6 u; BC=9 u,calcular "EF"

CB

A DE

F3

Bloque II

1. Si ABCD es un rectángulo donde: AC=2(PC) y AD=8u,calcular "PQ".

A

B C

D

Q

P

2. En el interior de un cuadrado ABCD se dibuja el triánguloequilátero AED. Hallar: m BEC.

3. En un romboide ABCD, la bisectriz del ángulo "B" cortaa AD en "F". Si CD y FD miden 8u y 4u respectiva-a-mente, calcular la longitud del segmento que une lospuntos medios de FB y CD .

4. El perímetro de un rombo mide 12 u y una de susdiagonales es congruente con un lado. Calcular lalongitud de la diagonal mayor.

5. En un rectángulo ABCD se traza BH AC , la bisectriz

del ángulo DBH interseca en "F" a CD . Si: BF 6 2u ,

DF=5 u, calcular "AB".

Bloque III

1. En un romboide ABCD, se traza AE perpendicular a

BC ("E" en BC ) y por "B" se traza una recta que cortaa AE en "F" y AD en "G". Calcular "CD", si: FG=10u ym ABG=2(m GBC).

2. En un romboide ABCD, se traza BP y DQperpendiculares a AC , tal que: AB=PQ y m ABP=53°.Hallar: m ACB .

3. En un paralelogramo ABCD se cumple que: AC=2(AB)y m ADB=45°. Hallar: m BAC.

4. En un romboide ABCD "M" es punto medio de CD , luego

por "D" se levanta una perpendicular a AD que corta a

BM en "R". Calcular "AR", si: BR=5 u y RM=2 u.

5. En un paralelogramo ABCD, por el vértice "A" se trazauna recta secante que interseca a la prolongación dellado DC en "Q". Además la altura DH ("H" AB)

intersecta al segmento AQ en "M".Si: 2(m BAM) = m MAD y BC=24 u; calcular "MQ".

Practiquemos

154



Tarea domiciliaria

1. Calcular "x°"

C

B

A D

80°

2x°

7x°

x°

2. Calcular "x°", en el paralelogramo ABCD.

CB

A D40°

x°+20°

3. Calcular "BD", si ABCD es un paralelogramo.

CB

DA

O

15

xx - 12

4. Calcular "BD", si ABCD es un paralelogramo.

CB

DA

O8

x

x + 4

5. Hallar el perímetro del cuadrado ABCD.

A

B

D

C

8u

6. Si ABCD es un romboide, calcular "BP".

CB

A D17u

8u

P

7. Calcular "BD", si ABCD es un paralelogramo, AO=8;OC=x + 2; OD = x - 1.

CB

DA

O

8. En el rectángulo ABCD, hallar su perímetro, si:OB=8,5 u y CD=8 u.

A

B C

D

O

9. Siendo ABCD un romboide, calcular "x".

CB

DA

12u

x

8u

H

10.Si ABCD es un rectángulo, calcular "°".

A

B C

D

32°

11.Si ABCD es un cuadrado y AP=CD, calcular "°".

A

B

P

D

C

12.Si ABCD es un paralelogramo, PC=6 u y CD=9 u,calcular "AD".

CB

A D

2P


GEOMETRÍA

13.El perímetro de un paralelogramo mide 64 u y cadalado mayor excede al menor en 4 u. ¿Cuánto mide ellado mayor?

14.Hallar el perímetro de un rombo ABCD sabiendo que

m BAD=60° y la diagonal mayor mide 4 3u .

15.Si ABCD es un cuadrado de perímetro 16 u y CDE esun triángulo equilátero, calcular la distancia desde "C"

hasta AE .

A

B

D

C

E

16.Calcular el perímetro de un rombo, si sus diagonalesmiden 10 u y 24 u.

17.En un rectángulo ABCD la m ACD=70°. Calcular lamedida del menor ángulo formado por sus diagonales.

18.Hallar la medida del menor ángulo interno de un rombo,si la longitud de una de sus diagonales es igual a lalongitud de un lado.

19.Si el lado de un cuadrado mide 12 u, hallar la longitudde su diagonal.

20.Si ABCD es un trapecio isósceles y PCD es un triánguloequilátero, calcular x°.

A

B C

DP

x°

21.Si la longitud de la diagonal de un cuadrado es "L",calcular la longitud del lado del cuadrado.

22.Si ABCD es un trapecio; AB=4 u, CD=6 u y AD=8 u,calcular "PQ".

