plano tangente
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7/18/2019 Plano Tangente
http://slidepdf.com/reader/full/plano-tangente-56d720112a5bb 1/3
Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto especificado.
z = 3(x-1)² + 2(y+3)² + 7 en (2,-2)
Para hallar la coordenada z, se sustituye los valores x=2 e y=-2 en la ecuación de la superficie:
z = 3(x-1)² + 2(y+3)² + 7⇒
z = 3(2-1)² + 2(-2+3)² + 7⇒
z = 3(1)² + 2(1)² + 7⇒
z = 3 + 2 + 7⇒
z = 12
entonces, el punto especificado debe ser:
(2,-2,12)
ahora pasaremos z al miembro de la derecha en la expresión de la superficie, lo cual nos permitirá
obtener la función f(x,y,z) que representa la superficie:
z = 3(x-1)² + 2(y+3)² + 7⇒
0 = 3(x-1)² + 2(y+3)² - z + 7⇒
f(x,y,z) = 3(x-1)² + 2(y+3)² - z + 7
en estas condiciones, es posible hallar el Vector Gradiente ∇(x,y,z) de la función f(x,y,z):
∇(x,y,z) = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k⇒
∇(x,y,z) = (6(x-1))i + (4(y+3))j + (-1)k⇒
∇(x,y,z) = (6x-6)i + (4y+12)j + (-1)k
a continuación evaluamos el vector gradiente en el punto especificado. El vector que obtendremos
al evaluar el vector gradiente en el punto (2,-2,12) corresponde al vector normal N del plano
tangente solicitado. Procedamos:
∇(x,y,z) = (6x-6)i + (4y+12)j + (-1)k⇒
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7/18/2019 Plano Tangente
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∇(2,-2,12) = (6(2)-6)i + (4(-2)+12)j + (-1)k⇒
∇(2,-2,12) = (12-6)i + (-8+12)j + (-1)k⇒
∇(2,-2,12) = 6i + 4j -1k⇒
N = (6,4,-1)
Ecuación del plano tangente:
N•(x,y,z) = N•P⇒
(6,4,-1)•(x,y,z) = (6,4,-1)•(2,-2,12)⇒
6x + 4y - z = (6)(2) + (4)(-2) + (-1)(12)⇒
6x + 4y - z = 12 - 8 - 12⇒
6x + 4y - z = - 8⇒
6x + 4y - z + 8 = 0 → RESPUESTA
PLANO TANGENTE
Cuando p=(2,-2), z=12
a=(2,-2,12)
Sea f(x,y,z)=3(x-1)² + 2(y+3)² -z + 7 el campo escalar, donde la superficie de nivel de altura 0 es
nuestro plano.
El vector ∇f(a) es normal a la superficie en a.
∇f(x,y,z)=(6(x-1), 4(y+3), -1) -> ∇f(a)=(6, 4, -1) es el vector normal del plano tangente en a.
Es decir:
Derivamos respecto a x
fx=6(x-1), cuando x=2 ->6
Derivamos respecto a y
fy=4(y+3), cuando y=-2 ->4
Derivamos respecto a z
fz=-1
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7/18/2019 Plano Tangente
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La ecuación del plano tangente es:
π: fx(x0,y0,z0).(x-x0)+fy(x0,y0,z0).(y-y0)+... con a=(x0,y0,z0)
z-12=6(x-2)+4(y+2)
z=6x+4y+8