7/18/2019 Plano Tangente

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Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto especificado.

z = 3(x-1)² + 2(y+3)² + 7 en (2,-2)

Para hallar la coordenada z, se sustituye los valores x=2 e y=-2 en la ecuación de la superficie:

z = 3(x-1)² + 2(y+3)² + 7⇒ 

z = 3(2-1)² + 2(-2+3)² + 7⇒ 

z = 3(1)² + 2(1)² + 7⇒ 

z = 3 + 2 + 7⇒ 

z = 12

entonces, el punto especificado debe ser:

(2,-2,12)

ahora pasaremos z al miembro de la derecha en la expresión de la superficie, lo cual nos permitirá

obtener la función f(x,y,z) que representa la superficie:

z = 3(x-1)² + 2(y+3)² + 7⇒ 

0 = 3(x-1)² + 2(y+3)² - z + 7⇒ 

f(x,y,z) = 3(x-1)² + 2(y+3)² - z + 7

en estas condiciones, es posible hallar el Vector Gradiente ∇(x,y,z) de la función f(x,y,z):

 ∇(x,y,z) = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k⇒ 

 ∇(x,y,z) = (6(x-1))i + (4(y+3))j + (-1)k⇒ 

 ∇(x,y,z) = (6x-6)i + (4y+12)j + (-1)k

a continuación evaluamos el vector gradiente en el punto especificado. El vector que obtendremos

al evaluar el vector gradiente en el punto (2,-2,12) corresponde al vector normal N del plano

tangente solicitado. Procedamos:

 ∇(x,y,z) = (6x-6)i + (4y+12)j + (-1)k⇒ 

7/18/2019 Plano Tangente

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 ∇(2,-2,12) = (6(2)-6)i + (4(-2)+12)j + (-1)k⇒ 

 ∇(2,-2,12) = (12-6)i + (-8+12)j + (-1)k⇒ 

 ∇(2,-2,12) = 6i + 4j -1k⇒ 

N = (6,4,-1)

Ecuación del plano tangente:

N•(x,y,z) = N•P⇒ 

(6,4,-1)•(x,y,z) = (6,4,-1)•(2,-2,12)⇒ 

6x + 4y - z = (6)(2) + (4)(-2) + (-1)(12)⇒ 

6x + 4y - z = 12 - 8 - 12⇒ 

6x + 4y - z = - 8⇒ 

6x + 4y - z + 8 = 0 → RESPUESTA 

PLANO TANGENTE

Cuando p=(2,-2), z=12

a=(2,-2,12)

Sea f(x,y,z)=3(x-1)² + 2(y+3)² -z + 7 el campo escalar, donde la superficie de nivel de altura 0 es

nuestro plano.

El vector ∇f(a) es normal a la superficie en a.

 ∇f(x,y,z)=(6(x-1), 4(y+3), -1) -> ∇f(a)=(6, 4, -1) es el vector normal del plano tangente en a.

Es decir:

Derivamos respecto a x

fx=6(x-1), cuando x=2 ->6

Derivamos respecto a y

fy=4(y+3), cuando y=-2 ->4

Derivamos respecto a z

fz=-1

7/18/2019 Plano Tangente

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La ecuación del plano tangente es:

π: fx(x0,y0,z0).(x-x0)+fy(x0,y0,z0).(y-y0)+... con a=(x0,y0,z0)

z-12=6(x-2)+4(y+2)

z=6x+4y+8