A

B C

DQ

P

23.Grafique al paralelogramo ABCD de modo que:AD=12 u; AB=9 u y la medida del ángulo "A" es

igual a 60°. Si se traza la altura BF relativa a CD

("F " CD) , calcular "FD".

24.Se tiene un paralelogramo ABCD, sobre CD se ubicael punto medio "M", tal que: m ABM=90°. Calcular"AD", si: AB=6 u y MB=4 u.

25.En el gráfico; PC=3(AP) y AM=MD. Además: AB=1,5 uy BC=2 u.

P

Mx°A

B C

D

26.Si ABCD es un cuadrado y PBCQ es un paralelogramo,calcular "PM", si: AB=10 u y PB=6 u.

B C

A D

P QM

27.En el gráfico ABCD es un romboide, PC=3(AP) yBP=6 u, calcular "BH".

CB

DAP

H

28.Si ABCD es un cuadrado de perímetro 40 u y CP=PD,calcular "BH".

A

B

P

D

C

H

156



29.En un rectángulo ABCD, se toman los puntos medios"E" de AD y "F" de CE ; AF prolongado corta a CDen "G". Calcular "FG", sabiendo que: AF=45 u.

30.Calcular "x°", si ABCD es un trapecio isósceles yBD=AQ=QC.

CB

A D

Q

x° 80°

CB

A D

Q

x° 80°

CB

A D

Q

x° 80°

CB

A D

Q

x° 80°

157

TRILCE


21R E P A S O

(EVALUACIÓN MENSUAL)

Bloque I

1. En la figura, calcular: x° + 10°.

C

B

A D

5x°8x°

4x° 3x°

2. Si: BC // AD ; calcular "x".

A

B C

D

m

m

n

n

a+5

17 - a

M Nx

3. En la figura PQRS es un trapecio. Calcular "x°" e "y°".

(SR //PQ)

QP

S R

x°+5°

2x° - 5°

70°

y°

4. Si ABCD es un romboide, calcular "x°".

7x°

8x°BC

A D

5. Si: BC // AD ; calcular "AH" , si: LD=4 u.

A

B C

DH L

30° 45°

6. Calcular la suma de las medidas de un ángulo exteriory un interior de un endecágono regular.

7. La base menor de un trapecio mide 5 u y la base mayorexcede en 3u a la mediana. Calcular la longitud de labase mayor.

8. En la figura; calcular la longitud del segmento que unelos puntos medios de las diagonales, si: AB=4 m.

A

B C

D45°

9. Se tiene un trapecio ABCD de bases AB=3 u y CD=10 u.Calcular la suma de las longitudes de la mediana y elsegmento que une los puntos medios de las diagonales.

10.Se tiene un trapecio cuyas bases AD y BC , suman 16 u,además "M" y "N" son puntos medios de AC y BDrespectivamente. Calcular la longitud del segmento queune los puntos medios de MB y NC .

Bloque II

1. Si ABCDEFGH es un polígono equiángulo, calcular "x°".

A

B

CD

GFH

E

x°

Practiquemos

158

Repaso (Evaluación mensual)


2. ¿Cuántos lados tiene aquel polígono convexo en el cual,la suma de las medidas de los ángulos interiores escinco veces la suma de las medidas de los ángulosexteriores?

3. Dado el triángulo ABC, se trazan las medianas AN yCM . Calcular la longitud del segmento que une lospuntos medios de AN y CM , siendo: AC=32 u.

4. Calcular la medida del ángulo formado por lasmediatrices de dos lados consecutivos de un nonágonoregular.

5. En la figura: AB=6 m y AD=10 m (BC // AD)Calcular "BC".

CB

A D

140° 110°

Bloque III

1. En la figura ABCDEF es un hexágono equiángulo.Si: AB=3 u, BC=4 u, CD=5 u y AF=6 u; calcular "EF".

A

B C

D

F E

2. La figura ABCDEFGH es un octógono equiángulo.

Si: AB 3 2 u y BC=1 u; calcular "AC".

A

B C

D

GF

HE

3. En un exágono ABCDEF, BC=4 u; AB=3 u; CD=6 u yDE=5 u. Hallar el perímetro del hexágono equiángulomencionado.

4. En el romboide ABCD: m BDC=90°, "M" es el puntomedio de AD tal que: AD=20 u. Por "A" y "B" se trazanparalelas a BM y CM respectivamente las cuales seintersecan en "N", calcular "AN".

