poliedros1

Polgonos y poliedros

Rojo central (1980).El cientfico se ocupa de demostrar hechos, para comprobarlos, lasmentes ms estrictas utilizan ecuaciones matemticas, luego vienenotros hombres, que aplican estos conocimientos y los traducen enobjetos concretos con aplicabilidad prctica. El artista por su partedemuestra la otra realidad del universo, aquella que no es tangible,aquella que no se puede demostrar a travs de esas frmulasmatemticas: es la realidad sensible, son dos formas de explo-rar, descubrir y explicar el universo, los cuales normalmentemarchan paralelas"

Jess Rafael Soto (Venezuela, 1923 -2005).

Fascculo 3 Polgonos y poliedros18

Pasamos del mundo de los polgonos (figuras planas o bidi-mensionales) al mundo de los poliedros (cuerpos en el espaciotridimensional). En el proceso de fabricacin de piezas y enla construccin de edificios tiene especial importancia lainterpretacin del plano de la pieza o del edificio, para luegoconstruir el modelo, rplica de la pieza que se producirposteriormente.As tambin construimos cuerpos a partir de sus respectivasredes o planos, lo que nos permite proyectar edificios y estruc-turas de uso en la construccin y el diseo.Las figuras representadas son cuerpos geomtricos en el espa-cio, limitados por un nmero finito de superficies planas.Estos cuerpos reciben el nombre de poliedros. Las superficiesplanas en cuestin son polgonos y se denominan caras delpoliedro.

El mundo de los poliedros

Observa cualquiera de los poliedros que estn dibujados yalgunos de sus elementos caractersticos:a) Cmo definiras cada uno de sus elementos?b) Cuntas caras, vrtices y aristas tiene?c) Cuntas caras, como mnimo, habr que juntar en un

vrtice?d) Cunto pueden sumar, como mximo, los ngulos de las

caras que concurren en un mismo vrtice?Se denomina orden del vrtice al nmero de caras que con-curren a un mismo vrtice. Este poliedro tiene orden del vr-tice 3.

Cara

Vrtice

Este es un poliedro que tiene 14vrtices, 21 aristas y nueve caras.

Este cuerpo geomtrico no es unpoliedro.

Por qu el cuerpo de la derecha no es un poliedro?

Poliedros

No convexos (cncavos)Convexos

Regulares (slo hay 5) No regulares Regulares estrellados(hay 4)

No regulares

Se caracterizan porque cada uno de ellos se puedeapoyar en una superficie plana sobre cada una desus caras.

Se caracterizan porque cada uno de ellos no sepuede apoyar en una superficie plana sobre algunade sus caras.

Se caracterizan porque to-das sus caras son polgo-nos regulares congruentesy en cada vrtice concurreel mismo nmero de caras.

Decide: cules de los siguientes cuerposson poliedros? Cules son convexos?Cules son cncavos? Cules son regu-lares? y cules son irregulares?

Explica en cada caso el porqu de tudecisin.


Clasificacin de poliedrosUna clasificacin de los poliedros es lasiguiente:

Se caracterizan porque sonpoliedros con caras no con-gruentes y en el caso de lasegunda figura, aunque suscaras son congruentes no tie-nen el mismo nmero decaras en cada vrtice.

A CB D

E F G H


Los poliedros regulares convexos son conocidos con el nombre deslidos platnicos en honor al filosofo griego Platn (428-347 a.C.)que los cita en el Timeo, pero lo cierto es que no se sabe en que pocallegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, eltetraedro y el dodecaedro a Pitgoras (siglo IV a.C.) y el octaedro eicosaedro a Teeteto (415-369 a.C.). Para Platn los elementos ltimosde la materia son los poliedros regulares, asignando el fuego al tetraedro(el fuego tiene la forma del tetraedro, pues es el elemento mas pequeo,ligero, mvil y agudo), la tierra al cubo (el poliedro mas slido de loscinco), el aire al octaedro (para los griegos el aire, de tamao, peso yfluidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros) y elagua al icosaedro (el agua, el ms mvil y fluido de los elementos,debe tener como forma propia o "semilla , el icosaedro, el slido mscercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar),mientras que al dodecaedro le asign el Universo. Como los griegosya tenan asignados los cuatro elementos dejaban sin pareja aldodecaedro, por lo que lo relacionaron con el Universo como conjuncinde los otros cuatro. La forma del dodecaedro es la que los diosesemplean para disponer las constelaciones en los cielos. Dios lo utilizpara todo cuando dibuj el orden final.En cada uno de los poliedros abajo representados cuenta el nmero devrtices V, el nmero de aristas A y el nmero de caras C.Calcula V-A+C. Qu nmero se obtiene? La relacin resultante fuedemostrada por Euler.

El mundo de los poliedros regulares

Hexaedro regularo cubo

Tetraedro regular Dodecaedroregular

Icosaedro regular Octaedro regularPoliedro regular

Modelo

Caras

Vrtices

Aristas

Aristas porvrtice

6 cuadrados

8

12

3

4 tringulosequilteros

4

6

3

20

30

3

12

30

5

6

12

4

12 pentgonosregulares



Observa loscinco poliedros

regulares, las carasidnticas que se

encuentran en cadavrtice y el elemento

que representan.

Tetraedro(fuego)

Icos

aedr

o(ag

ua)

Dodec

aedro

(univers

o) Octaedro

(aire)

Cubo(tierra)

Platn (Grecia 428-347 a.C.)