5. Se tiene el romboide ABCD, tal que m BCD=80°.Hallar: m O D1 O2 tal que "O1" y "O2" son incentrosde los triángulos ABD y BCD respectivamente.


GEOMETRÍA

Tarea domiciliaria

1. Hallar la longitud de la mediana del trapecio ABCD

(AB // CD) , si: AB=6 u y CD=8 u.

BA

D C

2. Hallar la longitud de la mediana del trapecio.

a

a

4u

20u

3. Siendo ABCD un trapecio, calcular "x", si además:AM=MC y BN=ND.

CB

A D

b

b + 10

xM N

4. Si ABCD es un cuadrado y BQPC es un romboide,calcular "°".

A D

B 120°

Q P

C

5. Si ABCD es un trapecio isósceles, calcular "x°".

CB

A D

x°

40°

6. Calcular la suma de ángulos internos de un polígono,en el cual el número de diagonales es igual a su númerode lados.

7. Si ABCD es un trapecio isósceles, calcular "x°".

DA

B C

38°

x°

8. En la figura se muestran un cuadrado y un pentágonoregular. Calcular:

9. La suma de las medidas de los ángulos internos dedos polígonos es 900°. ¿Qué pares de polígonoscumplen con dicha condición?

10.¿En qué polígono el número de ángulos más el númerode vértices es igual al número de diagonales?

11.El gráfico muestra el hexágono ABCDEF, hallar:m BAF .

B C

AF

E

D

12.ABCDEF y PQRDS son polígonos equiángulos.Calcular "°".

B

C D

E

A F

R

Q

P S

160

Repaso (Evaluación mensual)


13.Se tiene un trapecio isósceles PQRS (QR //PS) .

Hallar: m QRS, si: m QPS=80°.

14.Si ABCD es un cuadrado y APD es un triánguloequilátero, calcular "x°".

A B

P

D C

x°

15.En el trapecio ABCD, calcular: PQ; si: BC=4 u , AD=8 uy AP=PC.

CB

A D

P Q

16.Se tiene un cuadrilátero PQRS. Si m QPS = 70° ,m PQR = m PSR = 90°; hallar la medida del ánguloexterior en "R".

17.En un cuadrado ABCD, interiormente se construye eltriángulo equilátero ABR. Hallar: m RCD.

18.Si ABCD es un romboide y AM=MB, PN=ND, además:AD=12 u y DC=4 u, calcular "MN".

CB

A D

M

P

N

19.Si ABCD es un rombo y BM=MC, calcular "x°".

A D

B CM

x°

20.En la figura mostrada, ABC es un triángulo equilátero.Calcular "x".

A C

B

M

8 u

8 ux

21.Calcular la longitud del segmento que une los puntos

medios de AP y CD , sabiendo que: CD=4 u , AD=10 u.

P

A

B C

D

22.Si ABCD es un rombo y PADQ es un cuadrado, calcular"x°".

B C

A

P

D

Q

x°

40°

23.En el gráfico mostrado, calcular "EA", si: DC=8 2 u yDB=BA.

82°D

45°

B

E A

C


GEOMETRÍA

24.Si ABCD es un trapecio donde "P" y "Q" son puntosmedios de AB y CD respectivamente, además:BC=2 u, AD=8 u y PR=4 u, calcular "x°".

DA

B C

49°

x°P Q

25.En el gráfico ABCD es un paralelogramo. Calcular "x°",si: BP=2(PQ).

A D

B CP

x°

Q

26.Si ABCD es un romboide, donde: BP=2(PD), calcular "x°".

A D

B C

30° x°P

27.En un trapecio ABCD de bases AB y CD , se trazan lasbisectrices de los ángulos "A" y "D" que se cortan en"R" y las bisectrices de los ángulos "B" y "C" que secortan en "S". Calcular "RS", si: AB=4 u, CD=12 u,AD=7 u y BC=9 u.

BA

D C

BA

D C

BA

D C

BA

D C

28.Si BC // AD , AP=PB; BC=6 u, AD=12 u, calcular "PQ".

P

D

B

Q

A

C

29.La medida de un ángulo interior de un polígono regulares de 135°. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono?

30.Si ABCD es un cuadrado y ECF es un triángulo

equilátero, calcular: AEDF

.

B C

A DF

E

163

TRILCE


22CIRCUNFERENCIA

Objetivo

Al finalizar el presente capítulo el alumno estará en la capacidad de:

- Reconocer la circunferencia y cada uno de sus elementos.- Diferenciar la circunferencia del círculo.