Euclides (Grecia, s. III a.C.) demostr, de forma algebraica,porqu slo existen cinco tipos de poliedros regulares con-vexos.Supongamos que se pueda construir un poliedro regular con-vexo cuyas caras sean polgonos regulares de n lados. Luego,el ngulo de cada vrtice del polgono mide x 180.Si el orden del vrtice de un poliedro regular es p, entoncesla suma de los ngulos de un vrtice del poliedro es:p [ x 180]. Pero esta suma tiene que ser menor que 360,porque si fuera igual a 360 las caras estaran en un plano yno se tendra una figura slida.Luego: p[ x 180] < 360

21 Fascculo 3 Polgonos y poliedros

Los slidos platnicos pueden adems ser proyectados sobreun plano. Esta proyeccin se obtiene eligiendo una cara yproyectando los lados del poliedro platnico desde un puntoO por encima del centro de esta cara. La figura que se obtienese llama diagrama de Schlegel. Tambin se pueden obtenersi rompemos una cara y estiramos las restantes caras sobre lapared, sin romper las aristas. Observa el diagrama de Schlegeldel cubo.Parte de las caractersticas del poliedro (como la conexinentre vrtices y lados) se preserva en su correspondientediagrama de Schlegel. Esto facilita el estudio de determinadosproblemas, tales como recorrido y coloracin. En el caso delos slidos platnicos estos diagramas son nicos (no dependede la cara desde la que se proyecte).Tambin se pueden hacer los desarrollos planos tal como seensean en Educacin Bsica (1 y 2 etapas) adems de losdiagramas de Schlegel de los poliedros platnicos. Estosdesarrollos los presentamos en la pgina siguiente.

Proyeccin de SchlegelA B

C

E

D

F

GH

O

EF

A

B

E

A B

F

H G

CD

(n-2)n

(n-2)n

p[ ] < 2 p(n-2) < 2npn -2p -2n < 0 pn - 2p - 2n +4 < 4p (n-2) - 2 (n-2) < 4 (p-2)(n-2) < 4

(n-2)n

(n-2)n

Como cada cara de un poliedro regular debe tener ms dedos lados y ms de dos caras deben concurrir en cada vrtice,vemos que p y n deben ser mayores que 2. Las nicas solucio-nes (n,p) a esta desigualdad son (3,3), (3,4), (3,5) (4,3) y (5,3).La tabla a la derecha justifica lo anterior.

n p n-2 p-2 (n-2)(p-2) Figura3 3 1 1 1 Tetraedro3 4 1 2 2 Octaedro3 5 1 3 3 Icosaedro4 3 2 1 2 Cubo5 3 3 1 3 Dodecaedro

360/n

2 = 180- 360n

=(n-2)180n


Tetraedro

Hexaedro regularo cubo

Dodecaedro

Icosaedro

Octaedro

Vista Desarrollo plano Diagrama de Schlegel

Como hemos visto slo existen cinco poliedros regulares con-vexos. Si eliminamos la condicin de ser convexo tenemoscuatro ms. stos son conocidos como los poliedros de Kepler-Poinsot o poliedros regulares estrellados.Johannes Kepler (Holanda, 1571-1630), en 1619, se dio cuentaque existan dos maneras diferentes de pegar 12 pentagramas(pentgonos estrellados) a lo largo de sus aristas para obtenerun slido regular. Si 5 de ellos se unen en un slo vrtice,obtendremos el pequeo dodecaedro estrellado que tiene docevrtices. Si son 3 pentagramas los que se encuentran en cadavrtice, obtenemos el gran dodecaedro estrellado que tiene20 vrtices.


Pequeo dodecaedro estrellado Gran dodecaedro estrellado

Posteriormente, en 1809, Louis Poinsot (Francia, 1777-1859)descubri los otros dos poliedros no convexos regulares, elgran icosaedro y el pequeo dodecaedro.

Pequeo dodecaedro Gran icosaedro

Icosaedro stellato, 1981.Materiales: acero inoxidable y cemento.

Universo Icosaedro 2, 1980.Material: acero inoxidable.

El escultor Attilio Pierelli (Italia, 1924- )utiliz, en la dcada de los 80, figuras comoel dodecaedro, el icosaedro, el hipercubo yotras para realizar sus obras.Fuente: http://www.pierelli.it

S, entre estos se encuentran los poliedros semirregularesque son 17. Un poliedro convexo es semirregular si sus carasson polgonos regulares de dos o tres tipos. Entre estos slidosestn los arquimedianos, ya que se creen fueron descubiertospor Arqumedes, aunque no se tiene ninguna prueba docu-mental que lo acredite. Existen 13 slidos arquimedianos.Siete de ellos se obtienen por truncamiento de los slidosplatnicos, es decir, por cortes de esquinas, accin que sepuede ejecutar de varias maneras. As, los denominados conel nombre del slido platnico de origen ms el trminotruncado, se obtienen al dividir cada arista en tres partesy cortar por estas divisiones. Si dividimos la arista a la mitady truncamos, slo obtenemos dos nuevos poliedros: elcuboctaedro y el icosidodecaedro. Sus nombres se deben alhecho de que al realizar el proceso de truncamiento queacabamos de describir, en el caso de un cubo y un octaedro(respectivamente, icosaedro y dodecaedro) obtenemos elmismo poliedro. El cubo chato y el dodecaedro chato seobtienen con otro procedimiento.

Pero, existen otros tipos de poliedros?


Tetraedrotruncado

Cuboctaedro

Cubotruncado

Octaedrotruncado

RombocuboctaedroCuboctaedro

truncadoCubo chato Dodecaedro

chato

Icosidodecaedro Dodecaedrotruncado

Icosaedrotruncado

Romboicosidodecaedro

Icosidodecaedro truncado

poliedros1

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