Definición

Es el conjunto de todos los puntos de un plano queequidistan de otro punto de dicho plano denominadocentro. A la distancia constante de estos puntos al centrose denomina radio de la circunferencia.

RO

En la figura, se muestra una circunferencia de centro "O"y radio "R".

Líneas asociadas a la circunferencia

R

OA B

C

D

P

Q

T

LT

EF

En la figura, se tiene la circunferencia de centro "O" yradio "R".

• Cuerda: CD

• Diámetro: AB

• Flecha o sagita: EF

• Recta secante: PQ

• Recta tangente: L T

• Arco: Es una porción cualquiera de la circunferenciadeterminada por dos puntos de la misma, denominadosextremos del arco, en la figura, por ejemplo el arco PQ

se denota: PQ.

* Observación:El círculo, es la porción de plano que comprende lacircunferencia y su región interior.El perímetro del círculo es igual a la longitud de lacircunferencia, entonces se cumple:

L = 2. R

L : Longitud de la circunferenciaR: Radio de la circunferencia

Propiedades fundamentales en todacircunferencia

1. La recta tangente a una circunferencia es perpendicularal radio trazado en el punto de tangencia.

O T

LT

En la figura L T: recta tangente a la circunferencia en "T".se cumple:

OT LT

164

Circunferencia


2. Todo diámetro perpendicular a una cuerda biseca adicha cuerda y a los arcos que subtiende.

O NM

A

B

H

En la figura, MN : diámetro, si: MN AB

se cumple: AH = HBademás:

mAN = mNB y mAM = mMB

3. En una misma circunferencia o circunferenciascongruentes, si dos arcos son de igual medida suscuerdas correspondientes son de igual longitud,además dichas cuerdas equidistan del centro.

O

B D

A C

M H

En la figura, si: mAB = mCD

se cumple: AB = CD y OM = OH

4. En una circunferencia los arcos comprendidos entredos cuerdas paralelas son de igual medida.

A B

C D

T Recta tangenteTL

En la figura, si: AB //CD

Se cumple: mAC = mBD

También, si: TL // AB

se cumple: mAT = mTB

5. Los segmentos tangentes a una circunferencia trazadosdesde un punto exterior, son de igual longitud.

A

B

P

Or

En la figura, PA y PB son tangentes a la circunferencia.

Se cumple: PA = PB

Polígono circunscrito a una circunferencia

I.

B

A C

- Triángulo ABC, circunscrito a la circunferencia.- Circunferencia inscrita al triángulo ABC.

II.

B

A

C

D

- Cuadrilátero ABCD, circunscrito a la circunferencia.- Circunferencia inscrita en el cuadrilátero ABCD.

Teorema de Poncelet.- En todo triángulo rectángulo secumple que la suma de las longitudes de sus catetos esigual a la suma de la longitud de su hipotenusa y el doble dela longitud del radio de la circunferencia inscrita al triángulo.

B

A

C

IAB + BC = AC + 2r

r r: Inradio


GEOMETRÍA

1. En el gráfico: "O" es centro y APB = 28°m . Calcular "x°"

O

P A

B

r

rx°

Rpta.:

2. Calcular ""

D

B

C

A

64°

Rpta.:

166

Circunferencia


3. Hallar "x°", si "P" es punto de tangencia.

O

P

B

40°

r

A110° x°

Rpta.:

4. Si: mAB = 42°. Hallar: CEDm .

D

B

CA

E

Rpta.:

5. Hallar "y°". si "T" es punto de tangencia; mTA = 70° y mAB = 120°.

B

A

T

Py°

Rpta.:


GEOMETRÍA

Bloque I

1. Calcular "PA", si "A" y "B" son puntos de tangencia.

A

B

P

2. En el gráfico, si: PT = 4 u y AB = 6 u, calcular "x°".("T": punto de tangencia)

BA O

Tx°

P

3. Calcular "°", si "T" es punto de tangencia.

BA O

T

2

4. En la figura, calcular "x + y + z", si: AB=5 u, BC=6 u yAC=7 u.

B

A C

PQ

Rx

y

z

5. Calcular la longitud de la flecha correspondiente a AB ,si: AB = 6 u y r = 5 u.

A

B

O

r

Bloque II

1. Calcular "r", si: AB=3 u y BC=4 u.

B

A

C

O r

2. Calcular "BC", si: AE=3 u; AB=4 u; EC=7 u.

A

B

C

E

3. Calcular "AM", si: AB=8 u, BC=7 u y AC=6 u.("M": punto de tangencia)

B

A

C

M

4. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 u y15 u, calcular la longitud de su inradio.

5. Calcular "x°", si: TQ=QP.("T" es punto de tangencia)

OQ

T Px°

Practiquemos

168

Circunferencia


Bloque III

1. Calcular "x°", si: QN=7 u y R=3 u.("P" y "T" son puntos de tangencia)

OR

T N

P

Q

x°

2. En una circunferencia de radio que mide 13 u se tieneuna cuerda AB que mide 24 u. Calcular la longitud dela flecha correspondiente a AB .

3. En un triángulo rectángulo las longitudes de lahipotenusa y el inradio suman 21 u. Calcular elsemiperímetro del triángulo rectángulo.

4. En un triángulo rectángulo de semiperímetro igual a16 u, inradio igual a 3 u, calcular la longitud de lahipotenusa.

5. Calcular la longitud del radio de la circunferencia inscritaa un triángulo rectángulo, si la diferencia entre elsemiperímetro y la longitud de la hipotenusa es 4 u.

6. Dado un trapecio isósceles circunscrito a unacircunferencia si un lado no paralelo mide 13 u, calcularla longitud de la mediana del trapecio.

7. Un trapecio rectángulo está circunscrito a unacircunferencia. Si el radio de la circunferencia mide 2 uy uno de los lados no paralelos mide 5 u, calcular lalongitud de la base menor.


GEOMETRÍA

Tarea domiciliaria

1. Calcular "°" ("T": Punto de tangencia)

T

2

rO

2. Calcular la longitud del inradio del triángulo rectángulo,si: AB=48 u y BC=64 u.

A

B

C

3. En la figura PT es tangente, "O" centro de lacircunferencia. Calcular la longitud del radio de lacircunferencia, si: PT=12 u y PO=13 u.

O

TP

4. Calcular la longitud de la flecha correspondiente a ABsi: AB=8 u, R=5 u.

A

B

OR

5. Si: AQ=9 u y CT=13 u, calcular "AC".

Q

A

T

CR

6. Calcular: x + 8 u

8u

C

Ox

15u

7. Si: AB=7 u y BC=24 u, calcular: r + 5u.

C

O

r

B

A

8. Calcular la longitud de la flecha de la cuerda AB ;si: R=13 u y AB=24 u.

O R

A B

9. Si: PA = 8u y r = 5u, calcular "PT"

Or AB

T

P

10.Si: AB=8 u, BC=7u y AC=5u, calcular "AM".

C B

A

M

170

Circunferencia


11.Calcular "AM"; si: AB=13 u, BC=14 u y AC=15 u.

A

B

CM

12.Calcular la longitud del inradio de un triángulorectángulo de catetos 2 u y 1,5 u.

13.Calcular: "BC", si: AE=5 u ; AB=6 u y EC=8 u.

A

B

C

E

14.En la figura, calcular el perímetro del cuadrilátero ABCD.

B

A

C

D

13u17u

15.Calcular "x°". ("T" es punto de tangencia)

BA O

T

4x° x° P

16.En un triángulo ABC recto en "B", calcular la longituddel inradio del triángulo si: AB=8u y BC=15u.

17.Calcular "x°" ("T": punto de tangencia)

OR

x°x°

T

18.Calcular "AP", si: AB=6 u, BC=8 u y AC=12 u.

A

B

CR

P Q

19.Si: AB=6 u ; CD=8 u y AD=11u, calcular "BC".

B

A

C

D

20.Calcular:

r3

, si: AB=8 u y BC=15 u.

C

r

B

A

21.En un trapecio isósceles AD = BC = 8 u; calcular lalongitud de su mediana.

BA

CD

22.Los catetos de un triángulo rectángulo miden 18 u y24 u. Calcular la medida del inradio.

23.Calcular: AB + CD, si la mediana del trapecio ABCD

mide 18 u. (BC // AD)

B

A

C

D


GEOMETRÍA

24.Un triángulo rectángulo tiene catetos que miden 7 u y11 u. Calcular el inradio más el circunradio.

25.En un cuadrilátero circunscriptible ABCD, AB=7 u,BC=5 u y CD=8 u. Calcular "AD".

26.Calcular "x°", tal que: QP=PS y AB=2AP.

BA O

P

Q

S

30°

x°

27.En el gráfico: PM=6 u. Calcular el perímetro del triánguloPQR, si "A", "M" y "N" son puntos de tangencia.

M

A

NR

Q

P

28.Los lados de un triángulo miden 9 u; 12 u y 15 u.Calcular la longitud del inradio del triángulo.

173

TRILCE


23ÁNGULOS ASOCIADOS A

LA CIRCUNFERENCIA

1. Ángulo central

A

O

B

x°

En la figura, AOB: ángulo central

se cumple: x° = °

2. Ángulo inscrito

A

B

P x°

En la figura, APB: ángulo inscrito

se cumple:

x2

3. Ángulo seminscrito

A

x°

BPRecta tangente

En la figura, APB: ángulo seminscrito

se cumple:

x2

4. Ángulo interior

A

B

N

M

P x°

En la figura, APB: ángulo interior

se cumple:

x2

5. Ángulo exterior

a. Formado por dos rectas secantes

A

B

D

CP

x°

En la figura, APB: ángulo exterior

se cumple:

x2

b. Formado por una recta secante y una tangente

A

B

TP

x°

Rectatangente

En la figura, TPA: ángulo exterior

se cumple:

x2

174

Ángulos asociados a la circunferencia


c. Formado por dos tangentes

A

B

P

x°

En la figura, APB: ángulo exterior

se cumple:

x2

además: x° + ° = 180°

CUADRILÁTERO INSCRITO

Definición

Es aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a unamisma circunferencia.

A

B

C

D

Circunferenciacircunscrita al

ABCD

En la figura, "A", "B", "C" y "D", son puntos de lacircunferencia entonces:

ABCD inscrito en la circunferencia

Observaciones:

1. En todo cuadrilátero inscrito los ángulos interioresopuestos son suplementarios.

A

B

C

D

En la figura, ABCD: inscrito

se cumple: + = 180°

2. En todo cuadrilátero inscrito, sus diagonales determinancon los lados opuestos ángulos de igual medida.

A

B

C

D

En la figura ABCD: inscrito

se cumple: =


GEOMETRÍA

1. Calcular "x", si: AP = r ("P" es punto de tangencia)

O

r

P

A

x°

Rpta.:

2. Si: AE = 24 u y R = 13 u; hallar la distancia de "O" a la cuerda AE

OR

EA

Rpta.:

176



3. Calcular "r", si: OP = 4 u.

O

r

B

AP

Rpta.:

4. En el gráfico; "B", "C" y "T" son puntos de tangencia, tal que: AB = 16 u y r = 9u. Hallar "AP".

O

r

T

CP

B

A

Rpta.:

5. Siendo: O el centro y Q punto de tangencia. Hallar "x" si: BPQ = 26°m

Q

O BA Px°

Rpta.:


GEOMETRÍA

Bloque I

1. En el gráfico mostrado "P" y "T" son puntos detangencia, calcular "x°".

P

T

x°

2. Calcular "x°".

O

A

B

C100°

x°

3. Hallar: mAC , si: BA=AD..

CB

A

D

30°

4. Se tiene un trapecio ABCD inscrito en una circunferencia

(BC // AD) . Hallar m BDA , si: mBC + mAD = 100°.

5. En una circunferencia se trazan la cuerdas AB y CD ,las cuales se interceptan en "P". Calcular la medida delángulo APD, si: mAC = mBC y mBD = mAD.

Bloque II

1. Si "P" y "Q" son puntos de tangencia, calcular "x°".

C

B

A

PQ

70°

x

2. En la figura "A" y "B" son puntos de tangencia.Calcular "x°".

B

A

x°

140°

3. En la figura, calcular "x°", si "O" es centro de lacircunferencia.

O x°

80°

4. En el gráfico, calcular "x°", si: °+° = 100°

B

CA

x°

5. En la figura, calcular "x°".

120°

140°

x°

Practiquemos

178



Bloque III

1. En la figura, calcular "x°".

3x°2x°

2. Calcular "x°".

B

CA

x°D

Z

H

110°

3. Siendo ABCD un romboide, calcular "x°". ("B" y "D"son puntos de tangencia)

x° 15°A

B

D

C

4. Desde un punto "P" exterior a una circunferencia se trazala tangente PC y la secante PAB; en la prolongación deCA se ubica el punto "D". Si: m CPA + m CBA = 80°,hallar: m BAD.

5. En una circunferencia de centro "O", de radios OA yOB, sobre el menor arco AB , se toma el punto "F" talque: m AFB=130°. Calcular "m AOB".


GEOMETRÍA

Tarea domiciliaria

1. Calcular " x°".

40°

x°

2. Calcular " x°".

130°

x°

3. Calcular " x°".

A

B

E

B

74°

x°

4. Calcular "mQS", si OPQR es un cuadrado..

R O

Q P

S

R

5. Calcular " x°". ("P" y "T" son puntos de tangencia)

P

T

40°x°

P

T

40°x°

P

T

40°x°

6. Calcular "x°", si BC=CD.

A

BC

D110°

x°

7. Calcular "x°", si mPQ = 60°.

O

P

x°

Q

8. En una circunferencia se traza el diámetro PQ y lacuerda PA . Hallar: PAQm .

9. Hallar: m APD, si: mBC = 60°.

PA B

C

D

10.Hallar: m PQR, si: m ABC=20°.

B

A C

P R

Q

11.Calcular " x°".

O

90°

x°

180



12.Calcular " x°".

O

B

R

R

13.Calcular "x°", si: mAB = 90°.

A

B

50° x°

C

D

E

A

B

50° x°

C

D

E

A

B

50° x°

C

D

E

14.Del gráfico, calcular "x°".("A" y "B" son puntos de tangencia)

B80°

A

x

15.Hallar: PRQm

P Q

R

110° 130°

16.Del gráfico, calcular: "a° + b°".

80°

a°

b°

17.Siendo ABCD un paralelogramo, hallar " ABCm ", si:

mBCD = 150°.

A

C

D

B

18.En la figura la recta "L" es tangente a la circunferenciade centro "O" en "A".

Calcular: mBC , si: m NAB=50°.

B

C

O

A

L

N

19.Hallar: m ALC , si: mBM = mMC ; MPC = 80°m .

M

A

C

L

P

B

20.Hallar: ABDm , si: BAT=30°m ; DCT=20°.m

Además: L1 L2 . ("A" y "T" son puntos de tangencia)

A

C

DB

L

T

2

L1


GEOMETRÍA

21.En la figura se muestran dos circunferenciascongruentes. Calcular: x°, si: AB=BC=CD.

A

D

B

C

Px°

22.En la figura si "O" es centro, calcular "r".

O

rA

T

2

3

O

rA

T

2

3

PO

rA

T

2

3

23.Calcular: mPQ

AP

BQ

80° 30°

24.En la figura mostrada, calcular "x°".

4x°

5x°

25.Si: mBC = 120°, m AEB=40°, calcular "x°".("A" es punto de tangencia)

A

C

E

Bx°

26.En la figura: mPB = mCD, calcular: mBD.("A", "B", "C" y "D" son puntos de tangencia)

P

A

B

C D

27.Hallar: m PLO, si "O" es centro y "T" es punto detangencia.

T

O

L

P38°

28.En la figura si "A" y "B" son puntos de tangencia,calcular "x°".

x°A

C

D

B

29.En la figura "N" y "F" son puntos de tangencia, hallar

mAB ; si: mCB = 40° y mEA = 35°.

B

F

AE

N

C

30.En la gráfica, mABE = mAF y mECD = mGD.Hallar: m APC. ("B" y "C" son puntos de tangencia)

A

P

D

G

F

E

B C

183

TRILCE


24REPASO BIMESTRAL

Bloque I

1. Calcular "x", si ABCD es un romboide.

A

B

D

C

E

9u

15u

x

2. Calcular el perímetro de un romboide si las bisectricesde los ángulos A y D se cortan en un punto P de BC .Además: CD=8u.

3. Calcular la longitud de la flecha de la cuerda AB, si:AB=24 u y R=13 u.

A

B

R

O

4. Si: AB=9 u y BC=12 u, calcular "r".

A

B C

rO

5. Calcular "x"

A

C

D

B

x+35

8-2x

x2

Bloque II

1. En la figura, ° + ° = 140°; si "A" y "B" son puntos detangencia, calcular "x°".

B

A

x°

2. Calcular "x°".

100°x°

3. En la figura, "P", "Q" y "R" son puntos de tangencia.

Hallar: mAB

R

B

A

Q

P

Practiquemos

184

Repaso bimestral


4. En el gráfico calcular "x°".("T" y "D" son puntos de tangencia)

T C

A D40°

40°x°

5. Calcular "AM", si "M"; "N" y "Q" son puntos detangencia, AB=5 u BC=7 u y AC=10 u.

A

B

C

MN

Q

Bloque III

1. En una circunferencia de radio que mide 13 m se tieneuna cuerda AB que mide 24 m. Calcular la sagita de lacuerda AB.

2. En un triángulo rectángulo un cateto mide 28 m y lasuma de las longitudes de su inradio y circunradio esde 20 m. Calcular la longitud del otro cateto.

3. Desde un punto "P" exterior a una circunferencia setrazan la tangente PC y la secante PAB . En laprolongación de CA se ubica el punto "D".Si: m CPA + m CBA = 80°; hallar "m BAD".

4. En la figura "A", "B" y "C" son puntos de tangencia.

Hallar: mPAQ

40°A

P

Q

R

S

B

C

50°

5. Calcular "r", si: AB=5 u y BC=12 u.("P", "Q" y "T" son puntos de tangencia)

B

CA

rO

P

Q

T


GEOMETRÍA

Tarea domiciliaria

1. En un pentágono regular, ¿cuánto mide el ángulocentral y el ángulo interno del polígono?

2. En la figura BC // AD . Calcular: a° y b°.

A D

CB

2a° - 5° b°

a°+5° 70°

3. Calcular la suma de las medidas de un ángulo interiordel hexágono y la medida de un ángulo exterior de unoctógono.

4. En la figura, calcular "x°"; si "P" y "Q" son puntos detangencia.

Q

P

x°

B

A C

38°

5. En un trapecio su mediana mide 6 u y su base mayormide cuatro veces la longitud de la base menor. Hallarla longitud de la base mayor.

6. En el gráfico, calcular "x°", si: mAB = 80°.

E

C

B

A

D

x°

7. En la figura ABCD es un cuadrado y AP=AB. Hallar:m APL .

A D

CB

P

L30°

8. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de lasmedidas de sus ángulos internos y externos es 3 960°?

9. En la figura mostrada "O" y "O1" son centros "P", "Q" y"T" son puntos de tangencia, calcular "x°".

T

Q

P O1

O

10.Hallar: m B + m C, si m BCP=40° y "C" es puntode tangencia.

B

C

A

P

11.Calcular "x", si "O" es centro, BC=30 m y r=17 m.

OB

C

r

x

12.Calcular "r"

B

C

6 8

A

rO

13.En la figura, calcular "r + 1".

B

C

724

A

r

186

Repaso bimestral


14.En la figura; si: b + r = 17 m, hallar el perímetro deltriángulo ABC.

B

C

c a

A

r

b

15.En la figura "O" es centro de la circunferencia, si:BC=8 m, calcular "OP".

O

A

C B

P

16.En la figura "M", "N" y "Q" son puntos de tangencia.Calcular "x°".

Q

Nx°

B

A C

M

130°

17.En la figura; calcular "°", si "T" es punto de tangencia.

A

CB

T

O

2

18.En la figura: AB=7 m y CD=10 m.Calcular: BC

B

D

C

A

O

19.En el trapecio isósceles (AB //DC) ; AD=BC=20 m.Calcular la longitud de la mediana.

A

D C

B

20.En un triángulo ABC, la circunferencia inscrita determinael punto de tangencia "Q" en AC . Si: AB=10 u, BC=12 uy AC=18 u, calcular "AQ"

21.En la figura "O" es centro, AN = NB; AB=24 m; r=13 m.Calcular "MN"

OA

B

rN

M

22.Un cuadrilátero está circunscrito a una circunferencia;si los lados opuestos miden 6 m y 8 m, hallar elperímetro del cuadrilátero.

23.¿En qué polígono regular la medida de un ángulointerno es el triple de la medida de un ángulo externo?

24.¿Cuántos lados tiene el polígono convexo cuyo númerode diagonales excede al número de vértices en 18?

25.Calcular la medida del menor ángulo interior de unoctógono convexo, en donde las medidas de los ángulosinternos están en progresión aritmética de razón 10°.

26.Al aumentar en 3 el número de lados de un polígono,el número de diagonales se duplica. Calcular la sumade las medidas de los ángulos internos.

27.En la figura "O" es centro, "P" es punto de tangencia,calcular "x°".

O

P

x°

28.En una circunferencia de centro "O"; se traza el

diámetro PQ y la cuerda AB que se intersectan en

"D" tal que: mBQ = 3mAP . Calcular "AD", si: PD=3uy PQ=16u.

poligfonpd

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